Prijava zaboravili ste lozinku? Istorijat razvoja teorije verovatnoće Primena verovatnoće

Webinar o kako razumjeti teoriju vjerovatnoće i kako početi koristiti statistiku u poslovanju. Znajući kako raditi s takvim informacijama, možete pokrenuti vlastiti posao.

Evo primjera problema koji ćete riješiti bez razmišljanja. U maju 2015. Rusija je lansirala svemirski brod Progres i izgubila kontrolu nad njim. Ova gomila metala, pod uticajem Zemljine gravitacije, trebalo je da se sruši na našu planetu.

Pažnja, pitanje: kolika je bila vjerovatnoća da bi Progres pao na kopno, a ne u okean i da li je trebalo da brinemo?

Odgovor je vrlo jednostavan - šanse za pad na kopno bile su 3 do 7.

Zovem se Aleksandar Skakunov, nisam ni naučnik ni profesor. Pitao sam se samo zašto nam trebaju teorija vjerovatnoće i statistika, zašto smo ih polagali na fakultetu? Stoga sam za godinu dana pročitao više od dvadeset knjiga na ovu temu - od “Crnog labuda” do “Zadovoljstva X”. Čak sam unajmio 2 tutora.

Na ovom webinaru podijelit ću s vama svoja saznanja. Na primjer, naučit ćete kako je statistika pomogla u stvaranju ekonomskih čuda u Japanu i kako se to odražava u scenariju za film “Povratak u budućnost”.

Sada ću vam pokazati malo ulične magije. Ne znam koliko će vas se prijaviti za ovaj webinar, ali na kraju će se pojaviti samo 45%.

Bit će zanimljivo. Prijavite se!

3 faze razumijevanja teorije vjerovatnoće

Postoje 3 faze kroz koje prolazi svako ko se upozna sa teorijom vjerovatnoće.

Faza 1. “Pobijediću u kazinu!” Osoba vjeruje da može predvidjeti ishod slučajnih događaja.

Faza 2. “Nikad neću pobijediti u kazinu!..” Osoba postaje razočarana i vjeruje da se ništa ne može predvidjeti.

I faza 3. „Da probam izvan kazina!“ Čovjek razumije da se u prividnom haosu svijeta slučajnosti mogu pronaći obrasci koji mu omogućavaju da se dobro snalazi u svijetu oko sebe.

Naš zadatak je samo da dostignemo 3. fazu kako biste naučili primjenjivati ​​osnovne principe teorije vjerovatnoće i statistike u korist sebe i svog poslovanja.

Dakle, odgovor na pitanje “zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće” naučit ćete na ovom webinaru.

Slanje vašeg dobrog rada u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Federal State Educational

budžetska ustanova visokog stručnog obrazovanja

„FINANSIJSKI UNIVERZITET

POD VLADOM RUJSKE FEDERACIJE"

Fakultet: Finansije i kredit

TEST

u disciplini "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika"

Student: Kokhanskaya E.Yu.

Kurs: 2 Grupa br.: ZSPZ-EK201

Učitelj: Butkovsky O.Ya.

Vladimir 2014

1. U magacinu ima 20 uređaja, od kojih su dva neispravna. Prilikom slanja potrošaču, provjerava se ispravnost uređaja.

Pronađite vjerovatnoću da će prva tri testirana uređaja biti operativna.

Test (iskustvo) se sastoji od odabira 3 uređaja nasumično iz skladišta koje ima 20 uređaja (od toga 18 ispravnih i 2 neispravna).

Elementarni događaj (ishod testa) je rezultujući skup od tri uređaja.

Neka događaj A bude da se prva tri testirana uređaja ispostavi da su ispravna.

Broj ishoda povoljnih za nastanak događaja A (izbor od tri servisna uređaja):

Odgovor: vjerovatnoća da će prva tri testirana uređaja biti u funkciji je 0,716.

2. Štamparija raspolaže sa pet ravnih štamparskih mašina. Za svaku mašinu, vjerovatnoća da trenutno radi je 0,9.

Pronađite vjerovatnoću koja trenutno radi:

a) dva automobila;

b) najmanje jedan automobil

a) P=0,9 - vjerovatnoća da 1 mašina radi

one. verovatnoća rada sa 2 mašine: p = 0,9*0,9=0,81 => 81%

b) Pošto su događaji “mašina radi” i “mašina ne radi” (trenutno) suprotni, zbir njihovih vjerovatnoća jednak je jedan:

Stoga je vjerovatnoća da mašina trenutno ne radi jednaka

Potrebna vjerovatnoća

P(A)= 1- q5=1-(0,1)5=1- 0,00001=0,99999=99%

Budući da je dobijena vjerovatnoća vrlo bliska jedinici, onda, na osnovu korollacije principa praktične nemogućnosti događaja male vjerovatnoće, imamo pravo zaključiti da barem jedna od mašina trenutno radi.

Odgovor: a) vjerovatnoća da dvije mašine trenutno rade = 81%

b) vjerovatnoća da barem jedna mašina trenutno radi = 99%

3. Prilikom izdavanja televizora, broj kopija najvišeg kvaliteta je u prosjeku 80%. Proizvedeno je 400 televizora.

a) vjerovatnoća da je 300 proizvedenih televizora najvišeg kvaliteta;

b) granice unutar kojih se, sa vjerovatnoćom od 0,9907, nalazi udio najkvalitetnijih televizija.

U ovom zadatku se bavimo nezavisnim testovima, od kojih se svaki sastoji od ispitivanja kvaliteta objavljenog TV-a. Broj testova u našem slučaju.

Događaj je da je TV pušten u prodaju najvišeg kvaliteta.

a) Teško je izračunati željenu vjerovatnoću da se događaj dogodi tačno 300 puta u 400 pokušaja koristeći Bernoullijevu formulu zbog glomazne prirode proračuna. Željena vjerovatnoća se može izračunati korištenjem asimptotske (približne) Moivre-Laplace formule.

Upotrijebimo lokalnu Moivre-Laplaceovu teoremu: ako je vjerovatnoća događaja koji se dogodi u svakom pokušaju konstantna i različita od 0 i 1, a broj nezavisnih pokušaja je dovoljno velik, tada se vjerovatnoća izračunava pomoću približne formule

Gdje je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi u svakom ispitivanju,

Vjerovatnoća da se događaj ne dogodi u svakom ispitivanju,

Gaussova funkcija.

Dakle, događaj je da je TV pušten u prodaju najvišeg kvaliteta; vjerovatnoća da će se događaj dogoditi u svakom ispitivanju; vjerovatnoća da se događaj ne dogodi u svakom ispitivanju; broj testova.

To znači vjerovatnoću da je od 400 proizvedenih televizora 300 najkvalitetnije:

Koristeći tablicu vrijednosti Gausove funkcije nalazimo: .

Dakle, .

b) Upotrijebimo posljedica integralne Moivre-Laplaceove teoreme: ako je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom od pokušaja konstantna i različita od 0 i 1, a broj nezavisnih pokušaja je dovoljno velik, tada je vjerovatnoća datog odstupanja relativne frekvencije (učestalosti) pojave događaja A od njegove vjerovatnoće izračunate primjenom približne formule

gdje je p vjerovatnoća da se događaj A dogodi u svakom ispitivanju,

q je vjerovatnoća da se događaj A ne dogodi u svakom ispitivanju,

n je broj testova, je navedeno odstupanje.

Laplaceova funkcija.

očekivanje slučajne vrijednosti vjerovatnoće

U našem slučaju; ; broj testova.

Nađimo devijaciju na kojoj, to jest, na osnovu posledica Moivre-Laplaceove integralne teoreme

Dakle, nalazimo iz izraza

Koristeći tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije nalazimo: .

Dakle

To znači da sa vjerovatnoćom od 0,9907 možemo očekivati ​​odstupanje relativne učestalosti pojavljivanja događaja od.

Dakle, granice unutar kojih se, sa vjerovatnoćom od 0,9907, nalazi udio televizora najvišeg kvaliteta: .

Drugim riječima, sa vjerovatnoćom od 0,9907, udio televizora vrhunskog kvaliteta je između 74,8% i 85,2%.

Odgovor: a) vjerovatnoća da je proizvedeno 300 najkvalitetnijih televizora je 0,0022;

b) granice unutar kojih, sa vjerovatnoćom od 0,9907, udio televizora vrhunskog kvaliteta leži od 74,8% do 85,2%.

4. U seriji od osam dijelova, šest je standardno. Dva dijela se biraju nasumično. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - broj standardnih dijelova među odabranim. Pronađite njegovo matematičko očekivanje, varijansu i funkciju distribucije.

Diskretna slučajna varijabla - broj standardnih dijelova među odabranim dijelovima - ima sljedeće moguće vrijednosti: , .

Nađimo vjerovatnoće ovih mogućih vrijednosti.

Željeni zakon distribucije diskretne slučajne varijable će, prema tome, imati oblik:

Test (iskustvo) se sastoji od slučajnog odabira dva dijela iz serije koja sadrži 8 dijelova (6 standardnih i 2 nestandardna).

Elementarni događaj (ishod testa) je rezultujući skup od 2 dijela.

Broj svih mogućih rezultata testa:

Broj ishoda koji idu u prilog činjenici da je broj standardnih dijelova među odabranim dijelovima (odnosno među odabranim dijelovima ima 0 standardnih i 2 nestandardna):

Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo:

Broj ishoda koji idu u prilog činjenici da je broj standardnih dijelova među odabranim dijelovima (odnosno među odabranim dijelovima 1 standardni i 1 nestandardni):

Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo:

Broj ishoda koji idu u prilog činjenici da je broj standardnih dijelova među odabranim dijelovima (odnosno među odabranim dijelovima ima 2 standardna i 0 nestandardnih dijelova):

Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo:

Zbir vjerovatnoća

Dakle, željeni zakon distribucije diskretne slučajne varijable ima oblik:

Nađimo matematičko očekivanje i funkciju distribucije slučajne varijable.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable:

Disperzija diskretne slučajne varijable X:

Funkcija raspodjele vjerovatnoće (kumulativna funkcija raspodjele) slučajne varijable je data formulom.

Prilikom konstruisanja funkcije dobićemo njen analitički izraz na svakom intervalu particije brojevne prave sa tačkama koje odgovaraju vrednostima date slučajne varijable, koristeći teoremu za sabiranje verovatnoća nekompatibilnih događaja:

a) jer, jer u ovom slučaju imamo posla sa vjerovatnoćom nemogućeg događaja (posebno za);

b) za (posebno za);

c) za (posebno za);

Sumirajući dobijene podatke možemo napisati:

Odgovor: ; ; ;

1. Od 1560 zaposlenih u preduzeću, 100 ljudi je odabrano prema nasumičnom i neponovljivom uzorku kako bi se dobili statistički podaci o bolovanju tokom godine. Dobijeni podaci prikazani su u tabeli.

a) vjerovatnoća da se prosječan broj dana na bolovanju među zaposlenima preduzeća razlikuje od njihovog prosječnog broja u uzorku za najviše jedan dan (u apsolutnoj vrijednosti);

b) granice u kojima se, sa vjerovatnoćom od 0,95, nalazi udio svih zaposlenih koji su na bolovanju ne duže od sedam dana;

c) obim nerepetitivnog uzorkovanja, pri kojem se iste granice za udio (vidi tačku b)) mogu garantovati sa vjerovatnoćom od 0,98.

a) Odaberite broj dana bolovanja u svakom od intervala (sredina intervala). U početnom intervalu ćemo uzeti vrijednost 2 dana. Na kraju 12 dana, u drugim sredinom intervala.

Srednja vrijednost uzorka je:

Varijanca uzorka:

nađimo vrijednost t iz relacije

Vrijednosti F(t) su preuzete iz odgovarajućih tabela.

b) U uzorku je udio takvih zaposlenih jednak:

Uz pretpostavku da je populacija mnogo veća od 100, za traženu vrijednost imamo:

Tada su potrebne granice:

c) Volumen za dati tip uzorka i datu vjerovatnoću (t=2,33):

Odgovor: a) vjerovatnoća da se prosječan broj dana na bolovanju među zaposlenima u preduzeću razlikuje od njihovog prosječnog broja u uzorku za najviše jedan dan iznosi 0,999;

b) granice u kojima, sa vjerovatnoćom od 0,95, udio svih zaposlenih na bolovanju ne dužem od sedam dana leži od 47,3% do 66,7%;

c) obim nerepetitivnog uzorka sa vjerovatnoćom od 0,98 jednak je 141 zaposleniku.

3. Raspodjela 110 uzoraka polimernih kompozitnih materijala prema sadržaju uljnog mulja X (%) i upijanju vode Y (%) prikazana je u tabeli.

potrebno:

1. Izračunajte grupne prosjeke i konstruirajte empirijske regresijske linije.

2. Pod pretpostavkom da postoji linearna korelacija između varijabli X i Y:

a) pronaći jednačine regresijskih linija, nacrtati njihove grafike na istom crtežu sa empirijskim regresijskim linijama i dati smisleno tumačenje rezultirajućih jednačina;

b) izračunati koeficijent korelacije; na nivou značaja? = 0,05 procijeniti njen značaj i izvesti zaključak o bliskosti i smjeru odnosa između varijabli X i Y;

c) koristeći odgovarajuću regresionu jednačinu, procijeniti prosječan procenat apsorpcije vode u uzorcima koji sadrže 35% uljnog mulja.

1). Izračunajmo prosječne grupe:

Tabela prikazuje funkcionalni odnos između i xi, odnosno korelacijski odnos između y i x.

Izgradimo empirijske regresijske linije:

2). Pod pretpostavkom da postoji linearna korelacija između varijabli X i Y:

a) naći jednačine regresijskih linija.

Slučajna varijabla X - sadržaj uljnog mulja, %

Slučajna varijabla Y - sadržaj upijanja vode, %.

Nađimo kovarijansu:

Izračunajmo koeficijent regresije y u odnosu na x i napravimo jednačinu za ovu zavisnost:

y = 1,117 x + 8,792

Izračunajmo koeficijent regresije za x na y i napravimo jednačinu za odgovarajući odnos:

x = 0,797 y -3,744

Nacrtajmo regresijske linije na istom crtežu sa empirijskim regresijskim linijama:

b) Izračunajmo koeficijent korelacije:

One. veza između varijabli X i Y (stepen automatizacije proizvodnje i rast produktivnosti rada) je direktna i bliska.

Procijenimo značaj koeficijenta korelacije koristeći Studentov test:

Izračunata vrijednost Studentovog kriterija je veća od vrijednosti u tabeli

ttable(?=0,05; k=108) = 1,6591, stoga je koeficijent korelacije značajan.

c) Odredimo, koristeći jednadžbu regresije y na x, prosječan postotak apsorpcije vode u uzorcima koji sadrže 35% uljnog mulja:

y = 1,117 *35 + 8,792=47,887

One. prosječan procenat apsorpcije vode u uzorcima koji sadrže 35% uljnog mulja iznosit će 47,9%.

Objavljeno na Allbest.ur

...

Slični dokumenti

    Koncepti teorije vjerovatnoće i matematičke statistike, njihova primjena u praksi. Definicija slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Zakoni raspodjele kontinuirane slučajne varijable.

    sažetak, dodan 25.10.2015

    Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u dati interval. Iscrtavanje funkcije distribucije slučajne varijable. Određivanje vjerovatnoće da nasumično uzet proizvod ispunjava standard. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.

    test, dodano 24.01.2013

    Kontinuirana slučajna varijabla i funkcija distribucije. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable. Standardna devijacija. Kriva distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu. Koncept jednosmjerne analize varijanse.

    test, dodano 01.03.2012

    Određivanje vjerovatnoće pogađanja mete korištenjem Bernoullijeve formule. Zakon i poligon raspodjele slučajne varijable. Konstrukcija funkcije distribucije, graf. Očekivanje, varijansa, standardna devijacija slučajne varijable.

    test, dodano 26.02.2012

    Korištenje Bernoullijeve formule za pronalaženje vjerovatnoće da će se događaj dogoditi. Iscrtavanje grafa diskretne slučajne varijable. Matematičko očekivanje i svojstva integralne funkcije distribucije. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable.

    test, dodano 29.01.2014

    Slučajne varijable. Gustoća raspodjele funkcije i vjerovatnoće diskretne slučajne varijable. Singularne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Čebiševljeva nejednakost. Momenti, kumulanti i karakteristična funkcija.

    sažetak, dodan 12.03.2007

    Matematičko očekivanje slučajne varijable. Svojstva matematičkog očekivanja, disperzija slučajne varijable, njihovi sumi. Funkcija slučajnih varijabli, njeno matematičko očekivanje. Koeficijent korelacije, vrste konvergencije niza slučajnih varijabli.

    predavanje, dodano 17.12.2010

    Rješavanje problema određivanja vjerovatnoće događaja, serija i funkcija raspodjele korištenjem formule množenja vjerovatnoće. Pronalaženje konstante, matematičkog opisa i varijanse kontinuirane slučajne varijable iz funkcije distribucije slučajne varijable.

    test, dodano 07.09.2010

    Pojam i suština višedimenzionalne slučajne varijable, njena razlika od jednodimenzionalne i njena primena za rešavanje statističkih problema. Karakteristike uslovne verovatnoće, izračunavanje i određivanje zbira svih verovatnoća. Matematički zakon distribucije događaja.

    prezentacija, dodano 01.11.2013

    Diskretne slučajne varijable i njihove distribucije. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Varijanca slučajne varijable. Funkcija distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerovatnoće.

Definicija. Teorija vjerovatnoće je nauka koja proučava obrasce u slučajnim pojavama.

Definicija. Slučajni fenomen je fenomen koji se, kada se više puta testira, svaki put pojavljuje drugačije.

Definicija. Iskustvo je ljudska aktivnost ili proces, testovi.

Definicija. Događaj je rezultat iskustva.

Definicija. Predmet teorije vjerovatnoće su slučajne pojave i specifični obrasci masovnih slučajnih pojava.

Klasifikacija događaja:

  1. Događaj se zove pouzdan , ako će se kao rezultat eksperimenta to definitivno dogoditi.

Primjer.Školski čas će se definitivno završiti.

  1. Događaj se zove nemoguće , ako se pod datim uslovima to nikada neće dogoditi.

Primjer. Ako u krugu nema električne struje, lampa se neće upaliti.

  1. Događaj se zove nasumično ili nemoguće , ako se kao rezultat iskustva može dogoditi ili ne mora.

Primjer. Događaj - polaganje ispita.

  1. Događaj se zove podjednako moguće , ako su uslovi pojavljivanja isti i nema razloga da se tvrdi da kao rezultat iskustva jedan od njih ima veće šanse da se pojavi od drugog.

Primjer. Izgled grba ili repa prilikom bacanja novčića.

  1. Događaji se zovu joint , ako pojava jednog od njih ne isključuje mogućnost pojave drugog.

Primjer. Prilikom gađanja, promašaji i prepucavanje su zajednički događaji.

  1. Događaj se zove nekompatibilno , ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost pojave drugog.

Primjer. Sa jednim udarcem, pogodak i promašaj nisu istovremeni događaji.

  1. Pozivaju se dva nekompatibilna događaja suprotno , ako će se kao rezultat eksperimenta jedan od njih definitivno pojaviti.

Primjer. Prilikom polaganja ispita, događaji “položio ispit” i “palio ispit” nazivaju se suprotnim.

Oznaka: - normalan događaj, - suprotan događaj.

  1. Formira se nekoliko događaja kompletna grupa nespojivih događaja , ako se samo jedan od njih pojavi kao rezultat eksperimenta.

Primjer. Prilikom polaganja ispita moguće je: „pao ispit“, „položio sa „3““, „položio sa „4““ - kompletna grupa nekompatibilnih događaja.

Pravila zbroja i proizvoda.

Definicija. Zbir dva proizvoda a I b pozovite događaj c , koji se sastoji u nastanku događaja a ili događaje b ili oboje u isto vrijeme.

Zove se zbir događaja kombinovanje događaja (pojava barem jednog od događaja).

Ako je smisao problema očigledan šta bi trebalo da se pojavi a ILI b , onda kažu da su pronašli sumu.

Definicija. Produciranjem događaja a I b pozovite događaj c , koji se sastoji od istovremene pojave događaja a I b .

Proizvod je presek dva događaja.



Ako problem kaže da oni nalaze a I b , što znači da nađu posao.

Primjer. Sa dva udarca:

  1. ako je potrebno pronaći pogodak barem jednom, onda pronađite zbroj.
  2. ako je potrebno dvaput pronaći pogodak, onda pronađite proizvod.

Vjerovatnoća. Svojstvo vjerovatnoće.

Definicija. Učestalost događaja je broj jednak omjeru broja eksperimenata u kojima se događaj dogodio i broja svih izvedenih eksperimenata.

Oznaka: r() – frekvencija događaja.

Primjer. Ako bacite novčić 15 puta, a grb se pojavi 10 puta, tada je učestalost pojavljivanja grba: r()=.

Definicija. Uz beskonačno veliki broj eksperimenata, učestalost događaja postaje jednaka vjerovatnoći događaja.

Definicija klasične vjerovatnoće. Vjerovatnoća događaja je omjer broja slučajeva povoljnih za nastanak ovog događaja i broja svih jedinstveno mogućih i jednako mogućih slučajeva.

Oznaka: , gdje je P – vjerovatnoća,

m – broj slučajeva pogodnih za nastanak događaja.

n je ukupan broj jedinstveno mogućih i jednako mogućih slučajeva.

Primjer. U takmičenju u trčanju učestvuje 60 učenika CHIEP-a. Svaka ima broj. Pronađite vjerovatnoću da broj učenika koji je pobijedio u trci ne sadrži broj 5.

Svojstva vjerovatnoće:

  1. Vrijednost vjerovatnoće nije negativna i nalazi se između vrijednosti 0 i 1.
  2. vjerovatnoća je 0 ako i samo ako je vjerovatnoća nemogućeg događaja.
  3. vjerovatnoća je jednaka 1 ako i samo ako je vjerovatnoća određenog događaja.
  4. vjerovatnoća istog događaja je nepromijenjena, ne ovisi o broju izvedenih eksperimenata i mijenja se samo kada se promijene uslovi eksperimenta.

Definicija geometrijske vjerovatnoće. Geometrijska vjerovatnoća je omjer dijela područja u kojem se mora pronaći odabrana tačka u cijelom području u kojem je jednako moguć pogodak u datu tačku.

Površina može biti mjera površine, dužine ili zapremine.

Primjer. Odrediti vjerovatnoću da određena tačka padne na dionicu dužine 10 km ako je potrebno da padne blizu krajeva segmenta, ne dalje od 1 km od svakog.

Komentar.

Ako mjere domena s i S imaju različite mjerne jedinice prema uslovima problema, tada je za rješavanje potrebno s i S dati jednu dimenziju.

Compound. Elementi kombinatorike.

Definicija. Asocijacije elemenata različitih grupa koje se razlikuju po redoslijedu elemenata ili barem jednog elementa nazivaju se spojevi.

Veze su:

Smještaj

Kombinacija

Preuređenja

Definicija. Rasporedi od n - elemenata m puta svaki nazivaju se vezom koja se međusobno razlikuje po najmanje jednom elementu i redoslijedu rasporeda elemenata.

Definicija. Kombinacije n elemenata od m nazivaju se spojevi koji se sastoje od istih elemenata, koji se razlikuju u najmanje jednom elementu.

Definicija. Permutacije od n elemenata su spojevi koji se sastoje od istih elemenata, koji se međusobno razlikuju samo po redoslijedu rasporeda elemenata.

Primjer.

1) na koliko načina možete formirati konvoj od 5 automobila?

2) na koliko načina se mogu imenovati 3 dežurna u razredu, ako u razredu ima ukupno 25 ljudi?

Budući da redoslijed elemenata nije važan i da se grupe spojeva razlikuju po broju elemenata, izračunavamo broj kombinacija od 25 elemenata od 3.

načine.

3) Na koliko načina od brojeva 1,2,3,4,5,6 možete napraviti 4-cifreni broj. Stoga, pošto veze se razlikuju po redoslijedu rasporeda i najmanje jednog elementa, tada izračunavamo raspored 6 elemenata od 4.

Primjer korištenja kombinatoričkih elemenata i izračunavanja vjerovatnoće.

U seriji od n proizvoda, m je neispravno. Nasumično biramo l-proizvode. Pronađite vjerovatnoću da će među njima biti tačno k brakova.

Primjer.

U magacin prodavnice dovezeno je 10 frižidera, od toga 4-3-komorni, ostali - 2-komorni.

Nađite vjerovatnoću da će od 5 nasumično odabranih brda 3 imati 3 odaje.

Osnovne teoreme teorije vjerovatnoće.

Teorema 1.

Verovatnoća zbira 2 nekompatibilna događaja jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja.

Posljedica.

1) ako događaj čini kompletnu grupu nekompatibilnih događaja, tada je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1.

2) zbir verovatnoća 2 suprotna događaja jednak je 1.

Teorema 2.

Vjerovatnoća proizvoda 2 nezavisna događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća.

Definicija. Za događaj A se kaže da je nezavisan od događaja B ako vjerovatnoća nastanka događaja A ne zavisi od toga da li će se događaj B desiti ili ne.

Definicija. 2 događaja nazivaju se nezavisnim ako vjerovatnoća da će se jedan od njih dogoditi ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju drugog.

Definicija. Vjerovatnoća događaja B izračunata s obzirom da se dogodio događaj A naziva se uslovna vjerovatnoća.

Teorema 3.

Vjerovatnoća proizvoda 2 nezavisna događaja jednaka je vjerovatnoći pojave jednog događaja uslovnom vjerovatnoćom drugog, s obzirom da se prvi događaj dogodio.

Primjer.

Biblioteka posjeduje 12 udžbenika iz matematike. Od toga su 2 udžbenici iz osnovne matematike, 5 iz teorije vjerovatnoće, a ostali iz više matematike. Nasumično biramo 2 udžbenika. Nađite vjerovatnoću da se oboje pojave u osnovnoj matematici.

Teorema 4. Vjerovatnoća da se događaj dogodi barem jednom.

Vjerovatnoća pojave barem jednog od događaja koji čine potpunu grupu nespojivih događaja jednaka je razlici između prvog i proizvoda vjerovatnoća događaja suprotnih od datih.

Neka onda

Posljedica.

Ako je vjerovatnoća pojave svakog od događaja jednaka i jednaka p, tada je vjerovatnoća da će se dogoditi barem jedan od ovih događaja jednaka

N je broj izvedenih eksperimenata.

Primjer.

Ispalite 3 hica u metu. Verovatnoća pogotka pri prvom udarcu je 0,7, pri drugom – 0,8, pri trećem – 0,9. naći vjerovatnoću da će sa tri nezavisna hica u metu biti:

A) 0 pogodaka;

B) 1 pogodak;

B) 2 pogotka;

D) 3 pogotka;

D) najmanje jedan pogodak.

Teorema 5. Formula ukupne vjerovatnoće.

Neka se događaj A dogodi zajedno s jednom od hipoteza, tada se vjerovatnoća da se dogodio događaj A nalazi po formuli:

i . Hajde da to dovedemo do zajedničkog imenioca.

To. vjerovatnije je pobijediti u jednoj od 2 igre protiv jednakog protivnika nego u 2 od 4 utakmice.

Teorija vjerovatnoće je matematička nauka koja proučava obrasce u masovnim slučajnim pojavama.

Prije pojave teorije vjerovatnoće kao opšteprihvaćene teorije, u nauci je dominirao determinizam, prema kojem implementacija određenog skupa uslova jedinstveno određuje rezultat. Klasičan primjer je mehanika. Na primjer, na osnovu zakona nebeske mehanike, pomračenja Sunca i Mjeseca mogu se vrlo precizno predvidjeti iz poznatih položaja planeta u Sunčevom sistemu u nekom trenutku. Takvi zakoni se nazivaju determinističkim zakonima.

Međutim, praksa je pokazala da ovaj pristup nije uvijek primjenjiv. Ne mogu se svi fenomeni makrokosmosa tačno predvideti, uprkos činjenici da se naše znanje o njemu kontinuirano usavršava i produbljuje. Zakoni i zakonitosti mikrosvijeta su još manje određeni.

Matematički zakoni teorije vjerovatnoće odražavaju stvarne statističke zakone koji objektivno postoje u masovnim slučajnim pojavama.

Teorija vjerovatnoće se u početku razvijala kao primijenjena disciplina. U tom smislu, njeni koncepti i zaključci bili su obojeni oblastima znanja u kojima su stečeni.

U radovima B.V. Gnedenko, L.E. Maystrova, A.N. Kolmogorov predstavlja glavne faze u razvoju teorije vjerovatnoće. Radi kratkoće, predstavljamo ih u obliku tabele.

Tabela 1

Faze razvoja teorije vjerovatnoće

Scensko ime

Osnovni koncepti

Izvori formiranja i razvoja

Praistorija teorije verovatnoće, do kraja 16. veka

Jednako mogući (jednako vjerovatni) ishodi, princip - "ne više na jedan način od drugog", vjerovatnoća znanja, vjerovatnoća rezonovanja

Rješavanje elementarnih problema, filozofija, kockanje

Pojava teorije verovatnoće kao nauke, od 17. veka do početka 18. veka.

Kvantitativna procjena mogućnosti nastanka slučajnog događaja, ideje o učestalosti događaja, matematičko očekivanje i teoreme sabiranja i množenja, kombinatoričke formule

Demografija, osiguranje, procjena grešaka u posmatranju.

Period formiranja temelja teorije vjerovatnoće, od 1713. do sredine 19. stoljeća

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće, geometrijske vjerovatnoće, teoreme sabiranja i množenja, zakon velikih brojeva, matematičko očekivanje, Bernoullijeva formula, Bayesova teorema, slučajna varijabla

Demografija, osiguranje, procjena grešaka u posmatranju, prirodne nauke

Rusko - peterburška škola, od druge polovine 19. do 20. veka

Granične teoreme, teorija slučajnih procesa, generalizacija zakona velikih brojeva, metoda momenata

Kontrola kvaliteta proizvoda, prirodne nauke itd.

Sadašnji stupanj razvoja teorije vjerovatnoće, XX - XXI vijek

Aksiomatska konstrukcija teorije vjerovatnoće, frekvencijska interpretacija vjerovatnoće, stacionarni slučajni procesi, itd.

Unutrašnje potrebe same matematike, statističke fizike, teorije informacija, teorije slučajnih procesa, astronomije, biologije, genetike itd.

Izvori razvoja prikazani u tabeli odražavaju potrebe prakse, što je postalo poticaj za razvoj teorije vjerovatnoće.

Do 17. vijeka, filozofija je akumulirala prilično bogat materijal, koji je uticao na nastanak i prvi period razvoja teorije vjerovatnoće. Glavni izvor nastanka teorije vjerovatnoće je praksa. Potreba za stvaranjem matematičkog aparata za analizu slučajnih pojava proizašla je iz potrebe obrade i generalizacije statističke građe. Međutim, teorija vjerovatnoće nije formirana samo na osnovu praktičnih problema: ovi problemi su previše složeni. Pokazalo se da je kockanje jednostavniji i prikladniji materijal za proučavanje obrazaca slučajnih pojava. Na osnovu kockanja, uz osnovne koncepte, razvijene su i metode teorije vjerovatnoće.

Poreklo teorije verovatnoće počelo je činjenicom da se dvorjanin francuskog kralja, Chevalier (Cavalier) de Mere (1607-1648), i sam kockar, okrenuo francuskom fizičaru, matematičaru i filozofu Blaiseu Pascalu (1623-1662) sa pitanjima o problemu naočara. Došla su do nas dva poznata pitanja od De Merea do Pascala: 1) koliko puta se moraju baciti dvije kocke da bi broj puta kada dvije šestice odjednom ispale više od polovine ukupnog broja bacanja; 2) kako pravedno podijeliti novac u igri ako su igrači prerano prekinuli igru? Pascal se obratio matematičaru Pierreu Fermau (1601-1665) i dopisivao se s njim o ovim problemima. Njih dvojica su uspostavili neke od početnih principa teorije vjerovatnoće, a posebno su došli do koncepta matematičkog očekivanja i teorema sabiranja i množenja vjerovatnoća.

Probabilističke metode su našle direktnu praktičnu primjenu, prije svega, u problemima osiguranja. Od tada, teorija vjerovatnoće nalazi sve veću primjenu u različitim oblastima.

Francuski naučnici B. Pascal i P. Fermat i holandski naučnik H. Huygens (1629-1695) smatraju se otkrićima teorije vjerovatnoće. Počela je da nastaje nova nauka, njene specifičnosti i metodologija: definicije, teoreme, metode.

Veliki korak u razvoju teorije vjerovatnoće povezan je sa radom Jacoba Bernoullija (1654–1705). Je li on bio prvi dokaz jedne od najvažnijih odredbi teorije vjerovatnoće? zakon velikih brojeva. Čak i prije Jacoba Bernoullija, mnogi su kao empirijsku činjenicu zabilježili tu osobinu slučajnih pojava, koja se naziva „osobina stabilnosti frekvencija u velikom broju eksperimenata“. Više puta je primećeno da se kod velikog broja eksperimenata, od kojih je svaki ishod slučajan, relativna učestalost pojavljivanja datog ishoda stabilizuje, približavajući se određenom broju verovatnoće ovog ishoda. Jacob Bernoulli je prvi dao teorijsko opravdanje za ovu empirijsku činjenicu. Teorema Jacoba Bernoullija? najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva? uspostavlja vezu između vjerovatnoće događaja i učestalosti njegovog pojavljivanja; sa dovoljno velikim brojem eksperimenata, može se, sa praktičnom sigurnošću, očekivati ​​proizvoljno blisku podudarnost frekvencije sa vjerovatnoćom.

Druga važna faza u razvoju teorije vjerovatnoće povezana je sa imenom Moavr (1667?1754). Ovaj naučnik je prvi uveo u razmatranje i za najjednostavniji slučaj opravdao zakon koji se vrlo često opaža u slučajnim pojavama: takozvani normalni zakon (Gaussov zakon).

Normalni zakon igra izuzetno važnu ulogu u slučajnim pojavama. U teoriji vjerovatnoće, teoreme koje opravdavaju ovaj zakon za određene uslove općenito se nazivaju "teorema središnje granice".

Harmoničan i sistematičan prikaz osnova teorije verovatnoće prvi je dao poznati matematičar Laplas (1749–1827). Dokazao je jedan od oblika središnje granične teoreme (Moavre-Laplaceov teorem) i razvio niz izvanrednih primjena teorije vjerovatnoće na praktična pitanja, posebno na analizu grešaka opservacije i mjerenja.

Značajan iskorak u razvoju teorije vjerovatnoće povezan je s imenom Gaussa (1777–1855), koji je dao još generalnije opravdanje za normalni zakon i razvio metodu za obradu eksperimentalnih podataka poznatu kao „metoda najmanjih kvadrata“. ”

Vrijedi napomenuti rad Poissona (1781–1840), koji je dokazao opštiju formu zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a također je bio prvi koji je primijenio teoriju vjerovatnoće na probleme pucanja. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.

Cijeli 18. i početak 19. stoljeća karakterizira brzi razvoj teorije vjerovatnoće i široko rasprostranjeno oduševljenje za nju. Teorija vjerovatnoće postaje „modna“ nauka. Počinju ga koristiti ne samo tamo gdje je njegova upotreba legalna, već i tamo gdje nije ni na koji način opravdana.

Ovaj period karakterišu brojni pokušaji da se teorija verovatnoće primeni na proučavanje društvenih pojava, na takozvane „moralne” ili „moralne” nauke. Pojavili su se brojni radovi o pravnim pitanjima, istoriji, politici, pa i teologiji, u kojima je korišćen aparat teorije verovatnoće. Sve ove pseudonaučne studije karakteriše krajnje pojednostavljen, mehanički pristup društvenim fenomenima koji se u njima razmatraju. Obrazloženje se zasniva na nekim proizvoljno zadanim vjerovatnoćama (npr. kada se razmatraju pitanja sudskog postupka, sklonost svake osobe da kaže istinu ili laž procjenjuje se nekom stalnom vjerovatnoćom, istom za sve ljude), a zatim društveni problem rješava se kao jednostavan aritmetički problem.

Naravno, svi takvi pokušaji bili su osuđeni na propast i nisu mogli imati pozitivnu ulogu u razvoju nauke. Naprotiv, njihov indirektan rezultat je bio ono oko dvadesetih godina? Tridesetih godina 19. veka u zapadnoj Evropi, rašireno oduševljenje teorijom verovatnoće ustupilo je mesto razočarenju i skepticizmu. Počeli su da gledaju na teoriju verovatnoće kao na sumnjivu, drugorazrednu nauku, neku vrstu matematičke zabave, jedva vrednu ozbiljnog proučavanja.

Zanimljivo je da je upravo u to vreme u Rusiji nastala čuvena peterburška matematička škola, kroz čije radove je teorija verovatnoće postavljena na čvrstu logičku i matematičku osnovu i načinila pouzdan, tačan i efikasan metod saznanja. Od pojave ove škole razvoj teorije verovatnoće je već bio usko povezan sa radom Rusa, a u budućnosti? Sovjetski naučnici.

Među naučnicima peterburške matematičke škole treba navesti V. Ya. Bunyakovsky (1804?1889)? autor prvog kursa iz teorije verovatnoće na ruskom jeziku, tvorac moderne ruske terminologije u teoriji verovatnoće, autor originalnih istraživanja u oblasti statistike i demografije.

Učenik V. Ya Bunyakovskog bio je veliki ruski matematičar P. L. Čebišev (1821?1894), koji je dalje proširio i uopštio zakon velikih brojeva. Osim toga, P. L. Čebišev je u teoriju vjerovatnoće uveo vrlo moćnu i plodonosnu metodu momenata.

Učenik P. L. Čebiševa bio je A. A. Markov (1856?1922), koji je značajno proširio obim primjene zakona velikih brojeva i centralne granične teoreme, proširivši ih ne samo na nezavisne, već i na zavisne eksperimente. Najvažnija zasluga A. A. Markova bila je u tome što je postavio temelje potpuno nove grane teorije vjerovatnoće? teorije slučajnih ili „stohastičkih“ procesa. Razvoj ove teorije čini glavni sadržaj najnovije, moderne teorije vjerovatnoće.

A. M. Ljapunov (1857–1918), čije se ime vezuje za prvi dokaz centralne granične teoreme pod izuzetno opštim uslovima, takođe je bio učenik P. L. Čebiševa. Da bi dokazao svoju teoremu, A. M. Lyapunov je razvio posebnu metodu karakterističnih funkcija, koja se široko koristi u modernoj teoriji vjerovatnoće.

Karakteristična karakteristika rada peterburške matematičke škole bila je izuzetna jasnoća formulacije problema, potpuna matematička strogost korištenih metoda, a ujedno i bliska povezanost teorije sa neposrednim zahtjevima prakse. Kroz radove naučnika peterburške matematičke škole, teorija verovatnoće je izvučena sa margine nauke i stavljena kao punopravni član egzaktnih matematičkih nauka. Uslovi za primenu njenih metoda bili su strogo definisani, a same metode dovedene do visokog stepena savršenstva.

Sovjetska škola teorije vjerovatnoće, koja je naslijedila tradiciju peterburške matematičke škole, zauzima vodeće mjesto u svjetskoj nauci. Navedimo samo neke od najvećih sovjetskih naučnika, čiji su radovi odigrali odlučujuću ulogu u razvoju moderne teorije vjerovatnoće i njene praktične primjene.

S. N. Bernstein je razvio prvu potpunu aksiomatiku teorije vjerojatnosti, a također je značajno proširio opseg primjene graničnih teorema.

A. Ya Khinčin (1894?1959) poznat je po svojim istraživanjima u oblasti daljeg uopštavanja i jačanja zakona velikih brojeva, ali uglavnom po istraživanjima u oblasti stacionarnih slučajnih procesa.

Niz najvažnijih fundamentalnih radova u različitim oblastima teorije vjerovatnoće i matematičke statistike pripada A. N. Kolmogorovu. Dao je najsavršeniju aksiomatsku konstrukciju teorije vjerovatnoće, povezujući je sa jednom od najvažnijih grana moderne matematike? metrička teorija funkcija. Rad A. N. Kolmogorova je od posebnog značaja u oblasti teorije slučajnih funkcija (stohastičkih procesa), koje trenutno čine osnovu svih istraživanja u ovoj oblasti. Radovi A. N. Kolmogorova vezani za procjenu efikasnosti činili su osnovu potpuno novog naučnog pravca u teoriji gađanja, koji je potom prerastao u širu nauku o djelotvornosti borbenih dejstava.

V. I. Romanovsky i N. V. Smirnov poznati su po svom radu u oblasti matematičke statistike, E. E. Slutsky? u teoriji slučajnih procesa, B.V. Gnedenko? u polju teorije čekanja, E. B. Dynkin? u polju Markovljevih slučajnih procesa, V. S. Pugačev? u oblasti slučajnih procesa u primeni na probleme automatskog upravljanja.

Razvoj strane teorije vjerovatnoće trenutno se također odvija ubrzanim tempom zbog hitnih zahtjeva prakse. Kao i kod nas, prioritetna pažnja se poklanja pitanjima vezanim za slučajne procese. Značajni radovi u ovoj oblasti pripadaju N. Wiener, V. Feller, D. Doob. Važni radovi o teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici pripadaju R. Fischeru, D. Neumannu i G. Crameru.

Teorija vjerovatnoće, kao i druge grane matematike, nastala je iz potreba prakse, a apstraktno odražava obrasce u masovnim slučajnim događajima. Ovi obrasci igraju veoma važnu ulogu u različitim oblastima prirodnih nauka, medicine, tehnologije, ekonomije i vojnih poslova. Mnoge grane teorije vjerovatnoće razvijene su zbog potreba prakse.

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić uvis, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, obje ove vjerovatnoće su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila od 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema šta istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost pojave jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze s matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uočili određene obrasce o kojima su odlučili da ispričaju javnosti.

Istu tehniku ​​je izmislio Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo koncept „teorije vjerovatnoće“, formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme takođe su od velikog značaja. Učinili su teoriju vjerovatnoće više poput matematičke discipline. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

  • Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
  • Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima (novčić će ostati visjeti u zraku).
  • Slučajno. One koje će se desiti ili se neće desiti. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. na primjer:

  • A = "studenti su došli na predavanje."
  • Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, sve opcije za početni pad su moguće dok ne padne. Ali događaji takođe nisu podjednako mogući. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedni drugih. na primjer:

  • A = "student je došao na predavanje."
  • B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nekompatibilni događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu umnožavati i sabirati u skladu s tim, u disciplinu se uvode logički spojevi “AND” i “OR”.

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi u isto vrijeme. Ako su nekompatibilni, posljednja opcija je nemoguća ili A ili B.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Zadatak 1: Kompanija učestvuje na konkursu za dobijanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

  • A = "firma će dobiti prvi ugovor."
  • A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
  • B = "firma će dobiti drugi ugovor."
  • B 1 = “firma neće dobiti drugi ugovor”
  • C = "firma će dobiti treći ugovor."
  • C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

  • K = “kompanija će dobiti sve ugovore.”

U matematičkom obliku, jednačina će imati sljedeći oblik: K = ABC.

  • M = “kompanija neće dobiti nijedan ugovor.”

M = A 1 B 1 C 1.

Hajde da zakomplikujemo zadatak: H = "kompanija će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor kompanija dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji snimljeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava vezu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, kompanija će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uslove u disciplini “Teorija vjerovatnoće”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

  • klasična;
  • statistički;
  • geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoće. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

  • Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi slučaj suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvuci kartu srčane boje." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će karta srčane boje biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Ka višoj matematici

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja problema koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće nalazi se iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerovatnoće je vrlo zanimljiva. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) male - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerovatnoćom će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, utvrđeno je da su 3 proizvoda lošeg kvaliteta. Od 100 oduzimamo 3 i dobijemo 97, ovo je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B može biti napravljen na n različitih načina, onda se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva koji vode od grada A do grada B. Postoje 4 puta od grada B do grada C. Na koliko načina možete stići od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od tačke A do tačke C.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Na koliko načina postoji polaganje karata u pasijansu? U špilu se nalazi 36 karata - ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, morate „oduzeti“ jednu po jednu kartu od početne tačke i množiti.

To jest, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva množi zajedno.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije od n elemenata od m su ona jedinjenja u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulijeva formula

U teoriji vjerovatnoće, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izuzetnih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavi ili nepostojanju istog događaja u ranijim ili kasnijim ispitivanjima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je konstantna za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija dogoditi tačno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto je nepoznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pošto u radnji ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (ni jedan kupac neće izvršiti kupovinu) do 6 (svi posjetioci trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i r otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C = 1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje slučajnih situacija male vjerovatnoće.

osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Evo jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka u disciplini, u datu formulu zamjenjujemo potrebne podatke:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovima zadatka).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernulijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja za koje su napisani gore, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U stvari, može se naći po formuli:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceova teorema

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama ista, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu testova može naći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri problema su u nastavku koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ(0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak raditi tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja na osnovu okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uslovna vjerovatnoća, to jest, događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uslovna vjerovatnoća događaja B.

Dakle, završni dio kratkog kursa “Teorija vjerovatnoće” je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, udeo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Morate pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva fabrika. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobijamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u kompanijama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamenimo podatke u Bayesovu formulu i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će se postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Običnom čovjeku je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je to iskoristio da osvoji džekpot više puta.

mob_info