Diferencijalne jednadžbe drugog reda, metoda varijacije. ODU. Metoda varijacije proizvoljne konstante. Društvene transformacije. Država i Crkva

Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednačinu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n osnovni sistem rješenja i neka je opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednačine (2) u obliku
. (3)
Uvjerimo se da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednačinu, nalazimo njene derivate. Prvi izvod je jednak
. (4)
Prilikom izračunavanja drugog izvoda, četiri člana će se pojaviti na desnoj strani od (4), kada se računa treći izvod pojavit će se osam članova i tako dalje. Stoga je, radi pogodnosti daljih proračuna, prvi član u (4) postavljen jednak nuli. Uzimajući ovo u obzir, drugi izvod je jednak
. (5)
Iz istih razloga kao i ranije, u (5) smo također postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod je
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvoda u originalnu jednačinu imamo
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n rješenja odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Kombinacijom sa prethodnim dobijamo sistem algebarskih jednadžbi za nalaženje funkcija C" j (x)
(8)
Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskog osnovnog sistema rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Posljedično, postoji jedinstveno rješenje za sistem (8). Nakon što smo ga pronašli, dobijamo funkcije C" j (x), j=1,2,…,n, i, posljedično, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenom ovih vrijednosti u (3), dobijamo rješenje linearne nehomogene jednačine.
Prikazana metoda se naziva metodom varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeovom metodom.

Primjer br. 1. Nađimo opšte rješenje jednačine y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu y"" + 4y" + 3y = 0. Njeni korijeni karakteristična jednačina r 2 + 4r + 3 = 0 jednaki su -1 i -3. Dakle, osnovni sistem rješenja homogene jednačine sastoji se od funkcija y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednačine u obliku y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli izvode C" 1 , C" 2 sastavljamo sistem jednadžbi (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo
Konačno dobijamo

Primjer br. 2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima koristeći metodu varijabilnih proizvoljnih konstanti:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Rješenje:
Ova diferencijalna jednadžba se odnosi na linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima.
Tražit ćemo rješenje jednačine u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednačinu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Prema tome, osnovni sistem rješenja sastoji se od funkcija: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Opće rješenje homogene jednačine ima oblik: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Tražiti određeno rješenje metodom variranja proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli izvode od C" i sastavljamo sistem jednačina:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
i zamijenite ga drugom. Kao rezultat dobijamo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Dobijene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Kako je y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, zapisujemo rezultirajuće izraze u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opšte rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Nađimo određeno rješenje pod uslovom:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Zamjenom x = 0 u pronađenu jednačinu dobijamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvi izvod dobijenog opšteg rešenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobijamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Dobijamo sistem od dve jednačine:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ili
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ili
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Od: C 1 = 0, C * 2 = 2
Privatno rješenje će biti napisano kao:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Razmatrana je metoda rješavanja linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda sa konstantnim koeficijentima metodom varijacije Lagrangeovih konstanti. Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine.

Sadržaj

Vidi također:

Lagrangeova metoda (varijacija konstanti)

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima proizvoljnog n-tog reda:
(1) .
Metoda varijacije konstante, koju smo razmatrali za jednačinu prvog reda, primjenjiva je i za jednačine višeg reda.

Rješenje se izvodi u dvije faze. U prvom koraku odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednačinu. Kao rezultat, dobijamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugoj fazi mijenjamo konstante. To jest, vjerujemo da su ove konstante funkcije nezavisne varijable x i nalazimo oblik ovih funkcija.

Iako ovdje razmatramo jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine. Da bi se to postiglo, međutim, mora biti poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine.

Korak 1. Rješavanje homogene jednačine

Kao iu slučaju jednadžbi prvog reda, prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine, izjednačavajući desnu nehomogenu stranu sa nulom:
(2) .
Opšte rješenje ove jednačine je:
(3) .
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno nezavisnih rješenja homogene jednačine (2), koja čine osnovni sistem rješenja ove jednačine.

Korak 2. Varijacija konstanti - zamjena konstanti funkcijama

U drugoj fazi bavit ćemo se varijacijom konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x:
.
Odnosno, tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u sljedećem obliku:
(4) .

Ako zamijenimo (4) u (1), dobićemo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju ove funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Tada dobijete n jednadžbi iz kojih se može odrediti n funkcija. Dodatne jednačine se mogu napisati na različite načine. Ali to ćemo učiniti tako da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, kada diferencirate, trebate izjednačiti na nulu pojmove koji sadrže derivate funkcija. Hajde da to demonstriramo.

Za zamjenu predloženog rješenja (4) u originalnu jednačinu (1), potrebno je pronaći izvode prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Diferenciramo (4) koristeći pravila diferencijacije zbira i proizvoda:
.
Hajde da grupišemo članove. Prvo zapisujemo pojmove s izvedenicama od , a zatim članove s derivatima od :

.
Nametnimo prvi uslov funkcijama:
(5.1) .
Tada će izraz za prvi izvod u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1) .

Koristeći istu metodu, nalazimo drugi izvod:

.
Hajde da nametnemo drugi uslov funkcijama:
(5.2) .
Onda
(6.2) .
I tako dalje. U dodatnim uslovima izjednačavamo članove koji sadrže derivate funkcija sa nulom.

Dakle, ako odaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prvi derivati ​​u odnosu na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
Evo.

Pronađite n-tu izvodnicu:
(6.n)
.

Zamijenite u originalnu jednačinu (1):
(1) ;






.
Uzmimo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednačinu (2):
.
Tada zbir članova koji sadrže nulu daje nulu. Kao rezultat dobijamo:
(7) .

Kao rezultat, dobili smo sistem linearne jednačine za derivate:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo izraze za izvode kao funkciju x. Integracijom dobijamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne zavise od x. Zamjenom u (4) dobijamo opće rješenje originalne jednačine.

Imajte na umu da za određivanje vrijednosti derivacija nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni. Zbog toga Lagrangeova metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe, ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2).

Primjeri

Jednačine rješavati metodom varijacije konstanti (Lagrange).


Rješenje primjera >> >

Vidi također: Rješavanje jednadžbi prvog reda metodom varijacije konstante (Lagrange)
Rješavanje jednadžbi višeg reda primjenom Bernoullijeve metode
Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda sa konstantnim koeficijentima linearnom zamjenom

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruiranje rješenja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sastoji se od zamjene proizvoljnih konstanti c k u opštem rešenju

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

odgovarajuća homogena jednačina

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

za pomoćne funkcije c k (t) , čiji derivati ​​zadovoljavaju linearni algebarski sistem

Determinanta sistema (1) je Wronskian funkcija z 1 ,z 2 ,...,z n , što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost u odnosu na .

Ako su antiderivati ​​za , uzeti za fiksne vrijednosti integracione konstante, zatim funkciju

je rješenje originalne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogene jednačine u prisustvu opšteg rešenja odgovarajuće homogene jednačine se tako svodi na kvadrature.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruisanje rješenja sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi u vektorskom normalnom obliku

sastoji se u konstruisanju određenog rješenja (1) u obliku

Gdje Z(t) je osnova rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe, zapisana u obliku matrice, a vektorska funkcija , koja je zamijenila vektor proizvoljnih konstanti, definirana je relacijom . Traženo određeno rješenje (sa nultim početnim vrijednostima pri t = t 0 izgleda

Za sistem sa konstantnim koeficijentima, poslednji izraz je pojednostavljen:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) pozvao Cauchy matrica operater L = A(t) .

Predavanje 44. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima. (posebna desna strana).

Društvene transformacije. Država i crkva.

Socijalna politika Boljševici su uglavnom bili diktirani klasnim pristupom. Dekretom od 10. novembra 1917. uništen je staleški sistem, ukinuti su predrevolucionarni činovi, titule i nagrade. Ustanovljen je izbor sudija; izvršena je sekularizacija građanskih država. Ustanovljeno besplatno obrazovanje i medicinska usluga(dekret od 31. oktobra 1918.). Žene su dobile jednaka prava sa muškarcima (dekreti od 16. i 18. decembra 1917.). Uredbom o braku uvedena je institucija građanskog braka.

Dekretom Veća narodnih komesara od 20. januara 1918. crkva je odvojena od države i od obrazovnog sistema. Većina crkvene imovine je oduzeta. Patrijarh moskovski i sve Rusije Tihon (izabran 5. novembra 1917.) anatemisan 19. januara 1918. Sovjetska vlast i pozvao na borbu protiv boljševika.

Razmotrimo linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda

Struktura općeg rješenja takve jednačine određena je sljedećom teoremom:

Teorema 1. Opće rješenje nehomogene jednadžbe (1) je predstavljeno kao zbir nekog posebnog rješenja ove jednačine i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednačine

Dokaz. Potrebno je dokazati da je iznos

je opšte rješenje jednačine (1). Dokažimo prvo da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1).

Zamjena sume u jednačinu (1) umjesto at, imaće

Pošto postoji rješenje jednadžbe (2), izraz u prvim zagradama identično je jednak nuli. Pošto postoji rješenje jednačine (1), izraz u drugoj zagradi je jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan.

Dokažimo drugu tvrdnju: izraz (3) je general rješenje jednačine (1). Moramo dokazati da proizvoljne konstante uključene u ovaj izraz mogu biti odabrane tako da su početni uvjeti zadovoljeni:

kakve god da su brojke x 0 , y 0 i (ako samo x 0 preuzeta je iz područja gdje se obavljaju funkcije a 1, a 2 I f(x) kontinuirano).

Primjećujući da se može predstaviti u obliku . Tada ćemo, na osnovu uslova (5), imati

Hajde da riješimo ovaj sistem i odredimo C 1 I C 2. Prepišimo sistem u obliku:

Imajte na umu da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za funkcije u 1 I u 2 u tački x=x 0. Pošto su ove funkcije linearno nezavisne po uslovu, determinanta Wronskog nije jednaka nuli; stoga sistem (6) ima definitivno rješenje C 1 I C 2, tj. postoje takva značenja C 1 I C 2, po kojoj formula (3) određuje rješenje jednačine (1) koje zadovoljava date početne uslove. Q.E.D.

Idemo dalje opšta metoda pronalaženje parcijalnih rješenja nehomogene jednačine.

Napišimo opšte rješenje homogene jednadžbe (2)

Potražićemo posebno rješenje nehomogene jednadžbe (1) u obliku (7), s obzirom na C 1 I C 2 poput nekih još nepoznatih funkcija iz X.

Razlikujemo jednakost (7):

Odaberimo funkcije koje tražite C 1 I C 2 tako da vrijedi jednakost

Ako uzmemo u obzir ovaj dodatni uvjet, tada će prvi izvod poprimiti oblik

Razlikujući sada ovaj izraz, nalazimo:

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo

Izrazi u prva dva zagrada postaju nula, pošto y 1 I y 2– rješenja homogene jednačine. Stoga posljednja jednakost poprima oblik

Dakle, funkcija (7) će biti rješenje nehomogene jednadžbe (1) ako su funkcije C 1 I C 2 zadovoljavaju jednačine (8) i (9). Napravimo sistem jednačina iz jednačina (8) i (9).

Budući da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za linearno nezavisna rješenja y 1 I y 2 jednačina (2), onda nije jednako nuli. Stoga, rješavajući sistem, nalazimo kao određene funkcije od X:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo , odakle, kao rezultat integracije, dobijamo . Zatim, zamjenjujemo pronađene funkcije u formulu, dobivamo opće rješenje nehomogene jednadžbe, gdje su proizvoljne konstante.

Teoretski minimum

U teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima prilično visok stepen univerzalnosti za ovu teoriju.
Riječ je o metodi varijacije proizvoljne konstante, primjenjivoj na rješavanje različitih klasa diferencijalnih jednadžbi i njihovih
sistemima To je upravo slučaj kada je teorija - ako izvučemo dokaze tvrdnji iz zagrada - minimalna, ali nam omogućava da postignemo
značajni rezultati, pa će akcenat biti na primjerima.

Opća ideja metode je prilično jednostavna za formuliranje. Neka zadata jednačina(sistem jednačina) je teško rešiv ili potpuno nerazumljiv,
kako to riješiti. Međutim, jasno je da se eliminacijom nekih članova iz jednačine ona rješava. Tada rješavaju upravo ovo pojednostavljeno
jednadžbe (sistema), dobijamo rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redoslijedu jednačine (broj
jednačine u sistemu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante, već pronađeno rješenje
se zameni u originalnu jednačinu (sistem), dobije se diferencijalna jednačina (ili sistem jednačina) da bi se odredile „konstante“.
Postoji određena specifičnost u primjeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite probleme, ali to su već specifičnosti koje će
demonstrirano na primjerima.

Razmotrimo posebno rješenje linearnih nehomogenih jednačina višeg reda, tj. jednačine oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine i određenog rješenja
ove jednačine. Pretpostavimo da je opšte rešenje homogene jednačine već pronađeno, odnosno da je konstruisan fundamentalni sistem rešenja (FSS).
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe jednako .
Moramo pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednačine. U tu svrhu smatra se da konstante zavise od varijable.
Zatim morate riješiti sistem jednačina
.
Teorija garantuje da ovaj sistem algebarskih jednadžbi u odnosu na izvode funkcija ima jedinstveno rešenje.
Prilikom pronalaženja samih funkcija, konstante integracije se ne pojavljuju: na kraju krajeva, traži se bilo koje jedno rješenje.

U slučaju rješavanja sistema linearnih nehomogenih jednačina prvog reda oblika

algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći FSR odgovarajućeg homogenog sistema jednadžbi, sastaviti osnovnu matricu
sistema, čije kolone predstavljaju elemente FSR-a. Zatim se sastavlja jednačina
.
Prilikom rješavanja sistema određujemo funkcije i na taj način nalazimo određeno rješenje za originalni sistem
(osnovna matrica se množi sa stupcem pronađenih funkcija).
Dodajemo ga opštem rješenju odgovarajućeg sistema homogenih jednačina, koji je konstruisan na osnovu već pronađenog FSR-a.
Dobija se generalno rješenje originalnog sistema.

Primjeri.

Primjer 1. Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.

Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu (označavamo željenu funkciju):
.
Ova jednačina se lako može riješiti korištenjem metode razdvajanja varijabli:

.
Sada zamislimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku , gdje funkcija tek treba biti pronađena.
Ovu vrstu rješenja zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
Kao što vidite, drugi i treći termin na lijevoj strani se međusobno poništavaju - to je karakteristika metoda varijacije proizvoljne konstante.

Ovdje je to već zaista proizvoljna konstanta. dakle,
.

Primjer 2. Bernulijeva jednačina.

Nastavljamo slično kao u prvom primjeru - rješavamo jednačinu

metoda razdvajanja varijabli. Ispada, pa tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku
.
Ovu funkciju zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
I opet dolazi do smanjenja:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja sa rješenjem ne izgubi. I rješenje originalnog odgovara slučaju
jednačine Zapamtimo to. dakle,
.
Hajde da to zapišemo.
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i prethodno pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara nijednoj konačnoj vrijednosti
konstante

Primjer 3. Linearne nehomogene jednadžbe višeg reda.

Odmah napominjemo da se ova jednačina može jednostavnije riješiti, ali je zgodno demonstrirati metodu pomoću nje. Iako neke prednosti
Metoda varijacije također ima proizvoljnu konstantu u ovom primjeru.
Dakle, morate početi s FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo da se za pronalaženje FSR-a sastavlja karakteristična kriva
jednačina
.
Dakle, opšte rešenje homogene jednačine
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Pravljenje sistema