Podizanje algebarskog razlomka na stepen." Lekcija "Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka. Podizanje algebarskog razlomka na stepen" Množenje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima
Možemo množiti i dijeliti aritmetičke razlomke, na primjer:
ako slova a, b, c i d predstavljaju aritmetičke cijele brojeve.
Postavlja se pitanje da li ove jednakosti ne vrijede ako a, b, c i d označavaju: 1) bilo koje aritmetičke brojeve i 2) bilo koje relativne brojeve.
Prije svega, morat ćete uzeti u obzir složene razlomke, na primjer:
Ovi primjeri su već dovoljni da se provjeri valjanost jednakosti koje se odnose na množenje i dijeljenje razlomaka, kada su brojevi a, b, c i d bilo koja (cjelobrojna ili razlomka) aritmetika. Imajte na umu da postoje samo 2 osnovne jednakosti, i to:
Sada ostaje razmotriti hoće li ove jednakosti ostati važeće ako se pretpostavi da su neki od brojeva a, b, c i d negativni: ako je, na primjer, a negativan broj, b, c i d pozitivni, tada razlomak je negativan, a razlomak pozitivan; dakle, na primjer, dijeljenjem sa treba dobiti negativan broj, ali vidimo da bi, prema našoj pretpostavci, izraz trebao izražavati negativan broj, odnosno jednakost je i u ovom slučaju opravdana. Takođe je lako razmotriti druge pretpostavke za znakove a, b, c i d. Rezultat ovog razmatranja je uvjerenje u valjanost jednakosti
a za slučaj kada a, b, c i d izražavaju bilo koje relativne brojeve, tj. za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka, ostaju na snazi ista pravila kao i za aritmetička.
Sada možemo izvršiti množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka. Najveća poteškoća ovdje je pitanje smanjenja razlomaka dobivenih nakon množenja ili dijeljenja. Ako su algebarski razlomci monomalni, onda smanjenje dobivenog rezultata neće predstavljati poteškoće, ali ako su razlomci algebarski, tada je potrebno prvo faktorizirati brojnik i nazivnik svakog od ovih razlomaka.
Tema: Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka
Obrazovanje je ono što ostaje kada je sve naučeno već zaboravljeno.
Laue
Ciljevi:
edukativni:
pin ZUN na temu
vrši primarnu tekuću kontrolu znanja
raditi na prazninama
edukativni:
doprinose razvoju komunikativne kompetencije, tj. sposobnost efikasne saradnje sa drugim ljudima.
promovirati razvoj kooperativne kompetencije, tj. sposobnost rada u paru.
doprinose razvoju problemske kompetencije, tj. sposobnost razumijevanja neizbježnosti poteškoća koje se javljaju u toku bilo koje aktivnosti.
edukativni:
usaditi sposobnost adekvatnog vrednovanja rada prijatelja;
Kada radite u paru, njegujte kvalitete uzajamne pomoći i podrške.
metodički:
stvaranje uslova za ispoljavanje individualnosti, kognitivna aktivnost studenti;
pokazati metodologiju za izvođenje časa sa osmišljavanjem rezultata obrazovne aktivnosti i načine njihovog proučavanja na osnovu pristupa zasnovanog na kompetencijama.
Oprema: tabla, kreda u boji. Tabela "Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka"; kartice za individualni rad, kartice "podsjetnika". Zadatak u slobodnoj minuti.
Tokom nastave
Organiziranje vremena
Plan časa je napisan na tabli:
Oralno zagrijavanje.
Individualni rad.
Rješavanje zadataka.
Rad u paru.
Sažetak lekcije.
Zadaća.
Učitelj: U starim danima u Rusiji se vjerovalo da ako je osoba vješta u matematici, onda to znači najviši stepen stipendija. A sposobnost da se pravilno vidi i čuje je prvi korak ka mudrosti. Želio bih da danas svi učenici u vašem razredu pokažu koliko su mudri i koliko su ljudi upućeni u algebru 7. razreda.
Dakle, tema lekcije je "Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka." U prošloj lekciji ste počeli da proučavate ovu temu, a mi smo razgovarali zašto je proučavamo. Prisjetimo se gdje će nam to koristiti u samo nekoliko lekcija.
Studenti: Za zajedničke radnje s algebarskim razlomcima, za rješavanje jednačina, a time i problema.
Učitelj: Još u stara vremena u Rusiji su govorili da je množenje muka, a deljenje nevolja. Svako ko je mogao brzo i precizno množiti i dijeliti smatran je velikim matematičarem.
Koje ćeš ciljeve postaviti sebi?
Studenti: Nastavite proučavati temu, naučite kako brzo i precizno množiti i dijeliti.
Učitelj: Da bismo postigli svoje ciljeve, mi (otvara plan napisan na tabli, izgovara ga)
1. Oralno zagrijavanje: (u ovom trenutku 3 - 4 osobe rješavaju vježbu za smanjenje razlomaka u parovima) rastaviti na faktore, popunjavajući praznine
1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...
smanjiti razlomak
Razlomci, razlomci, pobijedite razlomke, skraćujte ih, ne štedite ih.
pronađite grešku napravljenu prilikom množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka
Učitelj: Gdje je napravljena greška? Zašto je napravljena greška? Koje pravilo učenik nije znao? Koju ste poznavali? Kako to učiniti kako treba?
2. Rad u svesci, broj iz udžbenika 488 (1) Analiza, odluka, provjera.
Učitelj: A sada ćete imati priliku da pokažete svoje znanje prilikom ispunjavanja testa, a da bih vas inspirisao za rad, pročitaću pesmu „Da vam učiteljica u dnevnik zapiše „5“, ume da pomnoži brojilicu brojicom u trenu, a da bi učitelj bio zadovoljan tobom, prvi imenilac pomnožiš sa drugim"
Samoprovjera, međusobna provjera. Prema kriterijumima (označenim na tabli) B-1 (321), B-2 (132) koristeći ispravne šifre, ocjenjivanje u parovima. Početni rezultat. Ocene.
Rad na greškama u parovima učenik-nastavnik
Ako nema grešaka u parovima, uradite zadatak u slobodnoj minuti.
Pojednostavite izraz i pronađite njegovu vrijednost kada
5. Sažetak lekcije
Na kraju lekcije, želeo bih da znam od vas, koje vrste posla su vam izazvale poteškoće? Zašto misliš? Šta ste novo naučili? Koliko vas je zadovoljno svojim radom na času? Da li mislite da su ciljevi postavljeni na početku lekcije postignuti?
Učitelj: Lekciju bih završio riječima francuskog inženjera-fizičara Lauea: „Obrazovanje je ono što ostaje kada je sve naučeno već zaboravljeno.”
Nadam se da nećete zaboraviti ovaj materijal, da se to ne dogodi, morate završiti čak i zadatke br. 486,487,488.
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Radna sveska iz elektronske algebre za 8. razred
Multimedijalni udžbenik za 8. razred "Algebra za 10 minuta"
Preliminarna faktorizacija algebarskog razlomka
Prije nego počnete raditi sa razlomcima, odnosno množenjem i dijeljenjem, preporučljivo je rastaviti brojnik i nazivnik. Ovo će olakšati rastavljanje na faktore razlomka koji je rezultat matematičke operacije.Na primjer, zadan razlomak:
$\frac(8x+8y)(16)$.
Izvršimo identičnu transformaciju, odnosno faktoriziramo brojilac.
$\frac(8x+8y)(16)=\frac(8(x+y))(16)$.
Ili, na primjer, s obzirom na sljedeći razlomak:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)$.
Bilo bi bolje da to kažem ovako:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)=\frac((x+y)(x-y))(x+1)$.
Ne zaboravite na nekretninu:
$(b-a)^2=(a-b)^2$.
Množenje algebarskih razlomaka sa sličnim i različitim nazivnicima
Množenje algebarskih razlomaka vrši se na isti način kao i množenje obične frakcije. Brojnici i imenioci se množe zajedno.Ovo se može predstaviti u obliku formule na sljedeći način:
$\frac(a)(b)*\frac(c)(d)=\frac(ac)(bd)$
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1.
Izračunati:
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)$.
Razložimo razlomak.
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)=\frac(5(x+y))(x-y)*\frac((x-y)(x+ y) ))(10x)$.
Dovedemo oba razlomka u zajednički nazivnik (sjetite se lekcije: „Sabiranje i oduzimanje razlomaka“, gdje su bili savjeti kako bolje i lakše odabrati zajednički imenilac). Kao rezultat, dobijamo razlomak.
$\frac(5(x+y)(x-y)(x+y))((x-y)*10x)=\frac((x+y)^2)(2x)$
Primjer 2.
Izračunati:
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6b^2-12ab+6a^2)(49a^4b^5)$.
Rastavimo na faktore i smanjimo razlomak.
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6(b^2-2ab+a^2))(49a^4b^5)=\frac(7a^3b^5*6 (b-a)^2)(3(a-b)*49a^4b^5)=\frac(2(b-a)^2)(7a(a-b))$.
Dijeljenje algebarskih razlomaka sa sličnim i različitim nazivnicima
Dijeljenje razlomaka vrši se na isti način kao i dijeljenje običnih razlomaka, odnosno potrebno je okrenuti razlomak „djelitelja“ i pomnožiti.$\frac(a)(b):\frac(c)(d)=\frac(ad)(bc)$
Pogledajmo primjere.
Primjer 3.
Slijedite ove korake:
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Razložimo razlomke.
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)=\frac((x-1)(x^2+x+1))( 8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Sada obrnemo razlomak i množimo.
$\frac((x-1)(x^2+x+1)*16y^2)(8y*(x^2+x+1))=2y*(x-1)$.
Primjer 4.
Izračunati:
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)$.
Hajde da faktorizujemo i grupišemo polinome.
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)=\frac((a^2-b^2)(a^2+ b^2))((ab+2b)-(3a+6)):\frac(b-a)(a+2)=$
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2))(b(a+2)-3(a+2)):\frac(b-a)(a+2)$.
Obrnite i pomnožite razlomke.
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2))((a+2)(b-3)(b-a))=\frac(-(a+ b) )(a^2+b^2))((b-3))$.
Ova lekcija će pokriti pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka, kao i primjere primjene ovih pravila. Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka ne razlikuje se od množenja i dijeljenja običnih razlomaka. Istovremeno, prisustvo varijabli dovodi do nešto složenijih načina pojednostavljenja rezultirajućih izraza. Unatoč činjenici da je množenje i dijeljenje razlomaka lakše nego zbrajati i oduzimati, proučavanju ove teme mora se pristupiti krajnje odgovorno, jer u njemu postoje mnoge zamke na koje se obično ne obraća pažnja. U sklopu lekcije nećemo samo proučavati pravila množenja i dijeljenja razlomaka, već ćemo analizirati i nijanse koje se mogu pojaviti prilikom njihove primjene.
Predmet:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima
lekcija:Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka
Pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka su apsolutno slična pravilima za množenje i dijeljenje običnih razlomaka. Podsjetimo ih:
Odnosno, da biste pomnožili razlomke, potrebno je pomnožiti njihove brojioce (ovo će biti brojnik proizvoda) i pomnožiti njihove nazivnike (ovo će biti imenilac proizvoda).
Dijeljenje razlomkom je množenje obrnutim razlomkom, odnosno da biste podijelili dva razlomka, potrebno je prvi od njih (dividendu) pomnožiti sa obrnutim drugim (djeliteljem).
Unatoč jednostavnosti ovih pravila, mnogi ljudi griješe u brojnim posebnim slučajevima kada rješavaju primjere na ovu temu. Pogledajmo bliže ove posebne slučajeve:
U svim ovim pravilima koristili smo sljedeću činjenicu: .
Hajde da riješimo nekoliko primjera množenja i dijeljenja običnih razlomaka da zapamtimo kako koristiti ova pravila.
Primjer 1
Bilješka: Prilikom redukcije razlomaka koristili smo dekompoziciju brojeva na proste faktore. Da vas podsjetimo na to primarni brojevi
ovi se zovu cijeli brojevi, koji su djeljivi samo po sebi. Pozivaju se preostali brojevi kompozitni
. Broj nije ni prost ni složen. Primjeri primarni brojevi: 
.
Primjer 2
Razmotrimo sada jedan od specijalnih slučajeva s običnim razlomcima.
Primjer 3
Kao što vidite, množenje i dijeljenje običnih razlomaka, ako se pravila pravilno primjenjuju, nije teško.
Pogledajmo množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka.
Primjer 4
Primjer 5
Imajte na umu da je moguće i čak potrebno smanjiti razlomke nakon množenja prema istim pravilima koja smo prethodno razmatrali u lekcijama posvećenim redukciji algebarskih razlomaka. Pogledajmo nekoliko jednostavni primjeri za posebne slučajeve.
Primjer 6
Primjer 7
Razmotrimo sada malo više složeni primjeri o množenju i dijeljenju razlomaka.
Primjer 8
Primjer 9
Primjer 10
Primjer 11
Primjer 12
Primjer 13
Prethodno smo gledali razlomke u kojima su i brojnik i imenilac bili monomi. Međutim, u nekim slučajevima je potrebno pomnožiti ili podijeliti razlomke čiji su brojnici i nazivnici polinomi. U ovom slučaju pravila ostaju ista, ali za smanjenje potrebno je koristiti skraćene formule za množenje i zagrade.
Primjer 14
Primjer 15
Primjer 16
Primjer 17
Primjer 18
