Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku. Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke Jednačina ravni kroz tačku i paralelnu ravan
Tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji definišu jednu ravan. Napravimo jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke M 1 (X 1 ; at 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; at 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; at 3 ; z 3). Uzmimo proizvoljnu tačku na ravni M(X; at; z) i sastaviti vektore = ( x – x 1 ; at– at 1 ; z–z 1), = (X 2 - X 1 ; at 2 – at 1 ; z 2 – z 1), = (X 3 - X 1 ; at 3 – at 1 ; z 3 – z 1). Ovi vektori leže u istoj ravni, stoga su komplanarni. Koristeći uslov komplanarnosti tri vektora (njihova mješoviti rad jednako nuli), dobijamo ∙ ∙ = 0, tj
= 0. (3.5)
Jednačina (3.5) se zove jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke.
Međusobni dogovor avioni u svemiru
Ugao između ravnina
Neka su date dvije ravni
A 1 X + IN 1 at + WITH 1 z + D 1 = 0,
A 2 X + IN 2 at + WITH 2 z + D 2 = 0.
Iza ugao između ravni uzimamo ugao φ između bilo koja dva vektora okomita na njih (što daje dva ugla, oštar i tup, koji se međusobno nadopunjuju sa π). Budući da su normalni vektori ravni = ( A 1 , IN 1 , WITH 1) i = ( A 2 , IN 2 , WITH 2) su okomite na njih, onda dobijamo
cosφ = 
.
Uslov za okomitost dvije ravni
Ako su dvije ravni okomite, onda su i normalni vektori ovih ravni okomiti i njihovi skalarni proizvod jednaka je nuli: ∙ = 0. To znači da je uslov za okomitost dvije ravni
A 1 A 2 + IN 1 IN 2 + WITH 1 WITH 2 = 0.
Uslov za paralelnost dve ravni
Ako su ravni paralelne, onda će i njihovi normalni vektori biti paralelni. Tada su koordinate normalnih vektora istog imena proporcionalne. To znači da je uslov za paralelne ravni
= = .
Udaljenost od tačkeM 0 (x 0 , y 0 , z 0) u avion Oh + Wu + Cz + D = 0.
Udaljenost od tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) za ravnanje Ax + Wu + Cz + D= 0 je dužina okomice povučene iz ove tačke u ravan i nalazi se po formuli
d = 
.
Primjer 1. R(– 1, 2, 7) okomito na vektor = (3, – 1, 2).
Rješenje
Prema jednačini (3.1) dobijamo
3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,
3X – at + 2z – 9 = 0.
Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(2; – 3; – 7) paralelno sa ravninom 2 X – 6at – 3z + 5 = 0.
Rješenje
Vektor = (2; – 6; – 3) okomit na ravan je takođe okomit na paralelnu ravan. To znači da željena ravan prolazi kroz tačku M(2; – 3; – 7) okomito na vektor = (2; – 6; – 3). Nađimo jednadžbu ravnine koristeći formulu (3.1):
2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,
2X – 6at – 3z – 43 = 0.
Primjer 3. Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke M 1 (2; 3; – 1) i M 2 (1; 5; 3) okomito na ravan 3 X – at + 3z + 15 = 0.
Rješenje
Vektor = (3; – 1; 3) okomit na datu ravan biće paralelan sa željenom ravninom. Dakle, ravan prolazi kroz tačke M 1 i M 2 je paralelan vektoru.
Neka M(x; y; z) proizvoljna tačka ravni, tada vektori = ( X – 2; at – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) su koplanarni, što znači da je njihov mješoviti proizvod nula:
= 0.
Izračunajmo determinantu proširenjem na elemente prvog reda:
(X – 2) – (at – 3) + (z + 1) = 0,
10(X - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,
2(X - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,
2x + 3at – z– 14 = 0 – jednačina u ravni.
Primjer 4. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište okomito na ravni 2 X – at + 5z+ 3 = 0 i X + 3at – z – 7 = 0.
Rješenje
Neka je vektor normale željene ravni. Po uslovu, ravan je okomita na ove ravni, što znači i , gde je = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). To znači da kao vektor možemo uzeti vektorski proizvod vektora i , odnosno = ×.
= = – 14 + 7 + 7 .
Zamjena koordinata vektora u jednadžbu ravnine koja prolazi kroz početak Oh + Wu + Sz= 0, dobijamo
– 14X + 7at + 7z = 0,
2X – at – z = 0.
Pitanja za samotestiranje
1 Pišite opšta jednačina avion.
2 Šta je geometrijsko značenje koeficijenti za X, y, z u opštoj jednačini ravni?
3 Zapišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) okomito na vektor = ( A; IN; WITH).
4. Zapišite jednadžbu ravnine u segmentima duž osi i naznačite geometrijsko značenje parametara koji su u njoj uključeni.
5 Zapišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačke M 1 (X 1 ; at 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; at 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; at 3 ; z 3).
6 Zapišite formulu koja se koristi za pronalaženje ugla između dvije ravni.
7 Zapišite uslove za paralelnost dvije ravni.
8 Zapišite uvjet okomitosti dvije ravni.
9 Zapišite formulu koja izračunava udaljenost od tačke do ravni.
Zadaci za nezavisna odluka
1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(2; – 1; 1) okomito na vektor = (1; – 2; 3). ( Odgovori: X – 2at + 3z – 7 = 0)
2 Dot R(1; – 2; – 2) je osnova okomice povučene iz ishodišta u ravan. Napišite jednačinu za ovu ravan. ( Odgovori: X – 2at – 2z – 9 = 0)
3 S obzirom na dva boda M 1 (2; – 1; 3) i M 2 (– 1; 2; 4). Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 1 je okomita na vektor . ( Odgovori: 3X – 3at – z – 6 = 0)
4 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Odgovori: 3X + 3at + z – 8 = 0)
5 M 1 (3; – 1; 2) i M 2 (2; 1; 3) paralelno sa vektorom = (3; – 1; 4). ( Odgovori: 9X + 7at – 5z – 10 = 0)
6 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 1 (2; 3; – 4) paralelno sa vektorima = (3; 1; – 1) i = (1; – 2; 1). ( Odgovori: X + at + 7z + 14 = 0)
7 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(1; – 1; 1) okomito na ravni 2 X – at + z– 1 = 0 i X + 2at – z + 1 = 0. (Odgovori: X – 3at – 5z + 1 = 0)
8 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke M 1 (1; 0; 1) i M 2 (1; 2; – 3) okomito na ravan X – at + z – 1 = 0. (Odgovori: X + 2at + z – 2 = 0)
9 Pronađite ugao između ravnina 4 X – 5at + 3z– 1 = 0 i X – 4at – z + 9 = 0. (Odgovori: φ = arccos0.7)
10 Pronađite udaljenost od tačke M(2; – 1; – 1) do ravni 16 X – 12at + 15z – 4 = 0. (Odgovori: d = 1)
11 Nađi presek tri ravnine 5 X + 8at – z – 7 = 0, X + 2at + 3z – 1 = 0, 2X – 3at + 2z – 9 = 0. (Odgovori: (3; – 1; 0))
12 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke M 1 (1; – 2; 6) i M 2 (5; – 4; 2) i odsiječe jednake segmente na osi Oh I OU. (Odgovori: 4X + 4at + z – 2 = 0)
13 Pronađite udaljenost između ravnina X + 2at – 2z+ 2 = 0 i 3 X + 6at – 6z – 4 = 0. (Odgovori: d = )
Predavanje 5. Rješavanje zadataka na temu "Analitička geometrija u prostoru"
1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 0 (1, -2, 5) paralelno sa ravninom 7 x-y-2z-1=0.
Rješenje. Označimo sa R dati avion, neka R 0 – željena paralelna ravan koja prolazi kroz tačku M 0 (1, -2, 5).
Razmotrimo normalni (okomiti) vektor 
avion R. Koordinate vektora normale su koeficijenti varijabli u jednadžbi ravni 
.
Od aviona R I R 0
su paralelni, onda vektor 
okomito na ravan R 0
, tj. 
- vektor normale ravni R 0
.
Jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ,
y 0 , z 0) sa normalnim 
:
Zamijenite koordinate tačke M 0 i normalni vektori 
u jednačinu (1):
Otvarajući zagrade, dobijamo opštu jednačinu ravni (konačan odgovor):
2. Sastaviti kanonske i parametarske jednačine prave koja prolazi kroz tačku M 0 (-2, 3, 0) paralelno sa pravom linijom 
.
Rješenje. Označimo sa L data prava linija, neka L 0 – željena paralelna prava koja prolazi kroz tačku M 0 (-2,3,0).
Vodeći vektor 
ravno L(ne-nulti vektor paralelan ovoj pravoj) je takođe paralelan pravoj L 0
. Dakle, vektor 
je vektor smjera linije L 0
.
Koordinate vektora smjera 
jednaki su odgovarajućim nazivnicima u kanonskim jednačinama date prave 
.
Kanonske jednadžbe prave u prostoru koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 
{l, m, n}
.
(2)
Zamijenite koordinate tačke M 0 i vektor smjera 
u jednačinu (2) i dobijemo kanonske jednačine prave:
.
Parametarske jednadžbe prave u prostoru koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralelno sa vektorom koji nije nula 
{l, m, n), imaju oblik:
(3)
Zamijenite koordinate tačke M 0 i vektor smjera 
u jednačine (3) i dobiti parametarske jednačine prave:
3. Pronađite tačku 
, simetrično prema tački 
, u odnosu na: a) ravno 
b) avioni
Rješenje. a) Napravimo jednačinu za okomitu ravan P, tačka projektovanja 
na ovu liniju:
Naći 
koristimo uslov okomitosti date prave i projekcijske ravni. Direktan vektor 
okomito na ravan vektor 
je normalni vektor 
na ravan Jednadžba ravni okomite na datu pravu ima oblik ili 
Nađimo projekciju R bodova M na pravu liniju. Dot R je tačka preseka prave i ravni, tj. njegove koordinate moraju istovremeno zadovoljiti i jednačine prave i jednačinu ravni. Rešimo sistem:
.
Da bismo to riješili, zapisujemo jednačinu prave u parametarskom obliku:
Zamjena izraza za 
u jednacinu ravni dobijamo:
Odavde nalazimo Pronađene koordinate su koordinate sredine R segment linije koji povezuje tačku
i tačka simetrična njoj 
IN školski kurs geometrije formulisana je teorema.
Koordinate sredine segmenta jednake su polovini sume odgovarajućih koordinata njegovih krajeva.
Pronalaženje koordinata tačke 
iz formula za koordinate sredine segmenta:
Dobijamo: Dakle, 
.
Rješenje. b) Pronaći tačku simetričnu tački 
u odnosu na datu ravan P, ispusti okomicu iz tačke 
na ovaj avion. Napravimo jednadžbu prave linije sa vektorom pravca 
, prolazeći kroz tačku
:
Okomitost između prave i ravni znači da je vektor pravca prave okomit na ravan 
. Zatim jednačina prave linije koja projektuje tačku 
na datu ravan, ima oblik:
Nakon što smo zajedno riješili jednačine 
I 
hajde da nađemo projekciju R bodova 
u avion. Da bismo to učinili, prepisujemo jednadžbe prave linije u parametarskom obliku:
Zamijenimo ove vrijednosti 
u jednadžbu ravni: Slično koraku a), koristeći formule za koordinate sredine segmenta, nalazimo koordinate simetrične tačke 
:
One. 
.
4. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi a) kroz pravu liniju 
paralelno sa vektorom 
; b) kroz dvije prave koje se ukrštaju
I 
(prethodno su dokazali da se ukrštaju); c) kroz dvije paralelne prave 
I 
; d) direktnom 
i tačka 
.
Rješenje. a) Pošto data prava linija leži u željenoj ravni, a željena ravan je paralelna vektoru 
, tada će vektor normale ravni biti okomit na vektor smjera prave 
i vektor 
.
Stoga, kao vektor normale ravni, možemo izabrati vektorski proizvod vektora 
I 
:
Dobijamo koordinate vektora normale ravnine 
.
Nađimo tačku na pravoj. Izjednačavanje odnosa u kanonskim jednadžbama prave linije sa nulom:
,
mi nalazimo 
,
,
. Zadata prava prolazi kroz tačku 
, dakle, i ravan prolazi kroz tačku 
. Koristeći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na vektor 
, dobijamo jednadžbu ravnine , ili , ili, konačno, 
.
Rješenje. b) Dvije prave u prostoru mogu se sijecati, ukrštati ili biti paralelne. Date prave linije
I 
(4)
nisu paralelni, jer su njihovi vektori smjera 
I 
nije kolinearno: 
.
Kako provjeriti da li se linije sijeku? Možete riješiti sistem (4) od 4 jednačine sa 3 nepoznate. Ako sistem ima jedinstveno rješenje, onda dobijamo koordinate tačke preseka pravih. Međutim, da bismo riješili naš problem - konstruiranje ravnine u kojoj leže obje prave, tačka njihovog presjeka nije potrebna. Stoga je moguće formulisati uslov za presek dve neparalelne prave u prostoru bez pronalaženja tačke preseka.
Ako se dvije neparalelne prave seku, onda su vektori smjera 
,
i spojne tačke koje leže na pravim linijama 
I 
vektor leže u istoj ravni, tj. komplanarno mješoviti proizvod ovih vektora jednak je nuli:
. (5)
Izjednačavamo omjere u kanonskim jednadžbama linija sa nulom (ili sa 1 ili bilo kojim brojem)
I 
,
i pronađite koordinate tačaka na pravim linijama. Prva linija prolazi kroz tačku 
, a druga ravna linija prolazi kroz tačku 
. Vektori pravca ovih linija su respektivno jednaki 
I 
. Dobijamo
Jednakost (5) je zadovoljena, dakle, date prave se sijeku. To znači da postoji jedna ravan koja prolazi kroz ove dvije linije.
Pređimo na drugi dio zadatka - sastavljanje jednačine ravnine.
Kao vektor normale ravni, možete odabrati vektorski proizvod njihovih vektora smjera 
I 
:
Koordinate vektora normale ravnine 
.
Saznali smo to direktno 
prolazi 
, dakle, željena ravan također prolazi kroz ovu tačku. Dobijamo jednačinu ravni, ili 
ili, konačno, 
.
c) Pošto su ravne 
I 
su paralelni, tada se vektorski proizvod njihovih vektora smjera ne može odabrati kao vektor normale, on će biti jednak nultom vektoru.
Odredimo koordinate tačaka 
I 
, kroz koje prolaze ove linije. Neka 
I 
, Onda 
,
. Izračunajmo koordinate vektora. Vector 
leži u željenoj ravni i nekolinearan je vektoru 
, tada kao njegov normalni vektor 
možete odabrati unakrsni proizvod vektora 
i vektor smjera prve prave linije 
:
dakle, 
.
Avion prolazi kroz liniju 
, što znači da prolazi kroz tačku 
. Dobijamo jednadžbu ravnine: , ili .
d) Izjednačavanje odnosa u kanonskim jednačinama prave linije sa nulom 
, mi nalazimo 
,
,
. Dakle, prava prolazi kroz tačku 
.
Izračunajmo koordinate vektora. Vector 
pripada željenoj ravni, kao njen normalni vektor 
izaberite vektorski proizvod vektora pravca prave linije 
i vektor 
:
Tada jednačina ravni ima oblik: , ili .
Ovaj članak sadrži informacije potrebne za rješavanje problema sastavljanja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku. Nakon rješavanja ovog problema u opštem obliku, prikazat ćemo detaljna rješenja primjera sastavljanja jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu i tačku.
Navigacija po stranici.
Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku.
Pusti unutra trodimenzionalni prostor Oxyz je fiksan, date su prava a i tačka koja ne leži na pravoj a. Postavimo sebi zadatak: da dobijemo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3.
Prvo ćemo pokazati da postoji jedna ravan za koju trebamo konstruirati jednačinu.
Prisjetimo se dva aksioma:
- jedna ravan prolazi kroz tri različite tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji;
- ako dvije različite tačke prave leže u određenoj ravni, tada sve tačke ove prave leže u ovoj ravni.
Iz ovih tvrdnji slijedi da se jedinstvena ravan može povući kroz pravu liniju i tačku koja na njoj ne leži. Dakle, u zadatku koji smo postavili, jedna ravan prolazi kroz pravu a i tačku M 3, i treba da napišemo jednačinu ove ravni.
Sada počnimo s pronalaženjem jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu liniju a i tačku .
Ako je prava a data označavanjem koordinata dvije različite tačke M 1 i M 2 koje leže na njoj, onda se naš zadatak svodi na pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz tri date tačke M 1, M 2 i M 3.
Ako je prava a data drugačije, onda prvo moramo pronaći koordinate dvije tačke M 1 i M 2 koje leže na pravoj a, a nakon toga zapisati jednačinu ravnine koja prolazi kroz tri tačke M 1, M 2 i M 3, što će biti željena jednačina ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3.
Hajde da shvatimo kako pronaći koordinate dvije različite tačke M 1 i M 2 koje leže na datoj pravoj a.
U pravougaonom koordinatnom sistemu u prostoru, bilo kojoj pravoj liniji odgovaraju neke jednačine prave u prostoru. Pretpostavićemo da nam metoda specificiranja prave linije a u iskazu problema omogućava da dobijemo njene parametarske jednadžbe prave linije u prostoru oblika 
. Onda, pošto smo prihvatili, imamo poentu 
, leži na liniji a. Dajući parametru realnu vrijednost različitu od nule, iz parametarskih jednačina linije a možemo izračunati koordinate tačke M 2, koja takođe leži na pravoj a i različita od tačke M 1.
Nakon ovoga, morat ćemo samo napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri različite i ne leže na istoj pravoj tački i , u obliku 
.
Dakle, dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu pravu a i datu tačku M 3 koja ne leži na pravoj a.
Primjeri sastavljanja jednadžbe ravni koja prolazi kroz datu tačku i pravu liniju.
Pokazaćemo rješenja na nekoliko primjera u kojima ćemo analizirati razmatranu metodu nalaženja jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu liniju i datu tačku.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem.
Primjer.
Rješenje.
Uzmimo dvije različite točke na koordinatnoj liniji Ox, na primjer, i .
Sada dobijamo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke M 1, M 2 i M 3: 
Ova jednadžba je željena opšta jednačina ravnine koja prolazi kroz datu pravu liniju Ox i tačku 
.
odgovor:
.
Ako je poznato da ravan prolazi kroz datu tačku i datu pravu, a treba da napišete jednačinu ravnine u segmentima ili normalnu jednačinu ravnine, onda prvo treba dobiti opštu jednačinu date ravni, i od nje preći na jednadžbu ravni traženog tipa.
Primjer.
Napišite normalnu jednačinu za ravan koja prolazi kroz pravu 
i tačka 
.
Rješenje.
Prvo, napišimo opštu jednačinu date ravni. Da biste to učinili, pronađite koordinate dvije različite točke koje leže na pravoj liniji . Parametarske jednačine ove linije imaju oblik 
. Neka tačka M 1 odgovara vrijednosti, a tačka M 2 -. Izračunavamo koordinate tačaka M 1 i M 2: 
Sada možemo napisati opštu jednačinu prave koja prolazi kroz tačku i direktno :
Ostaje da dobijemo traženi oblik ravnine jednadžbe množenjem obje strane rezultirajuće jednačine normalizujućim faktorom 
.
odgovor:
.
Dakle, pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku i datu pravu zavisi od pronalaženja koordinata dvije različite tačke koje leže na datoj pravoj. To je često glavna poteškoća u rješavanju takvih problema. U zaključku ćemo analizirati rješenje primjera sastavljanjem jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku i pravu liniju, a koja je određena jednadžbama dvije ravnine koje se sijeku.
Primjer.
U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz date su tačka i prava linija a, koja je linija preseka dve ravni 
I 
. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3.
S ovim online kalkulator možete pronaći jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku i paralelna je sa datom ravninom. Dato je detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste pronašli jednadžbu ravnine, unesite koordinate tačke i koeficijente jednačine ravnine u ćelije i kliknite na dugme "Riješi".
×
Upozorenje
Obrisati sve ćelije?
Zatvori Clear
Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.
Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku i paralelna je sa datom ravninom - teorija, primjeri i rješenja
Neka se da poen M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i jednačina u ravni
Sve paralelne ravni imaju kolinearne normalne vektore. Dakle, da se konstruiše ravan paralelna sa (1) koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) mora se uzeti kao vektor normale željene ravni, vektor normale n=(A, B, C) ravan (1). Zatim morate pronaći takvu vrijednost D, u kom trenutku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) zadovoljio jednačinu ravni (1):
Zamjena vrijednosti D od (3) do (1), dobijamo:
Jednačina (5) je jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i paralelno sa ravninom (1).
Naći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (1, −6, 2) i paralelno s ravninom:
Zamjena koordinata tačke M 0 i koordinate vektora normale u (3), dobijamo.
Razmotrimo ravan Q u prostoru. Njen položaj je u potpunosti određen specificiranjem vektora N okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke koja leži u ravni Q. Vektor N, okomito na ravan Q se naziva normalnim vektorom ove ravni. Ako sa A, B i C označimo projekcije vektora normale N, onda
Izvedemo jednačinu ravni Q koja prolazi kroz datu tačku i ima dat vektor normale. Da biste to uradili, razmotrite vektor koji povezuje tačku sa proizvoljnom tačkom na Q ravni (slika 81).
Za bilo koji položaj tačke M na ravni Q, vektor MHM je okomit normalni vektor N ravni Q. Dakle, skalarni proizvod Zapišimo skalarni proizvod u terminima projekcija. Budući da , I je vektor, onda
i zbog toga
Pokazali smo da koordinate bilo koje tačke u Q ravni zadovoljavaju jednačinu (4). Lako je vidjeti da koordinate tačaka koje ne leže na Q ravni ne zadovoljavaju ovu jednačinu (u drugom slučaju). Prema tome, dobili smo traženu jednačinu za ravan Q. Jednačina (4) se naziva jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku. Ona je prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate
Dakle, pokazali smo da svakoj ravni odgovara jednačina prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate.
Primjer 1. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor.
Rješenje. Evo. Na osnovu formule (4) dobijamo
ili, nakon pojednostavljenja,
Davanje koeficijenata A, B i C jednačini (4) različita značenja, možemo dobiti jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku . Skup ravnina koje prolaze kroz datu tačku naziva se snop ravnina. Jednačina (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koju vrijednost, naziva se jednačina gomile ravnina.
Primjer 2. Napravite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke (slika 82).
Rješenje. Napišimo jednačinu za gomilu ravnina koje prolaze kroz tačku
