Konstruirajte jednakokraki trokut duž stranice. Zadaci o jednakokračnim trouglovima

Jednakokraki je ovako trougao, u kojem su dužine njegove dvije strane jednake jedna drugoj.

Prilikom rješavanja problema na temu "jednakokraki trougao" potrebno je koristiti sljedeće poznato svojstva:

1. Suprotni uglovi jednake strane su jednake jedna drugoj.
2. Simetrale, medijane i visine povučene iz jednakih uglova, jednake su jedna drugoj.
3. Simetrala, medijan i visina povučeni do osnove jednakokračnog trougla međusobno se poklapaju.
4. Središte upisane kružnice i središte opisane kružnice leže na visini, a time i na medijani i simetrali povučeni prema osnovici.
5. Uglovi koji su jednaki u jednakokračnom trouglu su uvek oštri.

Trougao je jednakokraki ako ima sljedeće znakovi:

1. Dva ugla trougla su jednaka.
2. Visina se poklapa sa medijanom.
3. Simetrala se poklapa sa medijanom.
4. Visina se poklapa sa simetralom.
5. Dvije visine trougla su jednake.
6. Dvije simetrale trougla su jednake.
7. Dvije medijane trougla su jednake.

Razmotrimo nekoliko problema na tu temu "jednakokraki trougao" i dati njihovo detaljno rješenje.

Zadatak 1.

U jednakokračnom trouglu visina osnove je 8, a osnovica stranice 6: 5. Odrediti rastojanje od vrha trougla do tačke preseka njegovih simetrala.

Rješenje.

Neka je dat jednakokraki trougao ABC (sl. 1).

1) Pošto je AC: BC = 6: 5, onda je AC = 6x i BC = 5x. VN – visina povučena do osnove AC trougla ABC.

Pošto je tačka H sredina AC (prema svojstvu jednakokračnog trougla), onda je HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN 2 + NS 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;

x = 2, onda

AC = 6x = 6 2 = 12 i

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Pošto je tačka presjeka simetrala trougla centar upisane kružnice, onda
OH = r. Pronalazimo polumjer kružnice upisane u trokut ABC koristeći formulu

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, tada je OH = r = 48/16 = 3.

Dakle, VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.

Odgovor: 5.

Zadatak 2.

U jednakokračnom trouglu ABC povučena je simetrala AD. Površine trokuta ABD i ADC su 10 i 12. Nađite utrostručenu površinu kvadrata konstruisanog na visini ovog trokuta povučenom na osnovu AC.

Rješenje.

Razmotrimo trougao ABC - jednakokraki, AD - simetrala ugla A (Sl. 2).

1) Zapišimo površine trouglova BAD i DAC:

S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.

2) Pronađite omjer površina:

S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

Pošto je S BAD = 10, S DAC = 12, onda je 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, onda neka je AB = 5x i AC = 6x.

AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Iz trougla ABN - pravougaonog prema Pitagorinoj teoremi AB 2 = AN 2 + BH 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A VS = 1/2 · AS · VN; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .

Pošto je S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, onda je 22 = 12x 2 ;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Površina kvadrata je jednaka VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Odgovor: 88.

Zadatak 3.

U jednakokračnom trokutu osnova je 4, a stranica 8. Nađite kvadrat visine spuštene na stranu.

Rješenje.

U trouglu ABC - jednakokraki BC = 8, AC = 4 (Sl. 3).

1) VN – visina povučena do osnove AC trougla ABC.

Pošto je tačka H sredina AC (prema svojstvu jednakokrakog trougla), onda je HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Iz trougla VNS - pravougaonog prema Pitagorinoj teoremi BC 2 = VN 2 + NS 2;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), kao i S ABC = 1/2 · (AM · BC), onda izjednačimo desne strane formule, dobijamo

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

Odgovor: 15.

Zadatak 4.

U jednakokračnom trouglu osnova i visina spuštena na njega jednake su 16. Nađite poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla.

Rješenje.

U trouglu ABC – jednakokračna osnova AC = 16, VN = 16 – visina povučena osnovicom AC (sl. 4).

1) AN = NS = 8 (prema svojstvu jednakokrakog trougla).

2) Iz VNS trougla - pravougaonog prema Pitagorinoj teoremi

BC 2 = VN 2 + NS 2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Posmatrajmo trougao ABC: po teoremi sinusa 2R = AB/sin C, gde je R poluprečnik kružnice opisane oko trougla ABC.

sin C = BH/BC (iz trougla VNS po definiciji sinusa).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, zatim 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Odgovor: 10.

Zadatak 5.

Dužina visine povučene do osnove jednakokračnog trokuta je 36, a poluprečnik upisane kružnice je 10. Nađite površinu trokuta.

Rješenje.

Neka je dat jednakokraki trougao ABC.

1) Kako je središte kružnice upisane u trokut presjek njegovih simetrala, onda je O ϵ VN i AO je simetrala ugla A, a takođe i OH = r = 10 (sl. 5).

2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.

3) Razmotrimo trougao ABN. Po teoremi o simetrali ugla trougla

AB/AN = VO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, onda neka je AB = 13x i AN = 5x.

Prema Pitagorinoj teoremi, AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 · 3) 2 ;

144x2 = 144 9;

x = 3, tada je AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Odgovor: 540.

Zadatak 6.

U jednakokračnom trouglu dvije stranice su jednake 5 i 20. Nađite simetralu ugla u osnovi trougla.

Rješenje.

1) Pretpostavimo da su stranice trougla 5, a osnova 20.

Onda 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Sl. 6).

2) Neka je LC = x, tada je BL = 20 – x. Po teoremi o simetrali ugla trougla

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

tada je 4x = 20 – x;

Tako je LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Koristimo formulu za simetralu ugla trokuta:

AL 2 = AB AC – BL LC,

tada je AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;

Odgovor: 6.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti probleme geometrije?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Kako konstruisati jednakokraki trougao? To je lako učiniti pomoću ravnala, olovke i ćelija za bilježnicu.

Počinjemo konstrukciju jednakokračnog trokuta od baze. Da bi uzorak bio paran, broj ćelija u bazi mora biti paran broj.

Podijelite segment - osnovu trokuta - na pola.

Tem trougla se može izabrati na bilo kojoj visini od osnove, ali uvek tačno iznad sredine.

Kako konstruisati akutni jednakokraki trougao?

Uglovi u osnovi jednakokračnog trougla mogu biti samo oštri. Da bi jednakokraki trougao bio oštar, ugao na vrhu takođe mora biti oštar.

Da biste to učinili, odaberite vrh trokuta više, dalje od baze.

Što je veći apeks, manji je ugao vrha. Shodno tome se povećavaju uglovi u bazi.

Kako konstruisati tupokraki trougao?

Kako se vrh jednakokračnog trougla približava osnovici, stepen stepena ugla u vrhu raste.

To znači da za konstruiranje jednakokračnog tupougla biramo donji vrh.

Kako izgraditi jednakokraku pravougaonog trougla?

Da biste konstruirali jednakokraki pravokutni trokut, trebate odabrati vrh na udaljenosti jednakoj polovini baze (to je zbog svojstava jednakokračnog pravokutnog trokuta).

Na primjer, ako je dužina baze 6 ćelija, tada postavljamo vrh trokuta na visinu od 3 ćelije iznad sredine baze. Imajte na umu: u ovom slučaju, svaka ćelija na uglovima na bazi je podijeljena dijagonalno.

Konstrukcija jednakokračnog pravokutnog trougla može se započeti od vrha.

Odaberemo vrh i od njega pod pravim uglom položimo jednake segmente gore i desno. Ovo su stranice trougla.

Povežimo ih i dobijemo jednakokraki pravougaoni trokut.

Razmotrit ćemo konstrukciju jednakokračnog trokuta pomoću šestara i ravnala bez podjela u drugoj temi.

VIII . Grupe građevinskih zadataka.

    Rješavanje grupa zadataka pomoću pomoćnog trougla.

Suština metode je konstrukcija pomoćnih trouglova i korištenje njihovih svojstava i novodobijenih elemenata za konačno rješavanje problema.

Analiza konstrukcije sastoji se od sljedećih koraka:

    Potražite pomoćni trougao u vašoj analizi.

    Ako se pojave novi elementi uz pomoć kojih se može konstruirati trokut ABC, onda je cilj postignut.

    Ako se to ne dogodi, onda se možda može konstruirati još jedan pomoćni trokut koji će osigurati elemente koji nedostaju.

Pogledajmo suštinu metode koristeći primjere.

Zadatak 1. Konstruirajte jednakokraki trougao ABC ( b= c) By a, h b .

Tražimo pomoćni trougao. Očigledno, zgodno je trokut CDB smatrati takvim trouglom.

Ovo će dati ugao C, dakle ugao ABC. Dakle, postoji a, ugao B, ugao C, što znači da možemo konstruisati trougao ABC. Zapisaćemo to šematski ovako:

    (a, h b) → Δ CDB →< C.

    (a,< B, < C) → Δ ABC.

Zadaci za nezavisna odluka:

Koristeći razmišljanje slično gore navedenom, preporučujemo da se konstruira jednakokraki trokut (b=c) koristeći sljedeće podatke:

A)< А, h b ;

b)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

Zadatak 2. Konstruišite trougao koristeći poluprečnik r upisane kružnice, ugao A i ugao B.

Neka je I centar kružnice upisane u trokut ABC.

    (r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

    (r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

    (|AD| + |VD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

Zadaci za samostalno rješavanje:

    Konstruirajte trokut koristeći sljedeće elemente:

a) a, h c, h b; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (gdje su m medijane, l simetrale, h visine).

samostalno:

    konstruisati romb ABCD koristeći dijagonalu BD i visinu BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

    izgraditi trapez sa četiri strane.

    1. Rješavanje grupa zadataka na osnovu glavnog.

      1. Glavni zadatak:

Konstruirajte trokut koristeći dvije stranice i ugao između njih.

    Konstruirajte pravougao trokut duž dvije stranice.

    Konstruirajte romb duž dvije dijagonale.

    Konstruišite pravougaonik sa dve nejednake stranice.

    Konstruirajte paralelogram koristeći dvije dijagonale i ugao između njih.

    Konstruirajte pravougaonik koristeći dijagonale i ugao između njih.

    1. Glavni zadatak:

Konstruirajte trokut koristeći stranu i dva susjedna ugla.

Zadaci za samostalno rješavanje:

    Konstruirajte jednakokraki trokut koristeći njegovu osnovu i susjedni ugao.

    Konstruirajte pravokutni trokut koristeći krak i susjedni oštar ugao.

    Konstruirajte romb koristeći ugao i dijagonalu koja prolazi kroz vrh ovog ugla.

    Konstruirajte jednakokraki trokut na osnovu visine i ugla vrha.

    Konstruirajte kvadrat duž date dijagonale.

    1. Glavni zadatak:

Konstruirajte pravokutni trokut koristeći hipotenuzu i oštar ugao.

Zadaci za samostalno rješavanje:

    Konstruirajte jednakokraki trokut duž stranice i ugla u osnovi.

    Konstruirajte jednakokraki trokut koristeći njegovu stranu i ugao vrha.

    1. Glavni zadatak:

Konstruirajte trokut koristeći tri stranice.

Zadaci za samostalno rješavanje:

    Konstruirajte jednakokraki trokut koristeći njegovu osnovu i stranice.

    Konstruirajte romb duž stranica i dijagonala.

    Konstruirajte paralelogram koristeći dvije nejednake stranice i dijagonalu.

    Konstruirajte paralelogram koristeći stranu i dvije dijagonale.

    1. Glavni zadatak:

Konstruirajte pravougao trokut koristeći katet i hipotenuzu.

Zadaci za samostalno rješavanje:

    Konstruirajte jednakokraki trokut po visini i strani.

    Konstruirajte jednakokraki trokut koristeći osnovu i okomicu od kraja baze na stranu.

    Konstruirajte paralelogram koristeći njegovu osnovu, visinu i dijagonalu.

    Konstruirajte romb duž njegove visine i dijagonale.

    Konstruirajte jednakokraki trokut koristeći stranu i spuštenu visinu.

    Konstruirajte trokut na osnovu osnove, visine i stranice.

književnost:

    B. I. Argunov, M. B. Balk “Geometrijske konstrukcije na ravni”, M, “Prosvešćenje” 1955.

    Glazer G.I. “Istorija matematike u školi” IV – VI razredi, M, “Prosvjeta”, 1981.

    I. Goldenblant “Iskustvo u rješavanju geometrijskih konstrukcijskih zadataka” “Matematika u školi” br. 3, 1946.

    I. A. Kushnir „Na jedan način rješavanja građevinskih problema“ „Matematika u školi“ br. 2, 1984.

    A. I. Mostovoy "Primijenite različite metode za rješavanje građevinskih problema" "Matematika u školi" br. 5, 1983.

    A. A. Popova Udžbenik „Matematika“. „Država Čeljabinsk Pedagoški univerzitet“, 2005

    E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “ Geometrijske konstrukcije u I-V razredima srednja škola“Metodološki razvoj. Sverdlovsk, 1974

mob_info