Brojevi. Realni brojevi. Brojevi: prirodni, cijeli, racionalni, iracionalni, realni Svaki racionalni broj je realan

Ovaj članak sadrži osnovne informacije o realni brojevi. Prvo dajemo definiciju realnih brojeva i dajemo primjere. U nastavku je prikazan položaj realnih brojeva na koordinatnoj liniji. I u zaključku, pogledamo kako su realni brojevi dati u obliku numeričkih izraza.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri realnih brojeva

Realni brojevi kao izrazi

Iz definicije realnih brojeva jasno je da su realni brojevi:

bilo koji prirodni broj;
bilo koji cijeli broj;
bilo koji obični razlomak (i pozitivan i negativan);
bilo koji mješoviti broj;
bilo koji decimalni razlomak (pozitivan, negativan, konačan, beskonačno periodičan, beskonačan neperiodičan).

Ali vrlo često se realni brojevi mogu vidjeti u obliku itd. Štaviše, zbir, razlika, proizvod i količnik realnih brojeva su takođe realni brojevi (vidi operacije sa realnim brojevima). Na primjer, ovo su realni brojevi.

A ako idemo dalje, onda od realnih brojeva koristeći aritmetičke znakove, korijenske znakove, potencije, logaritamske, trigonometrijske funkcije i tako dalje. Možete napraviti sve vrste numeričkih izraza, čije će vrijednosti također biti realni brojevi. Na primjer, značenja izraza I postoje realni brojevi.

U zaključku ovog članka, napominjemo da je sljedeća faza u proširenju koncepta broja prijelaz sa realnih brojeva na kompleksni brojevi.

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Autorska prava cleverstudents

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Ovaj članak je posvećen proučavanju teme "Racionalni brojevi". Ispod su definicije racionalnih brojeva, dati su primjeri i kako odrediti da li je broj racionalan ili ne.

Racionalni brojevi. Definicije

Prije nego što damo definiciju racionalnih brojeva, sjetimo se koji još skupovi brojeva postoje i kako su međusobno povezani.

Prirodni brojevi, zajedno sa svojim suprotnostima i brojem nula, čine skup cijelih brojeva. Zauzvrat, totalitet celine razlomci brojeva formira skup racionalnih brojeva.

Definicija 1. Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu predstaviti kao pozitivni običan razlomak a b , negativni obični razlomak - a b ili broj nula.

Dakle, možemo zadržati niz svojstava racionalnih brojeva:

Bilo koji prirodni broj je racionalan broj. Očigledno, svaki prirodni broj n može se predstaviti kao razlomak 1 n.
Svaki cijeli broj, uključujući broj 0, je racionalan broj. Zaista, svaki pozitivan cijeli broj i bilo koji negativni cijeli broj mogu se lako predstaviti kao pozitivan ili negativan obični razlomak, respektivno. Na primjer, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Svaki pozitivan ili negativan zajednički razlomak a b je racionalan broj. Ovo direktno slijedi iz gore date definicije.
Svaki mješoviti broj je racionalan. Zaista, mješoviti broj se može predstaviti kao običan nepravilan razlomak.
Bilo koji konačni ili periodični decimalni razlomak može se predstaviti kao razlomak. Stoga je svaki periodični ili konačni decimalni razlomak racionalan broj.
Beskonačne i neperiodične decimale nisu racionalni brojevi. Ne mogu se predstaviti u obliku običnih razlomaka.

Navedimo primjere racionalnih brojeva. Brojevi 5, 105, 358, 1100055 su prirodni, pozitivni i cjelobrojni. Očigledno, ovo su racionalni brojevi. Brojevi - 2, - 358, - 936 su negativni cijeli brojevi i također su racionalni prema definiciji. Obični razlomci 3 5, 8 7, - 35 8 su također primjeri racionalnih brojeva.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se kratko formulisati. Još jednom ćemo odgovoriti na pitanje šta je racionalan broj?

Definicija 2. Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak ± z n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

To se može pokazati ovu definiciju je ekvivalentno prethodnoj definiciji racionalnih brojeva. Da biste to učinili, zapamtite da je linija razlomaka ekvivalentna znaku podjele. Uzimajući u obzir pravila i svojstva dijeljenja cijelih brojeva, možemo napisati sljedeće pravedne nejednakosti:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Dakle, možemo napisati:

z n = z n , p r i z > 0 0 , p r i z = 0 - z n , p r i z< 0

Zapravo, ovaj snimak je dokaz. Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu druge definicije. Razmotrimo brojeve - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 i - 1 3 5. Svi ovi brojevi su racionalni, jer se mogu zapisati kao razlomak sa cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Dajemo još jedan ekvivalentan oblik za definiciju racionalnih brojeva.

Definicija 3. Racionalni brojevi

Racionalni broj je broj koji se može napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ova definicija proizilazi direktno iz prve definicije ovog paragrafa.

Hajde da sumiramo i formuliramo sažetak ove tačke:

Pozitivni i negativni razlomci i cijeli brojevi čine skup racionalnih brojeva.
Svaki racionalni broj može se predstaviti kao običan razlomak, čiji je brojilac cijeli broj, a nazivnik prirodan broj.
Svaki racionalni broj se takođe može predstaviti kao decimalni razlomak: konačan ili beskonačno periodičan.

Koji je broj racionalan?

Kao što smo već saznali, svaki prirodni broj, cijeli, pravi i nepravilni obični razlomak, periodični i konačni decimalni razlomak su racionalni brojevi. Naoružani ovim znanjem, lako možete utvrditi da li je određeni broj racionalan.

Međutim, u praksi se često ne radi o brojevima, već o numeričkim izrazima koji sadrže korijene, potencije i logaritme. U nekim slučajevima, odgovor na pitanje "da li je broj racionalan?" je daleko od očiglednog. Pogledajmo metode za odgovor na ovo pitanje.

Ako je broj dan kao izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke operacije između njih, onda je rezultat izraza racionalan broj.

Na primjer, vrijednost izraza 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) je racionalan broj i jednaka je 18.

Dakle, pojednostavljivanje složenog numeričkog izraza omogućava vam da odredite da li je broj dat njime racionalan.

Pogledajmo sada znak korijena.

Ispada da je broj m n dat kao korijen stepena n broja m racionalan samo kada je m n-ti stepen nekog prirodnog broja.

Pogledajmo primjer. Broj 2 nije racionalan. Dok su 9, 81 racionalni brojevi. 9 i 81 su savršeni kvadrati brojeva 3 i 9, respektivno. Brojevi 199, 28, 15 1 nisu racionalni brojevi, jer brojevi ispod predznaka korijena nisu savršeni kvadrati nijednog prirodnog broja.

Uzmimo sada složeniji slučaj. Da li je 243 5 racionalan broj? Ako povisite 3 na peti stepen, dobićete 243, tako da se originalni izraz može prepisati na sledeći način: 243 5 = 3 5 5 = 3. Stoga je ovaj broj racionalan. Sada uzmimo broj 121 5. Ovaj broj je iracionalan, jer ne postoji prirodan broj čije povećanje na peti stepen daje 121.

Da biste saznali da li je logaritam broja a prema osnovi b racionalan broj, potrebno je primijeniti metodu kontradikcije. Na primjer, hajde da saznamo da li je broj log 2 5 racionalan. Pretpostavimo da je ovaj broj racionalan. Ako je to tako, onda se može zapisati u obliku običnog razlomka log 2 5 = m n. Prema svojstvima logaritma i svojstvima stepena, tačne su sljedeće jednakosti:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Očigledno je da je posljednja jednakost nemoguća jer lijeva i desna strana sadrže neparne i parne brojeve. Stoga je napravljena pretpostavka netačna i log 2 5 nije racionalan broj.

Vrijedi napomenuti da prilikom utvrđivanja racionalnosti i iracionalnosti brojeva ne biste trebali donositi iznenadne odluke. Na primjer, rezultat proizvoda iracionalnih brojeva nije uvijek iracionalan broj. Dobar primjer: 2 · 2 = 2 .

Postoje i iracionalni brojevi čijim podizanjem na iracionalni stepen dobija se racionalan broj. U stepenu oblika 2 log 2 3, baza i eksponent su iracionalni brojevi. Međutim, sam broj je racionalan: 2 log 2 3 = 3.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prirodni brojevi se definiraju kao pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Da li je nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodnih brojeva ima? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je odrediti, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.

Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b:

Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Količnik prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik.

Delitelj prirodnog broja je prirodan broj koji je djeljiv prvim brojem.

Svaki prirodan broj je djeljiv sa jednim i samim sobom.

Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa jedan i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa jednim i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva je jedan, primarni brojevi i složeni brojevi.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo sabiranja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab) c = a (bc);

distributivno svojstvo množenja

a (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnim brojevima.

Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;…

Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Predstavimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera u obliku takvog razlomka:

Drugi primjer: racionalni broj 9 može se predstaviti kao prosti razlomak kao 18/2 ili kao 36/4.

Drugi primjer: racionalni broj -9 može se predstaviti kao prosti razlomak kao -18/2 ili kao -72/8.