Bayesova formula jednostavnim riječima. Formula ukupne vjerovatnoće, Bayesova formula. "Fizičko značenje" i terminologija

Počnimo s primjerom. u urni ispred tebe, jednako vjerovatno mogu postojati (1) dvije bijele lopte, (2) jedna bijela i jedna crna, (3) dvije crne. Povučete loptu i ispada da je bijela. Kako biste to sada ocijenili? vjerovatnoća ove tri opcije (hipoteze)? Očigledno je vjerovatnoća hipoteze (3) sa dvije crne kuglice = 0. Ali kako izračunati vjerovatnoće dvije preostale hipoteze!? To se može učiniti pomoću Bayesove formule, koja u našem slučaju ima oblik (broj formule odgovara broju hipoteze koja se testira):

Preuzmite bilješku u ili

X – slučajna vrijednost(hipoteza) uzimajući vrijednosti: x 1- dva bijela, x 2– jedna bijela, jedna crna; x 3– dva crna; at– slučajna varijabla (događaj) koja uzima vrijednosti: u 1– izvlači se bela lopta i u 2– crna lopta je izvučena; P(x 1)– vjerovatnoća prve hipoteze prije izvlačenja lopte ( a priori vjerovatnoća ili vjerovatnoća prije iskustvo) = 1/3; P(x 2)– vjerovatnoća druge hipoteze prije izvlačenja lopte = 1/3; P(x 3)– vjerovatnoća treće hipoteze prije izvlačenja lopte = 1/3; P(y 1|x 1)– uslovna vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte, ako je prva hipoteza tačna (lopte su bijele) = 1; P(y 1|x 2) – vjerovatnoća izvlačenja bijele kuglice ako je druga hipoteza tačna (jedna kugla je bijela, druga crna) = ½; P(y 1|x 3) – vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte ako je treća hipoteza tačna (obje crne) = 0; P(y 1)– vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte = ½; R(y ​​2)– vjerovatnoća izvlačenja crne lopte = ½; i konačno, ono što tražimo - P(x 1|y 1) – vjerovatnoća da je prva hipoteza tačna (obje lopte su bijele), s obzirom da smo izvukli bijelu loptu ( a posteriori vjerovatnoća ili vjerovatnoća poslije iskustvo); P(x 2|y 1) – vjerovatnoća da je druga hipoteza tačna (jedna lopta je bijela, druga crna), pod uslovom da smo izvukli bijelu loptu.

Vjerovatnoća da je prva hipoteza (dvije bijele) tačna, s obzirom da smo izvukli bijelu loptu:

Verovatnoća da je druga hipoteza tačna (jedna je bijela, druga crna), pod uslovom da smo izvukli bijelu loptu:

Vjerovatnoća da je treća hipoteza tačna (dvije crne), s obzirom da smo izvukli bijelu loptu:

Šta radi Bayesova formula? Omogućava, na osnovu apriornih vjerovatnoća hipoteza - P(x 1), P(x 2), P(x 3)– i vjerovatnoće da će se događaji dogoditi – P(y 1), R(y ​​2)– izračunati posteriorne vjerovatnoće hipoteza, na primjer, vjerovatnoću prve hipoteze, pod uslovom da se izvuče bijela kugla – P(x 1|y 1).

Vratimo se još jednom na formulu (1). Početna vjerovatnoća prve hipoteze bila je P(x 1) = 1/3. Sa vjerovatnoćom P(y 1) = 1/2 mogli bismo izvući bijelu loptu, i to sa vjerovatnoćom P(y 2) = 1/2- crna. Izvukli smo bijeli. Vjerovatnoća izvlačenja bijele boje, pod uvjetom da je prva hipoteza tačna P(y 1|x 1) = 1. Bayesova formula kaže da je, otkako je izvučena bela, verovatnoća prve hipoteze porasla na 2/3, verovatnoća druge hipoteze je i dalje 1/3, a verovatnoća treće hipoteze je postala nula.

Lako je provjeriti da ako izvučemo crnu kuglu, posteriorne vjerovatnoće bi se promijenile simetrično: P(x 1|y 2) = 0, P(x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Evo šta je Pierre Simon Laplace napisao o Bayesovoj formuli u djelu objavljenom 1814:

Ovo je osnovni princip one grane analize nepredviđenih okolnosti koja se bavi prelazima od događaja do uzroka.

Zašto je Bayesovu formulu tako teško razumjeti!? Po mom mišljenju, jer naš uobičajeni pristup je rasuđivanje od uzroka do posljedica. Na primjer, ako se u urni nalazi 36 kuglica, od kojih su 6 crne, a ostale bijele. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu? Bayesova formula vam omogućava da od događaja pređete na razloge (hipoteze). Ako smo imali tri hipoteze i dogodio se događaj, kako je taj događaj (a ne alternativa) utjecao na početne vjerovatnoće hipoteza? Kako su se ove vjerovatnoće promijenile?

Vjerujem da se Bayesova formula ne odnosi samo na vjerovatnoće. To mijenja paradigmu percepcije. Kakav je misaoni proces kada se koristi deterministička paradigma? Ako se neki događaj desio, šta je bio njegov uzrok? Ako je došlo do nesreće, hitnog slučaja, vojnog sukoba. Ko ili šta je bila njihova krivica? Šta misli Bayesov posmatrač? Do čega je dovela struktura stvarnosti dato slučaj takve i takve manifestacije... Bayesian to razumije u inače U ovom slučaju rezultat je mogao biti drugačiji...

Postavimo simbole u formule (1) i (2) malo drugačije:

Hajde da ponovo razgovaramo o onome što vidimo. Uz jednaku početnu (apriornu) vjerovatnoću, jedna od tri hipoteze bi mogla biti tačna. Sa jednakom vjerovatnoćom možemo izvući bijelu ili crnu loptu. Izvukli smo bijeli. U svjetlu ovih novih dodatnih informacija, našu procjenu hipoteza treba ponovo razmotriti. Bayesova formula nam omogućava da to uradimo numerički. Prethodna vjerovatnoća prve hipoteze (formula 7) je bila P(x 1), izvučena je bijela lopta, posteriorna vjerovatnoća prve hipoteze je postala P(x 1|na 1). Ove vjerovatnoće se razlikuju po faktoru.

Događaj u 1 naziva se dokazom koji manje-više potvrđuje ili opovrgava hipotezu x 1. Ovaj koeficijent se ponekad naziva moć dokaza. Što je dokaz jači (što se koeficijent više razlikuje od jedinice), to je veća činjenica posmatranja u 1 mijenja prethodnu vjerovatnoću, što se posteriorna vjerovatnoća više razlikuje od prethodne. Ako je dokaz slab (koeficijent ~1), posteriorna vjerovatnoća je skoro jednaka prethodnoj.

Certifikat u 1 V = 2 puta promijenila prethodnu vjerovatnoću hipoteze x 1(formula 4). Istovremeno, dokazi u 1 nije promijenila vjerovatnoću hipoteze x 2, budući da je njegova moć = 1 (formula 5).

Općenito, Bayesova formula ima sljedeći oblik:

X– slučajna varijabla (skup međusobno isključivih hipoteza) koja uzima sljedeće vrijednosti: x 1, x 2, … , Xn. at– slučajna varijabla (skup međusobno isključivih događaja) koja uzima sljedeće vrijednosti: u 1, u 2, … , atn. Bayesova formula vam omogućava da pronađete posteriornu vjerovatnoću hipoteze Xi po nastanku događaja y j. Brojač je proizvod prethodne vjerovatnoće hipoteze Xi – P(xi) o vjerovatnoći da će se događaj dogoditi y j, ako je hipoteza tačna Xi – R(y j|xi). Nazivnik je zbir proizvoda istog kao u brojniku, ali za sve hipoteze. Ako izračunamo imenilac, dobijamo ukupnu verovatnoću da se događaj desi atj(ako je neka od hipoteza tačna) – R(y j) (kao u formulama 1–3).

Još jednom o svjedočenju. Događaj y j pruža dodatne informacije, koje vam omogućavaju da revidirate prethodnu vjerovatnoću hipoteze Xi. Moć dokaza - – sadrži u brojniku vjerovatnoću da se događaj desi y j, ako je hipoteza tačna Xi. Imenilac je ukupna vjerovatnoća da će se događaj dogoditi. atj(ili vjerovatnoća da se dogodi neki događaj atj prosječno po svim hipotezama). atj gore za hipotezu xi, od prosjeka za sve hipoteze, onda dokazi igraju na ruku hipotezi xi, povećavajući njegovu posteriornu vjerovatnoću R(y j|xi). Ako je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi atj ispod za hipotezu xi od prosjeka za sve hipoteze, onda dokazi smanjuju posteriornu vjerovatnoću R(y j|xi) Za hipoteze xi. Ako je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi atj za hipotezu xi je isti kao prosjek za sve hipoteze, onda dokaz ne mijenja posteriornu vjerovatnoću R(y j|xi) Za hipoteze xi.

Evo nekoliko primjera za koje se nadam da će ojačati vaše razumijevanje Bayesove formule.

Problem 2. Dva strijelca nezavisno pucaju u istu metu, svaki ispaljuje po jedan hitac. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,8, za drugog - 0,4. Nakon gađanja otkrivena je jedna rupa na meti. Pronađite vjerovatnoću da ova rupa pripada prvom strijelcu. .

Zadatak 3. Objekt koji se prati može biti u jednom od dva stanja: H 1 = (funkcionira) i H 2 = (ne funkcionira). Prethodne vjerovatnoće ovih stanja su P(H 1) = 0,7, P(H 2) = 0,3. Postoje dva izvora informacija koji daju kontradiktorne informacije o stanju objekta; prvi izvor javlja da objekat ne funkcioniše, drugi - da funkcioniše. Poznato je da prvi izvor daje tačne informacije sa vjerovatnoćom od 0,9, a sa vjerovatnoćom od 0,1 - netačne informacije. Drugi izvor je manje pouzdan: daje tačne informacije sa vjerovatnoćom od 0,7, a netačne informacije sa vjerovatnoćom od 0,3. Pronađite posteriorne vjerovatnoće hipoteza. .

Zadaci 1–3 preuzeti su iz udžbenika E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov. Teorija vjerojatnosti i njene inženjerske primjene, odjeljak 2.6 Teorema hipoteze (Bayesova formula).

Zadatak 4 preuzet iz knjige, odjeljak 4.3 Bayesova teorema.

Ko je Bayes? i kakve to veze ima sa menadžmentom? - može uslijediti sasvim pošteno pitanje. Za sada, vjerujte mi na riječ: ovo je jako važno!.. i zanimljivo (barem meni).

Koja je paradigma u kojoj većina menadžera radi: ako nešto posmatram, koje zaključke mogu izvući iz toga? Šta Bayes poučava: šta zaista mora postojati da bih to nešto promatrao? Upravo tako se razvijaju sve nauke, a on o tome piše (citiram po sjećanju): osoba koja nema teoriju u glavi bježaće od jedne ideje do druge pod utjecajem raznih događaja (zapažanja). Nisu uzalud rekli: nema ništa praktičnije od dobre teorije.

Primjer iz prakse. Moj podređeni griješi, a moj kolega (šef drugog odjela) kaže da bi na nesavjesnog radnika bilo potrebno izvršiti menadžerski uticaj (odnosno kazniti/grditi). I znam da ovaj zaposlenik obavi 4-5 hiljada istih operacija mjesečno i za to vrijeme ne napravi više od 10 grešaka. Osjećate li razliku u paradigmi? Moj kolega reaguje na zapažanje, a ja a priori znam da zaposleni pravi određeni broj grešaka, tako da još jedna nije uticala na to saznanje... E sad, ako se na kraju meseca ispostavi da ima, na primjer, 15 takvih grešaka!.. To će već biti razlog da se prouče razlozi neusklađenosti sa standardima.

Uvjereni u važnost Bayesovskog pristupa? Zaintrigirani? Nadam se". A sada i muva u masti. Nažalost, Bayesove ideje rijetko se daju odmah. Iskreno, nisam imao sreće, pošto sam se upoznao sa ovim idejama popularne književnosti, nakon čitanja koje je ostalo mnogo pitanja. Kada sam planirao da napišem bilješku, prikupio sam sve što sam prethodno zabilježio na Bayesu, a također sam proučio ono što je napisano na internetu. Predstavljam Vašoj pažnji svoje najbolje mišljenje o ovoj temi. Uvod u Bayesovu vjerovatnoću.

Derivacija Bayesove teoreme

Razmotrimo sljedeći eksperiment: imenujemo bilo koji broj koji leži na segmentu i bilježimo kada je taj broj, na primjer, između 0,1 i 0,4 (slika 1a). Vjerovatnoća ovog događaja jednaka je odnosu dužine segmenta i ukupne dužine segmenta, pod uslovom da se pojavljivanje brojeva na segmentu jednako vjerovatno. Matematički se ovo može napisati str(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко R(X) = 0,3, gdje je R- vjerovatnoća, X– slučajna varijabla u rasponu, X– slučajna varijabla u rasponu . Odnosno, vjerovatnoća pogađanja segmenta je 30%.

Rice. 1. Grafička interpretacija vjerovatnoća

Sada razmotrite kvadrat x (slika 1b). Recimo da moramo imenovati parove brojeva ( x, y), od kojih je svaki veći od nule i manji od jedan. Verovatnoća da x(prvi broj) će biti unutar segmenta (plavo područje 1), jednako omjeru površine plave površine i površine cijelog kvadrata, odnosno (0,4 – 0,1) * (1 – 0 ) / (1 * 1) = 0, 3, odnosno istih 30%. Verovatnoća da y koja se nalazi unutar segmenta (zelena površina 2) jednaka je omjeru površine zelene površine i površine cijelog kvadrata str(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко R(Y) = 0,2.

Šta možete naučiti o vrijednostima u isto vrijeme? x I y. Na primjer, kolika je vjerovatnoća da u isto vrijeme x I y nalaze se u odgovarajućim datim segmentima? Da biste to učinili, morate izračunati omjer površine područja 3 (presjek zelenih i plavih pruga) i površine cijelog kvadrata: str(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Sada recimo da želimo da znamo kolika je to verovatnoća y je u intervalu ako x je već u opsegu. To jest, u stvari, imamo filter i kada zovemo parove ( x, y), tada odmah odbacujemo one parove koji ne zadovoljavaju uslov za pronalaženje x u datom intervalu, a zatim od filtriranih parova računamo one za koje y zadovoljava naš uslov i smatra vjerovatnoću kao omjer broja parova za koje y leži u gornjem segmentu do ukupnog broja filtriranih parova (odnosno za koji x leži u segmentu). Ovu vjerovatnoću možemo zapisati kao str(Y|X at X pogodi domet." Očigledno, ova vjerovatnoća je jednaka omjeru površine površine 3 i površine plave površine 1. Površina površine 3 je (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) = 0,06, a površina plave površine 1 ( 0,4 – 0,1) * (1 – 0) = 0,3, tada je njihov omjer 0,06 / 0,3 = 0,2. Drugim riječima, vjerovatnoća pronalaska y na segmentu pod uslovom da x pripada segmentu str(Y|X) = 0,2.

U prethodnom pasusu smo zapravo formulirali identitet: str(Y|X) = str(X, Y) / p( X). Piše: „vjerovatnoća udarca at u rasponu, pod uslovom da X pogoditi raspon, jednak omjeru vjerovatnoće istovremenog pogotka X u rasponu i at na domet, na vjerovatnoću pogađanja X u domet."

Analogno, razmotrite vjerovatnoću str(X|Y). zovemo parove ( x, y) i filtrirajte one za koje y leži između 0,5 i 0,7, tada je vjerovatnoća da x je u intervalu pod uslovom da y pripada segmentu jednak je omjeru površine ​​regije 3 i površine​​zelene regije 2: str(X|Y) = str(X, Y) / str(Y).

Imajte na umu da su vjerovatnoće str(X, Y) I str(Y, X) su jednaki, a oba su jednaka omjeru površine zone 3 i površine cijelog kvadrata, ali vjerovatnoće str(Y|X) I str(X|Y) nije jednako; dok je vjerovatnoća str(Y|X) jednak je omjeru površine regije 3 i regije 1, i str(X|Y) – region 3 do region 2. Imajte na umu i to str(X, Y) se često označava kao str(X&Y).

Stoga smo uveli dvije definicije: str(Y|X) = str(X, Y) / p( X) I str(X|Y) = str(X, Y) / str(Y)

Prepišimo ove jednakosti u obliku: str(X, Y) = str(Y|X) * p( X) I str(X, Y) = str(X|Y) * str(Y)

Pošto su leve strane jednake, desne strane su jednake: str(Y|X) * p( X) = str(X|Y) * str(Y)

Ili možemo prepisati posljednju jednakost kao:

Ovo je Bayesova teorema!

Da li takve jednostavne (gotovo tautološke) transformacije zaista dovode do velike teoreme!? Ne žurite sa zaključcima. Hajde da ponovo razgovaramo o tome šta imamo. Postojala je određena početna (a priori) vjerovatnoća R(X), da je slučajna varijabla X ravnomjerno raspoređen na segmentu spada u raspon X. Desio se događaj Y, kao rezultat čega smo dobili posteriornu vjerovatnoću iste slučajne varijable X: R(X|Y), a ova vjerovatnoća se razlikuje od R(X) po koeficijentu. Događaj Y koji se nazivaju dokazi, koji manje-više potvrđuju ili opovrgavaju X. Ovaj koeficijent se ponekad naziva moć dokaza. Što je dokaz jači, to više činjenica posmatranja Y mijenja prethodnu vjerovatnoću, to se posteriorna vjerovatnoća više razlikuje od prethodne. Ako su dokazi slabi, posteriorna vjerovatnoća je skoro jednaka prethodnoj.

Bayesova formula za diskretne slučajne varijable

U prethodnom dijelu smo izveli Bayesovu formulu za kontinuirane slučajne varijable x i y definirane na intervalu. Razmotrimo primjer sa diskretnim slučajnim varijablama, od kojih svaka uzima dvije moguće vrijednosti. Tokom rutinskih medicinskih pregleda ustanovljeno je da u četrdesetoj godini života 1% žena boluje od raka dojke. 80% žena oboljelih od raka dobije pozitivne rezultate mamografije. 9,6% zdravih žena takođe dobija pozitivne rezultate mamografije. Prilikom pregleda, žena ove starosne grupe dobila je pozitivan nalaz mamografije. Koja je vjerovatnoća da ona zaista ima rak dojke?

Linija rasuđivanja/kalkulacije je sljedeća. Od 1% pacijenata oboljelih od raka, mamografija će dati 80% pozitivnih rezultata = 1% * 80% = 0,8%. Od 99% zdravih žena, mamografija će dati 9,6% pozitivnih rezultata = 99% * 9,6% = 9,504%. Ukupno 10,304% (9,504% + 0,8%) sa pozitivnim nalazom mamografije, samo 0,8% je bolesno, a preostalih 9,504% je zdravo. Dakle, vjerovatnoća da žena sa pozitivnim mamografom ima rak je 0,8% / 10,304% = 7,764%. Da li ste mislili 80% ili tako nešto?

U našem primjeru Bayesova formula ima sljedeći oblik:

Razgovarajmo još jednom o “fizičkom” značenju ove formule. X– slučajna varijabla (dijagnoza), uzimajući vrijednosti: X 1- bolestan i X 2– zdravo; Y– slučajna varijabla (rezultat mjerenja – mamografija), uzimajući vrijednosti: Y 1- pozitivan rezultat i Y2- negativan rezultat; p(X 1)– vjerovatnoća bolesti prije mamografije (a priori vjerovatnoća) jednaka 1%; R(Y 1 |X 1 ) – vjerovatnoća pozitivnog rezultata ako je pacijent bolestan (uslovna vjerovatnoća, pošto se mora specificirati u uslovima zadatka), jednaka 80%; R(Y 1 |X 2 ) – vjerovatnoća pozitivnog rezultata ako je pacijent zdrav (također uslovna vjerovatnoća) je 9,6%; p(X 2)– vjerovatnoća da je pacijentkinja zdrava prije mamografije (a priori vjerovatnoća) je 99%; p(X 1|Y 1 ) – vjerovatnoća da je pacijent bolesna, s obzirom na pozitivan nalaz mamografije (posteriorna vjerovatnoća).

Može se vidjeti da je posteriorna vjerovatnoća (ono što tražimo) proporcionalna prethodnoj vjerovatnoći (početnoj) sa malo složenijim koeficijentom . Još jednom da naglasim. Po mom mišljenju, ovo je fundamentalni aspekt Bayesovog pristupa. Mjerenje ( Y) dodao je određenu količinu informacija onome što je prvobitno bilo dostupno (a priori), što je razjasnilo naše znanje o objektu.

Primjeri

Da biste konsolidirali materijal koji ste pokrili, pokušajte riješiti nekoliko problema.

Primjer 1. Postoje 3 urne; u prvoj su 3 bijele kuglice i 1 crna; u drugom - 2 bijele kuglice i 3 crne; u trećoj su 3 bijele kuglice. Neko nasumce priđe jednoj od urni i izvadi 1 loptu iz nje. Ispostavilo se da je ova lopta bijela. Odrediti posteriorne vjerovatnoće da je lopta izvučena iz 1., 2., 3. urne.

Rješenje. Imamo tri hipoteze: H 1 = (odabrana je prva urna), H 2 = (odabrana je druga urna), H 3 = (odabrana je treća urna). Pošto je urna nasumično odabrana, apriorne vjerovatnoće hipoteza su jednake: P(H 1) = P(H 2) = P(H 3) = 1/3.

Kao rezultat eksperimenta, pojavio se događaj A = (iz odabrane urne je izvučena bijela kugla). Uslovne verovatnoće događaja A pod hipotezama H 1, H 2, H 3: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Na primjer, prva jednakost glasi ovako: “vjerovatnoća izvlačenja bijele kugle ako se izabere prva urna je 3/4 (pošto u prvoj urni ima 4 kugle, a 3 su bijele).”

Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo posteriorne vjerovatnoće hipoteza:

Tako su se u svjetlu informacija o nastanku događaja A promijenile vjerovatnoće hipoteza: hipoteza H 3 postala je najvjerovatnija, hipoteza H 2 je postala najmanje vjerovatna.

Primjer 2. Dva strijelca nezavisno pucaju u istu metu, svaki ispaljuje po jedan hitac. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,8, za drugog - 0,4. Nakon gađanja otkrivena je jedna rupa na meti. Pronađite vjerovatnoću da ova rupa pripada prvom strijelcu (Ishod (obje rupe su se poklopile) se odbacuje kao zanemarljivo malo vjerojatan).

Rješenje. Prije eksperimenta moguće su sljedeće hipoteze: H 1 = (neće pogoditi ni prva ni druga strijela), H 2 = (obje strijele će pogoditi), H 3 - (prvi strijelac će pogoditi, ali drugi neće ), H 4 = (prvi strijelac neće pogoditi, a drugi će pogoditi). Prethodne vjerovatnoće hipoteza:

P(H 1) = 0,2*0,6 = 0,12; P(H2) = 0,8*0,4 = 0,32; P (H 3) = 0,8 * 0,6 = 0,48; P(H 4) = 0,2*0,4 = 0,08.

Uslovne verovatnoće posmatranog događaja A = (postoji jedna rupa u meti) prema ovim hipotezama su jednake: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1

Nakon eksperimenta hipoteze H 1 i H 2 postaju nemoguće, a posteriorne vjerovatnoće hipoteza H 3 i H 4 prema Bayesovoj formuli će biti:

Bayes protiv neželjene pošte

Bayesova formula je našla široku primjenu u razvoju filtera za neželjenu poštu. Recimo da želite da obučite računar da odredi koje su e-poruke neželjena pošta. Nastavit ćemo od rječnika i fraza koristeći Bayesove procjene. Hajde da prvo napravimo prostor hipoteza. Hajde da imamo dve hipoteze u vezi sa bilo kojim slovom: H A je neželjena pošta, H B nije neželjena pošta, već normalno, neophodno pismo.

Prvo, hajde da “obučimo” naš budući anti-spam sistem. Uzmimo sva slova koja imamo i podijelimo ih na dvije “gomile” od po 10 slova. Stavimo spam e-poruke u jedan i nazovimo ga H A hrpa, u drugi ćemo staviti potrebnu korespondenciju i nazvati ga H B hrpa. Sada da vidimo: koje riječi i fraze se nalaze u neželjenoj pošti i potrebnim pismima i s kojom učestalošću? Ove riječi i izraze nazvat ćemo dokazi i označiti ih E 1 , E 2 ... Ispostavilo se da se najčešće korištene riječi (na primjer, riječi “like”, “vaš”) u hrpama H A i H B javljaju sa približno istu frekvenciju. Dakle, prisustvo ovih riječi u pismu nam ništa ne govori o tome kojoj gomili da ga dodijelimo (slab dokaz). Dodijelimo ovim riječima neutralnu ocjenu vjerovatnoće "spam", recimo 0,5.

Neka se fraza "govorni engleski" pojavljuje u samo 10 slova, i to češće u neželjenim pismima (na primjer, u 7 neželjenih pisama od svih 10) nego u potrebnim (u 3 od 10). Dajmo ovoj frazi višu ocjenu za neželjenu poštu: 7/10, i nižu ocjenu za normalne e-poruke: 3/10. Suprotno tome, pokazalo se da se riječ „drug“ češće pojavljuje normalnim slovima (6 od 10). A onda smo dobili kratko pismo: "Moj prijatelj! Kakav je tvoj govorni engleski?”. Pokušajmo procijeniti njegovu „spamnost“. Dat ćemo opće procjene P(H A), P(H B) slova koje pripada svakoj hrpi koristeći donekle pojednostavljenu Bayesovu formulu i naše približne procjene:

P(H A) = A/(A+B), Gdje A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n = (1 – p a1)*(1 – p a2)*… *(1 – p an).

Tabela 1. Pojednostavljena (i nepotpuna) Bayesova procjena pisanja.

Tako je naše hipotetičko pismo dobilo ocjenu vjerovatnoće pripadnosti s naglaskom na „spammy“. Možemo li odlučiti da bacimo pismo na jednu od gomila? Postavimo pragove odluke:

• Pretpostavićemo da slovo pripada hrpi H i ako je P(H i) ≥ T.
• Slovo ne pripada hrpi ako je P(H i) ≤ L.
• Ako je L ≤ P(H i) ≤ T, onda se ne može donijeti odluka.

Možete uzeti T = 0,95 i L = 0,05. Budući da je za predmetno pismo i 0,05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

Da. Hajde da izračunamo rezultat za svaki dokaz na drugačiji način, baš kao što je Bayes zapravo predložio. neka bude:

F a je ukupan broj neželjenih e-poruka;

F ai je broj slova sa sertifikatom i u gomili neželjene pošte;

F b je ukupan broj potrebnih slova;

F bi je broj slova sa sertifikatom i u gomili potrebnih (relevantnih) slova.

Tada: p ai = F ai /F a, p bi = F bi /F b. P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), Gdje A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n

Imajte na umu da su procjene dokaza riječi p ai i p bi postale objektivne i da se mogu izračunati bez ljudske intervencije.

Tabela 2. Tačnija (ali nepotpuna) Bayesova procjena na osnovu dostupnih karakteristika iz pisma

Dobili smo vrlo definitivan rezultat - uz veliku prednost, slovo se može klasifikovati kao pravo slovo, budući da je P(H B) = 0,997 > T = 0,95. Zašto se rezultat promijenio? Pošto smo koristili više informacija – uzeli smo u obzir broj slova u svakoj od hrpa i, usput rečeno, mnogo tačnije odredili procjene p ai i p bi. One su određene kao što je to učinio i sam Bayes, izračunavanjem uslovnih vjerovatnoća. Drugim riječima, p a3 je vjerovatnoća da se riječ “prijatelj” pojavi u pismu, pod uslovom da ovo slovo već pripada spam hrpi H A . Rezultat nije dugo čekao – čini se da možemo sa većom sigurnošću donijeti odluku.

Bayes protiv korporativnih prijevara

Zanimljivu primjenu Bayesovog pristupa opisao je MAGNUS8.

Moj trenutni projekat (IS za otkrivanje prevare u proizvodnom preduzeću) koristi Bayesovu formulu za određivanje verovatnoće prevare (prevare) u prisustvu/odsustvu nekoliko činjenica koje indirektno svedoče u prilog hipotezi o mogućnosti počinjenja prevare. Algoritam se samouči (sa povratnom spregom), tj. preračunava svoje koeficijente (uslovne vjerovatnoće) nakon stvarne potvrde ili nepotvrđivanja prijevare tokom inspekcijskog nadzora službe ekonomske sigurnosti.

Vjerovatno je vrijedno reći da takve metode pri dizajniranju algoritama zahtijevaju prilično visoku matematičku kulturu programera, jer najmanja greška u izvođenju i/ili implementaciji računskih formula će poništiti i diskreditovati čitav metod. Tome su posebno sklone probabilističke metode, budući da ljudsko razmišljanje nije prilagođeno radu sa probabilističkim kategorijama i, shodno tome, nema „vidljivosti“ i razumijevanja „fizičkog značenja“ među- i konačnih probabilističkih parametara. Ovo shvatanje postoji samo za osnovne koncepte teorije verovatnoće, a onda samo treba veoma pažljivo kombinovati i izvoditi složene stvari prema zakonima teorije verovatnoće - zdrav razum više neće pomoći za kompozitne objekte. To je posebno povezano s prilično ozbiljnim metodološkim bitkama koje se vode na stranicama modernih knjiga o filozofiji vjerojatnosti, kao i velikim brojem sofizama, paradoksa i znatiželjnih zagonetki na ovu temu.

Još jedna nijansa sa kojom sam morao da se suočim je da je, nažalost, skoro sve, čak i manje-više KORISNO U PRAKSI na ovu temu, napisano na engleskom. U izvorima na ruskom jeziku uglavnom postoji samo dobro poznata teorija s demonstracijskim primjerima samo za najprimitivnije slučajeve.

U potpunosti se slazem sa posljednjom primjedbom. Na primjer, Google, kada je pokušavao pronaći nešto poput "knjige Bayesian Probability", nije proizveo ništa razumljivo. Istina, izvijestio je da je knjiga sa Bayesovom statistikom zabranjena u Kini. (Profesor statistike Andrew Gelman izvijestio je na blogu Univerziteta Columbia da je njegova knjiga, Analiza podataka s regresijom i višeslojnim/hijerarhijskim modelima, zabranjena za objavljivanje u Kini. Tamošnji izdavač je izvijestio da "knjigu nisu odobrile vlasti zbog raznih politički osjetljivih materijal u tekstu.") Pitam se da li je sličan razlog doveo do nedostatka knjiga o Bayesovskoj vjerovatnoći u Rusiji?

Konzervativizam u obradi ljudskih informacija

Vjerovatnoće određuju stepen neizvjesnosti. Vjerovatnoća, i prema Bayesu i prema našim intuicijama, je jednostavno broj između nule i onoga koji predstavlja stepen do kojeg donekle idealizirana osoba vjeruje da je izjava istinita. Razlog zašto je osoba donekle idealizirana je taj što zbir njenih vjerovatnoća za dva međusobno isključiva događaja mora biti jednak njegovoj vjerovatnoći da se dogodi bilo koji događaj. Svojstvo aditivnosti ima takve posljedice da malo pravih ljudi može ispuniti sve njih.

Bayesova teorema je trivijalna posljedica svojstva aditivnosti, neosporna i s kojom se slažu svi probabilisti, Bayesovi i drugi. Jedan od načina da se ovo napiše je sljedeći. Ako je P(H A |D) naknadna vjerovatnoća da je hipoteza A bila nakon što je uočena data vrijednost D, P(H A) je njena prethodna vjerovatnoća prije nego što je data vrijednost D uočena, P(D|H A ) je vjerovatnoća da je data vrijednost D će se posmatrati ako je H A tačno, a P(D) je bezuslovna vjerovatnoća date vrijednosti D, tada

(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)

P(D) je najbolje smatrati normalizujućom konstantom koja uzrokuje da se aposteriorne vjerovatnoće zbroje u jedinstvo nad iscrpnim skupom međusobno isključivih hipoteza koje se razmatraju. Ako je potrebno izračunati, moglo bi biti ovako:

Ali češće se P(D) eliminiše, a ne izračunava. Pogodan način da se ovo eliminiše je transformacija Bayesove teoreme u oblik omjera vjerovatnoće i šansi.

Razmotrite drugu hipotezu, H B , koja se međusobno isključuje sa H A , i promijenite svoje mišljenje o njoj na osnovu iste date količine koja je promijenila vaše mišljenje o H A. Bayesova teorema kaže da

(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)

Sada podijelimo jednačinu 1 sa jednačinom 2; rezultat će biti ovakav:

gdje su Ω 1 posteriorne šanse u korist H A do H B , Ω 0 su prethodne šanse, a L je veličina poznata statističarima kao omjer vjerovatnoće. Jednačina 3 je ista relevantna verzija Bayesove teoreme kao i jednačina 1, i često je znatno korisnija, posebno za eksperimente koji uključuju hipoteze. Bayesovci tvrde da je Bayesova teorema formalno optimalno pravilo o tome kako revidirati mišljenja u svjetlu novih dokaza.

Zainteresovani smo da uporedimo idealno ponašanje definisano Bayesovom teoremom sa stvarnim ponašanjem ljudi. Da bismo vam dali neku predstavu o tome što ovo znači, hajde da probamo eksperiment s vama kao ispitanikom. Ova torba sadrži 1000 žetona za poker. Imam dvije takve vrećice, jedna sa 700 crvenih i 300 plavih čipsa, a druga sa 300 crvenih i 700 plavih. Bacio sam novčić da bih odredio koji da koristim. Dakle, ako su naša mišljenja ista, vaša trenutna vjerovatnoća da dobijete vrećicu koja sadrži više crvenih čipsa je 0,5. Sada pravite nasumičan odabir sa povratom nakon svakog čipa. U 12 žetona dobijate 8 crvenih i 4 plava. Sada, na osnovu svega što znate, kolika je vjerovatnoća da dobijete vreću sa najviše crvenih? Jasno je da je veći od 0,5. Molimo vas da ne nastavljate čitati dok ne zabilježite svoj rezultat.

Ako ste tipični ispitanik, vaš rezultat je pao u rasponu od 0,7 do 0,8. Međutim, ako bismo uradili odgovarajući proračun, odgovor bi bio 0,97. Zaista je vrlo rijetko da osoba kojoj se ranije nije pokazao utjecaj konzervativizma može doći do tako visoke procjene, čak i ako je poznavala Bayesovu teoremu.

Ako je udio crvenog čipsa u vrećici R, zatim vjerovatnoća primanja r crveni čips i ( n –r) plava u n uzorci sa povratom – p r (1–p)n–r. Dakle, u tipičnom eksperimentu sa torbom i čipovima za poker, ako NA znači da je udio crvenih čipsa r A I NB– znači da je udio RB, zatim omjer vjerovatnoće:

Kada se primjenjuje Bayesova formula, potrebno je uzeti u obzir samo vjerovatnoću stvarnog opažanja, a ne vjerovatnoće drugih zapažanja koje je on mogao napraviti, ali nije. Ovaj princip ima široke implikacije za sve statističke i nestatističke primjene Bayesove teoreme; to je najvažnije tehničko sredstvo za Bayesovo rasuđivanje.

Bayesova revolucija

Vaši prijatelji i kolege govore o nečemu što se zove "Bayesova teorema" ili "Bayesovo pravilo" ili o nečemu što se zove Bayesovo rezonovanje. Ovo ih stvarno zanima, pa odete na internet i pronađete stranicu o Bayesovoj teoremi i... To je jednačina. I to je to... Zašto matematički koncept stvara takav entuzijazam u glavama? Kakva se to „Bajesova revolucija“ dešava među naučnicima, a tvrdi se da se čak i sam eksperimentalni pristup može opisati kao njegov poseban slučaj? Koja je tajna koju Bayesovci znaju? Kakvu vrstu svjetlosti vide?

Bayesova revolucija u nauci nije se dogodila jer je sve više i više kognitivnih naučnika odjednom počelo primjećivati ​​da mentalni fenomeni imaju Bayesovu strukturu; ne zato što su naučnici u svim oblastima počeli da koriste Bayesovu metodu; već zato što je sama nauka poseban slučaj Bayesove teoreme; eksperimentalni dokazi su Bayesovski dokazi. Bayesovi revolucionari tvrde da kada izvedete eksperiment i dobijete dokaze koji "potvrđuju" ili "pobijaju" vašu teoriju, ta potvrda ili opovrgavanje se događa prema Bayesovim pravilima. Na primjer, morate uzeti u obzir ne samo da vaša teorija može objasniti neki fenomen, već i da postoje druga moguća objašnjenja koja također mogu predvidjeti taj fenomen.

Ranije je najpopularnija filozofija nauke bila stara filozofija, koja je istisnuta Bajesovskom revolucijom. Ideja Karla Poppera da se teorije mogu potpuno falsificirati, ali nikada u potpunosti provjeriti, još je jedan poseban slučaj Bayesovih pravila; ako je p(X|A) ≈ 1 – ako teorija daje ispravna predviđanja, onda posmatranje ~X jako krivotvori A. S druge strane, ako je p(X|A) ≈ 1 i posmatramo X, to ne potvrđuje jako teorija; možda je moguć neki drugi uslov B, takav da je p(X|B) ≈ 1, i pod kojim zapažanje X ne svedoči u korist A, ali svedoči u korist B. Da bi opažanje X definitivno potvrdilo A, imali bismo ne znati da je p(X|A) ≈ 1 i da je p(X|~A) ≈ 0, što ne možemo znati jer ne možemo razmotriti sva moguća alternativna objašnjenja. Na primjer, kada je Ajnštajnova teorija opšte relativnosti nadmašila Njutnovu dobro podržanu teoriju gravitacije, ona je sva predviđanja Njutnove teorije učinila posebnim slučajem predviđanja Ajnštajnove.

Na sličan način, Popperova tvrdnja da ideja mora biti falsifikabilna može se tumačiti kao manifestacija Bayesovog pravila održanja vjerovatnoće; ako je rezultat X pozitivan dokaz za teoriju, onda rezultat ~X mora do neke mjere opovrgnuti teoriju. Ako pokušate protumačiti i X i ~X kao "potvrđivanje" teorije, Bayesova pravila kažu da je to nemoguće! Da biste povećali vjerovatnoću teorije, morate je podvrgnuti testovima koji potencijalno mogu smanjiti njenu vjerovatnoću; Ovo nije samo pravilo za identifikaciju šarlatana u nauci, već posljedica Bayesove teoreme vjerovatnoće. S druge strane, Popperova ideja da je potreban samo falsifikat, a nije potrebna potvrda je netačna. Bayesova teorema pokazuje da je krivotvorenje vrlo jak dokaz u poređenju sa potvrdom, ali je krivotvorenje još uvijek vjerovatnoće po prirodi; ne upravlja se fundamentalno drugačijim pravilima i na taj se način ne razlikuje od potvrde, kako tvrdi Popper.

Dakle, nalazimo da su mnoge pojave u kognitivnim naukama, plus statističke metode koje koriste naučnici, plus sama naučna metoda, posebni slučajevi Bayesove teoreme. Ovo je Bayesova revolucija.

Dobrodošli u Bayesian Conspiration!

Literatura o Bayesovoj vjerovatnoći

2. Nobelovac za ekonomiju Kahneman (i njegovi drugovi) opisao je mnogo različitih Bayesovih primjena u divnoj knjizi. Samo u svom kratkom sažetku ove veoma velike knjige, izbrojao sam 27 spominjanja imena jednog prezbiterijanskog sveštenika. Minimalne formule. (.. jako mi se dopalo. Istina, malo je komplikovano, ima dosta matematike (a gdje bismo bez nje), ali pojedina poglavlja (npr. Poglavlje 4. Informacije) su jasno na temu. Preporučujem svima.Čak i ako ti je matematika teška,čitaj svaki drugi red,preskačući matematiku i pecaj korisne žitarice...

14. (dodatak od 15.01.2017), poglavlje iz knjige Tonyja Krilija. 50 ideja o kojima trebate znati. Matematika.

Nobelovac fizičar Richard Feynman, govoreći o jednom filozofu s posebno velikim samovažnošću, jednom je rekao: „Ono što me iritira nije filozofija kao nauka, već pompoznost koja se stvara oko nje. Kad bi se bar filozofi mogli smijati sami sebi! Kad bi samo mogli da kažu: „Ja kažem da je ovako, ali Fon Lajpcig je mislio da je drugačije, i on takođe zna nešto o tome.” Kad bi se barem sjetili pojasniti da je to samo njihovo .

Razumevanje (proučavanje) verovatnoće počinje tamo gde se završava klasični kurs teorije verovatnoće. Iz nekog razloga, u školama i na univerzitetima predaju učestalost (kombinatornu) vjerovatnoću, odnosno vjerovatnoću onoga što je određeno. Ljudski mozak radi drugačije. Imamo teorije (mišljenja) o svemu na svijetu. Mi subjektivno procjenjujemo vjerovatnoću određenih događaja. Također možemo promijeniti mišljenje ako se dogodi nešto neočekivano. To je ono što radimo svaki dan. Na primjer, ako sretnete prijatelja kod spomenika Puškinu, shvatite da li će ona doći na vrijeme, 15 minuta ili pola sata. Ali kada iz metroa izađete na trg i vidite 20 cm svježeg snijega, ažurirat ćete svoje vjerovatnoće kako biste uzeli u obzir nove podatke.

Ovaj pristup prvi su opisali Bayes i Laplace. Iako Laplace, mislim da nije bio upoznat sa Bayesovim radom. Iz meni nepoznatih razloga, Bayesov pristup je prilično slabo zastupljen u literaturi na ruskom jeziku. Za poređenje, napominjem da kada se traži Bayes, Ozon proizvodi 4 linka, a Amazon - oko 1000.

Ova napomena je prijevod male engleske knjige i pružit će vam intuitivno razumijevanje kako koristiti Bayesovu teoremu. Počinje s definicijom, a zatim koristi primjere u Excelu koji će vam pomoći da slijedite cijeli niz razmišljanja.

Scott Hartshorn. Primjeri Bayesove teoreme: Vizualni vodič za početnike. – 2016, 82 str.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Definicija Bayesove teoreme i intuitivno objašnjenje

Bayesova teorema

gde su A i B događaji, P(A) i P(B) su verovatnoće A i B bez uzimanja u obzir jedna drugu, P(A|B) je uslovna verovatnoća događaja A pod uslovom da je B tačno, P (B|A) je uslovna vjerovatnoća za B ako je A tačno.

U stvarnosti, jednadžba je nešto složenija, ali za većinu primjena to je dovoljno. Rezultat izračuna je jednostavno normalizirana ponderirana vrijednost zasnovana na originalnoj pretpostavci. Dakle, uzmite svoju početnu pretpostavku, odmjerite je u odnosu na druge početne mogućnosti, normalizirajte je na osnovu opažanja:

Kako budemo rješavali probleme, izvršit ćemo sljedeće korake (kasnije će postati jasniji):

1. Odredite koje vjerovatnoće želimo izračunati, a koje promatramo.
2. Procijenite početne vjerovatnoće za sve moguće opcije.
3. Uz pretpostavku istinitosti određene početne opcije, izračunajte vjerovatnoću našeg zapažanja; i tako dalje za sve početne opcije.
4. Pronađite ponderisanu vrijednost kao proizvod početne vjerovatnoće (korak 2) i uslovne vjerovatnoće (korak 3), i tako dalje za svaku od početnih opcija.
5. Normalizirajte rezultate: podijelite svaku ponderisanu vjerovatnoću (korak 4) zbirom svih ponderiranih vjerovatnoća; zbir normalizovanih verovatnoća = 1.
6. Ponovite korake 2-5 za svako novo zapažanje.

Primjer 1. Jednostavan primjer s kockicama

Recimo da vaš prijatelj ima 3 kocke: sa 4, 6 i 8 strana. On nasumično odabere jedan od njih, ne pokaže vam ga, baci ga i saopći rezultat - 2. Izračunajte vjerovatnoću da je odabrana 4-strana, 6- ili 8-strana.

Korak 1. Želimo izračunati vjerovatnoću izbora 4-edra, 6-edra ili 8-edra. Vidimo izvučeni broj - 2.

Korak 2. Pošto su bile 3 kockice, početna vjerovatnoća odabira svake od njih je 1/3.

Korak 3. Zapažanje - kocka je pala na stranu 2. Ako je uzeta 4-strana strana, šanse da se to dogodi su 1/4. Za kocku sa 6 strana, šanse za bacanje 2 su 1/6. Za oktaedar – 1/8.

Korak 4. Kotrljanje 2 za 4-strana = 1/3 * 1/4 = 1/12, za 6-strana = 1/3 * 1/6 = 1/18, za 8-strana = 1/ 3 * 1/8 = 1/24.

Korak 5. Ukupna vjerovatnoća bacanja a 2 = 1/12 + 1/18 + 1/24 = 13/72. Ovaj broj je manji od 1 jer su šanse za bacanje 2 manje od 1. Ali znamo da smo već bacili 2. Dakle, trebamo podijeliti šanse svake opcije iz koraka 4 sa 13/72 tako da je zbir svih kockica za sve kockice 2 jednak 1. Ovaj proces se naziva normalizacija.

Normalizujući svaku ponderisanu verovatnoću, nalazimo verovatnoću da je ova kocka izabrana:

• tetragon = (1/12) / (13/72) = 6/13
• Šestougao = (1/18) / (13/72) = 4/13
• Oktaedar = (1/24) / (13/72) = 3/13

I ovo je odgovor.

Kada smo počeli rješavati problem, pretpostavili smo da je vjerovatnoća odabira određene kosti 33,3%. Nakon bacanja 2, izračunali smo da su šanse da je 4-strana inicijalno izabrana porasle na 46,1%, šanse da se izabere 6-strana su smanjene na 30,8%, a šanse da je odabrana 8-strana smanjene u potpunosti do 23,1%.

Uzimajući još jedan krug, mogli bismo koristiti nove izračunate procente kao naša početna nagađanja i precizirati vjerovatnoće na osnovu drugog zapažanja.

Ako imate samo jedno zapažanje, zgodno je sve korake prikazati u obliku tabele:

Table. 1. Korak po korak rješenje u obliku tabele (za formule pogledajte Excel datoteku na listu Primjer 1)

Bilješka:

• Da se umjesto 2, na primjer, pojavi 7, tada bi šanse u koraku 3 za 4- i 6-strane bile nule, a nakon normalizacije šanse za 8-strane bi bile 100 %.
• Budući da primjer uključuje samo tri kockice i jedno bacanje, koristili smo jednostavne razlomke. Za većinu problema s velikim brojem opcija i događaja lakše je raditi s decimalama.

Primjer 2: Više kostiju. Više bacanja

Ovaj put imamo 6 kockica sa 4, 6, 8, 10, 12 i 20 strana. Odaberemo jedan od njih nasumično i kotrljamo ga 15 puta. Kolika je vjerovatnoća da je određena kost odabrana?

Koristim model u Excel-u (slika 1; vidi list Primjer 2). Slučajni brojevi se generišu u koloni B pomoću funkcije =RANDBETWEEN(1,$B$9). IN u ovom slučajućelija B9 ima odabran osmougao, tako da se nasumični brojevi mogu kretati od 1 do 8. Budući da Excel ažurira nasumične brojeve nakon svake promjene na radnom listu, kopirao sam stupac B u međuspremnik i zalijepio samo vrijednosti u stupcu C. Sada vrijednosti se ne mijenjaju i koristit će se za naredne crteže. (Dodao sam mogućnost da se "igrate" biranjem broja strana i nasumičnih rolni na listu Primjer igre 2. Posebno zanimljivi rezultati se dobijaju ako u ćeliju B9 postavite broj 13 🙂 – Bilješka Baguzina.)

Rice. 1. Generator slučajnih brojeva

Korak 2. Budući da postoji samo šest kockica, vjerovatnoća da se jedna odabere nasumično je 1/6 ili 0,167.

Koraci 3 i 4. Napišite jednačinu za vjerovatnoću početnog odabira određene kockice nakon odgovarajućeg bacanja. Kao što smo vidjeli na kraju primjera 1, neka bacanja možda neće odgovarati određenim kockicama. Na primjer, bacanje 9 čini vjerovatnoću kockice sa 4, 6 i 8 strana jednakom nuli. Ako se baci “legitiman” broj, tada je njegova vjerovatnoća za dati kockicu jednaka onoj podijeljenoj sa brojem lica. Radi praktičnosti, spojili smo korake 3 i 4, pa odmah zapisujemo formulu za vjerovatnoću bacanja pomnoženu normaliziranom vjerovatnoćom nakon prethodnog bacanja (slika 2):

IF(roll > broj lica; 0; 1/broj lica * prethodna normalizovana verovatnoća)

Ako je koristite pažljivo, možete prevući ovu formulu na sve linije.

Rice. 2. Jednačina vjerovatnoće; Da biste uvećali sliku, kliknite desnim tasterom miša na nju i izaberite Otvorite sliku u novoj kartici

Korak 5. Poslednji korak je normalizacija rezultata nakon svakog bacanja (područje L11:R28 na sl. 3).

Rice. 3. Normalizacija rezultata

Dakle, nakon 15 bacanja, sa vjerovatnoćom od 96,4%, možemo pretpostaviti da smo inicijalno odabrali 8-stranu kockicu. Iako još uvijek postoje šanse da je izabrana kost sa b O veći broj strana: 3,4% za kockicu sa 10 strana, 0,2% za kocku sa 12 strana, 0,0001% za kocku sa 20 strana. Ali vjerovatnoća kockice sa 4 i 6 strana je nula, jer su izvučeni brojevi 7 i 8. To, naravno, odgovara činjenici da smo u ćeliju B9 upisali broj 8, ograničavajući vrijednosti za generator slučajnih brojeva.

Ako nacrtamo vjerovatnoću svakog početnog izbora kockice, roll po roll, vidjet ćemo (slika 4):

• Nakon prvog bacanja, vjerovatnoća odabira 4-strane kocke pada na nulu, jer se 6 odmah baca. Stoga je vodstvo preuzela varijanta sa 6 kockica.
• Za prvih nekoliko bacanja, kockica sa 6 strana ima najveću vjerovatnoću jer ima najmanje strana kockice koje se mogu baciti.
• Prilikom petog bacanja dolazi 8, vjerovatnoća šestostranog pada na nulu, a osmostrani postaje vodeći.
• Vjerojatnosti kockice s 10, 12 i 20 strana postepeno su se smanjivale pri prvim bacanjima, a zatim su doživjele skok kada je kockica sa 6 strana ispala iz trke. To je zato što su rezultati normalizirani na mnogo manji uzorak.

Rice. 4. Promjena vjerovatnoće bacanje po bacanje

Bilješka:

• Bayesov teorem za više događaja je jednostavno ponovljeno množenje na sekvencijalno ažuriranim podacima. Konačan odgovor ne zavisi od redosleda u kojem su se događaji odigrali.
• Nije potrebno normalizirati vjerovatnoće nakon svakog događaja. Ovo možete učiniti jednom na samom kraju. Problem je u tome što ako ne normalizirate redovno, vjerovatnoće postaju toliko male da Excel možda neće raditi ispravno zbog grešaka zaokruživanja. Stoga je praktičnije normalizirati na svakom koraku nego provjeravati da li ste blizu Excelove granice preciznosti.

Bayesova teorema. Terminologija

• Zove se početna vjerovatnoća, vjerovatnoća svake mogućnosti prije nego što se zapažanje dogodi a priori.
• Poziva se normalizirani odgovor nakon izračunavanja vjerovatnoće za svaku tačku podataka (za svako opažanje). a posteriori.
• Ukupna vjerovatnoća koja se koristi za normalizaciju odgovora je konstanta normalizacije.
• Uslovna vjerovatnoća, tj. naziva se vjerovatnoća svakog događaja kredibilitet.

Evo kako ti pojmovi izgledaju za prvi primjer (uporedi sa slikom 1).

Rice. 5. Uvjeti Bayesove teoreme

Sama Bayesova teorema u novim definicijama izgleda ovako (uporedi sa formulom 2):

Primjer 3: Nepošten novčić

Imate novčić za koji sumnjate da nije pošten. Bacite ga 100 puta. Izračunajte vjerovatnoću da će nepošteni novčić sletjeti glavom sa vjerovatnoćom od 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

Okrenimo se Excel fajlu, list Primjer 3. U ćelijama B13:B112 generirao sam nasumični broj između 0 i 1 i koristio posebnu pastu da premjestim vrijednosti u kolonu C. U ćeliju B8 unio sam očekivani postotak glava za ovaj nepošteni novčić. U koloni D, koristeći funkciju IF, pretvorio sam vjerovatnoće u jedinice (glave, za vjerovatnoću R od 0,35 do 1) ili do nula (repovi, for R od 0 do 0,35).

Rice. 6. Početni podaci za bacanje nepoštenog novčića

Dobio sam 63 glave i 37 repova, što dobro odgovara generatoru slučajnih brojeva ako postavimo vjerovatnoću glava na 65% kao ulaz.

Korak 1. Želimo da izračunamo vjerovatnoće da glave pripadaju koševima od 0%, 10%, ... 100% posmatrajući 63 glave i 37 repova u 100 bacanja.

Korak 2. Postoji 11 početnih mogućnosti: vjerovatnoće 0%, 10%, ... 100%. Pretpostavimo naivno da sve početne mogućnosti imaju jednaku vjerovatnoću, odnosno 1 šansu od 11 (slika 7). (Realnije, mogli bismo da damo početnim verovatnoćama oko 50% veću težinu od verovatnoća na ivicama od 0% i 100%. Ali cool stvar je da pošto imamo čak 100 bacanja, početne verovatnoće nisu toliko važne !)

Korak 3 i 4. Proračun vjerovatnoće. Da biste izračunali vjerovatnoću nakon svakog bacanja u Excelu, koristite funkciju IF. U slučaju glava, vjerovatnoća je jednaka proizvodu mogućnosti i prethodne normalizirane vjerovatnoće. Ako je rezultat glava, vjerovatnoća je jednaka (1 minus mogućnost) * prethodna normalizirana vjerovatnoća (slika 8).

Rice. 8. Uvjerljivost

Korak 5. Normalizacija se izvodi kao u prethodnom primjeru.

Rezultati su najjasnije predstavljeni kao niz histograma. Početni raspored je prethodna vjerovatnoća. Zatim svaki novi grafikon prikazuje situaciju nakon narednih 25 bacanja (slika 9). S obzirom da smo postavili vjerovatnoću glava na ulazu na 65%, prikazani grafikoni ne iznenađuju.

Rice. 9. Vjerovatnoće opcija nakon serije bacanja

Šta zapravo znači šansa od 70% za priliku od 0,6? Nije 70% šanse da će novčić pogoditi 60% precizno. Budući da smo imali 10% prirast između opcija, procjenjujemo da postoji 70% šanse da će ovaj novčić pasti između 55 i 65%. Odluka da se koristi 11 početnih opcija, u koracima od 10%, bila je potpuno proizvoljna. Mogli bismo koristiti 101 početnu mogućnost u koracima od 1%. U ovom slučaju dobili bismo rezultat sa maksimumom od 63% (pošto smo imali 63 glave) i glatkijim padom na grafikonu.

Imajte na umu da smo u ovom primjeru uočili sporiju konvergenciju u odnosu na primjer 2. To je zato što je razlika između 60% bacanja novčića u odnosu na 70% manja nego između kockice s 8 i 10 strana.

Primjer 4. Više kostiju. Ali sa greškama u protoku podataka

Vratimo se na primjer 2. Prijatelj u torbi ima kockice sa 4, 6, 8, 10, 12, 20 strana. On nasumično vadi jednu kockicu i baca je 80 puta. Zapisuje izvučene brojeve, ali greši u 5% slučajeva. U ovom slučaju, umjesto stvarnog rezultata bacanja pojavljuje se nasumični broj između 1 i 20. Nakon 80 bacanja, koja kocka je po vašem mišljenju izabrana?

Kao ulazni podaci u Excelu (radni list Primjer 4) Uneo sam broj strana (8), kao i verovatnoću da podaci sadrže grešku (0,05). Formula za vrijednost bacanja (slika 10):

IF (RAND() > vjerovatnoća greške; RANDBETWEEN(1, broj lica); RANDBETWEEN(1,20))

Ako je slučajni broj veći od vjerovatnoće greške (0,05), tada nije bilo greške u ovom bacanju, tako da generator slučajnih brojeva bira vrijednost između 1 i "pogođenog" broja strana kockice, u suprotnom slučajni cijeli broj treba generirati između 1 i 20.

Rice. 10. Izračunavanje vrijednosti bacanja

Na prvi pogled, ovaj problem bismo mogli riješiti na isti način kao u primjeru 2. Ali, ako ne uzmemo u obzir vjerovatnoću greške, dobićemo grafik vjerovatnoće kao na sl. 11. (Najlakši način da ga dobijete u EXCEL-u je da prvo generišete bacanja u koloni B sa vrijednošću greške od 0,05; zatim premjestite vrijednosti bacanja u stupac C i na kraju promijenite vrijednost u ćeliji B11 na 0; pošto formule za izračunavanje vjerovatnoće u rasponu D14 :J94 odnose se na ćeliju B11, postići će se efekat neračunanja grešaka.)

Rice. 11. Obrada vrijednosti bacanja bez uzimanja u obzir vjerovatnoće greške

Budući da je vjerovatnoća greške mala, a generator slučajnih brojeva je postavljen na 8-strani, vjerovatnoća potonjeg postaje dominantna sa svakim bacanjem. Štaviše, pošto greška sa verovatnoćom od 40% (osam od dvadeset) može dati vrednost unutar 8, vrednost greške koja je uticala na rezultat pojavila se tek pri 63. bacanju. Međutim, ako se greške ne uzmu u obzir, vjerovatnoća 8-edra će biti nula, a 20-edra će dobiti 100%. Imajte na umu da je do 63. bacanja vjerovatnoća opklade na 20 strana bila samo 2*10 –25.

Šanse da dobijete grešku su 5%, a šansa da greška da vrijednost veću od 8 je 60%. Odnosno, 3% bacanja će dati grešku sa vrijednošću većom od 8, što se dogodilo na bacanju 63, kada je izvršen unos 17. Ako formula vjerovatnoće ne uzme u obzir moguće greške, dobićemo vjerovatnoću 20-strano uzdizanje od 2 * 10 –25 do 1, kao na sl. jedanaest.

Ako osoba pažljivo promatra podatke, može otkriti ovu grešku i zanemariti pogrešne vrijednosti. Da biste automatizirali proces, dopunite jednadžbu vjerovatnoće provjerom greške. Nikada ne postavljajte vjerovatnoće greške na nulu ako pretpostavite da se one ne mogu potpuno eliminirati. Ako uzmete u obzir vjerovatnoće grešaka, tada stotine "ispravnih" podataka neće dozvoliti da pojedinačne pogrešne vrijednosti pokvare sliku.

Dopunjavamo jednadžbu funkcije vjerovatnoće provjerom grešaka (slika 12):

IF($C15>F$13;$B$11*1/20*N14;($B$11*1/20+(1-$B$11)/F$13)*N14)

Rice. 12. Funkcija vjerovatnoće koja uzima u obzir greške

Ako je snimljena vrijednost bacanja više broja lica ($C15>F$13), ne resetujemo uslovnu verovatnoću, već je smanjujemo uzimajući u obzir verovatnoću greške ($B$11*1/20*N14). Ako je napisani broj manji broj lica, povećavamo uslovnu verovatnoću ne u potpunosti, a takođe uzimajući u obzir moguću grešku ($B$11*1/20+(1-$B$11)/F$13)*N14). U potonjem slučaju smatramo da napisani broj može biti ili posljedica greške ($B$11*1/20) ili rezultat ispravnog zapisa (1-$B$11)/F$13).

Promjena normalizirane vjerovatnoće postaje otpornija na moguće greške (slika 13).

Rice. 13. Promjena normalizirane vjerovatnoće od bacanja do bacanja

U ovom primjeru, 6-strana kocka je u početku favorit jer su prva 3 bacanja 5, 6, 1. Zatim se baca 7 i vjerovatnoća 8-strane se povećava. Međutim, pojava 7 ne poništava vjerovatnoću 6-strane, jer 7 može biti greška. I čini se da sljedećih devet bacanja to potvrđuju, kada se izbace vrijednosti ne više od 6: vjerovatnoća 6-stranog ponovnog porasta. Međutim, na 14. i 15. bacanju sedmice se ponovo bacaju, a vjerovatnoća kocka sa 6 strana približava se nuli. Kasnije se pojavljuju vrijednosti 17 i 19, koje "sistem" utvrđuje kao očito pogrešne.

Primjer 4A. Šta ako imate zaista visoku stopu grešaka?

Ovaj primjer je sličan prethodnom, ali je stopa greške povećana sa 5% na 75%. Kako su podaci postali manje relevantni, povećali smo broj bacanja na 250. Koristeći iste jednadžbe kao u primjeru 4, dobili smo sljedeći grafikon:

Rice. 14. Normalizovana verovatnoća sa 75% pogrešnih zapisa

Uz tako visoku stopu greške, bilo je potrebno mnogo više bacanja. Osim toga, rezultat je manje siguran, a 6-edar povremeno postaje vjerovatniji. Ako imate još veću stopu greške, kao što je 99%, još uvijek je moguće dobiti tačan odgovor. Očigledno, što je veća stopa grešaka, potrebno je više snimaka. Za 75% grešaka dobijamo jednu tačnu vrijednost od četiri. Da je vjerovatnoća greške 99%, dobili bismo samo jednu tačnu vrijednost od sto. Vjerovatno bi nam bilo potrebno 25 puta više podataka da identifikujemo dominantnu varijantu.

Šta ako ne znate vjerovatnoću greške? Preporučujem da se “poigrate” sa primjerima 4 i 4A, postavljajući B11 u ćeliju različita značenja od vrlo malih (na primjer, 2*10 –25 na primjer 4) do vrlo velikih (na primjer, 90% na primjer 4A). Evo glavnih zaključaka:

• Ako je procijenjena stopa greške veća od stvarne stope greške, rezultati će se konvergirati sporije, ali će se i dalje približavati tačnom odgovoru.
• Ako procijenite stopu greške preniska, postoji rizik da rezultati neće biti tačni.
• Što je niža stvarna stopa grešaka, imate više prostora za pomicanje u pogađanju stope greške.
• Što je veća stvarna stopa grešaka, potrebno je više podataka.

Primjer 5. Problem njemačkog tenkova

U ovom zadatku pokušavate procijeniti koliko je tenkova proizvedeno na osnovu serijskih brojeva zarobljenih tenkova. Bayesovu teoremu koristili su Saveznici tokom Drugog svjetskog rata i na kraju je proizvela rezultate niže od onih o kojima su obavještajci izvještavali. Poslije rata, zapisi su to pokazivali statističke procjene koristeći Bayesovu teoremu bili su tačniji. (Zanimljivo je da sam napisao bilješku na ovu temu, a da još nisam znao šta su Bayesove vjerovatnoće; vidi . - Bilješka Baguzina.)

Dakle, analizirate serijske brojeve preuzete iz srušenih ili zarobljenih tenkova. Cilj je procijeniti koliko je tenkova proizvedeno. Evo šta znate o serijskim brojevima tenkova:

• Počinju od 1.
• Ovo su cijeli brojevi bez praznina.
• Pronašli ste sljedeće serijske brojeve: 30, 70, 140, 125.

Zanima nas odgovor na pitanje: koliki je maksimalan broj tenkova? Počeću sa 1000 tenkova. Ali neko drugi bi mogao početi sa 500 tenkova ili 2000 tenkova, i mogli bismo dobiti drugačije rezultate. Ja ću analizirati svakih 20 tenkova, što znači da imam 50 početnih mogućnosti za broj tenkova. Možete zakomplikovati model i analizirati ga za svaki pojedinačni broj u Excelu, ali odgovor se neće mnogo promijeniti, a analiza će postati mnogo komplikovanija.

Pretpostavljam da su sve mogućnosti za broj tenkova jednake (tj. vjerovatnoća da imate 50 tenkova je ista kao da imate 500). Imajte na umu da Excel datoteka ima više kolona nego što je prikazano na slici. Uslovna vjerovatnoća za funkciju vjerovatnoće je vrlo slična uslovnoj vjerovatnoći iz primjera 2:

• Ako je posmatrani serijski broj veći od maksimalnog serijskog broja za ovu grupu, tada je vjerovatnoća da će se imati toliko rezervoara 0.
• Ako je posmatrani serijski broj manji od maksimalnog serijskog broja za tu grupu, vjerovatnoća je jedna podijeljena s brojem rezervoara pomnoženom sa normaliziranom vjerovatnoćom u prethodnom koraku (Slika 15).

Rice. 15. Uvjetne vjerovatnoće raspodjele rezervoara u grupe

Normalizovane verovatnoće izgledaju ovako (slika 16).

Rice. 16. Normalizovane verovatnoće broja rezervoara

Postoji veliki skok u vjerovatnoći za najveći uočeni serijski broj. Nakon toga dolazi do asimptotičkog smanjenja na nulu. Za 4 otkrivena serijska broja, maksimum odgovara 140 rezervoara. Ali iako je ovaj broj najvjerovatniji odgovor, to nije najbolja procjena jer gotovo sigurno potcjenjuje broj tenkova.

Ako uzmemo ponderisani prosječni broj rezervoara, tj. zbrojite po parovima pomnožene grupe i njihove vjerovatnoće za četiri rezervoara koristeći formulu:

OKRUGLO(SUMPROIZVOD(BD9:DA9,BD14:DA14),0)

dobijamo najbolji rezultat od 193.

Ako smo u početku počeli sa 2000 tenkova, prosjećna težina bilo bi 195 tenkova, što u suštini ništa ne menja.

Primjer 6: Testiranje na droge

Znate da 0,5% stanovništva koristi drogu. Imate test koji ima 99% istinske pozitivne stope za korisnike droga i 98% istinitih negativnih stopa za ne-korisnike. Nasumično odaberete osobu, pokrenete test i dobijete pozitivan rezultat. Koja je vjerovatnoća da osoba zaista koristi drogu?

Za našeg slučajnog pojedinca početna vjerovatnoća da je narkoman je 0,5%, a vjerovatnoća da nije narkoman je 99,5%.

Sljedeći korak je izračunavanje uslovne vjerovatnoće:

• Ako ispitanik koristi drogu, test će biti pozitivan u 99% vremena i negativan u 1% vremena.
• Ako ispitanik ne koristi drogu, test će biti pozitivan u 2% slučajeva, a negativan u 98% slučajeva.

Funkcije vjerovatnoće za korisnike droga i ne-korisnike prikazane su na Sl. 17.

Rice. 17. Funkcije vjerovatnoće: (a) za korisnike droga; (b) za ne-korisnike droga

Nakon normalizacije vidimo da i pored pozitivnog rezultata testa, vjerovatnoća da ova nasumična osoba koristi drogu iznosi samo 0,1992 ili 19,9%. Ovaj rezultat mnoge iznenađuje jer je, na kraju krajeva, tačnost testa prilično visoka – čak 99%. Budući da je početna vjerovatnoća bila samo 0,5%, čak ni veliko povećanje ove vjerovatnoće nije bilo dovoljno da odgovor bude zaista velik.

Intuicija većine ljudi ne uzima u obzir početnu vjerovatnoću. Čak i ako je uslovna vjerovatnoća zaista visoka, vrlo niska početna vjerovatnoća može dovesti do niske konačne vjerovatnoće. Intuicija većine ljudi je podešena oko početne vjerovatnoće od 50/50. Ako je to slučaj i rezultat testa je pozitivan, tada će normalizirana vjerovatnoća biti očekivanih 98%, što potvrđuje da osoba koristi drogu (Slika 18).

Rice. 18. Rezultat testa sa početnom vjerovatnoćom 50/50

Za alternativni pristup objašnjavanju takvih situacija, vidi.

Za bibliografiju o Bayesovoj teoremi, pogledajte kraj napomene.

Ako je događaj A može se dogoditi samo kada jedan od događaja koji se formiraju kompletna grupa nespojivih događaja , zatim vjerovatnoća događaja A izračunato po formuli

Ova formula se zove formula ukupne vjerovatnoće .

Razmotrimo ponovo kompletnu grupu nekompatibilnih događaja čije su vjerovatnoće . Događaj A može se dogoditi samo zajedno sa bilo kojim od događaja koje ćemo nazvati hipoteze . Zatim, prema formuli ukupne vjerovatnoće

Ako je događaj A dogodilo, to može promijeniti vjerovatnoću hipoteza .

Po teoremu množenja vjerovatnoće

.

Slično, za preostale hipoteze

Rezultirajuća formula se zove Bayesova formula (Bayesova formula ). Vjerovatnoće hipoteza se nazivaju posteriorne vjerovatnoće , dok - prethodne vjerovatnoće .

Primjer. Prodavnica je dobila nove proizvode iz tri fabrike. Procentualni sastav ovih proizvoda je sledeći: 20% - proizvodi prvog preduzeća, 30% - proizvodi drugog preduzeća, 50% - proizvodi trećeg preduzeća; dalje, 10% proizvoda prvog preduzeća je najvišeg kvaliteta, drugog preduzeća - 5% i trećeg - 20% proizvoda najvišeg kvaliteta. Pronađite vjerovatnoću da će slučajno kupljeni novi proizvod biti najviše ocjene.

Rješenje. Označimo sa IN događaj da će biti kupljeni proizvodi najvišeg kvaliteta označavamo događajima koji se sastoje od kupovine proizvoda iz prvog, drugog i trećeg preduzeća.

Možete primijeniti formulu ukupne vjerovatnoće, au našoj notaciji:

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu ukupne vjerovatnoće dobijamo željenu vjerovatnoću:

Primjer. Jedan od trojice strijelaca se poziva na liniju gađanja i ispaljuje dva hica. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem za prvog strijelca je 0,3, za drugog - 0,5; za treći - 0,8. Cilj nije pogođen. Pronađite vjerovatnoću da je hitac ispalio prvi strijelac.

Rješenje. Moguće su tri hipoteze:

Prvi strijelac je pozvan na liniju vatre,

Drugi strijelac je pozvan na liniju vatre,

Treći strijelac se poziva na vatrenu liniju.

Pošto je pozivanje svakog strijelca na liniju vatre jednako moguće, onda

Kao rezultat eksperimenta, uočen je događaj B - nakon ispaljenih hitaca, meta nije pogođena. Uslovne vjerovatnoće ovog događaja prema postavljenim hipotezama jednake su:

Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo vjerovatnoću hipoteze nakon eksperimenta:

Primjer. Tri automatske mašine obrađuju dijelove istog tipa, koji se nakon obrade prenose na zajednički transporter. Prva mašina proizvodi 2% kvarova, druga - 7%, treća - 10%. Produktivnost prve mašine je 3 puta veća od produktivnosti druge, a treće 2 puta manja od druge.

a) Kolika je stopa kvarova na montažnoj traci?

b) Koliki je udio dijelova svake mašine među neispravnim dijelovima na transporteru?

Rješenje. Uzmimo jedan dio nasumce sa montažne trake i razmotrimo događaj A - dio je neispravan. Povezano je sa hipotezama o tome gdje je ovaj dio obrađen: - nasumično uzet dio je obrađen na th mašini.

Uslovne vjerovatnoće (u iskazu problema date su u obliku postotaka):

Zavisnosti između produktivnosti mašina znače sledeće:

A budući da hipoteze čine potpunu grupu, onda .

Nakon što smo riješili rezultirajući sistem jednačina, nalazimo: .

a) Ukupna vjerovatnoća da je nasumično uzet dio sa montažne trake neispravan:

Drugim riječima, u masi dijelova koji silaze sa montažne trake, kvarovi iznose 4%.

b) Neka bude poznato da je nasumično uzet dio neispravan. Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo uslovne vjerovatnoće hipoteza:

Dakle, u ukupna masa od neispravnih delova na transporteru, udeo prve mašine je 33%, druge - 39%, treće - 28%.

Praktični zadaci

Vježba 1

Rješavanje problema u glavnim granama teorije vjerovatnoće

Cilj je sticanje praktičnih vještina u rješavanju problema u

grane teorije vjerovatnoće

Priprema za praktični zadatak

Upoznajte se s teorijskim materijalom na ovu temu, proučite sadržaj teorijskog materijala, kao i relevantne dijelove u književnim izvorima

Procedura za izvršenje zadatka

Riješite 5 zadataka prema broju opcije zadatka datog u tabeli 1.

Opcije izvornih podataka

Tabela 1

	broj zadatka

Sastav izvještaja o zadatku 1

5 riješenih zadataka prema broju opcije.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Da li su sledeće grupe slučajeva slučajevi: a) iskustvo - bacanje novčića; događaji: A1- izgled grba; A2- izgled broja; b) eksperiment - bacanje dva novčića; događaji: U 1- izgled dva grba; U 2 - pojavljivanje dva broja; U 3- izgled jednog grba i jednog broja; c) iskustvo - bacanje kocke; događaji: C1 - izgled ne više od dvije tačke; C2 - pojava tri ili četiri tačke; C3 - izgled od najmanje pet bodova; d) iskustvo - gađanje mete; događaji: D1- hit; D2- nedostajati; e) iskustvo - dva hica u metu; događaji: E0- ni jedan pogodak; E1- jedan pogodak; E2- dva pogotka; f) iskustvo - vađenje dvije karte iz špila; događaji: F1 - pojava dva crvena kartona; F2- pojava dve crne karte?

2. U urni A su bijele i B crne lopte. Jedna lopta se nasumično izvlači iz urne. Nađi vjerovatnoću da je ova lopta bijela.

3. U urni A bijela i B crne lopte. Jedna lopta se uzima iz urne i ostavlja na stranu. Ispostavilo se da je ova lopta bijela. Nakon toga se iz urne uzima još jedna lopta. Nađite vjerovatnoću da će i ova lopta biti bijela.

4. U urni A bijeli i B crne lopte. Jedna lopta je izvađena iz urne i ne gledajući je ostavljena u stranu. Nakon toga je iz urne uzeta još jedna lopta. Ispostavilo se da je bijelac. Nađite vjerovatnoću da je i prva stavljena lopta bela.

5. Iz urne u kojoj se nalazi A bijeli i B crne lopte, vadite jednu po jednu sve lopte osim jedne. Nađite vjerovatnoću da će posljednja loptica preostala u urni biti bijela.

6. Iz urne u kojoj je A bijele kuglice i B crne, izvadite sve loptice u nizu. Pronađite vjerovatnoću da će bela kugla biti izvučena druga po redu.

7. U urni se nalaze A bijele i B crne kuglice (A > 2). Iz urne se uzimaju dvije lopte odjednom. Odrediti vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

8. U urni A su bijeli i B crne kuglice (A > 2, B > 3). Odjednom se uzima pet loptica iz urne. Pronađite vjerovatnoću R da će dva od njih biti bijela, a tri crna.

9. U igri koja se sastoji od X dostupni proizvodi I neispravan. Odabrano iz serije za kontrolu I proizvodi. Pronađite vjerovatnoću R koji od njih je tačno J proizvodi će biti neispravni.

10. Kocka se baca jednom. Pronađite vjerovatnoću sljedećih događaja: A - pojavljivanje parnog broja bodova; IN- izgled od najmanje 5 bodova; SA- izgled ne više od 5 bodova.

11. Kockice se bacaju dva puta. Pronađite vjerovatnoću R da će se oba puta pojaviti isti broj bodova.

12. Dvije kocke se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja: A- zbir izvučenih bodova je 8; IN- proizvod valjanih bodova je 8; SA- zbroj ubačenih bodova je veći od njihovog proizvoda.

13. Bacaju se dva novčića. Koji je od sljedećih događaja vjerovatniji: A - novčići će ležati na istim stranama; IN - hoće li novčići završiti na različitim stranama?

14. U urni A bijeli i B crne lopte (A > 2; B > 2). Iz urne se istovremeno izvlače dvije lopte. Koji je događaj vjerovatniji: A- loptice iste boje; IN - loptice raznih boja?

15. Tri igrača igraju karte. Svakom od njih je podijeljeno 10 karata i dvije karte su ostavljene u izvlačenju. Jedan od igrača vidi da u rukama ima 6 karata dijamanata i 4 ne-dijamanta. On odbacuje dvije od ove četiri karte i uzima remi za sebe. Pronađite vjerovatnoću da će kupiti dva dijamanta.

16. Iz urne koja sadrži P numerisane kuglice, sve loptice u njoj se nasumce vade, jedna za drugom. Pronađite vjerovatnoću da će brojevi izvučenih loptica biti redom: 1, 2,..., P.

17. Ista urna kao i u prethodnom zadatku, ali nakon vađenja svake loptice se vraća nazad i miješa sa ostalima i zapisuje se njen broj. Odrediti vjerovatnoću da će se napisati prirodni niz brojeva: 1, 2,..., str.

18. Pun špil karata (52 lista) je nasumično podijeljen u dva jednaka paketa od po 26 listova. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja: A - svaki paket će sadržavati dva asa; IN- jedan od paketa neće sadržavati niti jednog asa, a drugi neće imati sva četiri; S-v jedan od čopora će imati jednog asa, a drugi tri.

19. Na košarkaškom prvenstvu učestvuje 18 ekipa iz kojih se nasumično formiraju dvije grupe od po 9 ekipa. Među učesnicima takmičenja je 5 ekipa

ekstra klasa. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja: A - svi vrhunski timovi će biti u istoj grupi; IN- dva vrhunska tima će upasti u jednu od grupa, a tri - u drugu.

20. Brojevi su ispisani na devet karata: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dvije se nasumce vade i stavljaju na sto po redoslijedu pojavljivanja, a zatim se čita rezultirajući broj , na primjer 07 (sedam), 14 (četrnaest) itd. Pronađite vjerovatnoću da će broj biti paran.

21. Brojevi su ispisani na pet kartica: 1, 2, 3, 4, 5. Dvije se, jedna za drugom, vade. Pronađite vjerovatnoću da će broj na drugoj kartici biti veći od broja na prvoj.

22. Isto pitanje kao u zadatku 21, ali nakon što se prva kartica izvadi, ona se vraća i miješa sa ostalima, a broj na njoj se zapisuje.

23. U urni A bijeli, B crne i C crvene kuglice. Sve loptice u njoj se jedna po jedna vade iz urne i bilježe njihove boje. Pronađite vjerovatnoću da se na ovoj listi pojavi bijelo prije crnog.

24. Postoje dvije urne: u prvoj A bijeli i B crne lopte; u drugom C bijeli i D crna. Iz svake urne se izvlači kugla. Nađi vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

25. U uslovima zadatka 24 naći vjerovatnoću da će izvučene kuglice biti različitih boja.

26. U bubnju revolvera ima sedam otvora, od kojih pet sadrži patrone, a dva su ostavljena prazna. Bubanj se rotira, zbog čega se jedno od gnijezda nasumično pojavljuje na prtljažniku. Nakon toga, okidač se pritisne; ako je ćelija bila prazna, pucanj se ne dešava. Pronađite vjerovatnoću Rčinjenica da, nakon što smo ovaj eksperiment ponovili dva puta zaredom, nećemo pucati oba puta.

27. Pod istim uslovima (pogledajte problem 26), pronađite vjerovatnoću da će se hitac dogoditi oba puta.

28. Urna sadrži A; loptice označene brojevima 1, 2, ..., To Iz urne I jedna po jedna lopta se vadi (I<к), Broj lopte se bilježi i lopta se vraća u urnu. Pronađite vjerovatnoću R da će svi snimljeni brojevi biti različiti.

29. Riječ “knjiga” sastoji se od pet slova podijeljene abecede. Dijete koje ne zna čitati raspršilo je ova slova, a zatim ih sakupilo nasumičnim redoslijedom. Pronađite vjerovatnoću R da je ponovo smislio riječ "knjiga".

30. Riječ “ananas” je napravljena od slova podijeljene abecede. Dijete koje ne zna čitati raspršilo je ova slova, a zatim ih sakupilo nasumičnim redoslijedom. Pronađite vjerovatnoću R da opet ima riječ "ananas".

31. Nekoliko karata se izvlači iz cijelog špila karata (52 lista, 4 boje). Koliko karata treba izvaditi da bi se sa vjerovatnoćom većom od 0,50 moglo reći da će među njima biti karata iste boje?

32. N ljudi nasumično sjede za okruglim stolom (N> 2). Pronađite vjerovatnoću R te dvije fiksne osobe A I INće biti u blizini.

33. Isti problem (vidi 32), ali tabela je pravougaona, a N ljudi nasumično sjede duž jedne od njegovih strana.

34. Bačve loto imaju brojeve od 1 do N. Ovih N Dvije bačve su nasumično odabrane. Nađite vjerovatnoću da oba bureta sadrže brojeve manje od k (2

35. Bačve loto imaju brojeve od 1 do N. Ovih N Dvije bačve su nasumično odabrane. Nađite vjerovatnoću da jedna od bačvi sadrži broj veći od k , a sa druge - manje od k . (2

36. Baterija od M puca iz vatrenog oružja na grupu koju čine N ciljevi (M< N). Topovi biraju svoje mete uzastopno, nasumično, pod uslovom da dva pištolja ne mogu pucati na istu metu. Pronađite vjerovatnoću R da će se gađati ciljevi pod brojevima 1, 2,... M.

37.. Baterija koja se sastoji od To pištolja, puca na grupu koju čine I aviona (Za< 2). Svako oružje bira svoju metu nasumično i nezavisno od ostalih. Pronađite vjerovatnoću da sve To puške će pucati na istu metu.

38. U uslovima prethodnog zadatka naći vjerovatnoću da će svi topovi pucati na različite ciljeve.

39. Četiri lopte su nasumično razbacane po četiri rupe; svaka loptica upadne u jednu ili drugu rupu sa istom verovatnoćom i nezavisno od ostalih (nema prepreka da više loptica padne u istu rupu). Nađite vjerovatnoću da će u jednoj od rupa biti tri lopte, jedna u drugoj, a da u druge dvije rupe neće biti loptice.

40. Maša se posvađala sa Petjom i ne želi da se vozi istim autobusom sa njim. Od hostela do instituta vozi 5 autobusa od 7 do 8 sati. Ko ne stigne na ove autobuse kasni na predavanje. Na koliko načina Maša i Petja mogu da stignu do instituta različitim autobusima i da ne zakasne na predavanje?

41. Sektor informacionih tehnologija banke zapošljava 3 analitičara, 10 programera i 20 inženjera. Za prekovremeni rad na praznik, šef odjeljenja mora izdvojiti jednog zaposlenog. Na koliko načina se to može učiniti?

42. Rukovodilac službe obezbjeđenja banke mora svaki dan postaviti 10 stražara na 10 mjesta. Na koliko načina se to može učiniti?

43. Novi predsjednik banke mora imenovati 2 nova potpredsjednika između 10 direktora. Na koliko načina se to može učiniti?

44. Jedna od zaraćenih strana je zarobila 12, a druga 15 zarobljenika. Na koliko načina se može razmijeniti 7 ratnih zarobljenika?

45. Petya i Masha skupljaju video diskove. Petya ima 30 komedija, 80 akcionih filmova i 7 melodrama, Maša ima 20 komedija, 5 akcionih filmova i 90 melodrama. Na koliko načina Petja i Maša mogu da razmene 3 komedije, 2 akciona filma i 1 melodramu?

46. ​​Pod uslovima zadatka 45, na koliko načina Petja i Maša mogu da razmene 3 melodrame i 5 komedija?

47. Pod uslovima zadatka 45, na koliko načina Petja i Maša mogu da razmene 2 akciona filma i 7 komedija?

48. Jedna od zaraćenih strana je zarobila 15, a druga 16 zarobljenika. Na koliko načina se može razmijeniti 5 ratnih zarobljenika?

49. Koliko automobila se može registrovati u 1 gradu ako broj ima 3 broja i 3 slova (samo oni čiji se pravopis poklapa sa latiničnim - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, U, X)?

50. Jedna od zaraćenih strana je zarobila 14, a druga - 17 zarobljenika. Na koliko načina se može razmijeniti 6 ratnih zarobljenika?

51. Koliko različitih riječi možete formirati preuređivanjem slova u riječi “majka”?

52. U korpi su 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Iz njega se izvadi jedna jabuka. Pronađite vjerovatnoću da će biti crveno.

53. U korpi su 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Jedna zelena jabuka je izvađena i ostavljena sa strane. Zatim se iz korpe izvadi još 1 jabuka. Kolika je vjerovatnoća da će ova jabuka biti zelena?

54. U seriji od 1000 proizvoda, 4 su neispravna. Za kontrolu se bira serija od 100 proizvoda. Kolika je vjerovatnoća LLP-a da kontrolna partija neće sadržavati neispravne?

56. 80-ih godina, igra „Sportski loto 5 od 36” bila je popularna u SSSR-u. Igrač je označio 5 brojeva na kartici od 1 do 36 i dobio je nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da igrač nije pogodio nijedan broj.

57. U 80-im je igra „Sportski loto 5 od 36” bila popularna u SSSR-u. Igrač je označio 5 brojeva na kartici od 1 do 36 i dobio je nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da je igrač pogodio jedan broj.

58. 80-ih godina, igra „Sportski loto 5 od 36” bila je popularna u SSSR-u. Igrač je označio 5 brojeva na kartici od 1 do 36 i dobio je nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da je igrač pogodio 3 broja.

59. 80-ih godina, igra „Sportski loto 5 od 36” bila je popularna u SSSR-u. Igrač je označio 5 brojeva na kartici od 1 do 36 i dobio je nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerovatnoću da igrač nije ispravno poklopio svih 5 brojeva.

60. U 80-im je igra „Sportski loto 6 od 49” bila popularna u SSSR-u. Igrač je na kartici označio 6 brojeva od 1 do 49 i dobio nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da je igrač pogodio 2 broja.

61. 80-ih godina, igra „Sportski loto 6 od 49” bila je popularna u SSSR-u. Igrač je na kartici označio 6 brojeva od 1 do 49 i dobio nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da igrač nije pogodio nijedan broj.

62. 80-ih godina, igra „Sportski loto 6 od 49” bila je popularna u SSSR-u. Igrač je na kartici označio 6 brojeva od 1 do 49 i dobio nagrade različitih apoena ako je pogodio različit broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Pronađite vjerovatnoću da je igrač pogodio svih 6 brojeva.

63. U seriji od 1000 proizvoda, 4 su neispravna. Za kontrolu se bira serija od 100 proizvoda. Kolika je vjerovatnoća LLP-a da će kontrolna partija sadržavati samo 1 neispravan?

64. Koliko različitih riječi možete formirati preuređivanjem slova u riječi “knjiga”?

65. Koliko različitih riječi možete formirati preuređivanjem slova u riječi "ananas"?

66. U lift je ušlo 6 osoba, a hostel ima 7 spratova. Kolika je vjerovatnoća da će svih 6 ljudi izaći na isti sprat?

67. U lift je ušlo 6 osoba, zgrada ima 7 spratova. Kolika je vjerovatnoća da će svih 6 ljudi izaći na različite spratove?

68. Prilikom grmljavinskog nevremena pukla je žica na dionici između 40 i 79 km dalekovoda. Uz pretpostavku da je prekid jednako moguć u bilo kojoj tački, pronađite vjerovatnoću da se prekid dogodio između 40. i 45. kilometra.

69. Na dionici gasovoda dužine 200 kilometara dolazi do curenja gasa između kompresorskih stanica A i B, što je jednako moguće u bilo kojoj tački gasovoda. kolika je vjerovatnoća da do curenja dođe ne dalje od 20 km od A

70. Na dionici gasovoda od 200 kilometara dolazi do curenja gasa između kompresorskih stanica A i B, što je jednako moguće u bilo kojoj tački gasovoda. Kolika je vjerovatnoća da se curenje dogodi bliže A nego B?

71. Radar inspektora saobraćajne policije ima tačnost od 10 km/h i zaokružuje se u najbližem smjeru. Šta se češće dešava - zaokruživanje u korist vozača ili inspektora?

72. Maša provede 40 do 50 minuta na putu do instituta, a bilo koje vrijeme u ovom intervalu je jednako vjerovatno. Kolika je vjerovatnoća da će na putu provesti 45 do 50 minuta?

73. Petja i Maša su se dogovorile da se sastanu kod spomenika Puškinu od 12 do 13 sati, ali niko nije mogao da kaže tačno vreme dolaska. Dogovorili su se da čekaju jedno drugo 15 minuta. Kolika je vjerovatnoća njihovog susreta?

74. Ribari su u ribnjaku ulovili 120 riba, od kojih je 10 prstenovano. Kolika je vjerovatnoća da ćete uhvatiti prstenovanu ribu?

75. Iz korpe koja sadrži 3 crvene i 7 zelenih jabuka vade se sve jabuke jedna po jedna. Kolika je vjerovatnoća da će druga jabuka biti crvena?

76. Iz korpe koja sadrži 3 crvene i 7 zelenih jabuka vade se sve jabuke jedna po jedna. Kolika je vjerovatnoća da će posljednja jabuka biti zelena?

77. Studenti smatraju da je od 50 karata 10 “dobri”. Petja i Maša naizmjence izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da je Maša dobila „dobru“ kartu?

78. Studenti smatraju da je od 50 karata 10 “dobri”. Petja i Maša naizmjence izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da su oboje dobili "dobru" kartu?

79. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja u programu od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerovatnoća da će Maša odgovoriti na 3 pitanja?

80. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja u programu od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerovatnoća da Maša neće odgovoriti ni na jedno pitanje?

81. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja u programu od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerovatnoća da će Maša odgovoriti na 1 pitanje?

82. Statistika kreditnih zahtjeva od banke je sljedeća: 10% - država. vlasti, 20% - ostale banke, ostatak - pojedinci. Verovatnoća nevraćanja kredita je 0,01, 0,05 i 0,2, respektivno. Koliki procenat kredita nije otplaćen?

83. vjerovatnoća da će sedmični promet trgovca sladoledom premašiti 2000 rubalja. iznosi 80% po vedrom vremenu, 50% po pretežno oblačnom vremenu i 10% po kišnom vremenu. Kolika je vjerovatnoća da će promet premašiti 2000 rubalja. ako je vjerovatnoća vedrog vremena 20%, a djelomično oblačno i kišovito - po 40%.

84. U urni A nalazi se bijelo (b) i B crne (h) lopte. Iz urne se izvlače (istovremeno ili uzastopno) dvije lopte. Odrediti vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

85. U urni A bijeli i B

86. U glasačkoj kutiji A bijeli i B

87. U glasačkoj kutiji A bijeli i B crne lopte. Jedna lopta se uzima iz urne, beleži njena boja i loptica se vraća u urnu. Nakon toga se iz urne uzima još jedna lopta. Pronađite vjerovatnoću da će ove kuglice biti različite boje.

88. U kutiji je devet novih teniskih loptica. Za igru ​​uzmite tri lopte; Nakon utakmice se vraćaju. Prilikom odabira lopti, odigrane lopte se ne razlikuju od neizigranih lopti. Kolika je vjerovatnoća da nakon tri gema u petercu ne ostane nijedna neizigrana lopta?

89. Izlazak iz stana, N svaki gost će nositi svoje galoše;

90. Izlazak iz stana, N gosti koji imaju iste veličine cipela nose galoše u mraku. Svaki od njih može razlikovati desni galoš od lijevog, ali ne može razlikovati svoj od tuđeg. Pronađite vjerovatnoću da Svaki gost će nositi galoše koje pripadaju istom paru (možda ne svojim).

91. U uslovima zadatka 90 pronađite vjerovatnoću da će svi otići u svojim galošama ako gosti ne mogu razlikovati desne galoše od lijeve i jednostavno uzmu prva dva galoša na koja naiđu.

92. U toku je pucnjava na avion, čiji su ranjivi dijelovi dva motora i kabina. Da bi se pogodio (onesposobio) avion dovoljno je udariti oba motora zajedno ili u kokpit. U ovim uslovima paljenja, verovatnoća udara u prvi motor je jednaka p1 drugi motor p2, kokpit p3. Na dijelove aviona utječu nezavisno jedan od drugog. Pronađite vjerovatnoću da će avion biti pogođen.

93. Dva strijelca, nezavisno jedan od drugog, ispaljuju dva hica (svaki u svoju metu). Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem za prvog strijelca p1 za drugi p2. Pobjednik takmičenja je strijelac čija meta ima najviše rupa. Pronađite vjerovatnoću Rx da prvi strijelac pobijedi.

94. iza svemirskog objekta, objekat se detektuje sa verovatnoćom R. Detekcija objekata u svakom ciklusu odvija se nezavisno od ostalih. Pronađite vjerovatnoću da kada P ciklusima objekat će biti otkriven.

95. 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim abecednim karticama. Pet karata se nasumično izvlače jedna za drugom i stavljaju na sto prema redosledu pojavljivanja. Pronađite vjerovatnoću da će se pojaviti riječ "kraj".

96. Dvije lopte su nasumično i nezavisno jedna od druge razbacane u četiri ćelije koje se nalaze jedna za drugom u pravoj liniji. Svaka lopta ima jednaku vjerovatnoću da 1/4 padne u svaku ćeliju. Pronađite vjerovatnoću da će kuglice pasti u susjedne ćelije.

97. Na avion se puca zapaljivim granatama. Gorivo aviona je koncentrisano u četiri rezervoara smeštena u trupu, jedan za drugim. Površine rezervoara su iste. Da bi se avion zapalio, dovoljno je pogoditi dvije granate ili u isti ili u susjedne tenkove. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenkova. Pronađite vjerovatnoću da će se avion zapaliti.

98. Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerovatnoću da će sve četiri ove karte biti različite boje.

99. Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom, ali se svaka karta vraća u špil nakon uklanjanja. Pronađite vjerovatnoću da će sve četiri ove karte biti različite boje.

100. Kada se paljenje uključi, motor će vjerovatno početi raditi R.

101. Uređaj može raditi u dva načina rada: 1) normalan i 2) abnormalan. Normalni režim se primećuje u 80% svih slučajeva rada uređaja; abnormalno - u 20%. Verovatnoća kvara uređaja tokom vremena t u normalnom režimu je 0,1; u abnormalnom - 0,7. Pronađite ukupnu vjerovatnoću R kvar uređaja.

102. Prodavnica prima robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Postotak kvarova je 5, 6 i 8 posto. Kolika je vjerovatnoća da je kupljeni neispravan proizvod došao od drugog dobavljača.

103. Protok automobila pored benzinskih pumpi sastoji se od 60% kamiona i 40% automobila. Kolika je vjerovatnoća da se kamion nađe na benzinskoj pumpi ako je vjerovatnoća da će ga napuniti gorivom 0,1, a vjerovatnoća putničkog automobila 0,3

104. Protok automobila pored benzinskih pumpi sastoji se od 60% kamiona i 40% automobila. Kolika je vjerovatnoća da se kamion nađe na benzinskoj pumpi ako je vjerovatnoća da će ga napuniti gorivom 0,1, a vjerovatnoća putničkog automobila 0,3

105. Prodavnica prima robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Postotak kvarova je 5, 6 i 8 posto. Kolika je vjerovatnoća da je kupljeni neispravan proizvod došao od 1. dobavljača.

106. 32 slova ruskog alfabeta ispisana su na isečenim abecednim karticama. Pet karata se nasumično izvlače jedna za drugom i stavljaju na sto prema redosledu pojavljivanja. Pronađite vjerovatnoću da će se pojaviti riječ “knjiga”.

107. Prodavnica prima robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Postotak kvarova je 5, 6 i 8 posto. Kolika je vjerovatnoća da je kupljeni neispravan proizvod došao od 1. dobavljača.

108. Dvije lopte su nasumično i nezavisno jedna od druge razbacane u četiri ćelije koje se nalaze jedna za drugom u pravoj liniji. Svaka lopta ima jednaku vjerovatnoću da 1/4 padne u svaku ćeliju. Pronađite vjerovatnoću da 2 kuglice padnu u jednu ćeliju

109. Kada je kontakt uključen, motor počinje da radi sa verovatnoćom R. Pronađite vjerovatnoću da će motor početi raditi drugi put kada se paljenje uključi;

110. Na avion se puca zapaljivim granatama. Gorivo aviona je koncentrisano u četiri rezervoara smeštena u trupu, jedan za drugim. Površine rezervoara su iste. Da bi se avion zapalio, dovoljno je pogoditi dvije granate u isti rezervoar. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenkova. Pronađite vjerovatnoću da će se avion zapaliti

111. Na avion se puca zapaljivim granatama. Gorivo aviona je koncentrisano u četiri rezervoara smeštena u trupu, jedan za drugim. Površine rezervoara su iste. Da bi se avion zapalio, dovoljno je pogoditi susedne tenkove sa dve granate. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenkova. Pronađite vjerovatnoću da će se avion zapaliti

112.U urni A bijeli i B crne lopte. Jedna lopta se uzima iz urne, beleži njena boja i loptica se vraća u urnu. Nakon toga se iz urne uzima još jedna lopta. Odrediti vjerovatnoću da će obje izvučene lopte biti bijele.

113. U glasačkoj kutiji A bijeli i B crne lopte. Iz urne se izvlače dvije lopte odjednom. Pronađite vjerovatnoću da će ove kuglice biti različite boje.

114. Dvije lopte su nasumično i nezavisno jedna od druge razbacane u četiri ćelije koje se nalaze jedna za drugom u pravoj liniji. Svaka lopta ima jednaku vjerovatnoću da 1/4 padne u svaku ćeliju. Pronađite vjerovatnoću da će kuglice pasti u susjedne ćelije.

115. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja u programu od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerovatnoća da će Maša odgovoriti na 2 pitanja?

116. Studenti smatraju da je od 50 karata 10 “dobri”. Petja i Maša naizmjence izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da su oboje dobili "dobru" kartu?

117. Statistika kreditnih zahtjeva od banke je sljedeća: 10% - država. vlasti, 20% - ostale banke, ostatak - pojedinci. Verovatnoća nevraćanja kredita je 0,01, 0,05 i 0,2, respektivno. Koliki procenat kredita nije otplaćen?

118. 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim abecednim karticama. Pet karata se nasumično izvlače jedna za drugom i stavljaju na sto prema redosledu pojavljivanja. Pronađite vjerovatnoću da će se pojaviti riječ "kraj".

119 Statistike o kreditnim zahtjevima banke su sljedeće: 10% - država. vlasti, 20% - ostale banke, ostatak - pojedinci. Verovatnoća nevraćanja kredita je 0,01, 0,05 i 0,2, respektivno. Koliki procenat kredita nije otplaćen?

120. vjerovatnoća da će sedmični promet trgovca sladoledom premašiti 2000 rubalja. iznosi 80% po vedrom vremenu, 50% po pretežno oblačnom vremenu i 10% po kišnom vremenu. Kolika je vjerovatnoća da će promet premašiti 2000 rubalja. ako je vjerovatnoća vedrog vremena 20%, a djelomično oblačno i kišovito - po 40%.

Neka su njihove vjerovatnoće i odgovarajuće uslovne vjerovatnoće poznate. Tada je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi:

Ova formula se zove formule ukupne vjerovatnoće. U udžbenicima se formuliše kao teorema čiji je dokaz elementaran: prema algebra događaja, (dogodio se događaj I ili dogodio se događaj I nakon što je došlo do događaja ili dogodio se događaj I nakon što je došlo do događaja ili …. ili dogodio se događaj I nakon što je došao događaj). Od hipoteza su nekompatibilni, a događaj je zavisan, onda prema teorema sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja (Prvi korak) I teorema množenja vjerovatnoća zavisnih događaja (drugi korak):

Mnogi ljudi vjerovatno predviđaju sadržaj prvog primjera =)

Gdje god pljuneš, tu je urna:

Problem 1

Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, druga samo bijele, a treća samo crne kuglice. Jedna urna se bira nasumično i iz nje se nasumično izvlači kuglica. Kolika je vjerovatnoća da je ova lopta crna?

Rješenje: razmotrite događaj - crna kugla će biti izvučena iz slučajno odabrane urne. Ovaj događaj se može, ali i ne mora dogoditi kao rezultat jedne od sljedećih hipoteza:
– 1. urna će biti odabrana;
– 2. urna će biti odabrana;
– 3. urna će biti odabrana.

Pošto se urna bira nasumično, izbor bilo koje od tri urne podjednako moguće, dakle:

Imajte na umu da se gornje hipoteze formiraju kompletna grupa događaja, odnosno, prema uslovu, crna kugla se može pojaviti samo iz ovih urni, a ne može na primjer sa bilijarskog stola. Uradimo jednostavnu međuprovjeru:
, OK, idemo dalje:

Prva urna sadrži 4 bijele + 7 crnih = 11 kuglica, svaka klasična definicija:
– vjerovatnoća izvlačenja crne lopte s obzirom na to, da će 1. urna biti odabrana.

Druga urna sadrži samo bijele kuglice, dakle ako se izabere postaje izgled crne lopte nemoguće: .

I konačno, treća urna sadrži samo crne kuglice, što znači odgovarajuće uslovna verovatnoća vađenje crne lopte će biti (događaj je pouzdan).

– vjerovatnoća da će iz slučajno odabrane urne biti izvučena crna kugla.

Odgovori:

Analizirani primjer opet sugerira koliko je važno udubljivati ​​se u STANJE. Uzmimo iste probleme s urnama i kuglicama - unatoč njihovoj vanjskoj sličnosti, metode rješavanja mogu biti potpuno različite: negdje samo trebate koristiti klasična definicija vjerovatnoće, negdje događaji nezavisni, negde zavisan, a negde govorimo o hipotezama. Istovremeno, ne postoji jasan formalni kriterij za odabir rješenja - gotovo uvijek morate razmišljati o tome. Kako poboljšati svoje vještine? Odlučujemo, odlučujemo i opet odlučujemo!

Problem 2

Strelište ima 5 pušaka različite preciznosti. Vjerovatnoće da će pogoditi metu za datog strijelca su respektivno jednake 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 i 0,4. Kolika je vjerovatnoća da će pogoditi metu ako strijelac ispali jedan hitac iz slučajno odabrane puške?

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U većini tematskih problema hipoteze, naravno, nisu jednako vjerovatne:

Problem 3

U piramidi se nalazi 5 pušaka, od kojih su tri opremljene optičkim nišanom. Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu pri pucanju iz puške teleskopskim nišanom je 0,95; za pušku bez optičkog nišana ova vjerovatnoća je 0,7. Pronađite vjerovatnoću da će meta biti pogođena ako strijelac ispali jedan hitac iz nasumično uzete puške.

Rješenje: u ovom problemu broj pušaka je potpuno isti kao u prethodnom, ali postoje samo dvije hipoteze:
– strijelac će odabrati pušku sa optičkim nišanom;
– strijelac će izabrati pušku bez optičkog nišana.
By klasična definicija vjerovatnoće: .
Kontrola:

Razmotrite događaj: – strijelac pogađa metu nasumično uzetom puškom.
Po uslovu: .

Prema formuli ukupne vjerovatnoće:

Odgovori: 0,85

U praksi je sasvim prihvatljiv skraćeni način oblikovanja zadatka koji vam je također poznat:

Rješenje: prema klasičnoj definiciji: – vjerovatnoće izbora puške sa optičkim nišanom, odnosno bez optičkog nišana.

po uslovu, – vjerovatnoća pogađanja mete iz odgovarajućih tipova pušaka.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće:
– vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu slučajno odabranom puškom.

Odgovori: 0,85

Sljedeći zadatak morate riješiti sami:

Problem 4

Motor radi u tri načina rada: normalan, prisilno i u praznom hodu. U stanju mirovanja vjerovatnoća njegovog kvara je 0,05, u normalnom režimu rada – 0,1, au prisilnom – 0,7. 70% vremena motor radi u normalnom režimu, a 20% u prinudnom režimu. Kolika je vjerovatnoća kvara motora tokom rada?

Za svaki slučaj, da vas podsjetim da da biste dobili vrijednosti vjerovatnoće, procenti moraju biti podijeljeni sa 100. Budite veoma oprezni! Prema mojim zapažanjima, ljudi često pokušavaju da pobrkaju uslove problema koji uključuju formulu ukupne verovatnoće; a ja sam posebno odabrao ovaj primjer. Reći ću vam jednu tajnu - umalo sam se i sam zbunio =)

Rješenje na kraju lekcije (ukratko formatirano)

Problemi s korištenjem Bayesovih formula

Materijal je usko povezan sa sadržajem prethodnog stava. Neka se događaj dogodi kao rezultat implementacije jedne od hipoteza . Kako odrediti vjerovatnoću da se određena hipoteza pojavila?

S obzirom na to taj događaj već se dogodilo, vjerovatnoće hipoteze precijenjeno prema formulama koje su dobile ime engleskog svećenika Thomasa Bayesa:

– vjerovatnoća da se hipoteza dogodila;
– vjerovatnoća da se hipoteza dogodila;
…
– vjerovatnoća da se hipoteza dogodila.

Na prvi pogled izgleda potpuno apsurdno – čemu preračunavati vjerovatnoće hipoteza ako su već poznate? Ali u stvari postoji razlika:

- Ovo a priori(procijenjeno prije testovi) vjerovatnoća.

- Ovo a posteriori(procijenjeno poslije testovi) vjerovatnoće istih hipoteza, preračunate u vezi sa „novootkrivenim okolnostima“ – uzimajući u obzir činjenicu da je događaj definitivno se desilo.

Pogledajmo ovu razliku na konkretnom primjeru:

Problem 5

U skladište su stigle 2 serije proizvoda: prva - 4000 komada, druga - 6000 komada. Prosječan procenat nestandardnih proizvoda u prvoj seriji je 20%, au drugoj – 10%. Ispostavilo se da je proizvod nasumično uzet iz skladišta standardan. Nađite vjerovatnoću da je: a) iz prve serije, b) iz druge serije.

Prvi dio rješenja sastoji se od upotrebe formule ukupne vjerovatnoće. Drugim riječima, proračuni se vrše pod pretpostavkom da je test još nije proizveden i događaj “ispostavilo se da je proizvod standardan” ne još.

Razmotrimo dvije hipoteze:
– nasumično uzet proizvod će biti iz 1. serije;
– nasumično uzet proizvod će biti iz 2. serije.

Ukupno: 4000 + 6000 = 10000 artikala na lageru. Prema klasičnoj definiciji:
.

Kontrola:

Razmotrimo zavisni događaj: – proizvod nasumično uzet iz skladišta će standard.

U prvoj seriji 100% – 20% = 80% standardnih proizvoda, dakle: s obzirom na to da pripada 1. stranci.

Slično, u drugoj seriji 100% - 10% = 90% standardnih proizvoda i – vjerovatnoća da će proizvod nasumično uzet iz skladišta biti standardan s obzirom na to da pripada drugoj strani.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće:
– vjerovatnoća da će proizvod nasumično uzet iz skladišta biti standardan.

Drugi dio. Neka proizvod uzet nasumično iz skladišta ispadne standardan. Ova fraza je direktno navedena u stanju, i ona navodi činjenicu da je događaj dogodilo.

Prema Bayesovim formulama:

a) je vjerovatnoća da odabrani standardni proizvod pripada 1. seriji;

b) je vjerovatnoća da odabrani standardni proizvod pripada 2. seriji.

Poslije revalorizacija hipoteze se, naravno, i dalje formiraju puna grupa:
(ispit;-))

Odgovori:

Ivan Vasiljevič, koji je ponovo promijenio profesiju i postao direktor fabrike, pomoći će nam da shvatimo značenje revalorizacije hipoteza. On zna da je 1. radionica danas otpremila 4.000 proizvoda u skladište, a 2. radionica - 6.000 proizvoda i dolazi da se u to uvjeri. Pretpostavimo da su svi proizvodi istog tipa i da se nalaze u istom kontejneru. Naravno, Ivan Vasiljevič je preliminarno izračunao da će proizvod koji će sada ukloniti na pregled najvjerovatnije biti proizveden u 1. radionici, a najvjerovatnije u drugoj. Ali nakon što se ispostavi da je odabrani proizvod standardan, on uzvikuje: „Kakav kul vijak! “Prilično je pušten na 2. radionici.” Dakle, vjerovatnoća druge hipoteze je precijenjena na bolje, a vjerovatnoća prve hipoteze je potcijenjena: . I ova revalorizacija nije neosnovana - uostalom, 2. radionica ne samo da je proizvela više proizvoda, već i radi 2 puta bolje!

Čisti subjektivizam, kažete? Djelomično - da, štaviše, sam Bayes je tumačio a posteriori vjerovatnoće kao nivo poverenja. Međutim, nije sve tako jednostavno – postoji i objektivno zrno u Bayesovom pristupu. Uostalom, vjerovatnoća da će proizvod biti standardan (0,8 i 0,9 za 1. i 2. radionicu, respektivno) Ovo preliminarni(a priori) i prosjek procjene. Ali, filozofski govoreći, sve teče, sve se mijenja, uključujući i vjerovatnoće. Sasvim je moguće da u vrijeme studija uspješnija 2. radionica povećala je postotak proizvedenih standardnih proizvoda (i/ili 1. radionica sniženo), a ako provjerite veći broj ili svih 10 hiljada proizvoda u skladištu, tada će se precijenjene vrijednosti pokazati mnogo bliže istini.

Usput, ako Ivan Vasiljevič izvuče nestandardni dio, onda će, naprotiv, biti više "sumnjiv" prema prvoj radionici, a manje prema drugoj. Predlažem da i sami provjerite ovo:

Problem 6

U skladište su stigle 2 serije proizvoda: prva - 4000 komada, druga - 6000 komada. Prosječan procenat nestandardnih proizvoda u prvoj seriji je 20%, u drugoj – 10%. Ispostavilo se da je proizvod nasumično uzet iz skladišta Ne standard. Nađite vjerovatnoću da je: a) iz prve serije, b) iz druge serije.

Stanje se razlikuje po dva slova koja sam podebljao. Problem se može riješiti od nule, ili korištenjem rezultata prethodnih proračuna. U uzorku sam izveo kompletno rješenje, ali da bi se izbjeglo bilo kakvo formalno preklapanje sa problemom br. 5, događaj “proizvod uzet nasumično iz skladišta bit će nestandardan” označeno sa .

Bayesova šema za ponovnu procjenu vjerojatnosti nalazi se posvuda, a također je aktivno iskorištavaju razne vrste prevaranta. Uzmimo u obzir troslovno akcionarsko društvo koje je postalo poznato, koje privlači depozite javnosti, navodno ih negdje ulaže, redovno isplaćuje dividende itd. Šta se dešava? Dan za danom, mjesec za mjesecom prolazi, a sve više novih činjenica, prenošenih reklamom i usmenom predajom, samo povećavaju nivo povjerenja u finansijsku piramidu (posteriori Bayesova reprocjena zbog prošlih događaja!). Odnosno, u očima investitora postoji konstantan porast vjerovatnoće da “ovo je ozbiljna kompanija”; dok je vjerovatnoća suprotne hipoteze („ovo su samo još prevaranti“), naravno, opada i opada. Ono što sledi, mislim, je jasno. Važno je napomenuti da stečena reputacija daje organizatorima vremena da se uspješno sakriju od Ivana Vasiljeviča, koji je ostao ne samo bez serije vijaka, već i bez pantalona.

Na jednako zanimljive primjere vratit ćemo se malo kasnije, ali za sada je sljedeći korak možda najčešći slučaj s tri hipoteze:

Problem 7

Električne lampe se proizvode u tri fabrike. U prvom pogonu se proizvodi 30% ukupnog broja lampi, u drugom - 55%, a u trećem - ostalo. Proizvodi 1. pogona sadrže 1% neispravnih lampi, 2. - 1,5%, 3. - 2%. Prodavnica prima proizvode iz sve tri fabrike. Ispostavilo se da je kupljena lampa neispravna. Kolika je vjerovatnoća da ga je proizvela fabrika 2?

Imajte na umu da u problemima na Bayesove formule u uvjetu Neophodno postoji određena šta se desilo događaj, u ovom slučaju kupovina lampe.

Događaji su se povećali, i rješenje Pogodnije je urediti ga u "brzo" stilu.

Algoritam je potpuno isti: u prvom koraku nalazimo vjerovatnoću da kupljena lampa jeste ispostavilo se neispravan.

Koristeći početne podatke, pretvaramo procente u vjerovatnoće:
– vjerovatnoća da je lampa proizvedena u 1., 2. i 3. fabrici.
Kontrola:

Slično: – vjerovatnoća proizvodnje neispravne lampe za odgovarajuće fabrike.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće:

– vjerovatnoća da će kupljena lampa biti neispravna.

Drugi korak. Neka se kupljena lampa pokaže neispravnom (događaj se dogodio)

Prema Bayesovoj formuli:
– vjerovatnoća da je kupljenu neispravnu lampu proizvela druga fabrika

Odgovori:

Zašto se početna vjerovatnoća 2. hipoteze povećala nakon revalorizacije? Uostalom, druga fabrika proizvodi lampe prosječne kvalitete (prva je bolja, treća lošija). Pa zašto se povećao a posteriori Da li je moguće da je neispravna lampa iz 2. pogona? To se više ne objašnjava „reputacijom“, već veličinom. Budući da je fabrika br. 2 proizvela najveći broj lampi, krive je (barem subjektivno): “najvjerovatnije je ova neispravna lampa odatle”.

Zanimljivo je napomenuti da su vjerovatnoće 1. i 3. hipoteze bile precijenjene u očekivanim smjerovima i postale jednake:

Kontrola: , što je trebalo provjeriti.

Usput, o podcijenjenim i precijenjenim procjenama:

Problem 8

U grupi studenata 3 osobe imaju visok nivo obuke, 19 osoba imaju prosječan nivo i 3 osobe imaju nizak nivo. Vjerovatnoće uspješnog polaganja ispita za ove studente su: 0,95; 0,7 i 0,4. Poznato je da je neki student položio ispit. Kolika je vjerovatnoća da:

a) bio je vrlo dobro pripremljen;
b) bio umjereno pripremljen;
c) bio loše pripremljen.

Izvršiti proračune i analizirati rezultate ponovne evaluacije hipoteza.

Zadatak je blizak realnosti i posebno je verovatan za grupu vanrednih studenata, gde nastavnik praktično nema znanja o sposobnostima određenog učenika. U ovom slučaju rezultat može izazvati sasvim neočekivane posljedice. (posebno za ispite u 1. semestru). Ako loše pripremljen učenik ima dovoljno sreće da dobije kartu, onda će ga nastavnik vjerovatno smatrati dobrim učenikom ili čak jakim učenikom, što će donijeti dobre dividende u budućnosti (naravno, morate "podići letvicu" i održati svoj imidž). Ako je učenik učio, trpao i ponavljao 7 dana i 7 noći, ali jednostavno nije imao sreće, onda se daljnji događaji mogu razviti na najgori mogući način - uz brojna ponavljanja i balansiranje na ivici eliminacije.

Nepotrebno je reći da je reputacija najvažniji kapital; nije slučajno da mnoge korporacije nose imena svojih očeva osnivača, koji su vodili posao prije 100-200 godina i postali poznati po svojoj besprijekornoj reputaciji.

Da, Bayesov pristup je u određenoj mjeri subjektivan, ali... tako život funkcionira!

Konsolidirajmo materijal sa završnim industrijskim primjerom, u kojem ću govoriti o do sada nepoznatim tehničkim zamršenostima rješenja:

Problem 9

Tri radionice fabrike proizvode iste vrste delova, koji se šalju u zajednički kontejner na montažu. Poznato je da prva radionica proizvodi 2 puta više dijelova od druge radionice, a 4 puta više od treće radionice. U prvoj radionici stopa kvarova je 12%, u drugoj – 8%, u trećoj – 4%. Za kontrolu, jedan dio se uzima iz posude. Kolika je vjerovatnoća da će biti neispravan? Kolika je vjerovatnoća da je izvučeni neispravan dio proizveden u 3. radionici?

Ivan Vasiljevič opet na konju =) Film mora imati sretan kraj =)

Rješenje: za razliku od zadataka br. 5-8, ovdje se eksplicitno postavlja pitanje koje se rješava korištenjem formule ukupne vjerovatnoće. Ali s druge strane, uvjet je malo "šifrovan", a školska vještina sastavljanja jednostavnih jednačina pomoći će nam da riješimo ovu zagonetku. Zgodno je uzeti najmanju vrijednost kao "x":

Neka je udio dijelova proizvedenih u trećoj radionici.

Prema stanju, prva radionica proizvodi 4 puta više od treće radionice, tako da je udio 1. radionice .

Osim toga, prva radionica proizvodi 2 puta više proizvoda od druge radionice, što znači udio ove druge: .

Kreirajmo i riješimo jednačinu:

Dakle: – vjerovatnoća da je dio izvađen iz kontejnera proizveden u 1., 2. i 3. radionici.

Kontrola: . Osim toga, ne bi škodilo da ponovo pogledate frazu “Poznato je da prva radionica proizvodi proizvode 2 puta više od druge radionice i 4 puta više od treće radionice.” i uvjerite se da dobivene vrijednosti vjerovatnoće zaista odgovaraju ovom uslovu.

U početku bi se mogao uzeti udio 1. ili udio 2. radionice kao “X” - vjerovatnoće bi bile iste. Ali, na ovaj ili onaj način, najteži dio je prošao, a rješenje je na pravom putu:

Iz uslova nalazimo:
– vjerovatnoća proizvodnje neispravnog dijela za odgovarajuće radionice.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće:
– vjerovatnoća da će se dio koji je nasumično izvaditi iz kontejnera pokazati nestandardnim.

Drugo pitanje: kolika je vjerovatnoća da je izvučeni neispravan dio proizveden u 3. radionici? Ovo pitanje pretpostavlja da je dio već uklonjen i da se ispostavilo da je neispravan. Ponovo procjenjujemo hipotezu koristeći Bayesovu formulu:
– željenu vjerovatnoću. Potpuno očekivano - uostalom, treća radionica ne samo da proizvodi najmanji udio dijelova, već i prednjači u kvaliteti!

U ovom slučaju je to bilo neophodno pojednostaviti razlomak sa četiri sprata, što morate činiti prilično često u problemima s korištenjem Bayesovih formula. Ali za ovu lekciju nekako sam nasumično odabrao primjere u kojima se mnoga izračunavanja mogu izvesti bez običnih razlomaka.

Budući da uslov ne sadrži tačke “a” i “be”, bolje je odgovor dati tekstualnim komentarima:

Odgovori: – vjerovatnoća da će dio izvađen iz kontejnera biti neispravan; – vjerovatnoća da je izvučeni neispravan dio proizveden u 3. radionici.

Kao što vidite, problemi sa formulom ukupne vjerovatnoće i Bayesovom formulom su prilično jednostavni i, vjerovatno iz tog razloga, tako često pokušavaju da zakomplikuju uvjet, što sam već spomenuo na početku članka.

Dodatni primjeri su u datoteci sa gotova rješenja za F.P.V. i Bayesove formule, osim toga, vjerovatno će biti onih koji žele da se dublje upoznaju sa ovom temom u drugim izvorima. A tema je zaista veoma interesantna - šta vredi? Bayesov paradoks, što opravdava svakodnevni savjet da ako je osobi dijagnosticirana rijetka bolest, onda ima smisla da obavi ponovljeni ili čak dva ponovljena samostalna pregleda. Čini se da to rade isključivo iz očaja... - ali ne! Ali hajde da ne pričamo o tužnim stvarima.

je vjerovatnoća da će slučajno odabrani student položiti ispit.
Neka student položi ispit. Prema Bayesovim formulama:
A) – vjerovatnoća da je student koji je položio ispit bio veoma dobro pripremljen. Ispostavlja se da je objektivna početna vjerovatnoća precijenjena, jer gotovo uvijek neki “prosječni ljudi” imaju sreće s pitanjima i vrlo oštro odgovaraju, što ostavlja pogrešan utisak o besprijekornoj pripremi.
b) – vjerovatnoća da je student koji je položio ispit bio prosječno pripremljen. Ispostavlja se da je početna vjerovatnoća malo precijenjena, jer učenici sa prosječnim nivoom pripremljenosti su obično većina, osim toga, ovdje će nastavnik uključiti „odlične“ učenike koji su odgovorili neuspješno, a povremeno i učenika sa lošim uspjehom koji je imao veliku sreću sa tiketom.
V) – vjerovatnoća da je student koji je polagao bio loše pripremljen. Početna vjerovatnoća bila je precijenjena na gore. Nije iznenađujuće.
pregled:
Odgovori :