Klasična vjerovatnoća događaja. Teorija vjerovatnoće. Vjerovatnoća događaja, slučajni događaji (teorija vjerovatnoće). Nezavisni i nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Sami riješite problem sa sabiranjem vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje
1. Prikaz glavnih teorema i formula vjerovatnoće: teorema sabiranja, uslovna vjerovatnoća, teorema množenja, nezavisnost događaja, formula ukupne vjerovatnoće.
Ciljevi: stvaranje povoljnih uslova za uvođenje koncepta vjerovatnoće događaja; poznavanje osnovnih teorema i formula teorije vjerovatnoće; uvesti formulu ukupne vjerovatnoće.
Napredak lekcije:
Slučajni eksperiment (iskustvo) je proces u kojem su mogući različiti ishodi i nemoguće je unaprijed predvidjeti kakav će biti ishod. Mogući ishodi eksperimenta koji se međusobno isključuju nazivaju se njegovim elementarni događaji . Skup elementarnih događaja označavamo sa W.
Slučajni događaj je događaj za koji je nemoguće unaprijed reći hoće li se dogoditi kao rezultat iskustva ili ne. Svaki slučajni događaj A koji se dogodio kao rezultat eksperimenta može se povezati sa grupom elementarnih događaja iz W. Elementarni događaji uključeni u ovu grupu nazivaju se povoljan za nastanak događaja A.
Skup W se također može smatrati slučajnim događajem. Budući da uključuje sve elementarne događaje, sigurno će se dogoditi kao rezultat iskustva. Takav događaj se zove pouzdan .
Ako za dati događaj nema povoljnih elementarnih događaja iz W, onda se on ne može dogoditi kao rezultat eksperimenta. Takav događaj se zove nemoguće.
Događaji se zovu podjednako moguće , ako test rezultira jednakim mogućnostima da se ti događaji dogode. Pozivaju se dva slučajna događaja suprotno , ako se kao rezultat eksperimenta jedan od njih dogodi ako i samo ako se drugi ne dogodi. Događaj suprotan događaju A je označen sa .
Događaji A i B se nazivaju nekompatibilno , ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Događaji A 1, A 2, ..., A n se nazivaju parovi nekompatibilni, ako su bilo koja dva od njih nekonzistentna. Događaji A 1, A 2, ..., Forma kompletan sistem parno nekompatibilnih događaja , ako se jedan i samo jedan od njih sigurno javlja kao rezultat testa.
Zbir (unija) događaja A 1, A 2, ..., A n naziva se takav događaj C, koji se sastoji u tome da se dogodi barem jedan od događaja A 1, A 2, ..., A n. Zbroj događaja je označeno kako slijedi:
C = A 1 +A 2 +…+A n.
Proizvod (presek) događaja A 1, A 2, ..., A n naziva se takav događaj P, koji se sastoji u činjenici da su se svi događaji A 1, A 2, ..., A n dogodili istovremeno. Naznačena je produkcija događaja
Verovatnoća P(A) u teoriji verovatnoće se pojavljuje kao numerička karakteristika stepen mogućnosti pojave bilo kog specifičnog slučajnog događaja A kada se testovi ponavljaju mnogo puta.
Recimo da se u 1000 bacanja kocke broj 4 pojavljuje 160 puta. Odnos 160/1000 = 0,16 pokazuje relativnu učestalost broja 4 u datoj seriji testova. U opštijem slučaju učestalost slučajnog događaja A kada se provodi serija eksperimenata, omjer broja eksperimenata u kojima se određeni događaj dogodio i ukupnog broja eksperimenata naziva se:
gdje je P*(A) frekvencija događaja A; m je broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A; n- ukupan broj eksperimenti.
Vjerovatnoća slučajnog događaja I oni nazivaju konstantan broj oko kojeg se grupišu frekvencije datog događaja kako se broj eksperimenata povećava ( statističko određivanje vjerovatnoće događaja ). Vjerovatnoća slučajnog događaja se označava sa P(A).
Naravno, niko nikada neće moći da izvrši neograničen broj testova kako bi se utvrdila verovatnoća. Nema potrebe za ovim. U praksi, učestalost događaja se može uzeti kao vjerovatnoća u veliki broj testovi. Na primjer, iz statističkih obrazaca rođenja utvrđenih tokom višegodišnjeg posmatranja, vjerovatnoća događaja da će novorođenče biti dječak procjenjuje se na 0,515.
Ako tokom testa ne postoje razlozi zbog kojih bi se jedan slučajni događaj pojavljivao češće od drugih ( podjednako mogući događaji), vjerovatnoća se može odrediti na osnovu teorijskih razmatranja. Na primjer, saznajmo u slučaju bacanja novčića učestalost ispadanja grba (događaj A). različiti eksperimentatori su kroz nekoliko hiljada testova pokazali da relativna učestalost takvog događaja ima vrijednosti blizu 0,5. s obzirom da izgled grba i Suprotna strana kovanice (događaj B) su podjednako mogući događaji; ako je novčić simetričan, prosudba P(A) = P(B) = 0,5 mogla bi se donijeti bez određivanja učestalosti ovih događaja. Na osnovu koncepta „jednake mogućnosti“ događaja formulisana je druga definicija verovatnoće.
Neka se događaj A koji se razmatra dogodi u m slučajeva, koji se nazivaju povoljnim za A, a ne u preostalih n-m, nepovoljnih za A.
Tada je vjerovatnoća događaja A jednaka omjeru broja elementarnih događaja koji su pogodni za njega i njihovog ukupnog broja(klasična definicija vjerovatnoće događaja):
gdje je m broj elementarnih događaja povoljnih za događaj A; n - Ukupan broj elementarnih događaja.
Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer #1:Urna sadrži 40 kuglica: 10 crnih i 30 bijelih. Pronađite vjerovatnoću da slučajno odabrana loptica bude crna.
Broj povoljnih slučajeva jednak je broju crnih loptica u urni: m = 10. Ukupan broj jednako mogućih događaja (vađenje jedne lopte) jednak je ukupnom broju loptica u urni: n = 40. Ovi događaji su nekonzistentni, jer se izvlači jedna i samo jedna lopta. P(A) = 10/40 = 0,25
Primjer #2:Pronađite vjerovatnoću da dobijete paran broj kada bacite kocku.
Prilikom bacanja kocke dešava se šest podjednako mogućih nespojivih događaja: pojava jednog broja: 1,2,3,4,5 ili 6, tj. n = 6. povoljni slučajevi su pojava jednog od brojeva 2,4 ili 6: m = 3. željena vjerovatnoća P(A) = m/N = 3/6 = ½.
Kao što vidimo iz definicije vjerovatnoće događaja, za sve događaje
0 < Р(А) < 1.
Očigledno, vjerovatnoća pouzdanog događaja je 1, vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.
Teorema sabiranja vjerovatnoće: vjerovatnoća pojave jednog (bez obzira kojeg) događaja iz više nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća.
Za dva nekompatibilna događaja A i B, vjerovatnoće ovih događaja su jednake zbroju njihovih vjerovatnoća:
P(A ili B) = P(A) + P(B).
Primjer #3:pronađite vjerovatnoću da dobijete 1 ili 6 kada bacite kocku.
Događaji A (rolling 1) i B (rolling 6) su podjednako mogući: P(A) = P(B) = 1/6, dakle P(A ili B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Sabiranje vjerovatnoća vrijedi ne samo za dva, već i za bilo koji broj nekompatibilnih događaja.
Primjer #4:U urni se nalazi 50 loptica: 10 bijelih, 20 crnih, 5 crvenih i 15 plavih. Pronađite vjerovatnoću pojave bijele, ili crne ili crvene kuglice tokom jedne operacije vađenja lopte iz urne.
Vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte (događaj A) je P(A) = 10/50 = 1/5, crne lopte (događaj B) je P(B) = 20/50 = 2/5 i crvene lopte ( događaj C) je P (C) = 5/50 = 1/10. Odavde, koristeći formulu za sabiranje vjerovatnoća, dobijamo P(A ili B ili C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10
Zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja, kao što slijedi iz teoreme sabiranja vjerovatnoća, jednak je jedan:
P(A) + P() = 1
U gornjem primjeru, vađenje bijele, crne i crvene lopte bit će događaj A 1, P(A 1) = 7/10. Događaj suprotan od 1 je izvlačenje plave lopte. Pošto je plavih loptica 15, a ukupan broj loptica je 50, dobijamo P(1) = 15/50 = 3/10 i P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.
Ako događaji A 1, A 2, ..., A n čine kompletan sistem parno nekompatibilnih događaja, tada je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1.
Općenito, vjerovatnoća zbira dva događaja A i B se izračunava kao
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Teorema množenja vjerovatnoće:
Događaji A i B se nazivaju nezavisni , ako vjerovatnoća nastanka događaja A ne zavisi od toga da li se događaj B dogodio ili ne, i obrnuto, vjerovatnoća nastanka događaja B ne zavisi od toga da li se događaj A dogodio ili ne.
Vjerovatnoća zajedničkog nastupa nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća. Za dva događaja P(A i B)=P(A)·P(B).
primjer: Jedna urna sadrži 5 crnih i 10 bijelih kuglica, druga 3 crne i 17 bijelih kuglica. Nađite vjerovatnoću da kada se kuglice prvi put izvuku iz svake urne, obje kugle budu crne.
Rješenje: vjerovatnoća izvlačenja crne lopte iz prve urne (događaj A) je P(A) = 5/15 = 1/3, a crna kugla iz druge urne (događaj B) je P(B) = 3/ 20
P(A i B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.
U praksi, vjerovatnoća događaja B često zavisi od toga da li se dogodio neki drugi događaj A ili ne. U ovom slučaju govore o uslovna verovatnoća , tj. vjerovatnoća događaja B s obzirom da se dogodi događaj A. Uslovna vjerovatnoća se označava sa P(B/A).
Da bi se događaji kvantitativno međusobno uporedili prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći što je događaj mogući. Ovaj broj ćemo nazvati vjerovatnoćom nekog događaja. dakle, vjerovatnoća događaja je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti ovog događaja.
Prvom definicijom vjerovatnoće treba smatrati onu klasičnu, koja je proizašla iz analize kockanja i u početku se primjenjivala intuitivno.
Klasična metoda određivanja vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednako mogućih i nekompatibilnih događaja, koji su ishodi datog iskustva i čine potpunu grupu nespojivih događaja.
Većina jednostavan primjer Jednako mogući i nespojivi događaji koji čine potpunu grupu je pojava jedne ili druge kuglice iz urne koja sadrži više kuglica iste veličine, težine i drugih opipljivih karakteristika, koje se razlikuju samo po boji, temeljito izmiješane prije vađenja.
Stoga se kaže da se test čiji ishodi čine kompletnu grupu nekompatibilnih i jednako mogućih događaja svodi na obrazac urni, ili uzorak slučajeva, ili se uklapa u klasični obrazac.
Jednako mogući i nespojivi događaji koji čine kompletnu grupu nazvat ćemo jednostavno slučajevi ili šanse. Štaviše, u svakom eksperimentu, zajedno sa slučajevima, mogu se desiti i složeniji događaji.
Primjer: Prilikom bacanja kocke, uz slučajeve A i - gubitak i-tačaka na gornjoj strani, možemo uzeti u obzir događaje kao što su B - gubitak parnog broja poena, C - gubitak većeg broja bodova. tačke koje su višestruke od tri...
U odnosu na svaki događaj koji se može dogoditi tokom eksperimenta, slučajevi su podijeljeni na povoljno, u kojem se ovaj događaj događa, i nepovoljan, u kojem se događaj ne događa. U prethodnom primjeru, događaj B favoriziraju slučajevi A 2, A 4, A 6; događaj C - slučajevi A 3, A 6.
Klasična vjerovatnoća pojavljivanje određenog događaja naziva se omjer broja slučajeva pogodnih za nastanak ovog događaja i ukupnog broja jednako mogućih, nekompatibilnih slučajeva koji čine kompletnu grupu u datom eksperimentu:
Gdje P(A)- vjerovatnoća nastanka događaja A; m- broj slučajeva pogodnih za događaj A; n- ukupan broj predmeta.
primjeri:
1) (vidi primjer iznad) P(B)= , P(C) =.
2) Urna sadrži 9 crvenih i 6 plavih kuglica. Pronađite vjerovatnoću da će jedna ili dvije nasumično izvučene kuglice ispasti crvene.
A- nasumično izvučena crvena kugla:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- dvije nasumično izvučene crvene kuglice:
Sljedeća svojstva proizlaze iz klasične definicije vjerovatnoće (pokažite se):
1) Verovatnoća nemogućeg događaja je 0;
2) Verovatnoća pouzdanog događaja je 1;
3) Verovatnoća bilo kog događaja je između 0 i 1;
4) Vjerovatnoća događaja suprotnog događaju A,
Klasična definicija vjerovatnoće pretpostavlja da je broj ishoda suđenja konačan. U praksi vrlo često postoje testovi čiji je broj mogućih slučajeva beskonačan. osim toga, slaba strana Klasična definicija je da je vrlo često nemoguće predstaviti rezultat testa u obliku skupa elementarnih događaja. Još je teže navesti razloge zbog kojih se elementarni ishodi testa smatraju jednako mogućim. Obično se o jednakosti elementarnih ishoda testa zaključuje iz razmatranja simetrije. Međutim, takvi zadaci su vrlo rijetki u praksi. Iz ovih razloga, uz klasičnu definiciju vjerovatnoće, koriste se i druge definicije vjerovatnoće.
Statistička vjerovatnoća događaj A je relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja u obavljenim testovima:
gdje je vjerovatnoća pojave događaja A;
Relativna učestalost pojavljivanja događaja A;
Broj pokušaja u kojima se pojavio događaj A;
Ukupan broj pokušaja.
Za razliku od klasične vjerovatnoće, statistička vjerovatnoća je karakteristika eksperimentalne vjerovatnoće.
Primjer: Za kontrolu kvaliteta proizvoda iz serije, nasumično je odabrano 100 proizvoda, među kojima su se 3 proizvoda pokazala neispravnima. Odredite vjerovatnoću braka.
Statistička metoda određivanja vjerovatnoće primjenjiva je samo na one događaje koji imaju sljedeća svojstva:
Događaji koji se razmatraju trebali bi biti rezultati samo onih testova koji se mogu reproducirati neograničen broj puta pod istim skupom uslova.
Događaji moraju imati statističku stabilnost (ili stabilnost relativnih frekvencija). To znači da se u različitim serijama testova relativna učestalost događaja malo mijenja.
Broj pokušaja koji rezultiraju događajem A mora biti prilično velik.
Lako je provjeriti da su svojstva vjerovatnoće koja proizilaze iz klasične definicije također sačuvana u statističkoj definiciji vjerovatnoće.
Jasno je da svaki događaj ima različit stepen mogućnosti svog nastanka (njegove implementacije). Da bismo kvantitativno uporedili događaje jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći što je događaj mogući. Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja.
Vjerovatnoća događaja– je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti nastanka ovog događaja.
Razmotrimo stohastički eksperiment i slučajni događaj A koji je uočen u ovom eksperimentu. Ponovimo ovaj eksperiment n puta i neka m(A) bude broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A.
Relacija (1.1)
pozvao relativna frekvencija događaji A u seriji izvedenih eksperimenata.
Lako je provjeriti ispravnost svojstava:
ako su A i B nekonzistentni (AB= ), tada je ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Relativna frekvencija se određuje tek nakon serije eksperimenata i, općenito govoreći, može varirati od serije do serije. Međutim, iskustvo pokazuje da se u mnogim slučajevima, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija približava određenom broju. Ova činjenica stabilnosti relativne frekvencije je više puta provjerena i može se smatrati eksperimentalno utvrđenom.
Primjer 1.19.. Ako bacite jedan novčić, niko ne može predvidjeti na kojoj će strani pasti. Ali ako bacite dvije tone novčića, onda će svi reći da će oko jedna tona pasti s grbom, odnosno relativna učestalost ispadanja grba je otprilike 0,5.
Ako, s povećanjem broja eksperimenata, relativna frekvencija događaja ν(A) teži određenom fiksnom broju, onda se kaže da događaj A je statistički stabilan, i ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja A.
Vjerovatnoća događaja A poziva se neki fiksni broj P(A) kojem teži relativna frekvencija ν(A) ovog događaja kako se broj eksperimenata povećava, tj.
Ova definicija se zove statističko određivanje vjerovatnoće .
Razmotrimo određeni stohastički eksperiment i neka se prostor njegovih elementarnih događaja sastoji od konačnog ili beskonačnog (ali prebrojivog) skupa elementarnih događaja ω 1, ω 2, …, ω i, …. Pretpostavimo da je svakom elementarnom događaju ω i dodeljen određeni broj - r i, koji karakteriše stepen mogućnosti pojave datog elementarnog događaja i zadovoljava sledeća svojstva:
Ovaj broj p i se zove vjerovatnoća elementarnog događajaωi.
Neka je sada A slučajni događaj uočen u ovom eksperimentu i neka odgovara određenom skupu
U ovoj postavci vjerovatnoća događaja A nazovite zbir vjerovatnoća elementarnih događaja koji favorizuju A(uključeno u odgovarajući set A):
Ovako uvedena vjerovatnoća ima ista svojstva kao i relativna frekvencija, i to:
A ako je AB = (A i B su nekompatibilni),
onda P(A+B) = P(A) + P(B)
Zaista, prema (1.4)
U posljednjoj vezi iskoristili smo činjenicu da niti jedan elementarni događaj ne može favorizirati dva nespojiva događaja u isto vrijeme.
Posebno napominjemo da teorija vjerovatnoće ne ukazuje na metode za određivanje p i, već ih se mora tražiti iz praktičnih razloga ili dobiti iz odgovarajućeg statističkog eksperimenta.
Kao primjer, razmotrite klasičnu shemu teorije vjerovatnoće. Da biste to učinili, razmotrite stohastički eksperiment, čiji se prostor elementarnih događaja sastoji od konačnog (n) broja elemenata. Uzmimo dodatno da su svi ovi elementarni događaji podjednako mogući, odnosno da su vjerovatnoće elementarnih događaja jednake p(ω i)=p i =p. Iz toga slijedi
Primjer 1.20. Prilikom bacanja simetričnog novčića, dobijanje glave i repa je jednako moguće, njihove vjerovatnoće su jednake 0,5.
Primjer 1.21. Prilikom bacanja simetrične kocke sva lica su jednako moguća, njihove vjerovatnoće su jednake 1/6.
Neka sada događaj A favorizuje m elementarnih događaja, oni se obično nazivaju ishodi povoljni za događaj A. Onda
Imam klasična definicija vjerovatnoće: vjerovatnoća P(A) događaja A jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za događaj A i ukupnog broja ishoda
Primjer 1.22. Urna sadrži m bijelih i n crnih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
Rješenje. Ukupan broj elementarnih događaja je m+n. Svi su podjednako vjerovatni. Povoljan događaj A od kojih m. Dakle, .
Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:
Nekretnina 1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.
Zaista, ako je događaj pouzdan, onda svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju t=p, dakle,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.
Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan od elementarnih ishoda testa ne favorizuje događaj. U ovom slučaju T= 0, dakle, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Nekretnina 3.Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Zaista, samo dio ukupnog broja elementarnih ishoda testa favorizira slučajni događaj. To jest, 0≤m≤n, što znači 0≤m/n≤1, dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Upoređujući definicije vjerovatnoće (1.5) i relativne frekvencije (1.1), zaključujemo: definicija vjerovatnoće ne zahtijeva provođenje testiranja zapravo; definicija relativne frekvencije pretpostavlja da testovi su zaista obavljeni. Drugim riječima, vjerovatnoća se izračunava prije eksperimenta, a relativna učestalost - nakon eksperimenta.
Međutim, izračunavanje vjerovatnoće zahtijeva preliminarne informacije o broju ili vjerovatnoćama elementarnih ishoda povoljnih za dati događaj. U nedostatku takvih preliminarnih informacija, empirijski podaci se koriste za određivanje vjerovatnoće, odnosno relativna učestalost događaja se utvrđuje na osnovu rezultata stohastičkog eksperimenta.
Primjer 1.23. Služba tehničke kontrole otkriveno 3 nestandardni dijelovi u seriji od 80 nasumično odabranih dijelova. Relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova r(A)= 3/80.
Primjer 1.24. Prema namjeni.proizvedeno 24 pucao, a zabilježeno je 19 pogodaka. Relativna stopa pogodaka cilja. r(A)=19/24.
Dugoročna zapažanja su pokazala da ako se eksperimenti izvode pod identičnim uvjetima, u svakom od kojih je broj testova dovoljno velik, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti. Ova nekretnina je da se u različitim eksperimentima relativna frekvencija malo mijenja (što manje, to se više testova izvodi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja. Pokazalo se da se ovaj konstantni broj može uzeti kao približna vrijednost vjerovatnoće.
Odnos između relativne frekvencije i vjerovatnoće će biti opisan detaljnije i preciznije u nastavku. Sada ćemo ilustrirati svojstvo stabilnosti primjerima.
Primjer 1.25. Prema švedskoj statistici, relativnu učestalost rađanja djevojčica za 1935. godinu po mjesecima karakterišu sljedeći brojevi (brojevi su raspoređeni po mjesecima, počevši od Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Relativna frekvencija fluktuira oko broja 0,481, što se može uzeti kao približna vrijednost za vjerovatnoću rađanja djevojčica.
Imajte na umu da statistički podaci iz različitih zemalja daju približno istu relativnu vrijednost učestalosti.
Primjer 1.26. Eksperimenti bacanja novčića izvedeni su više puta, u kojima se računao broj pojavljivanja “grba”. Rezultati nekoliko eksperimenata prikazani su u tabeli.
U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, kada organizirate proizvodnju i obavljate prodaju, ishod takvih aktivnosti morate predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.
Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.
Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.
Događaj se zove nasumično, ako se kao rezultat iskustva može dogoditi ili ne mora.
Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat datog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.
Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.
Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerovatnoće je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.
Algebra događaja
Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.
Iznos događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja
Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.
Posao događaji je događaj koji se sastoji od istovremene pojave svih ovih događaja
Događaj koji se sastoji od pojavljivanja dvije robe u prodavnici u isto vrijeme je proizvod događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.
Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih sigurno dogodi u iskustvu.
Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo brodova na vezovima, - prisustvo jednog broda na jednom od veza, - prisustvo dva broda na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.
Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.
Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .
Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja
Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest elementarnih ishoda na osnovu broja bodova na stranama.
Od elementarnih ishoda možete kreirati složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.
Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka dotičnog događaja je vjerovatnoća.
Najčešće korištene definicije vjerovatnoće događaja su: klasična I statistički.
Klasična definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom povoljnog ishoda.
Ishod se zove povoljno na dati događaj ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.
U gornjem primjeru, događaj o kojem je riječ – paran broj bodova na prebačenoj strani – ima tri povoljna ishoda. IN u ovom slučaju poznato i opšte
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerovatnoće događaja.
Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda
gdje je vjerovatnoća događaja, broj ishoda povoljnih za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.
U razmatranom primjeru
Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.
Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule
gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).
Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizuje (zapostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.
U praktičnim problemima, vjerovatnoća događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.
Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena
Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), često se koriste kombinatoričke formule koje se koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.
