Formula za pronalaženje površine trokuta sa kosinusom. Pitagorina teorema za pronalaženje stranice pravouglog trougla
Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih stranica i sinusa ugla između njih.
dokaz:
Razmotrimo proizvoljan trougao ABC. Neka je stranica BC = a, stranica CA = b i S površina ovog trokuta. To je potrebno dokazati S = (1/2)*a*b*sin(C).
Za početak, uvedemo pravougaoni koordinatni sistem i postavimo početak koordinata u tačku C. Postavimo naš koordinatni sistem tako da tačka B leži na pozitivnom pravcu ose Cx, a tačka A ima pozitivnu ordinatu.
Ako je sve urađeno kako treba, trebali biste dobiti sljedeći crtež.
Površina datog trokuta može se izračunati pomoću sljedeće formule: S = (1/2)*a*h, gdje je h visina trougla. U našem slučaju, visina trougla h jednaka je ordinati tačke A, odnosno h = b*sin(C).
Uzimajući u obzir dobijene rezultate, formula za površinu trokuta može se prepisati na sljedeći način: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Rješavanje problema
Zadatak 1. Nađite površinu trougla ABC, ako je a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, ugao A = 60 stepeni b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ugao B = 45 stepeni c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, ugao C = 48 stepeni.
Prema gore dokazanoj teoremi, površina S trougla ABC jednaka je:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Uradimo kalkulacije:
a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Izračunavamo vrijednost sinusa ugla na kalkulatoru ili koristimo vrijednosti iz tablice vrijednosti trigonometrijski uglovi. odgovor:
a) 12*√6 cm^2.
c) približno 36,41 cm^2.
Zadatak 2. Površina trougla ABC je 60 cm^2. Pronađite stranu AB ako je AC = 15 cm, ugao A = 30˚.
Neka je S površina trougla ABC. Po teoremi o površini trougla imamo:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Zamijenimo vrijednosti koje imamo u njega:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Odavde izražavamo dužinu stranice AB: AB = (60*4)/15 = 16.
Ako problem daje duljine dviju stranica trokuta i kut između njih, tada možete primijeniti formulu za površinu trokuta kroz sinus.
Primjer izračunavanja površine trokuta pomoću sinusa. Zadate stranice su a = 3, b = 4 i ugao γ = 30°. Sinus ugla od 30° je 0,5 
Površina trokuta će biti 3 kvadratna metra. cm.
Mogu postojati i drugi uslovi. Ako su date dužina jedne strane i uglovi, prvo morate izračunati ugao koji nedostaje. Jer zbir svih uglova trougla je 180°, tada:
Površina će biti jednaka polovini kvadrata stranice pomnožene s razlomkom. Njegov brojilac je proizvod sinusa susjednih uglova, a nazivnik je sinus suprotnog ugla. Sada izračunavamo površinu koristeći sljedeće formule:
Na primjer, dat je trokut sa stranicom a=3 i uglovima γ=60°, β=60°. Izračunajte treći ugao: 
Zamjena podataka u formulu
Nalazimo da je površina trokuta 3,87 kvadratnih metara. cm.
II. Površina trougla kroz kosinus
Da biste pronašli površinu trokuta, morate znati dužine svih strana. Koristeći kosinusni teorem, možete pronaći nepoznate strane, a tek onda ih koristiti.
Prema teoremi kosinusa, kvadrat nepoznate stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata preostalih stranica minus dvostruki proizvod ovih stranica i kosinus ugla između njih.
Iz teoreme izvodimo formule za pronalaženje dužine nepoznate stranice:
Znajući kako pronaći stranu koja nedostaje, s dvije strane i kutom između njih, lako možete izračunati površinu. Formula za površinu trokuta kroz kosinus pomaže da se brzo i jednostavno pronađu rješenja za različite probleme.
Primjer izračunavanja formule za površinu trokuta pomoću kosinusa
Dat je trokut sa poznatim stranicama a = 3, b = 4 i uglom γ = 45°. Prvo, pronađimo stranu koja nedostaje With. Kosinus 45°=0,7. Da bismo to učinili, zamjenjujemo podatke u jednačinu izvedenu iz kosinus teoreme.
Sada koristeći formulu, nalazimo
strana trokut se može otkriti ne samo duž perimetra i površine, već i duž date stranice i uglova. Za to se koriste trigonometrijske funkcije - sinus and co sinus. Problemi koji uključuju njihovu upotrebu nalaze se u školski kurs geometrije, kao i na univerzitetskom predmetu analitička geometrija i linearna algebra.
Uputstva
1. Ako znate jednu od stranica trokuta i ugao između nje i njegove druge strane, koristite trigonometrijske funkcije - sinus om and co sinus ohm Zamislite pravougli trougao, NBC, čiji je ugao? jednak 60 stepeni. NBC trougao je prikazan na slici. Jer sinus, kao što je poznato, je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, i sinus– odnos susednog kraka prema hipotenuzi, za rešavanje problema koristite dalji odnos između ovih parametara: sin = NB/BCA, ako želite da saznate katet pravougaonog trougla, izrazi ga kroz hipotenuzu na sljedeći način: NB=BC*sin?
2. Ako je u iskazu problema, naprotiv, dat krak trougla, nađite njegovu hipotenuzu, vodeći se daljim odnosom između datih veličina: BC = NB/sin Po analogiji, pronađite stranice trougla i koristeći co? sinus i, mijenjajući prethodni izraz na sljedeći način: cos ?
3. U osnovnoj matematici postoji prikaz teoreme sinus ov. Vođeni činjenicama koje ova teorema opisuje, moguće je otkriti i stranice trougla. Osim toga, omogućava vam da otkrijete stranice trokuta upisanog u krug ako znate polumjer potonjeg. Da biste to učinili, koristite odnos dat u nastavku: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2ROva teorema je primjenjiva kada su poznate dvije stranice i ugao trokuta, ili jedan od uglova trougla i dati su poluprečnik kruga koji je opisan oko njega.
4. Osim teoreme sinus ov, postoji i teorema koja joj je u suštini slična sinus ov, koji je, kao i prethodni, također primjenjiv na trouglove sve 3 varijante: pravokutni, oštar i tupougaoni. Vođeni činjenicama koje dokazuju ovu teoremu, moguće je pronaći nepoznate veličine koristeći sljedeće odnose između njih: c^2=a^2+b^2-2ab*cos?
Geometrijska figura koja se sastoji od tri boda, koji ne pripadaju jednoj liniji, nazivaju se vrhovi, a tri uparna segmenta koja ih povezuju, a nazivaju se stranice, nazivaju se trougao. Postoji mnogo problema za pronalaženje stranica i uglova trokuta s obzirom na ograničen broj početnih podataka, jedan od tih problema je pronalaženje stranice trokuta s obzirom na jednu od njegovih stranica i dvije uglovi .
Uputstva
1. Neka se konstruiše trougao?ABC i poznata stranica BC i uglovi?? i?? Poznato je da je zbir uglova bilo kojeg trougla 180?, dakle u trouglu je ugao?? će biti jednaki?? = 180? – (?? + ??). Stranice AC i AB se mogu pronaći pomoću teoreme sinusa, koja kaže AB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, gdje je R polumjer kružnice opisane oko trougla, onda dobijamo R = BC/sin??, AB = 2 * R * sin??, AC = 2 * R * sin?? Teorema sinusa se može koristiti kada su sve vrste podataka na 2 ugla i strane.
2. Stranice datog trougla se mogu naći izračunavanjem njegove površine pomoću formule S = 2 * R? *grijeh?? *grijeh?? * sin??, gdje se R izračunava po formuli R = BC/sin??, R je poluprečnik opisanog trougla ABC odavde strana AB se može otkriti izračunavanjem visine spuštene na ith = BC * sin??, a zatim pomoću formule S = 1/2 * h * AB imamo AB = 2 * S/h Na sličan način moguće je izračunati strana AC.
3. Ako su vanjski uglovi trougla dati kao uglovi?? i??, onda je moguće detektovati unutrašnje uglove uz podršku odgovarajućih relacija?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??) Zatim nastavljamo na sličan način kao prve dvije točke.
Razumevanje trouglova matematičari su sprovodili nekoliko hiljada godina. Nauka o trouglovima - trigonometrija - koristi posebne veličine: sinus i kosinus.
Pravokutni trokut
U početku su sinus i kosinus proizašli iz potrebe da se izračunaju količine u pravokutnim trokutima. Primjećeno je da ako se mjera stupnjeva uglova u pravokutnom trokutu ne mijenja, onda omjer stranica, bez obzira koliko se ove stranice mijenjaju po dužini, ostaje uvijek identičan. Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, a kosinus je omjer stranice koja je susjedna hipotenuzi.
Teoreme kosinusa i sinusa
Ali kosinus i sinus se mogu koristiti za više od pravokutnih trougla. Da bi se otkrila vrijednost tupog ili oštrog ugla, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teoremu o kosinusima i sinusima zbroj kvadrata druge 2 strane umanjen za dvostruki proizvod ovih stranica za kosinus ugla između njih.” Postoje dva tumačenja teoreme sinusa: mala i proširena. Prema maloljetniku: "U trouglu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama." Ova teorema se često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: „U trokutu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov omjer je jednak prečniku opisane kružnice.“
Derivati
Izvod je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na metamorfozu njenog argumenta. Derivati se koriste u algebri, geometriji, ekonomiji i fizici, te nizu tehničkih disciplina. Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti izvoda trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Derivat sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali sa predznakom minus.
Primjena u matematici
Sinusi i kosinusi se posebno često koriste pri rješavanju pravokutnih trokuta i problema vezanih za njih. Pogodnost sinusa i kosinusa ogleda se iu tehnologiji. Bilo je primitivno procjenjivati uglove i stranice koristeći teoreme kosinusa i sinusa, razbijajući teške oblike i objekte u "primitivne" trokute. Inženjeri i arhitekti, koji su se često bavili proračunima omjera i stupnjeva, utrošili su mnogo vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netabelarnih uglova. Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže hiljade vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih uglova. IN Sovjetsko doba neki nastavnici su prisiljavali svoje učenike da uče stranice Bradisovih tabela napamet.
U životu ćemo se često morati suočiti matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim pomoći svom djetetu da završi domaći zadatak. Ljudi u određenim profesijama svakodnevno će se susresti s matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku ćemo pogledati jedan od njih: pronalaženje stranice pravokutnog trokuta.
Šta je pravougli trougao
Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao zovu se noge, a strana koja leži nasuprot pravi ugao– hipotenuza.
Pronalaženje kraka pravouglog trougla
Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.
Pitagorina teorema za pronalaženje stranice pravouglog trougla
Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformišemo formulu i dobijamo: a²=c²-b².
Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm Transformišemo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim rješavamo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta
Također možete pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga strana i bilo koji oštar ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje noge pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangent, kotangens. Tabela u nastavku će nam pomoći da riješimo probleme. Hajde da razmotrimo ove opcije.
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus
Sinus ugla (sin) je omjer suprotne strane i hipotenuze. Formula: sin=a/c, gdje je a krak nasuprot datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.
Primjer. Hipotenuza je 10 cm, ugao A je 30 stepeni. Pomoću tabele izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus
Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos=b/c, gdje je b krak koji graniči sa datim uglom, a c je hipotenuza. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: b=cos*c.
Primjer. Ugao A je jednak 60 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm Pomoću tabele izračunavamo kosinus ugla A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Nađite krak pravokutnog trokuta koristeći tangentu
Tangent ugla (tg) je omjer suprotne i susjedne strane. Formula: tg=a/b, gdje je a strana suprotna kutu, a b susjedna strana. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: a=tg*b.
Primjer. Ugao A je jednak 45 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm. Pomoću tabele izračunavamo tangens ugla A, jednak je Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens
Kotangens ugla (ctg) je omjer susjedne i suprotne strane. Formula: ctg=b/a, gdje je b strana susjedna kutu, a suprotna strana. Drugim riječima, kotangens je “obrnuta tangenta”. Dobijamo: b=ctg*a.
Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak je 5 cm prema tabeli, tangens ugla A je √3. Računamo: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.
Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija, čija upotreba nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračunavanje trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračunavanje sinusa ponekad je potrebno za rješavanje raznih problema. Općenito, izračunavanje sinusa će pomoći u konsolidaciji vještina crtanja i znanja o trigonometrijskim identitetima.
Igre s ravnalom i olovkom
Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus ugla nacrtanog na papiru? Za rješavanje trebat će vam obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa ugla je dijeljenje krajnjeg kraka trougla sa pravim uglom sa dugom stranom - hipotenuzom. Dakle, prvo morate dovršiti oštar ugao u obliku pravokutnog trokuta tako što ćete povući liniju okomitu na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Trebat ćemo održati ugao od tačno 90°, za šta nam je potreban klerikalni trougao.
Korištenje kompasa je malo preciznije, ali će trebati više vremena. Na jednoj od zraka trebate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između tačaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se ne dobiju sjecišta ovih linija. Spajanjem presječnih točaka naših kružnica jedna s drugom, dobijamo strogu okomicu na zraku našeg ugla, sve što ostaje je produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.
U rezultirajućem trokutu trebate pomoću ravnala izmjeriti stranu nasuprot kutu i dugu stranu na jednoj od zraka. Omjer prve dimenzije prema drugoj bit će željena vrijednost sinusa oštrog ugla.
Pronađite sinus za ugao veći od 90°
Za tupi ugao zadatak nije mnogo teži. Morate nacrtati zrak od vrha do suprotnoj strani pomoću ravnala formiramo pravu liniju sa jednom od zraka ugla koji nas zanima. Sa primljenim akutni ugao treba postupiti kako je gore opisano, sinusi susjednih uglova koji zajedno čine obrnuti ugao od 180° su jednaki.
Izračunavanje sinusa korištenjem drugih trigonometrijskih funkcija
Također, izračunavanje sinusa je moguće ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija ugla ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.
Kako pronaći sinus sa poznatim kosinusom ugla? Prvi trigonometrijski identitet, zasnovan na Pitagorinoj teoremi, kaže da je zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla jednak jedan.
Kako pronaći sinus sa poznatim tangentom ugla? Tangenta se dobije dijeljenjem daleke strane sa bližom stranom ili dijeljenjem sinusa sa kosinusom. Dakle, sinus će biti proizvod kosinusa i tangente, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog proizvoda. Kvadrat kosinusa zamjenjujemo s razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa prema prvom trigonometrijskom identitetu i, jednostavnim manipulacijama, svodimo jednačinu na izračunavanje kvadratnog sinusa kroz tangentu, da bismo izračunali sinus moraju izvući korijen dobivenog rezultata.
Kako pronaći sinus sa poznatim kotangensom ugla? Vrijednost kotangensa se može izračunati tako što se dužina kraka najbliže kutu podijeli s dužinom daljeg, kao i kosinus podijeli sa sinusom, odnosno kotangens je funkcija inverzna tangentnoj relativnoj na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangentu koristeći formulu tg α = 1 / ctg α i koristiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti direktnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.
Kako pronaći sinus tri strane trougla
Postoji formula za pronalaženje dužine nepoznate stranice bilo kojeg trougla, a ne samo pravougaonog, iz dva poznate stranke koristeći trigonometrijska funkcija kosinus suprotnog ugla. Ona izgleda ovako.
