Perelmanova multidimenzionalna muzika sfera. Jedna je pukla, druga je izgubila trodimenzionalnu sferu u četvorodimenzionalnom prostoru
Još dok sam bio student prve godine, žestoko sam se posvađao sa jednim od mojih drugova iz razreda. Rekao je da se četverodimenzionalna kocka ne može predstaviti ni u kakvom obliku, ali sam uvjerio da se može predstaviti sasvim jasno. Onda sam čak napravio projekciju hiperkocke na naš trodimenzionalni prostor od spajalica... Ali hajde da pričamo o svemu redom.
Šta je hiperkocka i četvorodimenzionalni prostor
Naš uobičajeni prostor ima tri dimenzije. Sa geometrijske tačke gledišta, to znači da se u njemu mogu naznačiti tri međusobno okomite linije. To jest, za bilo koju liniju možete pronaći drugu liniju okomitu na prvu, a za par možete pronaći treću liniju okomitu na prve dvije. Više neće biti moguće pronaći četvrtu liniju okomitu na postojeće tri.
Četvorodimenzionalni prostor razlikuje se od našeg samo po tome što ima još jedan dodatni pravac. Ako već imate tri međusobno okomite prave, onda možete pronaći i četvrtu, tako da će biti okomita na sve tri.
Hypercube to je samo kocka u četvorodimenzionalnom prostoru.
Da li je moguće zamisliti četverodimenzionalni prostor i hiperkocku?
Ovo pitanje je slično pitanju: "da li je moguće zamisliti Posljednju večeru gledajući istoimenu sliku (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"
S jedne strane, naravno, nećete zamisliti šta je Isus vidio (sjedi okrenut prema gledaocu), pogotovo što nećete osjetiti miris vrta izvan prozora i okusiti hranu na stolu, nećete čuti ptice pjevanje... Nećete steći potpunu sliku onoga što se dešavalo u to vrijeme večeri, ali se ne može reći da nećete naučiti ništa novo i da slika ne zanima.
Slična je situacija i sa pitanjem hiperkocke. Nemoguće ga je u potpunosti zamisliti, ali možete se približiti razumijevanju kako je.
Konstrukcija hiperkocke
0-dimenzionalna kocka
Počnimo od početka - sa 0-dimenzionalnom kockom. Ova kocka sadrži 0 međusobno okomitih strana, odnosno samo je tačka.
1-dimenzionalna kocka
U jednodimenzionalnom prostoru imamo samo jedan pravac. Pomeramo tačku u ovom pravcu i dobijamo segment.
Ovo je jednodimenzionalna kocka.
2 dimenzionalna kocka
Imamo drugu dimenziju, pomeramo našu jednodimenzionalnu kocku (segment) u pravcu druge dimenzije i dobijamo kvadrat.
To je kocka u dvodimenzionalnom prostoru.
3 dimenzionalna kocka
S pojavom treće dimenzije radimo isto: pomičemo kvadrat i dobivamo običnu trodimenzionalnu kocku.
4-dimenzionalna kocka (hiperkocka)
Sada imamo četvrtu dimenziju. Odnosno, imamo na raspolaganju pravac okomit na sva tri prethodna. Koristimo ga na potpuno isti način. Četvorodimenzionalna kocka će izgledati ovako.
Naravno, trodimenzionalne i četverodimenzionalne kocke ne mogu se prikazati na dvodimenzionalnoj ravni ekrana. Ono što sam nacrtao su projekcije. O projekcijama ćemo nešto kasnije, ali za sada nekoliko golih činjenica i brojki.
Broj vrhova, ivica, lica
Imajte na umu da je lice hiperkocke naša obična trodimenzionalna kocka. Ako pažljivo pogledate crtež hiperkocke, zapravo možete pronaći osam kocki.
Projekcije i vizija stanovnika četvorodimenzionalnog prostora
Nekoliko riječi o viziji
Živimo u trodimenzionalnom svijetu, ali ga vidimo kao dvodimenzionalni. To je zbog činjenice da se mrežnica naših očiju nalazi u ravni koja ima samo dvije dimenzije. Zbog toga smo u stanju da percipiramo dvodimenzionalne slike i nađemo ih sličnima stvarnosti.
(Naravno, zahvaljujući akomodaciji, oko može procijeniti udaljenost do objekta, ali ovo je nuspojava povezana s optikom ugrađenom u naše oči.)
Oči stanovnika četvorodimenzionalnog prostora moraju imati trodimenzionalnu retinu. Takvo stvorenje može odmah vidjeti cijelu trodimenzionalnu figuru: sva njena lica i unutrašnjost. (Na isti način možemo vidjeti dvodimenzionalnu figuru, sva njena lica i unutrašnjost.)
Dakle, uz pomoć naših organa vida, nismo u mogućnosti da percipiramo četverodimenzionalnu kocku onako kako bi je percipirao stanovnik četverodimenzionalnog prostora. Avaj. Ostaje samo da se oslonite na svoje umno oko i maštu, koji, na sreću, nemaju fizička ograničenja.
Međutim, kada prikazujem hiperkocku na ravni, jednostavno sam prisiljen napraviti njenu projekciju na dvodimenzionalni prostor. Uzmite u obzir ovu činjenicu kada proučavate crteže.
Ivične raskrsnice
Naravno, ivice hiperkocke se ne sijeku. Raskrsnice se pojavljuju samo na crtežima. Međutim, to ne bi trebalo da čudi, jer se ivice obične kocke na slikama takođe seku.
Dužina ivica
Vrijedi napomenuti da su sva lica i ivice četvorodimenzionalna kocka su jednaki. Na slici nisu jednaki samo zato što se nalaze pod različitim uglovima u odnosu na smer gledanja. Međutim, moguće je rotirati hiperkocku tako da sve projekcije imaju istu dužinu.
Inače, na ovoj slici je jasno vidljivo osam kocki, koje su lica hiperkocke.
Hiperkocka je unutra prazna
Teško je povjerovati, ali između kocki koje povezuju hiperkocku, postoji nešto prostora (djelić četverodimenzionalnog prostora).
Da bismo ovo bolje razumjeli, pogledajmo dvodimenzionalnu projekciju obične trodimenzionalne kocke (namjerno sam je napravio donekle šematski).
Možete li po tome pretpostaviti da unutar kocke ima prostora? Da, ali samo koristeći svoju maštu. Oko ne vidi ovaj prostor.
Ovo se dešava zato što su se ivice koje se nalaze u trećoj dimenziji (koja se ne može prikazati na ravnom crtežu) sada pretvorile u segmente koji leže u ravni crteža. Više ne daju volumen.
Kvadrati koji zatvaraju prostor kocke preklapali su jedan drugog. Ali može se zamisliti da su na originalnoj slici (trodimenzionalnoj kocki) ti kvadrati bili smješteni u različitim ravnima, a ne jedan na drugom u istoj ravni, kao što se dogodilo na slici.
Potpuno ista situacija je i sa hiperkockom. Kocke-površine hiperkocke se zapravo ne preklapaju, kako nam se čini na projekciji, već se nalaze u četverodimenzionalnom prostoru.
Sweeps
Dakle, stanovnik četverodimenzionalnog prostora može vidjeti trodimenzionalni objekt sa svih strana istovremeno. Možemo li vidjeti trodimenzionalnu kocku sa svih strana u isto vrijeme? Sa okom - ne. Ali ljudi su smislili način da prikažu sva lica trodimenzionalne kocke u isto vrijeme na ravnom crtežu. Takva slika se naziva skeniranje.
Razvoj trodimenzionalne kocke
Svi vjerojatno znaju kako se formira razvoj trodimenzionalne kocke. Ovaj proces je prikazan u animaciji.
Radi jasnoće, ivice površina kocke su prozirne.
Treba napomenuti da smo u stanju da percipiramo ovu dvodimenzionalnu sliku samo zahvaljujući svojoj mašti. Ako posmatramo faze odvijanja sa čisto dvodimenzionalne tačke gledišta, proces će se činiti čudnim i nimalo jasnim.
Izgleda kao postepeno pojavljivanje prvo obrisa izobličenih kvadrata, a potom i njihovog uvlačenja na svoje mjesto dok istovremeno poprimaju traženi oblik.
Ako pogledate kocku koja se rasklapa u smjeru jedne od njenih strana (sa ove točke gledišta kocka izgleda kao kvadrat), tada je proces formiranja rasklopa još manje jasan. Sve izgleda kao kvadrati koji izmiču iz početnog kvadrata (ne rasklopljene kocke).
Ali ne vizuelno skeniraj samo za oko.
Kako razumjeti 4-dimenzionalni prostor?
Zahvaljujući vašoj mašti možete izvući mnogo informacija iz njega.
Razvoj četvorodimenzionalne kocke
Jednostavno je nemoguće učiniti animirani proces rasklapanja hiperkocke barem donekle vizualnim. Ali ovaj proces se može zamisliti. (Da biste to učinili, morate ga pogledati očima četverodimenzionalnog bića.)
Skeniranje izgleda ovako.
Ovdje je vidljivo svih osam kocki koje ograničavaju hiperkocku.
Rubovi koji bi se trebali poravnati kada su presavijeni obojeni su istim bojama. Lica za koja parovi nisu vidljivi ostaju siva. Nakon presavijanja, najgornja strana gornje kocke treba da bude poravnata sa donjom ivicom donje kocke. (Razvijanje trodimenzionalne kocke se skuplja na sličan način.)
Imajte na umu da će nakon konvolucije sve strane osam kocki doći u kontakt, zatvarajući hiperkocku. I na kraju, kada zamišljate proces savijanja, nemojte zaboraviti da prilikom presavijanja ne dolazi do preklapanja kocki, već do njihovog omotanja oko određene (hiperkubične) četverodimenzionalne površine.
Salvador Dali (1904-1989) je mnogo puta prikazao raspeće, a krstovi se pojavljuju na mnogim njegovim slikama. Slika “Raspeće” (1954) koristi skeniranje hiperkocke.
Prostor-vreme i euklidski četvorodimenzionalni prostor
Nadam se da ste mogli da zamislite hiperkocku. Ali da li ste uspeli da se približite razumevanju kako funkcioniše četvorodimenzionalni prostor-vreme u kojem živimo? Avaj, ne baš.
Ovdje smo govorili o euklidskom četverodimenzionalnom prostoru, ali prostor-vrijeme ima potpuno drugačija svojstva. Konkretno, tokom bilo koje rotacije, segmenti uvijek ostaju nagnuti prema vremenskoj osi, bilo pod uglom manjim od 45 stepeni, ili pod uglom većim od 45 stepeni.
Posvetio sam niz bilješki svojstvima prostor-vremena.
Trodimenzionalnost slike
Svijet je trodimenzionalan. Njegova slika je dvodimenzionalna. Važan zadatak slikarstva, a sada i fotografije, je da prenese trodimenzionalnost prostora. Rimljani su već savladali neke tehnike, a onda su zaboravljeni i počeli se vraćati klasičnom slikarstvu s renesansom.
Glavna tehnika stvaranja trodimenzionalnog prostora u slikarstvu je perspektiva. Željezničke šine, koje se udaljavaju od posmatrača, vizuelno su uske. U slikarstvu, šine se mogu fizički suziti. U fotografiji, perspektiva se javlja automatski: kamera će snimiti šine onako sužene koliko ih oko vidi. Međutim, nemojte dozvoliti da se skoro zatvori: više neće izgledati kao perspektiva, već kao čudna figura; Mora postojati primjetan jaz između šina, strana ulice i obala rijeke.
Važno je shvatiti da je linearna perspektiva najprimitivniji, realističniji način prenošenja svijeta.
Post navigacija
Nije slučajno što se njegov izgled vezuje za pozorišnu scenografiju (Florenski, „Obrnuta perspektiva“). Konvencionalnost i jednostavnost prenošenja pozorišne scene male dubine vrlo je pogodna za fotografiju kojoj nedostaje raznolikost tehnika dostupnih u slikarstvu.
Postoje perspektive koje su mnogo interesantnije od one linearne. U radovima kineskih majstora postoji plutajuća perspektiva, kada su objekti prikazani istovremeno odozdo, iznad i ispred. To nije bila tehnička greška nesposobnih umjetnika: legendarni autor ove tehnike Guo Xi napisao je da takav prikaz omogućava da se svijet spozna u njegovoj totalnosti. Tehnika ruskog ikonopisa je slična, u kojoj gledalac može vidjeti lice i leđa lika u isto vrijeme. Zanimljiva tehnika ikonopisa, koja se nalazi i kod zapadnoevropskih umjetnika, bila je obrnuta perspektiva, u kojoj su udaljeni predmeti, naprotiv, veći od bliskih, naglašavajući važnost. Tek u naše dane ustanovljeno je da je takva perspektiva ispravna: za razliku od udaljenih objekata, krupni plan se zapravo percipira u obrnutoj perspektivi (Rauschenbach). Koristeći Photoshop, možete postići obrnutu perspektivu povećanjem pozadinskih objekata. Za gledatelja naviknutog na zakone fotografije, takva će slika izgledati čudno.
Uvođenjem ugla zgrade u okvir, od kojeg se zidovi razilaze u oba smjera, stvara se privid izometrijske perspektive. Mozak razumije da su zidovi pod pravim uglom i u skladu s tim raspoređuje ostatak slike. Ova perspektiva je dinamičnija od frontalne i prirodnija za krupni plan. Jednostavno unesite krajnje uglove objekata i obližnjih zgrada u okvir.
Zbog proširenja, izometrijska perspektiva je velika, što je rijetko pogodno za klasični portret. Linearna perspektiva, zbog suženja, bolje prenosi manje emocije.
U fazi snimanja, fotografu je na raspolaganju niz alata za naglašavanje perspektive. Predmeti jednake širine koji se protežu u daljinu (tragovi, ulice, stupovi, brazde) svojim sužavanjem, pa čak i jednostavnim udaljavanjem, ukazuju gledaocu na trodimenzionalnost prostora. Efekat je jači ako snimate iz niskog ugla kako biste povećali izobličenje perspektive. Ovo je dovoljno za pejzažnu fotografiju, ali sa malom dubinom slike za fotografije enterijera, efekat je jedva primetan. Može se malo poboljšati u naknadnoj obradi sužavanjem vrha slike (Transform Perspective). Međutim, u pejzažu, pretjerana perspektiva može izgledati zanimljivo.
Dubina može biti očigledna u značenju slike: zgrade su odvojene ulicom ili rijekom. Dijagonala naglašava trodimenzionalnost; na primjer, most preko rijeke.
Objekti veličine poznate gledaocu u pozadini postavljaju razmjer i, shodno tome, formiraju perspektivu. U pejzažnoj fotografiji, ovaj objekt bi mogao biti automobil, ali u portretnoj fotografiji pokušajte savijati nogu (dalje od kamere) ispod stolice tako da izgleda manje, a da ostane vidljiv. Ovu nogu možete čak i malo smanjiti naknadnom obradom.
Ornament prenosi perspektivu vizuelno smanjujući elemente. Primjer bi bile velike pločice na podu, koje označavaju linije na cesti.
Postoji tehnika koja se zove hipertrofirani prednji plan. Neproporcionalno velika, stvara dubinu slike. Upoređujući razmere prednjeg plana i modela, oko dolazi do zaključka da je model mnogo dalje nego što se čini. Preuveličavanje treba ostati suptilno kako se slika ne bi shvatila kao greška. Ova tehnika radi ne samo za naknadnu obradu, već i za snimanje: izobličite proporcije snimanjem objektivom od 35 ili 50 mm. Snimanje širokougaonim objektivom proteže prostor, povećavajući njegovu trodimenzionalnost kršenjem proporcija. Efekat je jači ako model snimate iz blizine, ali pazite na groteskne proporcije: samo autori religioznih slika mogu prikazati osobu veću od zgrade.
Raskrsnica radi odlično. Ako jabuka djelomično pokrije krušku, onda mozak neće pogriješiti: jabuka je ispred kruške. Model djelomično prekriva namještaj, stvarajući dubinu u unutrašnjosti.
Izmjena svijetlih i tamnih mrlja također daje dubinu slici. Mozak iz iskustva zna da su obližnji objekti osvijetljeni približno jednako, pa interpretira različito osvijetljene objekte kao da se nalaze na različitim udaljenostima. Za ovaj efekat, mrlje se izmjenjuju u smjeru ose perspektive - duboko u sliku, a ne preko nje. Na primjer, kada snimate model koji leži podalje od fotoaparata u tamnom kadru, stavite svjetla blizu stražnjice i blizu nogu. Možete posvijetliti/zatamniti područja u naknadnoj obradi.
Smatra se da se slijed sve tamnijih objekata smanjuje. Postepenim senčenjem objekata duž aktivne linije, možete dobiti suptilan osećaj perspektive. Isto tako, dubina se prenosi slabljenjem svjetlosti: bacite svjetlosnu traku preko namještaja ili na pod.
Trodimenzionalna slika može se dobiti zahvaljujući ne samo svjetlu, već i kontrastu boja. Ova tehnika bila je poznata flamanskim slikarima, koji su na svoje mrtve prirode stavljali mrlje jarkih boja. Crveni šipak i žuti limun jedan pored drugog izgledat će trodimenzionalno čak i pri ravnom frontalnom osvjetljenju. Posebno će se dobro isticati na pozadini ljubičastog grožđa: tople boje na hladnoj pozadini. Površine svijetle boje dobro izlaze iz mraka čak i pri slabom svjetlu, tipično za mrtvu prirodu. Kontrast boja bolje funkcionira s primarnim bojama: crvenom, žutom, plavom, umjesto nijansama.
Na crnoj pozadini žuta izlazi naprijed, plava se skriva nazad. Na bijeloj pozadini je obrnuto. Zasićenost boja pojačava ovaj efekat. Zašto se ovo dešava? Žuta boja nikada nije tamna, pa mozak odbija vjerovati da žuti predmet može biti uronjen u tamnu pozadinu, a ne osvijetljen. Plava je, naprotiv, tamna.
Poboljšanje perspektive u naknadnoj obradi svodi se na simulaciju percepcije atmosfere: udaljeni objekti izgledaju svjetliji, zamućeniji, sa smanjenim kontrastom u svjetlini, zasićenosti i tonu.
Osim velikih udaljenosti, atmosferski efekti izgledaju prirodno u jutarnjoj izmaglici, magli ili zadimljenom baru. Uzmite u obzir vrijeme: kada je oblačan dan ili u sumrak, možda neće biti značajne razlike između prednjeg i pozadine.
Najjači faktor je kontrast svjetline. U postavkama ovo je uobičajeni kontrast. Smanjite kontrast udaljenih objekata, povećajte kontrast prednjeg plana - i slika će postati konveksna. Ne govorimo o kontrastu između prednjeg i pozadine, već o kontrastu pozadine, koji bi trebao biti manji od kontrasta prednjeg plana. Ova metoda je prikladna ne samo za pejzažne i žanrovske fotografije, već i za studijske portrete: povećajte kontrast prednjeg dijela lica, smanjite kontrast na kosi, jagodicama i odjeći. Portretni filteri rade nešto slično, zamagljuju kožu modela i ostavljaju oči i usne grubim.
Podešavanje kontrasta je najlakši način za naknadnu obradu 3D slike. Za razliku od drugih procesa, gledatelj jedva da će primijetiti bilo kakve promjene, što će omogućiti održavanje maksimalne prirodnosti.
Zamućenje je slično smanjenju kontrasta, ali to su različiti procesi. Slika može biti niskog kontrasta, a da ostane oštra. Zbog ograničene dubine polja, zamućenje udaljenih objekata ostaje najpopularniji način za prenošenje trodimenzionalnosti u fotografiji i lako se može poboljšati zamućenjem udaljenih subjekata u postprodukciji. Stoga bi manje detalja trebalo staviti u pozadinu - mozak ne očekuje prepoznatljive objekte u daljini. U međuvremenu, smanjenje kontrasta bolje odgovara prirodnoj percepciji: udaljene planine su vidljive u niskom kontrastu, a ne zamućene, jer se oko pri skeniranju krajolika stalno iznova fokusira, a problem dubine polja mu je stran. Zamagljivanjem pozadine možete istovremeno izoštriti prednji plan. Dodatno, u prvom planu možete poboljšati linije slike (High Pass Filter ili Clarity). Visoka oštrina prednjeg plana objašnjava karakterističnu neravninu na slici visokokvalitetnih sočiva. Pazite: zarad blagog povećanja trodimenzionalnosti, sliku možete učiniti previše krutom.
Lakši objekti se pojavljuju dalje. To je zbog činjenice da u prirodi vidimo udaljene objekte kroz gustinu zraka koji raspršuje svjetlost; daleke planine izgledaju lagane. U pejzažnoj fotografiji, stoga, treba paziti na postavljanje svjetlosnih objekata u prvi plan.
Osvetlite udaljene objekte. Što su dalje, to se više stapaju sa sjajem i tonom neba. Imajte na umu da su horizontalni objekti (tlo, more) bolje osvijetljeni od vertikalnih (zidovi, drveće), pa nemojte pretjerivati sa osvjetljavanjem potonjeg. U svakom slučaju, objekti bi trebali ostati osjetno lakši od neba.
Pa, ako primijetite da je izbjegavanje još jedan način da smanjite kontrast u svjetlini pozadine. Malo potamnite prednji plan kako biste poboljšali efekat bump.
Čini se da je u unutrašnjosti sve obrnuto. Ako je na ulici oko naviklo na činjenicu da je udaljenost svijetla, tada je u prostoriji svjetlost često koncentrirana na osobu, a unutrašnjost je uronjena u tamu; mozak je navikao na osvjetljenje u prednjem planu, a ne na pozadinsko osvjetljenje.
Na slikama interijera s malom dubinom scene, za razliku od pejzažnih slika, osvijetljeni model strši iz tamne pozadine. Ali postoji i suprotan faktor: tokom 99% svoje evolucije, čovjek je promatrao perspektivu na otvorenim područjima, a s pojavom prostorija, mozak još nije imao vremena za restrukturiranje. Vermeer je preferirao svijetlu pozadinu za svoje portrete, a njegovi portreti su zaista istaknuti. Osvetljenje vertikalne pozadine, koje se preporučuje u fotografiji, ne samo da odvaja model od nje, već i osvetljavanjem pozadine daje slici blagu trodimenzionalnost. Ovdje smo suočeni s činjenicom da mozak analizira lokaciju objekata prema nekoliko faktora, a oni mogu biti suprotstavljeni.
Zanimljivo izgleda studijska rasvjeta u kojoj se svjetlosne mrlje nalaze na dijelovima modela udaljenim od kamere. Na primjer, istaknuta je dojka koja je najudaljenija od kamere.
Smanjite zasićenost boja na udaljenim objektima: zbog gustoće vazduha koji nas razdvaja, udaljene planine su dezasićene skoro do nivoa monohromatske i prekrivene plavom izmaglicom. Zasićenost prednjeg plana se može povećati.
Budući da je žuta svijetla, a plava i crvena tamne, kontrast boja je također kontrast u svjetlini.
Kada smanjite zasićenost udaljene pozadine, ne dozvolite da ona nestane iz vidokruga. Često, naprotiv, morate povećati zasićenost pozadine da biste je otkrili. Ovo je važnije od trodimenzionalnosti.
Mnogi savjeti o 3D fotografiji fokusiraju se na temperaturni kontrast. U stvari, ovaj efekat je vrlo slab i lako se prekida kontrastom svjetline. Osim toga, temperaturni kontrast je neugodan i primjetan.
Veoma udaljeni objekti izgledaju hladnije boje jer vazduh upija toplu narandžastu svetlost. Kada fotografirate model na plaži s brodovima na horizontu u pozadini, smanjite temperaturu boje udaljenog mora i brodova u naknadnoj obradi. Manekenka u crvenom kupaćem kostimu izlazi iz plavog mora, a manekenka je u žutom svjetlu Ulična lampa- iz plavičastog sumraka.
Ovo je suština odvojenog toniranja: model činimo toplijim, a pozadinu hladnijom. Mozak shvaća da ne postoje različite temperature boja u istoj ravni i percipira takvu trodimenzionalnu sliku na kojoj model strši iz pozadine. Podijeljeno toniranje daje dubinu pejzažima: učinite prednji plan toplijim, a pozadinu hladnijim.
Važan izuzetak od odvojenog toniranja: pri izlasku i zalasku sunca, daleka pozadina nije nimalo hladna, već topla, sa žutim i crveno-narandžastim tonovima. Očigledno rješenje - korištenje bijelog modela u ljubičastom kupaćem kostimu - ne funkcionira jer svjetlost zalaska sunca baca toplu nijansu i na tijelo modela.
Da rezimiramo: da bi fotografija dobila trodimenzionalnost zasnovanu na atmosferskim efektima, potrebno je kontrastirati prvi plan i pozadinu. Glavni kontrast je zasnovan na uobičajenom kontrastu: prednji plan je visokog kontrasta, pozadina je niskog kontrasta. Drugi kontrast je u smislu oštrine: prednji plan je oštar, pozadina je mutna. Treći kontrast je u smislu lakoće: prednji plan je taman, pozadina je svijetla. Četvrti kontrast je u smislu zasićenja: boje prednjeg plana su zasićene, boje pozadine su nezasićene. Peti kontrast je u temperaturi: prvi plan je topao, pozadina je hladna.
Navedeni faktori su često višesmjerni. Žuta je svjetlija od plave, a svijetli objekti se pojavljuju dalje od tamnih. Bilo bi prirodno očekivati da će se žuta boja povući, a plava približiti posmatraču. U stvari, obrnuto je: topla boja izlazi iz hladne pozadine. Odnosno, ispostavlja se da je boja jači faktor od svjetline. Što, kad se razmisli, nije iznenađujuće: žuta i crvena se jasno razlikuju samo iz blizine, a gledalac ne očekuje da će ih naići na velikoj udaljenosti.
Zaključak: neka pozadina bude niskog kontrasta, isprana, svijetla, nezasićena, plavkasta. I budite spremni na činjenicu da će gledalac, naviknut na hipertrofirani 3D filmova, smatrati da je trodimenzionalnost koju ste kreirali jedva primjetna ili odsutna.
U portretnoj fotografiji bolje je osloniti se na dokazani chiaroscuro efekat - igru svjetla i sjene na licu modela, što će sliku učiniti prilično istaknutom. U žanrovskoj fotografiji, perspektiva daje najuočljiviji trodimenzionalni efekat. U mrtvoj prirodi glavni faktor će biti ukrštanje (preklapanje) objekata.
Nemojte se zanositi perspektivom; to je samo pozadina za frontalnu ravan na kojoj vaša slika leprša. U modernom slikarstvu, koje je daleko od realizma, perspektiva se ne poštuje.
Preuzmite cijelu knjigu: pdfepubazw3mobifb2litContents
GEOMETRIJSKA SLIKA ČETVORDIMENZIONALNE LOPTE.
Jegorov Nester Aleksandrovič
Student 4. godine Odsjeka za algebru i geometriju IMI NEFU, Ruska Federacija, Jakutsk
E- mail: egrvnester@ mail. ru
Popov Oleg Nikolajevič
naučni mentor, dr. tech. nauka, vanredni profesor IMI NEFU, Ruska Federacija, Jakutsk
Ovaj rad daje prikaz četverodimenzionalne lopte u četverodimenzionalnom prostoru koristeći njene trodimenzionalne presjeke. Da bi se objasnile poteškoće povezane sa percepcijom objekata u četvorodimenzionalnom prostoru, koristi se metoda koja se zasniva na razmatranju prostora nižih dimenzija. Relevantnost ovog pristupa leži u činjenici da nam omogućava razumijevanje strukture geometrijskih slika četverodimenzionalnog prostora, a također doprinosi razvoju prostornih i apstraktno razmišljanje. Ovaj rad je od interesa za srednjoškolce, studente matematike i prirodne nauke, kao i nastavnici matematike. Navodi se vizuelna metoda, bez korištenja formula, samo na temelju školski kurs geometrija.
U naučnim i popularne književnosti, u medijima se često spominju višedimenzionalni prostori i objekti. Postoje različite teorije o multidimenzionalnosti našeg univerzuma. Ljudska je priroda da geometrijske objekte predstavlja u vizuelnom obliku. Stoga mnogi, nakon što su čuli frazu "četvorodimenzionalna lopta", odmah pokušavaju da je vizualiziraju u svojoj mašti. Dobro zamišljamo dvodimenzionalnu loptu (ovo je krug koji leži na ravni), trodimenzionalna lopta je predmet koji se često susrećemo u našim životima. Ali u četverodimenzionalnom slučaju, ne možemo ni na koji način u svojoj mašti konstruirati geometrijsku sliku četverodimenzionalne lopte. To je zbog pojave četvrte dimenzije, nama nedostupne.
Formiranje čitatelju intuitivno razumljive ideje o geometrijskoj slici četverodimenzionalne lopte je cilj našeg rada. Ne koristi stroge definicije ili matematičke formule. Svi koncepti i termini koji se koriste razumiju se samo intuitivno. Sav materijal je predstavljen u popularnom obliku.
Relevantnost rada je u tome što nam omogućava da razumijemo strukturu geometrijskih slika četverodimenzionalnog prostora, a također doprinosi razvoju prostornog i apstraktnog mišljenja te je od interesa za srednjoškolce, studente fakulteta. matematičkih i prirodnih nauka, kao i nastavnici matematike.
Slika 1. a) Prava linija u četvorodimenzionalnom prostoru seče trodimenzionalnu kuglu samo u jednoj unutrašnjoj tački; b) Prava linija na ravni seče dvodimenzionalnu loptu duž segmenta; c) Prava linija koja se nalazi u prostoru seče dvodimenzionalnu loptu samo u jednoj tački
Četvorodimenzionalni prostor je u određenoj mjeri neobičan prostor. Znamo da u trodimenzionalnom prostoru prava linija siječe ograničeni trodimenzionalni konveksni volumen (na primjer, lopta) duž segmenta. Izuzetak je kada prava linija dodiruje dati objekat. U četverodimenzionalnom prostoru sve se može dogoditi drugačije. Prava linija može „probiti“ trodimenzionalnu loptu do kraja, pogodivši samo jednu unutrašnju tačku bez ometanja okoline (slika 1, a)). To omogućava 4D osobi (ako je postojala) da uzme sve naše stvari iz torbe, a da je ne otvori ili presiječe, što izgleda vrlo neobično i neobjašnjivo. Da biste ovo razumjeli, razmotrite dvodimenzionalni prostor (dvodimenzionalni prostor je ravan ugrađena u trodimenzionalni prostor). Prava linija na ravni presecaće kružnicu koja se nalazi u ravni duž segmenta, a prava linija u prostoru koja leži van ravni presecaće kružnicu samo u jednoj tački (sl. 1, b), c)).
Da bi epizoda stvari koje nedostaju iz torbe bila razumljivija, nacrtajmo dvodimenzionalnu osobu na tabli, nacrtajmo njene bubrege, kamen u bubregu. Zatim uzmemo krpu u ruke i pažljivo, ne dodirujući bubrege dvodimenzionalne osobe, obrišemo kamen (slika 2). Sada si možemo čestitati na činjenici da smo upravo uspješno obavili operaciju uklanjanja kamena iz bubrega bez upotrebe rezova i da je naš pacijent zdrav. Ono što je izvan kontrole dvodimenzionalnog hirurga ispostavilo se da je jednostavna stvar za običnu trodimenzionalnu osobu.
Slika 2. Uklanjanje kamenca iz dvodimenzionalnog bubrega od strane trodimenzionalnog doktora bez rezervi
Zatim ćemo koristiti ovu tehniku povezanu s prijelazom na nižu dimenziju kako bismo objasnili poteškoće povezane s percepcijom objekata smještenih u četverodimenzionalnom prostoru. Poteškoće percepcije dvodimenzionalne osobe kada pokušava razumjeti trodimenzionalni svijet slične su našima u percepciji četverodimenzionalnog prostora, jer ih u oba slučaja povezuje pojava nove nepristupačne dimenzije.
Dva trodimenzionalna prostora mogu se ukrštati ili biti paralelna u četvorodimenzionalnom prostoru. Razmotrimo slučaj kada se oni ukrštaju.
Slika 3. Dva trodimenzionalna prostora seku se u četvorodimenzionalnom prostoru duž ravni.
Ako se dvije ravni x i y sijeku duž prave l (slika 4), tada se trodimenzionalni prostori P i Q sijeku duž ravni α (slika 3). Za dvodimenzionalnu osobu, prava linija l (ako je neprozirna) biće zid koji deli njen svet na dva dela. A poluravnine y 1 i y 2 za njega ne postoje, jer su u trećoj dimenziji, njemu nedostupne. Za trodimenzionalnu osobu, takav zid, koji deli ceo prostor na dva dela, biće ravan α (slika 3).
Zatim razmotrite dvije ravnine x i y koje se seku, duž jedne od kojih se kotrlja dvodimenzionalna lopta (slika 4). Imajte na umu da dvodimenzionalna osoba vidi samo pravu l iz y ravni, pošto se ona nalazi u njegovom x prostoru. Poluravnine y 1 i y 2 su za njega nevidljive, tako da će dvodimenzionalna osoba koja se nalazi u x ravni vidjeti tačku (ravna lopta je dodirnula liniju), koja se zatim rascijepi (loptica je prešla liniju). Nadalje, kako se lopta kreće, točke će se razilaziti sve dok se prava linija presjeka ravnina ne poklopi s promjerom lopte, tada će se sve dogoditi obrnutim redoslijedom.
Slika 4. Dvodimenzionalna osoba vidi samo tačku dodira kruga sa njegovom ravninom
Sada nije teško shvatiti šta ćemo vidjeti, nalazeći se u trodimenzionalnom prostoru P, u slučaju kada lopta lansirana nogom fudbalera koji se nalazi u Q pređe naš prostor. Prvo na α ravni. pojaviće se tačka, koja će se odmah transformisati u postepeno rastuću kružnicu, koja je presek α ravni i lopte. Postigavši svoj maksimum, sa poluprečnikom jednakim poluprečniku fudbalske lopte, postepeno će početi da se smanjuje sve dok se ponovo ne degeneriše u tačku i nestane iz vidokruga (slika 5). Šta ćemo videti kada i sam fudbaler potrči za loptom, ostavićemo čitaocu da zamisli. Za zabavu, zamislimo šta će se dogoditi ako se fudbaler, na neki nevjerovatan način, dok se nalazi u prostoru Q, slučajno skrene u naš prostor P (vidi sliku 6).
Slika 5. Prikaz lopte koja prelazi prostor posmatrača u dinamici
Slika 6. Izgled fudbalera u svemiru P iz svemira Q
U dvodimenzionalnoj verziji, lako je zamisliti dvije paralelne ravni. Trodimenzionalni prostor se može predstaviti kao beskonačna kolekcija paralelnih „zalepljenih“ ravni. Ova ideja se može dobiti gledanjem u špil karata, gdje je svaka karta povezana s avionom ili knjigom, gdje ulogu aviona imaju listovi ove knjige.
Četvorodimenzionalni prostor takođe predstavlja kolekciju „zalepljenih“, ali već trodimenzionalnih paralelnih prostora. Pokušajte da zamislite u svojoj mašti dva paralelna (lepe zajedno), odnosno smeštena veoma blizu jedan drugom, trodimenzionalna prostora. Nećeš uspjeti. Prostori koje želimo da zamislimo u svojoj mašti ili počinju da se ukrštaju ili ne žele da se približavaju, odgurujući se jedan od drugog. Hajde da otkrijemo razlog našeg neuspjeha. Da bismo to učinili, analizirajmo kako će dvodimenzionalna osoba koja živi u x ravni pokušati zamisliti dvije paralelne ravni y i z koje leže vrlo blizu jedna drugoj. Kako za dvodimenzionalnu osobu ne postoji treća dimenzija h (slika 7a)), ona će biti prinuđena da ih smjesti u svoj prostor, iako će se u stvarnosti nalaziti okomito (ili pod nekim uglom) sijekući x ravan ( Slika 7b)). Sada odmah postaje jasno šta je razlog našeg neuspjeha. Pokušavamo da dva trodimenzionalna prostora smjestimo u jedan trodimenzionalni prostor u kojem se nalazimo (sl. 7c)), kada bi se trebali protezati duž četvrte dimenzije, nama nedostupne. Jasno je da se ne mogu držati zajedno.
Imajte na umu da se trodimenzionalni prostor može predstaviti kao trag koji je ostavila ravan kao rezultat njenog kretanja u datom pravcu (slika 8).
Slika 7. a) Dvodimenzionalna osoba pokušava zamisliti dvije paralelne ravni; b) Stvarna lokacija paralelnih ravnina; c) Pokušavamo da dva trodimenzionalna prostora stavimo u jedan trodimenzionalni prostor
Slika 8. Trodimenzionalni prostor dobijen kretanjem ravni
Sada, kao i ranije, razmotrite prostore P i Q koji se sijeku duž ravni α (slika 9a)). Svaki od prostora se može dobiti pomicanjem ravni α prema smjerovima koordinatnih osa x i t. Zatim, nacrtajmo ravan β u prostoru P na veoma maloj udaljenosti paralelnoj ravni α. Očigledno, β neće biti u prostoru Q. Počnimo da pomeramo ove ravni u pravcu t tako da u svakom trenutku t budu paralelne i blizu jedna drugoj. Tada su prostor Q i prostor Q β dobijeni kretanjem ravnina α i β, respektivno, paralelni i biće na veoma maloj udaljenosti jedan od drugog (na udaljenosti jednakoj udaljenosti između ravnina α i β , duž x dimenzije). Tada se dva trodimenzionalna tijela, na primjer, dvije kugle, smještene u potpuno različitim, ali paralelnim prostorima Q i Q β bliskim jedno drugom, mogu pokazati vrlo bliskim („zalijepljenim zajedno“) (slika 9b)).
Slika 9. a) Ravan β od sjaja P je blizu i paralelno sa α ravni i nije u prostoru Q ; b) Skupovi ravni dobijeni kretanjem ravnina α i β u pravcu t , formiraju paralelne prostore blizu jedan drugom Q I Q β Prikazane loptice koje se nalaze u ovim prostorima su blizu jedna drugoj na svim tačkama („ljepljive“ lopte)
Sav četverodimenzionalni prostor može se smatrati zbirkom paralelnih, vrlo blisko raspoređenih („zalijepljenih zajedno“) trodimenzionalnih prostora. Ako uzmemo vrijeme kao četvrtu dimenziju, tada će kretanje osobe u vremeplovu odgovarati prijelazu iz jednog paralelnog prostora u drugi. U ovom slučaju, za razliku od prostora koji se ukrštaju, kada vidimo samo poprečni presjek objekta koji se kreće kroz drugi prostor, ukrštajući naš, pred nama će se iznenada pojaviti vremenska mašina u kojoj sjedi osoba, koja će se rastvoriti u prošlost ili budućnost u zavisnosti od pravca njenog kretanja.
Dakle: shvatili smo da se trodimenzionalni prostori seku duž ravni; četvorodimenzionalni prostor se može predstaviti kao skup „zalepljenih“ paralelnih trodimenzionalnih prostora; dobio ideju o „slijepanju“ trodimenzionalnih tijela smještenih u paralelnim prostorima.
Šta je četverodimenzionalna lopta? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, analizirajmo kako je naša obična trodimenzionalna lopta strukturirana sa stanovišta dvodimenzionalne osobe. Naravno, on ne može vidjeti cijelu loptu; u njegovom vidnom polju nalazi se samo dvodimenzionalna sfera - krug koji graniči s dvodimenzionalnim krugom i predstavlja sjecište svijeta dvodimenzionalne osobe s loptom. (ono što je unutar kruga mu nije vidljivo. Slika 10 a)). Prilikom kretanja u paralelne prostore, krug će se sužavati sve dok ne degeneriše u tačku (slika 10 b)).
Slika 10. a) Dvodimenzionalna osoba može vidjeti samo dio kruga, oivičen presjekom ravnine i lopte; b) Kada se osoba kreće u paralelne ravni, krug će se postepeno degenerirati u tačku
U slučaju četverodimenzionalne lopte, vidno polje osobe ograničeno je prostorom u kojem se nalazi. Po analogiji, možemo pretpostaviti da on vidi sferu koja graniči sa loptom, koja je presek ovog trodimenzionalnog prostora sa četvorodimenzionalnom loptom. Prilikom kretanja u paralelne prostore, sfera će se takođe smanjivati u poluprečniku sve dok se ne degeneriše u tačku (slika 11 a)). Sada ćemo pokušati detaljnije razumjeti kakve kuglice vidimo i kako formiraju četverodimenzionalnu loptu.
Razmotrimo trodimenzionalnu kuglu 2 (slika 11 b)) i njene preseke paralelnim ravnima. Sveukupnost ovih paralelne ravni formiraju trodimenzionalni prostor dimenzija y, z, t, u kojem se nalazi željena lopta 2. Svaka od ovih ravni svojim kretanjem u pravcu x formira “ljepljive” trodimenzionalne prostore. Upravo u tim prostorima se nalaze trodimenzionalne kugle (vidi kuglu 1), koje uočavamo tokom (gore opisanih) prelazaka u paralelne prostore (slika 11a)). Kombinacija ovih loptica će formirati četverodimenzionalnu loptu. Dakle, četverodimenzionalna lopta je skup kuglica koje se drže jedna uz drugu u svim tačkama, smanjujući veličinu, što formira geometrijsku sliku četverodimenzionalne lopte. Međutim, ne možemo vidjeti cjelokupnu integralnu sliku lopte, jer ne možemo vidjeti van svog prostora.
Slika 11. a) Vidljivo od strane čoveka, prilikom prijelaza u paralelne prostore, lopte smanjuju veličinu; b) Četvorodimenzionalna lopta je kolekcija opadajućih „spojenih“ loptica, koje su preseci četvorodimenzionalne lopte trodimenzionalnim prostorima paralelnim sa prostorom P
Pogledajmo četverodimenzionalnu loptu s različitih strana. Posmatrač koji se nalazi u trodimenzionalnom prostoru P dimenzija y, z, t i gleda u pravcu t videće loptu (slika 12), koja se sastoji od delova kuglica koje formiraju četvorodimenzionalnu loptu (na slici 11 ovo je lopta 2).
Posmatrač koji se nalazi u prostoru Q i gleda u pravcu x će takođe videti trodimenzionalnu loptu (slika 12). Dakle, posmatrači koji se nalaze u prostorima P i Q vide istu sliku – trodimenzionalnu loptu. Međutim, kugle koje promatraju su različiti geometrijski objekti koji se nalaze u različitim prostorima i sijeku se u dvodimenzionalnom krugu.
Slika 12. Posmatrači smješteni u prostorima koji se ukrštaju P I Q vidite trodimenzionalnu loptu. Međutim, u stvarnosti oni posmatraju razne lopte koje se ukrštaju duž putanje
Nažalost, kao što je gore navedeno, naše vidno polje je ograničeno na trodimenzionalni prostor, tako da ne možemo vidjeti četverodimenzionalne slike u cjelini. Međutim, britanski matematičar Charles Hinton (1853-1907) razvio je posebnu metodu za konstruiranje modela geometrijski oblici u četvorodimenzionalnom prostoru duž njihovih trodimenzionalnih preseka. Ova metoda je detaljno opisana u dvije njegove monografije. Hinton je tvrdio da je kao rezultat dugogodišnjeg rada, zasnovanog na ovoj posebnoj metodi, naučio mentalno predstavljati geometrijske slike u četverodimenzionalnom prostoru. Također je vjerovao da će osoba koja dovoljno dobro savlada ovu metodu steći intuitivno razumijevanje četverodimenzionalnog prostora.
Bibliografija:
1. Hinton Charles H. Nova era misli, orig. 1888, preštampano 1900, od strane Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - str. 240.
|
|||||||||||||||||||||
|
Henri Poincaré je 1904. godine predložio da se svaki trodimenzionalni objekat koji ima određena svojstva trodimenzionalne sfere može pretvoriti u trodimenzionalnu sferu. Za dokazivanje ove hipoteze bilo je potrebno 99 godina. (Upozorenje: trodimenzionalna sfera nije ono što mislite da jeste.) Ruski matematičar Grigorij Perelman dokazao je Poincaréovu stogodišnju pretpostavku i završio katalog oblika u trodimenzionalnim prostorima.
Poincaré je sugerirao da je 3-sfera jedinstvena i da nijedna druga kompaktna 3-mnogostrukost (Nekompaktne mnogostrukosti su beskonačne ili imaju ivice. U nastavku se razmatraju samo kompaktne mnogostrukosti) nema svojstva koja je čine tako jednostavnim. Složeniji trostruki razdjelnici imaju granice koje stoje poput zida od cigle, ili višestruke veze između određenih područja, poput šumske staze koja se grana i zatim ponovo spaja. Bilo koji trodimenzionalni objekat sa svojstvima trodimenzionalne sfere može se sam transformisati u njega, tako da se topolozima čini da je jednostavno njegova kopija. Perelmanov dokaz nam također omogućava da odgovorimo na treće pitanje i klasifikujemo sve postojeće 3-mnogostrukosti.
Trebat će vam prilična količina mašte da zamislite 3-sferu. Srećom, ima mnogo zajedničkog sa 2-sferom, tipičan primjer za koju je guma okruglog balona: dvodimenzionalan je, budući da je svaka tačka na njoj definirana samo dvije koordinate - geografskom širinom i dužinom. Ako pogledate prilično malu površinu pod snažnim povećalom, izgledat će kao komad ravnog lista. Sićušnom insektu koji puzi po balonu izgleda da je to ravna površina. Ali ako se buger kreće pravolinijski dovoljno dugo, na kraju će se vratiti na svoju polaznu tačku. Na isti način, percipirali bismo 3-sferu veličine našeg Univerzuma kao „običan“ trodimenzionalni prostor. Nakon što smo odletjeli dovoljno daleko u bilo kojem smjeru, na kraju bismo ga "zaobišli" i završili natrag na početnoj tački.
Kao što ste možda pretpostavili, n-dimenzionalna sfera se zove n-sfera. Na primjer, 1-sfera je svima poznata: to je samo krug.
Matematičari koji dokazuju teoreme o višedimenzionalnim prostorima ne moraju zamišljati predmet proučavanja: oni se bave apstraktnim svojstvima, vođeni intuicijama zasnovanim na analogijama s manje dimenzija (takve analogije se moraju tretirati s oprezom, a ne uzimati doslovno). Takođe ćemo razmotriti 3-sferu, zasnovanu na svojstvima objekata sa manje dimenzija.
1. Počnimo gledajući krug i krug koji ga okružuje. Za matematičare, krug je dvodimenzionalna lopta, a krug je jednodimenzionalna sfera. Nadalje, lopta bilo koje dimenzije je ispunjen predmet, nalik na lubenicu, a sfera je njena površina, više kao balon. Krug je jednodimenzionalan jer se položaj tačke na njemu može odrediti jednim brojem.
2. Iz dva kruga možemo konstruirati dvodimenzionalnu sferu, pretvarajući jednu u sjevernu hemisferu, a drugu u južnu hemisferu. Ostaje samo da ih zalijepite zajedno i 2-sfera je spremna.
3. Zamislite mrava kako puzi sa Sjevernog pola duž velikog kruga koji čine početni i 180. meridijani (lijevo). Ako mapiramo njegovu putanju na dva originalna kruga (desno), vidimo da se insekt kreće pravolinijski (1) do ruba sjevernog kruga (a), zatim prelazi granicu, udara u odgovarajuću tačku na južni krug i nastavlja da prati pravu liniju (2 i 3). Tada mrav ponovo dolazi do ruba (b), prelazi ga i ponovo se nalazi na sjevernom krugu, jureći prema početnoj tački - Sjevernom polu (4). Imajte na umu da kada putujete oko svijeta na 2-sferi, smjer kretanja je obrnut kada se krećete iz jednog kruga u drugi.
4. Sada razmotrite našu 2-sferu i volumen koji se u njoj nalazi (trodimenzionalna lopta) i uradite s njima isto što i sa krugom i krugom: uzmite dvije kopije lopte i zalijepite njihove granice zajedno. Nemoguće je i nije potrebno jasno pokazati kako se kuglice iskrivljuju u četiri dimenzije i pretvaraju u analog hemisfera. Dovoljno je znati da su odgovarajuće tačke na površinama, tj. 2-sfere su međusobno povezane na isti način kao u slučaju krugova. Rezultat spajanja dvije kugle je 3-sfera - površina četverodimenzionalne lopte. (U četiri dimenzije, gdje postoje 3-sfera i 4-lopta, površina objekta je trodimenzionalna.) Nazovimo jednu loptu sjevernom hemisferom, a drugu južnom hemisferom. Po analogiji s krugovima, polovi se sada nalaze u centrima loptica.
5. Zamislite da su dotične lopte velike prazne površine prostora. Recimo da astronaut kreće sa Sjevernog pola na raketi. Vremenom dostiže ekvator (1), koji je sada sfera koja okružuje severnu loptu. Prelazeći ga, raketa pogađa južnu hemisferu i kreće se pravolinijski kroz njen centar - Južni pol- Za Suprotna strana ekvator (2 i 3). Tu se ponovo dešava prelaz na severnu hemisferu, a putnik se vraća na severni pol, tj. do početne tačke (4). Ovo je scenario za putovanje oko svijeta na površini 4-dimenzionalne lopte! Razmatrana trodimenzionalna sfera je prostor na koji se poziva Poincaréova pretpostavka. Možda je naš Univerzum upravo 3-sferna.
Rezonovanje se može proširiti na pet dimenzija i konstruisati 4-sferu, ali ovo je izuzetno teško zamisliti. Ako zalijepite dvije n-kuglice duž (n-1)-sfera koje ih okružuju, dobićete n-kuglu koja ograničava (n+1)-kuglu.
Prošlo je pola veka pre nego što je stvar o Poincareovim pretpostavkama krenula s početka. U 60-im godinama XX vijek Matematičari su dokazali slične tvrdnje kao ona za sfere od pet ili više dimenzija. U svakom slučaju, n-sfera je zaista jedina i najjednostavnija n-mnogostrukost. Začudo, pokazalo se da je lakše dobiti rezultate za multidimenzionalne sfere nego za 3- i 4-sfere. Dokaz za četiri dimenzije pojavio se 1982. I samo je originalna Poincaréova pretpostavka o 3-sferi ostala nepotvrđena.
Odlučujući korak učinjen je u novembru 2002. godine kada je Grigorij Perelman, matematičar sa filijale Matematičkog instituta u Sankt Peterburgu. Steklov, poslao je članak na web stranicu www.arxiv.org, gdje fizičari i matematičari iz cijelog svijeta raspravljaju o rezultatima svojih naučna djelatnost. Topolozi su odmah shvatili vezu između rada ruskog naučnika i Poincaréove pretpostavke, iako je autor nije direktno spomenuo.
Zapravo, Perelmanov dokaz, čiju ispravnost još niko nije mogao dovesti u pitanje, rješava mnogo širi spektar pitanja od same Poincaréove pretpostavke. Procedura geometrizacije koju je predložio William P. Thurston sa Univerziteta Cornell dozvoljava puna klasifikacija 3-manifold, koji je zasnovan na 3-sferi, jedinstven u svojoj uzvišenoj jednostavnosti. Ako bi Poincaréova pretpostavka bila lažna, tj. Kada bi postojalo mnogo prostora jednostavnih kao sfera, onda bi se klasifikacija 3-mnogostrukosti pretvorila u nešto beskonačno složenije. Zahvaljujući Perelmanu i Thurstonu, imamo kompletan katalog svih matematički mogućih oblika trodimenzionalnog prostora koje bi naš Univerzum mogao zauzeti (ako uzmemo u obzir samo prostor bez vremena).
Da biste bolje razumjeli Poincaréovu pretpostavku i Perelmanov dokaz, trebali biste pobliže pogledati topologiju. U ovoj grani matematike oblik predmeta nije bitan, kao da je napravljen od tijesta koje se može rastezati, sabijati i savijati na bilo koji način. Zašto bismo razmišljali o stvarima ili prostorima napravljenim od imaginarnog tijesta? Činjenica je da se tačan oblik objekta - rastojanje između svih njegovih tačaka - odnosi na strukturni nivo koji se zove geometrija. Ispitujući predmet iz testa, topolozi identifikuju njegova osnovna svojstva koja ne zavise od geometrijske strukture. Proučavanje topologije je kao pronalaženje najviše zajedničke karakteristike, svojstven ljudima, razmatrajući „čovjeka od plastelina“, koji se može pretvoriti u bilo koju određenu individuu.
U popularnoj literaturi često postoji izoštrena izjava da se, sa topološke tačke gledišta, šolja ne razlikuje od krofne. Činjenica je da se šolja tijesta može pretvoriti u krofnu jednostavnim drobljenjem materijala, tj. bez zasljepljivanja bilo čega ili pravljenja rupa. S druge strane, da biste napravili krofnu od kuglice, svakako morate napraviti rupu u njoj ili je uvaljati u cilindar i oblikovati krajeve, tako da lopta uopće nije krofna.
Topologe najviše zanimaju površine sfere i krofne. Stoga, umjesto čvrstih tijela, trebali biste zamisliti balone. Njihova topologija je i dalje drugačija jer se sferni balon ne može pretvoriti u prstenasti, koji se naziva torus. Prvo, naučnici su odlučili da otkriju koliko objekata sa različitim topologijama postoji i kako se mogu okarakterisati. Za 2-razdjelnike, koje smo navikli nazivati površinama, odgovor je elegantan i jednostavan: sve je određeno brojem “rupa” ili, što je isto, brojem ručki. TO kraj 19. veka V. Matematičari su shvatili kako da klasifikuju površine i utvrdili da je najjednostavnija od njih sfera. Naravno, topologi su počeli razmišljati o 3-mnogostrukostima: da li je 3-sfera jedinstvena u svojoj jednostavnosti? Stoljetna historija traženja odgovora puna je pogrešnih koraka i manjkavih dokaza.
Henri Poincaré se pomno bavio ovim pitanjem. Bio je jedan od dva najmoćnija matematičara ranog 20. veka. (drugi je bio David Gilbert). Nazivali su ga posljednjim univerzalistom - uspješno je radio u svim oblastima i čiste i primijenjene matematike. Osim toga, Poincaré je dao ogroman doprinos razvoju nebeske mehanike, teorije elektromagnetizma, kao i filozofiji nauke, o čemu je napisao nekoliko popularnih knjiga.
Poincaré je postao osnivač algebarske topologije i, koristeći njene metode, 1900. godine formulirao je topološku karakteristiku objekta, nazvanu homotopija. Da biste odredili homotopiju mnogostrukosti, morate mentalno uroniti u nju zatvorenu petlju. Tada biste trebali saznati da li je uvijek moguće sklopiti petlju do točke pomicanjem unutar razdjelnika. Za torus, odgovor će biti negativan: ako postavite petlju oko obima torusa, nećete ga moći zategnuti do tačke, jer "rupa" od krofne će stati na putu. Homotopija je broj različitih puteva koji mogu spriječiti stezanje petlje.
Na n-sferi, bilo koja petlja, čak i ona zamršeno uvijena, uvijek se može raspetljati i spojiti do tačke. (Petlji je dozvoljeno da prođe kroz samu sebe.) Poincaré je pretpostavio da je 3-sfera jedina 3-mnogostruka na kojoj se bilo koja petlja može skupiti u tačku. Nažalost, nikada nije uspio dokazati svoju pretpostavku, koja je kasnije postala poznata kao Poincaréova pretpostavka.
Perelmanova analiza 3-mnogostrukosti usko je povezana sa postupkom geometrizacije. Geometrija se bavi stvarnim oblikom predmeta i mnogostrukih oblika, koji više nisu napravljeni od tijesta, već od keramike. Na primjer, šalica i krofna su geometrijski različite jer su im površine drugačije zakrivljene. Kaže se da su šalica i krofna dva primjera topološkog torusa kojem su dati različiti geometrijski oblici.
Da biste razumjeli zašto je Perelman koristio geometrizaciju, razmotrite klasifikaciju 2-mnogostrukosti. Svakoj topološkoj površini je dodijeljena jedinstvena geometrija čija je zakrivljenost ravnomjerno raspoređena po razdjelniku. Na primjer, za sferu, ovo je savršeno sferna površina. Druga moguća geometrija za topološku sferu je jaje, ali njegova zakrivljenost nije svuda ravnomjerno raspoređena: oštar kraj je više zakrivljen od tupog kraja.
2-manifoldi formiraju tri geometrijska tipa. Sferu karakterizira pozitivna zakrivljenost. Geometrijski torus je ravan i ima nultu zakrivljenost. Svi ostali 2-razdjelnici s dvije ili više "rupa" imaju negativnu krivinu. Odgovaraju površini sličnoj sedlu, koja se ispred i iza zavija prema gore, a lijevo i desno prema dolje. Poincaré je razvio ovu geometrijsku klasifikaciju (geometrizaciju) 2-mnogostrukosti zajedno sa Paulom Koebeom i Felixom Kleinom, po kojima je Klajnova boca i dobila ime.
Postoji prirodna želja da se slična metoda primeni na 3-mnogostrukosti. Da li je moguće za svaki od njih pronaći jedinstvenu konfiguraciju u kojoj bi zakrivljenost bila ravnomjerno raspoređena po cijeloj varijanti?
Pokazalo se da su 3-mnogostruki mnogo složeniji od svojih dvodimenzionalnih kolega i većini njih se ne može pripisati homogena geometrija. Treba ih podijeliti na dijelove koji odgovaraju jednoj od osam kanonskih geometrija. Ovaj postupak podsjeća na dekompoziciju broja na proste faktore.
Kako se mnogostrukost može geometrizovati i posvuda dati uniformna zakrivljenost? Morate uzeti neku proizvoljnu geometriju s raznim izbočinama i udubljenjima, a zatim izgladiti sve nepravilnosti. Početkom 90-ih. XX vijek Hamilton je počeo analizirati 3-mnogostrukosti koristeći Riccijevu jednadžbu toka, nazvanu po matematičaru Gregoriju Ricci-Curbastru. Donekle je slična jednadžbi provođenja topline, koja opisuje tokove topline koji teku u neravnomjerno zagrijanom tijelu sve dok njegova temperatura ne postane svugdje ista. Na isti način, Riccijeva jednadžba toka specificira promjenu zakrivljenosti razdjelnika koja dovodi do poravnanja svih izbočina i udubljenja. Na primjer, ako počnete s jajetom, ono će postepeno postati sferno.
Perelman je dodao novi termin Riccijevoj jednadžbi toka. Ova promjena nije eliminirala problem posebnosti, ali je omogućila mnogo dublju analizu. Ruski naučnik je pokazao da se "hirurška" operacija može izvesti na razdjelniku u obliku bučice: odsjeći tanku cijev s obje strane nastalog suženja i zatvoriti otvorene cijevi koje vire iz kuglica sfernim kapicama. Zatim treba nastaviti mijenjati „upravljani“ razdjelnik u skladu s Riccijevom jednačinom toka, i primijeniti gornji postupak na sva nastajuća suženja. Perelman je također pokazao da se crte u obliku cigare ne mogu pojaviti. Dakle, bilo koji 3-mnogostruko može se svesti na skup dijelova sa homogenom geometrijom.
Kada se Ricci tok i "operacija" primjenjuju na sve moguće 3-mnogostrukosti, bilo koja od njih, ako je jednostavna kao 3-sfera (drugim riječima, karakterizirana istom homotopijom), nužno se svodi na istu homogenu geometriju kao i 3-sfera. To znači, sa topološke tačke gledišta, mnogostrukost o kojoj je reč je 3-sfera. Dakle, 3-sfera je jedinstvena.
Vrijednost Perelmanovih članaka nije samo u dokazu Poincaréove pretpostavke, već i u novim metodama analize. Naučnici širom svijeta već koriste rezultate ruskog matematičara u svom radu i primjenjuju metode koje je razvio u drugim oblastima. Pokazalo se da je Ricci tok povezan s takozvanom renormalizacijskom grupom, koja određuje kako se mijenja jačina interakcije ovisno o energiji sudara čestica. Na primjer, pri niskim energijama jačinu elektromagnetne interakcije karakterizira broj 0,0073 (približno 1/137). Međutim, kada se dva elektrona sudare direktno pri brzini svjetlosti, sila se približava 0,0078. Matematika koja opisuje promjenu fizičkih sila vrlo je slična matematici koja opisuje geometrizaciju mnogostrukosti.
Povećanje energije sudara je ekvivalentno proučavanju sile na manjim udaljenostima. Stoga je grupa za renormalizaciju slična mikroskopu s promjenjivim faktorom povećanja, što vam omogućava da proučavate proces na različitim razinama detalja. Isto tako, Ricci flow je mikroskop za posmatranje razvodnika. Izbočine i udubljenja vidljiva pri jednom povećanju nestaju na drugom. Vjerovatno je da na Planckovoj skali dužine (oko 10 -35 m) prostor u kojem živimo izgleda kao pjena sa složenom topološkom strukturom. Štaviše, jednačine opšta teorija Relativnost, koja opisuje karakteristike gravitacije i strukturu svemira velikih razmjera, usko je povezana s Riccijevom jednačinom toka. Paradoksalno, termin koji je Perelman dodao izrazu koji je koristio Hamilton pojavljuje se u teoriji struna, koja tvrdi da je kvantna teorija gravitacije. Moguće je da će u člancima ruskog matematičara naučnici pronaći mnogo više korisnih informacija ne samo o apstraktnim 3-mnogostrukostima, već i o prostoru u kojem živimo.
Prije nekog vremena na web stranici preprinta arXiv.org pojavila su se dva rada, posvećena problemu najgušćeg pakiranja kuglica u prostorima dimenzija 8 i 24. Do sada su slični rezultati bili poznati samo za dimenzije 1, 2 i 3 (i ovdje nije sve tako jednostavno, ali više o tome u nastavku). Proboj - a govorimo o pravom revolucionarnom iskoraku - postao je moguć zahvaljujući radu Marine Vjazovske, matematičarke ukrajinskog porijekla, koja sada radi u Njemačkoj. Priču o ovom ostvarenju ispričaćemo u deset kratkih priča.
1.
U 16. veku u Engleskoj je živeo poznati dvorski lik i pesnik Sir Walter Raleigh. Bio je poznat, pre svega, po tome što je jednom prilikom bacio svoj skupoceni ogrtač u lokvicu pred kraljicom kako Njeno Veličanstvo ne bi uprljalo noge. Ali nije nam zato zanimljiv.
Sir Walter Raleigh je imao strast - zaista je volio pljačkati španske brodove i tražiti Eldorado. A onda je jednog dana Raleigh ugledao gomilu naslaganih topovskih kugli na brodu. I pomislio sam (ovo se dogodilo britanskim dvorjanima), kažu, bilo bi lijepo kada bi bilo moguće saznati koliko je jezgara u hrpi bez brojanja. Korist od takvog znanja, posebno ako volite da pljačkate špansku flotu, je očigledna.
Walter Raleigh
Sam Raleigh nije bio baš dobar u matematici, pa je ovaj problem dodijelio svom pomoćniku Thomasu Herriotu. On je, pak, bio jak u matematici (Harriott je, inače, izumitelj znakova ">" i "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Za komentar se obratio poznatom matematičaru svog vremena Johanesu Kepleru - u to vrijeme pomoćniku Tycho Brahea. Kepler nije dao odgovor, ali se sjetio problema. Godine 1611. objavio je malu brošuru u kojoj je raspravljao o četiri pitanja: zašto pčele imaju šestougaone saće, zašto se latice cvijeća najčešće grupišu u pet ( Kepler je vjerovatno samo mislioRosaceae - cca. N+1), zašto zrna granata imaju oblik dodekaedara (iako nepravilnih) i zašto, konačno, pahulje imaju oblik šesterokuta.
Johannes Kepler
Brošura je bila zamišljena kao poklon, pa je bila više filozofsko i zabavno štivo nego pravi naučni rad. Kepler je odgovor na prvo pitanje povezao sa dva uslova - ne bi trebalo da bude praznina između ćelija, a zbir površina ćelija treba da bude minimalan. Autor je drugo pitanje povezao sa Fibonačijevim brojevima, a razgovor o pahuljama nagnao je Keplera da govori o atomskim simetrijama.
Treće pitanje je dovelo do hipoteze da heksagonalno zatvoreno pakovanje(na slici ispod) je najgušći (što znači da je i ovo u matematičkom smislu ispod). Naravno, Kepler nije smatrao potrebnim da se poziva na Hariota. Stoga se ova izjava naziva Keplerova hipoteza. Stiglerov zakon - poznat i kao Arnoldov princip - je u akciji.
Da, 7 godina nakon objavljivanja ove brošure, glava Sir Waltera Raleigha je odsječena. Međutim, to nije imalo nikakve veze sa problemom gustog pakovanja.
2.
Prema modernim standardima, problem koji je Harriot riješio nije bio težak. Stoga, hajde da ga detaljnije analiziramo. A u isto vrijeme, bolje ćemo razumjeti kako funkcionira heksagonalno zatvoreno pakovanje.
Dakle, glavni uslov je da se gomila zrna ne otkotrlja tokom valjanja. Dakle, postavljamo jezgra u red na palubi. Zrna postavljamo u sljedeći red tako da se kuglice postavljaju u praznine između kuglica prvog reda. Ako ima n loptica u prvom redu, onda ih ima n - 1 u drugom redu (jer ima jedan manje razmaka između loptica od samih loptica). Sljedeći red će imati jedno jezgro manje. I tako sve dok ne dobijemo ovakav trokut (ako pogledate izgled odozgo):
Oni koji se sjećaju šta je aritmetička progresija mogu lako izračunati da ako je u prvom redu bilo n kuglica, onda je u takvom trouglu ukupno n(n + 1)/2 kuglice. Ako pogledate odozgo, između kuglica postoje zgodni žljebovi. Ovdje ćemo staviti drugi sloj kuglica. Rezultat je trougao organiziran kao i prvi, samo sa jednom loptom manje na strani. To znači da smo dodali n(n - 1)/2 loptice u gomilu.
Nastavimo sa dodavanjem slojeva dok ne dobijemo sloj od jedne kuglice. Dobili smo trouglastu piramidu od jezgara. Da biste saznali koliko jezgara ima ukupno, potrebno je da zbrojite broj jezgara u svakom sloju. Ako je prvi sloj imao stranu n, onda dobijamo n slojeva, što će ukupno dati n(n + 1)(n + 2)/6. Radoznali čitalac će primijetiti da je to upravo binomni koeficijent C 3 n + 2. Ova kombinatorna koincidencija nije bez razloga, ali nećemo ulaziti u nju.
Inače, pored ovog zadatka, Herriot je mogao otprilike odrediti koliki udio zrna zauzimaju u dovoljno velikoj posudi, ako uzmemo oblik potonjeg kao kocka. Pokazalo se da je razlomak π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
Šta ta riječ znači najgušći u opisu problema? Raleigh, Harriot i sam Kepler nisu dali tačan odgovor na ovo. To je značilo najgušći u nekom razumnom smislu. Međutim, ova formulacija nije prikladna za matematiku. Treba to razjasniti.
Hajdemo prvo da se spustimo u jednu dimenziju i vidimo kako sve funkcioniše u avionu. Za dvodimenzionalni slučaj, problem se pretvara u ovo: neka je ravni dat beskonačan skup krugova koji se ne sijeku u unutrašnjosti (ali se eventualno dodiruju – to jest, imaju zajedničku tačku na granici). Nacrtajmo kvadrat. Izračunajmo zbir površina dijelova krugova koji padaju unutar kvadrata. Uzmimo omjer ove sume i površine kvadrata, pa ćemo povećati stranu kvadrata gledajući promjenu omjera.
Dobijamo funkciju f(a), Gdje a- strana kvadrata. Ako imamo sreće, onda ova funkcija raste argument će se asimptotski približiti određenom broju. Ovaj broj se naziva gustina datog paketa. Važno je da sama funkcija u nekom trenutku može dati vrijednost veću od gustine. Zaista, ako je kvadrat mali, onda se u potpunosti uklapa u krug i određeni omjer je jednak 1. Ali nas zanima prosječna gustoća, to jest, neformalno govoreći, „za kvadrat s dovoljno velikom stranom. ”
Među svim takvim gustoćama može se naći maksimum. Upravo će se to, kao i ambalaža koja to implementira, nazvati najgušćim.
„Najbliže pakovanje nije nužno jedino (u asimptotičkom smislu). Postoji beskonačan broj gustih pakovanja u 3-dimenzionalnom prostoru i Kepler je to znao”, kaže Oleg Musin sa Univerziteta Teksas u Braunsvilu.
Nakon što smo definirali koncept najčvršćeg pakiranja, lako je razumjeti da se takva definicija može lako proširiti na prostor proizvoljne dimenzije n. Zaista, zamijenimo krugove kuglicama odgovarajuće dimenzije, odnosno skupom tačaka, od kojih udaljenost od fiksne točke (koja se zove centar) ne prelazi određenu vrijednost koja se naziva polumjer kugle. Hajde da ih ponovo rasporedimo tako da se bilo koja dva, u najboljem slučaju, dodiruju, au najgorem slučaju, nemaju uopšte zajedničkih tačaka. Definirajmo istu funkciju kao u prethodnom slučaju, uzimajući volumen n-dimenzionalne kocke i zbir volumena odgovarajućih n-dimenzionalnih kuglica.
4.
Dakle, razumijemo da je Keplerova hipoteza problem o najgušćem pakovanju trodimenzionalnih kugli u trodimenzionalnom prostoru. Šta je sa avionom (otkad smo počeli s njim)? Ili čak sa prave linije? S pravom linijom, sve je jednostavno: lopta na pravoj liniji je segment. Prava linija može biti potpuno prekrivena identičnim segmentima koji se sijeku na krajevima. Sa takvom pokrivenošću, funkcija f(a) je konstantan i jednak 1.
U avionu je sve ispalo nešto komplikovanije. Dakle, počnimo sa skupom tačaka na ravni. Kažemo da ovaj skup tačaka formira mrežu ako možemo pronaći par vektora v i w tako da se sve tačke dobiju kao N*v + M*w, gdje su N i M cijeli brojevi. Na sličan način, rešetka se može definirati u prostoru proizvoljno velikih dimenzija - samo zahtijeva više vektora.
Rešetke su važne iz mnogo razloga (na primjer, mjesta rešetke su mjesta gdje atomi radije budu smješteni kada su u pitanju čvrsti materijali), ali za matematičare su dobre jer su vrlo zgodne za rad. Stoga se od svih paketa posebno izdvaja klasa u kojoj se centri kuglica nalaze na čvorovima rešetke. Ako se ograničimo na ovaj slučaj, tada postoji samo pet vrsta rešetki na ravni. Najgušće pakiranje od njih proizvodi onaj u kojem su tačke raspoređene na vrhovima pravilnih šesterokuta - poput saća kod pčela ili atoma u grafenu. Ovu činjenicu je dokazao Lagrange 1773. godine. Preciznije: Lagrangea nisu zanimala gusta pakovanja, već su ga zanimale kvadratne forme. Već u XX je postalo jasno da iz njegovih rezultata o oblicima slijedi rezultat o gustoći pakiranja za dvodimenzionalne rešetke.
“Godine 1831. Ludwig Sieber je napisao knjigu o ternarnim kvadratnim formama. Ova knjiga iznela je pretpostavku koja je ekvivalentna Keplerovoj pretpostavci za rešetkasta pakovanja. Sam Sieber je uspio dokazati samo slabu formu svoje hipoteze i testirati je na velikom broju primjera. Ovu knjigu je recenzirao veliki Carl Friedrich Gauss. U ovoj recenziji, Gauss pruža zaista neverovatan dokaz, koji staje u 40 redova. Ovaj, kako sada kažemo, „olimpijski“ dokaz razumljiv je srednjoškolcu. Mnogi matematičari su pokušavali da pronađu skriveno značenje u Gaussovom dokazu, ali do sada nikome nije pošlo za rukom”, kaže Oleg Musin.
Međutim, šta će se dogoditi ako napustimo stanje mreže? Ovdje sve ispada nešto komplikovanije. Prvi potpuni pokušaj rješavanja ovog slučaja napravio je norveški matematičar Axel Thue. Ako pogledate stranicu posvećenu Thueu na Wikipediji, tamo nećete pronaći ništa o čvrstom pakovanju. To je i razumljivo – Thue je objavio dva rada koja su više podsjećala na eseje nego na obične matematičke radove, u kojima je, kako mu se činilo, u potpunosti riješio problem gustog pakovanja. Jedini problem je bio u tome što niko osim samog Thuea nije bio ubijeđen njegovim obrazloženjem.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Problem je konačno riješio mađarski matematičar Laslo Fejes Toth 1940. godine. Ispostavilo se, inače, da je raspored krugova na ravni koja ostvaruje najgušće pakovanje jedini.
5.
Usko povezan sa problemom zatvaranja pakovanja je problem kontakt broja. Pogledajmo ponovo krug na ravni. Koliko krugova istog polumjera se može postaviti oko njega tako da svi dodiruju središnji? Odgovor je šest. Zaista, pogledajmo dva susjedna kruga koji dodiruju naš središnji. Pogledajmo udaljenost od centra centralnog kruga do centara ova dva. Jednako je 2R, Gdje R- radijus kruga. Udaljenost između centara susjednih krugova ne prelazi 2R. Računajući ugao u centru centralnog kruga koristeći kosinus teorem, nalazimo da on nije manji od 60 stepeni. Zbir svih centralnih uglova treba da daje 360 stepeni, što znači da takvih uglova ne može biti više od 6. A znamo gde se nalaze kružnice sa šest uglova.
Rezultirajući broj se zove kontaktni broj aviona. Slično pitanje se može postaviti za prostore bilo koje dimenzije. Neka jednostavnost rješenja u avionu ne zavara čitaoca - problem kontaktnih brojeva, ako je jednostavniji od problema bliskog pakovanja, nije mnogo jednostavniji. Ali u ovom pravcu je zapravo postignuto više rezultata.
Za trodimenzionalni prostor, kontaktni broj je postao predmetom javnog spora između samog Isaaca Newtona i Jamesa Gregoryja 1694. godine. Prvi je smatrao da kontaktni broj treba da bude 12, a drugi - da 13. Stvar je u tome što oko centralne nije teško postaviti 12 loptica - centri takvih loptica leže na vrhovima pravilnog ikosaedra (on ima ih tačno 12). Ali ove lopte se ne dodiruju! Na prvi pogled se čini da se mogu pomeriti da prođe još jedna, 13. lopta. To je gotovo tačno: ako se lopte malo razmaknu, praveći razmak između njihovih centara i središta središnjeg 2R, ali ukupno 2.06R, tada će 13 loptica već stati. Ali za dodirivanje lopti Gregory je pogriješio - ovu činjenicu su dokazali van der Waarden i Schutte 1953. godine.
Za dimenziju 4, ovaj problem je riješio Oleg Musin 2003. godine. Tamo se ispostavilo da je kontakt broj 24.
6.
Pored ovih dimenzija 1, 2, 3 i 4, poznati su i kontakt brojevi u dimenzijama 8 i 24. Zašto baš te dimenzije? Činjenica je da za njih postoje vrlo zanimljive rešetke, nazvane E8 i Leach rešetka.
Dakle, već smo saznali šta je rešetka. Važna karakteristika rešetke za matematiku je njena simetrija. Pod simetrijom podrazumevamo, naravno, ne subjektivne senzacije (a ko bi zamislio ovu rešetku u dimenzijama, na primer, četiri?), već broj različitih tipova kretanja prostora koji ovu rešetku prevode u sebe. Objasnimo na primjeru.
Uzmimo istu heksagonalnu rešetku koja ostvaruje najbliže pakovanje na ravni. Lako je razumjeti da se rešetka pretvara u sebe ako je pomjerite za vektore v i w koji su bili u definiciji. Ali, pored toga, rešetka se može rotirati oko središta šesterokuta. I postoji 6 takvih rotacija: 0, 60, 120, 180, 240, 300 stepeni. Osim toga, rešetka se može prikazati simetrično oko bilo koje ose simetrije kompozitnog šesterokuta. Mala vježba pokazuje da, ne računajući smjene, dobijamo 12 transformacija. Druge rešetke imaju manje takvih transformacija, pa kažemo da su manje simetrične.
Dakle, E8 i Leachova rešetka su nevjerovatno simetrične rešetke. E8 se nalazi u 8-dimenzionalnom prostoru. Ovu rešetku su 1877. godine izmislili ruski matematičari Korkin i Zolotarev. Sastoji se od vektora čije su sve koordinate cijeli brojevi, a njihov zbir je paran. Takva rešetka, minus pomaci, ima 696.729.600 transformacija. Lich Grid postoji u dvadesetčetvorodimenzionalnom prostoru. Sastoji se od vektora sa celobrojnim koordinatama i uslovom - zbir koordinata minus bilo koje koordinate pomnožene sa 4 podeljen je sa 8. Ima jednostavno kolosalan broj simetrija - 8,315,553,613,086,720,000 komada.
Dakle, u 8-dimenzionalnom i 24-dimenzionalnom prostoru, kugle koje se nalaze na vrhovima ovih istih rešetki dodiruju 240 odnosno 19650 kuglica. Iznenađujuće, to su upravo kontakt brojevi (vidi tačku 5) za prostore odgovarajuće dimenzije.
7.
Vratimo se sada trodimenzionalnom slučaju i Keplerovoj hipotezi (onoj o kojoj smo govorili na samom početku). Ovaj zadatak se pokazao višestruko težim od svojih prethodnika.
Počnimo s činjenicom da postoji beskonačno mnogo pakovanja iste gustine kao i heksagonalna gustoća. Počeli smo ga polagati, počevši od loptica položenih na čvorovima šesterokutne rešetke. Ali to možete učiniti drugačije: na primjer, na prvom nivou, presavijte kuglice u kvadrat, to jest, tako da se vrhovi kuglica nalaze na čvorovima već kvadratne rešetke. U ovom slučaju, svaka lopta dodiruje četiri susjeda. Drugi sloj, kao iu slučaju heksagonalnog, postavlja se na vrh u prazninama između kuglica prvog sloja. Ovo pakovanje se zove kubično pakovanje sa licem u centru. Ovo je, inače, jedino najgušće rešetkasto pakovanje u svemiru.
Na prvi pogled se čini da bi ovo pakovanje trebalo da bude gore, jer su praznine između četiri kuglice u prvom sloju mnogo veće (na osećaj) od praznina u heksagonalnom gustom pakovanju. Ali kada postavimo drugi red, kuglice - upravo zato što su praznine veće - tonu dublje. Kao rezultat toga, kako se ispostavilo, gustina je ista kao i prije. U stvari, naravno, trik je u tome što se takav paket dobije ako se šesterokutni pogleda iz drugog ugla.
Ispostavilo se da u trodimenzionalnom prostoru ne postoje tako lijepe jedinstvene rešetke kao, na primjer, heksagonalne na ravni ili E8 u 8-dimenzionalnom prostoru. Na prvi pogled potpuno je nejasno kako tražiti najbliže pakovanje u trodimenzionalnom prostoru.
8.
Rješenje Keplerove hipoteze nastalo je u nekoliko faza.
Prvo, Fejes Toth, isti Mađar koji je riješio problem bliskog pakiranja u neravnini, iznio je sljedeću hipotezu: da bi se razumjelo da li je pakovanje blisko ili ne, dovoljno je razmotriti konačne skupove kuglica. Kako smo saznali, za razliku od aviona, ako centralna lopta dotakne 12 susjeda, onda između njih postoje praznine. Stoga je Fejes Toth predložio proučavanje klastera koji se sastoje od centralne lopte, njenih susjeda i susjeda susjeda.
Stvar je u tome što je ova pretpostavka nastala 60-ih godina prošlog veka. A problem minimiziranja volumena takvog klastera je u suštini nelinearni problem optimizacije za funkciju od približno 150 varijabli (svaka lopta ima centar, određena je sa tri koordinate). Grubo govoreći, takva funkcija treba da pronađe minimum pod nekim dodatnim uslovima. S jedne strane, zadatak je postao konačan, ali je s druge strane potpuno nepremostiv sa računske tačke gledišta za ljude. Ali Fejes Toth nije bio uznemiren i rekao je da će vrlo brzo kompjuteri imati potrebnu računarsku snagu. Oni će pomoći.
Matematičarima se jako svidjela hipoteza Fejesa Thotha i počeli su aktivno raditi u tom pravcu. Do početka 90-ih, procjene maksimalne gustine pakovanja sfera u trodimenzionalnom prostoru su se postepeno smanjivale. Ideja je bila da bi u nekom trenutku procjena bila jednaka gustini kubnog pakovanja centriranog na lice i, prema tome, Keplerova hipoteza bi bila dokazana. Za to vrijeme matematičar Thomas Hales objavio je svoje prve radove o ambalaži. Za svoj rad odabrao je objekt nazvan Delaunay zvijezde (po sovjetskom matematičaru Borisu Delaunayu). Ovo je bio hrabar korak - u tom trenutku je bila upitna efikasnost takvih objekata za proučavanje problema pakovanja.
Nakon samo 8 godina napornog rada, 1998. godine, Hales je završio dokaz Keplerove hipoteze. Dokaz je sveo na konačno kombinatorno pretraživanje različitih struktura kao što su Delaunayjeve zvijezde. Za svaku takvu kombinatornu strukturu bilo je potrebno maksimizirati gustoću. Budući da kompjuter normalno radi samo s cijelim brojevima (jednostavno zato što su u matematici brojevi najčešće beskonačni razlomci), onda je za svaki slučaj Delaunay automatski napravio aproksimaciju odozgo koristeći simboličke racionalne proračune (racionalni brojevi, uostalom, ako ih ne pretvorite na decimalne razlomke, samo nekoliko cijelih brojeva). Uz ovu aproksimaciju, on je odozgo dobio procjenu maksimalne gustine. Kao rezultat toga, ispostavilo se da su sve procjene manje od onih koje je dalo kubično pakovanje sa centrom lica.
Mnogi matematičari su, međutim, bili zbunjeni situacijom u kojoj je napravljen kompjuter za konstruisanje aproksimacije. Kako bi dokazao da nije imao grešaka u kompjuterskom dijelu dokaza, Hales je započeo formalizaciju i verifikaciju, doduše i uz pomoć kompjutera. Ovaj posao, koji je izveo prilično veliki međunarodni tim, završen je u avgustu 2014. godine. U dokazu nisu pronađene greške.
9.
Dokazi za dimenzije 8 i 24 ne zahtijevaju kompjuter i nešto su jednostavniji. Prije nekog vremena dobivene su vrlo dobre procjene za procjenu maksimalne gustine pakovanja u ovim dimenzijama. To su uradili matematičari Kohn i Elkies 2003. godine. Inače, ovu procjenu (koja se naziva i Kohn-Elkies granica) pronašao je ruski matematičar Dmitrij Gorbačov iz Tule nekoliko godina prije samih Kohna i Elkiesa. Međutim, objavio je ovo djelo na ruskom jeziku iu časopisu Tula. Kon i Elkies nisu znali za ovaj rad, a kada im je rečeno, oni su se, uzgred, pozvali na njega.
„Granica Kohn-Elkies se pojavila na osnovu rada Jean-Frederika Delsartea i naših divnih matematičara Grigorija Kabatjanskog i Vladimira Levenshteina. Asimptotička (u smislu dimenzije prostora) procjena gustine pakovanja kuglica u n-dimenzionalnom prostoru, koju su dobili Kabatyansky i Levenshtein, "stoji" od 1978. Inače, upravo su Levenshtein i samostalno Amerikanci Odlyzhko i Sloan riješili problem kontaktnih brojeva u dimenzijama 8 i 24 1979. godine. Oni su direktno koristili metodu Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein”, kaže Oleg Musin.
Procjene Kohna i Elkiesa su zapravo tačne za sva pakovanja, ali u dimenzijama 8 i 24 daju vrlo dobru aproksimaciju. Na primjer, procjena matematičara je samo oko 0,0001 posto veća od gustine E8 u osmodimenzionalnom prostoru. Stoga se pojavio zadatak poboljšati ovu procjenu - uostalom, rješenje je, čini se, već blizu. Štaviše, 2012. je isti Dmitrij Gorbačov prijavio (i osvojio) grant od Fondacije Dynasty. U prijavi je eksplicitno naveo da planira dokazati gustinu pakovanja E8 u osmodimenzionalnom prostoru.
Kažu da je Gorbačova na takvu hrabru izjavu potaknuo drugi matematičar, Andrej Bondarenko, u suštini mentor, jedan od naučnih supervizora Marine Vjazovske, one koja je rešila problem za 8-dimenzionalni prostor (i koautor, za 24-dimenzionalni prostor). Bondarenku se zahvaljuje na kraju svog revolucionarnog rada. Dakle, Bondarenko i Gorbačov nisu uspjeli, ali Vyazovskaya jeste. Zašto?
Marina Vyazovskaya
Humboldtov univerzitet u Berlinu
Kohn-Elkiesova procjena povezuje gustinu pakiranja sa svojstvom neke funkcije iz odgovarajućeg skupa. Grubo govoreći, procjena se konstruiše za svaku takvu funkciju. Odnosno, glavni zadatak je pronaći odgovarajuću funkciju tako da se rezultirajuća procjena pokaže onom koja nam je potrebna. Dakle, ključni sastojak u izgradnji Vyazovske su modularni oblici. Već smo ih spomenuli u vezi sa dokazom Fermatove posljednje teoreme, za koju. Ovo je prilično simetričan objekat koji se stalno pojavljuje u raznim granama matematike. Upravo nam je ovaj alat omogućio da pronađemo željenu funkciju.
U 24-dimenzionalnom prostoru procjena je dobijena na isti način. Ovo djelo ima više autora, ali je zasnovano na istom ostvarenju Vjazovske (iako, naravno, malo adaptirano). Inače, u radu je dokazana još jedna izuzetna činjenica: Leachova rešetka ostvaruje jedino periodično najbliže pakovanje. To jest, svi ostali periodični paketi imaju gustinu manju od ove. Prema riječima Olega Musina, sličan rezultat za periodična pakiranja može biti istinit u dimenzijama 4 i 8.
10.
Sa stanovišta primjene, problem gustog pakiranja u visokodimenzionalnim prostorima prvenstveno je problem optimalnog kodiranja za ispravljanje grešaka.
Zamislimo da Alice i Bob pokušavaju komunicirati pomoću radio signala. Alice kaže da će poslati Bobu signal koji se sastoji od 24 različite frekvencije. Bob će izmjeriti amplitudu svake frekvencije. Kao rezultat, on će imati set od 24 amplitude. Oni, naravno, definišu tačku u 24-dimenzionalnom prostoru - na kraju krajeva, ima ih 24. Bob i Alice uzimaju, recimo, Dahl rečnik i svakoj reči dodeljuju sopstveni skup od 24 amplitude. Ispostavilo se da smo riječi iz Dahlovog rječnika kodirali tačkama 24-dimenzionalnog prostora.
U idealnom svijetu ništa drugo nije potrebno. Ali stvarni kanali podataka dodaju šum, što znači da tokom dekodiranja Bob može primiti skup amplituda koji ne odgovara niti jednoj riječi. Ali tada može pogledati riječ koja je najbliža dešifriranoj verziji. Ako postoji, onda to najvjerovatnije znači da je to to. Da biste to uvijek mogli učiniti, potrebno je da tačke prostora budu što dalje jedna od druge. To jest, na primjer, ako je nivo šuma takav da se unosi distorzija koja pomiče rezultat za vektor dužine ne više od jedan, tada dvije kodne točke moraju biti točno na udaljenosti od najmanje dvije. Tada će, čak i uz izobličenja, Bobov rezultat uvijek biti blizak jednoj jedinoj riječi - onoj koja je potrebna.
U isto vrijeme, također ne želim naduvavati puno riječi - imamo prilično ograničen raspon u kojem možemo prenijeti informacije. Na primjer, biće čudno (i ne baš efikasno) ako Alice i Bob počnu komunicirati u rendgenskom rasponu. Stoga bi u idealnom slučaju udaljenost između susjednih kodnih riječi trebala biti točno dvije. A to znači da se riječi nalaze na vrhovima kuglica radijusa 1, čvrsto upakovanih u 24-dimenzionalni prostor.
