Kako pronaći nazivnik beskonačne geometrijske progresije. Algebra: Aritmetičke i geometrijske progresije. Monotona i konstantna sekvenca
Formula za n-ti član geometrijske progresije je vrlo jednostavna. I po značenju i po izgledu. Ali postoje razni problemi na formuli n-og člana - od vrlo primitivnih do prilično ozbiljnih. A u procesu našeg upoznavanja, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, hajde da se upoznamo?)
Dakle, za početak, zapravo formulan
evo nje:
b n = b 1 · qn -1
Formula je samo formula, ništa natprirodno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za. Značenje formule je također jednostavno kao čizme od filca.
Ova formula vam omogućava da pronađete BILO KOJI član geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".
Kao što vidite, značenje je potpuna analogija sa aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo i pojam računati pod tim brojem. Koji god želimo. Bez uzastopnog množenja sa "q" mnogo, mnogo puta. To je cela poenta.)
Razumijem da bi vam na ovom nivou rada s progresijama sve količine koje su uključene u formulu već trebale biti jasne, ali i dalje smatram svojom dužnošću da dešifrujem svaku od njih. Samo u slučaju.
Dakle, idemo:
b 1 – prvo termin geometrijske progresije;
q – ;
n– broj člana;
b n – n-ti (nth) termin geometrijske progresije.
Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q I n. I svi problemi napretka vrte se oko ove četiri ključne figure.
"Kako se uklanja?"– Čujem čudno pitanje... Elementarno! Pogledaj!
Šta je jednako sekundačlan progresije? Nema problema! Pišemo direktno:
b 2 = b 1 ·q
Šta je sa trećim članom? Nije problem! Drugi član množimo još jednom daljeq.
Volim ovo:
B 3 = b 2 q
Sjetimo se sada da je drugi član, zauzvrat, jednak b 1 ·q i zamijenimo ovaj izraz u našu jednakost:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Dobijamo:
B 3 = b 1 ·q 2
Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećečlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in sekunda stepeni. Da li shvatate? Ne još? Ok, još jedan korak.
Šta je četvrti mandat? Sve isto! Pomnožite prethodni(tj. treći član) na q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Ukupno:
B 4 = b 1 ·q 3
I opet prevodimo na ruski: četvrtočlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in treće stepeni.
I tako dalje. Pa kako je? Jeste li uhvatili uzorak? Da! Za bilo koji član sa bilo kojim brojem, broj identičnih faktora q (tj. stepen nazivnika) uvijek će biti jedan manji od broja željenog članan.
Stoga će naša formula biti, bez varijacija:
b n =b 1 · qn -1
To je sve.)
Pa, hajde da rešimo probleme, valjda?)
Rješavanje problema formulenth član geometrijske progresije.
Počnimo, kao i obično, s direktnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:
U geometrijskoj progresiji je poznato da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.
Naravno, ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula. Direktno u smislu geometrijske progresije. Ali moramo se zagrijati s formulom za n-ti član, zar ne? Evo nas zagrevamo.
Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.
Prvi član je poznat. Ovo je 512.
b 1 = 512.
Poznat je i imenilac progresije: q = -1/2.
Ostaje samo da otkrijemo koliki je broj člana n. Nema problema! Da li nas zanima deseti mandat? Dakle, zamjenjujemo deset umjesto n u opštu formulu.
I pažljivo izračunajte aritmetiku:
Odgovor: -1
Kao što vidite, deseti član progresije ispao je minus. Ništa iznenađujuće: naš imenilac progresije je -1/2, tj. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)
Ovdje je sve jednostavno. Ovdje je sličan problem, ali malo složeniji u smislu proračuna.
U geometrijskoj progresiji poznato je da:
b 1 = 3
Pronađite trinaesti član progresije.
Sve je isto, samo što je ovaj put imenilac progresije iracionalno. Koren od dva. Pa, to je u redu. Formula je univerzalna stvar; može se nositi sa bilo kojim brojevima.
Radimo direktno prema formuli:
Formula je, naravno, funkcionirala kako treba, ali... ovdje neki ljudi zapnu. Šta dalje sa root-om? Kako podići korijen na dvanaesti stepen?
Kako-kako... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali poznavanje sve dosadašnje matematike se ne poništava! Kako graditi? Da, zapamtite svojstva stepeni! Pretvorimo korijen u razlomni stepen i – prema formuli za podizanje stepena na stepen.
Volim ovo:
Odgovor: 192
I to je sve.)
Koja je glavna poteškoća u direktnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je rad sa diplomama! Naime, dizanje negativnih brojeva, razlomaka, korijena i sličnih konstrukcija na stepene. Dakle, oni koji imaju problema sa ovim neka ponove diplome i njihova svojstva! Inače ćete i ovu temu usporiti, da...)
Sada da riješimo tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule, ako su svi ostali dati. Za uspješno rješavanje ovakvih problema, recept je ujednačen i užasno jednostavan - napišite formulun-ti član uopšte! Odmah u notesu pored stanja. I onda iz stanja odgonetamo šta nam je dato, a šta nedostaje. I izražavamo željenu vrijednost iz formule. Sve!
Na primjer, takav bezazlen problem.
Peti član geometrijske progresije sa nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.
Ništa komplikovano. Radimo direktno prema čaroliji.
Napišimo formulu za n-ti član!
b n = b 1 · qn -1
Šta nam je dato? Prvo, dan je imenilac progresije: q = 3.
Štaviše, dato nam je peti član: b 5 = 567 .
Sve? Ne! Također smo dobili broj n! Ovo je pet: n = 5.
Nadam se da ste već shvatili šta je na snimku b 5 = 567 dva parametra su skrivena odjednom - ovo je sam peti pojam (567) i njegov broj (5). Već sam o tome govorio u sličnoj lekciji, ali mislim da je vrijedno spomenuti i ovdje.)
Sada zamjenjujemo naše podatke u formulu:
567 = b 1 ·3 5-1
Radimo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobijamo jednostavnu linearnu jednačinu:
81 b 1 = 567
Rešavamo i dobijamo:
b 1 = 7
Kao što vidite, nema problema s pronalaženjem prvog pojma. Ali kada se traži nazivnik q i brojevi n Može biti i iznenađenja. I morate biti spremni na njih (iznenađenja), da.)
Na primjer, ovaj problem:
Peti član geometrijske progresije sa pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite imenilac progresije.
Ovog puta nam je dat prvi i peti član i od nas se traži da pronađemo imenilac progresije. Idemo.
Pišemo formulunth member!
b n = b 1 · qn -1
Naši početni podaci će biti sljedeći:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nedostaje vrijednost q. Nema problema! Pronađimo ga sada.) Sve što znamo zamjenjujemo u formulu.
Dobijamo:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednostavna jednačina četvrtog stepena. I sada - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno izvlače korijen (četvrtog stepena) i dobijaju odgovor q=3 .
Volim ovo:
q4 = 81
q = 3
Ali zapravo, ovo je nedovršen odgovor. Tačnije, nepotpuno. Zašto? Poenta je da je odgovor q = -3 također prikladno: (-3) 4 će također biti 81!
To je zbog jednačine snage x n = a uvek jeste dva suprotna korena at čakn . Sa plusom i minusom:
Oba su pogodna.
Na primjer, prilikom odlučivanja (tj. sekunda stepeni)
x 2 = 9
Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I sa bilo kojim drugim čak stepen (četvrti, šesti, deseti, itd.) će biti isti. Detalji su u temi o
Stoga bi ispravno rješenje bilo:
q 4 = 81
q= ±3
U redu, riješili smo znakove. Šta je tačno - plus ili minus? Pa, hajde da ponovo pročitamo izjavu o problemu u potrazi za Dodatne informacije. Naravno, možda i ne postoji, ali u ovom problemu takve informacije dostupan. Naš uslov u običnom tekstu navodi da je data progresija pozitivni imenilac.
Stoga je odgovor očigledan:
q = 3
Ovdje je sve jednostavno. Šta mislite da bi se dogodilo da je izjava o problemu ovakva:
Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite imenilac progresije.
Koja je razlika? Da! U stanju Ništa ne spominje se znak nazivnika. Ni direktno ni indirektno. I ovdje bi problem već imao dva resenja!
q = 3 I q = -3
Da da! I sa plusom i sa minusom.) Matematički, ova činjenica bi značila da ih ima dvije progresije, koji odgovaraju uslovima problema. I svaki ima svoj imenilac. Samo iz zabave, vježbajte i napišite prvih pet pojmova svakog od njih.)
Sada vježbajmo pronalaženje broja člana. Ovaj problem je najteži, da. Ali i kreativniji.)
S obzirom na geometrijsku progresiju:
3; 6; 12; 24; …
Koji je broj u ovoj progresiji broj 768?
Prvi korak je i dalje isti: napišite formulunth member!
b n = b 1 · qn -1
I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koje znamo. Hm... ne radi! Gdje je prvi član, gdje je imenilac, gdje je sve ostalo?!
Gde, gde... Zašto su nam potrebne oči? Ljuskanje trepavica? Ovaj put nam je progresija data direktno u formi sekvence. Možemo li vidjeti prvog člana? Vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Šta je sa imeniocem? Još ga ne vidimo, ali je vrlo lako izbrojati. Ako, naravno, razumete...
Dakle, računamo. Direktno prema značenju geometrijske progresije: uzimamo bilo koji od njenih pojmova (osim prvog) i dijelimo s prethodnim.
barem ovako:
q = 24/12 = 2
Šta još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:
b n = 768
Ne znamo njegov broj, ali naš zadatak je upravo da ga pronađemo.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formulu. Sami neznajući.)
Ovdje zamjenjujemo:
768 = 3 2n -1
Uradimo one elementarne - podijelimo obje strane sa tri i prepišimo jednačinu u uobičajenom obliku: nepoznato je lijevo, poznato je desno.
Dobijamo:
2 n -1 = 256
Ovo je zanimljiva jednadžba. Moramo pronaći "n". Šta, neobično? Da, ne raspravljam se. Zapravo, ovo je najjednostavnija stvar. Zove se tako jer je nepoznata (u ovom slučaju to je broj n) troškovi u indikator stepeni.
U fazi učenja o geometrijskoj progresiji (ovo je deveti razred), ne uče te kako rješavati eksponencijalne jednačine, da... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednačine rješavaju, pokušajmo pronaći našu n vođen jednostavnom logikom i zdravim razumom.
Počnimo da pričamo. Na lijevoj strani imamo dvojku do određenog stepena. Još ne znamo šta je tačno ovaj stepen, ali to nije strašno. Ali sigurno znamo da je ovaj stepen jednak 256! Dakle, sećamo se u kojoj meri nam dvojka daje 256. Da li se sećate? Da! IN osmo stepeni!
256 = 2 8
Ako se ne sjećate ili imate problema s prepoznavanjem stupnjeva, onda je i to u redu: samo uzastopno kvadrat dva, kocka, četvrti, peti i tako dalje. Selekcija, zapravo, ali na ovom nivou će funkcionisati sasvim dobro.
Na ovaj ili onaj način dobijamo:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Dakle 768 je devetočlan našeg napredovanja. To je to, problem riješen.)
Odgovor: 9
Šta? Dosadan? Umorni ste od elementarnih stvari? Slažem se. I ja također. Pređimo na sljedeći nivo.)
Složeniji zadaci.
Sada da riješimo izazovnije probleme. Ne baš super, ali one za koje je potrebno malo truda da se dođe do odgovora.
Na primjer, ovaj.
Pronađite drugi član geometrijske progresije ako je njen četvrti član -24, a sedmi član 192.
Ovo je klasik žanra. Neka dva različita pojma progresije su poznata, ali treba pronaći još jedan termin. Štaviše, svi članovi NISU susjedni. Što je na prvu zbunjujuće, da...
Za rješavanje takvih problema razmotrit ćemo dvije metode. Prva metoda je univerzalna. Algebarski. Radi besprijekorno s bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)
Svaki pojam opisujemo prema formuli nth member!
Sve je potpuno isto kao kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put sarađujemo drugi opšta formula. To je sve.) Ali suština je ista: uzimamo i jedan po jedan Zamjenjujemo naše početne podatke u formulu za n-ti član. Za svakog člana - svoje.
Za četvrti pojam pišemo:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Jedi. Jedna jednačina je spremna.
Za sedmi pojam pišemo:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Ukupno, dobili smo dvije jednadžbe za ista progresija .
Od njih sastavljamo sistem:
Uprkos svom prijetećem izgledu, sistem je prilično jednostavan. Najočiglednije rješenje je jednostavna zamjena. Mi izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijeni je u donju:
Nakon što se malo poigravamo sa donjom jednačinom (smanjimo potencije i podijelimo sa -24), dobijamo:
q 3 = -8
Inače, do te iste jednačine se može doći i na jednostavniji način! Koji? Sada ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijep, moćan i koristan način rješavanja ovakvih sistema. Takvi sistemi, čije jednačine uključuju samo radi. Barem u jednom. Called metoda podjele jedna jednačina drugoj.
Dakle, pred nama je sistem:
U obje jednačine na lijevoj strani - rad, a na desnoj strani je samo broj. Ovo je jako dobar znak.) Uzmimo i... podijelimo, recimo, donju jednačinu gornjom! Šta znači, hajde da podelimo jednu jednacinu drugom? Veoma jednostavno. Hajde da ga uzmemo lijeva strana jedna jednačina (niža) i podijeliti na njoj lijeva strana druga jednačina (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednačina podijeliti on desna strana drugi.
Cijeli proces podjele izgleda ovako:
Sada, smanjujući sve što se može smanjiti, dobijamo:
q 3 = -8
Šta je dobro u ovoj metodi? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno smanjiti i ostaje potpuno bezopasna jednadžba! Zbog toga je toliko važno imati samo množenje u barem jednoj od jednadžbi sistema. Nema množenja - nema šta da se smanji, da...
Općenito, ova metoda (kao i mnoge druge netrivijalne metode rješavanja sistema) čak zaslužuje posebnu lekciju. Definitivno ću to detaljnije razmotriti. jednog dana…
Međutim, nije važno kako tačno rješavate sistem, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednačinu:
q 3 = -8
Nema problema: izvadite kockasti korijen i gotovi ste!
Imajte na umu da nema potrebe stavljati plus/minus ovdje prilikom izdvajanja. Naš korijen je neparnog (trećeg) stepena. I odgovor je takođe isti, da.)
Dakle, imenilac progresije je pronađen. Minus dva. Odlično! Proces je u toku.)
Za prvi član (recimo, iz gornje jednadžbe) dobijamo:
Odlično! Znamo prvi član, znamo imenilac. I sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)
Za drugi termin sve je prilično jednostavno:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Odgovor: -6
Dakle, razložili smo algebarsku metodu za rješavanje problema. Tesko? Ne baš, slažem se. Dugo i zamorno? Da, definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafička metoda. Dobro staro i poznato nam.)
Nacrtajmo problem!
Da! Upravo. Opet prikazujemo našu progresiju na brojevnoj osi. Nije potrebno pratiti ravnalo, nije potrebno održavati jednake intervale između pojmova (koji, inače, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), već jednostavno shematski Nacrtajmo naš niz.
dobio sam ovako:
Sada pogledajte sliku i shvatite je. Koliko identičnih faktora "q" razdvaja četvrto I sedmičlanovi? Tako je, tri!
Stoga, imamo pravo da napišemo:
-24·q 3 = 192
Odavde je sada lako pronaći q:
q 3 = -8
q = -2
To je sjajno, nazivnik već imamo u džepu. Pogledajmo sada ponovo sliku: koliko takvih nazivnika se nalazi između sekunda I četvrtočlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili vezu između ovih pojmova, konstruisaćemo imenilac na kvadrat.
Pa pišemo:
b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2
Naš pronađeni nazivnik zamjenjujemo u izraz za b 2, računamo i dobijamo:
Odgovor: -6
Kao što vidite, sve je mnogo jednostavnije i brže nego kroz sistem. Štaviše, ovdje uopće nismo trebali ni brojati prvi mandat! Uopšte.)
Evo tako jednostavnog i vizualnog svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. Jeste li pogodili? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. One u kojima udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu velike. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da... Onda problem rješavamo analitički, kroz sistem.) A sistemi su univerzalne stvari. Mogu podnijeti bilo koji broj.
Još jedan epski izazov:
Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 veći od drugog. Pronađite imenilac progresije.
Šta, kul? Ne sve! Sve isto. Opet prevodimo iskaz problema u čistu algebru.
1) Svaki pojam opisujemo prema formuli nth member!
Drugi član: b 2 = b 1 q
Treći član: b 3 = b 1 q 2
2) Zapisujemo vezu između članova iz iskaza problema.
Čitamo uslov: "Drugi član geometrijske progresije je za 10 veći od prvog." Stani, ovo je vrijedno!
Pa pišemo:
b 2 = b 1 +10
I ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:
b 3 = b 2 +30
Imamo dvije jednačine. Hajde da ih kombinujemo u sistem:
Sistem izgleda jednostavno. Ali ima previše različitih indeksa za slova. Zamenimo umesto drugog i trećeg člana njihove izraze kroz prvi član i imenilac! Zar smo ih uzalud slikali?
Dobijamo:
Ali takav sistem više nije dar, da... Kako to riješiti? Nažalost, ne postoji univerzalna tajna čarolija za rješavanje kompleksa nelinearni U matematici nema sistema i ne može ih biti. To je fantastično! Ali prva stvar koja bi vam trebala pasti na pamet kada pokušate da razbijete tako tvrd orah je da shvatite Ali nije li jedna od jednačina sistema svedena na prekrasan oblik koji omogućava, na primjer, da se jedna od varijabli lako izrazi u terminima druge?
Hajde da to shvatimo. Prva jednačina sistema je očigledno jednostavnija od druge. Mučićemo ga.) Zar ne bismo trebali pokušati iz prve jednačine nešto izraziti kroz nešto? Pošto želimo da pronađemo imenilac q, tada bi bilo najpovoljnije da se izrazimo b 1 kroz q.
Pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Sve! Tako smo izrazili nepotrebno dajte nam varijablu (b 1) kroz neophodno(q). Da, to nije najjednostavniji izraz koji smo dobili. Nekakav razlomak... Ali naš sistem je na pristojnom nivou, da.)
Tipično. Znamo šta da radimo.
Pišemo ODZ (Obavezno!) :
q ≠ 1
Sve pomnožimo sa nazivnikom (q-1) i poništimo sve razlomke:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Sve podijelimo sa deset, otvorimo zagrade i skupimo sve s lijeve strane:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:
q 1 = 1
q 2 = 3
Postoji samo jedan konačan odgovor: q = 3 .
Odgovor: 3
Kao što vidite, put do rješavanja većine problema koji uključuju formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: pročitajte pažljivo stanje problema i koristeći formulu n-og člana sve korisne informacije prevodimo u čistu algebru.
naime:
1) Svaki pojam dat u zadatku opisujemo posebno prema formulinth član.
2) Iz uslova zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednačinu ili sistem jednačina.
3) Rešavamo rezultirajuću jednačinu ili sistem jednačina, nalazimo nepoznate parametre progresije.
4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo pročitajte uslove zadatka u potrazi za dodatnim informacijama (ako ih ima). Također provjeravamo primljeni odgovor sa uslovima DL (ako ih ima).
Sada nabrojimo glavne probleme koji najčešće dovode do grešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.
1. Elementarna aritmetika. Operacije sa razlomcima i negativnim brojevima.
2. Ako imate problema s barem jednom od ove tri tačke, onda ćete neminovno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato ne budite lijeni i ponovite gore navedeno. I pratite linkove - idite. Ponekad pomaže.)
Modificirane i ponavljajuće formule.
Pogledajmo sada nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatom prezentacijom stanja. Da, da, pogodili ste! Ovo modificirano I ponavljajuća formule n-og člana. Već smo se susreli sa takvim formulama i radili na aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve slično. Suština je ista.
Na primjer, ovaj problem od OGE:
Geometrijska progresija je data formulom b n = 3 2 n . Pronađite zbroj njegovog prvog i četvrtog člana.
Ovog puta napredak nije sasvim uobičajen za nas. U obliku neke formule. Pa šta? Ova formula je takođe formulanth member! Vi i ja znamo da se formula za n-ti član može napisati i u opštem obliku, koristeći slova, i za specifično napredovanje. WITH specifično prvi član i imenilac.
U našem slučaju, zapravo nam je data opšta formula za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:
b 1 = 6
q = 2
Hajde da proverimo?) Hajde da zapišemo formulu za n-ti član u opštem obliku i zamenimo je u b 1 I q. Dobijamo:
b n = b 1 · qn -1
b n= 6 2n -1
Pojednostavljujemo koristeći faktorizaciju i svojstva potencija, i dobijamo:
b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj nije da demonstriramo izvođenje određene formule. Ovo je tako, lirska digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je da rešimo problem prema formuli koja nam je data u uslovu. Shvaćate li?) Dakle, radimo s modificiranom formulom direktno.
Računamo prvi termin. Zamenimo n=1 u opštu formulu:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Volim ovo. Inače, neću biti lijen i još jednom vam skrenuti pažnju na tipičnu grešku u izračunavanju prvog termina. NEMOJTE, gledajući formulu b n= 3 2n, odmah požurite da napišete da je prvi član trojka! Ovo je velika greška, da...)
Hajde da nastavimo. Zamenimo n=4 i računaj četvrti član:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
I na kraju, izračunavamo potrebnu količinu:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Odgovor: 54
Još jedan problem.
Geometrijska progresija je određena uslovima:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Pronađite četvrti član progresije.
Ovdje je progresija data rekurentnom formulom. Pa, u redu.) Kako raditi s ovom formulom – znamo i mi.
Tako da delujemo. Korak po korak.
1) Brojite dva uzastopnočlan progresije.
Prvi mandat nam je već dat. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati korištenjem formule ponavljanja. Ako razumete princip njegovog rada, naravno.)
Dakle, računamo drugi termin prema poznatom prvom:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Izračunajte imenilac progresije
Nema problema. Naravno, hajde da se podelimo sekunda dick on prvo.
Dobijamo:
q = -21/(-7) = 3
3) Napišite formulunth člana u uobičajenom obliku i izračunati traženi član.
Dakle, znamo prvi član, kao i imenilac. Pa pišemo:
b n= -7·3n -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Odgovor: -189
Kao što vidite, rad sa takvim formulama za geometrijsku progresiju se u suštini ne razlikuje od onog za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opštu suštinu i značenje ovih formula. Pa, također morate razumjeti značenje geometrijske progresije, da.) I tada neće biti glupih grešaka.
Pa, hajde da odlučimo sami?)
Vrlo osnovni zadaci za zagrijavanje:
1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, a q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.
2. Opšti termin geometrijske progresije je dat formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg trocifrenog člana ove progresije.
3. Geometrijska progresija je data uslovima:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Pronađite peti član progresije.
Malo komplikovanije:
4. S obzirom na geometrijsku progresiju:
b 1 =2048; q =-0,5
Čemu je jednak šesti negativni član?
Šta izgleda super teško? Ne sve. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije će vas spasiti. Pa, formula za n-ti član, naravno.
5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađite imenilac progresije.
6. Zbir prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbir drugog i trećeg člana je 150. Pronađite šesti član progresije.
Odgovori (u neredu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
To je skoro sve. Sve što treba da uradimo je da naučimo da brojimo zbir prvih n članova geometrijske progresije da otkrij beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njen iznos. Usput, vrlo zanimljiva i neobična stvar! Više o tome u narednim lekcijama.)
Aritmetičke i geometrijske progresije
Teorijske informacije
Teorijske informacije
Aritmetička progresija |
Geometrijska progresija |
|
Definicija |
Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u napredovanju) |
Geometrijska progresija b n je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- imenilac progresije) |
Formula recidiva |
Za bilo koji prirodni n |
Za bilo koji prirodni n |
Formula n-ti član |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristično svojstvo |  |
|
| Zbir prvih n članova |  |
 |
Primjeri zadataka s komentarima
Vježba 1
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Po uslovu:
a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .
Potrebno je pronaći razliku progresija:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 2
Naći peti član geometrijske progresije: -3; 6;....
1. metoda (koristeći n-term formulu)
Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Jer b 1 = -3,
2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)
Pošto je imenilac progresije -2 (q = -2), onda:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: b 5 = -48.
Zadatak 3
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.
Za aritmetičku progresiju, karakteristično svojstvo ima oblik 
.
dakle:
.
Zamijenimo podatke u formulu:
Odgovor: 95.
Zadatak 4
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Naći zbir prvih sedamnaest članova.
Da bi se pronašao zbroj prvih n članova aritmetičke progresije, koriste se dvije formule:
.
Koji od njih je pogodniji za korištenje u ovom slučaju?
Po uslovu je poznata formula za n-ti član originalne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete odmah pronaći i a 1, And a 16 bez pronalaženja d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.
Odgovor: 368.
Zadatak 5
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset drugi član progresije.
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Po uslovu, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d . Potrebno je pronaći razliku progresija:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 6
Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:
Pronađite termin progresije označen sa x.
Prilikom rješavanja koristit ćemo formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi termin progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, potrebno je da uzmete bilo koji od datih članova progresije i podijelite s prethodnim. U našem primjeru možemo uzeti i podijeliti po. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu zamjenjujemo 3, jer je potrebno pronaći treći član date geometrijske progresije.
Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu dobijamo:
.
Odgovor: .
Zadatak 7
Od aritmetičkih progresija datih formulom n-tog člana, odaberite onu za koju je uslov zadovoljen a 27 > 9:
Pošto za 27. član progresije mora biti zadovoljen dati uslov, u svakoj od četiri progresije zamjenjujemo 27 umjesto n. U 4. progresiji dobijamo:
.
Odgovor: 4.
Zadatak 8
U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveću vrijednost n za koju vrijedi nejednakost a n > -6.
NUMERIČKI NISOVI VI
§ l48. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije
Do sada, kada se govori o zbirovima, uvijek smo pretpostavljali da je broj članova u tim zbirovima konačan (na primjer, 2, 15, 1000, itd.). Ali kada se rješavaju neki problemi (posebno više matematike) mora se pozabaviti zbirom beskonačnog broja članova
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Koji su to iznosi? A-prioritet zbir beskonačnog broja pojmova a 1 , a 2 , ..., a n , ... naziva se granica sume S n prvo P brojevi kada P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Granica (2), naravno, može i ne mora postojati. Shodno tome, kažu da zbir (1) postoji ili ne postoji.
Kako možemo saznati postoji li zbir (1) u svakom konkretnom slučaju? Općenito rješenje ovog problema daleko prevazilazi okvire našeg programa. Međutim, postoji jedan važan poseban slučaj koji sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o sabiranju pojmova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
Neka a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je beskonačno opadajuća geometrijska progresija. To znači da | q |< 1. Сумма первых P uslovi ove progresije su jednaki
Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobijamo:
Ali 1 = 1, a qn = 0. Dakle
Dakle, zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ove progresije podijeljen sa jedan minus nazivnik ove progresije.
1) Zbir geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jednak je
a zbir geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... jednako
2) Pretvorite jednostavan periodični razlomak 0,454545 ... u običan.
Da biste riješili ovaj problem, zamislite ovaj razlomak kao beskonačan zbir:
Desna strana ove jednakosti je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član jednak 45/100, a imenilac 1/100. Zbog toga
Koristeći opisanu metodu, može se dobiti opšte pravilo za pretvaranje jednostavnih periodičnih razlomaka u obične (vidi Poglavlje II, § 38):
Da biste pretvorili jednostavan periodični razlomak u običan razlomak, potrebno je učiniti sljedeće: u brojiocu stavite period decimalnog razlomka, a u nazivnik - broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima znamenki u periodu decimalnog razlomka.
3) Pretvorite mješoviti periodični razlomak 0,58333 .... u običan razlomak.
Zamislimo ovaj razlomak kao beskonačan zbir:
Na desnoj strani ove jednakosti, svi članovi, počevši od 3/1000, formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član jednak 3/1000, a imenilac je 1/10. Zbog toga
Koristeći opisanu metodu, može se dobiti opšte pravilo za pretvaranje mešovitih periodičnih razlomaka u obične (videti Poglavlje II, § 38). Mi to namjerno ne predstavljamo ovdje. Nema potrebe da pamtite ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodični razlomak može predstaviti kao zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije i određenog broja. I formula
za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, morate, naravno, zapamtiti.
Kao vežbu, predlažemo da, pored zadataka br. 995-1000 datih u nastavku, još jednom pogledate problem br. 301 § 38.
Vježbe
995. Šta se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije?
996. Nađi sume beskonačno opadajućih geometrijskih progresija:
997. Na kojim vrijednostima X progresija
da li se beskonačno smanjuje? Pronađite zbroj takve progresije.
998. U jednakostraničnom trouglu sa stranicom A novi trougao je upisan spajanjem središta njegovih stranica; novi trokut je upisan u ovaj trokut na isti način, i tako redom do beskonačnosti.
a) zbir obima svih ovih trouglova;
b) zbir njihovih površina.
999. Kvadrat sa stranom A novi kvadrat se upisuje spajanjem sredina njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako redom ad beskonačno. Nađite zbir opsega svih ovih kvadrata i zbir njihovih površina.
1000. Sastavite beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju tako da je njen zbir jednak 25/4, a zbir kvadrata njegovih članova jednak 625/24.
Matematika je štaljudi kontrolišu prirodu i sebe.
Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrijska progresija.
Pored zadataka o aritmetičkim progresijama, na prijemnim ispitima iz matematike česti su i problemi vezani za koncept geometrijske progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijskih progresija i imati dobre vještine u njihovom korištenju.
Ovaj članak je posvećen prikazu osnovnih svojstava geometrijske progresije. Ovdje su također dati primjeri rješavanja tipičnih problema., pozajmljeno iz zadataka prijemnih ispita iz matematike.
Zabilježimo prvo osnovna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i iskaza, vezano za ovaj koncept.
Definicija. Niz brojeva naziva se geometrijska progresija ako je svaki broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.
Za geometrijsku progresijuformule su validne
, (1)
Gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana geometrijske progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije se poklapa sa geometrijskom sredinom njegovih susednih članova i .
Bilješka, da se upravo zbog ovog svojstva dotična progresija naziva „geometrijska“.
Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:
, (3)
Za izračunavanje iznosa prvo članovi geometrijske progresijeformula se primjenjuje
Ako označimo , onda
Gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).
U slučaju kada i geometrijska progresijase beskonačno smanjuje. Za izračunavanje iznosaod svih članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koristi se formula
. (7)
Na primjer , pomoću formule (7) možemo pokazati, Šta
Gdje . Ove jednakosti se dobijaju iz formule (7) pod uslovom da je , (prva jednakost) i , (druga jednakost).
Teorema. Ako onda
Dokaz. Ako onda
Teorema je dokazana.
Idemo dalje na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".
Primjer 1. Dato: , i . Pronađite .
Rješenje. Ako primijenimo formulu (5), onda
Odgovor: .
Primjer 2. Neka bude. Pronađite .
Rješenje. Pošto i , koristimo formule (5), (6) i dobijamo sistem jednačina
Ako se druga jednačina sistema (9) podijeli sa prvom, zatim ili . Iz ovoga proizilazi da . Razmotrimo dva slučaja.
1. Ako, onda iz prve jednačine sistema (9) imamo.
2. Ako , onda .
Primjer 3. Neka , i . Pronađite .
Rješenje. Iz formule (2) slijedi da ili . Od , tada ili .
Po uslovu. Međutim, stoga. Od i onda ovde imamo sistem jednačina
Ako je druga jednadžba sistema podijeljena s prvom, onda ili .
Budući da jednačina ima jedinstven odgovarajući korijen. U ovom slučaju to slijedi iz prve jednačine sistema.
Uzimajući u obzir formulu (7), dobijamo.
Odgovor: .
Primjer 4. Dato: i . Pronađite .
Rješenje. Od tada.
Od , tada ili
Prema formuli (2) imamo . U tom smislu, iz jednakosti (10) dobivamo ili .
Međutim, pod uslovom, dakle.
Primjer 5. Poznato je da . Pronađite .
Rješenje. Prema teoremi imamo dvije jednakosti
Od , tada ili . Jer, onda.
Odgovor: .
Primjer 6. Dato: i . Pronađite .
Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo
Od tada. Od , i , onda .
Primjer 7. Neka bude. Pronađite .
Rješenje. Prema formuli (1) možemo pisati
Dakle, imamo ili . Poznato je da i , Stoga i .
Odgovor: .
Primjer 8. Nađi nazivnik beskonačno opadajuće geometrijske progresije ako
i .
Rješenje. Iz formule (7) slijedi I . Odavde i iz uslova zadatka dobijamo sistem jednačina
Ako je prva jednadžba sistema na kvadrat, a zatim podijelite rezultirajuću jednačinu drugom jednačinom, onda dobijamo
Ili .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.
Rješenje. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .
Odavde dobijamo kvadratnu jednačinu, čiji su koreni i .
Hajde da proverimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .
U prvom slučaju imamo i , au drugom – i .
Odgovor: , .
Primjer 10.Riješite jednačinu
, (11)
gdje i .
Rješenje. Lijeva strana jednačine (11) je zbir beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj i , podložno: i .
Iz formule (7) slijedi, Šta . U tom smislu, jednačina (11) poprima oblik ili . Pogodan korijen kvadratna jednačina je
Odgovor: .
Primjer 11. P niz pozitivnih brojevaformira aritmetičku progresiju, A – geometrijska progresija, kakve to veze ima. Pronađite .
Rješenje. Jer aritmetički niz, To (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Zbog, zatim ili . Ovo implicira, da geometrijska progresija ima oblik. Prema formuli (2), onda to zapišemo.
Od i , tada . U ovom slučaju, izraz ima oblik ili . po uslovu, pa iz jednadžbe.dobijamo jedinstveno rešenje problema koji se razmatra, tj. .
Odgovor: .
Primjer 12. Izračunaj sumu
. (12)
Rješenje. Pomnožite obje strane jednakosti (12) sa 5 i dobijete
Ako od rezultujućeg izraza oduzmemo (12)., To
ili .
Da bismo izračunali, zamjenjujemo vrijednosti u formulu (7) i dobivamo . Od tada.
Odgovor: .
Ovdje dati primjeri rješavanja problema bit će korisni kandidatima prilikom pripreme za prijemne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, vezano za geometrijsku progresiju, Možete koristiti tutorijale sa liste preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Imate još pitanja?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije, odnosno svaki član se razlikuje od prethodnog za q puta. (Pretpostavićemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula za n-ti član geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; termini sa brojevima b n i b m razlikuju se za q n – m puta.Već u starom Egiptu poznavali su ne samo aritmetičku, već i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, problema iz papirusa Rhinda: „Sedam lica ima sedam mačaka; Svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš jede sedam klasova kukuruza, a svaki klas ječma može uzgojiti sedam mjera ječma. Koliko su veliki brojevi u ovom nizu i njihov zbir?
 |
|
Rice. 1. Problem geometrijske progresije starog Egipta |
Ovaj zadatak se ponavljao mnogo puta sa različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, napisano u 13. vijeku. “Knjiga o abakusu” Leonarda iz Pize (Fibonači) ima problem u kojem se na putu za Rim pojavljuje 7 starica (očigledno hodočasnica), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka sadrži 7 hljebova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih svaki ima 7 korica. Problem postavlja pitanje koliko objekata ima.
Zbir prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Ova formula se može dokazati, na primjer, ovako: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Dodajte broj b 1 q n na S n i dobijete:
|
Odavde S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), i dobijamo potrebnu formulu.
Već na jednoj od glinenih ploča starog Babilona, koja datira iz 6. veka. BC e., sadrži zbir 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Istina, kao iu nizu drugih slučajeva, ne znamo kako je ta činjenica bila poznata Vaviloncima .
Brzi porast geometrijske progresije u brojnim kulturama, posebno u indijskoj, više puta se koristi kao vizualni simbol prostranstva svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje njegovom izumitelju mogućnost da sam odabere nagradu, a on traži broj zrna pšenice koji će se dobiti ako se jedno stavi na prvo polje šahovske table, dva na drugi, četiri na treći, osam na četvrti, itd., svaki put kada se broj udvostruči. Vladyka je mislio da je najviše riječ o nekoliko torbi, ali se pogriješio. Lako je vidjeti da bi pronalazač za sva 64 polja šahovske ploče morao primiti (2 64 - 1) zrna, što je izraženo kao 20-cifreni broj; čak i da je cijela površina Zemlje zasijana, trebalo bi najmanje 8 godina da se prikupi potrebna količina zrna. Ova legenda se ponekad tumači kao da ukazuje na gotovo neograničene mogućnosti koje se kriju u igri šaha.
Lako je vidjeti da je ovaj broj zaista 20-cifreni:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (precizniji izračun daje 1,84∙10 19). Ali pitam se možete li saznati kojom cifrom završava ovaj broj?
Geometrijska progresija može biti rastuća ako je nazivnik veći od 1, ili opadajuća ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n za dovoljno veliko n može postati proizvoljno mali. Dok se rastuća geometrijska progresija neočekivano brzo povećava, opadajuća geometrijska progresija opada jednako brzo.
Što je n veći, to se broj q n slabije razlikuje od nule, a zbir n članova geometrijske progresije S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) je bliži broju S = b 1 / ( 1 – q). (Na primjer, F. Viet je razmišljao na ovaj način). Broj S se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Međutim, tokom mnogih vekova pitanje šta znači sabiranje CIJELE geometrijske progresije, sa svojim beskonačnim brojem pojmova, matematičarima nije bilo dovoljno jasno.
Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, na primjer, u Zenonovim aporijama “Pola divizije” i “Ahilej i kornjača”. U prvom slučaju jasno je pokazano da je ceo put (pod pretpostavkom dužine 1) zbir beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. Ovo je, naravno, slučaj iz gledište ideja o beskonačnoj geometrijskoj progresiji konačnog zbira. A ipak – kako je to moguće?
|
Rice. 2. Progresija sa koeficijentom 1/2 |
U aporiji o Ahileju situacija je malo složenija, jer ovdje nazivnik progresije nije 1/2, već neki drugi broj. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će preći ovu udaljenost u vremenu l/v, a za to vreme kornjača će se pomeriti za razdaljinu lu/v. Kada Ahil protrči kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače će postati jednaka l (u /v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronalaženje zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa prvim član l i imenilac u /v. Ovaj zbir - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do mjesta sastanka s kornjačom - jednak je l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ali, opet, kako protumačiti ovaj rezultat i zašto on uopće ima smisla, dugo nije bilo jasno.
|
Rice. 3. Geometrijska progresija sa koeficijentom 2/3 |
Arhimed je koristio zbir geometrijske progresije za određivanje površine segmenta parabole. Neka je ovaj segment parabole omeđen tetivom AB i neka tangenta u tački D parabole bude paralelna sa AB. Neka je C središte AB, E središte AC, F središte CB. Povučemo prave paralelne sa DC kroz tačke A, E, F, B; Neka tangenta povučena u tački D siječe ove prave u tačkama K, L, M, N. Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka prava EL siječe pravu AD u tački G, a parabola u tački H; prava FM seče pravu DB u tački Q, a parabolu u tački R. Prema opštoj teoriji konusnih presjeka, DC je prečnik parabole (tj. segmenta paralelnog njegovoj osi); ona i tangenta u tački D mogu poslužiti kao koordinatne ose x i y, u kojima je jednadžba parabole zapisana kao y 2 = 2px (x je rastojanje od D do bilo koje tačke datog prečnika, y je dužina segment paralelan datoj tangenti od ove tačke prečnika do neke tačke na samoj paraboli).
Na osnovu jednačine parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, a pošto je DK = 2DL, onda je KA = 4LH. Jer KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trougla ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. Zauzvrat, površina segmenta AHD je na sličan način jednaka površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih možete izvršiti istu operaciju - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:
Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovini površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku osnovu AD, a visine se razlikuju za 2 puta), što je zauzvrat jednako polovini površine trokut ΔAKD, a time i polovina površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je jednoj četvrtini površine trougla ΔDFB. Dakle, površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ΔADB. Ponavljanjem ove operacije kada se primjenjuje na segmente AH, HD, DR i RB iz njih će se odabrati trokuti, čija će površina, zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzetih zajedno, i dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB. I tako dalje:
Dakle, Arhimed je dokazao da “svaki segment između prave i parabole čini četiri trećine trougla koji ima istu osnovu i jednaku visinu.”
