Primjena teorije vjerovatnoće u tehnologiji. Primjena teorije vjerovatnoće i matematičke statistike u građevinarstvu. Izlaz kolekcije

Webinar o kako razumjeti teoriju vjerovatnoće i kako početi koristiti statistiku u poslovanju. Znajući kako raditi s takvim informacijama, možete pokrenuti vlastiti posao.

Evo primjera problema koji ćete riješiti bez razmišljanja. U maju 2015, Rusija je lansirala svemirski brod“Progres” i izgubio kontrolu nad njim. Ova gomila metala, pod uticajem Zemljine gravitacije, trebalo je da se sruši na našu planetu.

Pažnja, pitanje: kolika je bila vjerovatnoća da bi Progres pao na kopno, a ne u okean i da li je trebalo da brinemo?

Odgovor je vrlo jednostavan - šanse za pad na kopno bile su 3 do 7.

Zovem se Aleksandar Skakunov, nisam ni naučnik ni profesor. Pitao sam se samo zašto nam trebaju teorija vjerovatnoće i statistika, zašto smo ih polagali na fakultetu? Stoga sam za godinu dana pročitao više od dvadeset knjiga na ovu temu - od “Crnog labuda” do “Zadovoljstva X”. Čak sam unajmio 2 instruktora.

Na ovom webinaru podijelit ću s vama svoja saznanja. Na primjer, naučit ćete kako je statistika pomogla da se postigne ekonomsko čudo u Japanu i kako se to odražava u scenariju filma “Povratak u budućnost”.

Sada ću vam pokazati malo ulične magije. Ne znam koliko će vas se prijaviti za ovaj webinar, ali na kraju će se pojaviti samo 45%.

Bit će zanimljivo. Prijaviti se!

3 faze razumijevanja teorije vjerovatnoće

Postoje 3 faze kroz koje prolazi svako ko se upozna sa teorijom vjerovatnoće.

Faza 1. “Pobijediću u kazinu!” Osoba vjeruje da može predvidjeti ishod slučajnih događaja.

Faza 2. “Nikada neću pobijediti u kazinu!..” Osoba postaje razočarana i vjeruje da se ništa ne može predvidjeti.

I faza 3. „Da probam izvan kazina!“ Čovjek razumije da se u prividnom haosu svijeta slučajnosti mogu pronaći obrasci koji mu omogućavaju da se dobro snalazi u svijetu oko sebe.

Naš zadatak je samo da dostignemo 3. fazu kako biste naučili primjenjivati ​​osnovne principe teorije vjerovatnoće i statistike u korist sebe i svog poslovanja.

Dakle, odgovor na pitanje “zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće” naučit ćete na ovom webinaru.

OSNOVNI POJMOVI I SAŽETAK TEORIJE VEROVATNOSTI

Predstavljeni materijal je namijenjen studentima koji se upoznaju sa probabilističkim metodama za opisivanje i analizu slučajnih pojava, koje čine osnovu matematički modeli opšti tehnički kurs “Pouzdanost tehničkih sistema”.

II.1. Primjena teorije vjerovatnoće u tehnologiji

Teorija vjerojatnosti je neophodna za rješavanje mnogih tehničkih problema.

Posebnost teorije vjerovatnoće je u tome što razmatra pojave u kojima je neizvjesnost prisutna u jednom ili drugom obliku. Dakle, postoji ideja da probabilističke metode rješenja praktičnih problema se smatraju manje poželjnim od “precizne” analize, jer navodni nedostatak dovoljno potpunih informacija tjera da se okrenemo ovim metodama. Osim toga, mnogi razmatraju teoriju vjerovatnoće misteriozno područje matematičke nauke.

Iznesena mišljenja su netačna. Prvo, jedva da postoji drugo područje matematike koje se s takvom potpunošću zasniva na tako ograničenom skupu početnih koncepata (samo tri aksioma, koji su gotovo očigledni). Drugo, dogmatska želja za predstavljanjem fizički zakoni deterministički i pravedni u svim okolnostima. Naravno, Ohmov zakon se ne može poreći, ali na mikro nivou procesa koji se dešavaju, on ne važi - činjenica je očigledna svakome ko je ikada spojio veliki otpornik na ulaz pojačala visokog pojačanja i čuo šum koji se kao rezultat pojavljuje na izlazu.

Dakle, unutra najboljem scenariju, nepromjenjivi zakoni odražavaju "ponašanje" prirode, da tako kažemo, "u prosjeku". U mnogim situacijama ovo „prosječno ponašanje“ je dovoljno blisko onome što se uočava u praksi da se postojeća odstupanja mogu zanemariti. U drugim, ne manje važnim situacijama, slučajna odstupanja mogu biti značajna, što zahtijeva korištenje analitičkih metoda zasnovanih na vjerojatnosnim konceptima.

Stoga postaje jasno da takozvano „tačno rješenje“ nije uvijek tačno i, štoviše, predstavlja idealizirano poseban slučaj, što se u praksi gotovo nikada ne dešava. S druge strane, probabilistički pristup je daleko od najgore zamjene za metode egzaktnog rješenja i najpotpunije odražava fizičku stvarnost. Osim toga, uključuje rezultat determinističkog pristupa kao poseban slučaj.

Sada ima smisla opisati u opšti tipovi situacije u kojima je upotreba metoda probabilističkog proračuna u rješavanju praktičnih problema prije pravilo nego izuzetak.

Slučajni parametri sistema. U nekim slučajevima, određeni sistemski parametri mogu biti nepoznati ili se mijenjaju nasumično. Tipični primjeri takvih sistema su elektroenergetske mreže, čija su opterećenja nepredvidiva i variraju u velikoj mjeri; telefonski sistemi u kojima se broj korisnika nasumično mijenja tokom vremena; elektronski sistemi čiji su parametri nasumični zbog činjenice da su karakteristike poluprovodničkih uređaja postavljene nizom mogućih vrednosti.

Pouzdanost sistema. Svaki tehnički sistem uključuje veliki broj različitih elemenata; kvar jednog ili više njih može uzrokovati kvar cijelog sistema. Kako sistemi postaju složeniji i skuplji, u fazi projektovanja javlja se zadatak sintetiziranja logičkih strukturnih dijagrama pouzdanosti i optimizacije pouzdanosti.

Kontrola kvaliteta i dijagnostika. Povećanje potrošačkih svojstava i konkurentnosti proizvoda može se postići praćenjem izlaza i dijagnostikom tokom rada. Ovo zahtijeva pravila za testiranje pojedinačnih nasumično odabranih elemenata, probabilističke metode za prepoznavanje nedostataka i predviđanje performansi.

Teorija informacija. Kvantitativna mjera informativnog sadržaja različitih poruka: numerički i grafički podaci, tehnička mjerenja su vjerovatnoće po prirodi. Pored toga, propusnost komunikacionih kanala zavisi od slučajnih uticaja šuma.

Iz kratkog nabrajanja jasno je da prilikom rješavanja veliki broj tehnički problemi moraju biti suočeni sa neizvjesnošću, a to čini teoriju vjerovatnoće nezamjenjivim alatom za modernog inženjera.

II.2. Osnovni koncepti

II.2. 1. Osnove teorije skupova.

Teorija vjerovatnoće - matematičke nauke, proučavanje obrazaca u slučajnim pojavama. Jedan od glavnih koncepata je koncept slučajnog događaja (u daljem tekstu jednostavno događaj).

Događaj odnosi se na bilo koju činjenicu (ishod) koja se može ili ne mora pojaviti kao rezultat iskustva (test, eksperiment). Svaki od ovih događaja može biti povezan sa određenim brojem, koji se naziva njegovim vjerovatnoća i predstavlja mjeru mogućeg nastanka ovog događaja.

Moderna konstrukcija teorije vjerovatnoće zasniva se na aksiomatskom pristupu i oslanja se na elementarne koncepte teorije skupova.

Gomila je bilo koja kolekcija objekata proizvoljne prirode, od kojih se svaki naziva elementom skupa. Setovi se označavaju drugačije: bilo po jedan veliko slovo ili navođenjem njegovih elemenata, datih u vitičastim zagradama, ili navođenjem (u istim vitičastim zagradama) pravila po kojem element pripada skupu. Na primjer, konačan skup M prirodni brojevi 1 do 100 se može napisati kao

M = (1, 2, …,100) = (i - cijeli broj; 1 i 100).

Pretpostavimo da se izvodi neki eksperiment (eksperiment, test) čiji je rezultat unaprijed nepoznat i slučajan. Onda mnogi svih mogućih ishoda iskustva predstavlja prostor elementarnih događaja, i svaki njegov element (jedan poseban ishod iskustva) je elementarni događaj. Svaki skup elementarnih događaja (bilo koja njihova kombinacija) se razmatra podset (dio) seta i je slučajni događaj, odnosno bilo koji događaj A je podskup skupa : A . Na primjer, prostor elementarnih događaja prilikom bacanja kocke sastoji se od šest mogućih ishoda = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Uzimajući u obzir prazan setovi , koji ne sadrži nikakve elemente u prostoru mogu se razlikovati ukupno 2 6 = 64 podskupa:

; {1}; … ; {6}; {1, 2}; … ; {5, 6}; {1, 2, 3}; … ; .

Općenito, ako je set sadrži n elemenata, onda se u njemu može razlikovati 2 n podskupova (događaja).

Pregled događaja (na kraju krajeva, svaki skup je svoj podskup), može se primijetiti da jeste pouzdan događaj tj. provodi se sa bilo kakvim iskustvom. Prazan set kako je događaj nemoguće, tj. sa bilo kojim eksperimentom to se očigledno ne može dogoditi. Za prethodni primjer: pouzdan događaj = (1, 2, 3, 4, 5, 6) = (okretanje jednog od šest poena); nemogući događaj = (7) = (7 bodova bačenih na jednom bacanju kockice).

Zajednički (ne-zajednički) događaji – takvi događaji od kojih nastanak jednog ne isključuje (isključuje) mogućnost nastanka drugog.

Zavisni (nezavisni) događaji – takvi događaji od kojih nastanak jednog utječe (ne utječe) na nastanak drugog događaja.

Događaj nasuprot u odnosu na neki odabrani događaj A– događaj koji se sastoji od nepostojanja ovog odabranog događaja (označeno ).

Potpuna grupa događaja je skup događaja u kojem se barem jedan od događaja u ovom skupu mora dogoditi kao rezultat iskustva. Očigledno je da događaji A I čine kompletnu grupu događaja.

Jedan od razloga za korištenje teorije skupova u teoriji vjerojatnosti je taj što su važne transformacije definirane za skupove koji imaju jednostavnu geometrijsku reprezentaciju i olakšavaju razumijevanje značenja ovih transformacija. Zove se Euler-Venn dijagram, a na njemu prostor je prikazan kao pravougaonik, a različiti skupovi su prikazani kao ravne figure omeđene zatvorenim linijama. Primjer dijagrama koji ilustruje uključivanje skupa CB A, prikazano na sl. 1.

To je jasno B je podskup A, A C- podset B(i u isto vrijeme podskup A).

II.2. 2. Algebra događaja.

U primijenjenim problemima, glavni nisu direktne, već indirektne metode za izračunavanje vjerovatnoća događaja koji nas zanimaju kroz vjerovatnoće drugih povezanih s njima. Da bismo to učinili, moramo biti u stanju izraziti događaje koji nas zanimaju kroz druge, odnosno koristiti algebru događaja.

Imajte na umu da su svi koncepti uvedeni u nastavku važeći kada su događaji u pitanju podskupovi istog prostora elementarnih događaja .

Suma ili spajanje događaja A1 , A2 , …, An- takav događaj A, čija je pojava u iskustvu ekvivalentna pojavljivanju u istom iskustvu barem jednog od događaja A1 , A2 , …, An. Iznos je naznačen:

Gdje - znak logičnog sabiranja događaja, - znak logičkog zbira događaja.

Posao ili ukrštanje događajaA1 , A2 , …, An- takav događaj A, čija je pojava u iskustvu ekvivalentna pojavi svih događaja u istom iskustvu A1 , A2 , …, An istovremeno. Rad je određen

Gdje - znak logičkog množenja događaja, - znak logičkog proizvoda događaja.

Operacije sabiranja i množenja događaja imaju niz svojstava svojstvenih običnom sabiranju i množenju, a to su: komutativno, asocijativno i distributivna svojstva, koji su očigledni i ne trebaju objašnjenje.

Euler-Venn dijagrami za zbir (a) i proizvod (b) dva događaja A1 I A2 prikazani su na sl. 2.

Zbir (unija) događaja A1 I A2 je događaj koji se sastoji od pojave najmanje jednog od ovih događaja (osenčeno područje na slici 2, a). Producing Events A1 I A2 ovo je događaj koji se sastoji od zajedničkog izvođenja oba događaja (zasjenjeni presjek događaja A1 I A2 - pirinač. 2, b).

Iz definicije zbira i proizvoda događaja slijedi da

A = A A; A = A ; = A ;
A = aa; = A ; A = A .

Ako događaji Ai(i=1, … , n) ili ( Ai) n i=1 čine kompletnu grupu događaja, onda je njihov zbir pouzdan događaj

Slika suprotnog događaja prikazano na sl. 3. Područje dopunjuje A do punog prostora . Iz definicije suprotnog događaja proizilazi da

objašnjeno na sl. 4.

II.2. 3. Aksiomi teorije vjerovatnoće

Hajde da uporedimo svaki događaj A broj koji se kao i ranije naziva svojom vjerovatnoćom i označava P(A) ili P(A). Verovatnoća se bira tako da zadovoljava sledeće uslove ili aksiome:

Ako Ai I Aj nekompatibilni događaji, tj. Ai Aj= , To

Koristeći aksiome, možete izračunati vjerovatnoće bilo kojeg događaja (podskupova prostora ) koristeći vjerovatnoće elementarnih događaja. Pitanje kako odrediti vjerovatnoće elementarnih događaja je retoričko. U praksi se određuju ili iz razmatranja vezanih za moguće ishode eksperimenta (na primjer, u slučaju bacanja novčića, prirodno je smatrati da su vjerovatnoće grla ili repa iste), ili na osnovu eksperimentalnih podataka (frekvencija).

Potonji pristup se široko koristi u primijenjenim inženjerskim problemima, jer omogućava indirektnu korelaciju rezultata analize sa fizičkom realnošću.

Pretpostavimo da je u iskustvu prostor mogu se predstaviti kao kompletna grupa nespojivih i jednako mogućih događaja A1 , A2 , …, An. Prema (3), njihov zbir predstavlja pouzdan događaj:

od događaja A1 , A2 , …, An su nekonzistentni, onda prema aksiomima (6) i (9):

Od događaja A1 , A2 , …, An su jednako moguće, onda je vjerovatnoća svakog od njih ista i jednaka

Odavde to direktno slijedi frekvencijska definicija vjerovatnoće bilo koji događaj O:

kao omjer broja slučajeva ( m A), povoljan za nastanak nekog događaja A, To ukupan broj slučajevi (mogući broj eksperimentalnih ishoda) n.

Sasvim je očigledno da procena učestalosti verovatnoće nije ništa drugo nego posledica aksioma sabiranja verovatnoće. Zamislite taj broj n raste neograničeno, može se uočiti fenomen koji se zove statističko uređenje, kada je učestalost događaja A mijenja se sve manje i približava se nekoj konstantnoj vrijednosti, što predstavlja vjerovatnoću događaja A.

II.2. 4. Osnovna pravila teorije vjerovatnoće

Vjerovatnoće složenih događaja mogu se izračunati korištenjem vjerovatnoća jednostavnijih, koristeći osnovna pravila (teoreme): sabiranje i množenje vjerovatnoća.

II.2.4.1.Teorema sabiranja vjerovatnoće.

Ako A1 , A2 , …, An- nekompatibilni događaji i A je zbir ovih događaja, zatim vjerovatnoća događaja A jednak zbiru vjerovatnoća događaja A1 , A2 , …, An:

Da bismo formulisali teoremu množenja verovatnoće u opštem slučaju, uvodimo koncept uslovne verovatnoće.

Uslovna vjerovatnoća događaji A1 po nastanku događaja A2 – vjerovatnoća događaja A1 , izračunato pod pretpostavkom da je događaj A2 dogodilo:

Za bilo koji konačan broj događaja, teorema množenja ima oblik

i za konačan broj n nezavisnih događaja

Posljedica pravila sabiranja i množenja vjerovatnoća je teorema o ponavljanju eksperimenata (Bernoullijeva shema): eksperimenti se smatraju nezavisnim ako vjerovatnoća jednog ili drugog ishoda svakog od njih ne zavisi od toga kakve su ishode imali drugi eksperimenti.

Dopustite da neko doživi vjerovatnoću događaja A je jednako P(A) = p, a vjerovatnoća da se to neće dogoditi je P( ) = q, a prema (13)

P(A) + P() = str + q = 1

Ako se izvrši n nezavisni eksperimenti, od kojih svaki događaj A pojavljuje se sa vjerovatnoćom p, zatim vjerovatnoćom da se u datoj seriji eksperimenata dogodi događaj A se tačno pojavljuje m puta, određeno izrazom

Gdje - binomni koeficijent.

Na primjer, vjerovatnoća jedne greške pri čitanju 32-bitne riječi u kompjuterskom formatu, koja predstavlja kombinaciju 0 i 1, sa vjerovatnoćom greške pri čitanju binarnog broja p = 10 -3, je prema (19 )

Gdje q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

Vjerovatnoća da nema greške u čitanju kada m = 0, C 0 32 = 1

Često postoje problemi u određivanju vjerovatnoće nekog događaja A desiće se barem m jednom ili ne više m jednom. Takve vjerovatnoće se određuju sabiranjem vjerovatnoća svih ishoda koji čine predmetni događaj.

Izrazi za proračun za ovu vrstu situacije su:

Gdje P n (i) određena je (19).

Na slobodi m izračunavanje binomnih koeficijenata C n m a povećanje p i q na velike stepene je povezano sa značajnim poteškoćama, pa je preporučljivo koristiti pojednostavljene metode proračuna. Zv. aproksimacija Moivre-Laplaceova teorema, koristi se ako npq>>1, i |m-np|<(npq) 0,5 , в таком случае выражение (19) записывается:

II.2. 5. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula (formula vjerovatnoće za hipoteze)

U praksi rješavanja velikog broja zadataka široko se koriste formula ukupne vjerovatnoće (TPF) i Bayesova formula, koje su posljedice glavnih teorema.

II.2.5.1 Formula ukupne vjerovatnoće.

Ako je, na osnovu rezultata eksperimenta, moguće učiniti n međusobno isključive pretpostavke (hipoteze) H1 , H2 , … Hn, predstavlja kompletnu grupu nekompatibilnih događaja (za koje ), zatim vjerovatnoću događaja A, koji se može pojaviti samo s jednom od ovih hipoteza, definiran je:

Gdje P(Bok)– vjerovatnoća hipoteze Zdravo;

P(A|Bok)– uslovna vjerovatnoća događaja A pod hipotezom Zdravo.

Od događaja A može se pojaviti s jednom od hipoteza H1 , H2 , … Hn, tada je A = A H1 H2 … A Hn, Ali H1 , H2 , … Hn su, dakle, nekompatibilni

Zbog zavisnosti od događaja A od nastanka događaja (hipoteza) Zdravo

P(AHi) = P(Hi) P(A| Hi), iz čega slijedi izraz (21).

II.2.5.2.Bayesova formula (formula vjerovatnoće za hipoteze).

Ako su prije eksperimenta vjerovatnoće hipoteza H1 , H2 , … Hn bili jednaki P(H1 ), P(H2 ), …, P(Hn), a kao rezultat eksperimenta dogodio se događaj A, tada se izračunavaju vjerovatnoće novih (uslovnih) hipoteza:

Vjerojatnosti preteksperimentalne (početne) hipoteze P(H1 ), P(H2 ), …, P(Hn) su pozvani a priori , i postiskusne - P(H1 | A), … P(Hn| A) – a posteriori .

Bayesova formula vam omogućava da „preispitate“ mogućnosti hipoteza uzimajući u obzir dobijene eksperimentalne rezultate.

Dokaz Bayesove formule slijedi iz prethodnog materijala. Zbog P(Hi A) = P(Hi) P(A| Hi) = P(Hi) P(Hi| A): . Detaljniji materijal odteorijevjerovatnoćečitalac može dobiti u Dodatku: “ Basickoncepti I briefinteligencijaodteorijevjerovatnoće". 2. Basicinteligencija o modelima matematičkog proračuna u teorijevjerovatnoće ...

Matematiku, kraljicu svih nauka, mladi često sude. Iznijeli smo tezu „Matematika je beskorisna“. A mi to opovrgavamo na primjeru jedne od najzanimljivijih misteriozni i zanimljivih teorija. Kako teorija vjerovatnoće pomaže u životu, spašava svijet, kakve su tehnologije i dostignuća zasnovana na ovim naizgled neopipljivim i daleko od života formulama i složenim proračunima.

Istorija teorije verovatnoće

Teorija vjerovatnoće- oblast matematike koja proučava slučajne događaje i, naravno, njihovu vjerovatnoću. Ova vrsta matematike nije nastala u dosadnim sivim kancelarijama, već... u kockarnicama. Prvi pristupi procjeni vjerovatnoće određenog događaja bili su popularni još u srednjem vijeku među “Hamlerima” tog vremena. Međutim, tada su imali samo empirijska istraživanja (tj. evaluaciju u praksi, eksperimentom). Nemoguće je pripisati autorstvo teorije vjerovatnoće određenoj osobi, jer su na njoj radili mnogi poznati ljudi, od kojih je svaki dao svoj udio.

Prvi od ovih ljudi bili su Pascal i Fermat. Proučavali su teoriju vjerovatnoće koristeći statistiku kockica. Otkrila je prve zakone. H. Hajgens je uradio sličan posao 20 godina ranije, ali teoreme nisu bile precizno formulisane. Važan doprinos teoriji vjerovatnoće dali su Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson i mnogi drugi.

Pierre Fermat

Teorija vjerovatnoće u životu

Iznenadiću vas: svi mi, u ovoj ili onoj meri, koristimo teoriju verovatnoće, zasnovanu na analizi događaja koji su se desili u našim životima. Znamo da je vjerovatnija smrt od saobraćajne nesreće nego od udara groma jer se prva, nažalost, dešava tako često. Na ovaj ili onaj način, obraćamo pažnju na vjerovatnoću stvari kako bismo predvidjeli svoje ponašanje. Ali, nažalost, osoba ne može uvijek točno odrediti vjerovatnoću određenih događaja.

Na primjer, bez poznavanja statistike, većina ljudi misli da je šansa za smrt u avionskoj nesreći veća nego u saobraćajnoj nesreći. Sada znamo, proučavajući činjenice (za koje su, mislim, mnogi čuli), da to uopšte nije slučaj. Činjenica je da nam životno „oko“ ponekad zakaže, jer se zračni transport čini mnogo strašnijim ljudima koji su navikli čvrsto hodati po zemlji. I većina ljudi ne koristi često ovu vrstu prijevoza. Čak i ako možemo ispravno procijeniti vjerovatnoću događaja, ona je najvjerovatnije krajnje netačna, što neće imati smisla, recimo, u svemirskom inženjerstvu, gdje dijelovi na milion odlučuju o mnogo čemu. A kada nam je potrebna tačnost, kome se obratiti? Naravno, na matematiku.

Postoji mnogo primjera stvarne upotrebe teorije vjerovatnoće u životu. Na njemu se zasniva gotovo cijela moderna ekonomija. Prilikom puštanja određenog proizvoda na tržište, kompetentan preduzetnik će svakako uzeti u obzir rizike, kao i vjerovatnoću kupovine na određenom tržištu, zemlji i sl. Brokeri na svjetskim tržištima praktički ne mogu zamisliti svoj život bez teorije vjerovatnoće. Predviđanje kursa novca (što definitivno ne može da se uradi bez teorije verovatnoće) na novčanim opcijama ili čuvenom Forex tržištu omogućava da se na ovoj teoriji ozbiljno zaradi.

Teorija vjerovatnoće je važna na početku gotovo svake aktivnosti, kao i njena regulacija. Procjenom šansi za određeni kvar (na primjer, svemirska letjelica), znamo koje napore trebamo uložiti, šta točno provjeriti, što općenito očekivati ​​hiljadama kilometara od Zemlje. Mogućnosti terorističkog napada u metrou, ekonomske krize ili nuklearnog rata - sve se to može izraziti u postocima. I što je najvažnije, poduzmite odgovarajuće kontraakcije na osnovu primljenih podataka.

Imao sam sreću da prisustvujem matematičkom naučnom skupu u svom gradu, gde je jedan od pobedničkih radova govorio o praktičnom značaju teorije verovatnoće u životu. Vjerovatno, kao i svi ljudi, ne volite dugo stajati u redovima. Ovaj rad je pokazao kako se proces kupovine može ubrzati ako se koristi teorija vjerovatnoće obračunavanja ljudi u liniji i regulisanja aktivnosti (otvaranje kasa, povećanje broja prodavača itd.). Nažalost, sada većina čak i velikih mreža zanemaruje ovu činjenicu i oslanja se samo na vlastite vizualne proračune.

Svaka aktivnost u bilo kojoj sferi može se analizirati pomoću statistike, izračunati korištenjem teorije vjerovatnoće i značajno poboljšati.

S pravom bismo trebali početi od statističke fizike. Moderna prirodna nauka polazi od ideje da su sve prirodne pojave statističke prirode i da se zakoni mogu precizno formulisati samo u terminima teorije vjerovatnoće. Statistička fizika je postala osnova sve moderne fizike, a teorija vjerovatnoće njen matematički aparat. Statistička fizika se bavi problemima koji opisuju pojave koje su određene ponašanjem velikog broja čestica. Statistička fizika se vrlo uspješno primjenjuje u raznim granama fizike. U molekularnoj fizici se koristi za objašnjenje toplinskih pojava; u elektromagnetizmu, dielektrična, provodljiva i magnetska svojstva tijela; u optici je omogućila stvaranje teorije toplinskog zračenja i molekularnog raspršenja svjetlosti. Posljednjih godina, raspon primjena statističke fizike nastavio se širiti.

Statistički koncepti su omogućili da se brzo formalizira matematičko proučavanje fenomena nuklearne fizike. Pojava radiofizike i proučavanje pitanja prenosa radio signala ne samo da je povećala značaj statističkih koncepata, već je dovela i do napretka same matematičke nauke – pojave teorije informacija.

Razumijevanje prirode kemijskih reakcija i dinamičke ravnoteže također je nemoguće bez statističkih koncepata. Sva fizička hemija, njen matematički aparat i modeli koje predlaže su statistički.

Obrada rezultata posmatranja, koja su uvek praćena i slučajnim greškama posmatranja i slučajnim promenama eksperimentalnih uslova za posmatrača, još u 19. veku dovela je istraživače do stvaranja teorije grešaka u posmatranju, a ova teorija je u potpunosti zasnovana na statističkim podacima. koncepti.

Astronomija koristi statističke aparate u nizu svojih grana. Zvjezdana astronomija, proučavanje raspodjele materije u svemiru, proučavanje tokova kosmičkih čestica, raspodjela sunčevih pjega (centra solarne aktivnosti) na površini Sunca i još mnogo toga zahtijevaju korištenje statističkih koncepata.

Biolozi su primijetili da se disperzija u veličinama organa živih bića iste vrste savršeno uklapa u opšte teorijske zakone vjerovatnoće. Čuveni Mendelovi zakoni, koji su postavili temelje moderne genetike, zahtijevaju vjerovatnost i statističko rezonovanje. Proučavanje tako značajnih problema biologije kao što su prijenos ekscitacije, struktura pamćenja, prijenos nasljednih svojstava, pitanja naseljavanja životinja na teritoriju, odnos između grabežljivca i plijena zahtijeva dobro poznavanje teorije vjerojatnosti i matematike. statistika.

Humanističke nauke objedinjuju discipline koje su po prirodi vrlo raznolike - od lingvistike i književnosti do psihologije i ekonomije. Statističke metode se sve više uključuju u istorijska istraživanja, posebno u arheologiju. Za dešifrovanje natpisa na jeziku starih naroda koristi se statistički pristup. Ideje koje su vodile J. Champolliona u dešifrovanju drevnih hijeroglifskih zapisa su u osnovi statističke. Umjetnost šifriranja i dešifriranja zasniva se na korištenju statističkih zakona jezika. Ostale oblasti se odnose na proučavanje ponavljanja riječi i slova, raspodjelu naglaska u riječima i proračun informativnosti jezika pojedinih pisaca i pjesnika. Statističke metode se koriste za utvrđivanje autorstva i razotkrivanje književnih falsifikata. Na primjer, autorstvo M.A. Šolohov na osnovu romana "Tihi Don" uspostavljen je probabilističkim i statističkim metodama. Identifikovanje učestalosti pojavljivanja jezičkih glasova u usmenom i pisanom govoru omogućava nam da postavimo pitanje optimalnog kodiranja slova datog jezika za prenošenje informacija. Učestalost upotrebe slova određuje odnos broja znakova u štampariji. Raspored slova na nosaču pisaće mašine i na tastaturi računara utvrđuje se statističkom studijom o učestalosti kombinacija slova u datom jeziku.

Mnogi problemi pedagogije i psihologije također zahtijevaju korištenje vjerojatnosnog i statističkog aparata. Ekonomska pitanja ne mogu a da ne zanimaju društvo, jer su s njim povezani svi aspekti njegovog razvoja. Bez statističke analize nemoguće je predvidjeti promjene u veličini stanovništva, njegovim potrebama, prirodi zaposlenosti, promjene masovne potražnje, a bez toga je nemoguće planirati ekonomske aktivnosti.

Pitanja provjere kvaliteta proizvoda direktno su vezana za vjerovatno-statističke metode. Često je za proizvodnju proizvoda potrebno mnogo manje vremena od provjere njegovog kvaliteta. Iz tog razloga nije moguće provjeriti kvalitetu svakog proizvoda. Stoga moramo suditi o kvalitetu serije na osnovu relativno malog dijela uzorka. Statističke metode se također koriste kada ispitivanje kvalitete proizvoda dovodi do njihovog oštećenja ili smrti.

Pitanja vezana za poljoprivredu dugo su rješavana uz ekstenzivnu upotrebu statističkih metoda. Uzgoj novih rasa životinja, novih sorti biljaka, upoređivanje prinosa - ovo nije potpuna lista problema koji se rješavaju statističkim metodama.

Nije pretjerano reći da statističke metode prožimaju čitav naš današnji život. U poznatom djelu materijalističkog pjesnika Lukrecija Cara “O prirodi stvari” nalazi se živopisan i poetičan opis fenomena Brownovog kretanja čestica prašine:

„Pogledajte: svaki put kada sunčeva svjetlost prodre u naše domove i tama se probije svojim zracima, vidjet ćete mnoga mala tijela u praznini, kako trepere, jure naprijed-nazad u blistavom sjaju svjetlosti; Kao da su u vječnoj borbi bore se u bitkama i bitkama.Odjednom jurnu u bitke u odredima, ne znajući mira.Ili se okupljaju, ili se stalno iznova rasipaju.Iz ovoga možete shvatiti koliko su neumorno Prvi principi stvari u ogromnoj praznini.Tako, male stvari pomažu u stvaranju razumijevanja velikih stvari, ocrtavajući puteve za postignuće, Štaviše, stoga treba obratiti pažnju na previranja u tijelima koja bljeskaju na sunčevoj svjetlosti, tako da ćete iz toga znati kretanje materije."

Prva prilika za eksperimentalno proučavanje odnosa između slučajnog kretanja pojedinačnih čestica i pravilnog kretanja njihovih velikih agregata pojavila se kada je 1827. botaničar R. Brown otkrio fenomen koji je po njemu nazvan „Brownovsko kretanje“. Braun je posmatrao polen suspendovan u vodi pod mikroskopom. Na svoje iznenađenje, otkrio je da su čestice suspendirane u vodi u neprekidnom neurednom kretanju, koje se nije moglo zaustaviti čak ni najpažljivijim naporima da se eliminišu bilo kakvi vanjski utjecaji. Ubrzo je otkriveno da je to opšte svojstvo bilo koje dovoljno male čestice suspendovane u tečnosti. Brownovo kretanje je klasičan primjer slučajnog procesa.

Nevolina Ekaterina Nikolaevna Ekaterinburg USUE supervizor – Knysh A. A. Praktična primjena teorije vjerovatnoće. Relevantnost. Teorija vjerovatnoće je jedna od grana matematike koja proučava slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima. Metode teorije vjerovatnoće se sve više koriste u različitim oblastima nauke i tehnologije, kao iu svakodnevnom životu. Posebnost ovog dijela nauke je razmatranje takvih pojava u kojima postoji nesigurnost. U ovom članku želio bih pogledati primjere nekih problema koji pokazuju praktičnu primjenu teorije vjerovatnoće. Problemi sa ekonomskim sadržajem. 1. Jedna od kompanija će sklopiti ugovor o isporuci robe sa lancem prodavnica. Pod uslovom da se konkurent kompanije istovremeno ne prijavi za ugovor, vjerovatnoća zaključenja ugovora je procijenjena na 0,85, u suprotnom vjerovatnoća dobijanja ugovora je 0,6. Vjerovatnoća da će konkurent iznijeti prijedloge za sklapanje ugovora, prema procjenama stručnjaka kompanije, je 0,55. Kolika je vjerovatnoća dobijanja ugovora za ovu firmu? . Ovaj problem se rješava upotrebom formule ukupne vjerovatnoće. 2. Ekonomista-analitičar ekonomsku situaciju u zemlji uslovno dijeli na „dobru“, „srednju“ i „lošu“ i procjenjuje njihove vjerovatnoće za dati trenutak na 0,2; 0,7 i 0,15 respektivno. Neki indeks ekonomskog stanja se povećava sa vjerovatnoćom 0,65 kada je situacija “dobra”; sa vjerovatnoćom od 0,35 kada je situacija osrednja, i sa vjerovatnoćom od 0,1 kada je situacija “loša”. Neka indeks ekonomskog stanja raste u ovom trenutku. Kolika je vjerovatnoća da je ekonomija zemlje u procvatu? . Problem je riješen korištenjem Bayesove formule. 3. Banka izdaje 9 kredita. Vjerovatnoća kašnjenja kredita je 0,2 za svakog zajmoprimca. Kolika je vjerovatnoća da tri zajmoprimca ne otplate kredit? Problem je riješen korištenjem Bernoullijeve formule. 5. Dio se smatra odgovarajućim ako je odstupanje linearne dimenzije X u apsolutnom iznosu manje od 1 mm. Devijacija X je vrijednost distribuirana prema normalnom zakonu, sa standardnom devijacijom   0,35. Pronađite broj neispravnih dijelova u jednoj seriji proizvedenih dijelova (veličina serije 1000 kom.), trošak gubitaka od kvarova po cijeni od 15 miliona rubalja, prihod od prodaje preostalih dobrih dijelova i ekonomske gubitke po tržišnoj cijeni od 19.000 rubalja. po jedinici proizvodnje. Hajde da razmotrimo rešenje ovog problema. Jer X je odstupanje linearne veličine u apsolutnom iznosu, tada je matematičko očekivanje M(X)=a=0. Zamjenom vrijednosti    0,35 i   1 u formulu  P  X     2          9, dobijamo P 0 9 9 Dakle, u seriji od 1000 dijelova, 995 dijelova će biti prikladno. Uz cijenu serije od 15 miliona rubalja. Trošak svakog dijela iznosit će u prosjeku 15.000 rubalja. Trošak gubitaka od kvarova iznosit će 75.000 rubalja. Prihod od prodaje odgovarajućih delova po tržišnoj ceni iznosiće 995∙19000 =18,905 miliona rubalja. Zbog nemogućnosti prodaje dijela proizvoda, ekonomski gubici će iznositi 5∙19000=95000 rubalja. Metode vjerovatnoće se također koriste u sportskom klađenju. Uz pomoć teorije vjerovatnoće postalo je moguće predvidjeti i procijeniti ishode različitih utakmica, kao i identificirati produktivnost pojedinog igrača. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir košarku, onda se produktivnost igrača može smatrati vjerovatnoćom da on pogodi obruč iz različitih tačaka. Navedimo primjere zadataka. 1. Na košarkaškom takmičenju centar igrač ekipe “N” ubacuje loptu u obruč. Za svaki postignut gol tim dobija 2 boda. Pronađite vjerovatnoću da tim neće dobiti niti jedan bod za dato bacanje od strane centra (0 bodova se dodjeljuje samo za promašaj). 2. Dva ravnopravna košarkaška tima igraju košarku. Šta je vjerovatnije: računati jednu četvrtinu od dvije ili dvije četvrtine od četiri (izjednačeni rezultati se ne uzimaju u obzir)? Ovaj problem je riješen korištenjem Bernoullijeve formule. Dakle, pronalaženje obrazaca u slučajnim pojavama je zadatak teorija vjerovatnoće. Teorija vjerojatnosti je alat za proučavanje nevidljivih i viševrijednih odnosa različitih pojava u brojnim oblastima nauke, tehnologije i ekonomije. Teorija vjerovatnoće omogućava da se ispravno izračunaju fluktuacije potražnje, ponude, cijena i drugih ekonomskih pokazatelja. Teorija vjerovatnoće je dio osnovnih nauka kao što su statistika i primijenjena informatika. Jer bez teorije vjerovatnoće, više od jednog aplikativnog programa, i računar u cjelini, ne mogu raditi. I u teoriji igara je takođe fundamentalno. Spisak korištenih izvora: 1. Ventzel E. S. Theory of Probability [Electron. izvor]: Udžbenik. dodatak. - Moskva. – Viša škola, 1999. – 576 str. – Način pristupa: http://sernam.ru/book_tp.php 2. Smjernice za studente o izvođenju praktičnog rada iz discipline „Matematika“ [Elektron. resurs]. – Mončegorsk, 2013. – Način pristupa: http://www.studfiles.ru/preview/3829108/ 3. Khusnutdinov, R. Sh. Matematika za ekonomiste u primjerima i problemima [Electron. izvor]: udžbenik. dodatak / R. Sh. Khusnutdinov, V. A. Zhikharev. – Sankt Peterburg: Lan, 2012. – 656 str. - Način pristupa: https://e.lanbook.com/book/4233