Vrste afine transformacije. Rješavanje problema korištenjem afine transformacije. Kako su polinomi i linearne transformacije povezani

Afina transformacija je ona koja čuva paralelizam linija, ali ne nužno uglove ili dužine.
U kompjuterskoj grafici sve što pripada dvodimenzionalnom slučaju obično se označava simbolom 2D (2-dimenzionalno). Pretpostavimo da je u ravni uveden pravolinijski koordinatni sistem. Tada se svakoj tački M pripisuje uređeni par brojeva (x, y) njenih koordinata (slika 1).

Gornje formule se mogu posmatrati na dva načina: ili se tačka čuva i menja koordinatni sistem, u kom slučaju proizvoljna tačka M ostaje ista, menjaju se samo njene koordinate (x, y) (x*, y*), ili tačka se menja i koordinatni sistem u ovom slučaju je očuvan. U ovom slučaju, formule definišu preslikavanje koje vodi proizvoljnu tačku M(x, y) u tačku M*(x*, y*), čije su koordinate definisan u istom koordinatnom sistemu. U budućnosti ćemo tumačiti formule, po pravilu, da se tačke ravni transformišu u datom sistemu pravolinijskih koordinata.
U afinim transformacijama ravni posebnu ulogu ima nekoliko važnih specijalnih slučajeva koji imaju dobro sledljive geometrijske karakteristike. Prilikom proučavanja geometrijskog značenja numeričkih koeficijenata u formulama za ove slučajeve, zgodno je pretpostaviti da je dati koordinatni sistem pravougaoni kartezijanski.
Najčešće korištene tehnike kompjuterske grafike su: translacija, skaliranje, rotacija, refleksija. Algebarski izrazi i brojke koje objašnjavaju ove transformacije sažete su u tabeli 1.

Afine transformacije na ravni

Pod prijenosom podrazumijevamo pomicanje izlaznih primitiva na isti vektor.
Skaliranje je povećanje ili smanjenje cijele slike ili njenog dijela. Prilikom skaliranja, koordinate tačaka slike se množe određenim brojem.
Rotacija se odnosi na rotaciju izlaznih primitiva oko date ose. (U ravni crtanja, rotacija se dešava oko tačke.)
Refleksija se odnosi na dobijanje zrcalne slike slike u odnosu na jednu od osa (na primjer, X).
Izbor ova četiri posebna slučaja određen je dvijema okolnostima:
1. Svaka od navedenih transformacija ima jednostavno i jasno geometrijsko značenje ( geometrijskog smisla stalni brojevi uključeni u date formule su također obdareni).
2. Kao što je dokazano u toku analitičke geometrije, svaka transformacija oblika (*) se uvijek može predstaviti kao sekvencijalno izvođenje (superpozicija) najjednostavnijih transformacija oblika A, B, C i D (ili njihovih dijelova). transformacije).
Dakle, vrijedi sljedeće važno svojstvo afine transformacije ravni: svako preslikavanje oblika (*) može se opisati korištenjem preslikavanja specificiranih formulama A, B, C i D.
Da bi se ove dobro poznate formule efikasno koristile u problemima kompjuterske grafike, njihova matrična notacija je prikladnija.
Za kombinovanje ovih transformacija uvode se homogene koordinate. Homogene koordinate tačke su bilo koja trojka simultano različitih brojeva x1, x2, x3, povezanih sa datim brojevima x i y sledećim relacijama:

Tada je tačka M(x, y) zapisana kao M(hX, hY, h), gdje je h 0 faktor skale. Dvodimenzionalne kartezijanske koordinate mogu se naći kao

U projektivnoj geometriji, ove koordinate se uvode kako bi se eliminisale nesigurnosti koje nastaju prilikom specificiranja beskonačno udaljenih (nepravilnih) elemenata. Homogene koordinate se mogu protumačiti kao ugrađivanje ravnine skalirane faktorom h u ravan Z= h u trodimenzionalni prostor.
Tačke u homogenim koordinatama su zapisane u vektorima reda od tri elementa. Transformacijske matrice moraju biti veličine 3x3.
Koristeći trojke homogenih koordinata i matrice trećeg reda, može se opisati svaka afina transformacija ravni.
U stvari, uz pretpostavku da je h = 1, uporedimo dva unosa: onaj označen simbolom (*) i sljedeći matrični:

Sada možete koristiti kompozicije transformacija, koristeći jednu rezultantu umjesto niza transformacija koje slijede jedna za drugom. Možete, na primjer, razbiti složeni problem na nekoliko jednostavnih. Rotiranje tačke A oko proizvoljne tačke B može se podeliti na tri zadatka:
prijenos, u kojem je B = 0 (gdje je 0 ishodište);
turn;
obrnuti transfer, u kojem se tačka B vraća na svoje mjesto, itd.
Najopštiji sastav operacija T, D, R, M ima matricu:

Gornji dio 2x2 je kombinovana matrica rotacije i skaliranja, a tx i ty opisuju ukupni prijevod.
Osnovne transformacije koje su navedene su sljedeće:
skrolovanje pomicanje prozora na površini za renderiranje (ako je kretanje ograničeno samo na smjerove gore i dolje, onda se to naziva vertikalno pomicanje);

zum postupna promjena skale slike;
salto dinamička slika izlaznih primitiva koji rotiraju oko određene ose, čija se orijentacija kontinuirano mijenja u prostoru;
pan postupni prijenos slike kako bi se stvorio vizualni osjećaj pokreta.

UDC 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

FSBEI HPE "Samara State Aerospace University nazvan po Ak. S.P. Korolevu (nacionalni istraživački univerzitet)“, Samara, Rusija

AFINE TRANSFORMACIJE OBJEKATA U RAČUNARSKOJ GRAFICI

Jedan od tipične zadatke, koji se mora riješiti pomoću rasterske grafike, je transformacija kako cijele slike u cjelini tako i njenih pojedinačnih fragmenata, kao što su: pomicanje, rotacija oko zadanog centra, promjena linearnih dimenzija itd.

Ovaj problem je riješen korištenjem afine transformacije.

Afine transformacije mogu biti vrlo korisne u sljedećim situacijama:

1. Komponovati ravnu sliku ili trodimenzionalnu scenu raspoređivanjem elemenata istog tipa, kopiranjem, transformacijom i pomeranjem na različita mesta na slici. Na primjer, za kreiranje simetričnih objekata, kao što je pahulja. Možete razviti jedan motiv, a zatim stvoriti sliku cijelog objekta reflektiranjem, rotiranjem i pomicanjem ovog motiva.

2. Za pregled trodimenzionalnih objekata iz različitih tačaka gledišta. U tom slučaju možete fiksirati poziciju kamere i rotirati scenu, ili obrnuto, ostaviti scenu nepomično i pomicati kameru oko nje. Takve manipulacije se mogu izvesti pomoću trodimenzionalnih afinskih transformacija.

3. Za projektiranje trodimenzionalnih objekata na ravan i prikaz scene u prozoru. Tako se, na primjer, za aksonometrijsku projekciju koristi niz od dvije rotacije ravnine projekcije, a za prikaz u prozoru koristi se kombinacija skaliranja i translacije.

Afine transformacije na ravni se općenito opisuju sljedećim formulama:

J X = Ax + By + C, . Program vam omogućava da automatizujete proces sastavljanja testnih zadataka.

LITERATURA

1. Porev V. N. Kompjuterska grafika. - Sankt Peterburg: BHV-Peterburg, 2002. - 432 str. : ill.

2. Hill F. Open GL. Programiranje kompjuterske grafike. Za profesionalce. - Sankt Peterburg: Petar,

2002. - 1088 str.: ilustr. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Razvoj sistema učenje na daljinu za predmet "Kompjuterska grafika" koristeći Moodle: Zbornik radova međunarodnog simpozija Pouzdanost i kvalitet. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Ovjera pedagoškog mjernog materijala za predmet "Računarska grafika" // Pouzdanost i kvaliteta 2008. Zbornik radova med. simpozijum. Penza, 2008, str. 162-163.

5. Kudrina M.A. Upotreba certifikacijskih i pedagoških mjernih materijala za kurs

"Kompjuterska grafika" u obrazovnom procesu"//Obrazovanje - ulaganja u uspjeh: Naučni materijali -

Za početak: na čemu se zasniva metoda rješavanja pomoću afine transformacije?

Potreban je kratak teorijski materijal za studente.

Obavještavamo vas da koordinatni sistem ne mora biti pravougaoni. Ako odaberete 3 tačke na ravni koje ne leže na istoj pravoj, onda će one definirati afini koordinatni sistem, a tačka i vektori formiraju afini okvir (bazis).

Definicija 1. Neka dva afina okvira i biti specificirana u ravnima i , respektivno. Preslikavanje ravni u ravan naziva se afino preslikavanje ravnina ako tokom ovog preslikavanja tačka sa koordinatama u koordinatnom sistemu (okviru) ide u tačku sa istim koordinatama u koordinatnom sistemu (okviru).

Svojstva afine transformacije:

1) Prema svojstvima koordinata, afina transformacija je jedno-prema jedan preslikavanje ravni u ravan:

Svaka tačka ima sliku, i to samo jednu;

Različite tačke imaju različite slike;

Svaka tačka u rasponu vrijednosti ima inverznu sliku.

2) Pošto afino preslikavanje čuva koordinate tačaka, ono čuva i jednačine figura. Iz toga slijedi da se prava linija pretvara u pravu liniju.

3) Transformacija inverzna afinoj je opet afina transformacija.

4) Tačke koje ne leže na istoj pravoj prelaze u tačke koje ne leže na istoj pravoj, pa prema tome, prave koje se seku - u prave koje se seku, a paralelne prave - u paralelne.

5) Prilikom afine transformacije čuvaju se odnosi dužina segmenata koji leže na jednoj ili paralelnoj liniji.

6) Omjeri površina poligona su također sačuvani.

7) Nije nužno sačuvano omjeri dužina segmenata neparalelnih pravih linija, uglova.

Napomena 1: Ako su A, B, C tri tačke ravni koje ne leže na istoj pravoj i tri druge tačke koje ne leže na istoj pravoj, onda postoji samo jedna afina transformacija koja uzima tačke A, B, C do bodova .

Napomena 2: Paralelna projekcija je afina transformacija ravni u ravan. Inače, ova tema „Paralelni dizajn“ je prisutna u školskom udžbeniku iz geometrije 10-11 (2000) L. S. Atanasyana u Dodatku 1. Ovaj materijal se uglavnom koristi kada učimo kako prikazati prostorne figure na ravni.

Da zamislimo šta afine transformacije mogu učiniti, pogledajmo slike. Najbolje je da učenici jasno pokažu primjenu afine transformacije na apstraktni predmet i tek onda pređu na geometrijske figure.

Poseban slučaj afine transformacije su sličnost, homotetija i transformacija kretanja. Pokreti su paralelni prijevodi, okreti, razne simetrije i njihove kombinacije. Drugi važan slučaj afine transformacije je ekspanzija i kompresija u odnosu na pravu liniju. Na slici 2<Рисунок 2>prikazana su različita kretanja aviona sa ucrtanom kućom. I na slikama 3 i 4<Рисунок 3> <Рисунок 4>prikazane su različite afine transformacije ove ravni (paralelna projekcija).

A evo na sledećoj slici<Рисунок 5>suština metode se može objasniti.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja nekih omjera ili proporcija na iskrivljenom crtežu, na primjer: pronalaženje omjera dužine ušiju i dužine repa, onda ovaj omjer možete pronaći na prikladnijem crtežu (neiskrivljenom ), što je mnogo jednostavnije, a pronađeno rješenje će odgovarati uključivanju iskrivljenog crteža. Ali ne možete tražiti omjer, na primjer, dužine ušiju i debljine zeca, jer To su segmenti neparalelnih pravih linija.

Sada idemo na geometrijski oblici. Kako ova metoda može funkcionirati za njih?

Obično se problem može riješiti metodom afine transformacije, ako treba pronaći omjer dužina, omjer površina, dokazati paralelizam ili da tačke pripadaju istoj pravoj liniji. Štaviše, iskaz problema ne bi trebao sadržavati podatke koji nisu sačuvani pod afinom transformacijom.

Svojstva figura nazivaju se afinima ako su sačuvana pod afinim preslikavanjima. Na primjer, biti medijana trougla je afino svojstvo(središte stranice ide do sredine pod afinim preslikavanjem), ali simetrala ne.

Suština metode za rješavanje geometrijskih zadataka.

Prilikom rješavanja problema koji uključuju afina svojstva, često je zgodno prijeći, koristeći afine transformacije, na jednostavnije figure, na primjer, na pravilan trokut. A zatim, koristeći inverznu afinu transformaciju, prenesite rezultirajući rezultat na željenu figuru.

Za početak, možemo odlučiti o svemu poznati problem oko tačke preseka medijana trougla.

Zadatak 1. Dokazati da se medijane proizvoljnog trougla sijeku u jednoj tački i dijele se u omjeru 2:1, računajući od vrha.<Рисунок 6>

Rješenje (prema algoritmu).

Neka je zadan trougao ABC. 1) Provjerimo afina svojstva figure. Trougao (prema napomeni 1) je afina figura, biti medijana je takođe afino svojstvo, a odnosi dužina segmenata su takođe sačuvani pod afinim preslikavanjem.

2) To znači da možemo prijeći na prikladniju figuru - jednakostranični trokut.

3) Uzmite jednakostranični trougao. Ovaj trougao ima medijane , sijeku se u jednoj tački (poput visina ili simetrala jednakostraničnog trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Zaista, i. I stav iz pravouglog trougla. znači, .

4) Hajde da definišemo afino preslikavanje koje vodi trougao u trougao ABC. Sa ovim preslikavanjem, medijane trougla se pretvaraju u medijane trougao ABC a njihova presečna tačka ide u tačku preseka njihovih slika i deli medijane proizvoljnog trougla ABC u odnosu 2:1, računajući od temena.

5) Tvrdnja je dokazana za proizvoljan trougao.

Zadatak 2. Dokažite da u bilo kojem trapezu sredine osnova, tačka presjeka dijagonala i tačka presjeka produžetaka bočnih stranica leže na istoj pravoj liniji.

Neka je zadan trapez ABCD, u kojem su M i N sredine baza, Q je presečna tačka dijagonala, O je tačka preseka produžetaka stranica.<Рисунок 7>

1) Provjerimo afina svojstva figure. Trapez je afina figura (pošto se trapez pretvara u trapez), pripadnost tačaka istoj pravoj je afino svojstvo. Dakle, i uslov i pitanje problema pripadaju afinoj klasi problema. To znači da se može primijeniti metoda afine transformacije.

2) Uzmite proizvoljan jednakokraki trougao. Postoji afino preslikavanje koje uzima točke A do , B do i O do . Kod ovog afinog preslikavanja na segmentu se nalazi tačka - slika tačke D, a na segmentu - tačka (slika tačke C). Trapez je jednakostraničan.

3) Neće biti teško dokazati formulirani problem za jednakokraki trapez (i to na više načina).

4) Dakle, nakon što smo dokazali da tačke , , , leže na istoj pravoj, primjenjujemo svojstvo afine karte (karta inverzna afini je opet afina mapa) i stoga točke O, M, Q, N također leže na istoj liniji trapeza ABCD .

5) Dokazana činjenica važi i za proizvoljan trapez.

Bilješka. Četvorouglovi su afino ekvivalentni ako i samo ako ih tačka presjeka dijagonala dijeli u istom omjeru.

Zadatak 3 (iz dijagnostičkog rada na pripremi za Jedinstveni državni ispit 2010). Kroz tačku O koja leži u trouglu ABC, povučene su tri prave paralelne sa svim stranama trougla. Kao rezultat toga, trokut se podijelio na 3 trokuta i 3 paralelograma. Poznato je da su površine dobijenih trouglova jednake 1; 2.25 i 4. Odrediti zbir površina rezultirajućih paralelograma(zadatak iz dijagnostičkog rada na pripremi za Jedinstveni državni ispit - 2010)

Ali ovaj problem se može lako riješiti korištenjem afine transformacije.

Problem 4 (stereometrijski). Dokazati da je dijagonala paralelepipeda prolazi kroz presečne tačke medijana trouglova i deli se ovim tačkama na tri jednaka segmenta.

Ovo je broj 372 iz Atanasyanovog udžbenika (11. razred). Udžbenik daje svoje rješenje vektorskom metodom. Ali možete primijeniti metodu afine transformacije rješavanjem ovog problema na kocki već u 10. razredu.

U ovom zadatku, koristeći afine transformacije, dokazaćemo jednakost tri segmenta.

1) Provjerimo afina svojstva figure i uslove zadatka. Afina slika bilo kojeg paralelepipeda može biti kocka. Podjela segmenta u datoj relaciji je afino svojstvo.

2) Razmotrimo istoimenu kocku , u kojem dijagonala prolazi kroz točke presjeka medijana trokuta i .<Рисунок 10>

3) Dokažimo da je dijagonala podijeljena ovim tačkama na tri jednaka segmenta.

4) Postoji afino preslikavanje koje transformira kocku u proizvoljan paralelepiped. To znači da će ovaj problem biti tačan za proizvoljan paralelepiped.

5) Generalizacije. Koja svojstva dokazana na kocki će biti sačuvana za proizvoljni paralelepiped, a koja neće (razgovarajte sa učenicima).

Na primjer: paralelnost ravnina i odnos će se sačuvati, dijagonala ravnina neće biti okomita, pravilni trokuti neće biti sačuvani, baš kao i središte pravilnog trokuta, ići će do točke presjeka medijane.

Dakle, već u 10. razredu možete sa učenicima praviti generalizacije za proizvoljne figure, koristeći svojstva afinih preslikavanja.

Pogledali smo zadatke na softverskom nivou, a sada ćemo pogledati zadatke naprednog nivoa.

Evo problema koji je predstavljen učenicima 11. razreda na Olimpijadi ove godine. Niko se, nažalost, nije izborio s tim. Pogledajmo kako će nam metoda afine transformacije pomoći da to riješimo.

Zadatak 5 (Olimpijada 11. razred). Trokutasta piramida secira se ravninom tako da su medijane bočnih strana podijeljene točkama sjecišta u omjerima 2:1,3:1 i 4:1, računajući od vrha piramide. U kom su odnosu, računajući od vrha piramide, bočna rebra slomljena?(Iz materijala Bauman MSTU). Odgovor: 12:7, 12:5, 12:1

A rješenje ćemo razmotriti koristeći afine transformacije.

1) Problem uključuje proizvoljnu piramidu u kojoj su povučene medijane (a biti medijana je afino svojstvo), proporcionalni segmenti se uzimaju na medijanama (sa afinom transformacijom, omjeri dužina segmenata koji leže na istoj pravoj liniji su sačuvani). To znači da se ovaj problem može riješiti za „pogodnu“ piramidu, a zatim, koristeći afinu transformaciju, rezultat se može prenijeti na proizvoljan.

2) Rešimo zadatak za piramidu čija su tri ravan ugla na vrhu prava. Postavimo novu piramidu u pravougaoni koordinatni sistem OXYZ.<Рисунок 11>

3) Nacrtajmo medijanu na jednom od lica. i su srednje linije trougla AOB. Poenta je u tome . Tada koordinate tačke K ili, uzimajući u obzir da su sredine OA i OB, respektivno, K .Na drugoj strani ćemo nacrtati medijanu. Označimo na njoj tačku M tako da . Slično, nalazimo koordinate M ili M .Konačno, tačka N leži na medijani i , zatim N ili N .

Dakle: K ili da , M ili M

N ili N

Analizirajući, izabraćemo pogodne numeričke koordinate za tačke A(40;0;0), B(0;15;0), C(0;0;24).

Ravan (MNK) seče ivice piramide u određenim tačkama. Nađimo prvo koordinate tačke (x; 0; 0). Tačka (KMN), ako postoje takvi, recimo (ovo su vektori). Zapišimo koordinate vektora (15; -5; 1), (16; 1; -8), (x; -5; -8). Tada vrijedi sljedeći sistem jednačina . Hajde da to riješimo: pomnožimo drugu jednačinu sa 8, dobićemo .Dalje, zbrajanjem drugog i trećeg, imamo . Gdje nalazimo x? .

Moramo pronaći vezu
. To znači da tačka dijeli rub OA u omjeru 12:1. Računice su takođe pristojne, ali razumljive. Slično, možemo pronaći odnose za druge dvije strane.

Nakon što smo riješili problem na „prikladnoj“ piramidi, uzimajući u obzir da postoji afina transformacija koja pretvara ovu piramidu u proizvoljnu, rezultat prenosimo u proizvoljnu piramidu.

Da su uslovi ovog zadatka sugerisali „pogodnu“ piramidu, verovatno bi neko od učenika bar pokušao da reši problem.Metoda afine transformacije omogućava da se teške činjenice svedu na lak dokaz.

Na primjer, dokažite sljedeće zadatak 6: Neka su dva trougla ABC data u istoj ravni. Prave koje prolaze kroz odgovarajuće vrhove ovih trouglova seku se u jednoj tački S. Ako se prave koje sadrže odgovarajuće stranice ovih trouglova seku u parovima, tada tačke preseka leže na istoj pravoj.. A da bismo dokazali da tri tačke pripadaju jednoj pravoj liniji, konstruišemo presek ravni ABC i (pošto se dve ravni seku duž prave).

Izgradnja.1) , 2) , 3)

Na presjeku ravnina nalaze se tri tačke, stoga leže na istoj pravoj liniji. Ovaj problem (Desarguesova teorema) je dokazan.

U nastavku ove primjene afine transformacije (rješavanje prostornog problema kao planimetrijskog) možemo razmotriti još jedan zanimljiv problem.

Zadatak(Soros Olimpijske igre)

Date su tri zraka u ravni i tri tačke A, B, C. Konstruirajte trougao sa vrhovima na tim zrakama čije stranice prolaze kroz tačke A, B, C (pomoću jednog ravnala).

Odnosno, slika bi trebala biti otprilike ovakva.<Рисунок 13>

Ovu sliku ćemo smatrati afinom slikom (pod nekim afinim preslikavanjem) piramide XOYZ na ravan. Vrhovi piramide leže na koordinatnim osama, a tačke A, B, C su tačke u koordinatnim ravnima. Tada se zadatak svodi na konstruisanje linija presjeka ravnine (ABC) sa koordinatnim ravnima. Naravno, postoji način da se konstruiše pomoću šestara i ravnala, ali nam to nije potrebno. Dakle, bez kompasa.

Zaključci.

Dakle, predstavljena vam je metoda za rješavanje problema korištenjem afine transformacije. Hajde da sumiramo.

Metoda vam omogućava da pređete sa složenijeg na jednostavniji proces rješenja.
Opće je prirode.
Ima širok spektar primjena, uključujući i srodna područja.
Omogućava vam da integrirate različite dijelove matematike.
Razumijevanje i primjena ove metode kod učenika razvija konstruktivan pristup rješavanju problema i kritičko mišljenje.

Književnost

Geometrija: Udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova/L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i drugi - M.: Obrazovanje, 2007.
I. Kushnir “Matematička enciklopedija”. Astarte. Kijev.1995.
R. Hartshorne “Osnove projektivne geometrije.” Izdavačka kuća “Mir”. Moskva.1970.

Ispod $f$ označava afinu transformaciju napisanu u Dekartovom koordinatnom sistemu $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ po formulama
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
s obzirom na to
$$
\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2)& b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Razmotrimo pravu liniju na ravni sa jednadžbom $\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t$ i pronađemo njenu sliku pod transformacijom $f$. (Slika prave se shvata kao skup slika njenih tačaka.) Vektor radijusa slike $M^(*)$ proizvoljne tačke $M$ može se izračunati na sledeći način:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonumber
$$

Ovdje je $\boldsymbol(c)$ konstantni vektor $\overrightarrow(Of)(O)$, a $\boldsymbol(r)$ je vektor radijusa tačke $M$. Prema (11) §2 dobijamo
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Pošto je $f$ afina transformacija i $\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)$, tada će $\boldsymbol(a)$ ići u vektor $f(\boldsymbol( a) ) \neq 0$, a jednačina \eqref(ref3) je jednačina prave linije. Dakle, slike svih tačaka prave $\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t$ leže na pravoj \eqref(ref3).

Štaviše, transformacija $f$ određuje jedno-na-jedan preslikavanje jedne linije u drugu, budući da sa izborom početnih tačaka i vektora smjera napravljenim ovdje, tačka $M^(*)$ ima isti vrijednost na liniji \eqref(ref3) parametar $t$, ista kao tačka $M$ na originalnoj liniji. Odavde dobijamo prvu izjavu.

Izjava 1.

Sa afinom transformacijom:

prava linija se pretvara u pravu liniju;
segment ide u segment;
paralelne prave postaju paralelne.

Dokaz.

Da bismo dokazali drugu tvrdnju, dovoljno je napomenuti da se segment prave linije sastoji od tačaka za koje vrijednosti parametara zadovoljavaju nejednakost oblika $t_(1) \leq t \leq t_(2)$ treća izjava slijedi iz činjenice da pod afinom transformacijom kolinearni -th vektori postaju kolinearni.

Izjava 2.

Tokom afine transformacije, omjer dužina paralelnih segmenata se ne mijenja.

Dokaz.

Neka su segmenti $AB$ i $CD$ paralelni. To znači da postoji broj $\lambda$ takav da je $\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)$. Slike vektora $\overrightarrow(AB)$ i $\overrightarrow(CD)$ povezane su istom zavisnošću $\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ strelica preko desno(C^( *)D^(*))$. Iz ovoga proizilazi da
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\lambda|.\nonumber
$$

Posljedica.

Ako tačka $C$ dijeli segment $AB$ u nekoj relaciji $\lambda$, tada njena slika $C^(*)$ dijeli sliku $A^(*)B^ (*) $ segment $AB$ u istoj relaciji $\lambda$.

Promjena površina tokom afine transformacije.

Prvo, hajde da pogledamo. Odaberimo opšti Dekartov koordinatni sistem $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ i označimo ga sa $(p_(1), p_(2)) $ i \ ((q_(1), q_(2))\) komponente vektora $\boldsymbol(p)$ i $\boldsymbol(q)$ na kojima je izgrađen. Možemo izračunati površinu paralelograma koristeći:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$

Neka se afina transformacija $f$ zapiše u odabranom koordinatnom sistemu formulama \eqref(ref1). Iz onoga što je prethodno dokazano slijedi da vektori $f(\boldsymbol(p))$ i $f(\boldsymbol(q))$ imaju $f(\boldsymbol(e)_(1)) u njihovoj osnovi, f(\boldsymbol(e)_(2))$ iste komponente $(p_(1), p_(2))$ i $(q_(1), q_(2)) $ to i vektori $\boldsymbol(p)$ i $\boldsymbol(q)$ u bazi $\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\ ). Slika paralelograma izgrađena je na vektorima \(f(\boldsymbol(p))$ i $f(\boldsymbol(q))$, a njegova površina je jednaka
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nonumber
$$

Izračunajmo posljednji faktor. Kao što znamo iz onoga što je već dokazano, koordinate vektora $f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))$ su jednake, respektivno, \ ((a_(1), a_( 2))\) i $(b_(1), b_(2))$. Stoga $S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))$ i
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$
Odavde to vidimo
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2)& b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Dakle, omjer površine slike orijentiranog paralelograma i površine ovog paralelograma je isti za sve paralelograme i jednak je $a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)$.

Iz toga proizilazi da ova determinanta ne zavisi od izbora koordinatnog sistema u koji je upisana transformacija, iako se računa iz koeficijenata koji zavise od koordinatnog sistema. Ova veličina je invarijanta koja izražava geometrijsko svojstvo transformacije.

Iz formule \eqref(ref4) jasno je da je omjer površine slike neorijentisanog paralelograma i njegove površine jednak
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Ako je $a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0$, tada su orijentacije svih orijentiranih paralelograma sačuvane tokom transformacije, a ako $a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0$, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Hajde da se sada pozabavimo oblastima drugih figura. Svaki trokut se može proširiti tako da formira paralelogram čija je površina dvostruko veća od površine trokuta. Dakle, omjer površine slike trokuta i površine ovog trokuta zadovoljava jednakost \eqref(ref5).

Svaki poligon se može podijeliti na trouglove. Stoga, formula \eqref(ref5) vrijedi i za proizvoljne poligone.

Ovdje se nećemo doticati određivanja površine proizvoljne krivolinijske figure. Reći ćemo samo da je u onim slučajevima kada je ova oblast definisana, ona jednaka granici površina određenog niza poligona upisanih u sliku koja se razmatra. Iz teorije granica poznata je sljedeća pretpostavka: ako niz $S_(n)$ teži granici $S$, tada niz $\delta S_(n)$, gdje je $\ delta$ je konstantna, teži ograničavanju $\delta S$. Na osnovu ovog prijedloga zaključujemo da formula \eqref(ref5) vrijedi u najopštijem slučaju.

Kao primjer, pronađimo izraz za površinu elipse u smislu njenih poluosi. Ranije smo primijetili da se elipsa s poluosama $a$ i $b$ može dobiti kompresijom kruga polumjera $a$ u pravu liniju koja prolazi kroz njeno središte. Omjer kompresije je $b/a$. U jednom od njih dobili smo koordinatni zapis kompresije na pravu liniju $x^(*)=x$, $y^(*)=\lambda y$. Determinanta koeficijenata u ovim formulama je jednaka $\lambda$, odnosno u našem slučaju $b/a$. Dakle, omjer površine elipse i površine kruga je $b/a$, a ova površina je \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). Konačno imamo
$$
S=\pi ab.\nobroj
$$

Slike linija drugog reda.

Vidjeli smo da se prava linija pretvara u pravu. Ovo je poseban slučaj sljedeće izjave.

Izjava 3.

Afina transformacija pretvara algebarsku liniju u algebarsku liniju istog reda.

Dokaz.

U stvari, neka prava $L$ u Dekartovom koordinatnom sistemu $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ ima algebarsku jednačinu reda $p $. Već znamo da slike svih tačaka prave $L$ pod afinom transformacijom $f$ imaju u koordinatnom sistemu $f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol(e)_(2))$ su iste koordinate kao njihove inverzne slike u koordinatnom sistemu $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2) $. Prema tome, koordinate slika u sistemu $f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))$ povezane su istim algebarskim jednačina reda \(p\ ). Ovo je dovoljno da izvučemo zaključak koji nam je potreban.

Iz gore dokazane izjave, posebno, slijedi da će se linija drugog reda pod afinom transformacijom pretvoriti u liniju drugog reda. Mi ćemo dokazati jaču izjavu. Kao što već znamo, linije drugog reda se mogu podijeliti na . Vidjet ćemo da je klasa linije sačuvana pod afinom transformacijom. Na osnovu toga, klase linija koje su navedene u pomenutoj teoremi nazivaju se afine klase. Dakle, dokažimo novu tvrdnju.

Izjava 4.

Linija drugog reda koja pripada jednoj od afinih klasa može se transformirati samo u liniju iste klase pod bilo kojom afinom transformacijom. Svaka linija drugog reda može se transformirati odgovarajućom afinom transformacijom u bilo koju drugu liniju iste afine klase.

Dokaz.

Pravu ćemo nazvati ograničenom ako leži unutar nekog paralelograma. Lako je vidjeti da s afinom transformacijom, ograničena linija mora postati ograničena, a neograničena linija mora postati neograničena.

Elipsa je ograničena linija drugog reda. Osim elipsa, ograničene su samo linije koje se sastoje od jedne tačke, odnosno od par zamišljenih linija koje se sijeku. Pošto je elipsa ograničena i sastoji se od više od jedne tačke, može se transformisati samo u elipsu.
Hiperbola ima dvije odvojene grane. Ovo svojstvo se može formulisati na takav način da će biti jasna njegova invarijantnost prema afinim transformacijama. Naime, postoji prava koja ne siječe hiperbolu, ali siječe neke njene tetive.Ovo svojstvo od svih pravih drugog reda imaju samo hiperbole i parovi paralelnih pravih. Grane hiperbole nisu ravne linije i stoga se pod afinom transformacijom može transformirati samo u hiperbolu.
Parabola je neograničena linija drugog reda, koja se sastoji od jednog nepravolinijskog dijela. Nijedna druga linija drugog reda nema ovo svojstvo, pa se stoga parabola može transformirati samo u parabolu.
Ako prava drugog reda predstavlja tačku (par imaginarnih linija koje se sijeku), pravu (par poklapajućih linija), par pravih koje se sijeku ili par paralelnih pravih, onda iz prethodno dokazanih svojstava afine transformacije slijedi da se ova linija ne može transformisati u liniju bilo koje druge klase.

Dokažimo drugi dio tvrdnje. U onome što smo već dokazali, kanonske jednadžbe pravih drugog reda su zapisane u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu i sadrže parametre $a, b, ...$ Ako napustimo ortonormalnost baze, možemo dalje pojednostavljenja kanonskih jednadžbi i dovesti ih u oblik koji ne sadrži parametre . Na primjer, zamjenom koordinata $x'=x/a$, $y'=y/b$ transformira se jednadžba elipse $x^(2)a^(2)+y^(2) )b^(2 )=1$ u jednačinu $x'^(2)+y'^(2)=1$, šta god da su $a$ i $b$. (Posljednja jednačina nije jednačina kruga, jer novi sistem koordinate nisu kartezijanske pravokutne.)

Čitalac može lako pokazati da se kanonske jednadžbe pravih drugog reda mogu transformirati u sljedeće jednačine prelaskom na odgovarajući koordinatni sistem:

$x^(2)+y^(2)=1$;
$x^(2)+y^(2)=0$;
$x^(2)-y^(2)=1$;
$x^(2)-y^(2)=0$;
$y^(2)=2x$;
$y^(2)-1=0$;
$y^(2)=0$.

Takav koordinatni sistem ćemo nazvati afinim kanonskim koordinatnim sistemom.

Iz ranijeg proizlazi da afina transformacija koja kombinuje afine kanonske koordinatne sisteme dve linije iste afine klase takođe kombinuje ove linije. Ovim je dokaz završen.

Ortogonalna transformacijska dekompozicija.

Teorema 1.

Svaka ortogonalna transformacija se razlaže u proizvod paralelne translacije, rotacije i, moguće, aksijalne simetrije.

Dokaz.

Neka je $f$ ortogonalna transformacija i $\vartrokut ABC$ jednakokraka pravougaonog trougla sa pravim uglom $A$. Prilikom transformacije $f$, pretvorit će se u jednak trokut $\vartrokut A^(*)B^(*)C^(*)$ sa pravim uglom na vrhu $A^(*) $. Teorema će biti dokazana ako, izvođenjem sekvencijalnog paralelnog prevođenja $p$, rotacije $q$ i (ako je potrebno) aksijalne simetrije $r$, možemo kombinirati trokute $ABC$ i $ A^ (*)B^(*)C^(*)$. Zaista, proizvod $rqp$ je afina transformacija baš kao $f$, a afina transformacija je jedinstveno određena slikama tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Stoga se $rqp$ poklapa sa $f$.

Dakle, prevedemo $A$ i $A^(*)$ paralelnim prijenosom $p$ u vektor $\overrightarrow(AA^(*))$ (ako je $A=A ^(* )$, tada je $p$ transformacija identiteta). Zatim, rotacijom $q$ oko tačke $A^(*)$, $p(B)$ je kompatibilan sa $B^(*)$ (možda će i ova transformacija biti identična ). Tačka $q(p(C))$ ili se poklapa sa $C^(*)$, ili joj je simetrična u odnosu na pravu \(A^(*)B^(*)\ ). U prvom slučaju, cilj je već postignut, au drugom će biti potrebna aksijalna simetrija u odnosu na navedenu pravu liniju. Teorema je dokazana.

Treba imati na umu da rezultirajuća ekspanzija ortogonalne transformacije nije jedinstvena. Štaviše, rotacija ili paralelna translacija se može dekomponovati u proizvod aksijalnih simetrija, proizvod paralelne translacije i rotacije može se predstaviti kao jedna rotacija, itd. Nećemo pojašnjavati kako to učiniti, ali ćemo saznati sljedeće opšta imovina sve takve dekompozicije.

Izjava 5.

Za bilo koje proširenje ortogonalne transformacije u proizvod bilo kojeg broja paralelnih translacija, rotacija i aksijalnih simetrija, paritet broja aksijalnih simetrija uključenih u ekspanziju je isti.

Dokaz.

Da bismo to dokazali, razmotrimo proizvoljnu osnovu na ravni i pratimo promjenu njene orijentacije (smjer najkraće rotacije od $\boldsymbol(e)_(1)$ do $\boldsymbol(e)_ (2)$) tokom izvršenih transformacija. Imajte na umu da rotacija i paralelna translacija ne mijenjaju orijentaciju nijedne baze, ali aksijalna simetrija mijenja orijentaciju bilo koje baze. Prema tome, ako data ortogonalna transformacija promijeni orijentaciju baze, onda svako njeno proširenje mora uključivati neparan broj aksijalnih simetrija. Ako se orijentacija osnove ne promijeni, tada broj aksijalnih simetrija uključenih u ekspanziju može biti samo paran.

Definicija.

Ortogonalne transformacije koje se mogu razložiti u proizvod paralelnog prevođenja i rotacije nazivaju se ortogonalne transformacije prve vrste , a ostalo - ortogonalne transformacije druge vrste .

Ortogonalna transformacija u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu je zapisana:
$$
\begin(niz)(cc)

\end(niz).\nebroj
$$
Sa gornjim predznacima koeficijenata $y$ u ovim formulama, determinanta sastavljena od koeficijenata jednaka je +1, a sa donjim predznacima jednaka je -1. Odavde i iz formule \eqref(ref4) slijedi sljedeća izjava.

Izjava 6.

Ortogonalna transformacija prve vrste zapisana je u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu po formulama
$$
\begin(niz)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(niz).\nebroj
$$
sa gornjim predznacima za koeficijente $y$, i ortogonalnom transformacijom druge vrste - sa nižim predznacima.

Dekompozicija afine transformacije.

Vidjeli smo koliko afina transformacija može promijeniti ravan: krug se može pretvoriti u elipsu, pravilan trokut u potpuno proizvoljan. Čini se da se nikakvi uglovi ne mogu sačuvati. Međutim, sljedeća izjava vrijedi

Izjava 7.

Za svaku afinu transformaciju postoje dvije međusobno okomite linije koje se pretvaraju u međusobno okomite prave.

Dokaz.

Da biste to dokazali, razmotrite krug. Ovom afinom transformacijom pretvorit će se u elipsu. Svaka os elipse je skup središta tetiva paralelnih drugoj osi. Tokom afine transformacije, akord će se transformisati u tetivu, paralelizam se mora sačuvati, a sredina segmenta će se transformisati u sredinu svoje slike. Dakle, prototipovi osi elipse su segmenti koji imaju isto svojstvo: svaki od njih je skup središta tetiva kružnice paralelne drugom segmentu. Takvi segmenti su svakako dva međusobno okomita prečnika kružnice. To je ono što nam je trebalo: postoje dva međusobno okomita prečnika kruga, koji se pretvaraju u međusobno okomite segmente - ose elipse.

Vrijedi napomenuti jedan poseban slučaj: krug pod afinom transformacijom može se pretvoriti u krug. U ovom slučaju, isto razmišljanje važi za bilo koja dva međusobno okomita prečnika slike kruga. Očigledno, u ovom slučaju, bilo koja dva međusobno okomita smjera ostaju okomiti.

Definicija.

Dva međusobno okomita pravca nazivaju se glavnim ili singularnim pravcima afine transformacije $f$ ako se transformišu u međusobno okomite pravce.

Teorema 2.

Svaka afina transformacija se razlaže u proizvod ortogonalne transformacije i dva kompresija na dvije međusobno okomite linije.

Dokaz.

Dokaz je sličan dokazu. Razmotrite afinu transformaciju $f$ i odaberite jednakokraki pravougaoni trokut $ABC$ tako da su njegovi kraci $AB$ i $AC$ usmjereni duž glavnih pravaca transformacije $f$. Označimo sa $A^(*)$, $B^(*)$ i $C^(*)$ slike njegovih vrhova. Napravimo ortogonalnu transformaciju $g$ tako da $g(A)=A^(*)$, a tačke $g(B)$ i $g(C)$ leže redom na zrakama $A^(*)B^(*)$ i $A^(*)C^(*)$. (To se lako može postići, kao u teoremi 1, paralelnom translacijom, rotacijom i aksijalnom simetrijom.)

Neka $\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|$, a $\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|$. Tada će kontrakcija $p_(1)$ na pravu $A^(*)C^(*)$ u odnosu $\lambda$ transformirati $g(B)$ u \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) i neće pomjeriti tačke $A^(*)$ i $g(C)$. Slično, skupljanje $p_(2)$ na pravu $A^(*)B^(*)$ će transformisati $g(C)$ u $p_(2)g(C)= C^ (*)$ i neće pomjeriti tačke prave $A^(*)B^(*)$.

To znači da proizvod $p_(2)p_(1)g$ vodi tačke $A$, $B$ i $C$ u tačke $A^(*)$ , \ (B^(*)\) i $C^(*)$ kao i transformacija $f$ koja nam je data. Prema onome što je prethodno dokazano, imamo $p_(2)p_(1)g=f$, kako se traži.