Nejednakosti. Logaritamske nejednakosti. Logaritamske nejednakosti - Hipermarket znanja Racionalne logaritamske nejednakosti
Prilikom studiranja logaritamska funkcija Uglavnom smo razmatrali nejednakosti oblika
log a x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных logaritamske nejednakosti. Uobičajeni način rješavanja takvih nejednakosti je prelazak sa date nejednakosti na jednostavniju nejednakost ili sistem nejednakosti koji ima isti skup rješenja.
Riješite log nejednakosti (x + 1) ≤ 2 (1).
Rješenje.
1) Desna strana razmatrane nejednakosti ima smisla za sve vrijednosti x, a lijeva ima smisla za x + 1 > 0, tj. za x > -1.
2) Interval x > -1 nazivamo domenom definicije nejednakosti (1). Logaritamska funkcija sa bazom 10 raste, dakle, pod uvjetom da je x + 1 > 0, nejednakost (1) je zadovoljena ako je x + 1 ≤ 100 (pošto je 2 = log 100). Dakle, nejednakost (1) i sistem nejednakosti
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
su ekvivalentni, drugim riječima, skup rješenja nejednakosti (1) i sistem nejednakosti (2) su isti.
3) Rješavajući sistem (2), nalazimo -1< х ≤ 99.
Odgovori. -1< х ≤ 99.
Riješite nejednačinu log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Rješenje.
1) Područje definicije logaritamske funkcije koja se razmatra je skup pozitivnih vrijednosti argumenta, stoga lijeva strana nejednakosti ima smisla za x – 3 > 0 i x – 2 > 0.
Prema tome, domen definicije ove nejednakosti je interval x > 3.
2) Prema svojstvima logaritma, nejednakost (3) za x > 3 je ekvivalentna nejednakosti log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Logaritamska funkcija sa bazom 2 raste. Dakle, za x > 3, nejednakost (4) je zadovoljena ako je (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Dakle, originalna nejednakost (3) je ekvivalentna sistemu nejednakosti
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rješavanjem prve nejednakosti ovog sistema dobijamo x 2 – 5x + 4 ≤ 0, odakle je 1 ≤ x ≤ 4. Kombinujući ovaj segment sa intervalom x > 3, dobijamo 3< х ≤ 4.
Odgovori. 3< х ≤ 4.
Riješite log nejednakosti 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Rješenje.
1) Područje definicije nejednakosti nalazi se iz uslova x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Nejednakost (5) se može zapisati kao: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Kako je logaritamska funkcija s bazom ½ opadajuća, onda za sve x iz cijele domene definicije nejednakosti dobijamo:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Dakle, prvobitna jednakost (5) je ekvivalentna sistemu nejednakosti
(x 2 + 2x – 8 > 0, ili (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Rješavajući prvu kvadratnu nejednačinu, dobivamo x< -4, х >2. Rješavanjem druge kvadratne nejednakosti dobijamo -6 ≤ x ≤ 4. Prema tome, obje nejednakosti sistema su istovremeno zadovoljene za -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Odgovori. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Prilikom rješavanja logaritamskih nejednačina koristimo svojstvo monotonosti logaritamske funkcije. Koristimo i definiciju logaritma i osnovne logaritamske formule.
Pogledajmo šta su logaritmi:
Logaritam pozitivan broj na bazu je pokazatelj snage na koju se mora podići da bi se dobio .
Gde
Osnovni logaritamski identitet:
Osnovne formule za logaritme:
(Logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama)
(Logaritam količnika jednak je razlici logaritama)
(Formula za logaritam stepena)
Formula za prelazak u novu bazu:
Algoritam za rješavanje logaritamskih nejednačina
Možemo reći da se logaritamske nejednakosti rješavaju pomoću specifičnog algoritma. Moramo zapisati raspon prihvatljivih vrijednosti (APV) nejednakosti. Nejednakost svesti na oblik. Znak ovdje može biti bilo koji: Važno je da s lijeve i desne strane u nejednakosti postoje logaritmi na istu osnovu.
I nakon toga „odbacujemo“ logaritme! Štaviše, ako je baza stepen , znak nejednakosti ostaje isti. Ako je baza takva da se predznak nejednakosti mijenja u suprotan.
Naravno, logaritme ne "bacamo" samo. Koristimo svojstvo monotonosti logaritamske funkcije. Ako je baza logaritma veća od jedan, logaritamska funkcija raste monotono, a tada veća vrijednost x odgovara većoj vrijednosti izraza.
Ako je baza veća od nule i manja od jedan, logaritamska funkcija se monotono smanjuje. Veća vrijednost argumenta x će odgovarati manjoj vrijednosti
Važna napomena: najbolje je rješenje napisati u obliku lanca ekvivalentnih prijelaza.
Pređimo na praksu. Kao i uvijek, počnimo s najjednostavnijim nejednačinama.
1. Razmotrimo nejednakost log 3 x > log 3 5.
Kako su logaritmi definirani samo za pozitivne brojeve, potrebno je da x bude pozitivan. Uvjet x > 0 naziva se raspon dozvoljenih vrijednosti (APV) ove nejednakosti. Samo za takav x nejednakost ima smisla.
Pa, ova formulacija zvuči poletno i lako se pamti. Ali zašto to još uvijek možemo učiniti?
Mi smo ljudi, imamo inteligenciju. Naš um je dizajniran na način da se sve što je logično, razumljivo i što ima unutrašnju strukturu pamti i primjenjuje mnogo bolje od nasumičnih i nepovezanih činjenica. Zato je važno ne mehanički pamtiti pravila kao dresirani pas matematike, već djelovati svjesno.
Pa zašto još uvijek “ispuštamo logaritme”?
Odgovor je jednostavan: ako je baza veća od jedan (kao u našem slučaju), logaritamska funkcija raste monotono, što znači da veća vrijednost x odgovara većoj vrijednosti y i iz nejednakosti log 3 x 1 > log 3 x 2 slijedi da je x 1 > x 2. 
Imajte na umu da smo prešli na algebarsku nejednakost, a znak nejednakosti ostaje isti.
Dakle, x > 5.
Sljedeća logaritamska nejednakost je također jednostavna.
2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Počnimo s rasponom prihvatljivih vrijednosti. Logaritmi su definisani samo za pozitivne brojeve, dakle
Rešavanjem ovog sistema dobijamo: x > 0.
Sada prijeđimo s logaritamske nejednakosti na algebarsku - "odbacimo" logaritme. Pošto je osnova logaritma veća od jedan, predznak nejednakosti ostaje isti.
15 + 3x > 2x.
Dobijamo: x > −15.
Odgovor: x > 0.
Ali šta se dešava ako je baza logaritma manja od jedan? Lako je pretpostaviti da će se u ovom slučaju, kada se prijeđe na algebarsku nejednakost, promijeniti predznak nejednakosti.
Dajemo primjer.
Hajde da zapišemo ODZ. Izrazi iz kojih se uzimaju logaritmi moraju biti pozitivni, tj
Rešavanjem ovog sistema dobijamo: x > 4.5.
Budući da , logaritamska funkcija s bazom opada monotono. To znači da veća vrijednost funkcije odgovara manjoj vrijednosti argumenta: 
I ako onda
2x − 9 ≤ x.
Dobijamo da je x ≤ 9.
S obzirom da je x > 4,5, zapisujemo odgovor:
U sledećem problemu eksponencijalna nejednakost svodi na kvadrat. Stoga preporučujemo ponavljanje teme „kvadratne nejednakosti“.
Sada za složenije nejednakosti:
4. Riješite nejednačinu
5. Riješite nejednačinu
Ako onda. Imali smo sreće! Znamo da je osnova logaritma veća od jedan za sve vrijednosti x uključene u ODZ.
Hajde da napravimo zamenu
Imajte na umu da prvo potpuno rješavamo nejednakost u odnosu na novu varijablu t. I tek nakon toga se vraćamo na varijablu x. Zapamtite ovo i nemojte praviti greške na ispitu!
Prisjetimo se pravila: ako jednadžba ili nejednačina sadrži korijene, razlomke ili logaritme, rješenje mora početi od raspona prihvatljivih vrijednosti. Kako osnova logaritma mora biti pozitivna, a ne jednaka jedinici, dobijamo sistem uslova:
Hajde da pojednostavimo ovaj sistem:
Ovo je raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti.
Vidimo da je varijabla sadržana u bazi logaritma. Pređimo na stalnu bazu. Da vas podsjetimo na to
IN u ovom slučaju Zgodno je otići u bazu 4.
Hajde da napravimo zamenu
Pojednostavimo nejednačinu i riješimo je metodom intervala:
Vratimo se na varijablu x:
Dodali smo uslov x> 0 (od ODZ).
7. Intervalnom metodom se može riješiti i sljedeći problem
Kao i uvijek, počinjemo rješavati logaritamsku nejednačinu iz raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom slučaju
Ovaj uslov mora biti ispunjen i mi ćemo se na njega vratiti. Pogledajmo za sada samu nejednakost. Zapišimo lijevu stranu kao logaritam bazi 3:
Desna strana se također može napisati kao logaritam na osnovu 3, a zatim prijeći na algebarsku nejednakost:
Vidimo da je uslov (odnosno ODZ) sada automatski ispunjen. Pa, ovo olakšava rješavanje nejednakosti.
Nejednakost rješavamo metodom intervala:
odgovor:
Desilo se? Pa, hajde da povećamo nivo težine:
8. Riješite nejednačinu:
Nejednakost je ekvivalentna sistemu:
9. Riješite nejednačinu:
Izraz 5 - x 2 se kompulzivno ponavlja u iskazu problema. To znači da možete izvršiti zamjenu:
Zbog eksponencijalna funkcija uzima samo pozitivne vrijednosti, t> 0. Onda
Nejednakost će imati oblik:
Već bolje. Nađimo raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti. To smo već rekli t> 0. Osim toga, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0
Ako je ovaj uslov ispunjen, tada će količnik biti pozitivan.
A izraz pod logaritmom na desnoj strani nejednakosti mora biti pozitivan, odnosno (625 t − 2) 2 .
To znači da 625 t− 2 ≠ 0, tj
Pažljivo zapišimo ODZ
i riješite rezultirajući sistem koristeći intervalna metoda.
dakle,
Eto, pola bitke je gotovo - sredili smo ODZ. Rješavamo samu nejednakost. Predstavimo zbir logaritama na lijevoj strani kao logaritam proizvoda.
Ciljevi lekcije:
Didaktički:
- Nivo 1 – naučiti kako rješavati najjednostavnije logaritamske nejednakosti, koristeći definiciju logaritma i svojstva logaritma;
- Nivo 2 – riješite logaritamske nejednačine, birajući vlastiti metod rješenja;
- Nivo 3 – biti u stanju primijeniti znanja i vještine u nestandardnim situacijama.
edukativni: razvijaju pamćenje, pažnju, logičko razmišljanje, vještine poređenja, sposobnost generalizacije i izvođenja zaključaka
edukativni: neguju tačnost, odgovornost za obavljeni zadatak i međusobnu pomoć.
Nastavne metode: verbalno , vizuelno , praktično , parcijalna pretraga , samouprava , kontrolu.
Oblici organizacije kognitivna aktivnost studenti: frontalni , pojedinac , Raditi u parovima.
Oprema: komplet test zadataka, prateće bilješke, prazne listove za rješenja.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat. Tema i ciljevi časa, plan časa se objavljuju: svakom učeniku se daje ocjenjivački list, koji učenik ispunjava tokom časa; za svaki par učenika - štampani materijali sa zadacima, zadaci se moraju raditi u paru; prazni listovi rješenja; potporni listovi: definicija logaritma; graf logaritamske funkcije, njena svojstva; svojstva logaritama; algoritam za rješavanje logaritamskih nejednačina.
Sve odluke nakon samoocenjivanja dostavljaju se nastavniku.
Učenički zapisnik
2. Ažuriranje znanja.
Uputstva nastavnika. Prisjetite se definicije logaritma, grafa logaritamske funkcije i njenih svojstava. Da biste to uradili, pročitajte tekst na str. 88–90, 98–101 udžbenika „Algebra i počeci analize 10–11“ koji su uredili Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin i drugi.
Učenicima se daju listovi na kojima je napisano: definicija logaritma; prikazuje graf logaritamske funkcije i njena svojstva; svojstva logaritama; algoritam za rješavanje logaritamskih nejednakosti, primjer rješavanja logaritamske nejednačine koja se svodi na kvadratnu.
3. Proučavanje novog gradiva.
Rješavanje logaritamskih nejednačina zasniva se na monotonosti logaritamske funkcije.
Algoritam za rješavanje logaritamskih nejednačina:
A) Pronađite oblast definicije nejednakosti (podlogaritamski izraz je veći od nule).
B) Predstavite (ako je moguće) lijevu i desnu stranu nejednakosti kao logaritme na istu bazu.
C) Odrediti da li se logaritamska funkcija povećava ili smanjuje: ako je t>1, onda raste; ako je 0
D) Idite na jednostavniju nejednakost (podlogaritamske izraze), vodeći računa da će predznak nejednakosti ostati isti ako se funkcija povećava i da će se promijeniti ako se smanji.
Element učenja #1.
Cilj: konsolidirati rješenje najjednostavnijih logaritamskih nejednačina
Oblik organizacije kognitivne aktivnosti učenika: individualni rad.
Zadaci za samostalan rad 10 minuta. Za svaku nejednakost postoji nekoliko mogućih odgovora; potrebno je odabrati tačan i provjeriti ga pomoću ključa.
KLJUČ: 13321, maksimalni broj bodova – 6 bodova.
Element učenja #2.
Cilj: konsolidirati rješenje logaritamskih nejednačina koristeći svojstva logaritama.
Uputstva nastavnika. Zapamtite osnovna svojstva logaritama. Da biste to učinili, pročitajte tekst udžbenika na str. 92, 103–104.
Zadaci za samostalan rad 10 minuta.
KLJUČ: 2113, maksimalni broj bodova – 8 bodova.
Element učenja #3.
Svrha: proučavanje rješenja logaritamskih nejednačina metodom redukcije na kvadratnu.
Upute nastavnika: metoda svođenja nejednakosti na kvadratnu je transformaciju nejednakosti u takav oblik da se određena logaritamska funkcija označi novom varijablom, čime se dobije kvadratna nejednakost u odnosu na ovu varijablu.
Koristimo metodu intervala.
Prešli ste prvi nivo savladavanja gradiva. Sada morate odabrati svoj vlastiti metod rješenja logaritamske jednačine koristeći sva svoja znanja i sposobnosti.
Element učenja #4.
Cilj: konsolidirati rješenje logaritamskih nejednačina samostalnim odabirom racionalne metode rješenja.
Zadaci za samostalan rad 10 minuta
Element učenja #5.
Uputstva nastavnika. Dobro urađeno! Savladali ste rješavanje jednačina drugog nivoa složenosti. Cilj vašeg daljeg rada je da svoja znanja i vještine primijenite u složenijim i nestandardnim situacijama.
Zadaci za samostalno rješavanje:
Uputstva nastavnika. Odlično je ako ste završili cijeli zadatak. Dobro urađeno!
Ocjena za cijeli čas zavisi od broja bodova za sve nastavne elemente:
- ako je N ≥ 20, onda dobijate ocjenu "5",
- za 16 ≤ N ≤ 19 – rezultat „4“,
- za 8 ≤ N ≤ 15 – rezultat “3”,
- kod N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Dostavite ocenjivanje nastavniku.
5. Zadaća: ako ste postigli najviše 15 bodova, poradite na svojim greškama (rješenja možete preuzeti od nastavnika), ako ste osvojili više od 15 bodova, uradite kreativni zadatak na temu „Logaritamske nejednakosti“.
Prilikom odlučivanja logaritamske nejednakosti uzimamo kao osnovu svojstva logaritamskih funkcija. Naime, ta funkcija at=log sjekira at A> 1 će se monotono povećavati, a na 0< A< 1 - монотонно убывающей.
Hajde da analiziramo transformacija neophodno za rješavanje nejednakosti
log 1/5 (x - l) > - 2.
U početku morate izjednačiti baze logaritama, u ovom slučaju prikazati desnu stranu u obliku logaritma sa potrebnim osnovu. Hajde da se transformišemo -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, tada označavamo odabranu nejednakost u obliku:
log 1/5 (x- l) > log 1/5 25.
Funkcija at= log 1/5 xće se monotono smanjivati. Ispada da veća vrijednost ove funkcije odgovara manjoj vrijednosti argumenta. I shodno tome imamo, X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0, što odgovara činjenici da je ispod znaka logaritam može postojati samo pozitivna vrijednost. Ispada da je ova nejednakost identična sistemu dvije linearne nejednakosti. S obzirom da je osnova logaritma manja od jedan, u identičnom sistemu znak nejednakosti je obrnut:
Nakon što smo to riješili vidimo da:
1 < х < 26.
Ima veliki značaj ne zaboravite uslov x- 1 > 0, inače ćete dobiti netačan zaključak: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.
LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI
Sečin Mihail Aleksandrovič
Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan “Iskatel”
MBOU "Sovetskaya Srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovetsky Sovetsky okrug
Gunko Ljudmila Dmitrijevna, MBOU nastavnik"Sovjetska srednja škola br. 1"
Sovetsky okrug
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih nejednačina C3 nestandardnim metodama, identifikacija zanimljivosti logaritam
Predmet studija:
3) Naučiti rješavati specifične logaritamske nejednačine C3 koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Sadržaj
Uvod………………………………………………………………………………………………….4
Poglavlje 1. Istorijat izdanja…………………………………………………………5
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7
2.2. Metoda racionalizacije………………………………………………………………………… 15
2.3. Nestandardna zamjena ................................................................ ............ ..... 22
2.4. Zadaci sa zamkama……………………………………………………27
Zaključak…………………………………………………………………………………………… 30
Književnost…………………………………………………………………………………. 31
Uvod
Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je osnovni predmet matematika. Zbog toga mnogo radim sa problemima u dijelu C. U zadatku C3 trebam riješiti nestandardnu nejednakost ili sistem nejednakosti, koji se obično odnosi na logaritme. Pripremajući se za ispit, susreo sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se proučavaju u školski program na ovu temu, ne daju osnovu za rješavanje C3 zadataka. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim C3 zadatke pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: da li se u životu susrećemo s logaritmima?
Imajući to na umu, odabrana je tema:
“Logaritmske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu”
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, identifikujući zanimljive činjenice o logaritmu.
Predmet studija:
1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.
2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.
3) Naučite da odlučujete specifične zadatke C3 koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje C3 problema. Ovaj materijal se može koristiti u nekim časovima, za klubove, vannastavne aktivnosti matematike.
Proizvod projekta će biti zbirka „C3 Logaritamske nejednakosti sa rješenjima“.
Poglavlje 1. Pozadina
Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećavao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi poslovi zahtijevali su kolosalne, ponekad višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile u drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite kamatne stope. Glavna poteškoća bilo je množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijskih veličina.
Otkriće logaritama zasnivalo se na svojstvima progresija koje su bile dobro poznate do kraja 16. veka. O vezi između članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetička progresija njihovi pokazatelji su 1, 2, 3,... Arhimed je govorio u svom “Psalmitisu”. Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, eksponencijacija i vađenje korijena u geometrijskoj progresiji odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju.
Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.
U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.
Faza 1
Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Bürgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo, pogodno sredstvo za aritmetička izračunavanja, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i time ušao u novo polje teorije funkcija. Bürgi je ostao na bazi razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je iz kombinacije grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "umjetni brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".
Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se nula uzme kao logaritam od jedan, a 100 kao logaritam od deset, ili, što znači isto stvar, samo 1. Ovako su štampani decimalni logaritmi i prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i zaljubljenik u matematiku Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, iako su došli do logaritma ranije od svih ostalih, objavili su svoje tabele kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin “prirodni logaritam” uveo je Mengoli 1659. godine, a zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj John Speidel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom “Novi logaritmi”.
Prve logaritamske tablice objavljene su na ruskom jeziku 1703. godine. Ali u svim logaritamskim tablicama bilo je grešaka u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu, obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804-1877).
Faza 2
Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tog vremena, veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodni logaritam. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.
Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u eseju
"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje ekspanziju ln(x+1) u
moći x:
Ovaj izraz tačno odgovara njegovom toku misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomazniji simbolizam. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima “Elementarna matematika sa višeg gledišta”, održanim 1907-1908, F. Klein je predložio korištenje formule kao polazne tačke za izgradnju teorije logaritama.
Faza 3
Definicija logaritamske funkcije kao inverzne funkcije
eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze
nije formulisano odmah. Esej Leonharda Ojlera (1707-1783)
"Uvod u analizu infinitezimima" (1748) poslužio je daljem
razvoj teorije logaritamskih funkcija. dakle,
Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi
(računajući od 1614. godine), prije nego što su matematičari došli do definicije
koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.
Ekvivalentni prelazi
, ako je a > 1
, ako je 0 <
а <
1
Metoda generaliziranog intervala
Ova metoda je najuniverzalnija za rješavanje nejednakosti gotovo bilo kojeg tipa. Dijagram rješenja izgleda ovako:
1. Dovedite nejednakost u oblik gdje je funkcija na lijevoj strani 
, a na desnoj strani 0.
2. Pronađite domenu funkcije .
3. Pronađite nule funkcije , odnosno riješiti jednačinu 
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).
4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na brojevnoj pravoj.
5. Odredite znakove funkcije na dobijenim intervalima.
6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.
Primjer 1.
Rješenje:
Primijenimo metodu intervala
gdje
Za ove vrijednosti, svi izrazi pod logaritamskim predznacima su pozitivni.
odgovor:
Primjer 2.
Rješenje:
1st način . ADL je određen nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobijamo
Posljednja nejednakost bi se mogla riješiti primjenom pravila ekspanzije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije
stoga se može primijeniti intervalna metoda.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnog predznaka funkcije f(x):
odgovor:
2. metoda . Hajde da direktno primenimo ideje intervalne metode na originalnu nejednakost.
Da biste to učinili, podsjetite da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost u x> 3 je ekvivalentno nejednakosti
ili
Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala
odgovor:
Primjer 3.
Rješenje:
Primijenimo metodu intervala
odgovor:
Primjer 4.
Rješenje:
Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To
Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala
U prvoj nejednakosti vršimo zamjenu
onda dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.
Odakle, jer
dobijamo nejednakost
koji se sprovodi kada x, za koji 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo
odgovor:
Primjer 5.
Rješenje:
Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema
ili
Koristimo metodu intervala ili
Odgovori:
Primjer 6.
Rješenje:
Sistem nejednakosti jednakosti
Neka
Onda y > 0,
i prva nejednakost
sistem poprima oblik
ili, odvijanje
kvadratni trinom faktorima,
Primjenom intervalne metode na posljednju nejednakost,
vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.
Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:
Dakle, rješenja za nejednakost su sva
2.2. Metoda racionalizacije.
Ranije se nejednakost nije rješavala metodom racionalizacije, nije bila poznata. Ovo je "nova moderna" efikasan metod rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikove)
A čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - poznaje li ga stručnjak za Jedinstveni državni ispit i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je nastavnik rekao učeniku: "Odakle ti to? Sedi - 2."
Sada se metoda svuda promoviše. A za stručnjake postoje smjernice povezane s ovom metodom, a u “Najpotpunijim izdanjima standardnih opcija...” u Rješenju C3 koristi se ova metoda.
DIVNA METODA!
"Čarobni sto"
U drugim izvorima
Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;
Ako a >1 i 0 ako je 0<a<1 и b
>1, zatim log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0. Provedeno rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina. Primjer 4.
log x (x 2 -3)<0
Rješenje:
Primjer 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Rješenje: Primjer 6.
Za rješavanje ove nejednakosti umjesto nazivnika pišemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika pišemo proizvod (x-1)(x-3-9 + x). Primjer 7.
Primjer 8.
2.3. Nestandardna zamjena. Primjer 1.
Primjer 2.
Primjer 3.
Primjer 4.
Primjer 5.
Primjer 6.
Primjer 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost dobiti oblik Log 4 log 0,25 Jer log 0,25 Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti, Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Primjer 8.
Rješenje:
Sistem nejednakosti jednakosti Rješenje druge nejednakosti koja definira ODZ bit će skup njih x,
za koji x > 0.
Za rješavanje prve nejednakosti vršimo zamjenu Tada dobijamo nejednakost ili Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo ili Mnogo toga x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema, a time i originalna nejednakost. odgovor: 2.4. Zadaci sa zamkama. Primjer 1.
Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 Primjer 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Odgovori. (0; 0,5)U.
Odgovori :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.
odnosno agregati 
. Dakle, originalna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Dakle, svi x su iz intervala 0
Zaključak
Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.
Različitim metodama riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod moje aktivnosti. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako poznajete ove metode.
Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.
Zaključci:
Time je cilj projekta postignut i problem riješen. I dobio sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.
Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost da dobijem informacije iz različitih izvora, provjerim njihovu pouzdanost i rangiram ih po važnosti.
Pored neposrednih predmetnih znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda i naučio da sarađujem sa odraslima. Tokom projektnih aktivnosti razvijene su organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.
Književnost
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (standardni zadaci C3).
2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.
3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednačina.
4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-
