>>Metode integracije

Osnovne metode integracije

Definicija integrala, određenog i neodređenog integrala, tabela integrala, Newton-Leibniz formula, integracija po dijelovima, primjeri izračunavanja integrala.

Neodređeni integral

Poziva se funkcija F(x) koja se može diferencirati u datom intervalu X antiderivat funkcije f(x), ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:

F " (x) = f(x). (8.1)

Pronalaženje svih antiderivata za datu funkciju naziva se njena integracija. Neodređena integralna funkcija f(x) na datom intervalu X je skup svih antiderivativnih funkcija za funkciju f(x); oznaka -

Ako je F(x) neki antiderivat funkcije f(x), onda je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdje je C proizvoljna konstanta.

Tabela integrala

Direktno iz definicije dobijamo glavna svojstva neodređenog integrala i listu tabelarnih integrala:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Spisak tabelarnih integrala

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Varijabilna zamjena

Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijabli ili zamjene,što vam omogućava da svedete integrale u tabelarni oblik.

Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuirani izvod i α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Štaviše, nakon integracije na desnoj strani, treba izvršiti zamjenu z=g(x).

Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na primjer:

1)

2) .

Metoda integracije po dijelovima

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirani . Zatim, prema radu,

d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv), antiderivat će očigledno biti uv, tako da formula vrijedi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Onda

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji su precizno izračunati pomoću integracije po dijelovima.

Definitivni integral

Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelove po tačkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Zove se zbir oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbir, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se definitivni integral funkcije f(x) od a prije b i označava se:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) u ovom slučaju se poziva integrabilan na intervalu, brojevi a i b se zovu donja i gornja granica integrala.

Sljedeća svojstva su tačna za određeni integral:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Posljednje svojstvo se zove teorema srednje vrijednosti.

Neka je f(x) kontinuirano na . Tada na ovom segmentu postoji neodređeni integral

∫f(x)dx = F(x) + C

i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral sa neodređenim integralom:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrijska interpretacija: definitivni integral je površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo krivom y=f(x), pravim linijama x = a i x = b i segmentom ose Ox.

Nepravilni integrali

Pozivaju se integrali s beskonačnim granicama i integrali diskontinuiranih (neograničenih) funkcija ne svoju. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali u beskonačnom intervalu, definirani na sljedeći način:

(8.7)

Ako ova granica postoji i konačna je, onda se zove konvergentni nepravilan integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), a funkcija f(x) se poziva integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se kaže da je integral ne postoji ili se razlikuje.

Nepravilni integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se slično:

Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirano za sve vrijednosti x segment , osim tačke c, u kojoj f(x) ima beskonačan diskontinuitet, onda nepravilan integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:

ako ove granice postoje i konačne su. Oznaka:

Primjeri integralnih proračuna

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

Rješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primjer 3.31. Pronađite ∫ tgxdx.

Rješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Primjer3.32 . Pronađite ∫dx/sinx

Rješenje.

Primjer3.33. Pronađite .

Rješenje. =

.

Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.

Rješenje. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Rješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobijamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Rješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, zatim du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integriramo i integral ∫e x cosxdx po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iz koje je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rješenje. Pošto je dx/x = dlnx, onda je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primjer 3.38 . Izračunajte J = .

Rješenje. Uzimajući u obzir da je = d(lnx), zamjenjujemo lnx = t. Tada je J = .

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba za koju znate za integral korištenje hekla u obliku integralne ikone kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, dobrodošli! Saznajte kako riješiti najjednostavnije i druge integrale i zašto bez toga ne možete u matematici.

Proučavamo koncept « integral »

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u svom modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Na našem blogu već imamo informacije o , neophodne za razumijevanje integrala.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuti izvod ili antiderivat. Usput, o tome pročitajte u našem članku.

Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno izračunavali antiderivate elementarnih funkcija, prikladno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tabela integrala za studente

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći da izračunate površinu figure, masu neujednačenog tijela, udaljenost prijeđenu tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije? Koristeći integral! Podijelimo krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:

Tačke a i b nazivaju se granice integracije.

« Integral »

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• At bilo koji bodova a, b I With:

Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti neodređeni integral i primjere s rješenjima. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.

Na ovoj stranici ćete pronaći:

1. Zapravo, tabela antiderivata - može se preuzeti u PDF formatu i odštampati;

2. Video o tome kako koristiti ovu tabelu;

3. Gomila primjera izračunavanja antiderivata iz raznih udžbenika i testova.

U samom videu ćemo analizirati mnoge probleme u kojima je potrebno izračunati antiderivate funkcija, često prilično složene, ali što je najvažnije, to nisu funkcije snage. Sve funkcije koje su sažete u gore predloženoj tabeli moraju biti poznate napamet, poput izvedenica. Bez njih je nemoguće dalje proučavanje integrala i njihova primjena u rješavanju praktičnih problema.

Danas nastavljamo s proučavanjem primitivaca i prelazimo na malo složeniju temu. Ako smo prošli put gledali antiderivate samo funkcija stepena i malo složenije konstrukcije, danas ćemo se osvrnuti na trigonometriju i još mnogo toga.

Kao što sam rekao u prošloj lekciji, antiderivati ​​se, za razliku od derivata, nikada ne rješavaju "odmah" koristeći bilo koja standardna pravila. Štaviše, loša vijest je da, za razliku od derivata, antiderivat se možda uopće ne razmatra. Ako napišemo potpuno slučajnu funkciju i pokušamo pronaći njen izvod, onda ćemo s vrlo velikom vjerovatnoćom uspjeti, ali antiderivat u ovom slučaju gotovo nikada neće biti izračunat. Ali postoje dobre vijesti: postoji prilično velika klasa funkcija koje se nazivaju elementarnim funkcijama, čije je antiderivate vrlo lako izračunati. A sve ostale složenije strukture koje se daju na svim vrstama testova, nezavisnih testova i ispita, zapravo su sastavljene od ovih elementarnih funkcija kroz sabiranje, oduzimanje i druge jednostavne radnje. Prototipovi takvih funkcija odavno su izračunati i sastavljeni u posebne tabele. Upravo s ovim funkcijama i tablicama ćemo danas raditi.

Ali počet ćemo, kao i uvijek, ponavljanjem: sjetimo se šta je antideritiv, zašto ih ima beskonačno mnogo i kako odrediti njihov opći izgled. Da bih to uradio, uzeo sam dva jednostavna problema.

Rješavanje lakih primjera

Primjer #1

Odmah primijetimo da je $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ i općenito prisustvo $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ odmah nam nagovještava da je traženi antiderivat funkcije povezan s trigonometrijom. I zaista, ako pogledamo tabelu, naći ćemo da $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nije ništa više od $\text(arctg)x$. Pa hajde da to zapišemo:

Da biste pronašli, potrebno je da zapišete sljedeće:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Primjer br. 2

Ovdje također govorimo o trigonometrijskim funkcijama. Ako pogledamo tabelu, onda se, zaista, dešava ovako:

Među čitavim skupom antiderivata moramo pronaći onaj koji prolazi kroz naznačenu tačku:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Hajde da to konačno zapišemo:

To je tako jednostavno. Jedini problem je što da biste izračunali antiderivate jednostavnih funkcija, morate naučiti tablicu antiderivata. Međutim, nakon što proučim tablicu izvedenica za vas, mislim da to neće biti problem.

Rješavanje problema koji sadrže eksponencijalnu funkciju

Za početak, napišimo sljedeće formule:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Pogledajmo kako sve ovo funkcionira u praksi.

Primjer #1

Ako pogledamo sadržaj zagrada, primijetit ćemo da u tabeli antiderivata ne postoji takav izraz da bi $((e)^(x))$ bio u kvadratu, pa se ovaj kvadrat mora proširiti. Da bismo to učinili, koristimo skraćene formule za množenje:

Nađimo antiderivat za svaki od pojmova:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \desno))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Sada skupimo sve pojmove u jedan izraz i dobijemo opći antiderivat:

Primjer br. 2

Ovaj put je stepen veći, pa će formula za skraćeno množenje biti prilično složena. Dakle, otvorimo zagrade:

Pokušajmo sada uzeti antiderivat naše formule iz ove konstrukcije:

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog ili natprirodnog u antiderivatu eksponencijalne funkcije. Svi su oni izračunati kroz tabele, ali će pažljivi učenici vjerovatno primijetiti da je antiderivat $((e)^(2x))$ mnogo bliži jednostavnom $((e)^(x))$ nego $((a) )^(x ))$. Dakle, možda postoji neko posebno pravilo koje dozvoljava, poznavajući antiderivativ $((e)^(x))$, da pronađemo $((e)^(2x))$? Da, takvo pravilo postoji. I, štaviše, sastavni je dio rada s tablicom antiderivata. Sada ćemo ga analizirati koristeći iste izraze s kojima smo upravo radili kao primjer.

Pravila za rad sa tabelom antiderivata

Napišimo ponovo našu funkciju:

U prethodnom slučaju koristili smo sljedeću formulu za rješavanje:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ali sada učinimo to malo drugačije: sjetimo se na osnovu čega $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kao što sam već rekao, pošto izvod $((e)^(x))$ nije ništa više od $((e)^(x))$, onda će njegov antiderivat biti jednak istom $((e) ^ (x))$. Ali problem je što imamo $((e)^(2x))$ i $((e)^(-2x))$. Pokušajmo sada pronaći izvod od $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Prepišimo ponovo našu konstrukciju:

\[((\left(((e)^(2x)) \desno))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \desno))^(\prime ))\]

To znači da kada pronađemo antiderivat $((e)^(2x))$ dobijamo sljedeće:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kao što vidite, dobili smo isti rezultat kao i prije, ali nismo koristili formulu da pronađemo $((a)^(x))$. Ovo može izgledati glupo: zašto komplikovati proračune kada postoji standardna formula? Međutim, u malo složenijim izrazima naći ćete da je ova tehnika vrlo efikasna, tj. koristeći derivate za pronalaženje antiderivata.

Kao zagrijavanje, pronađimo antiderivat od $((e)^(2x))$ na sličan način:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Prilikom izračuna, naša konstrukcija će biti napisana na sljedeći način:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Dobili smo potpuno isti rezultat, ali smo krenuli drugim putem. Upravo će se ovaj put, koji nam se sada čini malo komplikovanijim, u budućnosti pokazati efikasnijim za izračunavanje složenijih antiderivata i korištenje tabela.

Bilješka! Ovo je vrlo važna stvar: antiderivati, kao i derivati, mogu se računati na mnogo različitih načina. Međutim, ako su svi proračuni i proračuni jednaki, onda će odgovor biti isti. Upravo smo to vidjeli na primjeru $((e)^(-2x))$ - s jedne strane, izračunali smo ovaj antiderivativ "do kraja", koristeći definiciju i izračunavajući ga pomoću transformacija, s druge strane, zapamtili smo da se $ ((e)^(-2x))$ može predstaviti kao $((\left(((e)^(-2)) \desno))^(x))$ i tek tada smo koristili antiderivat za funkciju $( (a)^(x))$. Međutim, nakon svih transformacija, rezultat je bio isti, očekivano.

A sada kada sve ovo razumijemo, vrijeme je da pređemo na nešto značajnije. Sada ćemo analizirati dvije jednostavne konstrukcije, ali tehnika koja će se koristiti prilikom njihovog rješavanja je moćniji i korisniji alat od jednostavnog „trčanja“ između susjednih antiderivata iz tabele.

Rješavanje problema: pronalaženje antiderivata funkcije

Primjer #1

Podijelimo iznos koji se nalazi u brojiocima u tri odvojena razlomka:

Ovo je prilično prirodna i razumljiva tranzicija - većina učenika nema problema s tim. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:

Sada se prisjetimo ove formule:

U našem slučaju dobićemo sledeće:

Da biste se riješili svih ovih trokatnih frakcija, predlažem da učinite sljedeće:

Primjer br. 2

Za razliku od prethodnog razlomka, nazivnik nije proizvod, već zbir. U ovom slučaju više ne možemo podijeliti naš razlomak na zbir nekoliko jednostavnih razlomaka, ali moramo nekako pokušati osigurati da brojnik sadrži približno isti izraz kao i nazivnik. U ovom slučaju, vrlo je jednostavno to učiniti:

Ova notacija, koja se na matematičkom jeziku zove "dodavanje nule", omogućit će nam da ponovo podijelimo razlomak na dva dijela:

Hajde sada da pronađemo ono što smo tražili:

To su sve kalkulacije. Uprkos očigledno većoj složenosti nego u prethodnom problemu, količina proračuna se pokazala još manjom.

Nijanse rješenja

I tu leži glavna poteškoća u radu sa tabelarnim antiderivacijama, to je posebno uočljivo u drugom zadatku. Činjenica je da da bismo odabrali neke elemente koji se lako izračunavaju kroz tabelu, moramo znati šta tačno tražimo, a upravo u potrazi za tim elementima sastoji se cjelokupno izračunavanje antiderivata.

Drugim rečima, nije dovoljno samo zapamtiti tabelu antiderivata – potrebno je da vidite nešto što još ne postoji, već šta je mislio autor i sastavljač ovog problema. Zbog toga se mnogi matematičari, nastavnici i profesori neprestano raspravljaju: "Šta je uzimanje antiderivata ili integracija - da li je to samo alat ili je prava umjetnost?" Zapravo, po mom ličnom mišljenju, integracija uopće nije umjetnost – u njoj nema ničeg uzvišenog, to je samo praksa i još više praksa. A da vježbamo, riješimo tri ozbiljnija primjera.

U praksi se obučavamo u integraciji

Zadatak br. 1

Napišimo sljedeće formule:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\do \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Hajde da napišemo sledeće:

Problem br. 2

Prepišimo ga na sljedeći način:

Ukupni antiderivat će biti jednak:

Problem br. 3

Teškoća ovog zadatka je u tome što, za razliku od prethodnih funkcija iznad, uopće ne postoji varijabla $x$, tj. nije nam jasno šta dodati ili oduzeti da bismo dobili barem nešto slično onome što je ispod. Međutim, u stvari, ovaj izraz se smatra čak i jednostavnijim od bilo kojeg od prethodnih izraza, jer se ova funkcija može prepisati na sljedeći način:

Sada možete pitati: zašto su ove funkcije jednake? provjerimo:

Hajde da to ponovo napišemo:

Hajde da malo transformišemo naš izraz:

I kada sve ovo objasnim svojim studentima, skoro uvek se javlja isti problem: sa prvom funkcijom sve je manje-više jasno, sa drugom možete i srećom ili vežbanjem da shvatite, ali kakvu alternativnu svest imate potrebno da bi se riješio treći primjer? Zapravo, nemoj se plašiti. Tehnika koju smo koristili prilikom izračunavanja posljednjeg antiderivata naziva se „dekompozicija funkcije na najjednostavniju“, a ovo je vrlo ozbiljna tehnika, kojoj će biti posvećena posebna video lekcija.

U međuvremenu, predlažem da se vratimo na ono što smo upravo proučavali, naime, na eksponencijalne funkcije i donekle zakompliciramo probleme njihovim sadržajem.

Složeniji problemi za rješavanje antiderivativnih eksponencijalnih funkcija

Zadatak br. 1

Zapazimo sljedeće:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \desno))^(x))=((10)^(x) )\]

Da biste pronašli antiderivat ovog izraza, jednostavno koristite standardnu ​​formulu - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

U našem slučaju, antiderivat će biti ovakav:

Naravno, u poređenju sa dizajnom koji smo upravo riješili, ovaj izgleda jednostavnije.

Problem br. 2

Opet, lako je vidjeti da se ova funkcija lako može podijeliti na dva odvojena pojma - dva odvojena razlomka. Prepišimo:

Ostaje pronaći antiderivat svakog od ovih pojmova koristeći gore opisanu formulu:

Uprkos očiglednoj većoj složenosti eksponencijalnih funkcija u poređenju sa funkcijama stepena, ukupni obim proračuna i proračuna se pokazao mnogo jednostavnijim.

Naravno, za učenike sa znanjem, ono o čemu smo upravo govorili (posebno u pozadini onoga o čemu smo ranije raspravljali) može izgledati kao elementarni izrazi. Međutim, kada sam birao ova dva problema za današnju video lekciju, nisam sebi zadao cilj da vam kažem još jednu složenu i sofisticiranu tehniku ​​- sve što sam želio da vam pokažem je da se ne treba bojati koristiti standardne algebarske tehnike za transformaciju originalnih funkcija. .

Koristeći "tajnu" tehniku

U zaključku bih želio da se osvrnem na još jednu zanimljivu tehniku, koja, s jedne strane, prevazilazi ono o čemu smo danas uglavnom govorili, ali, s druge strane, nije, prvo, nimalo komplikovana, tj. I učenici početnici ga mogu savladati, a drugo, često se nalazi u svim vrstama testova i samostalnog rada, tj. poznavanje toga će biti vrlo korisno uz poznavanje tabele antiderivata.

Zadatak br. 1

Očigledno, imamo nešto vrlo slično funkciji snage. Šta da radimo u ovom slučaju? Razmislimo o tome: $x-5$ se ne razlikuje mnogo od $x$ - samo su dodali $-5$. Hajde da to napišemo ovako:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Pokušajmo pronaći derivat $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ovo implicira:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ desno))^(\prime ))\]

Ne postoji takva vrijednost u tabeli, pa smo sada sami izveli ovu formulu koristeći standardnu ​​antiderivativnu formulu za funkciju stepena. Napišimo odgovor ovako:

Problem br. 2

Mnogi učenici koji pogledaju prvo rješenje mogu pomisliti da je sve vrlo jednostavno: samo zamijenite $x$ u funkciji stepena linearnim izrazom i sve će doći na svoje mjesto. Nažalost, nije sve tako jednostavno, a sada ćemo to vidjeti.

Po analogiji s prvim izrazom pišemo sljedeće:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\lijevo(4-3x \desno))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Vraćajući se na našu izvedenicu, možemo napisati:

\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \desno))^(\prime ))\]

Ovo odmah slijedi:

Nijanse rješenja

Imajte na umu: ako se prošli put ništa suštinski nije promijenilo, onda se u drugom slučaju umjesto $-10$ pojavilo $-30$. Koja je razlika između $-10$ i $-30$? Očigledno, faktorom od $-3$. Pitanje: odakle je došlo? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da je uzet kao rezultat izračunavanja derivacije kompleksne funkcije - koeficijent koji je iznosio $x$ pojavljuje se u antiderivatu ispod. Ovo je vrlo važno pravilo, o kojem u početku uopće nisam planirao raspravljati u današnjoj video lekciji, ali bez njega prikaz tabelarnih antiderivata ne bi bio potpun.

Pa hajde da to uradimo ponovo. Neka postoji naša glavna funkcija snage:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sada, umjesto $x$, zamijenimo izraz $kx+b$. Šta će se tada dogoditi? Moramo pronaći sljedeće:

\[((\left(kx+b \desno))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \desno)\cdot k)\]

Na osnovu čega to tvrdimo? Veoma jednostavno. Nađimo derivat gore napisane konstrukcije:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\lijevo(kx+b \desno))^(n))\]

Ovo je isti izraz koji je prvobitno postojao. Dakle, i ova formula je ispravna i može se koristiti za dopunu tabele antiderivata, ili je bolje jednostavno zapamtiti cijelu tabelu.

Zaključci iz "tajne: tehnike:

• Obje funkcije koje smo upravo pogledali mogu se, zapravo, svesti na antiderivate naznačene u tabeli proširenjem stupnjeva, ali ako se možemo više-manje nekako nositi s četvrtim stepenom, onda ne bih ni razmatrao deveti stepen usudio otkriti.
• Ako bismo proširili stepene, dobili bismo toliki obim proračuna da bi nam jednostavan zadatak oduzeo neprikladno mnogo vremena.
• Zato takve probleme, koji sadrže linearne izraze, ne treba rješavati „glavoglavo“. Čim naiđete na antiderivat koji se od onog u tabeli razlikuje samo po prisutnosti izraza $kx+b$ unutra, odmah se sjetite gore napisane formule, zamijenite je u svoj tabelarni antideritiv i sve će ispasti mnogo brže i lakše.

Naravno, zbog složenosti i ozbiljnosti ove tehnike, više puta ćemo se vraćati na njeno razmatranje u narednim video časovima, ali to je sve za danas. Nadam se da će ova lekcija zaista pomoći onim studentima koji žele razumjeti antiderivate i integraciju.

Glavni integrali koje svaki učenik treba da zna

Navedeni integrali su osnova, osnova osnova. Ove formule svakako treba zapamtiti. Prilikom izračunavanja složenijih integrala, morat ćete ih stalno koristiti.

Obratite posebnu pažnju na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite da svom odgovoru dodate proizvoljnu konstantu C prilikom integracije!

Integral konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Integracija funkcije napajanja

Zapravo, bilo je moguće ograničiti se samo na formule (5) i (7), ali ostali integrali iz ove grupe se javljaju toliko često da je vrijedno obratiti pažnju na njih.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali eksponencijalnih funkcija i hiperboličkih funkcija

Naravno, formula (8) (možda najpogodnija za pamćenje) može se smatrati posebnim slučajem formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), ali je bolje zapamtiti ove relacije.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija

Greška koju učenici često prave je što brkaju znakove u formulama (12) i (13). Sjećajući se da je derivacija sinusa jednaka kosinsu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral funkcije sinx jednak cosx. Ovo nije istina! Integral sinusa je jednak "minus kosinus", ali integral cosx je jednak "samo sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije

Formula (16), koja vodi do arktangenta, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Složeniji integrali

Također je poželjno zapamtiti ove formule. Oni se također koriste prilično često, a njihov rezultat je prilično zamoran.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Opća pravila integracije

1) Integral zbira dvije funkcije jednak je zbiru odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integral razlike dvije funkcije jednak je razlici odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).

4) Integr kompleksne funkcije ako je interna funkcija linearna: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Ovdje je F(x) antiderivat za funkciju f(x). Imajte na umu: ova formula radi samo kada je unutrašnja funkcija Ax + B.

Važno: ne postoji univerzalna formula za integral proizvoda dvije funkcije, kao ni za integral razlomka:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)

To, naravno, ne znači da se razlomak ili proizvod ne može integrirati. Jednostavno, svaki put kada vidite integral poput (30), morat ćete izmisliti način da se "borite" protiv njega. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, u drugima ćete morati promijeniti promjenljivu, a ponekad čak i formule „školske“ algebre ili trigonometrije mogu pomoći.

Jednostavan primjer izračunavanja neodređenog integrala

Primjer 1. Pronađite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Koristimo formule (25) i (26) (integral zbira ili razlike funkcija jednak je zbiru ili razlici odgovarajućih integrala. Dobijamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Podsjetimo da se konstanta može izvaditi iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u formu

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Sada koristimo samo tabelu osnovnih integrala. Trebat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Integrirajmo funkciju snage, sinus, eksponencijalnu i konstantu 1. Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Nakon elementarnih transformacija dobijamo konačan odgovor:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testirajte se diferencijacijom: uzmite derivaciju rezultujuće funkcije i uvjerite se da je jednaka originalnom integralu.

Zbirna tabela integrala

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Preuzmite tabelu integrala (II dio) sa ovog linka

Ako studirate na fakultetu, ako imate poteškoća sa višom matematikom (matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerovatnoće, statistika), ako su vam potrebne usluge kvalifikovanog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Zajedno ćemo riješiti vaše probleme!

Možda će vas zanimati i

Integracija je jedna od glavnih operacija u matematičkoj analizi. Tabele poznatih antiderivata mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave sistema kompjuterske algebre, gube svoj značaj. Ispod je lista najčešćih primitiva.

Tabela osnovnih integrala

Druga, kompaktna opcija

Tablica integrala trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna integraciona konstanta, koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u bilo kojoj tački. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Većina školaraca i studenata ima problema s izračunavanjem integrala. Ova stranica sadrži integralne tabele od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija koje će pomoći u rješavanju. Pomoći će vam i tabela izvedenica.

Video - kako pronaći integrale

Ako ne razumijete ovu temu, pogledajte video, koji sve detaljno objašnjava.