Kako dokazati da je funkcija parna. Osnovna svojstva funkcije: parnost, neparnost, periodičnost, ograničenost. Osnovna svojstva funkcija

Ravnomjerna funkcija.

Funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni zove se parna. x.

x jednakost važi f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y.

Raspored ravnomjerna funkcija simetrično u odnosu na koordinatnu osu (slika 1).

Primjeri parne funkcije:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.

Neparna funkcija.

Funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni naziva se neparna. x.

Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost važi f(–x) = –f(x).

Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).

Primjeri neparnih funkcija:

y= grijeh x

y = x 3

y = –x 3

Objašnjenje:

Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.

Svojstva parnih i neparnih funkcija:

BILJEŠKA:

Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne povinuju takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni neparan.

Periodične funkcije.

Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Funkcije koje opisuju ove procese nazivaju se periodičnim funkcijama. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formiraju koncept parnosti i neparnosti funkcije, podučavaju sposobnost određivanja i upotrebe ovih svojstava kada istraživanje funkcije, crtanje;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logičko razmišljanje, sposobnost poređenja, generalizacije;
• neguju marljiv rad i matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijalna instalacija, interaktivna tabla, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni sa elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.

Izvori informacija:

1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga problema.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat

Postavljanje ciljeva i zadataka za lekciju.

2. Provjera domaćeg zadatka

br. 10.17 (knjiga zadataka 9. razreda. A.G. Mordkovich).

A) at = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. at naim = – 3, at naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) Slajd.

2. Provjerimo tabelu koja vam je postavljena sa slajda.

Popunite tabelu
	Domain	Funkcija nule	Intervali konstantnosti znaka		Koordinate tačaka preseka grafa sa Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ažuriranje znanja

– Funkcije su date.
– Odredite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koju od ovih funkcija u domenu definicije vrijede jednakosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (unesite dobijene podatke u tabelu) Slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafovi	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		i nije definisano

4. Novi materijal

– Dok smo radili ovaj posao, momci, identifikovali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ove osobine u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd

Def. 1 Funkcija at = f (X), definisan na skupu X se poziva čak, ako za bilo koju vrijednost XÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definisan na skupu X se poziva odd, ako za bilo koju vrijednost XÊ X važi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo se susreli s pojmovima „parno“ i „neparno“?
Šta mislite koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koji su čudni? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca at= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Pregledajte funkcije at= i at = 2X– 3 nisu ni parne ni neparne, jer jednakosti nisu zadovoljene f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studija o tome da li je funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem parnosti funkcije. Slajd

U definicijama 1 i 2 govorili smo o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti X, i na – X.

Def 3. Ako numerički skup, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element –x, tada skup X nazvan simetričnim skupom.

primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.

– Imaju li parne funkcije domen definicije koji je simetričan skup? Oni čudni?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija at = f(X) – paran ili neparan, tada je njegov domen definicije D( f) je simetričan skup. Da li je istinita suprotna izjava: ako je domen definicije funkcije simetričan skup, da li je onda paran ili neparan?
– To znači da je prisustvo simetričnog skupa domena definicije neophodan uslov, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati funkciju na paritet? Pokušajmo napraviti algoritam.

Slajd

Algoritam za proučavanje funkcije za paritet

1. Odrediti da li je domen definicije funkcije simetričan. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako jeste, onda idite na korak 2 algoritma.

2. Napišite izraz za f(–X).

3. Uporedite f(–X).I f(X):

• Ako f(–X).= f(X), tada je funkcija parna;
• Ako f(–X).= – f(X), tada je funkcija neparna;
• Ako f(–X) ≠ f(X) I f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

primjeri:

Ispitati funkciju a) radi pariteta at= x 5 +; b) at= ; V) at= .

Rješenje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetričan skup.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + neparan.

b) y =,

at = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcija 2

1. Da li je dati skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Ispitajte funkciju na paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na sl. napravljen je graf at = f(X), za sve X, zadovoljavajući uslov X? 0.
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je parna funkcija.

3. Na sl. napravljen je graf at = f(X), za sve x koje zadovoljavaju uslov x? 0.
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je neparna funkcija.

Recenzija na slajdu.

6. Domaći: br. 11.11, 11.21, 11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

***(Dodjela opcije Jedinstvenog državnog ispita).

1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije poklapa se s vrijednošću funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( X) = at X = 3.

7. Sumiranje

Zavisnost varijable y od varijable x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristite oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga.

Pogledajte bliže svojstvo pariteta.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

2. Vrijednost funkcije u tački x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u tački -x. To jest, za bilo koju tačku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domena definicije funkcije: f(x) = f(-x).

Grafikon parne funkcije

Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na Oy os.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.

Uzmimo proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Stoga je f(x) = f(-x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na Oy os.

Grafikon neparne funkcije

Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

1. Područje definicije date funkcije mora biti simetrično u odnosu na tačku O. To jest, ako neka tačka a pripada domeni definicije funkcije, tada odgovarajuća tačka -a također mora pripadati domeni definicije date funkcije.

2. Za bilo koju tačku x, iz domena definicije funkcije mora biti zadovoljena sljedeća jednakost: f(x) = -f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na tačku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.

Uzmimo proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.

U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Svemirska letjelica dostaviće na Mars elektronski medij sa imenima svih registrovanih učesnika ekspedicije.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozorskom staklu... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Ovom prilikom postoji zanimljiv članak, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati više složeni primjeri trodimenzionalni fraktali.

Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u u ovom slučaju, skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, ovo je samoslična struktura, ispitujući detalje čije ćemo uvećanje vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju običnih geometrijska figura(ne fraktal), kada zumirate, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od same originalne figure. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se ponavljati iznova i iznova sa svakim povećanjem.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umetnost u ime nauke: „Fraktali su geometrijski oblici, koji su podjednako složeni u svojim detaljima kao iu svom opštem obliku. Odnosno, ako se dio fraktala poveća na veličinu cjeline, on će izgledati kao cjelina, ili tačno, ili možda s malom deformacijom."

Studija funkcije.

1) D(y) – Definicijski domen: skup svih tih vrijednosti varijable x. za koje algebarski izrazi f(x) i g(x) imaju smisla.

Ako je funkcija data formulom, tada se domen definicije sastoji od svih vrijednosti nezavisne varijable za koje formula ima smisla.

2) Svojstva funkcije: parno/neparno, periodičnost:

Funkcije čiji su grafovi simetrični u odnosu na promjenu predznaka argumenta nazivaju se parne i neparne.

Neparna funkcija je funkcija koja mijenja svoju vrijednost na suprotnu kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na centar koordinata).

Parna funkcija je funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na ordinatu).

Ni parna ni neparna funkcija (funkcija opšteg oblika) nije funkcija koja nema simetriju. Ova kategorija uključuje funkcije koje ne spadaju u prethodne 2 kategorije.

Pozivaju se funkcije koje ne pripadaju nijednoj od gore navedenih kategorija ni paran ni neparan(ili opće funkcije).

Neparne funkcije

Neparni stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.

Čak i funkcije

Čak i stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon određenog pravilnog intervala argumenta, odnosno ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda neki fiksni broj različit od nule (period funkcije) kroz cijelo vrijeme domenu definicije.

3) Nule (korijeni) funkcije su tačke u kojima ona postaje nula.

Pronalaženje tačke preseka grafika sa osom Oy. Da biste to učinili, morate izračunati vrijednost f(0). Nađite i tačke preseka grafika sa osom Ox, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena).

Tačke u kojima graf siječe osu zovu se nule funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti jednadžbu, odnosno pronaći one vrijednosti "x" pri kojima funkcija postaje nula.

4) Intervali postojanosti znakova, znakova u njima.

Intervali u kojima funkcija f(x) održava predznak.

Interval konstantnog predznaka je interval u čijoj je točki funkcija pozitivna ili negativna.

IZNAD x-ose.

ISPOD osovine.

5) Kontinuitet (tačke diskontinuiteta, priroda diskontinuiteta, asimptote).

Kontinuirana funkcija je funkcija bez "skokova", odnosno ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.

Removable Break Points

Ako je granica funkcije postoji, ali funkcija nije definirana u ovom trenutku ili se granica ne poklapa s vrijednošću funkcije u ovoj točki:

,

tada se poziva tačka uklonjiva tačka prekida funkcije (u kompleksnoj analizi, uklonjiva singularna tačka).

Ako “ispravimo” funkciju na tački uklonjivog diskontinuiteta i stavimo , tada dobijamo funkciju koja je kontinuirana u datoj tački. Ova operacija na funkciji se poziva proširenje funkcije na kontinuirano ili redefinisanje funkcije kontinuitetom, što opravdava ime tačke kao tačke uklonjiv rupture.

Tačke diskontinuiteta prve i druge vrste

Ako funkcija ima diskontinuitet u datoj tački (to jest, granica funkcije u datoj tački je odsutna ili se ne poklapa s vrijednošću funkcije u datoj tački), tada za numeričke funkcije postoje dvije moguće opcije povezane s postojanjem numeričkih funkcija jednostrane granice:

ako postoje obje jednostrane granice i konačne su, onda se takva tačka naziva diskontinuitetna tačka prve vrste. Uklonjive tačke diskontinuiteta su diskontinuitetne tačke prve vrste;

ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili nije konačna vrijednost, onda se takva tačka naziva diskontinuitetna tačka druge vrste.

asimptota - ravno, koji ima svojstvo da je udaljenost od tačke na krivulji do ove ravno teži nuli kako se tačka udaljava duž grane do beskonačnosti.

Vertical

Vertikalna asimptota - granična linija .

U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevu i desnu). Ovo se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:

Horizontalno

Horizontalna asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju limit

.

Nagnuto

Kosa asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju granice

Napomena: funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote.

Napomena: ako barem jedno od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednako ), tada kosa asimptota at (ili) ne postoji.

ako je u tački 2.), onda , i granica se nalazi pomoću formule horizontalne asimptote, .

6) Pronalaženje intervala monotonosti. Naći intervale monotonosti funkcije f(x) (odnosno intervali povećanja i smanjenja). To se radi ispitivanjem predznaka derivacije f(x). Da biste to učinili, pronađite derivaciju f(x) i riješi nejednakost f(x)0. Na intervalima gdje ova nejednakost vrijedi, funkcija f(x)povećava. Gdje vrijedi obrnuta nejednakost f(x)0, funkcija f(x) se smanjuje.

Pronalaženje lokalnog ekstremuma. Nakon što smo pronašli intervale monotonosti, možemo odmah odrediti lokalne ekstremne točke u kojima se povećanje zamjenjuje smanjenjem, nalaze se lokalni maksimumi, a gdje se smanjenje zamjenjuje povećanjem, nalaze se lokalni minimumi. Izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama. Ako funkcija ima kritične točke koje nisu lokalne ekstremne točke, onda je korisno izračunati vrijednost funkcije i u tim tačkama.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = f(x) na segmentu (nastavak)

1. Pronađite izvod funkcije: f(x). 2. Pronađite tačke u kojima je izvod nula: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Odredite pripadnost bodova X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: neka x 1a;b, A x 2a;b . 4. Pronađite vrijednosti funkcije u odabranim točkama i na krajevima segmenta: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. Odabir najveće i najmanje vrijednosti funkcije od pronađenih. Komentar. Ako na segmentu [ a; b] postoje tačke diskontinuiteta, tada je na njima potrebno izračunati jednostrane granice, a zatim uzeti u obzir njihove vrijednosti pri odabiru najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

7) Određivanje intervala konveksnosti i konkavnosti. To se radi ispitivanjem predznaka druge derivacije f(x). Pronađite točke pregiba na spojevima konveksnih i konkavnih intervala. Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama pregiba. Ako funkcija ima druge tačke kontinuiteta (osim prevojnih tačaka) u kojima je drugi izvod 0 ili ne postoji, tada je također korisno izračunati vrijednost funkcije u tim tačkama. Nakon što je pronašao f(x), rješavamo nejednakost f(x)0. Na svakom od intervala rješenja funkcija će biti konveksna prema dolje. Rješavanje inverzne nejednačine f(x)0, nalazimo intervale u kojima je funkcija konveksna prema gore (tj. konkavna). Definiramo točke pregiba kao one tačke u kojima funkcija mijenja smjer konveksnosti (i kontinuirana je).

Prevojna tačka funkcije je tačka u kojoj je funkcija neprekidna i pri prolasku kroz koju funkcija mijenja smjer konveksnosti.

Uslovi postojanja

Neophodan uslov za postojanje prevojne tačke: ako je funkcija dvaput diferencibilna u nekom probušenom okruženju tačke, onda ili .