20. Ekvivalentne formule predikatske logike

21. Ekvivalentne formule predikatske logike

22. Ekvivalentne formule predikatske logike

23. Zakoni logičkih operacija (općenito važeće formule predikatske logike)

24. Vježba

25. Vježba

26.

27.

Logika i argumentacija: Udžbenik. priručnik za univerzitete. Ruzavin Georgij Ivanovič

4.2. Kvantifikatori

4.2. Kvantifikatori

Značajna razlika između predikatske i propozicionalne logike je i to što prva uvodi kvantitativnu karakteristiku iskaza ili, kako se kaže u logici, kvantificira ih. Već u tradicionalnoj logici sudovi su klasifikovani ne samo po kvalitetu, već i po kvantitetu, tj. opšti sudovi su se razlikovali od pojedinačnih i pojedinačnih. Ali nije bilo teorije o povezanosti između njih. Moderna logika razmatra kvantitativne karakteristike iskaza u posebnoj teoriji kvantifikacije, koja je sastavni dio predikatskog računa.

Za kvantifikaciju (kvantitativne karakteristike) iskaza, ova teorija uvodi dva glavna kvantifikatora: opšti kvantifikator, koji ćemo označiti simbolom (x), i egzistencijalni kvantifikator, označen simbolom (Ex). Postavljaju se neposredno ispred iskaza ili formula na koje se odnose. U slučaju kada kvantifikatori imaju širi opseg, zagrade se stavljaju ispred odgovarajuće formule.

Opšti kvantifikator pokazuje da predikat označen određenim simbolom pripada svim objektima date klase ili univerzuma rasuđivanja.

Dakle, propozicija: “Sva materijalna tijela imaju masu” može se prevesti na simbolički jezik na sljedeći način:

gdje x - označava materijalno tijelo:

M - masa;

(x) je opšti kvantifikator.

Slično, izjava o postojanju ekstrasenzornih fenomena može se izraziti kroz kvantifikator postojanja:

gdje x označava fenomene:

E - svojstvo ekstrasenzorne percepcije svojstveno takvim pojavama;

(Ex) je egzistencijalni kvantifikator.

Koristeći kvantifikator općenitosti, možete izraziti empirijske i teorijske zakone, generalizacije o povezanosti fenomena, univerzalne hipoteze i druge opšte tvrdnje. Na primjer, zakon toplinskog širenja tijela može se simbolički predstaviti kao formula:

(x) (T(x) ? P(x)),

gdje je (x) opći kvantifikator;

T(x) - tjelesna temperatura;

P(x) je njegova ekstenzija;

Znak implikacije.

Egzistencijalni kvantifikator se odnosi samo na određeni dio objekata iz datog univerzuma rasuđivanja. Stoga se, na primjer, koristi za simbolično pisanje statističkih zakona koji navode da se osobina ili relacija primjenjuje samo za karakterizaciju određenog dijela objekata koji se proučavaju.

Uvođenje kvantifikatora omogućava, prije svega, transformaciju predikata u određene iskaze. Sami predikati nisu ni istiniti ni lažni. Oni postaju takvi ako se konkretnim iskazima ili zamjene varijable, ili, ako su povezani kvantifikatorima, budu kvantificirani. Na osnovu toga uvodi se podjela varijabli na vezane i slobodne.

Varijable koje potpadaju pod utjecaj znakova kvantifikatora općenitosti ili postojanja nazivaju se vezane. Na primjer, formule (x) A (x) i (x) (P (x) ? Q (x)) sadrže varijablu x. U prvoj formuli, opšti kvantifikator stoji neposredno ispred predikata A(x), u drugoj, kvantifikator proširuje svoju akciju na varijable uključene u prethodni i naredni termin implikacije. Slično tome, egzistencijalni kvantifikator se može odnositi i na poseban predikat i na njihovu kombinaciju, formiranu pomoću logičkih operacija negacije, konjunkcije, disjunkcije itd.

Slobodna varijabla ne podliježe kvantifikatorskim znacima, tako da karakterizira predikat ili propozicionu funkciju, a ne iskaz.

Koristeći kombinaciju kvantifikatora, moguće je izraziti prilično složene rečenice prirodnog jezika simboličkim jezikom logike. U ovom slučaju, iskazi u kojima se govori o postojanju objekata koji zadovoljavaju određeni uslov uvode se pomoću kvantifikatora postojanja. Na primjer, izjava o postojanju radioaktivnih elemenata piše se pomoću formule:

gdje R označava svojstvo radioaktivnosti.

Izjava da postoji opasnost da pušač dobije rak može se izraziti na sljedeći način: (Ex) (K(x) ? P(x)), gdje K označava svojstvo “biti pušač”, a P - “ dobijanje raka”. Uz određene rezerve, ista stvar bi se mogla izraziti” pomoću opšteg kvantifikatora: (x) (K(x) ? P(x)). Ali izjava da svako ko puši može dobiti rak bila bi netačna, pa je zato najbolje pisati koristeći kvantifikator postojanja, a ne kvantifikator općenitosti.

Opšti kvantifikator se koristi za izjave koje navode da je određeni predikat A zadovoljen bilo kojim objektom u njegovom rasponu vrijednosti. U nauci, kao što je već spomenuto, opći kvantifikator se koristi za izražavanje iskaza univerzalne prirode, koji se verbalno predstavljaju pomoću fraza kao što su „za svakoga“, „svakog“, „bilo koji“, „bilo koji“ itd. Negirajući kvantifikator općenitosti, mogu se izraziti općenito negativne izjave, koje se u prirodnom jeziku uvode riječima „nitko“, „nitko“, „nitko“ itd.

Naravno, pri prevođenju iskaza prirodnog jezika u simbolički jezik nailazi se na određene poteškoće, ali se postiže potrebna tačnost i nedvosmisleno izražavanje misli. Međutim, ne može se misliti da je formalni jezik bogatiji od prirodnog jezika, u kojem nije izraženo samo značenje, već i njegove različite nijanse. Stoga možemo govoriti samo o preciznijem prikazu izraza prirodnog jezika kao univerzalnog sredstva izražavanja misli i njihove razmjene u procesu komunikacije.

Najčešće se kvantifikatori općenitosti i postojanja pojavljuju zajedno. Na primjer, da bismo simbolički izrazili izjavu: “Za svaki realan broj x, postoji broj y takav da će x biti manji od y”, predikat “biti manji” označavamo simbolom<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Iz same definicije kvantifikatora općenitosti i postojanja odmah proizilazi da između njih postoji određena veza, koja se obično izražava korištenjem sljedećih zakona.

1. Zakoni permutacije kvantifikatora:

(x) (y) A ~ (y) (x) A;

(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;

2. Zakoni negacije kvantifikatora:

¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;

¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;

3. Zakoni međusobne izražajnosti kvantifikatora:

(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;

(Ex) A ~ ¬ (x) ¬ A.

Ovdje A označava bilo koju formulu objektnog (subjektnog) jezika. Značenje negacije kvantifikatora je očigledno: ako nije tačno da za bilo koje x A važi, onda postoji x za koje A ne važi. Iz toga također slijedi da ako bilo koji x ima A, onda ne postoji x koji nema-A, što je simbolički predstavljeno u prvom zakonu međusobnog izražavanja.

U logici predikata smatraju se dvije operacije koje pretvaraju predikat na jednom mjestu u iskaz; u tu svrhu se koriste posebne riječi koje se stavljaju ispred predikata. U logici se nazivaju kvantifikatorima.

Postoje dvije vrste kvantifikatora:

1. Opšti kvantifikator;

2. Kvantifikator postojanja.

1. Opšti kvantifikator.

Neka postoji predikat P(x) definisan na skupu M

Simbol se zove univerzalni kvantifikator(zajednica). Ovo je obrnuto prvo slovo engleske riječi All - everything. Čitaju “svi”, “svi”, “bilo koji”, “svi”. Varijabla x in predikat P(x) se zove besplatno ( može mu se dati različita značenja od M), do izjava zovu x povezane univerzalni kvantifikator.

Primjer br. 1: P(x) – “Prosti broj x je neparan”

Dodajmo opšti kvantifikator - "Svaki prost broj x je neparan" - lažna izjava.

Izraz je izjava koja je tačna kada je P(x) tačna za svaki element x iz skupa M i netačna u suprotnom. Ova izjava više ne zavisi od x.

2. Kvantifikator postojanja.

Neka je P(x) - predikat definisano na skupu M. Pod izrazom podrazumevamo izjava, što je tačno ako postoji element za koji je P(x) istinit, a netačan u suprotnom. Ova izjava više ne zavisi od x. Odgovarajući verbalni izraz je: "Postoji x takav da je P(x) istinit." Simbol se zove kvantifikator postojanja. U izjavi, varijabla x je vezana ovim kvantifikatorom (kvantifikator joj je pridružen).

(Pročitajte: "Postoji x u M tako da je P u x istinito")

Izraz je izjava koja je istinita ako postoji element x€M (barem jedan) za koji je P(x) tačan, a inače netačan.

Primjer br. 2: P(x) “Broj x je višestruki od 5”

Bilo koji prirodan broj je višestruki od 5"

Svaki prirodni broj je višekratnik lažnih tvrdnji od 5 inča

Svi prirodni brojevi su višekratnici od 5."

Postoji prirodan broj djeljiv sa 5

Pronađite prirodan broj djeljiv sa 5 tačnih tvrdnji

Najmanje jedan prirodan broj je djeljiv sa 5

Operacije kvantifikatora se također primjenjuju na predikate s više mjesta. Neka je, na primjer, predikat sa dva mjesta P(x,y) dat na skupu M. Primjena kvantifikatorske operacije na predikat P(x,y) u odnosu na varijablu x dovodi u korespondenciju s predikatom na dva mjesta P(x,y) predikat na jednom mjestu (ili predikat na jednom mjestu) u zavisnosti od varijable y i ne zavisi od varijable x. Možete primijeniti kvantifikatorske operacije na njih na varijablu y, što će dovesti do izjava sljedećih tipova:

Za konstruiranje negacija s kvantifikatorima trebate:

1) zameniti kvantifikator opštosti kvantifikatorom postojanja, a kvantifikator postojanja zameniti kvantifikatorom opštosti;

2) zamijeniti predikat njegovom negacijom.

Dakle, sljedeće formule su važeće:

Negaciju rečenice treba napisati kao , a negaciju rečenice kao . Očigledno je da rečenica ima isto značenje, a samim tim i istu istinitost, kao rečenica , a rečenica ima isto značenje kao . Drugim riječima, to je ekvivalentno ; ekvivalentno

PRIMJER br. 3. Konstruirajte negaciju tvrdnje “Neki dvocifreni brojevi su djeljivi sa 12.”

Rješenje Zamijenimo kvantifikator postojanja (izražava se riječju “neki”) kvantifikatorom općenitosti “sve” i konstruirajmo negaciju rečenice iza riječi “neki”, stavljajući česticu “ne” ispred od glagola. Dobijamo izjavu "Svi dvocifreni brojevi nisu djeljivi sa 12."

PRIMJER br. 4. Formulirajte negaciju tvrdnje „U svakom razredu barem jedan učenik je pao na testu“.

Rješenje: Ova izjava sadrži opći kvantifikator izražen riječju “svaki” i kvantifikator postojanja izražen riječima “najmanje jedan”. Prema pravilu za konstruisanje negacija iskaza kvantifikatorima, potrebno je kvantifikator uopštenosti zameniti kvantifikatorom postojanja, a kvantifikator postojanja kvantifikatorom opštosti, a iz glagola ukloniti česticu „ne“. Dobijamo: "Postoji razred u kojem su svi učenici položili test."

Pored gore navedenih operacija, koristićemo još dve nove operacije koje se odnose na karakteristike predikatske logike. Ove operacije izražavaju izjave o zajednici i postojanju.

Kvantifikator- neki način da se pripiše prisutnost bilo kojeg svojstva cijelom skupu objekata: (opći kvantifikator) ili jednostavno (), (kvantifikator postojanja).

1. Opšti kvantifikator. Neka je R (x) dobro definiran predikat koji uzima vrijednost I ili A za svaki element x nekog polja M. Tada pod izrazom (x)R(x) podrazumijevamo izjavu koja je tačna kada je R(x) je istinito za svaki element x polja M, a netačno u suprotnom. Ova izjava više ne zavisi od x. Odgovarajući verbalni izraz će biti: "za svaki x R (x) je istinit."

Neka je sada U(x) formula predikatske logike koja uzima određenu vrijednost ako se promjenjivi objekti i varijabilni predikati uključeni u nju zamijene na potpuno određen način. Formula I(x) može sadržavati i druge varijable osim x. Tada izraz I(x), prilikom zamjene svih varijabli i objekata i predikata, osim x, predstavlja određeni predikat koji ovisi samo o x. I formula (x)I(x) postaje potpuno određen iskaz. Posljedično, ova formula je u potpunosti određena specificiranjem vrijednosti svih varijabli osim x, te stoga ne ovisi o x. Simbol (x) se poziva opšti kvantifikator .

2. Kvantifikator postojanja. Neka je R(x) neki predikat. Povezujemo formulu (x)R(x) sa njom, definišući njenu vrijednost kao tačnu ako postoji element polja M za koji je R(x) istinit, i kao netačan u suprotnom. Tada ako je I(x) određena formula predikatne logike, tada je formula (x)I(x) također definirana i ne ovisi o vrijednosti x. Poziva se znak (x). kvantifikator postojanja .

Kvantifikatori (x) i (x) se pozivaju dual jedan drugog.

Reći ćemo da se u formulama (x)I(x) i (x)I(x) kvantifikatori (x) i (x) odnose na varijablu x ili da je varijabla x povezana sa odgovarajućim kvantifikatorom.

Pozvat ćemo varijablu objekta koja nije povezana ni sa jednim kvantifikatorom slobodne varijable. Dakle, opisali smo sve formule logike predikata.

Ako dvije formule I i B, koje se odnose na određeno polje M, sa svim zamjenama varijabilnih predikata, iskaza varijabli i slobodnih varijabli objekta, respektivno, pojedinačnim predikatima definiranim na M, pojedinačni iskazi i pojedinačni objekti iz M, poprimaju iste vrijednosti ​​I ili A, tada ćemo reći da su ove formule ekvivalentne na polju M. (Prilikom zamjene varijabilnih predikata, iskaza i objekata, mi, naravno, zamjenjujemo one koji su na isti način označeni u formulama I i B u isti put).

Ako su dvije formule ekvivalentne na bilo kojem polju M, onda ćemo ih jednostavno nazvati ekvivalentnim. Ekvivalentne formule mogu se zamijeniti jedna drugom.

Ekvivalencija formula omogućava im da se u različitim slučajevima svedu na pogodniji oblik.

Konkretno, vrijedi sljedeće: I → B je ekvivalentno AND B.

Koristeći ovo, možemo pronaći ekvivalentnu formulu za bilo koju formulu u kojoj, među operacijama propozicione algebre, postoje samo &, i -.

Primjer: (x)(A(x)→(y)B(y)) je ekvivalentno (x)(A(x)(y)B(y)).

Osim toga, za predikatnu logiku postoje ekvivalencije povezane s kvantifikatorima.

Postoji zakon koji kvantifikatore povezuje sa negativnim predznakom. Razmotrimo izraz (x)I(x).

Izjava “(x)I(x) je netačna” je ekvivalentna izjavi: “postoji element y za koji je U(y) netačan” ili, što je isto, “postoji element y za koji je U (y) je istina.” Prema tome, izraz (x)I(x) je ekvivalentan izrazu (y)I(y).

Razmotrimo izraz (x)I(x) na isti način.

Ovo je izjava "(x) I (x) je netačna." Ali takva izjava je ekvivalentna izjavi: „za svakoga, ja(y) je laž“ ili „za svakoga, ja(y) je istinito“. Dakle, (x)I(x) je ekvivalentno izrazu (y)I(y).

Tako smo dobili sljedeće pravilo:

Znak negacije se može uvesti pod predznak kvantifikatora, zamjenjujući kvantifikator dvostrukim.

Već smo vidjeli da za svaku formulu postoji ekvivalentna formula, koja od operacija propozicione algebre sadrži samo &, i -.

Koristeći ekvivalentnosti za svaku formulu, možete pronaći ekvivalentnu u kojoj se znaci negacije odnose na elementarne iskaze i elementarne predikate.

Predikatski račun je namijenjen za aksiomatski opis predikatske logike.

Predikatski račun - neki aksiomatski sistem dizajniran za modeliranje određenog okruženja i testiranje bilo koje hipoteze o svojstvima ovog okruženja koristeći razvijeni model. Hipoteze potvrđuju prisustvo ili odsustvo određenih svojstava u određenim objektima i izražavaju se u obliku logičke formule. Opravdanost hipoteze se stoga svodi na procjenu deducibilnosti i zadovoljivosti logičke formule.

U bilo kojem nacionalnom jeziku, veznici „i“, „ili“, „ako ..., onda ...“, „ako i samo ako...“, itd. se koriste u običnom govoru. omogućavaju vam da konstruišete nove složene iskaze od već datih iskaza. Istinitost ili netačnost tako dobivenih izjava ovisi o istinitosti i neistinitosti izvornih izjava i odgovarajućih interpretacija veziva kao operacija nad iskazima. Logička operacija se može u potpunosti opisati tabela istine, pokazujući koja značenja složeni iskaz ima za sva moguća značenja jednostavnih iskaza.

Logička operacija je metoda konstruisanja složene izjave od elementarnih iskaza, u kojoj je istinitost složene izjave u potpunosti određena istinitošću originalnih iskaza (vidi članak “ ”).

U algebri logike, logičke operacije i odgovarajući logički spojevi imaju posebne nazive i označavaju se na sljedeći način:

Konjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novim iskazom, koji je istinit ako i samo ako su oba originalna iskaza tačna 7 . Logička operacija konjunkcija

Razmotrite dvije izjave: str = “Sutra će biti mraz" I q = “Sutra će padati snijeg" Očigledno nova izreka str & q = “Sutra će biti mraz, a sutra snijeg” je istinit samo ako su iskazi istiniti u isto vrijeme str I q, naime, da će sutra biti mraza i snijega. Izjava str & q bit će lažna u svim ostalim slučajevima: padat će snijeg, ali će doći do odmrzavanja (tj. neće biti mraza); bit će mraza, ali snijega neće biti; neće biti mraza i neće biti snega.

Disjunkcija- logička operacija koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novim iskazom, koji je netačan ako i samo ako su obje početne izjave netačne, i istinito kada je barem jedan od dva iskaza koji ga formiraju istinit 8. Logička operacija disjunkcija utvrđeno sljedećom tablicom istinitosti:

Razmotrite dvije izjave: str = “Kolumbo je bio u Indiji" I q = “Kolumbo je bio u Egiptu str q = “Kolumbo je bio u Indiji ili je bio u Egiptu” je tačno i ako je Kolumbo bio u Indiji, ali nije bio u Egiptu, i ako nije bio u Indiji, ali je bio u Egiptu, kao i ako je bio i u Indiji i u Egiptu. Ali ova izjava bi bila lažna da Kolumbo nije bio ni u Indiji ni u Egiptu.

Veznik "ili" može se koristiti u govoru u drugom, "isključivom" smislu. Tada odgovara drugom iskazu - disjunktivnoj, ili strogoj, disjunkciji.

Strogo, ili podjela,disjunkcija- logička operacija koja povezuje dva elementarna iskaza sa novim iskazom koji je istinit samo kada je samo jedan od iskaza tačan. Logička operacija disjunktivna klauzula utvrđeno sljedećom tablicom istinitosti:

Razmotrite dvije izjave: str = “Mačka lovi miševe" I q = “Mačka spava na sofi" Očigledno je da nova izjava strq istina samo u dva slučaja - kada mačka lovi miševe ili kada mačka mirno spava. Ova izjava će biti lažna ako mačka ne učini ni jedno ni drugo, tj. kada se oba događaja ne dese. Ali ova izjava će biti lažna čak i kada se pretpostavi da će se obje izjave pojaviti istovremeno. Pošto se to ne može dogoditi, izjava je lažna.

U logici, veznicima "ili" i "ili" daju se različita značenja, ali u ruskom se vezivno "ili" ponekad koristi umjesto veziva "ili". U ovim slučajevima, nedvosmislenost definicije korištene logičke operacije povezana je s analizom sadržaja iskaza. Na primjer, analiza izjave “ Petya sjedi na podijumu A ili podijumu B" zamijenjeno sa " Petya sjedi na podijumu A ili B“, onda će analiza posljednje izjave jasno ukazati na logičnu operaciju podjela disjunkcija, jer osoba ne može biti na dva različita mjesta u isto vrijeme.

Implikacije- logičku operaciju koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novom naredbom koja je lažna ako i samo ako stanje(premisa) - istina, i posljedica(zaključak) je netačan. Ogroman broj zavisnosti između događaja može se opisati pomoću implikacije. Na primjer, sa izjavom „ Ako odemo u Sankt Peterburg za vreme praznika, posetićemo Isaakovsku katedralu” Potvrđujemo da ćemo, ukoliko dođemo u Sankt Peterburg tokom praznika, svakako posjetiti Isaakovsku katedralu.

Logička operacija implikacija

Implikacija će biti lažna samo ako je premisa tačna, a zaključak lažan, a sigurno će biti istinit ako je njen uslov str false. Štaviše, za matematičara je to sasvim prirodno. U stvari, polazeći od pogrešne premise, može se dobiti i istinita i lažna izjava putem ispravnog zaključivanja.

Recimo 1 = 2, pa 2 = 1. Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo 3 = 3, tj. iz lažne premise, kroz identične transformacije, dobili smo istinit iskaz.

Implikacija formirana iz izjava A I IN, može se napisati koristeći sljedeće rečenice: „Ako A, To IN“, „Od A trebalo bi IN”, “A povlači za sobom IN“, „Da bi A, potrebno je da IN“, „Da bi IN, dovoljno za A”.

Ekvivalencija- logička operacija koja povezuje dva elementarna iskaza sa novim, koji je istinit ako i samo ako su oba početna iskaza istovremeno tačna ili istovremeno lažna. Logička operacija ekvivalencija je dato sljedećom tabelom istinitosti:

Razmotrimo moguća značenja složenog iskaza koji je ekvivalent: “ Nastavnik će učeniku dati 5 u četvrtini ako i samo ako učenik dobije 5 na testu.”.

1) Učenik je dobio 5 na testu i 5 na četvrtini, tj. nastavnik je ispunio svoje obećanje, stoga je izjava tačna.

2) Učenik nije dobio 5 na testu, a nastavnik mu nije dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik je održao obećanje, izjava je tačna.

3) Učenik nije dobio 5 na testu, ali mu je nastavnik dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik nije održao obećanje, izjava je lažna.

4) Učenik je dobio 5 na testu, ali mu nastavnik nije dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik nije održao obećanje, izjava je lažna.

Imajte na umu da se u matematičkim teoremama ekvivalencija izražava vezom „neophodno i dovoljno“.

Gore navedene operacije su bile dvostruke (binarne), tj. su izvedene na dva operanda (naredbe). U algebri logike definirana je i široko korištena operacija na jednom mjestu (unarna). negacija.

Negacija- logička operacija koja povezuje svaki elementarni iskaz s novom naredbom, čije je značenje suprotno izvornom. Logička operacija negacija je dato sljedećom tabelom istinitosti:

U ruskom se za konstruisanje negacije koristi veznik "nije tačno da...". Iako veznik “nije tačno da…” ne povezuje nijedna dva iskaza u jedan, logičari ga tumače kao logičku operaciju, jer, kada se postavi ispred proizvoljnog iskaza, od njega formira novi.

Negirajući izjavu “Imam kompjuter kod kuće” biće saopštenje “Nije tačno da imam kompjuter kod kuće” ili, što je isto na ruskom, “Nemam kompjuter kod kuće”. Negirajući izjavu “Ne znam kineski” biće saopštenje “Nije istina da ne znam kineski” ili, što je ista stvar na ruskom, “Znam kineski”.

Kvantifikatori

U matematičkoj logici, uz logičke operacije, koriste se i kvantifikatori. Kvantifikator(od lat. kvantna- koliko) je logička operacija koja daje kvantitativnu karakteristiku područja objekata na koje se odnosi izraz dobijen kao rezultat njegove primjene.

U običnom jeziku, riječi poput Sve, svaki, neki, bilo koji, bilo koji, beskonačno puno, postoji, dostupan, jedini, neki, final broj, kao i svi kardinalni brojevi. U formalizovanim jezicima, čiji je sastavni deo predikatski račun, dve vrste kvantifikatora su dovoljne da izraze sve takve karakteristike: opšti kvantifikator I kvantifikator postojanja.

Kvantifikatori dopuštaju iz specifičnog izražajnog oblika (vidi “ Izjave. Boolean vrijednosti") za dobijanje ekspresivnog oblika sa manjim brojem parametara, posebno za dobijanje iskaza 9 iz ekspresivnog oblika na jednom mestu.

Opšti kvantifikator dozvoljava iz datog oblika iskaza sa jednom slobodnom varijablom x dobiti izjavu koristeći link “Za sve x…”. Rezultat primjene općeg kvantifikatora na propozicioni oblik A( x) označavaju x A( x). Izjava x A( x) bit će istinit ako i samo ako, nakon zamjene u A( x) umjesto slobodne varijable x bilo kojeg objekta iz raspona mogućih vrijednosti, uvijek se dobije tačna izjava. Izjava x A( x) može se pročitati na sljedeći način: „Za bilo koje x A( x)”, “A( x) za proizvoljno x", "Za sve x tačno A( x)", "Svako x ima svojstvo A( x)" i tako dalje.

Egzistencijalni kvantifikator dozvoljava iz date ekspresivne forme sa jednom slobodnom promenljivom x dobiti izjavu koristeći veznik “Postoji takav x, Šta …". Rezultat primjene općeg kvantifikatora na propozicioni oblik A( x) označavaju x A( x). Izjava
x A( x) je istinit ako i samo ako je u rasponu mogućih vrijednosti varijable x postoji objekat takav da prilikom zamjene njegovog imena umjesto pojave slobodne varijable x u( x) se ispostavilo kao istinita izjava. Izjava x A( x) može se pročitati ovako: „Za neke x A( x)”, „Za prikladan x tačno A( x)", "Postoji x, za koji je A( x)”, „Barem za jednu x tačno A( x)" i tako dalje.

Kvantifikatori igraju za formalizirane jezike matematičke logike istu ulogu koju takozvane "kvantitativne" ("kvantifikatorske") riječi imaju za prirodni jezik - određuju opseg primjenjivosti datog iskaza (ili ekspresivnog oblika).

Kada se konstruiše negacija iskaza koji sadrži kvantifikator, primenjuje se sledeće pravilo: čestica “ne” se dodaje predikatu, opšti kvantifikator se zamenjuje kvantifikatorom jedinstvenosti, i obrnuto. Pogledajmo primjer. Negacija tvrdnje „Svi dječaci 11. razreda su odlični učenici“ je izjava „Nije tačno da su svi dječaci 11. razreda odlični učenici“ ili „Neki dječaci 11. razreda nisu odlični učenici“.

U informatici, kvantifikatori se koriste u logičkim programskim jezicima (vidi “ Programski jezici”) i jezici upita baze podataka.

Sposobnost konstruisanja složenih izraza potrebna je pri radu sa bazama podataka, pri konstruisanju upita za internet pretragu, pri konstruisanju algoritama i pisanju programa na bilo kom algoritamskom jeziku. Štaviše, ova vještina se može svrstati u opštu školsku vještinu, jer povezuje se sa konstrukcijom složenih zaključaka (rezonovanje, izvođenje zaključaka). Ova vještina se zasniva na poznavanju osnovnih logičkih operacija i sposobnosti utvrđivanja istinitosti složenih iskaza.

Školarci se u osnovnoj školi upoznaju sa logičkim operacijama disjunkcija, konjunkcija i negacija. Koncept tabele istinitosti je takođe uveden tamo. Najvjerovatnije se poznavanje ovih koncepata javlja u programskim jezicima, ali se mogu koristiti i u proračunskim tabelama - tamo se logičke operacije implementiraju kroz odgovarajuće funkcije ILI, I, NE.

Složenije logičke operacije mogu se obraditi u srednjoj školi. Problemi sa implikacijama nalaze se u svakoj od objavljenih verzija Jedinstvenog državnog ispita iz računarstva. Na primjer: za koji broj X istinita izjava (( X > 3) (X < 3)) –> (X < 1)? (Demo verzija Jedinstvenog državnog ispita, 2007)

Prilikom proučavanja operacije implikacije, studenti treba da obrate pažnju na činjenicu da je većina matematičkih teorema implikacija. Međutim, one implikacije u kojima su premise (uslovi) i zaključci (posljedice) rečenice bez međusobne (suštinske) veze ne mogu igrati manje ili više važnu ulogu u nauci. Potpuno su jalovi prijedlozi, jer... ne dovode do dubljih zaključaka. Zaista, u matematici, niti jedna teorema nije implikacija u kojoj uslov i zaključak nisu sadržajno povezani. Pored veznog „ako,... onda...“, u matematičkim teoremama implikacije su formulacije samo neophodnih ili samo dovoljnih uslova.

Zadaci stvaranja dovoljnih i potrebnih uslova za školsku djecu su teški. Prilikom razvijanja ove vještine posebno treba napomenuti tri tačke:

a) oblik "neophodan i dovoljan" koji se koristi u matematičkim iskazima odgovara vezivu "ako i samo tada" (ekvivalencija);

b) veznik „kako bi se…( A), potrebno je da...( B)” se ostvaruje direktnom implikacijom A B. (Da bi kvadratna jednadžba imala rješenje, diskriminanta mora biti nenegativna);

c) dovoljan uslov se ostvaruje inverznom implikacijom B ® A i može se izraziti na ruskom, na primjer, ovako: „da bi se... (A), dovoljno je da... (B).”

U srednjoj školi (od 10. do 11. razreda) korisno je da učenici razviju sposobnost da konstruišu negaciju iskaza na ruskom jeziku. Ova vještina je neophodna, na primjer, za dokazivanje teorema korištenjem metode „preko kontradikcije“. Konstruisanje negacije čak i za jednostavne iskaze nije uvijek lako. Na primjer, na izjavu Ima crvenih na parkingu“Zhiguli” sljedeće rečenice neće biti negativne:

1) Oni na parkingu nisu crveni “Zhiguli”;

2) Ima jedan bijeli na parkingu “Mercedes”;

3) Crveni“Zhiguli” nisu parkirani.

Negacija ove izjave bi bila "Nema crvenih žigulija na parkingu." Ovo se školarcima može objasniti na sljedeći način: negacija rečenice mora u potpunosti isključiti istinitost izvorne izjave. Ako se na parkingu nalazi bijeli mercedes, onda ništa ne sprječava i crveni Žiguli da parkira.

O algoritmu za konstruisanje negacije složenog iskaza možete pročitati u knjizi “Matematičke osnove računarstva” E. Andreeve, L. Bosove, I. Faline.

Do sada, proučavanje kvantifikatora nije bilo tradicionalno za školske kurseve informatike. Međutim, sada su uključeni u standard specijalizovane škole. Najlakši način je demonstrirati ulogu kvantifikatora u konstruiranju istih negacija iskaza na ruskom, kako matematičkih tako i proizvoljnih. Pravilo za zamjenu općeg kvantifikatora egzistencijalnim kvantifikatorom i obrnuto može se lako opravdati korištenjem De Morganovih zakona (vidi. “Boolean izrazi”).

6 Od latinskih riječi idem- isto i potens- jaka; bukvalno ekvivalentno.

7 Ova definicija se lako proširuje na slučaj n izjave ( n > 2, n- prirodni broj).

8 Ova se definicija, kao i prethodna, odnosi na slučaj n izjave ( n > 2, n- prirodni broj).

9 Uspenski V.A., Vereščagin N.K., Plisko V.E. Uvodni kurs matematičke logike. M.: Fizmatlit, 2002.