Kako se zove sistem brze mentalne aritmetike? Mentalno brojanje: kako naučiti računati u glavi. Množenje sume brojem

Mentalno brojanje, kao i sve ostalo, ima svoje trikove, a da biste brže naučili brojati morate znati te trikove i znati ih primijeniti u praksi.

Danas ćemo uraditi upravo to!

1. Kako brzo sabirati i oduzimati brojeve

Pogledajmo tri slučajna primjera:

  1. 25 – 7 =
  2. 34 – 8 =
  3. 77 – 9 =

Kao 25 ​​– 7 = (20 + 5) – (5- 2) = 20 – 2 = (10 + 10) – 2 = 10 + 8 = 18

Složite se da je takve operacije teško izvoditi u svojoj glavi.

Ali postoji lakši način:

25 – 7 = 25 – 10 + 3, jer -7 = -10 + 3

Mnogo je lakše oduzeti 10 od broja i dodati 3 nego praviti komplikovane proračune.

Vratimo se našim primjerima:

  1. 25 – 7 =
  2. 34 – 8 =
  3. 77 – 9 =

Hajdemo optimizirati oduzete brojeve:

  1. Oduzmi 7 = oduzmi 10 dodaj 3
  2. Oduzmi 8 = oduzmi 10 dodaj 2
  3. Oduzmi 9 = oduzmi 10 dodaj 1

Ukupno dobijamo:

  1. 25 – 10 + 3 =
  2. 34 – 10 + 2 =
  3. 77 – 10 + 1 =

Sada je mnogo zanimljivije i lakše!

Sada izračunajte primjere u nastavku na ovaj način:

  1. 91 – 7 =
  2. 23 – 6 =
  3. 24 – 5 =
  4. 46 – 8 =
  5. 13 – 7 =
  6. 64 – 6 =
  7. 72 – 19 =
  8. 83 – 56 =
  9. 47 – 29 =

2. Kako brzo pomnožiti sa 4, 8 i 16

U slučaju množenja, brojeve razbijamo i na jednostavnije, na primjer:

Ako se sjećate tablice množenja, onda je sve jednostavno. A ako ne?

Zatim morate pojednostaviti operaciju:

Prvo stavljamo najveći broj, a drugi rastavljamo na jednostavnije:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = ?

Udvostručiti brojeve je mnogo lakše nego učetverostručiti ili osmorati.

Dobijamo:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = 16 * 2 = 32

Primjeri razlaganja brojeva na jednostavnije:

  1. 4 = 2*2
  2. 8 = 2*2 *2
  3. 16 = 22 * 2 2

Vježbajte ovu metodu koristeći sljedeće primjere:

  1. 3 * 8 =
  2. 6 * 4 =
  3. 5 * 16 =
  4. 7 * 8 =
  5. 9 * 4 =
  6. 8 * 16 =

3. Deljenje broja sa 5

Uzmimo sljedeće primjere:

  1. 780 / 5 = ?
  2. 565 / 5 = ?
  3. 235 / 5 = ?

Dijeljenje i množenje brojem 5 uvijek je vrlo jednostavno i ugodno, jer je pet polovina desetice.

I kako ih brzo riješiti?

  1. 780 / 10 * 2 = 78 * 2 = 156
  2. 565 /10 * 2 = 56,5 * 2 = 113
  3. 235 / 10 * 2 = 23,5 *2 = 47

Da biste proradili kroz ovu metodu, riješite sljedeće primjere:

  1. 300 / 5 =
  2. 120 / 5 =
  3. 495 / 5 =
  4. 145 / 5 =
  5. 990 / 5 =
  6. 555 / 5 =
  7. 350 / 5 =
  8. 760 / 5 =
  9. 865 / 5 =
  10. 1270 / 5 =
  11. 2425 / 5 =
  12. 9425 / 5 =

4. Množenje jednocifrenim brojem

Množenje je malo teže, ali ne mnogo, kako biste riješili sljedeće primjere?

  1. 56 * 3 = ?
  2. 122 * 7 = ?
  3. 523 * 6 = ?

Bez posebnih brojača, njihovo rješavanje nije baš ugodno, ali zahvaljujući metodi “Zavadi pa vladaj” možemo ih mnogo brže prebrojati:

  1. 56 * 3 = (50 + 6)3 = 50 3 + 6*3 = ?
  2. 122 * 7 = (100 + 20 + 2)7 = 100 7 + 207 + 2 7 = ?
  3. 523 * 6 = (500 + 20 + 3)6 = 500 6 + 206 + 3 6 =?

Sve što treba da uradimo je da pomnožimo jednocifrene brojeve, od kojih neki imaju nule, i saberemo rezultate.

Da biste radili kroz ovu tehniku, riješite sljedeće primjere:

  1. 123 * 4 =
  2. 236 * 3 =
  3. 154 * 4 =
  4. 490 * 2 =
  5. 145 * 5 =
  6. 990 * 3 =
  7. 555 * 5 =
  8. 433 * 7 =
  9. 132 * 9 =
  10. 766 * 2 =
  11. 865 * 5 =
  12. 1270 * 4 =
  13. 2425 * 3 =

    14. Deljivost broja sa 2, 3, 4, 5, 6 i 9

Provjerite brojeve: 523, 221, 232

Broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

Na primjer, uzmite broj 732, predstavite ga kao 7 + 3 + 2 = 12. 12 je djeljiv sa 3, što znači da je broj 372 djeljiv sa 3.

Provjerite koji od sljedećih brojeva je djeljiv sa 3:

12, 24, 71, 63, 234, 124, 123, 444, 2422, 4243, 53253, 4234, 657, 9754

Broj je djeljiv sa 4 ako je broj koji se sastoji od zadnje dvije cifre djeljiv sa 4.

Na primjer, 1729. Zadnje dvije cifre čine 20, što je djeljivo sa 4.

Provjerite koji od sljedećih brojeva je djeljiv sa 4:

20, 24, 16, 34, 54, 45, 64, 124, 2024, 3056, 5432, 6872, 9865, 1242, 2354

Broj je djeljiv sa 5 ako mu je zadnja cifra 0 ili 5.

Provjerite koji od sljedećih brojeva je djeljiv sa 5 (najlakša vježba):

3, 5, 10, 15, 21, 23, 56, 25, 40, 655, 720, 4032, 14340, 42343, 2340, 243240

Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i sa 2 i sa 3.

Provjerite koji od sljedećih brojeva je djeljiv sa 6:

22, 36, 72, 12, 34, 24, 16, 26, 122, 76, 86, 56, 46, 126, 124

Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.

Na primjer, uzmite broj 6732, predstavite ga kao 6 + 7 + 3 + 2 = 18. 18 je djeljiv sa 9, što znači da je broj 6732 djeljiv sa 9.

Provjerite koji od sljedećih brojeva je djeljiv sa 9:

9, 16, 18, 21, 26, 29, 81, 63, 45, 27, 127, 99, 399, 699, 299, 49

Igra "Brzo dodavanje"

  1. Ubrzava mentalno brojanje
  2. Trenira pažnju
  3. Razvija kreativno razmišljanje

Odličan simulator za razvoj brzog brojanja. Na ekranu je data tabela 4x4, a iznad nje su prikazani brojevi. Najviše veliki broj potrebno je sakupiti u tabelu. Da biste to učinili, kliknite na dva broja čiji je zbir jednak ovom broju. Na primjer, 15+10 = 25.

Igra "Brzo brojanje"

Igra "brzo brojanje" će vam pomoći da poboljšate svoje razmišljanje. Suština igre je da na slici koja vam je predstavljena treba da odaberete odgovor "da" ili "ne" na pitanje "da li postoji 5 identičnih plodova?" Pratite svoj cilj i ova igra će vam pomoći u tome.

Igra "Pogodi operaciju"

Igra “Pogodi operaciju” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna stvar igri, morate odabrati matematički znak da bi jednakost bila istinita. Primjeri su dati na ekranu, pažljivo pogledajte i stavite traženi znak “+” ili “-” kako bi jednakost bila tačna. Znakovi “+” i “-” nalaze se na dnu slike, odaberite željeni znak i kliknite na željeno dugme. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.

Igra "Pojednostavljenje"

Igra “Pojednostavljenje” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je brzo izvođenje matematičke operacije. Učenik je nacrtan na ekranu na tabli i data je matematička operacija; učenik treba da izračuna ovaj primjer i napiše odgovor. Ispod su tri odgovora, izbrojite i kliknite na broj koji vam je potreban pomoću miša. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.

Današnji zadatak

Riješite sve primjere i vježbajte najmanje 10 minuta u igri Quick Addition.

Vrlo je važno proraditi sve zadatke u ovoj lekciji. Što bolje obavite zadatke, to ćete dobiti više koristi. Ako smatrate da nemate dovoljno zadataka, možete sami kreirati primjere i rješavati ih te vježbati matematičke edukativne igre.

Lekcija preuzeta iz kursa "Mal račun za 30 dana"

Naučite brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i puštati korijene. Naučit ću vas kako da koristite jednostavne tehnike za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Ostali razvojni kursevi

Novac i način razmišljanja milionera

Zašto postoje problemi sa novcem? U ovom kursu ćemo detaljno odgovoriti na ovo pitanje, pogledati duboko u problem i razmotriti naš odnos s novcem sa psihološke, ekonomske i emocionalne tačke gledišta. Sa kursa ćete naučiti šta trebate učiniti da riješite sve svoje finansijske probleme, počnete štedjeti novac i uložiti ga u budućnost.

Poznavanje psihologije novca i načina rada s njim čini osobu milionerom. 80% ljudi uzima sve više kredita kako im prihod raste, postajući još siromašniji. S druge strane, milioneri koji su sami napravili će ponovo zaraditi milione za 3-5 godina ako počnu od nule. Ovaj kurs vas uči kako pravilno raspodijeliti prihode i smanjiti troškove, motivira vas na učenje i postizanje ciljeva, uči vas kako uložiti novac i prepoznati prevaru.

Brzo čitanje za 30 dana

Povećajte brzinu čitanja za 2-3 puta u 30 dana. Od 150-200 do 300-600 riječi u minuti ili od 400 do 800-1200 riječi u minuti. Kurs koristi tradicionalne vježbe za razvoj brzog čitanja, tehnike koje ubrzavaju rad mozga, metode za progresivno povećanje brzine čitanja, psihologiju brzog čitanja i pitanja polaznika kursa. Pogodno za djecu i odrasle koji čitaju do 5000 riječi u minuti.

Razvoj pamćenja i pažnje kod djeteta od 5-10 godina

Svrha kursa: razviti djetetovo pamćenje i pažnju kako bi mu bilo lakše učiti u školi, kako bi bolje pamtilo.

Nakon završenog kursa dijete će moći:

  1. 2-5 puta bolje pamtiti tekstove, lica, brojeve, riječi
  2. Naučite da pamtite na duži vremenski period
  3. Brzina prisjećanja potrebnih informacija će se povećati

Super memorija za 30 dana

Pamtite potrebne informacije brzo i dugo. Pitate se kako da otvorite vrata ili operete kosu? Sigurna sam da nije, jer je ovo dio našeg života. Lagane i jednostavne vježbe za trening pamćenja mogu postati dio vašeg života i raditi ih malo tokom dana. Ako se pojede dnevna norma obroke odjednom, ili možete jesti u porcijama tokom dana.

Sposobnost brze analize situacije, izračunavanja razvojnih opcija i stvaranja jedinstvene slike stvarnosti jedna je od ključnih vještina visoko učinkovitih ljudi. Lični razvoj nemoguće bez intelektualca, što je olakšano brzim proračunima u umu. Općenito, u članku ćemo govoriti o tehnici povećanja brzine razmišljanja.

Kako nas naš mozak vara

Istraživanja u području funkcije mozga pružaju podatke u koje je teško povjerovati. Većina stanovništva sebe smatra kustosom mozga. Ali ovo je iluzorna ideja. Zapravo, mozak je već donio odluku umjesto vas i prenio je u svijest putem nervnih impulsa.

Ljudsko razmišljanje praktički nije proučavano, sastavljena je samo mala slika onoga što se dešava u mozgu. Grubo govoreći, naše akcije nisu određene našim vlastitim „ja“, iako je ovo vrlo nejasna formulacija. A znajući to, možete početi proučavati tehniku ​​brzog brojanja u svojoj glavi.

Kako efikasnije učiti

Pamćenje se diferencira na dugotrajno i kratkoročno; u prvom slučaju, znanje je zauvijek pohranjeno u mozgu. A druga vrsta je neophodna za pamćenje informacija i čitanje.

Moderan mladić je multimedijalna ličnost sa klip razmišljanjem. Izuzetno mu je teško pohraniti podatke u dugotrajnu memoriju, jer mu konstantan protok informacija zatrpava “hard disk”.

Stoga bi se učenje brzog brojanja u glavi trebalo odvijati u mirnom stanju, kada osobu ne ometaju vanjski podražaji. Inače će za nekoliko sati sve zaboraviti.

Zašto bih ovo naučio?

Da, trenutno nema potrebe da dodajete brojeve u svojoj glavi. Za to su izmišljena posebna tehnička sredstva, ali neupotreba mozga dovodi do degradacije ličnosti.

A potraga za znanjem je vječnost. Takvi ljudi su sigurni u sebe, oslanjaju se samo na svoje snage, a stečene vještine koriste za namjeravanu svrhu, obogaćujući pojedinca duhovno i materijalno. Brza mentalna aritmetika razvija osjećaj kontrole kod osobe i povećava koncentraciju.

Prvi metod. Za lenjive

Vlasnici uređaja na Andorod i IOS platformama mogu preuzeti obrazovne aplikacije i igre. Neuroznanstvenici savjetuju sveobuhvatan pristup brzoj mentalnoj aritmetici. Obuka se odvija u nekoliko faza, opisanih u nastavku:

  1. Aplikacije se preuzimaju za razvoj pažnje, koncentracije itd.
  2. Zatim korisnik preuzima programere memorije.

U prvoj akciji čovjek priprema svoj mozak, da tako kažem, zagrijava ga za intenzivan trening. Nakon toga počinje da radi na aritmetici u svojoj glavi. Imajte na umu da aplikacije treba lako regulisati, kako smanjiti ili povećati nivo težine zadataka, tako i promijeniti vrijeme za rad na njemu.

Metod dva. Osnovno znanje

Za brzi početak, odabrani su zadaci početnog nivoa. Sabiranje i oduzimanje malih brojeva, kao što su 3 i 10. Tehnika se zove "Osnova desetice".

Procedura:

  1. Postavljajte jednostavna pitanja, na primjer koliko je 3 + 8 ili 9 + 1. Odgovor: 11 i 10.
  2. Koliko je potrebno broju 10 da postane 14? Odgovor: 4.
  3. Zatim uzmite bilo koji broj, na primjer, 9, i saznajte koliko 2 ima u ovom broju, a ako postoji nedostatak, dodajte znamenke koje nedostaju. Odgovor: četiri dvojke + 1.
  4. Dodajte broj iz druge radnje (4) dijelu koji je nedostajao da dobijete (1) devet i zbrojite ih. Odgovor: 5.

Usavršite svoju vještinu do savršenstva i tek onda prijeđite na složenije testove.

Treći metod. Višecifreni brojevi

Ovdje se koriste vještine stečene u školi. Sabiranje kolona ili redova je najpopularnije među školarcima i studentima bez računarskih resursa. Pogledajmo dva broja kao primjer: 1345 i 6789. Prvo, hajde da ih razlikujemo:

  • Broj 1234 se sastoji od 1000, 200, 30 i 4.
  • A 6789 je od 6000, 700, 80 i 9.

Brzi mentalni proračun prolazi kroz sljedeće korake:

  1. U početku se dodaju jednocifrene vrijednosti, to je 4 + 9 = 13.
  2. Dodaje 30 + 80 = 110.
  3. Pređimo na trocifrene brojeve, 700 + 200 = 900.
  4. A onda brojimo četiri znamenke: 1000 + 6000 = 7000.
  5. Hajde da sumiramo: 7000 + 900 + 110 + 13 = 8023 i provjerite na kalkulatoru.

I brži, ali maštovitiji način:

  1. Zamišljamo jedan broj iznad drugog u našoj glavi.
  2. Dodajte brojeve počevši od kraja.
  3. Ako je 4 + 9 = 13, stavite jedinicu u glavu i dodajte sljedeće brojeve konačnoj vrijednosti.

Na snimku ekrana ova metoda je predstavljena ovako; po vašem mišljenju trebala bi imati sličnu strukturu.

Metod četiri. Oduzimanje

Kao i kod sabiranja, oduzimanje počinje uvodnom lekcijom. Pažnja osobe treba biti usmjerena isključivo na brojanje numeričke vrijednosti. Ne možete biti ometani stranim zvukovima, inače od toga neće biti ništa. Ovaj put oduzimamo 8 od 10 i vidimo šta će iz toga proizaći:

  1. Prvo, hajde da saznamo koliko treba da oduzmete od deset da biste dobili osam. Odgovor: dva.
  2. Od deset oduzimamo osam u dijelovima - prvo ova dva, a zatim preostale brojeve. I hajde da izračunamo koliko puta trebate oduzeti da dobijete nulu. Odgovor: pet.
  3. Oduzmite pet od deset. Odgovor: pet.
  4. I oduzmite dobijeni odgovor od osam. Odgovor: tri.

Peta metoda. Kombinovano

Pojavio se kao rezultat interakcije sabiranja i oduzimanja. Ideja je jednostavna, potrebno je uzeti broj i početi oduzimati od njega različiti brojevi ili dodati sa nekim reformacijama. Broj 9 se uzima kao početni, počnimo:

  1. Šest se oduzima od devet i četiri se dodaje istovremeno. Odgovor: sedam.
  2. Sedmica je podijeljena na sastavne dijelove, na primjer: 2 + 3 + 2.
  3. I svakom se dodaje nasumična vrijednost, uzmimo 2. Ispada, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5 i 2 + 2 = 4.
  4. Zbrojimo rezultirajuće brojeve: 4 + 5 + 4 = 13.
  5. Ponovo raspoređujemo vrijednost u dijelove i ponavljamo korake, koristeći samo oduzimanje.

A sa oduzimanjem velikih brojeva situacija je slična sabiranju. Izgovarajte sve radnje naglas kako bi se ubrzalo nekoliko vrsta memorije i brzih mentalnih proračuna.

Koliko je vremena potrebno da postanete supermen?

Postoje četiri glavne matematičke operacije:

  1. Oduzimanje.
  2. Dodatak.
  3. Množenje.
  4. Division.

A sve će zavisiti od toga koliko često se osoba bavi treningom mozga. Uz plodonosni rad od 15-20 minuta dnevno, primjetan rezultat će doći za dva ili tri mjeseca. Da bi održao efekat brzog proračuna, supermen će morati da provede samo 2-3 minuta dnevno ponavljajući ono što je naučio. I za nekoliko godina to će postati navika, a pojedinac neće ni primijetiti, kako misli u svom umu.

Zašto računati u svojoj glavi kada bilo koji aritmetički zadatak možete riješiti na kalkulatoru. Moderna medicina i psihologija dokazuju da je mentalna aritmetika vježba za sive ćelije. Izvođenje takve gimnastike neophodno je za razvoj pamćenja i matematičkih sposobnosti.

Postoje mnoge tehnike za pojednostavljivanje mentalnih proračuna. Svi koji su vidjeli čuvenu sliku Bogdanova-Belskog "Oral Abacus" uvijek su iznenađeni - kako seljačka djeca rješavaju tako težak problem kao što je dijeljenje zbira pet brojeva koji se prvo moraju kvadrirati?

Ispostavilo se da su ova djeca učenici poznatog nastavnika matematike Sergeja Aleksandroviča Rachitskog (on je također prikazan na slici). To nisu čuda od djece - studenti osnovne razrede seoska škola iz 19. veka. Ali svi oni već znaju kako pojednostaviti aritmetičke proračune i naučili su tablicu množenja! Stoga su ova djeca sasvim sposobna riješiti takav problem!

Tajne mentalnog brojanja

Postoje tehnike mentalnog brojanja - jednostavne algoritme koje je poželjno dovesti do automatizacije. Nakon savladavanja jednostavnih tehnika, možete preći na savladavanje složenijih.

Dodaj brojeve 7,8,9

Da bi se proračuni pojednostavili, brojevi 7,8,9 prvo se moraju zaokružiti na 10, a zatim oduzeti. Na primjer, da biste dodali 9 dvocifrenom broju, prvo morate dodati 10, a zatim oduzeti 1, itd.

Primjeri :

Brzo dodajte dvocifrene brojeve

Ako je zadnja znamenka dvocifrenog broja veća od pet, zaokružite je naviše. Izvodimo sabiranje i oduzimamo „sabiranje“ od rezultirajućeg iznosa.

Primjeri :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Ako je posljednja znamenka dvocifrenog broja manja od pet, onda zbrojite po ciframa: prvo dodajte desetice, a zatim jedinice.

Primjer :

57+32=57+30+2=89

Ako su pojmovi zamijenjeni, tada možete prvo zaokružiti broj 57 na 60, a zatim ga oduzeti od ukupan iznos 3:

32+57=32+60-3=89

Sabiranje trocifrenih brojeva u glavi

Brzo brojanje i sabiranje trocifrenih brojeva - je li moguće? Da. Da biste to učinili, trebate raščlaniti trocifrene brojeve na stotine, desetice, jedinice i dodati ih jedan po jedan.

Primjer :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Značajke oduzimanja: svođenje na okrugle brojeve

Oduzete zaokružujemo na 10, na 100. Ako treba da oduzmete dvocifreni broj, morate ga zaokružiti na 100, oduzeti, a zatim dodati ispravku ostatku. Ovo je tačno ako je korekcija mala.

Primjeri :

576-88=576-100+12=488

Oduzmite trocifrene brojeve u svojoj glavi

Ako je u jednom trenutku sastav brojeva od 1 do 10 bio dobro savladan, tada se oduzimanje može vršiti u dijelovima i naznačenim redoslijedom: stotine, desetice, jedinice.

Primjer :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Pomnožite i podijelite

Odmah množite i dijelite u svojoj glavi? Ovo je moguće, ali ne možete to učiniti bez poznavanja tablice množenja. - ovo je zlatni ključ za brzu mentalnu aritmetiku! Koristi se i za množenje i za dijeljenje. Setimo se toga u osnovna škola seoska škola u predrevolucionarnoj Smolenskoj provinciji (slika „Usmeno računanje“), djeca su znala nastavak tablice množenja - od 11 do 19!

Iako je, po mom mišljenju, dovoljno poznavati tabelu od 1 do 10 da biste mogli množiti veće brojeve. Na primjer:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Pomnožite i podijelite sa 4, 6, 8, 9

Nakon što ste savladali tablicu množenja sa 2 i 3 do točke automatizma, izrada drugih proračuna bit će laka kao ljuštenje krušaka.

Za množenje i dijeljenje dvocifrenih i trocifrenih brojeva koristimo jednostavne tehnike:

    množi se sa 4 množi se sa 2 dvaput;

    pomnožite sa 6 - to znači pomnožite sa 2, a zatim sa 3;

    množenje sa 8 se množi sa 2 tri puta;

    Množenje sa 9 je množenje sa 3 dvaput.

Na primjer :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2) 3=824 3=2472

Isto tako:

    podijeljeno sa 4 je podijeljeno sa 2 dvaput;

    podijeliti sa 6 znači prvo podijeliti sa 2, a zatim sa 3;

    podijeljeno sa 8 je podijeljeno sa 2 tri puta;

    deljenje sa 9 je deljenje sa 3 dva puta.

Na primjer :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Kako pomnožiti i podijeliti sa 5

Broj 5 je polovina od 10 (10:2). Stoga prvo pomnožimo sa 10, a zatim rezultat podijelimo na pola.

Primjer :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Više jednostavnije pravilo podjela sa 5. Prvo pomnožite sa 2, a zatim rezultat podijelite sa 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Pomnožite sa 9

Da biste broj pomnožili sa 9, nije potrebno da ga pomnožite dva puta sa 3. Dovoljno je da ga pomnožite sa 10 i od dobijenog broja oduzmete pomnoženi broj. Hajde da uporedimo šta je brže:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Takođe, odavno su uočeni posebni obrasci koji značajno pojednostavljuju množenje dvocifrenih brojeva sa 11 ili 101. Dakle, kada se pomnoži sa 11, dvocifreni broj izgleda kao da se razmiče. Brojevi koji ga čine ostaju na rubovima, a njihov zbir je u sredini. Na primjer: 24*11=264. Prilikom množenja sa 101, dovoljno je dodati isto dvocifrenom broju. 24*101= 2424. Jednostavnost i logika ovakvih primjera je vrijedna divljenja. Takvi problemi se javljaju vrlo rijetko - ovo su zabavni primjeri, takozvani mali trikovi.

Brojanje na prste

Danas još uvijek možete sresti mnoge branitelje" gimnastiku prstiju“i metode mentalnog brojanja na prste. Uvjereni smo da je učenje sabiranja i oduzimanja savijanjem i odvajanjem prstiju vrlo vizualno i praktično. Raspon takvih proračuna je vrlo ograničen. Čim proračuni pređu okvire jedne operacije, nastaju poteškoće: morate savladati sljedeću tehniku. I nekako je nedostojanstveno savijati prste u eri iPhonea.

Na primjer, u odbranu metode “prst” navodi se tehnika množenja sa 9. Trik tehnike je sljedeći:

  • Da biste pomnožili bilo koji broj unutar prvih deset sa 9, trebate okrenuti dlanove prema sebi.
  • Brojeći s lijeva na desno, savijte prst koji odgovara broju koji se množi. Na primjer, da biste pomnožili 5 sa 9, trebate saviti mali prst na lijevoj ruci.
  • Preostali broj prstiju na lijevoj strani odgovara deseticama, na desnoj - jedinicama. U našem primjeru - 4 prsta na lijevoj i 5 na desnoj strani. Odgovor: 45.

Da, zaista, rješenje je brzo i jasno! Ali ovo je iz domena trikova. Pravilo se primjenjuje samo kada se množi sa 9. Nije li lakše naučiti tablicu množenja da množite 5 sa 9? Ovaj trik će biti zaboravljen, ali dobro naučena tablica množenja će ostati zauvijek.

Postoji i mnogo sličnih tehnika koje koriste prste za neke pojedinačne matematičke operacije, ali to je relevantno dok ga koristite i odmah se zaboravlja kada ga prestanete koristiti. Stoga je bolje naučiti standardne algoritme koji će ostati za cijeli život.

Usmeno brojanje na mašini

    Prvo, morate dobro poznavati sastav brojeva i tablicu množenja.

    Drugo, morate zapamtiti tehnike za pojednostavljivanje proračuna. Kako se pokazalo, takvih matematičkih algoritama nema toliko.

    Treće, da bi se tehnika pretvorila u zgodnu vještinu, morate stalno provoditi kratke sesije "brainstorming" - vježbajte mentalne proračune koristeći jedan ili drugi algoritam.

Trening bi trebao biti kratak: riješite 3-4 primjera u svojoj glavi koristeći istu tehniku, a zatim prijeđite na sljedeći. Moramo nastojati iskoristiti svaku slobodnu minutu – i korisno i ne dosadno. Zahvaljujući jednostavnoj obuci, svi proračuni će se na kraju izvoditi munjevitom brzinom i bez grešaka. Ovo će biti vrlo korisno u životu i pomoći će u teškim situacijama.

Ovaj članak je inspirisan temom „Kako i koliko brzo računate u glavi na osnovnom nivou?“ i namijenjen je širenju tehnika S.A. Rachinsky za usmeno brojanje.
Rachinsky je bio divan učitelj koji je predavao u seoske škole u 19. vijeku i iz vlastitog iskustva pokazali da je moguće razviti vještinu brzog mentalnog računanja. Njegovim studentima nije bilo posebno teško izračunati takav primjer u njihovim glavama:

Korištenje okruglih brojeva
Jedna od najčešćih tehnika mentalnog brojanja je da se bilo koji broj može predstaviti kao zbir ili razlika brojeva, od kojih su jedan ili više "okrugli":

Jer on 10 , 100 , 1000 itd. brže je množiti okrugle brojeve; u svom umu morate sve svesti na tako jednostavne operacije kao što su 18 x 100 ili 36 x 10. U skladu s tim, lakše je dodati tako što ćete "odvojiti" okrugli broj, a zatim dodati "rep": 1800 + 200 + 190 .
Drugi primjer:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Pojednostavimo množenje dijeljenjem
Kada mentalno računate, može biti zgodnije raditi s dividendom i djeliteljem, a ne s cijelim brojem (na primjer, 5 predstavljaju u formi 10:2 , A 50 as 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800: 100 = 68.
Množenje ili dijeljenje sa vrši se na isti način. 25 , nakon svega 25 = 100:4 . Na primjer,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400: 4 = 600.
Sada se ne čini nemogućim da se umnoži u svojoj glavi 625 on 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.
Kvadriranje dvocifrenog broja
Ispada da je za jednostavno kvadriranje bilo kojeg dvocifrenog broja dovoljno zapamtiti kvadrate svih brojeva iz 1 prije 25 . Srećom, kvadrati gore 10 već znamo iz tablice množenja. Preostale kvadrate možete vidjeti u tabeli ispod:

Tehnika Rachinskog je sljedeća. Da biste pronašli kvadrat bilo kojeg dvocifrenog broja, potrebna vam je razlika između ovog broja i 25 pomnoži sa 100 i rezultirajućem proizvodu dodajte kvadrat komplementa datog broja 50 ili kvadrat njegovog viška preko 50 -Yu. Na primjer,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
Uglavnom ( M- dvocifreni broj):

Pokušajmo primijeniti ovaj trik kada kvadriramo trocifreni broj, prvo ga razbijemo na manje pojmove:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Hm, ne bih rekao da je to mnogo lakše nego postaviti u stub, ali možda se s vremenom naviknete.
I, naravno, trebali biste početi trenirati kvadriranjem dvocifrenih brojeva, a odatle možete doći i do rastavljanja u glavi.

Množenje dvocifrenih brojeva
Ovu zanimljivu tehniku ​​osmislio je 12-godišnji učenik Rachinskog i jedna je od opcija za dodavanje okruglom broju.
Neka su data dva dvocifrena broja čiji je zbir jedinica 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Sastavljajući njihov proizvod, dobijamo:

Na primjer, izračunajmo 77 x 13. Zbir jedinica ovih brojeva je jednak 10 , jer 7 + 3 = 10 . Prvo stavljamo manji broj ispred većeg: 77 x 13 = 13 x 77.
Da bismo dobili okrugle brojeve, uzimamo tri jedinice iz 13 i dodajte ih 77 . Sada pomnožimo nove brojeve 80 x 10, a rezultatu dodajemo proizvod odabranog 3 jedinica razlikom starog broja 77 i novi broj 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Ova tehnika ima poseban slučaj: sve je uvelike pojednostavljeno kada dva faktora imaju isti broj desetica. U ovom slučaju, broj desetica se množi brojem koji ga slijedi, a rezultat jedinica ovih brojeva dodaje se rezultatu. Pogledajmo koliko je ova tehnika elegantna na primjeru.
48 x 42. Broj desetica 4 , sljedeći broj: 5 ; 4 x 5 = 20 . Proizvod jedinica: 8 x 2 = 16 . Dakle 48 x 42 = 2016.
99 x 91. Broj desetica: 9 , sljedeći broj: 10 ; 9 x 10 = 90 . Proizvod jedinica: 9 x 1 = 09 . Dakle 99 x 91 = 9009.
Da, odnosno množiti 95 x 95, samo broji 9 x 10 = 90 I 5 x 5 = 25 i odgovor je spreman:
95 x 95 = 9025.
Tada se prethodni primjer može izračunati malo jednostavnije:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 00 + 20 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Umjesto zaključka
Čini se, zašto biste mogli da brojite u svojoj glavi u 21. veku, kada možete jednostavno da date glasovnu komandu svom pametnom telefonu? Ali ako razmislite o tome, šta će se dogoditi sa čovječanstvom ako na mašine stavi ne samo fizički rad, već i bilo kakav mentalni rad? Zar to nije ponižavajuće? Čak i ako mentalnu aritmetiku ne smatrate samoj sebi svrhom, ona je sasvim prikladna za treniranje uma.

Reference:
“1001 zadatak za mentalnu aritmetiku u školi S.A. Rachinski".

UVOD

Matematika je u svako doba bila i ostala jedan od glavnih predmeta u školi, jer je matematičko znanje neophodno svim ljudima. Ne zna svaki učenik, dok studira u školi, koju će profesiju izabrati u budućnosti, ali svi shvaćaju da je matematika neophodna za rješavanje mnogih životnih problema: kalkulacije u prodavnici, plaćanje režija, izračun porodičnog budžeta itd. Osim toga, svi školarci moraju polagati ispite u 9. i 11. razredu, a za to je, učeći od 1. razreda, potrebno dobro savladati matematiku i prije svega naučiti računati.

Da li je moguće zamisliti svijet bez brojeva? Bez brojeva ne možete obaviti kupovinu, ne možete saznati vrijeme, ne možete birati broj telefona. A šta je sa svemirskim brodovima, laserima i svim ostalim tehničkim dostignućima?! One bi jednostavno bile nemoguće da nije bilo nauke o brojevima.

Dva elementa dominiraju matematikom - brojevi i figure sa svojim beskonačnim nizom svojstava i odnosa. U mom radu prednost se daje elementima brojeva i akcijama s njima.

Sada, u fazi naglog razvoja informatike i kompjuterske tehnologije, savremeni školarci ne žele da se zamaraju mentalnom aritmetikom. Tako sam odlučiopokazuju ne samo da sam proces izvođenja radnje može biti važan, već i zanimljiva aktivnost.

Cilj: proučavaju tehnike brzog brojanja, pokazuju potrebu za njihovom upotrebom radi pojednostavljenja proračuna.

U skladu sa ciljem, odredili smo zadaci:

  1. Istražiti da li školarci koriste tehnike brzog brojanja.
  2. Naučite tehnike brzog brojanja koje možete koristiti za lakše izračunavanje.
  3. Napravite bilješku za učenike 5-6 razreda da koriste tehnike brzog brojanja.

Predmet studija:tehnike brzog brojanja.

Predmet studija: proces proračuna.

hipoteza istraživanja:Ako pokažete da korištenje tehnika brzog brojanja olakšava proračune, tada možete osigurati da se informatička kultura učenika poboljša i da će im biti lakše rješavati praktične probleme.

Za izvođenje radova korišteno je sljedeće: tehnike i metode : anketiranje (ispitivanje), analiza (statistička obrada podataka), rad sa izvorima informacija, praktičan rad, zapažanja.

Ovaj rad se odnosi naprimijenjeno istraživanje, jer pokazuje ulogu upotrebe tehnika brzog brojanja za praktične aktivnosti.

Tokom rada na izvještaju Ikoristio sljedeće metode:

  1. traži metodom pomoću naučnih i edukativna literatura, kao i traženje potrebnih informacija na Internetu;
  2. praktično način izvođenja proračuna korištenjem nestandardnih algoritama brojanja;
  3. analiza podaci dobijeni tokom studije.

Relevantnost Moje istraživanje je da u naše vrijeme studentima sve više priskaču u pomoć kalkulatori, a sve veći broj učenika ne može usmeno brojati. Ali studij matematike se razvija logičko razmišljanje, pamćenje, fleksibilnost uma, navikava osobu na tačnost, na sposobnost da vidi glavnu stvar, izvještava potrebne informacije razumjeti složene probleme koji se javljaju u različitim oblastima moderne ljudske djelatnosti. Stoga u svom radu želim pokazati kako možete brzo i pravilno računati i da proces izvođenja radnji može biti ne samo korisna, već i zanimljiva aktivnost. Upravo korištenje nestandardnih tehnika u formiranju računskih vještina povećava interesovanje učenika za matematiku i potiče razvoj matematičkih sposobnosti.

Iza jednostavnih operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja kriju se tajne istorije matematike. Slučajno čuvši riječi „množenje po rešetki“, „šahovska metoda“ zaintrigiralo me. Želeo sam da upoznam ove i druge metode računanja, i da ih uporedim sa današnjim.

umeš li da računaš? Pitanje je možda čak i uvredljivo za osobu stariju od tri godine. Ko ne zna da broji? Svi će odgovoriti da to ne zahtijeva posebnu umjetnost. I biće u pravu. Ali pitanje je - kako računati? Možete računati na kalkulatoru, možete računati u stupcu u bilježnici ili možete računati usmeno koristeći tehnike brzog brojanja. Brojim vrlo brzo usmeno, skoro nikad ne rješavam u koloni ili pismeno, a sve zato što poznajem i koristim razne tehnike brzog brojanja. Malo mojih kolega iz razreda zna brzo usmeno brojati, a ja sam htio saznati da li znaju tehnike brzog brojanja, a ako ne, onda im pomoći da savladaju ove tehnike, u tu svrhu im napravim dopis sa tehnikama brzog brojanja.

Kako bi saznali da li moderni školarci poznaju i druge načine izvođenja računskih operacija, osim množenja, sabiranja, oduzimanja stupcem i dijeljenja uglom, te bi željeli naučiti nove načine, provedeno je testno istraživanje.

Za početak sam uradio anketu u 6. razredu naše škole. Postavio sam momcima jednostavna pitanja. Zašto uopće trebate znati brojati? Koji školski predmeti zahtijevaju pravilno brojanje? Da li znaju tehnike brzog brojanja? Želite li naučiti kako brzo brojati usmeno? (Dodatak I).

U anketi je učestvovala 61 osoba. Analizirajući rezultate, zaključio sam da većina učenika smatra da je sposobnost brojanja korisna u životu i neophodna u školi, posebno pri učenju matematike, fizike, hemije, informatike i tehnologije. Nekoliko učenika poznaje tehnike brzog brojanja i gotovo svi bi željeli naučiti kako brzo brojati. (Rezultati ankete su prikazani u dijagramima) (Dodatak II).

Nakon trošenja statistička obrada podataka, zaključio sam da ne poznaju svi učenici tehnike brzog brojanja, pa je potrebno izraditi dopise za učenike 5-6 razreda sa tehnikama brzog brojanja kako bi ih koristili pri izvođenju računanja.

Rezultati ankete:

Pitanje

5. razred

6. razred

Ukupno

Da

br

Ne znam

Da

br

Ne znam

Želite li znati?

Zbirna tabela ankete:

Pitanje

5., 6. razredi

Da

br

Ne znam

Da li moderni ljudi trebaju biti u stanju izvoditi aritmetičke operacije s prirodnim brojevima?

Znate li kako množiti, sabirati, oduzimati brojeve u koloni i dijeliti pomoću ugla?

Znate li druge načine za aritmetiku?

Želite li znati?

Na osnovu rezultata istraživanja možemo zaključiti da savremeni školarci u većini slučajeva ne poznaju druge načine izvođenja radnji osim množenja, sabiranja, oduzimanja po stupcu i dijeljenja po kutu, jer se rijetko okreću gradivu van školskog programa.

Poglavlje I. ISTORIJA RAČUNA

1. KAKO BROJEVI NASTAJU

Ljudi su naučili da broje predmete još u drevnom kamenom dobu – paleolitu, prije nekoliko desetina hiljada godina. Kako se to dogodilo? U početku su ljudi upoređivali samo oko različite količine identične predmete. Mogli su odrediti koja od dvije hrpe ima više voća, koje stado ima više jelena itd. Ako je jedno pleme zamijenilo ulovljenu ribu za kamene noževe koje su napravili ljudi drugog plemena, nije bilo potrebe da se broji koliko su ribe i koliko noževa donijeli. Bilo je dovoljno staviti nož pored svake ribe da bi se odvijala razmjena između plemena.

Za uspješno bavljenje poljoprivredom bilo je potrebno znanje aritmetike. Bez brojanja dana bilo je teško odrediti kada zasijati njive, kada početi zalijevati, kada očekivati ​​potomstvo od životinja. Trebalo je znati koliko ovaca ima u stadu, koliko vreća žita je stavljeno u štale.
A prije više od osam hiljada godina, drevni pastiri počeli su praviti krigle od gline - po jednu za svaku ovcu. Kako bi otkrio da li je barem jedna ovca nestala tokom dana, pastir je odlagao kriglu svaki put kada bi druga životinja ušla u tor. I tek pošto se uverio da se vratilo onoliko ovaca koliko je bilo krugova, mirno je otišao u krevet. Ali u njegovom stadu nisu bile samo ovce - paso je krave, koze i magarce. Stoga smo morali napraviti druge figure od gline. A farmeri su, koristeći glinene figurice, vodili evidenciju o žetvi, bilježeći koliko je vreća žita stavljeno u štalu, koliko je vrčeva ulja iscijeđeno iz maslina, koliko je komada platna istkano. Ako je ovca rodila, pastir je dodavao nove krugove, a ako se neke ovce koristile za meso, nekoliko krugova je trebalo ukloniti. Dakle, još ne znajući da broje, drevni ljudi su se bavili aritmetikom.

Tada su se u ljudskom jeziku pojavili brojevi i ljudi su mogli imenovati broj predmeta, životinja, dana. Obično je bilo malo takvih brojeva. Na primjer, stanovnici rijeke Murray u Australiji imali su dva prosta broja: enea (1) i petchewal (2). Druge brojeve su izražavali složenim brojevima: 3 = “petcheval-enea”, 4 “petcheval-petcheval” itd. Drugo australsko pleme, Kamiloroi, imalo je jednostavne brojeve mal (1), Bulan (2), Guliba (3). I ovdje su drugi brojevi dobijeni dodavanjem manjih: 4 = "Bulan-Bulan", 5 = "Bulan-Guliba", 6 = "Guliba-Guliba", itd.

Za mnoge narode, naziv broja zavisio je od predmeta koji se broje. Ako su stanovnici ostrva Fidži brojali čamce, onda se broj 10 zvao "bolo"; ako su brojali kokos, broj 10 se zvao "karo". Nivkhi koji žive na Sahalinu na obalama Amura učinili su potpuno istu stvar. Još u 19. veku isti su broj nazivali različitim rečima ako su brojali ljude, ribe, čamce, mreže, zvezde, štapove.

Još uvijek koristimo razne neodređene brojeve sa značenjem “mnogo”: “gomila”, “krdo”, “jato”, “gomila”, “gomila” i druge.

Razvojem proizvodnje i trgovinske razmjene ljudi su počeli bolje shvaćati šta je zajedničko tri čamca i tri sjekire, deset strijela i deset oraha. Plemena su često menjala "predmet za predmet"; na primjer, zamijenili su 5 jestivih korijena za 5 riba. Postalo je jasno da je 5 isto i za korijenje i za ribu; To znači da ga možete nazvati jednom riječju.

Drugi narodi su koristili slične metode brojanja. Tako su nastale numeracije zasnovane na brojanju u petice, desetice i dvadesetice.

Do sada sam govorio o mentalnom brojanju. Kako su zapisani brojevi? U početku, čak i prije pojave pisanja, koristili su zareze na štapovima, zareze na kostima i čvorove na užadima. Vučja kost pronađena u Dolní Vestonice (Čehoslovačka) imala je 55 rezova napravljenih prije više od 25.000 godina.

Kada se pojavilo pisanje, pojavili su se brojevi za snimanje brojeva. U početku su brojevi ličili na zareze na štapićima: u Egiptu i Babilonu, u Etruriji i Fenici, u Indiji i Kini veliki brojevi napisano štapićima ili linijama. Na primjer, broj 5 je napisan sa pet štapića. Indijanci Asteka i Maja koristili su tačke umjesto štapića. Tada su se pojavili posebni znakovi za neke brojeve, kao što su 5 i 10.

U to vrijeme gotovo sve numeracije nisu bile pozicione, već slične rimskom. Samo jedna babilonska seksagezimska numeracija bila je poziciona. Ali dugo vremena u njemu nije bilo nule, kao ni zareza koji je odvajao cijeli dio od razlomka. Dakle, isti broj može značiti 1, 60 ili 3600. Značenje broja je trebalo pogoditi prema značenju problema.

Nekoliko vekova ranije nova era izumio je novi način pisanja brojeva, u kojem su slova obične abecede služila kao brojevi. Prvih 9 slova označavalo je brojeve desetice 10, 20,..., 90, a još 9 slova označavalo je stotine. Ova abecedna numeracija korišćena je do 17. veka. Da bi se razlikovala "prava" slova od brojeva, iznad slova-brojeva je stavljena crtica (u Rusiji se ova crtica zvala "titlo").

U svim ovim numeracijama bilo je vrlo teško izvoditi aritmetičke operacije. Stoga se izum decimalnog pozicionog numeriranja Indijanaca u 6. stoljeću s pravom smatra jednim od najvećih dostignuća čovječanstva. Indijski brojevi i indijski brojevi postali su poznati u Evropi od Arapa i obično se nazivaju arapskim.

Prilikom dužeg pisanja razlomaka, cijeli dio se pisao novom decimalnom numeracijom, a razlomački dio seksagezimom. Ali početkom 15. vijeka. Samarkandski matematičar i astronom al-Kashi počeo je koristiti decimalne razlomke u proračunima.

Brojevi s kojima radimo su pozitivni i negativni brojevi. Ali ispostavilo se da to nisu svi brojevi koji se koriste u matematici i drugim naukama. I o njima možete naučiti bez čekanja na srednju školu, ali mnogo ranije ako proučite povijest nastanka brojeva u matematici.

Poglavlje II. STARE METODE PRORAČUNA

2.1. RUSKI SELJAČKI NAČIN MNOŽENJA

U Rusiji je prije nekoliko stoljeća među seljacima nekih provincija bila rasprostranjena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Samo ste morali biti u mogućnosti da množite i dijelite sa 2. Ova metoda je pozvana SELJAK (postoji mišljenje da potiče iz egipatskog).

Primjer: pomnožite 47 sa 35,

  1. upišite brojeve u jednu liniju i nacrtajte okomitu liniju između njih;
  2. Lijevi broj ćemo podijeliti sa 2, a desni broj pomnožiti sa 2 (ako se ostatak pojavi tokom dijeljenja, tada odbacujemo ostatak);
  3. podjela se završava kada se jedan pojavi s lijeve strane;
  4. precrtajte one redove u kojima su slijeva parni brojevi;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
  5. Zatim zbrajamo preostale brojeve na desnoj strani - ovo je rezultat.

2.2. "MREŽA" METODA

Izvanredni arapski matematičar i astronom Abu Abdalah Mohammed Ben Moussa al-Khorezmi živio je i radio u Bagdadu. Naučnik je radio u Kući mudrosti, gdje su se nalazile biblioteka i opservatorija; ovdje su radili gotovo svi glavni arapski naučnici.

Postoji vrlo malo informacija o životu i aktivnostima Muhameda al-Khorezmija. Sačuvala su se samo dva njegova rada - o algebri i aritmetici. Posljednja od ovih knjiga daje četiri pravila aritmetičkih operacija, skoro ista kao ona koja se koriste u naše vrijeme.

1

3

0

1

U njegovom "Knjiga indijskog računovodstva"naučnik je opisao metodu izmišljenu u staroj Indiji, a kasnije nazvanu"MREŽANA METODA". Ova metoda je još jednostavnija od one koja se danas koristi.

Primjer: pomnožite 25 i 63.

Nacrtajmo tabelu u kojoj se nalaze dvije ćelije po dužini i dvije po širini i zapišemo jedan broj za dužinu, a drugi za širinu. U ćelije upisujemo rezultat množenja ovih brojeva, na njihovom presjeku odvajamo desetice i jedinice dijagonalom. Dobivene brojeve dodajemo dijagonalno, a rezultat se može pročitati duž strelice (dolje i desno).

Razmotrio sam jednostavan primjer, međutim, ova metoda se može koristiti za množenje bilo kojeg višecifrenog broja.

Pogledajmo još jedan primjer: pomnožite 987 i 12:

  1. nacrtati pravougaonik 3 puta 2 (prema broju decimalnih mjesta za svaki faktor);
  2. tada dijelimo kvadratne ćelije dijagonalno;
  3. Na vrhu tabele upisujemo broj 987;
  4. na lijevoj strani tabele je broj 12;
  5. Sada ćemo u svaki kvadrat unijeti proizvod brojeva koji se nalaze u istom redu iu istoj koloni sa ovim kvadratom, desetice ispod dijagonale, jedinice iznad;
  6. nakon popunjavanja svih trokuta, brojevi u njima se dodaju duž svake dijagonale na desnoj strani;
  7. Rezultat se očitava duž strelice.

Ovaj algoritam za množenje dva prirodni brojevi bio je rasprostranjen u srednjem vijeku na istoku i u Italiji.

Želio bih napomenuti neugodnost ove metode u napornoj pripremi pravokutne tablice, iako je sam proces izračunavanja zanimljiv i popunjavanje tablice liči na igru.

2.3. MNOŽENJE NA PRSTIMA

Stari Egipćani su bili vrlo religiozni i vjerovali su da je duša pokojnika u zagrobnom životu bila podvrgnuta testu brojanja prstiju. Ovo već dovoljno govori o važnosti koju su stari pridavali ovoj metodi množenja prirodnih brojeva (nazvana jeFINGER ACCOUNT).

Na prstima su množili jednocifrene brojeve od 6 do 9. Da bi to učinili, na jednoj ruci su ispružili onoliko prstiju koliko je prvi faktor veći od broja 5, a na drugom su isto učinili i za drugi faktor. Preostali prsti su savijeni. Nakon toga su uzeli onoliko desetica koliko je dužina prstiju na obje ruke, i ovom broju dodali umnožak savijenih prstiju na prvoj i drugoj ruci.

Primjer: 8 ∙ 9 = 72

Kasnije je poboljšano brojanje prstiju - naučili su da prstima pokazuju brojeve do 10.000.

Pokret prstiju - ovo je još jedan način da pomognete svom pamćenju: koristite prste da zapamtite tablicu množenja za 9. Stavljajući obje ruke jednu pored druge na sto, numerirajte prste obje ruke prema sljedećem redoslijedu: prvi prst s lijeve strane će biti označen sa 1, drugi iza njega će biti označen sa 2, zatim 3 , 4... do desetog prsta, što znači 10. Ako treba da pomnožite bilo koji od prvih devet brojeva sa 9, onda da to uradite, bez pomeranja ruke od stola, treba podići prst čiji broj znači broj kojim se množi devet; tada broj prstiju koji leže lijevo od podignutog prsta određuje broj desetica, a broj prstiju koji leže desno od podignutog prsta označava broj jedinica dobivenog proizvoda (vidite ovo sami).

Dakle, drevne metode množenja koje smo ispitivali pokazuju da algoritam koji se koristi u školi za množenje prirodnih brojeva nije jedini i nije uvijek bio poznat.

Međutim, prilično je brz i najprikladniji.

Poglavlje III. USMNO BROJANJE – GIMNASTIKA UMA

3.1. RAZLIČITI NAČINI ZBIRANJA I ODUZIMANJA

DODATAK

Osnovno pravilo za dodavanje u glavi je:

Da biste broju dodali 9, dodajte mu 10 i oduzmite 1, da biste dodali 8, dodajte 10 i oduzmite 2; da biste dodali 7, dodajte 10 i oduzmite 3, itd. Na primjer:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

DODAVANJE DVOCIFRENOG BROJEVA U UMU

Ako je broj jedinica u broju koji se dodaje veća od 5, tada se broj mora zaokružiti naviše, a zatim se od rezultirajućeg iznosa oduzeti greška zaokruživanja. Ako je broj jedinica manji, prvo dodajemo desetice, a zatim jedinice. Na primjer:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

DODAVANJE TROCIFRENKE BROJEVE

Dodajemo s lijeva na desno, odnosno prvo stotine, zatim desetice, a zatim jedinice. Na primjer:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ODUZIMANJE

Da biste oduzeli dva broja u svojoj glavi, morate zaokružiti oduzetak, a zatim prilagoditi odgovor koji dobijete.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

ODUZIMANJE BROJA MANJEG OD 100 OD BROJA VEĆEG OD 100

Ako je subtrahend manji od 100, a minuend veći od 100, ali manji od 200, postoji jednostavan način da izračunate razliku u vašoj glavi. 134-76=58

76 je 24 manje od 100. 134 je 34 više od 100. Dodajte 24 na 34 i dobijete odgovor: 58.

152-88=64

88 je 12 manje od 100, a 152 je 52 više od 100, što znači

152-88=12+52=64

3.2. RAZLIČITI NAČINI MNOŽENJA I DIJELJENJA

Proučivši literaturu o ovoj temi, napravio sam izbor između raznih tehnika brzog brojanja, izabrao sam tehnike množenja i dijeljenja koje su lako razumljive i primjenjive za svakog učenika. Ove tehnike sam uvrstio u dopis (Dodatak III), koji će biti od koristi učenicima 5-6 razreda.

  1. Množenje i dijeljenje brojeva sa 4.

Da biste broj pomnožili sa 4, morate ga dvaput pomnožiti sa 2.

Na primjer:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Da biste broj podijelili sa 4, trebate ga dvaput podijeliti sa 2.

Na primjer:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

  1. Množenje i dijeljenje brojeva sa 5.

Da biste broj pomnožili sa 5, morate ga pomnožiti sa 10 i podijeliti sa 2.

Na primjer:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Da biste broj podijelili sa 5, morate pomnožiti 2 i podijeliti sa 10, tj. Posljednju cifru odvojite zarezom.

Na primjer:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

  1. Množenje broja sa 1,5.

Da biste pomnožili broj sa 1,5, potrebno je da polovinu dodate originalnom broju.

Na primjer: 34·1.5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

  1. Množenje broja sa 9.

Da biste pomnožili broj sa 9, morate mu dodati 0 i oduzeti izvorni broj.

Na primjer: 72·9=720-72=648.

  1. Množenjem sa 25 broj djeljiv sa 4.

Da biste pomnožili broj djeljiv sa 4 sa 25, trebate ga podijeliti sa 4 i pomnožiti rezultirajući broj sa 100.

Na primjer: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

  1. Množenje dvocifrenog broja sa 11

Prilikom množenja dvocifrenog broja sa 11, potrebno je da unesete zbir ovih cifara između cifre jedinice i cifre desetice, a ako je zbir cifara veći od 10, tada se najznačajnijoj cifri mora dodati jedan. (prva cifra).

Na primjer:
23·11=253, jer 2+3=5, tako da između 2 i 3 stavljamo broj 5;
57·11=627, jer 5+7=12, stavite broj 2 između 5 i 7, i dodajte 1 na 5, umjesto 5 pišemo 6.

"Presavijte ivice, stavite ih u sredinu" - ove riječi će vam pomoći da lako zapamtite ovu metodu množenja sa 11.

Ova metoda je prikladna samo za množenje dvocifrenih brojeva.

  1. Množenje dvocifrenog broja sa 101.

Da biste pomnožili broj sa 101, potrebno je da taj broj dodijelite samom sebi.

Na primjer: 34·101 = 3434.

Hajde da objasnimo, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

  1. Kvadriranje dvocifrenog broja koji se završava na 5.

Da biste kvadrirali dvocifreni broj koji završava na 5, trebate pomnožiti cifru desetice sa cifrom većom od jedan i dodati broj 25 desno od rezultirajućeg proizvoda.
Na primjer: 35 2 =1225, tj. 3·4=12 i dodajući 25 na 12, dobijamo 1225.

  1. Kvadriranje dvocifrenog broja koji počinje sa 5.

Da biste kvadrirali dvocifreni broj koji počinje s pet, trebate dodati drugu cifru broja 25 i kvadrat druge cifre dodati desno, a ako je kvadrat druge cifre jednocifreni broj, tada trebate dodati cifru 0 ispred nje.

Na primjer:
52 2 = 2704, jer 25+2=28 i 2 2 =04;
58 2 = 3364, jer 25+8=33 i 8 2 =64.

3.3. GAMES

Pogađanje rezultirajućeg broja.

  1. Zamislite broj. Dodajte 11 tome; pomnožite dobijeni iznos sa 2; oduzmi 20 od ovog proizvoda; pomnožite rezultujuću razliku sa 5 i od novog proizvoda oduzmite broj koji je 10 puta veći od broja koji imate na umu.Pretpostavljam: imaš 10. Zar ne?
  2. Zamislite broj. Utrostruči. Od rezultata oduzmite 1. Pomnožite rezultat sa 5. Rezultatu dodajte 20. Rezultat podijelite sa 15. Od dobijenog rezultata oduzmite željenu vrijednost.Imaš 1.
  3. Zamislite broj. Pomnožite ga sa 6. Oduzmite 3. Pomnožite sa 2. Dodajte 26. Oduzmite dva puta predviđenu vrijednost. Podijelite sa 10. Oduzmite ono što ste namjeravali.Imaš 2.
  4. Zamislite broj. Utrostruči. Oduzmite 2. Pomnožite sa 5. Dodajte 5. Podijelite sa 5. Dodajte 1. Podijelite s predviđenim.Imaš 3.
  5. Zamislite broj, udvostručite ga. Dodajte 3. Pomnožite sa 4. Oduzmite 12. Podijelite onim što ste namjeravali.Imaš 8.

Pogađanje predviđenih brojeva.

  1. Pozovite svoje prijatelje da smisle bilo koje brojeve. Neka svako doda 5 svom predviđenom broju.
  2. Neka se dobijeni iznos pomnoži sa 3.
  3. Neka oduzme 7 od proizvoda.
  4. Neka od dobijenog rezultata oduzme još 8.
  5. Neka vam svi daju list sa konačnim rezultatom. Gledajući u komad papira, odmah kažete svima koji broj imaju na umu.

(Da pogodite željeni broj, rezultat koji je napisan na komadu papira ili vam je usmeno rečeno podijelite sa 3).

ZAKLJUČAK

Ušli smo u novi milenijum! Velika otkrića i dostignuća čovečanstva. Znamo mnogo, možemo mnogo. Čini se nečim natprirodnim da uz pomoć brojeva i formula možete izračunati let svemirski brod, “ekonomsko stanje” u zemlji, vrijeme za “sutra”, opisuju zvuk nota u melodiji. Poznata nam je izjava starogrčkog matematičara i filozofa koji je živeo u 4. veku pre nove ere. – Pitagora – “Sve je broj!”

Opisujući drevne metode računanja i moderne metode brzog računanja, pokušao sam pokazati da se i u prošlosti i u budućnosti ne može bez matematike, nauke koju je stvorio ljudski um.

Proučavanje drevnih metoda računanja pokazalo je da su ove aritmetičke operacije bile teške i složene zbog raznovrsnosti metoda i njihovog glomaznog izvođenja.

Savremene metode računarstva jednostavne su i dostupne svima.

Prilikom sastanka naučna literatura otkrili brže i pouzdanije načine računanja.

Moguće je da mnogi ljudi neće moći brzo i odmah izvršiti ove ili druge proračune prvi put. Neka se u početku ne može koristiti tehnika prikazana u radu. Nema problema. Potrebna je stalna računarska obuka. Iz lekcije u lekciju, iz godine u godinu. Pomoći će vam da steknete korisne mentalne aritmetičke vještine.

Njemački naučnik Carl Gauss nazvan je kraljem matematičara. Njegov matematički talenat pokazao se već u djetinjstvu. Jednog dana u školi (Gauss je imao 10 godina), učitelj je zamolio razred da sabere sve brojeve od 1 do 100. Dok je diktirao zadatak, Gaus je već imao spreman odgovor. Na njegovoj tabli je pisalo: 101·50=5050. Kako je to shvatio? Vrlo je jednostavno - koristio je tehniku ​​brzog brojanja, sabrao je prvi broj sa zadnjim, drugi sa pretposljednjim itd. Takvih suma ima samo 50 i svaki je jednak 101, tako da je mogao dati tačan odgovor gotovo istog trenutka.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101·50=5050. Ovaj primjer najbolje pokazuje da gotovo svi školarci znaju brzo i pravilno usmeno brojati, a za to je potrebno samo poznavati tehnike brzog brojanja.

Rezultate svog rada sastavila sam u memorandum, koji ću ponuditi svim svojim drugovima iz razreda, a postaviću ga i na školskom štandu „Ovo je zanimljivo!” Moguće je da neće svi moći brzo i odmah izvršiti proračune koristeći ove tehnike prvi put, čak i ako u početku ne uspiju koristiti tehniku ​​prikazanu u dopisu, u redu je, samo trebate stalnu obuku za računanje. Pomoći će vam da steknete korisne vještine brzog brojanja.

Nakon statističke obrade podataka dobijeno je sljedeće rezultati:

  1. Potrebno je znati računati jer će to biti korisno u životu, smatra 93% učenika, da bi se dobro školovali - 72%, da bi se brzo odlučili - 61%, da bi bili pismeni - 34 % i ne mora nužno biti u stanju računati - samo 3%.
  2. Dobre veštine matematike su neophodne za proučavanje matematike, prema mišljenju 100% učenika, kao i za studije fizike - 90%, hemije - 80%, računarstva - 44%, tehnologije - 36%.
  3. 16% (više tehnika), 25% (nekoliko tehnika) poznaje tehnike brzog brojanja, 59% učenika ne poznaje tehnike brzog brojanja.
  4. 21% učenika koristi tehnike brzog brojanja, 15% ih koristi ponekad.
  5. 93% učenika bi željelo naučiti tehnike brzog brojanja.

Zaključci:

  1. Poznavanje tehnika brzog brojanja omogućava vam da pojednostavite proračune, uštedite vrijeme i razvijete logičko razmišljanje i mentalnu fleksibilnost.
  2. U školskim udžbenicima praktički nema tehnika brzog brojanja, pa će rezultat ovog rada - podsjetnik za brzo brojanje - biti vrlo koristan za učenike 5-6 razreda.

LISTA KORIŠTENE REFERENCE

  1. Vantsyan A.G. Matematika: Udžbenik za 5. razred. - Samara: Izdavačka kuća "Fedorov", 1999.
  2. Kordemsky B.A., Akhadov A.A. Zadivljujući svijet brojevi: Knjiga učenika, - M. Prosveta, 1986.
  3. Minskikh E.M. “Od igre do znanja”, M., “Prosvjeta”, 1982.
  4. Svečnikov A.A. Brojevi, brojke, problemi. M., Prosveta, 1977. Da Ne Ne znam https://accounts.google.com
mob_info