Poissonova formula distribucije vjerovatnoće. Distribucija i Poissonova formula. Kontinuirana slučajna varijabla. Funkcija distribucije. Gustoća vjerovatnoće. Vjerovatnoća pada unutar datog intervala
U mnogim praktičnim problemima treba se baviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu zvanom Poissonov zakon.
Razmotrite diskontinuiranu slučajnu varijablu koja može uzeti samo cijele, nenegativne vrijednosti:
Štaviše, slijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen.
Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da će poprimiti određenu vrijednost izražena formulom
gdje je a neka pozitivna veličina koja se naziva parametar Poissonovog zakona.
Raspon distribucije slučajna varijabla, distribuiran prema Poissonovom zakonu, ima oblik:
Uvjerimo se, prije svega, da niz vjerovatnoća dat formulom (5.9.1) može biti red raspodjele, tj. da je zbir svih vjerovatnoća jednak jedinici. Imamo:
.
Na sl. 5.9.1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable raspoređene prema Poissonovom zakonu, što odgovara različita značenja parametar Dodatak Tablica 8 prikazuje vrijednosti za različite .
Odredimo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i varijansu - slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu. Po definiciji matematičkog očekivanja
.
Prvi član sume (odgovara ) jednaka nuli, dakle, sumiranje može početi sa:
Označimo ; Onda
. (5.9.2)
Dakle, parametar nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable.
Da bismo odredili disperziju, prvo pronalazimo drugi početni moment količine:
Prema ranije dokazanim
osim toga,
Dakle, varijansa slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu jednaka je njenom matematičkom očekivanju.
Ovo svojstvo Poissonove distribucije se često koristi u praksi da bi se odlučilo da li je hipoteza da je slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu vjerodostojna. Da bi se to postiglo, statističke karakteristike — matematičko očekivanje i disperzija — slučajne varijable se određuju iz iskustva. Ako su njihove vrijednosti bliske, onda to može poslužiti kao argument u korist hipoteze Poissonove distribucije; oštra razlika u ovim karakteristikama, naprotiv, osporava hipotezu.
Odredimo za slučajnu varijablu distribuiranu prema Poissonovom zakonu vjerovatnoću da će poprimiti vrijednost koja nije manja od date. Označimo ovu vjerovatnoću:
Očigledno, vjerovatnoća se može izračunati kao zbir
Međutim, mnogo je lakše odrediti to iz vjerovatnoće suprotnog događaja:
(5.9.4)
Konkretno, vjerovatnoća da će količina poprimiti pozitivnu vrijednost izražava se formulom
(5.9.5)
Već smo spomenuli da mnogi problemi u praksi rezultiraju Poissonovom distribucijom. Razmotrimo jedan od tipičnih problema ove vrste.
Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 5.9.2). Pretpostavimo da slučajna raspodjela bodova zadovoljava sljedeće uslove:
1. Vjerovatnoća pada određenog broja tačaka na segment zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na osi apscise. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu (tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine) sa .
2. Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća da jedan ili drugi broj tačaka padne na dati segment ne zavisi od toga koliko ih padne na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.
3. Vjerovatnoća da dvije ili više tačaka pogode malo područje je zanemarljiva u poređenju sa vjerovatnoćom da jedna tačka pogodi (ovaj uslov znači praktičnu nemogućnost da se dvije ili više tačaka poklope).
Odaberimo određeni segment dužine na osi apscise i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu - broj tačaka koji padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti će biti
Pošto tačke padaju na segment nezavisno jedna od druge, teoretski je moguće da ih tamo bude onoliko koliko se želi, tj. serija (5.9.6) se nastavlja u nedogled.
Dokažimo da slučajna varijabla ima Poissonov zakon raspodjele. Da bismo to učinili, izračunavamo vjerovatnoću da će na segmentu biti tačno tačaka.
Prvo da riješimo više jednostavan zadatak. Razmotrimo malu površinu na osi Ox i izračunajmo vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na ovu oblast. Rezonovaćemo na sledeći način. Matematičko očekivanje broja tačaka koji padaju na ovu dionicu je očigledno jednako (pošto prosjek bodova pada po jedinici dužine). Prema uslovu 3, za mali segment možemo zanemariti mogućnost da dvije ili više tačaka padaju na njega. Prema tome, matematičko očekivanje broja tačaka koje padaju na površinu biće približno jednako verovatnoći da jedna tačka padne na nju (ili, što je u našim uslovima ekvivalentno, najmanje jedna).
Dakle, sa tačnošću do infinitezimala višeg reda, pri možemo pretpostaviti da je verovatnoća da će jedna (barem jedna) tačka pasti na lokaciju jednaka , a verovatnoća da nijedna neće pasti jednaka .
Koristimo ovo da izračunamo vjerovatnoću da tačno tačke padaju na segment. Podijelite segment na jednaki dijelovi dužina . Dogovorimo se da elementarni segment nazovemo "prazan" ako ne sadrži ni jednu tačku, i "zauzet" ako se barem jedna pojavi. Prema gore navedenom, vjerovatnoća da će segment biti “zauzet” je približno jednaka ; vjerovatnoća da će biti “prazna” jednaka je . Pošto su, prema uslovu 2, tačke koje spadaju u segmente koji se ne preklapaju nezavisne, onda se naših n segmenata može smatrati nezavisnim „eksperimentima“, u svakom od kojih se segment može „zauzeti“ sa verovatnoćom . Nađimo vjerovatnoću da će među segmentima biti tačno „zauzeto“. Prema teoremi o ponavljanju eksperimenata, ova vjerovatnoća je jednaka
ili, označavajući ,
(5.9.7)
Kada je dovoljno velika, ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći da tačno tačke padnu na segment, jer je vjerovatnoća da dvije ili više tačaka padnu na segment zanemarljiva. Da biste pronašli tačnu vrijednost, morate ići do granice u izrazu (5.9.7) na:
(5.9.8)
Transformirajmo izraz pod znakom granice:
(5.9.9)
Prvi razlomak i imenilac posljednjeg razlomka u izrazu (5.9.9) za , očito teže jedinstvu. Izraz ne zavisi od. Brojač posljednjeg razlomka može se transformirati na sljedeći način:
(5.9.10)
Kada i izraz (5.9.10) teži ka . Dakle, dokazano je da je vjerovatnoća da tačno tačke padaju u segment izražena formulom
gdje, tj. vrijednost X se distribuira prema Poissonovom zakonu sa parametrom .
Imajte na umu da je vrijednost prosječan broj bodova po segmentu.
Magnituda (vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u u ovom slučaju izražava vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na segment:
Dakle, uvjereni smo da se Poissonova distribucija javlja gdje neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju nasumični položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koji spadaju u neku oblast se računa. U našem slučaju, takva „regija“ je bila segment na osi apscise. Međutim, naš zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka na ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Nije teško dokazati da ako su ispunjeni uslovi:
1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom;
2) tačke padaju nezavisno u oblasti koje se ne preklapaju;
3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd., tada se broj tačaka koji spadaju u bilo koje područje (ravno ili prostorno) raspoređuje prema Poissonovom zakonu:
gdje je prosječan broj bodova koji spadaju u područje.
Za ravno kućište
gdje je površina regije; za prostorne
gdje je zapremina regije.
Imajte na umu da za Poissonovu distribuciju broja tačaka koje spadaju u segment ili region, uslov konstantne gustine () nije važan. Ako su ispunjena druga dva uslova, onda Poissonov zakon i dalje važi, samo parametar a u njemu poprima drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustine dužinom, površinom ili zapreminom regiona, već integracijom varijabilna gustina u segmentu, površini ili zapremini. (Za više o ovome, pogledajte br. 19.4)
Prisustvo nasumičnih tačaka rasutih na liniji, ravni ili zapremini nije jedini uslov pod kojim se javlja Poissonova distribucija. Može se, na primjer, dokazati da je Poissonov zakon ograničavajući za binomna distribucija:
, (5.9.12)
ako u isto vrijeme broj eksperimenata teži beskonačnosti, a vjerovatnoća ide na nulu, a njihov proizvod zadržava konstantnu vrijednost:
Zaista, ovo ograničavajuće svojstvo binomske distribucije može se zapisati kao:
. (5.9.14)
Ali iz uslova (5.9.13) slijedi da
Zamjenom (5.9.15) u (5.9.14) dobijamo jednakost
, (5.9.16)
što smo upravo jednom drugom prilikom dokazali.
Ovo ograničavajuće svojstvo binomnog zakona se često koristi u praksi. Pretpostavimo da se provodi veliki broj nezavisnih eksperimenata, u svakom od kojih događaj ima vrlo malu vjerovatnoću. Zatim da biste izračunali vjerovatnoću da će se događaj pojaviti tačno jednom, možete koristiti približnu formulu:
, (5.9.17)
gdje je parametar Poissonovog zakona koji približno zamjenjuje binomnu distribuciju.
Iz ove osobine Poissonovog zakona - da se izrazi binomna distribucija sa velikim brojem eksperimenata i malom vjerovatnoćom događaja - dolazi i njegov naziv, koji se često koristi u udžbenicima statistike: zakon rijetkih fenomena.
Pogledajmo nekoliko primjera vezanih za Poissonovu distribuciju iz različitih područja prakse.
Primer 1. Automatska telefonska centrala prima pozive sa prosečnom gustinom poziva po satu. Uz pretpostavku da je broj poziva u bilo kojem vremenskom periodu raspoređen prema Poissonovom zakonu, pronađite vjerovatnoću da će tačno tri poziva stići na stanicu za dvije minute.
Rješenje. Prosječan broj poziva u dvije minute je:
Kv.m. Da biste pogodili metu, dovoljan je barem jedan fragment da se pogodi. Pronađite vjerovatnoću da ćete pogoditi metu na datoj poziciji tačke prekida.
Rješenje. . Koristeći formulu (5.9.4) nalazimo vjerovatnoću da ćemo pogoditi barem jedan fragment:
(Za izračunavanje vrijednosti eksponencijalna funkcija koristimo tabelu 2 u prilogu).
Primjer 7. Prosječna gustina patogenih mikroba u jednom kubni metar zraka je 100. Uzmite 2 kubna metra za testiranje. dm vazduha. Nađite vjerovatnoću da će se u njemu naći barem jedan mikrob.
Rješenje. Prihvatajući hipotezu o Poissonovoj raspodjeli broja mikroba u volumenu, nalazimo:
Primjer 8. 50 nezavisnih hitaca ispaljeno je na određenu metu. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,04. Koristeći granično svojstvo binomne distribucije (formula (5.9.17)), pronađite približno vjerovatnoću da će meta biti pogođena: niti jedan projektil, jedan projektil, dva projektila.
Rješenje. Imamo. Koristeći tabelu 8 u dodatku nalazimo vjerovatnoće.
Uvod
Da li su slučajne pojave podložne nekim zakonima? Da, ali ovi zakoni su drugačiji od onih na koje smo navikli fizički zakoni. Vrijednosti SV se ne mogu predvidjeti čak ni pod poznatim eksperimentalnim uvjetima; možemo samo naznačiti vjerovatnoće da će SV uzeti jednu ili drugu vrijednost. Ali znajući distribuciju vjerovatnoće SV-a, možemo izvući zaključke o događajima u kojima ove slučajne varijable učestvuju. Istina, ovi zaključci će također biti vjerovatnoće po prirodi.
Neka je neka SV diskretna, tj. može uzeti samo fiksne vrijednosti Xi. U ovom slučaju, niz vrijednosti vjerovatnoće P(Xi) za sve (i=1…n) dozvoljene vrijednosti ove veličine naziva se njen zakon raspodjele.
Zakon raspodjele SV je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti SV i vjerovatnoća s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira SV.
Prilikom izgradnje matematički model Za testiranje statističke hipoteze potrebno je uvesti matematičku pretpostavku o zakonu distribucije SV (parametarski način konstruisanja modela).
Neparametarski pristup opisivanju matematičkog modela (SV nema parametarski zakon raspodjele) je manje tačan, ali ima širi opseg.
Potpuno isto kao i za vjerovatnoću slučajni događaj, za SV zakon distribucije postoje samo dva načina da se pronađe. Ili ćemo napraviti dijagram slučajnog događaja i pronaći analitički izraz (formulu) za izračunavanje vjerovatnoće (možda je neko već uradio ili će to učiniti umjesto nas!), ili ćemo morati koristiti eksperiment i na osnovu frekvencija zapažanja, napraviti neke pretpostavke (iznijeti hipoteze) o zakonskim distribucijama.
Naravno, za svaku od “klasičnih” distribucija ovaj posao se radi već duže vrijeme – nadaleko poznate i vrlo često korištene u primijenjenoj statistici su binomne i polinomske raspodjele, geometrijske i hipergeometrijske, Pascalove i Poissonove distribucije i mnoge druge.
Za skoro sve klasične distribucije, odmah su konstruisane i objavljene posebne statističke tabele, unapređene kako se povećavala preciznost proračuna. Bez korištenja mnogih tomova ovih tabela, bez učenja kako ih koristiti u posljednja dva stoljeća praktična upotreba statistika je bila nemoguća.
Danas se situacija promijenila - nema potrebe za pohranjivanjem proračunskih podataka pomoću formula (ma koliko ove posljednje bile složene!), vrijeme korištenja zakona raspodjele u praksi svedeno je na minute, pa čak i sekunde. Već postoji dovoljan broj različitih aplikativnih softverskih paketa za ove svrhe.
Među svim distribucijama vjerovatnoće, postoje one koje se posebno često koriste u praksi. Ove distribucije su detaljno proučavane i njihova svojstva su dobro poznata. Mnoge od ovih distribucija su u osnovi čitavih oblasti znanja - kao što su teorija čekanja, teorija pouzdanosti, kontrola kvaliteta, teorija igara, itd.
Među njima se ne može ne obratiti pažnja na radove Poissona (1781-1840), koji je dokazao opštiju formu zakona od Jacoba Bernoullija. veliki brojevi, a također po prvi put primijenio teoriju vjerovatnoće na probleme pucanja. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.
Ovom zakonu o distribuciji je posvećen ovaj članak. rad na kursu. Govorićemo direktno o zakonu, o njegovim matematičkim karakteristikama, posebnim svojstvima i povezanosti sa binomnom distribucijom. Reći će se nekoliko riječi o tome praktična primjena i dato je nekoliko primjera iz prakse.
Svrha našeg eseja je razjasniti suštinu Bernoullijevih i Poissonovih teorema raspodjele.
Zadatak je proučiti i analizirati literaturu na temu eseja.
1. Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija)
Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija) - distribucija verovatnoće broja pojavljivanja nekog događaja tokom ponovljenih nezavisnih ispitivanja, ako je verovatnoća pojave ovog događaja u svakom pokušaju jednaka p (0
Za SV X se kaže da je distribuiran prema Bernoullijevom zakonu sa parametrom p ako uzima vrednosti 0 i 1 sa verovatnoćama pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.
Binomna distribucija nastaje u slučajevima kada se postavlja pitanje: koliko puta se određeni događaj dogodi u nizu određenog broja nezavisnih opservacija (eksperimenata) izvedenih pod istim uslovima.
Radi praktičnosti i jasnoće, pretpostavit ćemo da znamo vrijednost p - vjerovatnoću da će se posjetitelj koji uđe u radnju ispostaviti da je kupac i (1-p) = q - vjerovatnoća da posjetitelj koji uđe u radnju neće biti kupac.
Ako je X broj kupaca iz ukupan broj n posetilaca, onda je verovatnoća da je među n posetilaca bilo k kupaca jednaka
P(X= k) = , gdje je k=0,1,…n 1)
Formula (1) se zove Bernoullijeva formula. At veliki broj testovima, binomna distribucija ima tendenciju da bude normalna.
Bernoullijev test je eksperiment vjerovatnoće sa dva ishoda, koji se obično nazivaju "uspjeh" (obično označen simbolom 1) i "neuspjeh" (respektivno označen sa 0). Verovatnoća uspeha se obično označava slovom p, neuspeh - slovom q; naravno q=1-p. Vrijednost p naziva se parametar Bernoullijevog testa.
Binomne, geometrijske, paskalne i negativne binomne slučajne varijable se dobijaju iz niza nezavisnih Bernulijevih pokušaja ako se sekvenca prekine na ovaj ili onaj način, na primer nakon n-tog pokušaja ili x-tog uspeha. Obično se koristi sljedeća terminologija:
– parametar Bernulijevog testa (vjerovatnoća uspjeha u jednom testu);
– broj testova;
– broj uspjeha;
– broj kvarova.
Binomna slučajna varijabla (m|n,p) – broj m uspjeha u n pokušaja.
Geometrijska slučajna varijabla G(m|p) – broj m pokušaja do prvog uspjeha (uključujući prvi uspjeh).
Pascal slučajna varijabla C(m|x,p) – broj m pokušaja do x-tog uspjeha (ne uključujući, naravno, sam x-ti uspjeh).
Negativna binomna slučajna varijabla Y(m|x,p) – broj m neuspjeha prije x-tog uspjeha (ne uključujući x-ti uspjeh).
Napomena: ponekad se negativna binomna distribucija naziva Pascal distribucija i obrnuto.
Poissonova distribucija
2.1. Definicija Poissonovog zakona
U mnogim praktičnim problemima treba se baviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu, koji se zove Poissonov zakon.
Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X, koja može uzeti samo cijele, ne-negativne vrijednosti: 0, 1, 2, ... , m, ... ; Štaviše, slijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen. Kaže se da je slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da će poprimiti određenu vrijednost m izražena formulom:
gdje je a neka pozitivna veličina koja se naziva parametar Poissonovog zakona.
Red distribucije slučajne varijable X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:
| xm | … | m | … | |||
| pm | e-a | … | … |
2.2. Glavne karakteristike Poissonove distribucije
Prvo, uvjerimo se da slijed vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih vjerovatnoća Rm jednak jedinici.
Koristimo proširenje funkcije ex u Maclaurinov niz:
Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost x, dakle, uzimajući x = a, dobijamo
dakle
Odredimo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i disperziju - slučajne varijable X distribuirane prema Poissonovom zakonu. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Po definiciji, kada diskretna slučajna varijabla uzme prebrojiv skup vrijednosti:
Prvi član zbira (koji odgovara m=0) jednak je nuli, stoga zbrajanje može početi sa m=1:
Dakle, parametar a nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.
Poziva se varijansa slučajne varijable X matematičko očekivanje kvadratna devijacija slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Međutim, prikladnije je izračunati ga pomoću formule:
Stoga, prvo pronađimo drugi početni moment vrijednosti X:
Prema ranije dokazanim
osim toga,
2.3. Dodatne karakteristike Poissonove distribucije
I. Početni trenutak reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti Xk:
Konkretno, početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju:
II. Centralni moment reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti k:
Konkretno, centralni moment 1. reda je 0:
μ1=M=0,
centralni moment 2. reda jednak je disperziji:
μ2=M2=a.
III. Za slučajnu varijablu X distribuiranu prema Poissonovom zakonu, nalazimo vjerovatnoću da će poprimiti vrijednost ne manju od datog k. Ovu vjerovatnoću označavamo sa Rk:
Očigledno, vjerovatnoća Rk se može izračunati kao zbir
Međutim, mnogo je lakše odrediti to iz vjerovatnoće suprotnog događaja:
Konkretno, vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost izražava se formulom
Kao što je već spomenuto, mnogi problemi u praksi rezultiraju Poissonovom distribucijom. Razmotrimo jedan od tipičnih problema ove vrste.
|
Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 2). Pretpostavimo da slučajna raspodjela bodova zadovoljava sljedeće uslove:
1) Vjerovatnoća da određeni broj tačaka padne na segment l zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na osi apscise. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu, tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine, izraženo kroz λ.
2) Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća pada određenog broja tačaka na dati segment ne zavisi od toga koliko ih pada na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.
3) Vjerovatnoća pada dvije ili više tačaka u malo područje Δx je zanemarljiva u poređenju sa vjerovatnoćom pada jedne tačke (ovaj uslov znači praktičnu nemogućnost da se dvije ili više tačaka poklope).
Odaberimo određeni segment dužine l na osi apscise i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X - broj tačaka koje padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti veličine će biti 0,1,2,...,m,... Pošto tačke padaju na segment nezavisno jedna od druge, teoretski je moguće da ih tamo bude onoliko koliko željeni, tj. ova serija se nastavlja u nedogled.
Dokažimo da je slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu. Da biste to učinili, morate izračunati vjerovatnoću Pm da će tačno m tačaka pasti na segment.
Hajde da prvo riješimo jednostavniji problem. Razmotrimo malu površinu Δx na osi Ox i izračunajmo vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na ovu površinu. Rezonovaćemo na sledeći način. Matematičko očekivanje broja tačaka koji padaju na ovu sekciju očigledno je jednako λ·Δh (pošto u proseku λ tačaka pada po jedinici dužine). Prema uslovu 3, za mali segment Δx možemo zanemariti mogućnost da dvije ili više tačaka padaju na njega. Prema tome, matematičko očekivanje λ·Δh broja tačaka koje padaju na površinu Δh biće približno jednako verovatnoći da jedna tačka padne na nju (ili, što je ekvivalentno u ovim uslovima, najmanje jedna).
Dakle, do infinitezimala višeg reda, za Δx→0 možemo uzeti u obzir vjerovatnoću da će jedna (barem jedna) tačka pasti na presjek Δx jednak λ·Δx, a vjerovatnoću da nijedna neće pasti jednaka 1 -c ·Δh.
Iskoristimo ovo da izračunamo vjerovatnoću Pm da tačno m tačaka padne na segment l. Podijelimo segment l na n jednakih dijelova dužine. Dogovaramo se da elementarni segment Δx nazovemo “prazan” ako ne sadrži ni jednu tačku, i “zauzet” ako se barem jedna pojavi. Prema gore navedenom, vjerovatnoća da će segment Δh biti „zauzet“ je približno jednaka λ·Δh=; vjerovatnoća da će biti "prazan" je 1-. Pošto su, prema uslovu 2, tačke koje spadaju u segmente koji se ne preklapaju nezavisne, onda se naših n segmenata može smatrati n nezavisnih „eksperimenata“, u svakom od kojih se segment može „zauzeti“ sa verovatnoćom p=. Nađimo vjerovatnoću da će među n segmenata biti tačno m "zauzetih". Prema teoremi ponovljenih nezavisnih ispitivanja, ova vjerovatnoća je jednaka
,
ili označimo λl=a:
.
Za dovoljno veliko n, ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći da tačno m tačaka padaju na segment l, pošto vjerovatnoća da dvije ili više tačaka padnu na segment Δx je zanemarljiva. Da biste pronašli tačnu vrijednost Rm, morate ići na granicu kao n→∞:
S obzirom na to
,
nalazimo da je željena vjerovatnoća izražena formulom
gdje je a=λl, tj. vrijednost X se distribuira prema Poissonovom zakonu sa parametrom a=λl.
Treba napomenuti da vrijednost a u značenju predstavlja prosječan broj bodova po segmentu l. Vrijednost R1 (vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u ovom slučaju izražava vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na segment l: R1=1-e-a.
Dakle, uvjereni smo da se Poissonova distribucija javlja gdje neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju nasumični položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koji spadaju u neku oblast se računa. U našem slučaju, takva površina je bio segment l na osi apscise. Međutim, ovaj zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka na ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Nije teško dokazati da ako su ispunjeni uslovi:
1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom λ;
2) tačke padaju nezavisno u oblasti koje se ne preklapaju;
3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd.,
tada je broj tačaka X koje spadaju u bilo koju regiju D (ravnu ili prostornu) distribuiran prema Poissonovom zakonu:
,
gdje je a prosječan broj bodova koji spadaju u područje D.
Za ravan slučaj a=SD λ, gdje je SD površina područja D,
za prostorni a= VD λ, gde je VD zapremina regiona D.
Za Poissonovu distribuciju broja tačaka koje spadaju u segment ili region, uslov konstantne gustine (λ=const) je nevažan. Ako su druga dva uslova ispunjena, onda Poissonov zakon i dalje vrijedi, samo parametar a u njemu poprima drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustoće λ sa dužinom, površinom ili zapreminom, već integracijom promjenljive gustine preko segmenta, površine ili zapremine.
Poissonova distribucija igra važnu ulogu u nizu pitanja fizike, teorije komunikacija, teorije pouzdanosti, teorije čekanja itd. Bilo gdje gdje se može dogoditi nasumičan broj događaja (radioaktivni raspadi, telefonski pozivi, kvarovi na opremi, nesreće, itd.) tokom određenog vremenskog perioda.
Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj nastaje Poissonova raspodjela. Neka se neki događaji (kupovina u prodavnici) dese u nasumično vrijeme. Odredimo broj pojavljivanja takvih događaja u vremenskom intervalu od 0 do T.
Nasumični broj događaja koji su se desili tokom vremena od 0 do T distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom l=aT, gdje je a>0 parametar problema koji odražava prosječnu učestalost događaja. Vjerovatnoća k kupovina u velikom vremenskom intervalu (na primjer, dan) će biti
Zaključak
U zaključku, želio bih napomenuti da je Poissonova distribucija prilično česta i važna distribucija, koja ima primjenu kako u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama, tako i u matematičke statistike.
Mnogi praktični problemi se na kraju svode na Poissonovu distribuciju. Njegovo posebno svojstvo, koje se sastoji u jednakosti matematičkog očekivanja i varijanse, često se koristi u praksi za rješavanje pitanja da li je slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu ili ne.
Važna je i činjenica da Poissonov zakon omogućava da se pronađu vjerovatnoće događaja u ponovljenim nezavisnim ispitivanjima sa velikim brojem ponavljanja eksperimenta i malom pojedinačnom vjerovatnoćom.
Međutim, Bernoullijeva distribucija se izuzetno rijetko koristi u praksi ekonomskih proračuna, a posebno u analizi stabilnosti. To je zbog računskih poteškoća i činjenice da je Bernoullijeva raspodjela za diskretne veličine, kao i činjenice da su uvjeti klasične sheme (nezavisnost, prebrojiv broj testova, nepromjenjivost uslova koji utiču na mogućnost da se događaj dogodi) ne ispunjavaju se uvijek u praktičnim situacijama. Dalja istraživanja u oblasti analize Bernulijeve šeme, sprovedena u 18.-19. veku. Laplace, Moivre, Poisson i drugi imali su za cilj stvaranje mogućnosti korištenja Bernoullijeve sheme u slučaju velikog broja testova koji teže beskonačnosti.
Književnost
1. Ventzel E.S. Teorija vjerovatnoće. - M, " postdiplomske škole" 1998
2. Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. - M, "Viša škola" 1998
3. Zbirka zadataka iz matematike za fakultete. Ed. Efimova A.V. - M, Nauka 1990
Razmotrimo Poissonovu distribuciju, izračunajmo njeno matematičko očekivanje, varijansu i mod. Koristeći MS EXCEL funkciju POISSON.DIST(), napravićemo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije, njegovo matematičko očekivanje i standardnu devijaciju.
Prvo dajemo suhu formalnu definiciju distribucije, zatim dajemo primjere situacija kada Poissonova distribucija(engleski) Poissondistribucija) je adekvatan model za opisivanje slučajne varijable.
Ako se slučajni događaji dogode u datom vremenskom periodu (ili u određenoj zapremini materije) sa prosječnom frekvencijom λ( lambda), zatim broj događaja x, dogodio u ovom vremenskom periodu će imati Poissonova distribucija.
Primjena Poissonove distribucije
Primjeri kada Poissonova distribucija je adekvatan model:
- broj primljenih poziva na telefonskoj centrali u određenom vremenskom periodu;
- broj čestica koje su bile podvrgnute radioaktivnom raspadu tokom određenog vremenskog perioda;
- broj nedostataka na komadu tkanine fiksne dužine.
Poissonova distribucija je adekvatan model ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
- događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog, tj. vjerovatnoća narednog događaja ne zavisi od prethodnog;
- prosječna stopa događaja je konstantna. Kao posljedica toga, vjerovatnoća događaja je proporcionalna dužini intervala posmatranja;
- dva događaja se ne mogu dogoditi u isto vrijeme;
- broj događaja mora imati vrijednost 0; 1; 2…
Bilješka: Dobar trag je da posmatrana slučajna varijabla ima Poissonova distribucija, je činjenica da je približno jednaka (vidi dolje).
Ispod su primjeri situacija u kojima Poissonova distribucija ne mogu primijeniti:
- broj studenata koji napuste univerzitet u roku od sat vremena (pošto prosječan protok studenata nije konstantan: tokom nastave ima malo studenata, a tokom pauze između časova broj studenata naglo raste);
- broj potresa sa amplitudom od 5 poena godišnje u Kaliforniji (pošto jedan potres može izazvati naknadne potrese slične amplitude - događaji nisu nezavisni);
- broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege (jer je broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege uvijek veći od 0).
Bilješka: Poissonova distribucija je aproksimacija tačnijeg diskretne distribucije: I .
Bilješka: O vezi Poissonova distribucija I Binomna distribucija može se pročitati u članku. O vezi Poissonova distribucija I Eksponencijalna distribucija možete pročitati u članku o.
Poissonova distribucija u MS EXCEL-u
U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Distribucije Poisson postoji funkcija POISSON.DIST() , engleski naziv- POISSON.DIST(), koji vam omogućava da izračunate ne samo vjerovatnoću onoga što će se dogoditi u datom vremenskom periodu X događaji (funkcija gustina vjerovatnoće p(x), vidi gornju formulu), ali takođe (vjerovatnoća da će tokom određenog vremenskog perioda najmanje x događaji).
Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju POISSON(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). POISSON() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.
Datoteka primjera sadrži grafikone distribucija gustine vjerovatnoće I kumulativna funkcija distribucije.
Poissonova distribucija ima nakošen oblik (dugačak rep na desnoj strani funkcije vjerovatnoće), ali kako se parametar λ povećava, postaje sve simetričniji.
Bilješka: Prosjek I disperzija(kvadrat) jednaki su parametru Poissonova distribucija– λ (vidi primjer datoteke lista Primjer).
Zadatak
Tipična primjena Poissonove distribucije u kontroli kvaliteta je model broja nedostataka koji se mogu pojaviti u instrumentu ili uređaju.
Na primjer, s prosječnim brojem defekata u čipu λ (lambda) jednakim 4, vjerovatnoća da će slučajno odabran čip imati 2 ili manje defekata je: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381
Treći parametar u funkciji je postavljen = TRUE, tako da će se funkcija vratiti kumulativna funkcija distribucije, odnosno vjerovatnoća da će broj slučajnih događaja biti u rasponu od 0 do 4 uključujući.
Izračuni se u ovom slučaju vrše prema formuli:
Vjerovatnoća da će slučajno odabrano mikrokolo imati tačno 2 defekta je: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465
Treći parametar u funkciji je postavljen = FALSE, tako da će funkcija vratiti gustoću vjerovatnoće.
Vjerovatnoća da će slučajno odabrano mikrokolo imati više od 2 kvara jednaka je: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535
Bilješka: Ako x nije cijeli broj, onda kada se izračunava formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; LAŽ) I =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; LAŽ)će vratiti isti rezultat.
Generisanje slučajnih brojeva i λ procjena
Za vrijednosti λ >15 , Poissonova distribucija dobro aproksimirano Normalna distribucija sa sljedećim parametrima: μ =λ , σ 2 =λ .
Više detalja o odnosu između ovih distribucija možete pronaći u članku. Tu su i primjeri aproksimacije, te su objašnjeni uslovi kada je to moguće i sa kojom tačnošću.
SAVJET: O drugim MS EXCEL distribucijama možete pročitati u članku.
$X$ ima Poissonovu distribuciju sa parametrom $\lambda$ ($\lambda$$>$0) ako ova vrijednost uzima nenegativne cjelobrojne vrijednosti $k=0, 1, 2,\dots$ sa vjerovatnoćama $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Simeon Denis Poisson 1837. godine)
Poissonova distribucija naziva se i zakonom retkih događaja, jer verovatnoće pk daju približnu distribuciju broja pojava nekog retkog događaja u velikom broju nezavisnih ispitivanja. U ovom slučaju pretpostavljamo $\lambda =n \cdot r$, gdje je $n$ broj Bernoullijevih pokušaja, $r$ je vjerovatnoća da se događaj dogodi u jednom ogledu.
Valjanost upotrebe Poissonovog zakona umjesto binomne distribucije za veliki broj testova data je sljedećom teoremom.
Teorema 1
Poissonova teorema.
Ako je u Bernoullijevoj šemi n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, tako da je $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (na konačan broj), onda
$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}
Nema dokaza.
Napomena 1
Poissonova formula postaje preciznija za male $p$ i velike brojeve $n$, i $n \cdot p $
Očekivana vrijednost slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju s parametrom $\lambda$:
$M(H)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}
Disperzija slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju s parametrom $\lambda$:
$D(X)$=$\lambda$ .
Primjena Poissonove formule u rješavanju problema
Primjer 1
Verovatnoća da se neispravan proizvod pojavi tokom masovne proizvodnje je 0,002$. Pronađite vjerovatnoću da u seriji od 1500 $ proizvoda neće biti više od 3 neispravna. Pronađite prosječan broj neispravnih proizvoda.
- Neka $A$ bude broj neispravnih proizvoda u seriji od 1500$ proizvoda. Tada je željena vjerovatnoća vjerovatnoća da je $A$ $\leq$ $3$. U ovom zadatku imamo Bernoullijevu šemu sa $n=1500$ i $p=0.002$. Za primjenu Poissonove teoreme, postavimo $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$. Zatim željena vjerovatnoća
- Prosječan broj neispravnih proizvoda je $M(A)$=$\lambda$=3.
Primjer 2
Centrala ustanove opslužuje pretplatnike od 100$. Vjerovatnoća da će pretplatnik nazvati u roku od $1$ minute je $0,01$. Pronađite vjerovatnoću da niko neće pozvati u roku od $1$ minute.
Neka $A$ bude broj pozivalaca na centralu tokom $1$ minuta. Tada je željena vjerovatnoća vjerovatnoća da je $A=0$. U ovom problemu je primenljiva Bernulijeva šema sa $n=100$, $p=0.01$. Da bismo koristili Poissonovu teoremu, postavili smo
$\lambda=100 \cdot 0.01=1$.
Zatim željena vjerovatnoća
$P = e^-1$ $\približno0.37$.
Primjer 3
Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Pronađite vjerovatnoće da će na tom putu doći do oštećenja
- tačno tri proizvoda;
- manje od tri proizvoda.
Uzimajući u obzir primjedbu na Poissonovu formulu, budući da je vjerovatnoća $p=0,002$ oštećenja proizvoda mala, a broj proizvoda $n=500$ veliki, a $a=n\cdot p=1
Za rješavanje drugog problema primjenjiva je formula gdje je $k1=0$ i $k2=2$. Imamo:
Primjer 4
Udžbenik je objavljen u tiražu od 100.000 dolara. Vjerovatnoća da je jedan udžbenik pogrešno uvezan je 0,0001$. Kolika je vjerovatnoća da tiraž sadrži 5$ neispravnih knjiga?
Prema uslovima problema, $n = 100000$, $p = 0,0001$.
Događaji “od $n$ knjiga tačno $m$ knjige su pogrešno spojene”, gdje je $m = 0,1,2, \dots ,100000$, nezavisni. Pošto je broj $n$ velik, a vjerovatnoća $p$ mala, vjerovatnoća $P_n (m)$ se može izračunati korištenjem Poissonove formule: $P_n$(m)$\približno \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\lambda ))(m$ , где $\lambda = np$.!}
U problemu koji se razmatra
$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = $10.
Stoga je željena vjerovatnoća $P_(100000)$(5) određena jednakošću:
$P_(100000)$ (5)$\približno \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}
Odgovor: $0,0375$.
Primjer 5
Fabrika je poslala 5.000 dolara kvalitetnih proizvoda u bazu. Verovatnoća da će se proizvod oštetiti tokom transporta je 0,0002$. Naći vjerovatnoću da tri neupotrebljiva proizvoda stignu u bazu.
Po uslovu $n=5000$; $p = 0,0002$; $k = 3$. Nađimo $\lambda$:
$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.
Tražena vjerovatnoća prema Poissonovoj formuli jednaka je:
Primjer 6
Vjerovatnoća da će jedan pretplatnik nazvati telefonsku centralu u roku od jednog sata je 0,01. U roku od sat vremena javilo se 200 pretplatnika. Pronađite vjerovatnoću da će 3 pretplatnika nazvati u roku od sat vremena.
Uzimajući u obzir stanje problema, vidimo da:
Nađimo $\lambda $ za Poissonovu formulu:
\[\lambda =np=200\cdot 0.01=2.\]
Zamijenite vrijednosti u Poissonovu formulu i dobijte vrijednost:
Primjer 7
Na fakultetu ima 500 studenata. Kolika je vjerovatnoća da je 1. septembar rođendan 2 učenika u isto vrijeme?
Imamo $n=500$; $p=1/365 \približno 0,0027$, $q=0,9973$. Pošto je broj testova veliki, a verovatnoća izvršenja veoma mala i $npq=1.35\
Uvod
Teorija vjerovatnoće je matematičke nauke, proučavanje obrazaca u slučajnim pojavama. Danas je to punopravna nauka sa velikim praktični značaj.
Istorija teorije verovatnoće seže do XVII vijeka, kada su učinjeni prvi pokušaji sistematskog proučavanja problema vezanih za masovne slučajne pojave i pojavio se odgovarajući matematički aparat. Od tada, mnoge osnove su razvijene i produbljene u trenutne koncepte, a otkriveni su i drugi važni zakoni i obrasci. Mnogi naučnici su radili i rade na problemima u teoriji vjerovatnoće.
Među njima se ne može ne obratiti pažnja na radove Simeona Denisa Poissona ((1781–1840) - francuskog matematičara), koji je dokazao opštiju formu zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a takođe je prvi put primenio teorija vjerovatnoće za probleme pucanja. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.
Broj pojavljivanja određenog slučajnog događaja u jedinici vremena, kada činjenica pojave ovog događaja u datom eksperimentu ne zavisi od toga koliko se puta i u kom trenutku dogodio u prošlosti, i ne utiče budućnost. A testovi se provode u stacionarnim uslovima, tada se Poissonov zakon obično koristi za opisivanje distribucije takve slučajne varijable (ovu distribuciju je prvi predložio i objavio ovaj naučnik 1837.).
Ovaj zakon se također može opisati kao granični slučaj binomske distribucije, kada je vjerovatnoća p pojave događaja koji nas zanima u jednom eksperimentu vrlo mala, ali je broj eksperimenata m izvedenih po jedinici vremena prilično velik , naime, takav da u procesu p
0 i m, proizvod mp teži nekoj pozitivnoj konstantnoj vrijednosti (tj. mp).Stoga se Poissonov zakon često naziva i zakonom rijetkih događaja.
Poissonova raspodjela u teoriji vjerovatnoće
Funkcija i distribucijski niz
Poissonova distribucija je poseban slučaj binomna distribucija (sa n>> 0 i at str–> 0 (rijetki događaji)).
Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da približno izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:
Gdje a = n · str je Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije
pm = C n m · p m· (1 - str)n – m
može se napisati ako staviš str = a/n, as
Jer str je vrlo mala, onda treba uzeti u obzir samo brojke m, mali u odnosu na n. Posao
veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu
veoma blizu e –a. Odavde dobijamo formulu:
Eulerov broj (2,71...). ,Za funkciju generiranja
imamo količine:Funkcija kumulativne raspodjele vjerovatnoće je jednaka
Klasičan primjer slučajne varijable distribuirane prema Poissonu je broj automobila koji prolaze kroz određenu dionicu puta u određenom vremenskom periodu. Također možete primijetiti takve primjere kao što su broj zvijezda na dijelu neba određene veličine, broj grešaka u tekstu određene dužine, broj telefonskih poziva u pozivnom centru ili broj poziva na web server u određenom vremenskom periodu.
Red distribucije slučajne varijable X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:
| x m | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| pm | e-a | … | … |
Na sl. 1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable X prema Poissonovom zakonu, što odgovara različitim vrijednostima parametra A.
Prvo, uvjerimo se da slijed vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih verovatnoća Rm jednako jedan.
Koristimo proširenje funkcije e x u Maclaurin seriji:
Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost X, dakle, uzimanje x=a, dobijamo
dakle
Numeričke karakteristike Odredbe o Poissonovoj distribuciji
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Po definiciji, kada diskretna slučajna varijabla uzme prebrojiv skup vrijednosti:
Prvi član sume (odgovarajući m=0 ) jednaka je nuli, dakle, zbrajanje može početi od m=1 :
Dakle, parametar A nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.
Pored matematičkog očekivanja, položaj slučajne varijable karakteriše njen mod i medijan.
Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost.
Za kontinuirana vrijednost Mod se naziva tačka lokalnog maksimuma funkcije gustoće vjerovatnoće. Ako poligon ili kriva distribucije ima jedan maksimum (slika 2a), tada se distribucija naziva unimodalna, a ako postoji više od jednog maksimuma, multimodalna je (posebno, distribucija sa dva moda se naziva bimodalna). Distribucija koja ima minimum naziva se antimodalna (slika 2 b)
x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x
Najvjerovatnija vrijednost slučajne varijable je način koji daje globalnu maksimalnu vjerovatnoću za diskretnu slučajnu varijablu ili gustinu distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu.
Medijan je vrijednost x l koja dijeli područje ispod grafa gustine vjerovatnoće na pola, tj. Medijan je bilo koji korijen jednadžbe. Matematičko očekivanje možda ne postoji, ali medijana uvijek postoji i može se dvosmisleno definirati.
Medijan slučajne varijable
njegova vrijednost = x med se naziva tako da je P (< x med) = Р ( >x med) = .Numeričke karakteristike raspršenosti
Varijanca slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
