Oscilacije. Harmonične vibracije. Jednačina harmonijskih vibracija. Jednačina harmonijskih oscilacija Jednačina prigušenih oscilacija
Oscilacije pokreti ili procesi koji se odlikuju određenom ponovljivošću tokom vremena nazivaju se. Oscilatorni procesi su široko rasprostranjeni u prirodi i tehnologiji, na primjer, njihanje klatna sata, naizmjenično struja itd. Kada klatno oscilira, koordinata njegovog centra mase se mijenja, u slučaju naizmjenične struje napon i struja u kolu fluktuiraju. Fizička priroda vibracije mogu biti različite, pa postoje mehaničke, elektromagnetne itd. Međutim, različiti oscilatorni procesi se opisuju istim karakteristikama i istim jednačinama. Otuda i svrsishodnost zajednički pristup na proučavanje vibracija različite fizičke prirode.
Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod uticajem unutrašnjih sila koje deluju između elemenata sistema, nakon što je sistem izvučen iz ravnoteže spoljnim silama i prepušten sam sebi. Uvek besplatne vibracije prigušene oscilacije , jer su u realnim sistemima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sistema bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje se nastavljaju koliko god se želi) nazivaju se vlastiti.
Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije u kojima se oscilirajuća veličina mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnologiji često imaju karakter blizak harmoničnom.
Harmonične oscilacije su opisane jednadžbom koja se naziva jednačina harmonijskih oscilacija:
Gdje A- amplituda oscilacija, maksimalna vrijednost oscilirajuće veličine X; - kružna (ciklička) frekvencija prirodnih oscilacija; - početna faza oscilovanja u trenutku vremena t= 0; - faza oscilacije u trenutku vremena t. Faza oscilovanja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u ovog trenutka vrijeme. Pošto kosinus varira od +1 do -1, onda X može uzeti vrijednosti od + A prije - A.
Vrijeme T tokom koje sistem dovrši jednu potpunu oscilaciju se zove period oscilovanja. Tokom T faza oscilovanja se povećava za 2 π , tj.
Gdje . (14.2)
Recipročna vrednost perioda oscilovanja
tj. broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija oscilovanja. Upoređujući (14.2) i (14.3) dobijamo
Jedinica za frekvenciju je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se jedna potpuna oscilacija javlja u 1 s.
Sistemi u kojima se mogu javiti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sistem da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sistem mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ova pozicija odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sistema. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sistema koji zadovoljavaju navedena svojstva.
Promjene u bilo kojoj količini opisuju se korištenjem zakona sinusa ili kosinusa, tada se takve oscilacije nazivaju harmonijskim. Razmotrimo kolo koje se sastoji od kondenzatora (koji je bio napunjen prije uključivanja u kolo) i induktora (slika 1).
Slika 1.
Jednačina harmonijskih vibracija može se napisati na sljedeći način:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
gdje je $t$ vrijeme; $q$ naknada, $q_0$-- maksimalno odstupanje naboja od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tokom promjena; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscilacije; $(\alpha )_0$- početna faza; $(\omega )_0$ - ciklična frekvencija. Tokom perioda, faza se mijenja za $2\pi $.
Jednačina oblika:
jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalnom obliku za oscilatorno kolo koje neće sadržavati aktivni otpor.
Bilo koja vrsta periodičnih oscilacija može se tačno predstaviti kao zbir harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.
Za period oscilovanja kola koje se sastoji od zavojnice i kondenzatora, dobijamo Thomsonovu formulu:
Ako razlikujemo izraz (1) s obzirom na vrijeme, možemo dobiti formulu za funkciju $I(t)$:
Napon na kondenzatoru se može naći kao:
Iz formula (5) i (6) proizilazi da je jačina struje ispred napona na kondenzatoru za $\frac(\pi )(2).$
Harmonične vibracije se mogu predstaviti i u obliku jednačina, funkcije i vektorske dijagrame.
Jednačina (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.
Jednačina prigušenih oscilacija
Biće opisana promena naelektrisanja ($q$) na pločama kondenzatora u kolu, uzimajući u obzir otpor (slika 2). diferencijalna jednadžba tip:
Slika 2.
Ako je otpor koji je dio kola $R\
gdje je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ frekvencija ciklične oscilacije. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficijent prigušenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:
Ako je pri $t=0$ naboj na kondenzatoru jednak $q=q_0$ i nema struje u kolu, tada za $A_0$ možemo napisati:
Faza oscilacija u početnom trenutku vremena ($(\alpha )_0$) je jednaka:
Kada $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora se naziva aperiodično.
Primjer 1
vježba: Maksimalna vrijednost naplata je jednaka $q_0=10\ C$. Harmonično varira sa periodom od $T= 5 s$. Odredite maksimalnu moguću struju.
Rješenje:
Kao osnova za rješavanje problema koristimo:
Da bismo pronašli jačinu struje, izraz (1.1) se mora razlikovati s obzirom na vrijeme:
gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jačine struje izraz:
Iz uslova zadatka znamo amplitudnu vrijednost naboja ($q_0=10\ C$). Trebali biste pronaći prirodnu frekvenciju oscilacija. Izrazimo to kao:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(1.4\desno).\]
U ovom slučaju, željena vrijednost će se naći pomoću jednačina (1.3) i (1.2) kao:
Pošto su sve veličine u uslovima problema prikazane u SI sistemu, izvršićemo proračune:
odgovor:$I_0=12,56\ A.$
Primjer 2
vježba: Koliki je period oscilacije u kolu koje sadrži induktor $L=1$H i kondenzator, ako se jačina struje u kolu mijenja prema zakonu: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?
Rješenje:
Iz jednadžbe strujnih fluktuacija, koja je data u uslovima zadatka:
vidimo da je $(\omega )_0=20\pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije koristeći formulu:
\ \
Prema Thomsonovoj formuli za kolo koje sadrži induktor i kondenzator, imamo:
Izračunajmo kapacitet:
odgovor:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
Da bi se pobudio oscilacijski krug, kondenzator je prethodno napunjen, dajući naboj njegovim pločama ±q. Zatim u početnom trenutku vremena t= 0 (Sl. 19, A) Između ploča kondenzatora će se pojaviti električno polje. Ako zatvorite kondenzator na induktor, kondenzator će se početi prazniti, a struja će teći u krugu, povećavajući se s vremenom. I. Kada se kondenzator potpuno isprazni, energija električno polje kondenzator će se u potpunosti pretvoriti u energiju magnetsko polje zavojnice (Sl. 19, b). Počevši od ovog trenutka, struja u krugu će se smanjiti, a samim tim i magnetsko polje zavojnice će početi slabiti, a zatim se, prema Faradeyevom zakonu, u njemu inducira struja koja teče u skladu s Lenzovim pravilom u istog smjera kao i struja pražnjenja kondenzatora. Kondenzator će početi da se puni, pojaviće se električno polje koje teži da oslabi struju, koja će na kraju ići na nulu, a naelektrisanje na pločama kondenzatora će dostići maksimum (slika 19, V). Zatim će se isti procesi početi odvijati u suprotnom smjeru (slika 19, G), i sistem u to vrijeme t=T (T– period oscilacije) će se vratiti u prvobitno stanje (slika 19, A). Nakon toga će početi ponavljanje razmatranog ciklusa pražnjenja i punjenja kondenzatora, odnosno počeće periodične neprigušene oscilacije količine naboja q na pločama kondenzatora, napon U C na kondenzatoru i struji I, teče kroz induktor. Prema Faradejevom zakonu, napon U C na kondenzatoru je određena brzinom promjene struje u induktoru idealnog kola, odnosno:
Na osnovu činjenice da U C =q/C, A I=dq/dt, dobijamo diferencijalna jednadžba slobodnih neprigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
ili 
.
Rješenje za ovo diferencijalna jednadžba je funkcija q(t), to je jednadžba slobodnih neprigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
Gdje q(tt;
q 0 – amplituda oscilacija naelektrisanja na pločama kondenzatora;
– frekvencija kružnih (ili cikličnih) oscilacija () ;
2 /T(T– period oscilovanja, 
–Thomsonova formula);
– faza oscilacija u trenutku vremena t;
– početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u trenutku t=0.
Jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija. U realnom oscilatornom krugu uzima se u obzir da pored induktivne zavojnice L, kondenzator sa kapacitetom WITH, krug također sadrži otpornik sa otporom R, različito od nule, što je razlog za prigušivanje oscilacija u realnom oscilatornom kolu. Dostupan prigušene oscilacije– oscilacije čija se amplituda vremenom smanjuje zbog gubitaka energije u realnom oscilatornom sistemu.
Za kolo pravog oscilatornog naponskog kola na serijski spojenom kondenzatoru sa kapacitivnošću WITH i otpornik sa otporom R uspravljanje. Zatim, uzimajući u obzir Faradejev zakon za kolo realnog oscilatornog kola, možemo napisati:
,
gdje je elektromotorna sila samoindukcije u zavojnici;
U C– napon na kondenzatoru ( U C =q/C);
IR– napon na otporniku.
Na osnovu činjenice da I=dq/dt, dobijamo diferencijalna jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
ili 
,
gdje je koeficijent prigušenja vibracija () , .
q(t), to je jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
Gdje q(t) – količina naboja na pločama kondenzatora u trenutku t;
– amplituda prigušenih oscilacija naboja u trenutku vremena t;
q 0 – početna amplituda prigušenih oscilacija naboja;
– frekvencija kružnih (ili cikličnih) oscilacija ( 
);
– faza prigušenih oscilacija u trenutku t;
– početna faza prigušenih oscilacija.
Period slobodnih prigušenih oscilacija u realnom oscilatornom kolu:
.
Prisilne elektromagnetne oscilacije. Da bi se dobile neprigušene oscilacije u realnom oscilatornom sistemu, potrebno je nadoknaditi gubitke energije tokom procesa oscilovanja. Takva kompenzacija u stvarnom oscilatornom krugu moguća je uz pomoć vanjskog naizmjeničnog napona koji periodično varira prema harmonijskom zakonu U(t):
.
U ovom slučaju diferencijalna jednadžba prisilnih elektromagnetnih oscilacijaće poprimiti oblik:
ili 
.
Rješenje rezultirajuće diferencijalne jednadžbe je funkcija q(t):
U stacionarnom stanju, prisilne oscilacije se javljaju sa frekvencijom w i harmonične su, a amplituda i faza oscilacija određene su sljedećim izrazima:
; 
.
Iz toga slijedi da amplituda oscilacija vrijednosti naboja ima maksimum na rezonantnoj frekvenciji vanjskog izvora:
.
Fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija prisilnog naizmjeničnog napona približava frekvenciji bliskoj frekvenciji naziva se rezonancija.
Tema 10. Elektromagnetski talasi
Prema Maxwellovoj teoriji, elektromagnetna polja mogu postojati u obliku elektromagnetnih talasa, fazne brzine čija je distribucija određena izrazom:
,
gdje su i električna i magnetska konstanta, respektivno,
e I m– električna i magnetna permeabilnost medija, respektivno,
With– brzina svjetlosti u vakuumu () .
U vakuumu ( e= 1, m= l) brzina prostiranja elektromagnetnih talasa poklapa se sa brzinom svetlosti ( With), što je u skladu s Maxwellovom teorijom da
da su svetlost elektromagnetski talasi.
Prema Maxwellovoj teoriji elektromagnetnih talasa su poprečno, to jest, vektori i jačine električnog i magnetskog polja su međusobno okomite i leže u ravni okomitoj na vektor
brzina širenja talasa i vektori , i formiraju sistem desnih vijaka (Sl. 20).
Iz Maxwellove teorije također slijedi da u elektromagnetnom talasu vektori i osciliraju u istim fazama (slika 20), odnosno vrijednosti jačine E I N električno i magnetsko polje istovremeno dostižu maksimum i istovremeno se okreću na nulu, a trenutne vrijednosti E I N povezano relacijom: 
.
Jednačina ravni monohromatske elektromagnetni talas (indeksi at I z at E I N Oni samo naglašavaju da su vektori i usmjereni duž međusobno okomitih osa u skladu sa sl. 20).
