Teorema je inverzna formulacija Pitagorine teoreme. Lekcija "teorema je inverzna od Pitagorine teoreme." II. Provjera domaćeg
Ciljevi lekcije:
Obrazovni: formulirati i dokazati Pitagorinu teoremu i inverznu teoremu Pitagorine teoreme. Pokažite njihov istorijski i praktični značaj.
Razvojni: razvijati pažnju, pamćenje, logičko razmišljanje učenika, sposobnost rasuđivanja, poređenja, izvođenja zaključaka.
Vaspitni: gajiti interesovanje i ljubav prema predmetu, tačnost, sposobnost slušanja drugova i nastavnika.
Oprema: Pitagorin portret, posteri sa zadacima za konsolidaciju, udžbenik "Geometrija" za 7-9 razred (I.F. Sharygin).
Plan lekcije:
I. Organizacioni momenat– 1 min.
II. Ispitivanje domaći zadatak– 7 min.
III. Uvodne napomene nastavnici, istorijska pozadina – 4-5 min.
IV. Formulacija i dokaz Pitagorine teoreme – 7 min.
V. Formulacija i dokaz teoreme suprotne Pitagorinoj teoremi – 5 min.
Konsolidacija novog materijala:
a) oralno – 5-6 minuta.
b) pismeno – 7-10 minuta.
VII. Domaća zadaća – 1 min.
VIII. Sumiranje lekcije – 3 min.
Napredak lekcije
I. Organizacioni momenat.
II. Provjera domaćeg.
tačka 7.1, br. 3 (kod table prema gotovom crtežu).
stanje: Visina pravouglog trougla dijeli hipotenuzu na segmente dužine 1 i 2. Nađite katete ovog trougla.
BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC
Dodatno pitanje: upišite omjere u pravokutni trokut.
Odjeljak 7.1, br. 5. Rez pravougaonog trougla u tri slična trougla.
Objasni.
ASN ~ ABC ~ SVN
(skrenuti učenicima pažnju na ispravnost pisanja odgovarajućih vrhova sličnih trokuta)
III. Uvodna reč nastavnika, istorijska pozadina.
Istina će ostati vječna čim je slaba osoba prepozna!
I sada je Pitagorina teorema istinita, kao u njegovom dalekom dobu.
Nije slučajno što sam svoju lekciju započeo riječima njemačkog romanopisca Chamissoa. Naša današnja lekcija je o Pitagorinoj teoremi. Zapišimo temu lekcije.
Pred vama je portret velikog Pitagore. Rođen 576. pne. Pošto je živeo 80 godina, umro je 496. godine pre nove ere. Poznat kao starogrčki filozof i učitelj. Bio je sin trgovca Mnesarchusa, koji ga je često vodio na svoja putovanja, zahvaljujući čemu je dječak razvio znatiželju i želju za učenjem novih stvari. Pitagora je nadimak koji mu je dao zbog svoje elokvencije („Pythagoras“ znači „uvjerljiv govorom“). On sam nije ništa napisao. Sve njegove misli zabilježili su njegovi učenici. Kao rezultat prvog predavanja koje je održao, Pitagora je stekao 2.000 učenika, koji su zajedno sa svojim ženama i decom formirali ogromnu školu i stvorili državu pod nazivom „Magna Graecia“, koja se zasnivala na Pitagorinim zakonima i pravilima, poštovanog kao božanske zapovesti. On je prvi svoje razmišljanje o smislu života nazvao filozofijom (filozofijom). Bio je sklon mistifikaciji i demonstrativnom ponašanju. Jednog dana Pitagora se sakrio u podzemlje i saznao o svemu što se dešavalo od svoje majke. Zatim je, sasušen kao kostur, na javnom sastanku izjavio da je bio u Hadu i pokazao neverovatno znanje o zemaljskim događajima. Zbog toga su ga dirnuti stanovnici prepoznali kao Boga. Pitagora nikada nije plakao i uglavnom je bio nedostupan strastima i uzbuđenjima. Vjerovao je da potiče iz sjemena koje je bolje od ljudskog. Cijeli Pitagorin život je legenda koja je došla do našeg vremena i govorila nam o najtalentovanijem čovjeku antičkog svijeta.
IV. Formulacija i dokaz Pitagorine teoreme.
Vi znate formulaciju Pitagorine teoreme iz vašeg kursa algebre. Setimo je se.
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
Međutim, ova teorema je bila poznata mnogo godina prije Pitagore. 1500 godina prije Pitagore, stari Egipćani su znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravougaonog oblika i koristili su ovo svojstvo za konstruiranje pravih uglova prilikom planiranja zemljišne parcele i izgradnju zgrada. U najstarijem kineskom matematičkom i astronomskom djelu koje je do nas došlo, "Zhiu-bi", napisanom 600 godina prije Pitagore, između ostalih prijedloga koji se odnose na pravokutni trokut, sadržana je Pitagorina teorema. Još ranije ova teorema je bila poznata Hindusima. Dakle, Pitagora nije otkrio ovo svojstvo pravouglog trougla, on je vjerovatno bio prvi koji ga je uopštio i dokazao, prenio ga iz oblasti prakse u polje nauke.
WITH davna vremena matematičari pronalaze sve više i više dokaza Pitagorine teoreme. Poznato ih je više od sto i po. Sjetimo se algebarskog dokaza Pitagorine teoreme, poznatog nam iz kursa algebre. („Matematika. Algebra. Funkcije. Analiza podataka” G.V. Dorofejev, M., „Drofa”, 2000).
Pozovite učenike da zapamte dokaz za crtež i zapišu ga na ploču.
(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
Drevni hindusi, kojima ovo rezonovanje pripada, obično ga nisu zapisivali, već su crtež pratili samo jednom riječju: „Pogledaj“.
Razmotrimo u modernoj prezentaciji jedan od dokaza koji pripada Pitagorini. Na početku lekcije prisjetili smo se teoreme o odnosima u pravokutnom trokutu:
h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c
Dodajmo posljednje dvije jednakosti pojam po član:
b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2
Uprkos prividnoj jednostavnosti ovog dokaza, on je daleko od najjednostavnijeg. Uostalom, za to je bilo potrebno nacrtati visinu u pravokutnom trokutu i razmotriti slične trokute. Zapišite ovaj dokaz u svoju bilježnicu.
V. Formulacija i dokaz teoreme suprotne Pitagorinoj teoremi.
Koja se teorema naziva obrnuto od ove teoreme? (...ako su uvjet i zaključak obrnuti.)
Pokušajmo sada formulirati teoremu suprotnu Pitagorinoj teoremi.
Ako je u trouglu sa stranicama a, b i c zadovoljena jednakost c 2 = a 2 + b 2, onda je ovaj trokut pravougao, a pravi ugao naspram stranice c.
(Dokaz obrnute teoreme na posteru)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
dokazati:
ABC - pravougaona,
dokaz:
Razmotrimo pravougli trokut A 1 B 1 C 1,
gdje je C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.
Tada je, prema Pitagorinoj teoremi, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.
To jest, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC na tri strane ABC je pravougaona
C = 90°, što je trebalo dokazati.
VI. Konsolidacija proučenog gradiva (usmeno).
1. Na osnovu plakata sa gotovim crtežima.
|
|
|
Slika 1: pronaći AD ako je VD = 8, VDA = 30°.
Sl.2: pronađite CD ako je BE = 5, BAE = 45°.
Slika 3: pronađite BD ako je BC = 17, AD = 16.
2. Je li trokut pravougaonog oblika ako su njegove stranice izražene brojevima:
5 2 + 6 2 ? 7 2 (ne) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (da) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (da) |
Kako se zovu trojke brojeva u posljednja dva slučaja? (pitagorejski).
VI. Rješavanje problema (pismeno).
Br. 9. Stranica jednakostraničnog trougla jednaka je a. Odredite visinu ovog trougla, poluprečnik opisane kružnice i poluprečnik upisane kružnice.
Br. 14. Dokazati da je u pravokutnom trokutu polumjer opisane kružnice jednak medijani povučenoj hipotenuzi i jednak polovini hipotenuze.
VII. Domaći.
Paragraf 7.1, str. 175-177, ispituje teoremu 7.4 (generalizovana Pitagorina teorema), br. 1 (usmeno), br. 2, br.
VIII. Sažetak lekcije.
Šta ste novo naučili danas na času? …………
Pitagora je prije svega bio filozof. Sada želim da vam pročitam nekoliko njegovih izreka, koje su za vas i mene još uvijek relevantne u naše vrijeme.
- Ne dižite prašinu na životnom putu.
- Radite samo ono što vas kasnije neće uznemiriti i neće natjerati da se pokajete.
- Nikad ne radi ono što ne znaš, već nauči sve što treba da znaš i onda ćeš voditi miran život.
- Ne zatvarajte oči kada želite da spavate, a da niste sredili sve svoje radnje proteklog dana.
- Naučite živjeti jednostavno i bez luksuza.
Predmet: teorema, obrnuto od teoreme Pitagora.
Ciljevi lekcije: 1) razmotriti teoremu suprotnu Pitagorinoj teoremi; njegovu primjenu u procesu rješavanja problema; konsolidirati Pitagorinu teoremu i unaprijediti vještine rješavanja problema za njenu primjenu;
2) razvijati logičko mišljenje, kreativno traženje, kognitivni interes;
3) gajiti kod učenika odgovoran odnos prema učenju i kulturu matematičkog govora.
Vrsta lekcije. Lekcija u učenju novih znanja.
Napredak lekcije
І. Organizacioni momenat
ІІ. Ažuriraj znanje
Lekcija za menebiHteo samzapočnite katrenom.
Da, put znanja nije gladak
Ali znamo iz školskih godina,
Ima više misterija nego odgovora,
I nema ograničenja za pretragu!
Dakle, u prošloj lekciji ste naučili Pitagorinu teoremu. pitanja:
Za koju figuru je tačna Pitagorina teorema?
Koji trougao se naziva pravougli trougao?
Navedite Pitagorinu teoremu.
Kako se Pitagorina teorema može napisati za svaki trougao?
Koji se trouglovi nazivaju jednaki?
Formulirati kriterije za jednakost trouglova?
Hajdemo sada malo samostalan rad:
Rješavanje problema pomoću crteža.
№1
(1 b.) Nađi: AB.
№2
(1 b.) Nalaz: VS.
№3
( 2 b.)Nađi: AC
№4
(1 bod)Nađi: AC
№5 Dao: ABCDrhombus
(2 b.) AB = 13 cm
AC = 10 cm
Nađi: BD
Samotest br. 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Studiranje novo materijal.
Stari Egipćani su gradili prave uglove na tlu na ovaj način: podijelili su uže na 12 čvorova jednaki dijelovi, vezao svoje krajeve, nakon čega je konopac razvučen na tlu tako da je formiran trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 podjela. Ugao trougla koji je ležao nasuprot stranice sa 5 podjela bio je pravi.
Možete li objasniti ispravnost ove presude?
Kao rezultat traženja odgovora na pitanje, učenici treba da shvate da se sa matematičke tačke gledišta postavlja pitanje: hoće li trougao biti pravougao?
Postavljamo problem: kako odrediti, bez mjerenja, da li će trougao sa datim stranicama biti pravougaonik. Rješavanje ovog problema je cilj lekcije.
Zapišite temu lekcije.
Teorema. Ako je zbir kvadrata dviju stranica trokuta jednak kvadratu treće strane, onda je trokut pravougao.
Samostalno dokazati teoremu (napraviti plan dokaza koristeći udžbenik).
Iz ove teoreme slijedi da je trokut sa stranicama 3, 4, 5 pravougao (egipatski).
Općenito, brojevi za koje vrijedi jednakost , zovu se Pitagorine trojke. A trouglovi čije su dužine stranica izražene pitagorinim trojkama (6, 8, 10) su pitagorini trouglovi.
Konsolidacija.
Jer , tada trokut sa stranicama 12, 13, 5 nije pravougao.
Jer , tada je trokut sa stranicama 1, 5, 6 pravokutni.
№ 430 (a, b, c)
( - nije)
Pitagorina teorema kaže:
U pravokutnom trokutu, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze:
a 2 + b 2 = c 2,
- a I b– noge koje formiraju pravi ugao.
- With– hipotenuza trougla.
Formule Pitagorine teoreme
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Dokaz Pitagorine teoreme
Površina pravokutnog trokuta izračunava se po formuli:
S = \frac(1)(2)ab
Za izračunavanje površine proizvoljnog trokuta, formula površine je:
- str– poluperimetar. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r– poluprečnik upisane kružnice. Za pravougaonik r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Zatim izjednačavamo desne strane obje formule za površinu trokuta:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \lijevo((a+b)^(2) -c^(2) \desno)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Obratna Pitagorina teorema:
Ako je kvadrat jedne strane trougla jednak zbiru kvadrata druge dvije strane, onda je trokut pravougao. Odnosno, za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b I c, takav da
a 2 + b 2 = c 2,
postoji pravougli trougao sa katetama a I b i hipotenuzu c.
Pitagorina teorema- jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla. To je dokazao učeni matematičar i filozof Pitagora.
Značenje teoremečinjenica da uz njegovu pomoć možete dokazati druge teoreme i riješiti probleme.
Dodatni materijal:
Razmatranje tema školski program Korištenje video lekcija je zgodan način za proučavanje i savladavanje gradiva. Video pomaže da se pažnja učenika usmjeri na glavne teorijske koncepte i da se ne propuste važni detalji. Ako je potrebno, učenici uvijek mogu ponovo preslušati video lekciju ili se vratiti na nekoliko tema.
Ova video lekcija za 8. razred pomoći će učenicima u učenju nova tema u geometriji.
IN prethodna tema Proučavali smo Pitagorinu teoremu i analizirali njen dokaz.
Postoji i teorema koja je poznata kao inverzna Pitagorina teorema. Pogledajmo to izbliza.
Teorema. Trokut je pravougli ako ima sljedeću jednakost: vrijednost jedne stranice trokuta na kvadrat jednaka je zbroju druge dvije stranice na kvadrat.
Dokaz. Pretpostavimo da nam je dat trougao ABC, u kojem vrijedi jednakost AB 2 = CA 2 + CB 2. Potrebno je dokazati da je ugao C 90 stepeni. Posmatrajmo trougao A 1 B 1 C 1 u kojem je ugao C 1 jednak 90 stepeni, stranica C 1 A 1 jednaka je CA, a stranica B 1 C 1 jednaka BC.
Primjenjujući Pitagorinu teoremu, zapisujemo omjer stranica u trouglu A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Zamjenom izraza sa jednake strane, dobijamo A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Iz uslova teoreme znamo da je AB 2 = CA 2 + CB 2. Tada možemo napisati A 1 B 1 2 = AB 2, iz čega slijedi da je A 1 B 1 = AB.
Utvrdili smo da su u trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1 tri stranice jednake: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Dakle, ovi trouglovi su jednaki. Iz jednakosti trouglova slijedi da je ugao C jednaka uglu C 1, odnosno jednak je 90 stepeni. Utvrdili smo da je trougao ABC pravougao i da je njegov ugao C 90 stepeni. Mi smo dokazali ovu teoremu.
Zatim, autor daje primjer. Pretpostavimo da nam je dat proizvoljan trougao. Poznate su veličine njegovih strana: 5, 4 i 3 jedinice. Provjerimo tvrdnju iz teoreme suprotne Pitagorinoj teoremi: 5 2 = 3 2 + 4 2. Tvrdnja je tačna, što znači da je ovaj trougao pravougao.
U sljedećim primjerima, trokuti će također biti pravokutni trokuti ako su im stranice jednake:
5, 12, 13 jedinica; jednakost 13 2 = 5 2 + 12 2 je tačna;
8, 15, 17 jedinica; jednakost 17 2 = 8 2 + 15 2 je tačna;
7, 24, 25 jedinica; jednakost 25 2 = 7 2 + 24 2 je tačna.
Poznat je koncept pitagorinog trougla. Ovo je pravougaoni trokut čije su stranice jednake cijelim brojevima. Ako su katete Pitagorinog trokuta označene sa a i c, a hipotenuza sa b, tada se vrijednosti stranica ovog trokuta mogu napisati pomoću sljedećih formula:
b = k x (m 2 - n 2)
c = k x (m 2 + n 2)
gdje su m, n, k bilo koji prirodni brojevi, a vrijednost m je veća od vrijednosti n.
Zanimljiva činjenica: trokut sa stranicama 5, 4 i 3 naziva se i egipatskim trouglom, takav trokut je bio poznat u starom Egiptu.
U ovoj video lekciji naučili smo teoremu suprotnu Pitagorinoj teoremi. Detaljno smo ispitali dokaze. Učenici su takođe naučili koji se trouglovi nazivaju Pitagorini trouglovi.
Učenici se mogu lako upoznati sa temom „Inverzna Pitagorina teorema“ uz pomoć ove video lekcije.
