Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla Matematičko očekivanje. Koncept slučajnog procesa u matematici Pronađite matematičko očekivanje slučajnog procesa primjeri
Ovdje ćemo ukratko razmotriti glavna pitanja sistematizacije (klasifikacije) slučajnih procesa.
Nasumični proces koji se dešava (prolazi) u bilo kom fizičkom sistemu predstavlja nasumične prelaze sistema iz jednog stanja u drugo. U zavisnosti od raznolikosti ovih stanja 
od mnogih 
vrijednosti argumenata 
svi slučajni procesi su podijeljeni u klase (grupe):
1. Diskretni proces ( diskretno stanje) sa diskretnim vremenom.
2. Diskretni proces sa kontinuiranim vremenom.
3. Kontinuirani proces (kontinuirano stanje) sa diskretnim vremenom.
4. Kontinuirani proces sa kontinuiranim vremenom.
U 1
3 slučaja puno 
diskretno, tj. argument 
uzima diskretne vrijednosti 
obično 
u 1. slučaju
skup nasumičnih vrijednosti funkcije 
definirani su jednakostima:, je diskretni skup 
(gomila 
konačan ili prebrojiv).
U trećem slučaju, set 
nebrojivo, tj. presjek slučajnog procesa u bilo kojem trenutku 
je kontinuirana slučajna varijabla.
U 2. i 4. slučajevima ima ih mnogo 
kontinuirano, u drugom slučaju skup stanja sistema 
konačan ili prebrojiv, au četvrtom slučaju skup 
nebrojivo.
Navedimo neke primjere slučajnih procesa klasa 1-4, redom:
1. Hokejaš može ili ne mora postići jedan ili više golova u protivnički gol tokom utakmica koje se igraju u određenim trenucima (prema rasporedu utakmica) vremena. 
Slučajni proces 
je broj postignutih golova do 
.
2. Slučajni proces 
- broj gledanih filmova u bioskopu Zvezda
od početka bioskopa do trenutka u vremenu 
.
3. U određenim trenucima vremena 
meri se temperatura 
pacijent u nekom centru za lečenje. 
- je slučajni proces kontinuiranog tipa sa diskretnim vremenom.
4. Indikator nivoa vlažnosti vazduha tokom dana u gradu A.
Mogu se uzeti u obzir i druge složenije klase slučajnih procesa. Za svaku klasu slučajnih procesa razvijene su odgovarajuće metode za njihovo proučavanje.
U udžbenicima možete pronaći niz različitih i zanimljivih primjera slučajnih tokova [V. Feller, dio 1.2] i u monografiji. Ovdje ćemo se ograničiti na ovo.
Za slučajne procese uvode se i jednostavne funkcionalne karakteristike, ovisno o parametru 
, slično osnovnim numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli.
Poznavanje ovih karakteristika je dovoljno za rješavanje mnogih problema (podsjetimo se da je potpuna karakteristika slučajnog procesa data njegovim višedimenzionalnim (konačno-dimenzionalnim) zakonom raspodjele.
Za razliku od numeričkih karakteristika slučajnih varijabli, u opštem slučaju funkcionalne karakteristike su specifične funkcije.
4. Matematičko očekivanje i varijansa slučajnog procesa
Matematičko očekivanje slučajnog procesa 
definirano za bilo koju fiksnu vrijednost argumenta 
jednak je matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa:
(12)
.
Da ukratko označimo matematičko očekivanje s.p. oznaka se također koristi 
.
Funkcija 
karakteriše ponašanje slučajnog procesa u prosjeku. Geometrijsko značenje matematičkog očekivanja 
interpretirano kao “prosečna kriva”, oko koje se nalaze implementacione krive (vidi sliku 60).
(vidi sl. 60 Slova).
Na osnovu svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable i uzimajući to u obzir 
slučajni proces, i 
neslučajna funkcija, dobijamo svojstva matematičko očekivanje slučajni proces:
1. Matematičko očekivanje neslučajne funkcije jednako je samoj funkciji: 
.
2. Neslučajni množitelj (neslučajna funkcija) može se uzeti kao znak matematičkog očekivanja slučajnog procesa, tj.
3. Matematičko očekivanje sume (razlike) dva slučajna procesa jednako je zbiru
(razlike) u matematičkim očekivanjima pojmova, tj.
Imajte na umu da ako popravimo argument (parametar) 
, zatim prelazimo sa slučajnog procesa na slučajnu varijablu (tj. prelazimo na presjek slučajnog procesa), možemo pronaći m.o. ovog procesa na ovom fiksnom 
Budući da, ako dio s.p. 
za dato 
postoji kontinuirana r.v. sa gustinom 
onda se njegovo matematičko očekivanje može izračunati pomoću formule
(13)
.
Primjer 2. Neka s.p. određuje se formulom, tj. 
s.v.,
Pronađite matematičko očekivanje slučajnog procesa 
Rješenje. Svojstvo 2. imamo
jer 
i zbog toga, 
.
Vježbajte. Koristiću jednakosti da izračunam matematičko očekivanje
,
,
a zatim na osnovu formule (13) izračunati integral i uvjeriti se da je rezultat isti.
Bilješka. Iskoristite jednakost
.
Varijanca slučajnog procesa.
Varijanca slučajnog procesa 
zove se neslučajna funkcija
Disperzija 
s.p. razmatra, također karakterizira širenje (disperziju) mogućih vrijednosti r.p. u odnosu na njegovo matematičko očekivanje.
Uz disperziju sp. standardna devijacija se takođe uzima u obzir 
(skraćeno s.c.o.), što je određeno jednakošću
(15)
Funkcijska dimenzija 
jednaka dimenziji s.p. 
.
Vrijednosti realizacije s.p. na svakom 
odstupa od matematičkih očekivanja 
za iznos narudžbe 
(vidi sliku 60).
Zabilježimo najjednostavnija svojstva disperzije slučajnih procesa.
1. Varijanca neslučajne funkcije 
jednaka je nuli, tj.
2. Varijanca slučajnog procesa 
nenegativan tj.
3. Varijanca proizvoda neslučajne funkcije 
na slučajnu funkciju 
jednak je proizvodu kvadrata neslučajne funkcije i varijanse slučajne funkcije, tj.
4. Disperzija sume s.p. 
i neslučajna funkcija 
jednaka disperziji sp., tj.
Primjer 3. Lets.p. određuje se formulom, tj. 
s.v.
distribuira u skladu sa uobičajenim zakonom sa 
Pronađite varijansu i standardnu devijaciju s.p. 
.
Rješenje. Izračunajmo varijansu na osnovu formule iz svojstva 3. Imamo
Ali 
, dakle, po definiciji disperzije r.v. 
dakle, 
one. 
I 
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije
Državni univerzitet Čerepovec
Institut za inženjerstvo i ekonomiju
Koncept slučajnog procesa u matematici
Izvodi student
Grupa 5 GMU-21
Ivanova Yulia
Cherepovets
Uvod
Glavni dio
· Definicija slučajnog procesa i njegovih karakteristika
· Markovljevi slučajni procesi sa diskretnim stanjima
Stacionarni slučajni procesi
Ergodično svojstvo stacionarnih slučajnih procesa
Književnost
Uvod
Koncept slučajnog procesa uveden je u 20. veku i povezan je sa imenima A.N. Kolmogorov (1903-1987), A.Ya. Khinčin (1894-1959), E.E. Slucki (1880-1948), N. Wiener (1894-1965).
Ovaj koncept danas je jedan od centralnih ne samo u teoriji vjerovatnoće, već iu prirodnim naukama, inženjerstvu, ekonomiji, organizaciji proizvodnje i teoriji komunikacija. Teorija slučajnih procesa spada u kategoriju najbrže rastućih matematičkih disciplina. Nema sumnje da je ova okolnost u velikoj mjeri određena njenim dubokim vezama s praksom. 20. vijek nije mogao biti zadovoljan ideološkim naslijeđem koje je primilo iz prošlosti. Zaista, dok su fizičar, biolog i inženjer bili zainteresovani za proces, tj. promjena u vremenu fenomena koji se proučava, teorija vjerovatnoće im je ponudila kao matematički aparat samo znači da proučavaju stacionarna stanja.
Za proučavanje promjena tokom vremena, teorija vjerovatnoće kasnog 19. - početka 20. vijeka nije imala razvijene specifične šeme, a još manje opšte tehnike. A potreba za njihovim stvaranjem bukvalno je pokucala na prozore i vrata matematičke nauke. Proučavanje Brownovog kretanja u fizici dovelo je matematiku do praga stvaranja teorije slučajnih procesa.
Smatram da je potrebno spomenuti još dvije važne grupe studija, započete u različito vrijeme i iz različitih razloga.
Prvo, ovo djelo A.A. Markov (1856-1922) o proučavanju lančanih zavisnosti. Drugo, radovi E.E. Slutsky (1880-1948) o teoriji slučajnih funkcija.
Oba ova pravca su odigrala veoma značajnu ulogu u formiranju opšte teorije slučajnih procesa.
U tu svrhu već je bio akumuliran značajan početni materijal, a potreba za izgradnjom teorije kao da je bila u zraku.
Ostalo je da se izvrši dubinska analiza postojećih radova, ideja i rezultata koji su u njima izraženi, te da se na osnovu toga izvrši potrebna sinteza.
Definicija slučajnog procesa i njegove karakteristike
Definicija: Slučajnim procesom X(t) je proces čija je vrijednost, za bilo koju vrijednost argumenta t, slučajna varijabla.
Drugim riječima, slučajni proces je funkcija koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti jedan ili drugi unaprijed nepoznat oblik. Za fiksni t=t 0 X(t 0) je obična slučajna varijabla, tj. odjeljak slučajni proces u trenutku t 0.
Primjeri nasumičnih procesa:
1. stanovništvo regiona tokom vremena;
2. broj zahtjeva koje je služba za popravke primila tokom vremena.
Slučajni proces se može napisati kao funkcija dvije varijable X(t,ω), gdje je ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ i ω je elementarni događaj, Ω je prostor elementarnih događaja , T je skup vrijednosti argumenata t, ≡ je skup mogućih vrijednosti slučajnog procesa X(t, ω).
Implementacija slučajni proces X(t, ω) je neslučajna funkcija x(t) u koju se slučajni proces X(t) pretvara kao rezultat testiranja (za fiksno ω), tj. specifičan oblik koji uzima slučajni proces X(t), njegov putanja.
dakle, slučajni proces X(t, ω) kombinuje karakteristike slučajne varijable i funkcije. Ako fiksiramo vrijednost argumenta t, slučajni proces se pretvara u običnu slučajnu varijablu; ako popravimo ω, onda se kao rezultat svakog testa pretvara u običnu neslučajnu funkciju. U sljedećoj raspravi izostavićemo argument ω, ali će se on podrazumijevati po defaultu.
Slika 1 prikazuje nekoliko implementacija slučajnog procesa. Neka je presjek ovog procesa za dati t kontinuirana slučajna varijabla. Tada je slučajni proces X(t) za dati t u potpunosti određen vjerovatnoćom φ(x‚ t). Očigledno je da gustina φ(x, t) nije iscrpan opis slučajnog procesa X(t), jer ne izražava zavisnost između njegovih sekcija u različitim vremenima.
Slučajni proces X(t) je skup svih sekcija za sve moguće vrijednosti t, stoga je za njegovo opisivanje potrebno razmotriti višedimenzionalnu slučajnu varijablu (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), koji se sastoji od svih kombinacija ovog procesa. U principu, postoji beskonačan broj takvih kombinacija, ali za opisivanje slučajnog procesa moguće je proći s relativno malim brojem kombinacija.
Kažu da slučajni proces ima redn, ako je u potpunosti određena zajedničkom gustinom raspodjele φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n proizvoljnih dionica procesa, tj. gustina n-dimenzionalne slučajne varijable (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), gdje je X(t i) kombinacija slučajnog procesa X(t) u trenutku t i , i=1, 2 , …, n.
Poput slučajne varijable, slučajni proces se može opisati numeričkim karakteristikama. Ako su za slučajnu varijablu ove karakteristike konstantni brojevi, onda za slučajni proces - neslučajne funkcije.
Matematičko očekivanje slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija a x (t), koja je za bilo koju vrijednost varijable t jednaka matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa X(t), tj. a x (t)=M .
Varijanca slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija D x (t), za bilo koju vrijednost varijable t jednaku disperziji odgovarajuće kombinacije slučajnog procesa X(t), tj. D x (t)= D.
Standardna devijacijaσ x (t) slučajnog procesa X(t) je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse, tj. σ x (t)= D x (t).
Matematičko očekivanje slučajnog procesa karakteriše prosjek putanja svih njegovih mogućih implementacija, i njena disperzija ili standardna devijacija - širenje implementacije u odnosu na prosječnu putanju.
Gore uvedene karakteristike slučajnog procesa pokazuju se nedovoljnim, jer su određene samo jednodimenzionalnim zakonom raspodjele. Ako je slučajni proces X 1 (t) karakteriziran sporom promjenom vrijednosti implementacija s promjenom t, tada se za slučajni proces X 2 (t) ova promjena događa mnogo brže. Drugim riječima, slučajni proces X 1 (t) karakterizira bliska vjerovatnoća ovisnost između njegove dvije kombinacije X 1 (t 1) i X 1 (t 2), dok je za slučajni proces X 2 (t) ova zavisnost između kombinacije X 2 (t 1) i X 2 (t 2) su praktično odsutne. Navedenu zavisnost između kombinacija karakteriše korelacionom funkcijom.
definicija: Korelaciona funkcija slučajni proces X(t) naziva se neslučajna funkcija
K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)
dvije varijable t 1 i t 2, što je za svaki par varijabli t 1 i t 2 jednako kovarijansi odgovarajućih kombinacija X(t 1) i X(t 2) slučajnog procesa.
Očigledno, za slučajni proces X(t 1) korelaciona funkcija K x 1 (t 1, t 2) opada kako razlika t 2 - t 1 raste mnogo sporije od K x 2 (t 1, t 2) za slučajni proces X (t 2).
Korelaciona funkcija K x (t 1 , t 2) karakteriše ne samo stepen bliskosti linearnog odnosa između dve kombinacije, već i širenje ovih kombinacija u odnosu na matematičko očekivanje a x (t). Stoga se razmatra i normalizirana korelaciona funkcija slučajnog procesa.
Normalizovana korelaciona funkcija slučajni proces X(t) naziva se funkcija:
P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1)σ x (t 2) (2)
Primjer #1
Slučajni proces je definiran formulom X(t) = X cosωt, gdje je X slučajna varijabla. Pronađite glavne karakteristike ovog procesa ako je M(X) = a, D(X) = σ 2.
RJEŠENJE:
Na osnovu svojstava matematičkog očekivanja i disperzije, imamo:
a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,
D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.
Funkciju korelacije pronalazimo pomoću formule (1.)
K x (t 1 , t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =
Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .
Pronalazimo normaliziranu korelaciju koristeći formulu (2.):
P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1)(σ cosωt 2) ≡ 1.
Slučajni procesi se mogu klasifikovati u zavisnosti od toga da li se stanja sistema u kojima se javljaju glatko ili naglo menjaju, da li je skup ovih stanja konačan (prebrojiv) ili beskonačan itd. Među slučajnim procesima, posebno mjesto pripada Markovljevom slučajnom procesu.
Teorema. Slučajni proces X(t) je Hilbert ako i samo ako postoji R(t, t^) za sve (t, t^)€ T*T.
Teorija Hilbertovih slučajnih procesa naziva se teorija korelacije.
Imajte na umu da skup T može biti diskretan i kontinuiran. U prvom slučaju, slučajni proces X t naziva se proces sa diskretnim vremenom, u drugom - sa kontinuiranim vremenom.
Prema tome, kombinacije X t mogu biti diskretne i kontinuirane slučajne varijable.
Slučajni proces se naziva X(t) selektivno nepravilna, diferencibilna i integrabilna u tački ω€Ω ako je njena realizacija x(t) = x(t, ω) kontinuirana, diferencibilna i integrabilna.
Slučajni proces X(t) naziva se kontinuiranim: skoro, verovatno Ako
P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))
IN srednji kvadrat, Ako
Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0
Po vjerovatnoći, Ako
Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0
Srednja kvadratna konvergencija se takođe označava sa:
X(t) = lim X(t n)
Ispada da iz uzorka kontinuitet slijedi gotovo sigurno, iz kontinuiteta gotovo sigurno i u srednjem kvadratu slijedi kontinuitet po vjerovatnoći.
Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces, kontinuiran u srednjem kvadratu, tada je m x (t) kontinuirana funkcija i relacija vrijedi
Lim M = M = M .
Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) je srednji kvadrat kontinuiran ako i samo ako je njegova kovarijantna funkcija R(t, t^) u tački (t, t) kontinuirana.
Hilbertov slučajni proces X(t) naziva se srednji kvadrat diferencibilan ako postoji slučajna funkcija X(t) = dX(t)/dt takva da
X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t
(t € T, t +∆t € T),
one. Kada
Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0
Nazvat ćemo slučajnu funkciju X(t) srednji kvadratni derivat slučajni proces X(t) u tački t ili na T, respektivno.
Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) je diferencibilan u srednjem kvadratu u tački t ako i samo ako postoji
δ 2 R(t, t^) / δtδt^ u tački (t, t^). pri čemu:
R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.
Ako je Hilbertov slučajni proces diferencibilan na T, onda je njegov srednji kvadratni izvod također Hilbertov slučajni proces; ako su uzorke putanje procesa diferencibilne na T sa vjerovatnoćom 1, tada se s vjerovatnoćom 1 njihovi derivati poklapaju sa srednjim kvadratnim derivatima na T.
Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces, onda
M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.
Neka je (0, t) konačan interval, 0
X(t) je Hilbertov slučajni proces.
Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …).
Zatim slučajna varijabla
max (t i – t i -1)→0
Called integral u srednjem kvadratu proces X(t) na (0, t) i označen je sa:
Y(t) = ∫ X(τ)dτ.
Teorema . Srednji kvadratni integral Y(t) postoji ako i samo ako je kovarijantna funkcija R(t, t^) Hilbertovog procesa X(t) kontinuirana na T×T i integral postoji
R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^
Ako srednji kvadratni integral funkcije X(t) postoji, onda
M = ∫ Mdτ,
R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^
K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^
Ovdje su R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M kovarijansne i korelacijske funkcije slučajnog procesa Y(t).
Teorema. Neka je X(t) Hilbertov slučajni proces s kovarijansnom funkcijom R(t, t^), φ(t) realna funkcija i neka postoji integral
∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^
Tada postoji srednji kvadratni integral
∫ φ(t)X(t)dt.
Slučajni procesi:
X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)
Gdje su φ i (t) date realne funkcije
Vi - slučajne varijable sa karakteristikama
Nazivaju se elementarnim.
Kanonsko proširenje slučajni proces X(t) naziva se njegova reprezentacija u obliku
Gdje su V i koeficijenti, a φ i (t) su koordinatne funkcije kanonske ekspanzije procesa X(t).
Iz odnosa:
M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)
K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)
Ova formula se zove kanonska ekspanzija korelacione funkcije slučajnog procesa.
U slučaju jednačine
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)
Primjenjuju se sljedeće formule:
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)
∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.
Dakle, ako je proces X(t) predstavljen njegovom kanonskom ekspanzijom, onda se njegov izvod i integral također mogu predstaviti kao kanonske ekspanzije.
Markovljevi slučajni procesi sa diskretnim stanjima
Nasumični proces koji se odvija u određenom sistemu S sa mogućim stanjima S 1, S 2, S 3, ... naziva se Markovsky, ili slučajan proces bez posledica, ako za bilo koji trenutak t 0 vjerovatne karakteristike procesa u budućnosti (pri t>t 0) zavise samo od njegovog stanja u datom trenutku t 0 i ne zavise od toga kada i kako je sistem došao u ovo stanje; one. ne zavise od njegovog ponašanja u prošlosti (na t
Primjer Markovljevog procesa: sistem S je taksi mjerač. Stanje sistema u trenutku t karakteriše broj kilometara (desetinki kilometara) koje je automobil prešao do ovog trenutka. Neka u trenutku t 0 brojač pokaže S 0 / Vjerovatnoća da će u trenutku t>t 0 brojač pokazati ovaj ili onaj broj kilometara (tačnije, odgovarajući broj rubalja) S 1 zavisi od S 0, ali ne zavisi od toga u kom trenutku, očitanja brojila su se menjala do trenutka t 0.
Mnogi procesi se približno mogu smatrati markovskim. Na primjer, proces igranja šaha; sistem S je grupa šahovskih figura. Stanje sistema karakteriše broj neprijateljskih figura preostalih na tabli u trenutku t 0 . Verovatnoća da će u trenutku t>t 0 materijalna prednost biti na strani nekog od protivnika zavisi prvenstveno od stanja sistema u trenutku t 0, a ne od toga kada i kojim redosledom figure sa daskama do vrijeme t 0 .
U nekim slučajevima, pretpovijest procesa koji se razmatra može se jednostavno zanemariti i Markovljevi modeli se mogu koristiti za njihovo proučavanje.
Markovljev slučajni proces sa diskretnim stanjima i diskretnim vremenom (ili Markovljev lanac ) naziva se Markovljev proces, u kojem se njegova moguća stanja S 1, S 2, S 3, ... mogu unaprijed navesti, a prijelaz iz stanja u stanje se događa trenutno (skok), ali samo u određenim trenucima t 0, t 1, t 2, ..., zv stepenice proces.
Označimo p ij – vjerovatnoća tranzicije slučajni proces (sistem S) iz stanja I u stanje j. Ako ove vjerovatnoće ne zavise od broja koraka procesa, onda se takav Markovljev lanac naziva homogenim.
Neka je broj stanja sistema konačan i jednak m. Tada se može okarakterisati tranziciona matrica P 1 , koji sadrži sve vjerovatnoće tranzicije:
p 11 p 12 … p 1m
p 21 p 22 … p 2m
P m1 p m2 … p mm
Naravno, za svaki red ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.
Označimo p ij (n) kao vjerovatnoću da će, kao rezultat n koraka, sistem prijeći iz stanja I u stanje j. U ovom slučaju, za I = 1 imamo prelazne vjerovatnoće koje formiraju matricu P 1, tj. p ij (1) = p ij
Potrebno je, znajući vjerovatnoće prijelaza p ij , pronaći p ij (n) – vjerovatnoće prelaska sistema iz stanja I u stanje j u n koraka. U tu svrhu razmotrićemo srednje (između I i j) stanje r, tj. Pretpostavićemo da će iz početnog stanja I u k koraka sistem preći u međustanje r sa verovatnoćom p ir (k), nakon čega će u preostalih n-k koraka iz međustanja r preći u konačno stanje j sa vjerovatnoća p rj (n-k). Zatim, prema formuli ukupne vjerovatnoće
P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – Markovljeva jednakost.
Uvjerimo se da, znajući sve vjerovatnoće tranzicije p ij = p ij (1), tj. matrice P 1 prijelaza iz stanja u stanje u jednom koraku, možete pronaći vjerovatnoću p ij (2), tj. matrica P 2 prijelaza iz stanja u stanje u dva koraka. I poznavajući matricu P 2, pronađite matricu P 3 prijelaza iz stanja u stanje u tri koraka, itd.
Zaista, stavljanjem n = 2 u formulu P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), tj. k=1 (srednje stanje između koraka), dobijamo
P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj
Rezultirajuća jednakost znači da je P 2 = P 1 P 1 = P 2 1
Uz pretpostavku n = 3, k = 2, na sličan način dobijamo P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 , au opštem slučaju P n = P 1 n
Primjer
Sveukupnost porodica na određenom području može se podijeliti u tri grupe:
1. porodice koje nemaju automobil i ne namjeravaju ga kupiti;
2. porodice koje nemaju automobil, a namjeravaju ga kupiti;
3. porodice sa automobilom.
Provedeno statističko istraživanje pokazalo je da prelazna matrica za interval od jedne godine ima oblik:
(U matrici P 1, element p 31 = 1 znači vjerovatnoću da će i porodica koja ima automobil imati jedan, a, na primjer, element p 23 = 0,3 je vjerovatnoća da porodica koja nema automobil auto, ali se odluči na kupovinu, ispuniće svoju namjeru sljedeće godine itd.)
Pronađite vjerovatnoću da:
1. porodica koja nije imala auto i nije planirala da ga kupi biće u istoj situaciji za dve godine;
2. porodica koja nije imala auto, a namerava da ga kupi, imaće auto za dve godine.
RJEŠENJE: Nađimo prijelaznu matricu P 2 nakon dvije godine:
0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21
0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51
0 0 1 0 0 1 0 0 1
To jest, vjerovatnoće tražene u primjeru 1) i 2) su jednake
p 11 =0,64, p 23 =0,51
Dalje ćemo razmotriti Markovljev slučajni proces sa diskretnim stanjima i kontinuiranim vremenom, u kojem, za razliku od Markovljevog lanca o kojem smo gore govorili, momenti mogućih prijelaza sistema iz stanja nisu unaprijed fiksirani, već su nasumični.
Prilikom analize slučajnih procesa sa diskretnim stanjima zgodno je koristiti geometrijsku shemu - tzv. raspored događaja. Tipično, stanja sistema su prikazana pravougaonicima (krugovima), a mogući prelazi iz stanja u stanje su prikazani strelicama (orijentisanim lukovima) koje povezuju stanja.
Primjer. Konstruirajte graf stanja sljedećeg slučajnog procesa: uređaj S se sastoji od dva čvora, od kojih svaki može otkazati u slučajnom trenutku vremena, nakon čega odmah počinje popravak čvora, nastavljajući se za prethodno nepoznato nasumično vrijeme.
RJEŠENJE. Moguća stanja sistema: S 0 – oba čvora su u funkciji; S 1 – prva jedinica je u remontu, druga je u funkciji; S 2 – druga jedinica je u remontu, prva je u funkciji; S 3 – oba bloka su u remontu.
Strelica, smjer, na primjer, od S 0 do S 1, znači prijelaz sistema u trenutku kvara prvog čvora, sa S 1 na S 0 - prijelaz u trenutku završetka popravke ovog čvora .
Na grafikonu nema strelica od S 0 do S 3 i od S 1 do S 2. Ovo se objašnjava činjenicom da se pretpostavlja da su kvarovi čvorova nezavisni jedan od drugog i, na primjer, vjerovatnoćama istovremenog kvara dva čvora (prijelaz sa S 0 na S 3) ili istovremenog završetka popravka dva čvora ( prelaz sa S 3 na S 0) može se zanemariti.
Stacionarni slučajni procesi
stacionarni u užem smislu, Ako
F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n +∆)
Za proizvoljno
n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.
Ovdje je F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) n-dimenzionalna funkcija raspodjele slučajnog procesa X(t).
Poziva se slučajni proces X(t). stacionarni u širem smislu, Ako
Očigledno je da stacionarnost u užem smislu implicira stacionarnost u širem smislu.
Iz formula:
m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)
(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)
Iz toga slijedi da za proces koji je stacionaran u širem smislu možemo pisati
m (t) = m x (0) = konst;
D (t) = K(t, t) = K(0,0) = konst;
K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)
Dakle, za proces koji je stacionaran u širem smislu, matematičko očekivanje i varijansa ne zavise od vremena, a K(t, t^) je funkcija oblika:
Može se vidjeti da je k(τ) parna funkcija, i
Ovdje je D disperzija stacionarnog procesa
H(t), α i (I = 1, n) – proizvoljni brojevi.
Prva jednakost sistema
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
proizlazi iz jednačine K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Prva jednakost
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 je jednostavna posljedica Schwartzove nejednakosti za dijelove X(t), X(t^) stacionarnog slučajnog procesa X(t). Zadnja nejednakost:
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
Dobija se kako slijedi:
∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2 ] ≥0
Uzimajući u obzir formulu za korelacione funkcije derivacije dX(t)/dt slučajnog procesa, za stacionarnu slučajnu funkciju X(t) dobijamo
K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^
Zbog
δk(t^ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,
δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)
tada je K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.
Ovdje su K 1 (t, t^) i k 1 (τ) korelacijske funkcije prvog izvoda stacionarnog slučajnog procesa X(t).
Za n-tu derivaciju stacionarnog slučajnog procesa, formula korelacione funkcije ima oblik:
K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)
Teorema. Stacionarni slučajni proces X(t) sa korelacionom funkcijom k(τ) je srednji kvadrat kontinuiran u tački t € T ako i samo ako
Lim k(τ) = k(0)
Da bismo to dokazali, zapišimo očigledan lanac jednakosti:
M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =
2D-2k(τ) = 2.
Otuda je očigledno da je uslov kontinuiteta u srednjem kvadratu procesa X(t) u tački t € T
Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2 ] = 0
Javlja se ako i samo ako Lim k(τ) = k(0)
Teorema. Ako je korelaciona funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) kontinuirana u srednjem kvadratu u tački τ=0, onda je kontinuirana u srednjem kvadratu u bilo kojoj tački τ € R 1 .
Da bismo to dokazali, zapišimo očigledne jednakosti:
k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =
M(X(t))
Zatim, primjenom Schwartzove nejednakosti na faktore u vitičastoj zagradi i razmatranjem odnosa:
K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2] =
Prelazak na granicu na ∆τ→0 i uzimanje u obzir uvjeta teoreme o kontinuitetu k(τ) u tački τ=0, kao i prve jednakosti sistema
K(0) = B = σ 2 , nalazimo
Lim k(τ+∆τ) = k(τ)
Pošto je ovdje τ proizvoljan broj, teoremu treba smatrati dokazanom.
Ergodično svojstvo stacionarnih slučajnih procesa
Neka je X(t) stacionarni slučajni proces tokom vremenskog perioda sa karakteristikama
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.
Ergodičko svojstvo stacionarnog slučajnog procesa je da se na osnovu dovoljno duge implementacije procesa može suditi o njegovom matematičkom očekivanju, disperziji i korelacionoj funkciji.
Strogo stacionarni slučajni proces ćemo nazvati X(t) ergodičan u matematičkom očekivanju, Ako
Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Teorema
Stacionarni slučajni proces X(t) sa karakteristikama:
M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T
je ergodičan u matematičkom očekivanju ako i samo ako
Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.
Da bi se to dokazalo, očigledno je dovoljno potvrditi da je jednakost tačna
Zapišimo očigledne odnose
C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.
Pretpostavljajući ovdje τ = t^ – t, dτ = dt^ i uzimajući u obzir uslove (t^ = T) → (τ = T - t),
(t^ = 0)→(τ = -t), dobijamo
S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =
= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ
Stavljajući u prvi i drugi član desne strane ove jednakosti, redom, τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, nalazimo
S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ
Primjenjujući Dirichletovu formulu za dvostruke integrale, pišemo
S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ
U drugom članu na desnoj strani možemo staviti τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, nakon čega ćemo imati
Iz ovoga i iz definicije konstanti jasno je da je jednakost
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Fer.
Teorema
Ako korelaciona funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) zadovoljava uslov
Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0
Tada je X(t) ergodičan u matematičkom očekivanju.
Zaista, s obzirom na omjer
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Možete zapisati
0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ
Iz ovoga je jasno da ako je uslov zadovoljen, onda
Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0
Sada, uzimajući u obzir jednakost
C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ
I uslov Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Ergodičnost matematičkim očekivanjem stacionarnog slučajnog procesa X(t), nalazimo da je traženo dokazano.
Teorema.
Ako je korelaciona funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa
X(t) je integrabilan i opada bez ograničenja pri τ → ∞, tj. uslov je ispunjen
Za proizvoljno ε > 0, tada je X(t) stacionarni slučajni proces ergodičan u matematičkom očekivanju.
Zaista, s obzirom na izraz
Za T≥T 0 imamo
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).
Prelazeći do granice kao T → ∞, nalazimo
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
Pošto je ovde ε > 0 proizvoljna, proizvoljno mala vrednost, onda je uslov ergodičnosti u smislu matematičkog očekivanja zadovoljen. Pošto ovo proizilazi iz uslova
O neograničenom smanjenju k(τ), tada teoremu treba smatrati dokazanom.
Dokazane teoreme uspostavljaju konstruktivne kriterijume za ergodičnost stacionarnih slučajnih procesa.
X(t) = m + X(t), m=konst.
Tada je M = m, a ako je X(t) ergodičan stacionarni slučajni proces, tada se uslov ergodičnosti Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 nakon jednostavnih transformacija može predstaviti kao
Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0
Iz toga slijedi da ako je X(t) stacionarni slučajni proces ergodičan u matematičkom očekivanju, onda se matematičko očekivanje procesa X(t) = m + X(t) može približno izračunati korištenjem formule
M = (1/T) ∫ x(t)dt
Ovdje je T prilično dug vremenski period;
x(t) – implementacija procesa X(t) na vremenskom intervalu.
Možemo razmotriti ergodičnost stacionarnog slučajnog procesa X(t) u odnosu na korelacione funkcije.
Poziva se stacionarni slučajni proces X(t). ergodična u korelacionoj funkciji, Ako
Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0
Iz toga slijedi da za stacionarni slučajni proces X(t) koji je ergodičan u korelacionoj funkciji, možemo postaviti
k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt
na dovoljno velikom T.
Ispostavilo se da je uslov
ograničenost k(τ) je dovoljna da stacionarni normalno raspoređeni proces X(t) bude ergodičan u korelacionoj funkciji.
Imajte na umu da se nasumični proces poziva normalno raspoređeni, ako je bilo koja od njegovih funkcija konačno-dimenzionalne distribucije normalna.
Neophodan i dovoljan uslov za ergodičnost stacionarnog normalno distribuiranog slučajnog procesa je relacija
τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0
Književnost
1. N.Sh. Kremer “Teorija vjerovatnoće i matematička statistika” / UNITY / Moskva 2007.
2. Yu.V. Koževnikov „Teorija verovatnoće i matematička statistika“ / Mašinsko inženjerstvo / Moskva 2002.
3. B.V. Gnedenko „Kurs teorije verovatnoće“ / Glavna redakcija fizičke i matematičke literature / Moskva 1988.
Posmatrajući slučajni proces kao sistem već tri ili četiri slučajne varijable, javljaju se poteškoće u analitičkom izražavanju zakona distribucije slučajnog procesa. Stoga su u velikom broju slučajeva ograničeni na karakteristike slučajnog procesa, slično numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli.
Karakteristike slučajnog procesa, za razliku od numeričkih karakteristika slučajnih varijabli, su neslučajne funkcije. Među njima, funkcije matematičkog očekivanja i disperzije slučajnog procesa, kao i korelacione funkcije slučajnog procesa, široko se koriste za evaluaciju slučajnog procesa.
Matematičko očekivanje slučajnog procesa X(t)je neslučajna funkcija koja je, za svaku vrijednost argumenta t, jednaka matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa
.
Iz definicije matematičkog očekivanja slučajnog procesa slijedi da ako je poznata jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće, onda
.
(6.3)
Slučajni proces X(t) uvijek se može predstaviti kao zbir elementarnih slučajnih funkcija
, gdje je elementarna slučajna funkcija.
. (6.4)
Ako je dato mnogo implementacija slučajnog procesa X(t), zatim za grafički prikaz matematičkog očekivanja izvodi se niz sekcija i u svakom od njih se nalazi odgovarajuće matematičko očekivanje (prosječna vrijednost), a zatim se kroz ove tačke povlači kriva (slika 6.3).
Slika 6.3 – Grafikon funkcije matematičkog očekivanja
Što se više sekcija napravi, to će kriva biti preciznije konstruisana.
Očekivana vrijednost slučajnog procesa postoji neka neslučajna funkcija oko koje se grupišu implementacije slučajnog procesa.
Ako su implementacije slučajnog procesa struja ili napon, onda se matematičko očekivanje tumači kao prosječna vrijednost struje ili napona.
Varijanca slučajnog procesa X(t)je neslučajna funkcija koja je, za svaku vrijednost argumenta t, jednaka disperziji odgovarajućeg dijela slučajnog procesa.
.
Iz definicije varijanse slučajnog procesa slijedi da ako je poznata jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće, onda
ili (6.5)
Ako je slučajni proces predstavljen u obliku , To
Disperzija slučajnog procesa karakterizira širenje ili disperziju implementacija u odnosu na funkciju matematičkog očekivanja.
Ako su realizacije slučajnog procesa struja ili napon, onda je varijansa tumači se kao razlika između snage cijelog procesa i snage prosječne komponente struje ili napona u datom dijelu, tj.
. (6.7)
U nekim slučajevima, umjesto varijanse slučajnog procesa, koristi se standardna devijacija slučajnog procesa
.
Matematičko očekivanje i disperzija slučajnog procesa omogućavaju identifikaciju tipa prosječne funkcije oko koje se grupišu realizacije slučajnog procesa i procjenu njihovog širenja u odnosu na ovu funkciju. Međutim, unutrašnja struktura slučajnog procesa, tj. priroda i stepen zavisnosti (povezanosti) različitih delova procesa među sobom ostaje nepoznat (slika 6.4).
Slika 6.4 – Implementacije slučajnih procesa X(t) I Y(t)
Da bi se okarakterizirala veza između poprečnih presjeka slučajnog procesa, uvodi se koncept funkcije mješovitog momenta drugog reda - korelacione funkcije.
Korelaciona funkcija slučajni proces X(t) naziva se neslučajna funkcija, koja je za svaki par vrijednosti jednaka korelacijskom momentu odgovarajućih dijelova slučajnog procesa:
Gdje 
, .
Odnos (vidi sliku 6.4) između sekcija slučajnog procesa X(t) veći nego između poprečnih presjeka slučajnog procesa Y(t), tj.
.
Iz definicije sledi da ako je data dvodimenzionalna gustina verovatnoće 
slučajni proces X(t), To
Korelaciona funkcija je skup korelacijskih momenata dvije slučajne varijable u trenucima, a oba momenta se razmatraju u bilo kojoj kombinaciji svih trenutnih mogućih vrijednosti argumenta t slučajni proces. Dakle, funkcija korelacije karakterizira statistički odnos između trenutnih vrijednosti u različitim vremenskim trenucima.
Svojstva korelacione funkcije.
1) Ako , onda . Prema tome, varijansa slučajnog procesa je poseban slučaj korelacione funkcije.
Slučajni (stohastički) procesi su eksterni šum, fluktuacioni šum na izlazu diskriminatora i drugih RAS uređaja, unutrašnji poremećaji u RAS: nestabilnost frekvencije PG, nestabilnost uređaja sa podesivim vremenskim kašnjenjem itd.
Proučavanje RAS-a pod slučajnim utjecajima se u principu može provesti konvencionalnim metodama, određujući parametre kvalitete RAS-a pri najnepovoljnijim (maksimalnim) vrijednostima poremećaja ( najgorem slučaju ).
Međutim, pošto je maksimalna vrednost slučajne varijable malo verovatna i retko će se primećivati, na RAS će biti nametnuti namerno strogi zahtevi. Racionalnija rješenja se mogu dobiti razmatranjem najvjerovatnije vrijednosti slučajna varijabla.
Može se razmotriti zakon raspodjele fluktuacijskih komponenti u linearnom RAS normalno (Gausov). Zakon normalne distribucije karakterističan je za unutrašnje poremećaje. Kada nasumični proces prođe kroz linearni sistem, zakon normalne distribucije ostaje nepromijenjen . Ako na ulazu RAS-a ili u bilo kojoj drugoj točki (na primjer, na izlazu diskriminatora) postoji poremećaj sa zakonom distribucije koji je drugačiji od normalnog i koji ima širok spektar S(ω), ova perturbacija je efektivna normalizuje uskopojasni RAS filterski elementi.
Slučajni proces sa normalnim zakonom raspodjele je potpuno određen matematičko očekivanje m(t) I korelacione funkcije R(τ).
Očekivana vrijednost(očekivanje) slučajnog procesa x(t) predstavlja neke redovno funkcija m x(t), oko koje se grupišu sve implementacije datog procesa ( – gustina vjerovatnoće). Takođe se zove prosječna vrijednost za skup (ansambl).
m x(t) = M{x(t)} = 
. (6.1)
Slučajni proces ( t) bez obične komponente m x(t) se zove centriran
.
Da se uzme u obzir stepen rasipanja slučajnog procesa u odnosu na njegovu prosečnu vrednost m x(t) uvesti koncept varijanse :
Dx(t) = M{( (t)) 2 } = 
. (6.2)
Prosječna vrijednost kvadrata slučajnog procesa povezana je s njegovim očekivanjem m x(t) i disperzija Dx(t) formula: .
U praksi je zgodno vrednovati slučajni proces koristeći statističke karakteristike x Sq.(t) i s x(t), koji ima istu dimenziju kao i sam proces.
RMS vrijednost x Sq.(t) slučajni proces:
Standardna devijacija x sq (t) slučajnog procesa:
. (6.4)
Očekivanje i disperzija ne daju dovoljan uvid u prirodu pojedinačnih implementacija slučajnog procesa. Kako bi se uzeo u obzir stepen varijabilnosti procesa ili odnos između njegovih vrijednosti u različitim vremenskim trenucima, koncept korelacije ( autokorelacija ) funkcije.
Korelaciona funkcija centriran proces ( t) je jednako
gdje je dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće.
Korelaciona funkcija je čak : R(τ ) = R(–τ ).
Ako funkcije distribucije i gustoće vjerovatnoće procesa ne ovise o vremenskom pomaku svih vremenskih argumenata za isti iznos, takav slučajni proces se naziva stacionarno .
Ako stacionarni proces ima iste vrijednosti prosek seta I vremenski prosek , takav slučajni proces se zove ergodic .
Znajući R(τ) možemo odrediti disperziju stacionarnog procesa:
Spektralna gustina S l y(ω) izlazni proces y(t) u linearnom sistemu i spektralnoj gustini S l (ω) ulaznog uticaja povezani su relacijom:
. (6.7)
Korelaciona funkcija R(τ) stacionarnog slučajnog procesa i njegove spektralne gustine S(ω) su povezane Fourierovom transformacijom, pa se analiza često provodi u frekvencijskom domenu. Nakon što smo izvršili Fourierovu transformaciju za (6.7), dobili smo izraz za korelacijske funkcije izlaznog procesa Ry(τ):
Spektralne gustine S l y(ω) i S l (ω) su bilateralni .
Možete ući jednostrano spektralna gustina N(f), koji je definiran samo za pozitivno frekvencije().
Dat paritet R(τ) i Eulerove formule (6.8) mogu se pojednostaviti:
. (6.9)
Kvalitet rada RAS-a je relativno nasumično karakterizira signale i smetnje ukupna srednja kvadratna greška (SKO).
Razmotrimo generalizirani PAC, čiji je dijagram prikazan na Sl. 2.11. Uzimamo u obzir uticaj λ( t) deterministički, a poremećaj ξ( t) na izlazu diskriminatora – slučajni proces. Koristeći formule (2.28)–(2.31), određujemo PF za grešku pod utjecajem i smetnjom.
Generalno, između procesa uticaja i poremećaja može postojati korelacija (veza). U ovom slučaju, osim autokorelacija funkcije oblika (6.8) za svaki od procesa moraju se uzeti u obzir unakrsna korelacija funkcije procesa u odnosu jedan na drugi. Kroz spektralne gustine, komunikacijski podaci se greškom upisuju na sljedeći način:
Nakon zamjene izraza (6.11) u formulu (6.8), dobijamo odgovarajuće komponente disperzije:
Ako ne postoji korelacija između procesa, onda S l x (ω) = S x l (ω) = 0, a takođe D l x = D x l = 0, a formula (6.12) je pojednostavljena
Očekivanje greške X(t) je sličan definiciji u stabilnom stanju: 
.
Ako je spektralna gustina S x(ω) je opisana razlomkom racionalne funkcije u odnosu na ω, a zatim izračunati Dx predstavljen je kao:
gdje je polinom koji sadrži čak stepeni iω do 2 n–2 uključujući; a je polinom stepena n, čiji korijeni leže u gornjoj poluravni kompleksne varijable ω.
Integrali (6.14) se mogu izračunati pomoću formule (6.15):
, (6.15)
gdje je D n– vodeća Hurwitzova determinanta oblika (4.7), sastavljena od koeficijenata a j, A Qn– determinanta tipa D n, u kojem su u prvom redu koeficijenti a j zamijenjen sa b j.
Za integral (6.15) postoje tablice vrijednosti za n ≤ 7.
Vrijednosti u n≤ 4 određuju se formulama:
, 
, 
,
Primjer 6.1. Odredimo standardnu devijaciju PLL sistema iz primjera 4.2.
Neka signal λ( t) = 1 + 0,1t, a poremećaj ξ( t) je bijeli šum sa amplitudom N 0= 1 mV ().
Stope grešaka za ovaj PAC su već pronađene u primjeru 5.1.
.
Za PF, greške zbog poremećaja iz formule (2.30) nakon promjene varijabli R ® iω dobijamo ( K 1 = S d , k 0 = k 1 S d , k 1 = k f k i):
Nakon zamjene formule (6.17) u (6.13) ( D l = 0) dobijamo:
Upoređujući (6.18) sa izrazom (6.14), nalazimo red i koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = 0, b 1= –(T 2) 2 , b 0 = 1; a 3 = T f T d, a 2 = T f+ T d , a 1 = 1 + k 0 T 2, a 0 = k 0 .
Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, rezultat je:
m x= 5×10 –4 (1/s), Dx= 1,06×10 –3 (1/s 2) (at k 0 = 200, S d = 10, k 1 = 20) ili
m x= 5×10 –4 (1/s), Dx= 0,66 (1/s 2) (sa k 0 = 200, S d = 0,4 , k 1 = 500).
Iz (6.3), (6.4) slijedi da x sq.m.≈ s x= 0,032 (1/s) at S d= 10, i at S d = 0,4 x sq.m.≈ s x= 0,81 (1/s).
Primjer 6.2. Odredimo RMS devijaciju RAS-a iz primjera 4.5 za iste signale: λ( t) = 1 + 0,1t i ξ( t) = N 0= 1 mV. λ′( t) = λ 1 , λ″( t) = 0
Koeficijente greške za dati RAS pronalazimo pomoću formule (5.19): .
v = 0, d 1 = 0, d 0 = S d, b 3 = T 1 T 2 T 3, b 2 = T 1 T 2+T 2 T 3+T 1 T 3, b 1 = T 1 + T 2 + T 3, b 0 = 1.
Iz formula (5.19)–(5.22) dobijamo
Za PF, greške zbog poremećaja iz formule (2.30) nakon zamjene varijabli p ® iω u (6.20) dobijamo:
Nakon zamjene formule (6.20) u (6.13) (D l = 0) dobijamo:
Upoređujući (6.21) sa izrazom (6.14), nalazimo koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = b 1 = 0, b 0 = 1; a 3 = T 1 T 2 T 3, a 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, a 1 = T 1 + T 2 + T 3, a 0 = S d + 1.
Nakon zamjene u formulu (6.16) i transformacija, dobijamo:
Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, rezultat je:
m x= (9,2 + 0,9 t)10 –2, Dx= 4,2×10 –4.
6.2. Grafičko-analitička metoda za određivanje disperzije.
