Prilikom izračunavanja određenog integrala ne dobijamo uvijek tačno rješenje. Predstavljanje u obliku elementarne funkcije nije uvijek moguće. Newton-Leibnizova formula nije prikladna za proračun, pa se moraju koristiti metode numeričke integracije. Ova metoda vam omogućava da dobijete podatke sa visokom preciznošću. Simpsonova metoda je upravo to.

Da biste to učinili, potrebno je dati grafički prikaz izvođenja formule. Slijedi zapis procjene apsolutne greške korištenjem Simpsonove metode. U zaključku ćemo uporediti tri metode: Simpson, pravokutnici, trapezi.

Metoda parabole - suština, formula, procjena, greške, ilustracije

Zadana je funkcija oblika y = f (x), koja ima kontinuitet na intervalu [ a ; b ] , potrebno je izračunati definitivni integral ∫ a b f (x) d x

Potrebno je podijeliti segment [a; b ] na n segmenata oblika x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n dužine 2 h = b - a n i tačke a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Svaki interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n integranda se aproksimira pomoću parabole definisane sa y = a i x 2 + b i x + c i prolazeći kroz tačke sa koordinatama x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Zato metoda ima ovo ime.

Ove radnje se izvode kako bi se integral ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x uzeo kao približna vrijednost ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Možemo izračunati koristeći Newton-Leibniz formulu. Ovo je suština metode parabole. Razmotrite sliku ispod.

Grafička ilustracija metode parabole (Simpson)

Crvena linija prikazuje grafik funkcije y = f (x), a plava linija prikazuje aproksimaciju grafika y = f (x) pomoću kvadratnih parabola.

Na osnovu petog svojstva definitivnog integrala dobijamo ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Da biste dobili formulu metodom parabole, potrebno je izvršiti sljedeći proračun:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Neka je x 2 i - 2 = 0 . Razmotrite sliku ispod.

Opišimo to kroz tačke sa koordinatama x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) može proći kroz jednu kvadratnu parabolu oblika y = a i x 2 + b i x + c i . Drugim riječima, potrebno je dokazati da se koeficijenti mogu odrediti samo na jedan način.

Imamo da je x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) su tačke parabole, onda je svaka od prikazanih jednačina validna. Shvatili smo to

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)

Rezultirajući sistem se rješava u odnosu na a i, b i, c i, pri čemu je potrebno tražiti determinantu matrice prema Vandermondeu. Shvatili smo to

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , i smatra se različitim od nule i ne poklapa se sa tačke x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Ovo je znak da jednačina ima samo jedno rješenje, zatim odabrane koeficijente a i ; b i ; c i se može odrediti samo na jedinstven način, tada kroz tačke x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) samo jedna parabola može proći.

Možemo nastaviti sa pronalaženjem integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

To je jasno

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

Da biste izvršili posljednji prijelaz, potrebno je koristiti nejednakost oblika

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Dakle, dobijamo formulu koristeći metodu parabole:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Definicija 1

Formula za Simpsonovu metodu je ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Formula za procjenu apsolutne greške ima oblik δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Primjeri približnog izračunavanja određenih integrala metodom parabole

Simpsonova metoda uključuje približno izračunavanje određenih integrala. Najčešće postoje dvije vrste problema za koje je ova metoda primjenjiva:

• u približnom proračunu određenog integrala;
• pri pronalaženju približne vrijednosti sa tačnošću od δ n.

Na tačnost proračuna utiče vrijednost n, što je n veće, to su međuvrijednosti tačnije.

Primjer 1

Izračunajte definitivni integral ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 koristeći Simpsonovu metodu, dijeleći segment integracije na 5 dijelova.

Rješenje

Po uslovu je poznato da je a = 0; b = 5 ; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

Zatim zapisujemo Simpsonovu formulu u formu

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Da bismo ga u potpunosti primijenili, potrebno je izračunati korak koristeći formulu h = b - a 2 n, odrediti tačke x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n i pronađite vrijednosti integrand funkcije f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Srednji proračuni moraju biti zaokruženi na 5 cifara. Zamenimo vrednosti i dobijemo

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Nađimo vrijednost funkcije u tačkama

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Jasnoća i praktičnost prikazani su u tabeli ispod

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Rezultate je potrebno zamijeniti u formulu metode parabole:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Za proračun smo odabrali određeni integral, koji se može izračunati pomoću Newton-Leibniza. Dobijamo:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

odgovor: Rezultati se poklapaju do stotinke.

Primjer 2

Izračunajte neodređeni integral ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x koristeći Simpsonovu metodu sa tačnošću od 0,001.

Rješenje

Po uslovu imamo da je a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Potrebno je odrediti vrijednost n. Da biste to učinili, koristite formulu za procjenu apsolutne greške Simpsonove metode oblika δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Kada pronađemo vrijednost n, onda je nejednakost m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 će se izvršiti. Tada, koristeći metodu parabole, greška u proračunu neće biti veća od 0. 001. Posljednja nejednakost poprima oblik

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Sada moramo saznati koja je najveća vrijednost koju modul četvrtog izvoda može poprimiti.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Domen definicije f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 pripada intervalu - 81 16 ; 81 16, i sam segment integracije [0; π) ima tačku ekstrema, sledi da je m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Vršimo zamjenu:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Otkrili smo da je n prirodan broj, tada njegova vrijednost može biti jednaka n = 5, 6, 7... prvo treba uzeti vrijednost n = 5.

Izvršite radnje slične prethodnom primjeru. Morate izračunati korak. Za ovo

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Nađimo čvorove x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , tada će vrijednost integrala imati oblik

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Ostaje zamijeniti vrijednosti u formulu rješenja pomoću parabole metode i dobivamo

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Simpsonova metoda nam omogućava da dobijemo približnu vrijednost definitivnog integrala ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 sa tačnošću od 0,001.

Prilikom izračunavanja pomoću Newton-Leibnizove formule dobijamo kao rezultat

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

odgovor:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Komentar

U većini slučajeva, pronalaženje m a x [ a ; b ] f (4) (x) je problematično. Stoga se koristi alternativa - metoda parabole. Njegov princip je detaljno objašnjen u odjeljku o trapezoidnoj metodi. Metoda parabole se smatra preferiranom metodom za rješavanje integrala. Računska greška utiče na rezultat n. Što je njegova vrijednost manja, to je približni traženi broj precizniji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo pronašli definitivni integral metodom trapeza, površina krivolinijskog trapeza se također dijeli na n pravokutnih trapeza sa visinama h i bazama 1, 2, 3,..u n, gdje je n broj pravokutnog trapeza . Integral će biti numerički jednak zbiru površina pravokutnih trapeza (slika 4).

Rice. 4

n - broj particija

Greška trapezoidne formule se procjenjuje brojem

Greška formule trapeza opada brže s rastom od greške formule pravokutnika. Stoga, trapezoidna formula omogućava veću preciznost od metode pravokutnika.

Simpsonova formula

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo na segment i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobićemo Simpsonovu formulu.

U Simpsonovoj metodi, da bi se izračunao definitivni integral, ceo interval integracije se deli na podintervale jednake dužine h=(b-a)/n. Broj segmenata particije je paran broj. Zatim se na svakom paru susjednih podintervala funkcija integranda f(x) zamjenjuje Lagrangeovim polinomom drugog stepena (slika 5).

Rice. 5 Funkcija y=f(x) na segmentu je zamijenjena polinomom 2. reda

Razmotrimo integrand na segmentu. Zamenimo ovaj integrand sa Lagranžeovim interpolacionim polinomom drugog stepena, koji se poklapa sa y= u tačkama:

Integrirajmo na segmentu:

Hajde da uvedemo promjenu varijabli:

S obzirom na zamjenske formule,

Nakon izvođenja integracije dobijamo Simpsonovu formulu:

Dobivena vrijednost za integral poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke. Na segmentu će Simpsonova formula izgledati ovako:

U formuli parabole, vrijednost funkcije f(x) u neparnim tačkama particije x 1, x 3, ..., x 2n-1 ima koeficijent 4, u parnim tačkama x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeficijent 2 i na dvije granične tačke x 0 =a, x n =b - koeficijent 1.

Geometrijsko značenje Simpsonove formule: površina krivolinijskog trapeza ispod grafa funkcije f(x) na segmentu je približno zamijenjena zbrojem površina figura koje leže ispod parabola.

Ako funkcija f(x) ima kontinuirani izvod četvrtog reda, tada apsolutna vrijednost greške Simpsonove formule nije veća od

gdje je M najveća vrijednost na segmentu. Pošto n 4 raste brže od n 2, greška Simpsonove formule opada sa povećanjem n mnogo brže od greške trapezoidne formule.

Izračunajmo integral

Ovaj integral je lako izračunati:

Uzmimo n jednako 10, h=0,1, izračunajmo vrijednosti integrala u tačkama particije, kao i polucijele tačke.

Koristeći formulu prosječnih pravougaonika, dobijamo I ravan = 0,785606 (greška je 0,027%), koristeći trapezoidnu formulu I zamku = 0,784981 (greška je oko 0,054. Kod metode desnog i lijevog pravougaonika greška je veća od 3%.

Da bismo uporedili tačnost približnih formula, izračunajmo ponovo integral

ali sada prema Simpsonovoj formuli sa n=4. Podijelimo segment na četiri jednaka dijela točkama x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 i izračunajmo približno vrijednosti funkcije f(x)=1/( 1+x) u ovim tačkama: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Koristeći Simpsonovu formulu dobijamo

Procijenimo grešku dobijenog rezultata. Za integrand funkciju f(x)=1/(1+x) imamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5, što znači da je na segmentu . Dakle, možemo uzeti M=24, a greška rezultata ne prelazi 24/(2880 4 4)=0,0004. Upoređujući približnu vrijednost sa tačnom, zaključujemo da je apsolutna greška rezultata dobivenog Simpsonovom formulom manja od 0,00011. Ovo je u skladu s gornjom procjenom greške i, osim toga, ukazuje da je Simpsonova formula mnogo tačnija od trapezne formule. Stoga se Simpsonova formula češće koristi za približno izračunavanje određenih integrala nego trapezna formula.

Korišćenje tri tačke za interpolaciju integranda omogućava upotrebu paraboličke funkcije (polinom drugog stepena). Ovo dovodi do Simpsonove formule za približno izračunavanje integrala.

Razmotrimo proizvoljni integral

Upotrijebimo promjenu varijable na način da granice segmenta integracije umjesto toga postanu [-1,1]; za to uvodimo varijablu z:

Onda

Razmotrimo problem interpolacije integranda sa polinomom drugog stepena (parabolom), koristeći tri ekvidistantne čvorne tačke kao čvorove - z = -1, z = 0, z = +1 (korak je 1, dužina segmenta integracije je 2). Označimo odgovarajuće vrijednosti integranda na interpolacijskim čvorovima

Sistem jednadžbi za pronalaženje polinomskih koeficijenata

Prolazak kroz tri tačke, i

poprimiće formu

ili

Kvote se mogu lako dobiti

Izračunajmo sada vrijednost integrala interpolacionog polinoma

Inverznom promjenom varijable vraćamo se na originalni integral. Uzmimo to u obzir

Dobijamo Simpsonovu formulu za proizvoljni interval integracije:

Ako je potrebno, originalni segment integracije se može podijeliti na N dvostrukih segmenata, na svaki od kojih se primjenjuje Simpsonova formula. Korak interpolacije će biti

Za prvi segment integracije interpolacioni čvorovi će biti tačke a, a+h, a+2h, za drugi - a+2h, a+3h, a+4h, za treći a+4h, a+5h, a+6h, itd. Približna vrijednost integrala se dobija zbrajanjem N površina:

Ovaj zbir uključuje identične termine (za interne čvorove sa parnom vrijednošću indeksa - 2i). Stoga možemo preurediti članove u ovom zbiru na ovaj način

Šta je ekvivalentno

Jer

Greška ove približne metode opada proporcionalno dužini koraka integracije na četvrti stepen, tj. kada se broj intervala udvostruči, greška se smanjuje za 16 puta

Povećana preciznost

Ovdje gledamo takozvani Aitken proces. Omogućava procjenu greške metode i ukazuje na algoritam za preciziranje rezultata. Proračun se izvodi uzastopno tri puta na različitim koracima particije h 1 , h 2 , h 3 , a njihovi omjeri su konstantni: h 2 / h 1 = h 3 / h 2 = q (na primjer, kada se korak podijeli na pola q = 0,5). Neka se vrijednosti integrala I 1, I 2, I 3 dobiju kao rezultat numeričke integracije. Zatim se rafinirana vrijednost integrala izračunava pomoću formule

a redoslijed tačnosti korištene metode numeričke integracije određen je relacijom

.

Vrijednost integrala se također može precizirati korištenjem Runge-Rombergove metode.

Iz analize grešaka u metodama numeričke integracije proizilazi da tačnost dobijenih rezultata zavisi kako od prirode promene integrala tako i od koraka integracije. Pretpostavit ćemo da smo postavili veličinu koraka. Jasno je da se u cilju postizanja uporedive točnosti pri integraciji funkcije sa slabom promjenom, korak može odabrati veći nego kod integracije funkcija koje se naglo mijenjaju.

U praksi se često dešavaju slučajevi kada se funkcija integranda različito mijenja u pojedinim dijelovima segmenta integracije. Ova okolnost zahtijeva takvu organizaciju ekonomičnih numeričkih algoritama u kojoj bi se oni automatski prilagođavali prirodi promjene funkcije. Takvi algoritmi se nazivaju adaptivni (prilagođavajući). Oni vam omogućavaju da unesete različite vrijednosti koraka integracije u pojedinačne dijelove segmenta integracije. Ovo omogućava smanjenje vremena rada mašine bez gubitka tačnosti rezultata proračuna. Naglašavamo da se ovaj pristup obično koristi kada se integrandska funkcija y=f(x) specificira u obliku formule, a ne u obliku tabele.

Razmotrimo princip rada adaptivnog algoritma. U početku, segment dijelimo na n dijelova. U budućnosti svaki takav elementarni segment dijelimo sukcesivno na pola. Konačan broj koraka, njihova lokacija i veličina zavise od integrala i dozvoljene greške e.

Za svaki elementarni segment primjenjujemo numeričke formule integracije za dvije različite particije. Dobijamo aproksimacije za integral na ovom segmentu:

Uspoređujemo dobivene vrijednosti i procjenjujemo njihovu grešku. Ako je greška u prihvatljivim granicama, tada se jedna od ovih aproksimacija uzima kao vrijednost integrala na ovom elementarnom segmentu. U suprotnom, segment se dalje dijeli i izračunavaju se nove aproksimacije. Radi uštede vremena, tačke podjele su postavljene tako da se koriste izračunate vrijednosti na prethodnim točkama podjele.

Proces dijeljenja segmenta na pola i izračunavanja ažuriranih vrijednosti nastavlja se sve dok njihova razlika ne postane ne veća od određene specificirane vrijednosti d i, ovisno o e i h:

.

Sličan postupak se provodi za svih n elementarnih segmenata. Količina se prihvata kao željena vrijednost integrala. Uslovi i odgovarajući izbor vrijednosti d i osiguravaju ispunjenje uvjeta

Trapezoidna metoda

Podijelimo segment na jednake dijelove koristeći tačke:

Trapezoidna metoda se sastoji od zamjene integrala zbirom:

Apsolutna greška aproksimacije dobijene trapezoidnom formulom se procjenjuje pomoću formule gdje je.

Parabola metoda (Simpsonova metoda)

a) Kroz bilo koje tri tačke sa koordinatama prolazi samo jedna parabola.

b) Izrazite površinu ispod parabole na segmentu kroz:

Uzimajući u obzir vrijednosti i iz tačke a) slijedi:

c) Podijelite segment na jednake dijelove koristeći tačke:

Metoda parabole uključuje zamjenu integrala zbirom:

Za približne praktične proračune koristi se formula:

Apsolutna greška proračuna prema formuli (4) procjenjuje se relacijom gdje je.

Procjena tačnosti izračunavanja „nepreuzetih“ integrala

U ovom radu se vrši proračun apsolutnih i relativnih grešaka pod uslovom da je poznata tačna vrednost određenog integrala. Međutim, nije svaki antiderivat, čak i kada postoji, u svom konačnom obliku izražen kroz elementarne funkcije. To su antiderivati ​​izraženi integralima itd. U svim takvim slučajevima, antiderivat predstavlja neku novu funkciju koja se ne može svesti na kombinaciju konačnog broja elementarnih funkcija.

Definitivni integrali takvih funkcija mogu se izračunati samo približno. Za procjenu tačnosti proračuna u takvim slučajevima, na primjer, koristi se Rungeovo pravilo. U ovom slučaju, integral se izračunava pomoću odabrane formule (pravokutnici, trapezi, Simpsonove parabole) s brojem koraka jednakim n, a zatim s brojem koraka jednakim. Greška u izračunavanju vrijednosti integrala kada je broj koraka jednak izračunava se po Rungeovoj formuli: za formule pravokutnika i trapeza i za Sipsonovu formulu. Dakle, integral se izračunava za uzastopne vrijednosti broja koraka, ..., gdje je početni broj koraka. Proces izračuna se završava kada sljedeća vrijednost ispuni uslov gdje je navedena tačnost.

Kako ne biste izračunali isti integral nekoliko puta za različite particije segmenta integracije, možete unaprijed izračunati korak integracije.

Primjer. Odaberite korak integracije da biste izračunali integral s točnošću od 0,01 koristeći kvadraturne formule pravokutnika, trapeza i Simpsona.

Kvadraturna formula pravougaonika.

Izračunajmo u kom koraku će greška biti 0,01:

integrand trapezoidna parabola neraskidiva

Jer, onda.

Tokom koraka, segment se dijeli na jednako raspoređene čvorove.

Kvadraturna formula trapeza.

Zbog, .

Tokom koraka, segment se dijeli na jednako raspoređene čvorove.

Simpsonova kvadraturna formula.

Izračunajmo u kom koraku će greška biti 0,01:

Tokom koraka, segment se dijeli na jednako raspoređene čvorove.

Kao što se i očekivalo, najmanji broj jednako raspoređenih čvorova dobija se pri izračunavanju integrala pomoću Simpsonove kvadraturne formule.

Studentu se nudi rad koji se sastoji od četiri faze:

• Faza 1 - tačno izračunavanje određenog integrala.
• Faza 2 - približno izračunavanje određenog integrala pomoću jedne od metoda: pravokutnika ili trapeza.
• Faza 3 - približno izračunavanje određenog integrala metodom parabole.

Faza 4 - proračun i poređenje apsolutnih i relativnih grešaka približnih metoda: , gdje je tačno rješenje integrala, je vrijednost integrala dobijena primjenom aproksimativnih metoda.

Iscrtavanje funkcije integranda.

Opcije i primjer izvođenja RGR-a su dati u nastavku.

Opcije

Opcija br.

Uzorak izvođenja RGR-a

Vježbajte. Izračunaj integral

1. Tačan izračun:

2. Približno izračunavanje koristeći formule pravokutnika:

Napravimo tabelu:

Koristeći prvu formulu pravokutnika dobijamo:

0,1 = 0,1 3,062514 = 0,306251.

Koristeći drugu formulu pravokutnika dobijamo:

0,1 = 0,1 4,802669 = 0,480267.

U ovom slučaju, prva formula daje vrijednost integrala s nedostatkom, druga - s viškom.

3. Približan izračun koristeći trapezoidnu formulu:

U našem slučaju dobijamo:

0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Izračunajmo relativne i apsolutne greške.

4. Približni proračun koristeći Simpsonovu formulu:

U našem slučaju dobijamo:

Izračunajmo relativne i apsolutne greške.

U stvarnosti, = 0,40631714.

Dakle, prilikom podjele segmenta na 10 dijelova koristeći Simpsonovu formulu, dobili smo 5 tačnih znakova; prema trapezoidnoj formuli - tri ispravna znaka; Prema formuli pravokutnika, možemo jamčiti samo za prvi znak.