Formula za izračunavanje greške indirektnih mjerenja. Proračun greške indirektnih mjerenja. Procjena greške indirektnih višestrukih mjerenja

U većini slučajeva, tokom eksperimenta, nekoliko veličina se meri sa više instrumenata, a da bi se dobio konačni rezultat, ova merenja se moraju obraditi pomoću matematičkih operacija: sabiranja, množenja itd. Stoga je potrebno procijeniti tačnost eksperimenta u cjelini izračunavanjem marginalne i srednje kvadratne greške eksperimenta.

Pravila za izračunavanje maksimalne relativne eksperimentalne greške:

1. Greška sume je između najveće i najmanje relativne greške članova. Obično se uzima u obzir ili najveća greška ili aritmetički prosjek (in laboratorijski rad Koristićemo aritmetičku sredinu).

2. Greška proizvoda ili količnika jednaka je zbroju relativnih grešaka faktora ili dividende i djelitelja, respektivno.

3. Greška n stepena baze u n puta relativnu grešku baze.

Za izračunavanje srednje kvadratne greške rezultata indirektnih mjerenja potrebno je osigurati neovisnost rezultata mjerenja. U ovom slučaju, srednja kvadratna greška u izračunavanju vrijednosti W, što je funkcija direktno izmjerenih parametara x, y, z, ... određuje se formulom:

gdje su parcijalne derivacije funkcije izračunate na prosječnim vrijednostima parametara x, y, z, …, - ispravljene varijanse, respektivno x, y, z, ….

Primjer. Određivanje greške indirektnih mjerenja

Kao rezultat ponovljenih mjerenja, dobivene su prosječne vrijednosti i srednje kvadratne greške 3 međusobno nezavisna parametra:

a) maksimalna relativna greška merenja i maksimalna relativna greška u određivanju funkcije

b) srednja vrijednost i srednja kvadratna greška određivanja funkcije

a) Pronađite maksimalne relativne greške mjerenja x, y, z prema formuli (13):

Maksimalna relativna greška u određivanju funkcije

Pronađimo, prema pravilima za izračunavanje maksimalne relativne greške eksperimenta:

b) Izračunajte prosječnu vrijednost funkcije

Da bismo izračunali srednju kvadratnu grešku u određivanju funkcije pomoću formule (14), nalazimo parcijalne izvode:

i izračunajte ih po prosječnim vrijednostima x, y, z:

Zamjenom u formulu (14) dobijamo:

4. Proračun linearnih karakteristika regresijski model

Jedan od efikasne metode uspostavljanje odnosa između faktora je korelaciono-regresiona analiza.

Zadatak metode korelacije-regresije je pronaći empirijsku jednačinu koja karakterizira odnos između rezultirajućeg parametra Y sa određenim ulaznim faktorom X.

Kao oblik komunikacije Y I X u širokoj upotrebi linearna zavisnost zbog njegove jednostavnosti u proračunima, kao i zbog činjenice da se na njega mogu dovesti mnoge druge vrste zavisnosti.

Izračunavanje modela linearne regresije uključuje sljedeće korake:

1. Izračunavanje teorijske jednačine linearne regresije;

2. Procjena snage veze, izračunavanje koeficijenta korelacije;

3. Procjena značajnosti koeficijenta korelacije;

4. Procjena značaja koeficijenata regresijske jednačine;

5. Određivanje adekvatnosti jednačine regresije i granica pouzdanosti.

Linearna regresija Y on X ima oblik:

gdje su α i β parametri regresije (β se naziva koeficijent regresije).

Statističke procjene a regresijski parametri α i β se biraju tako da vrijednosti izračunate formulom budu što bliže empirijskim vrijednostima. Zbir kvadrata odstupanja se bira kao mjera blizine. Metoda pronalaženja parametara minimiziranjem zbira kvadrata odstupanja empirijskih vrijednosti od teorijskih vrijednosti u istim tačkama naziva se metoda najmanjih kvadrata.

Optimalne vrijednosti parametara dobivene ovom metodom određene su formulama:

gdje su i prosječne vrijednosti X I Y, koji se izračunavaju pomoću formula:

Uzimajući u obzir (15), empirijsku regresiju zapisujemo u obliku:

Jačina linearne korelacione zavisnosti Y I X karakteriše koeficijent korelacije r. Koeficijent r varira od do 1. Što je bliže , to je jače linearna veza Y I X, u graničnom slučaju, ako , postoji točna linearna funkcionalna ovisnost Y od X. Ako onda Y I X ne koreliraju. Procjenom koeficijenta korelacije r služi kao koeficijent korelacije uzorka, koji se izračunava po formuli:

Koeficijent korelacije određen iz podataka uzorka možda se neće podudarati sa stvarnom vrijednošću koja odgovara općoj populaciji. Za testiranje statističke hipoteze o značajnosti koeficijenta korelacije uzorka koristite t- Studentov t-test, čija se uočena vrijednost izračunava po formuli:

Kritična vrijednost t-kriterijumi za broj stepena slobode i nivo značajnosti α nalaze se iz tabela kritičnih tačaka Studentove distribucije. Ako , onda pretpostavka o nula vrijednost Koeficijent korelacije nije potvrđen, a koeficijent korelacije uzorka je značajan. Ako je , tada vrijednost r blizu nule.

Za procjenu parametara uključenih u jednadžbu regresije (16), pri rješavanju praktičnih problema možemo se ograničiti na konstruiranje intervala povjerenja. Za datu pouzdanost γ, intervali povjerenja za parametre i β određeni su formulama:

gdje je kritična vrijednost t-kriterijum za broj stepena slobode i nivo značajnosti koji se nalazi iz tabela kritičnih tačaka Studentove distribucije, - Kvadratni korijen iz preostale varijanse, koja se nalazi po formuli:

Nakon što dobijete empirijsku jednadžbu regresije, provjerite koliko dobro odgovara rezultatima opservacije. Da biste testirali hipotezu o značaju regresione jednadžbe, koristite F-Fišerov kriterijum, čija se posmatrana vrednost izračunava pomoću formule:

gdje je ispravljena varijansa Y, koji se izračunava po formuli:

Kritična vrijednost F-kriterijumi za broj stepena slobode i nivo značajnosti α nalaze se iz tabela kritičnih tačaka Fisher-Snedecor raspodele. Ako je , tada hipoteza o beznačajnosti regresione jednadžbe nije potvrđena, a jednačina odgovara rezultatima opservacije. Ako je , tada je rezultirajuća jednadžba beznačajna.

Još jedna karakteristika mjere koliko dobro empirijska jednačina opisuje dati sistem posmatranja je koeficijent determinacije d, koji se izračunava po formuli:

Što je koeficijent bliži d do jednog, bolji je opis.

Nakon što je model izgrađen, koristi se za analizu i predviđanje. Prognoza se vrši zamjenom faktora u jednačinu (17). Rezultirajuća procjena tačke je:

Interval pouzdanosti za predviđenu vrijednost je:

gdje je kritična vrijednost t-kriterijum za broj stepena slobode i nivo značajnosti koji se nalazi iz tabela kritičnih tačaka Studentove distribucije.

Primjer. Izgradnja modela linearne regresije

Odredite parametre na osnovu podataka posmatranja linearna jednačina regresija Y on X. Naći regresiju i koeficijente korelacije i testirati hipotezu o značajnosti koeficijenta korelacije uzorka. Pronađite intervale povjerenja za parametre regresijske jednadžbe. Odrediti koeficijent determinacije. Testirajte hipotezu o značaju rezultirajuće regresione jednadžbe. Pronađite vrijednost predviđenu modelom y at x=x 0 i pronađite interval pouzdanosti za njega. Uzmite nivo značajnosti jednak 0,05.

X
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

Da bismo dobili parametre regresione jednadžbe, napravimo tabelu. tabela 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

Zadnji red tabele prikazuje zbroj kolona korištenih u proračunima.

Nađimo prosječne vrijednosti X I Y prema formuli (16):

Izračunajmo koeficijent regresije koristeći formulu (15):

I dobijamo empirijsku jednadžbu regresije zamjenom u (17):

Koristeći formulu (28) izračunavamo teorijske vrijednosti i popunjavamo posljednja dva stupca tabele 2.

Izračunajmo koeficijent korelacije koristeći formulu (18):

I testirajmo hipotezu o njenom značaju. Uočenu vrijednost kriterija nalazimo pomoću formule (19):

Koristeći tabelu kritičnih tačaka Studentove distribucije, nalazimo kritičnu tačku Studentove distribucije sa brojem stepeni slobode i stepenom značajnosti.Dobijamo i upoređujemo i : dakle, koeficijent korelacije je značajan, a Y I X povezani su linearnom korelacijom.

Da bismo odredili intervale povjerenja parametara jednadžbe linearne regresije (28), nalazimo zaostalu varijansu koristeći formulu (22):

Zamjenom u formulu (20) dobijamo interval pouzdanosti za. Računajući, dobijamo procjenu intervala za s pouzdanošću

Dobijamo interval povjerenja za korištenje formule (21):

Dakle, procjena intervala za parametar sa pouzdanošću

Provjerimo hipotezu o značaju rezultirajuće regresione jednadžbe. Za izračunavanje uočene vrijednosti F-kriterijumi ćemo pronaći ispravljenu varijansu Y koristeći formulu (24): Zamjenom u formulu (23) dobijamo: Koristeći tabelu kritičnih tačaka Fisher-Snedecorove raspodjele za broj stupnjeva slobode i na nivou značajnosti, nalazimo Poređenje uočenih i kritičnih vrijednosti F-kriterijuma, dakle dobijamo da je jednačina značajna.

Da bismo procijenili adekvatnost linearnog modela promatranim vrijednostima, nalazimo i koeficijent determinacije pomoću formule (25):

Ovaj rezultat se tumači na sljedeći način: varijabilnost od 97,1%. Y objašnjava promjenom faktora X, a preostali slučajni faktori čine 2,9% varijabilnosti. Međutim, ovaj zaključak vrijedi samo za razmatrani raspon vrijednosti X.

Za prognozu koristimo jednačinu (28). Sa procjenom bodova za y dobijamo zamjenom u formulu (28): Interval povjerenja za koji dobijamo iz formule (27):

Konačno, intervalna procjena za sa pouzdanošću

GREŠKE U MJERENJU FIZIČKIH VELIČINA I

OBRADA REZULTATA MJERENJA

Merenjem naziva se pronalaženje vrijednosti fizičkih veličina eksperimentalnim korištenjem posebnih tehničkih sredstava. Mjerenja mogu biti direktna ili indirektna. At direktno U mjerenju, željena vrijednost fizičke veličine nalazi se direktno pomoću mjernih instrumenata (na primjer, mjerenje dimenzija tijela pomoću kalipera). Indirektno naziva se mjerenje u kojem se željena vrijednost fizičke veličine pronalazi na osnovu poznatog funkcionalnog odnosa između mjerene veličine i veličina podvrgnutih direktnim mjerenjima. Na primjer, pri određivanju zapremine V cilindra, mjere se njegov prečnik D i visina H, a zatim prema formuli str D 2 /4 izračunati njegovu zapreminu.

Zbog nepreciznosti mjernih instrumenata i teškoće uzimanja u obzir svih nuspojava tokom mjerenja, neminovno nastaju greške u mjerenju. Greška ili greška mjerenjima se naziva odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti mjerene fizičke veličine. Greška mjerenja je obično nepoznata, kao i prava vrijednost mjerene veličine. Stoga je zadatak elementarne obrade rezultata mjerenja da se uspostavi interval unutar kojeg se, sa zadatom vjerovatnoćom, nalazi prava vrijednost mjerene fizičke veličine.

Klasifikacija mjernih grešaka

Greške se dijele u tri vrste:

1) nepristojnost ili greške,

2) sistematski,

3) nasumično.

Grube greške- ovo su pogrešna mjerenja koja nastaju kao rezultat nepažljivog čitanja na uređaju, nečitljivosti očitavanja snimanja. Na primjer, zapisivanje rezultata kao 26,5 umjesto 2,65; računajući na skali od 18 umjesto 13 itd. Ako se otkrije velika greška, rezultat ovog mjerenja treba odmah odbaciti i samo mjerenje treba ponoviti.

Sistematske greške- greške koje pri ponovljenim mjerenjima ostaju konstantne ili se mijenjaju po određenom zakonu. Ove greške mogu biti posljedica pogrešnog izbora metode mjerenja, nesavršenosti ili neispravnosti instrumenata (na primjer, mjerenja pomoću uređaja čija je nula pomjerena). Da bi se što više eliminisale sistematske greške, uvek treba pažljivo analizirati metoda mjerenja, uporediti instrumente sa standardima. Ubuduće ćemo pretpostaviti da su sve sistematske greške otklonjene, osim onih uzrokovanih nepreciznošću u izradi instrumenata i greškama u brojanju. Nazvat ćemo ovu grešku hardver

Slučajne greške - To su greške čiji se uzrok ne može unaprijed uzeti u obzir. Slučajne greške zavise od nesavršenosti naših čula, od kontinuiranog delovanja promenljivih spoljašnjih uslova (promene temperature, pritiska, vlažnosti, vibracija vazduha itd.). Slučajne greške su neotklonjive, neizbežno su prisutne u svim merenjima, ali se mogu proceniti korišćenjem metoda teorije verovatnoće.

Obrada rezultata direktnih mjerenja

Neka se određeni broj njegovih vrijednosti dobije kao rezultat direktnih mjerenja fizičke veličine:

x 1, x 2, ... x n.

Poznavajući ovu seriju brojeva, morate naznačiti vrijednost najbližu pravoj vrijednosti izmjerene vrijednosti i pronaći veličinu slučajne greške. Ovaj problem je riješen na osnovu teorije vjerovatnoće, čije detaljno izlaganje izlazi iz okvira našeg kursa.

Najvjerovatnija vrijednost izmjerene fizičke veličine (blizu pravoj vrijednosti) smatra se aritmetičkom sredinom

. (1)

Ovdje je x i rezultat i-tog mjerenja; n – broj mjerenja. Slučajna greška mjerenja može se procijeniti veličinom apsolutne greške D x, koji se izračunava pomoću formule

, (2)

gdje je t(a ,n) – Studentov koeficijent, u zavisnosti od broja merenja n i nivoa pouzdanosti a . Vrijednost povjerenja a pitao ga je sam eksperimentator.

Vjerovatnoća slučajni događaj je omjer broja slučajeva povoljnih za dati događaj i ukupan broj podjednako mogući slučajevi. Vjerovatnoća određenog događaja je 1, a vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.

Studentova vrijednost koeficijenta koja odgovara datoj vjerovatnoći povjerenja a i određeni broj mjerenja n, nalaze se iz tabele. 1.

Tabela 1

Broj dimenzije n	Vjerovatnoća povjerenja a
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Sa stola 1 može se vidjeti da su vrijednost Studentovog koeficijenta i slučajne greške mjerenja manje, što je n veće i što je manje a . Skoro da izaberem a =0,95. Međutim, jednostavno povećanje broja mjerenja ne može smanjiti ukupnu grešku na nulu, jer bilo koji mjerni uređaj daje grešku.

Hajde da objasnimo značenje pojmova apsolutna greška D x i vjerovatnoća povjerenja a koristeći brojčanu osu. Neka je prosječna vrijednost mjerene veličine (slika 1), i izračunata apsolutna greška Dx. Odvojite D x od desno i lijevo. Rezultirajući numerički interval od ( - D x) do ( +D x) se zove interval povjerenja. Unutar ovog intervala povjerenja nalazi se prava vrijednost izmjerene vrijednosti x.

Fig.1

Ako se mjerenja iste veličine ponove sa istim instrumentima pod istim uslovima, tada će prava vrijednost izmjerene veličine x ist pasti u isti interval povjerenja, ali pogodak neće biti pouzdan, već s vjerovatnoćom a.

Nakon izračunavanja veličine apsolutne greške D x prema formuli (2), prava vrijednost x izmjerene fizičke veličine može se napisati kao x= ±D x.

Da biste procenili tačnost merenja fizičke veličine, izračunajte relativna greška, koji se obično izražava u postocima,

. (3)

Dakle, prilikom obrade rezultata direktnih mjerenja, potrebno je učiniti sljedeće:

1. Izvršite mjerenja n puta.

2. Izračunajte aritmetičku sredinu koristeći formulu (1).

3. Postavite nivo pouzdanosti a (obično se uzima a =0,95).

4. Koristeći tabelu 1, pronađite Student koeficijent koji odgovara datoj vjerovatnoći pouzdanosti a i broj dimenzija n.

5. Izračunajte apsolutnu grešku koristeći formulu (2) i uporedite je sa instrumentalnom. Za dalje izračune uzmite onaj koji je veći.

6. Koristeći formulu (3), izračunajte relativnu grešku e.

7. Zapišite konačni rezultat

x= ±D x. što ukazuje na relativnu grešku e i vjerovatnoća povjerenja a.

Obrada indirektnih rezultata mjerenja

Neka željeni fizička količina y je u vezi sa drugim veličinama x 1, x 2, ... x k nekih funkcionalna zavisnost

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Među vrijednostima x 1 , x 2 , ... x k nalaze se vrijednosti dobijene direktnim mjerenjem i tabelarnim podacima. Potrebno je odrediti apsolut D y i relativna e greške u vrijednosti y.

U većini slučajeva, lakše je prvo izračunati relativnu grešku, a zatim apsolutnu grešku. Iz teorije vjerovatnoće, relativna greška indirektnog mjerenja

. (5)

Evo , gdje je parcijalni izvod funkcije u odnosu na varijablu x i, u čijem se proračunu sve veličine osim x i smatraju konstantnim; D x i – apsolutna greška vrijednosti x i. Ako se x i dobije kao rezultat direktnih mjerenja, onda je njegova prosječna vrijednost i apsolutnu grešku D x se izračunava pomoću formula (1) i (2). Za sve izmjerene vrijednosti x i navedena je ista vjerovatnoća pouzdanosti a . Ako je bilo koji od pojmova na kvadrat u izrazu (5) za red veličine manji (10 puta) od ostalih članova, onda se mogu zanemariti. Ovo se mora uzeti u obzir pri odabiru tabelarnih vrijednosti ( str , g, itd.) uključeno u formulu relativne greške. Njihova vrijednost mora biti odabrana tako da njihova relativna greška bude za red veličine manja od najveće relativne greške.

Zapišimo konačni rezultat:

y= ±D y.

Evo – prosječna vrijednost indirektnog mjerenja dobijena iz formule (4) zamjenom prosječnih vrijednosti xi u nju; D y= e .

Obično u stvarnim mjerenjima postoje i slučajne i sistematske (hardverske) greške. Ako je izračunata slučajna greška direktnih mjerenja nula ili manja od instrumentalne greške za dva i veći broj puta, tada se prilikom izračunavanja greške indirektnih mjerenja mora uzeti u obzir instrumentalna greška. Ako se ove greške razlikuju manje od dva puta, tada se apsolutna greška izračunava pomoću formule

.

Pogledajmo primjer. Neka je potrebno izračunati zapreminu cilindra:

. (6)

Ovdje je D promjer cilindra, H njegova visina, mjerena kalibrom s vrijednošću podjele od 0,1 mm. Kao rezultat ponovljenih mjerenja naći ćemo prosječne vrijednosti =10,0 mm i =40,0 mm. Relativna greška indirektnog mjerenja zapremine cilindra određena je formulom

, (7)

gdje je D D i D H – apsolutne greške direktnih mjerenja prečnika i visine. Njihove vrijednosti izračunavamo pomoću formule (2): D D=0,01 mm; D H=0,13 mm. Uporedimo izračunate greške sa hardverskom greškom, koja je jednaka vrijednosti podjele kalipera. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D nije 0,01 mm, već 0,1 mm.

p vrijednost mora biti izabran tako da relativna greška Dp/p u formuli (7) može se zanemariti. Iz analize izmjerenih vrijednosti i izračunatih apsolutnih grešaka D D i D H vidi se da najveći doprinos relativnoj grešci merenja zapremine daje greška merenja visine. Izračunavanje greške relativne visine daje e H =0,01. Dakle, vrijednost str trebate uzeti 3.14. U ovom slučaju Dp / p » 0,001 (Dp =3,142-3,14=0,002).

Apsolutna greška se ostavlja na jednu značajnu cifru.

Bilješke

1. Ako se mjerenja vrše jednom ili su rezultati višestrukih mjerenja isti, tada za apsolutnu grešku mjerenja potrebno je uzeti instrumentalnu grešku, koja je za većinu korišćenih instrumenata jednaka vrijednosti podjele instrumenta (za više informacija o greška instrumenta, pogledajte odeljak „Mjerni instrumenti“).

2. Ako su tabelarni ili eksperimentalni podaci dati bez naznake greške, tada se apsolutna greška takvih brojeva uzima jednakom polovini reda posljednje značajne znamenke.

Radnje s približnim brojevima

Pitanje variranja tačnosti proračuna je veoma važno, jer precenjivanje tačnosti proračuna dovodi do mnogo nepotrebnog posla. Učenici često izračunavaju potrebnu količinu na pet ili više značajnih cifara. Treba imati na umu da je ta tačnost prevelika. Nema smisla vršiti proračune izvan granice tačnosti koja se osigurava preciznošću određivanja direktno mjerenih veličina. Nakon obrade mjerenja, često ne izračunavaju greške pojedinačnih rezultata i procjenjuju grešku približne vrijednosti vrijednosti navođenjem broja tačnih značajnih cifara u ovom broju.

Značajne brojke približan broj su sve cifre osim nule, kao i nula u dva slučaja:

1) kada je između značajnih cifara (npr. u broju 1071 postoje četiri značajne cifre);

2) kada stoji na kraju broja i kada je poznato da jedinica odgovarajuće cifre nije prisutna u ovom broju. Primjer. Broj 5.20 ima tri značajne cifre, a to znači da smo prilikom mjerenja uzeli u obzir ne samo jedinice, već i desetinke i stotinke, a broj 5.2 ima samo dvije značajne cifre, a to znači da smo uzeli u obzir samo cijele brojeve i desetine.

Približne proračune treba izvršiti u skladu sa sljedećim pravilima.

1. Prilikom sabiranja i oduzimanja Kao rezultat toga, oni pohranjuju onoliko decimalnih mjesta koliko ih sadrži broj s najmanje decimalnih mjesta. Na primjer: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Iznos treba zaokružiti na stotinke, tj. uzeti jednako 5,32.

2. Prilikom množenja i dijeljenja Kao rezultat toga, zadržavaju onoliko značajnih cifara koliko ima približan broj s najmanjim brojem značajnih cifara. Na primjer, trebate pomnožiti 8,632´ 2.8 ´ 3.53. Umjesto toga, ovaj izraz treba procijeniti

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 "81.

Prilikom izračunavanja međurezultata zadržava se još jedna cifra nego što to pravila preporučuju (tzv. rezervna cifra). U konačnom rezultatu, rezervna znamenka se odbacuje. Da biste razjasnili vrijednost posljednje značajne znamenke rezultata, morate izračunati znamenku nakon nje. Ako se ispostavi da je manje od pet, jednostavno ga treba odbaciti, a ako je pet ili više od pet, onda, nakon što ga odbacite, prethodnu znamenku treba povećati za jedan. Obično se apsolutna greška ostavlja na jednu značajnu cifru, a izmerena vrednost se zaokružuje na cifru u kojoj se nalazi značajna znamenka apsolutne greške.

3. Rezultat izračunavanja vrijednosti funkcija x n , , log( x) neki približni broj x mora sadržavati onoliko značajnih cifara koliko ih ima u broju x. Na primjer: .

Grafikovanje

Rezultati dobijeni tokom laboratorijskog rada često su važni i potrebni za grafički prikaz. Da biste napravili grafikon, potrebno je da napravite tabelu na osnovu izvršenih merenja, u kojoj svaka vrednost jedne od veličina odgovara određenoj vrednosti druge.

Grafovi su napravljeni na milimetarskom papiru. Prilikom crtanja grafa, vrijednosti nezavisne varijable treba iscrtati na osi apscise, a vrijednosti funkcije na osi ordinata. Pored svake ose treba da napišete oznaku prikazane veličine i naznačite u kojim jedinicama se meri (slika 2).

Fig.2

Za ispravnu konstrukciju grafikona važan je izbor razmjera: kriva zauzima cijeli list, a dimenzije grafa po dužini i visini su približno iste. Skala bi trebala biti jednostavna. Najlakši način je ako jedinica mjerene vrijednosti (0,1; 10; 100, itd.) odgovara 1, 2 ili 5 cm. Treba imati na umu da presjek koordinatnih osa ne mora nužno da se poklapa sa nulte vrednosti iscrtanih vrednosti (slika 2).

Svaka dobijena eksperimentalna vrijednost iscrtava se na grafikonu na prilično uočljiv način: tačkom, križićem itd.

Greške su naznačene za izmjerene vrijednosti u obliku segmenata dužine intervala povjerenja, u čijem se središtu nalaze eksperimentalne točke. Budući da ukazivanje na greške zatrpava graf, to se radi samo kada su informacije o greškama zaista potrebne: pri konstruisanju krivulje pomoću eksperimentalnih tačaka, pri utvrđivanju grešaka pomoću grafa, kada se porede eksperimentalni podaci sa teoretskom krivom (slika 2). Često je dovoljno naznačiti grešku za jednu ili više tačaka.

Potrebno je nacrtati glatku krivu kroz eksperimentalne tačke. Često su eksperimentalne tačke povezane jednostavnom isprekidanom linijom. Čini se da to ukazuje da količine zavise jedna od druge na neki nagli način. A to je malo vjerovatno. Kriva mora biti glatka i ne može prolaziti kroz označene tačke, već blizu njih, tako da su te tačke na obje strane krive na istoj udaljenosti od nje. Ako bilo koja tačka značajno ispadne iz grafikona, ovo mjerenje treba ponoviti. Stoga je preporučljivo izgraditi graf direktno tokom eksperimenta. Grafikon tada može poslužiti za kontrolu i poboljšanje zapažanja.

MJERNI INSTRUMENTI I OBRAČAVANJE NJIHOVIH GREŠKA

Za direktna mjerenja fizičkih veličina koriste se mjerni instrumenti. Bilo koji mjerni instrument ne daje pravu vrijednost izmjerene vrijednosti. To je zbog, prvo, činjenice da je nemoguće precizno izbrojati izmjerenu vrijednost na skali uređaja, i drugo, zbog nepreciznosti u proizvodnji mjernih instrumenata. Da bi se uzeo u obzir prvi faktor, uvodi se greška brojanja Δx o, za drugi - dozvoljena greškaΔ x d. Zbir ovih grešaka čini instrumentalnu ili apsolutnu grešku uređajaΔ x:

.

Dozvoljena greška standardizirana je državnim standardima i navedena u pasošu ili opisu uređaja.

Greška očitanja se obično uzima jednakom polovini vrijednosti podjele skale instrumenta, ali za neke instrumente (štoperica, aneroidni barometar) - jednaka vrijednosti podjele instrumenta (pošto se pozicija strelice ovih instrumenata mijenja u skokovima za jednu podelu ) pa čak i nekoliko podjela skale, ako eksperimentalni uvjeti ne dopuštaju pouzdano odbrojavanje do jedne podjele (na primjer, s debelim pokazivačem ili lošim osvjetljenjem). Dakle, grešku u brojanju utvrđuje sam eksperimentator, istinski odražavajući uslove određenog eksperimenta.

Ako je dozvoljena greška znatno manja od greške čitanja, onda se može zanemariti. Obično se apsolutna greška uređaja uzima jednakom podjeli skale uređaja.

Mjerna ravnala obično imaju milimetarske podjele. Za mjerenja se preporučuje korištenje čeličnih ili crtaćih ravnala sa kosom. Dozvoljena greška ovakvih ravnala je 0,1 mm i može se zanemariti, jer je znatno manja od greške očitavanja jednake ± 0,5 mm. Dozvoljena greška drvenih i plastičnih ravnala± 1 mm.

Dozvoljena greška merenja mikrometra zavisi od gornje granice merenja i može biti ± (3–4) µm (za mikrometre s mjernim opsegom od 0–25 mm). Smatra se da je greška u brojanju polovina vrijednosti dijeljenja. Tako se apsolutna greška mikrometra može uzeti jednakom vrijednosti podjele, tj. 0,01 mm.

Prilikom vaganja, dozvoljena greška tehničke vage zavisi od opterećenja i iznosi 50 mg za opterećenje od 20 do 200 g, odnosno 25 mg za opterećenje manje od 20 g.

Greška digitalnih instrumenata određena je klasom tačnosti.

Greške u mjerenju fizičkih veličina

1.Uvod (greška mjerenja i mjerenja)

2.Slučajne i sistematske greške

3. Apsolutne i relativne greške

4. Greške mjernih instrumenata

5. Klasa tačnosti električnih mjernih instrumenata

6. Greška pri čitanju

7. Ukupna apsolutna greška direktnih mjerenja

8. Snimanje konačnog rezultata direktnog mjerenja

9. Greške indirektnih mjerenja

10.Primjer

1. Uvod (greška mjerenja i mjerenja)

Fizika kao nauka rođena je prije više od 300 godina, kada je Galileo u suštini stvorio naučnu studiju o fizičkim pojavama: zakoni fizike se uspostavljaju i eksperimentalno testiraju akumuliranjem i upoređivanjem eksperimentalnih podataka, predstavljenih skupom brojeva, zakoni se formulišu na jeziku. matematike, tj. korištenjem formula koje povezuju numeričke vrijednosti fizičkih veličina funkcionalnom ovisnošću. Dakle, fizika je eksperimentalna nauka, fizika je kvantitativna nauka.

Hajde da se upoznamo s nekim karakterističnim karakteristikama bilo kojeg mjerenja.

Mjerenje je eksperimentalno pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine pomoću mjernih instrumenata (ravnalo, voltmetar, sat, itd.).

Mjerenja mogu biti direktna ili indirektna.

Direktno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine direktno pomoću mjerenja. Na primjer, dužina - ravnalom, atmosferski pritisak - barometrom.

Indirektno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine pomoću formule koja povezuje željenu veličinu s drugim veličinama određenim direktnim mjerenjem. Na primjer, otpor provodnika određuje se formulom R=U/I, gdje se U i I mjere električnim mjernim instrumentima.

Pogledajmo primjer mjerenja.

Izmjerite dužinu šipke ravnalom (vrijednost podjele je 1 mm). Možemo samo reći da je dužina šipke između 22 i 23 mm. Širina intervala „nepoznato“ je 1 mm, odnosno jednaka je cijeni podjele. Zamjena ravnala osjetljivijim uređajem, kao što je kaliper, smanjit će ovaj interval, što će dovesti do povećane točnosti mjerenja. U našem primjeru, tačnost mjerenja ne prelazi 1 mm.

Stoga se mjerenja nikada ne mogu izvršiti apsolutno precizno. Rezultat svakog mjerenja je približan. Nesigurnost u mjerenju karakteriše greška - odstupanje izmjerene vrijednosti fizičke veličine od njene prave vrijednosti.

Nabrojimo neke od razloga koji dovode do grešaka.

1. Ograničena tačnost proizvodnje mjernih instrumenata.

2. Uticaj na merenje spoljašnjih uslova (promene temperature, fluktuacije napona...).

3. Radnje eksperimentatora (kašnjenje pokretanja štoperice, različiti položaji očiju...).

4. Približna priroda zakona koji se koriste za pronalaženje izmjerenih veličina.

Navedeni uzroci grešaka se ne mogu eliminisati, ali se mogu minimizirati. Da bi se utvrdila pouzdanost zaključaka dobijenih kao rezultat naučnog istraživanja, postoje metode za procjenu ovih grešaka.

2. Slučajne i sistematske greške

Greške koje nastaju tokom mjerenja dijele se na sistematske i slučajne.

Sistematske greške su greške koje odgovaraju odstupanju izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti fizičke veličine, uvijek u jednom smjeru (povećanje ili smanjenje). Uz ponovljena mjerenja, greška ostaje ista.

Razlozi za sistematske greške:

1) neusaglašenost merila sa standardom;

2) nepravilna ugradnja mernih instrumenata (nagib, neravnoteža);

3) neslaganje između početnih indikatora instrumenata i nule i ignorisanje ispravki koje u vezi s tim nastaju;

4) neslaganje izmeñu mernog objekta i pretpostavke o njegovim svojstvima (prisustvo šupljina i sl.).

Slučajne greške su greške koje mijenjaju svoju numeričku vrijednost na nepredvidiv način. Ovakve greške su uzrokovane velikim brojem nekontrolisanih razloga koji utiču na proces mjerenja (neravnine na površini objekta, puhanje vjetra, udari struje itd.). Utjecaj nasumičnih grešaka može se smanjiti ponavljanjem eksperimenta mnogo puta.

3. Apsolutne i relativne greške

Da bi se kvantifikovao kvalitet merenja, uvode se koncepti apsolutne i relativne greške merenja.

Kao što je već spomenuto, svako mjerenje daje samo približnu vrijednost fizičke veličine, ali možete odrediti interval koji sadrži njenu pravu vrijednost:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Vrijednost D A se naziva apsolutna greška u mjerenju veličine A. Apsolutna greška se izražava u jedinicama veličine koja se mjeri. Apsolutna greška jednaka je modulu maksimalnog mogućeg odstupanja vrijednosti fizičke veličine od izmjerene vrijednosti. A pr je vrijednost fizičke veličine dobivene eksperimentalno; ako je mjerenje vršeno više puta, onda je aritmetička sredina ovih mjerenja.

Ali za procjenu kvaliteta mjerenja potrebno je odrediti relativnu grešku e. e = D A/A pr ili e= (D A/A pr)*100%.

Ako se tokom mjerenja dobije relativna greška veća od 10%, onda kažu da je napravljena samo procjena izmjerene vrijednosti. U laboratorijama fizičkih radionica preporučuje se izvođenje mjerenja sa relativnom greškom do 10%. U naučnim laboratorijama neka precizna merenja (na primer, određivanje talasne dužine svetlosti) se izvode sa tačnošću od milionitih delova procenta.

4. Greške mjernih instrumenata

Ove greške se takođe nazivaju instrumentalnim ili instrumentalnim. Oni su određeni dizajnom mjernog uređaja, preciznošću njegove izrade i kalibracijom. Obično su zadovoljni dozvoljenim instrumentalnim greškama koje je proizvođač prijavio u pasošu za ovaj uređaj. Ove dozvoljene greške su regulisane GOST-ovima. Ovo se odnosi i na standarde. Obično se označava apsolutna instrumentalna greška D i A.

Ako nema informacija o dozvoljenoj grešci (na primjer, s ravnalom), tada se kao ova greška može uzeti polovina vrijednosti dijeljenja.

Kod vaganja apsolutna instrumentalna greška se sastoji od instrumentalnih grešaka vage i tegova. U tabeli su prikazane najčešće dozvoljene greške

mjerni instrumenti sa kojima se susrećemo u školskim eksperimentima.

Measuring	Granica mjerenja	Vrijednost podjele	Dozvoljena greška
studentski vladar
demonstracijski vladar
mjerna traka
čaša
težine 10,20, 50 mg
težine 100.200 mg
težine 500 mg
čeljusti
mikrometar
dinamometar
vaga za obuku
Štoperica			1s u 30 min
aneroidni barometar	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
laboratorijski termometar	0-100 stepeni C
školski ampermetar
školski voltmetar

5. Klasa tačnosti električnih mjernih instrumenata

Pokazivački električni mjerni instrumenti, na osnovu dozvoljenih vrijednosti greške, podijeljeni su u klase tačnosti, koje su označene na vagi instrumenta brojevima 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. Klasa tačnosti g pr Uređaj pokazuje koliki je postotak apsolutne greške na cijeloj skali uređaja.

g pr = (D i A/A max)*100% .

Na primjer, apsolutna instrumentalna greška uređaja klase 2,5 iznosi 2,5% njegove skale.

Ako su poznati klasa tačnosti uređaja i njegova skala, tada se može odrediti apsolutna instrumentalna greška mjerenja

D i A = (g pr * A max)/100.

Da bi se povećala tačnost mjerenja sa pokazivačkim električnim mjernim instrumentom, potrebno je odabrati uređaj sa takvom skalom da se tokom procesa mjerenja nalazi u drugoj polovini skale instrumenta.

6. Greška čitanja

Greška očitanja je rezultat nedovoljno preciznih očitavanja mjernih instrumenata.

U većini slučajeva, apsolutna greška očitanja uzima se jednakom polovini vrijednosti podjele. Izuzeci su kada se mjeri satom (kazalice se trzavo kreću).

Obično se označava apsolutna greška čitanja D oA

7. Ukupna apsolutna greška direktnih mjerenja

Prilikom izvođenja direktnih mjerenja fizičke veličine A moraju se procijeniti sljedeće greške: D i A, D oA i D sA (slučajno). Naravno, treba isključiti druge izvore grešaka koje se odnose na nepravilnu instalaciju instrumenata, neusklađenost početne pozicije strelice instrumenta sa 0, itd.

Ukupna apsolutna greška direktnog mjerenja mora uključivati ​​sve tri vrste grešaka.

Ako je slučajna greška mala u odnosu na najmanju vrijednost koja se može izmjeriti datim mjernim instrumentom (u poređenju sa vrijednošću podjele), onda se može zanemariti i tada je jedno mjerenje dovoljno za određivanje vrijednosti fizičke veličine. Inače, teorija vjerovatnoće preporučuje pronalaženje rezultata mjerenja kao srednje aritmetičke vrijednosti rezultata čitave serije višestrukih mjerenja, te izračunavanje greške rezultata metodom matematičke statistike. Poznavanje ovih metoda prevazilazi školski program.

8. Snimanje konačnog rezultata direktnog mjerenja

Konačan rezultat mjerenja fizičke veličine A treba napisati u ovom obliku;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.

A pr je vrijednost fizičke veličine dobivene eksperimentalno; ako je mjerenje vršeno više puta, onda je aritmetička sredina ovih mjerenja. D A je ukupna apsolutna greška direktnog mjerenja.

Apsolutna greška se obično izražava jednom značajnom cifrom.

Primjer: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Greške indirektnih mjerenja

Prilikom obrade rezultata indirektnih mjerenja fizičke veličine koja je funkcionalno povezana sa fizičkim veličinama A, B i C, koje se mjere direktno, prvo se utvrđuje relativna greška indirektnog mjerenja. e=D X/X pr, koristeći formule date u tabeli (bez dokaza).

Apsolutna greška je određena formulom D X=X pr *e,

gdje e izraženo kao decimalni razlomak, a ne kao procenat.

Konačni rezultat se bilježi na isti način kao i u slučaju direktnih mjerenja.

Vrsta funkcije	Formula
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

primjer: Izračunajmo grešku u mjerenju koeficijenta trenja pomoću dinamometra. Eksperiment se sastoji od ravnomjernog povlačenja bloka preko horizontalne površine i mjerenja primijenjene sile: jednaka je sili trenja klizanja.

Pomoću dinamometra izmjerite blok s utezima: 1,8 N. F tr =0,6 N

μ = 0,33 Instrumentalna greška dinamometra (nalazimo je iz tabele) je Δ i = 0,05 N, greška čitanja (pola vrednosti podele)

Δ o =0,05 N. Apsolutna greška u mjerenju težine i sile trenja je 0,1 N.

Relativna greška mjerenja (5. red u tabeli)

, stoga je apsolutna greška indirektnog mjerenja μ 0,22*0,33=0,074

U laboratorijskoj praksi većina mjerenja je indirektna i količina koja nas zanima je funkcija jedne ili više direktno izmjerenih veličina:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Kao što slijedi iz teorije vjerovatnoće, prosječna vrijednost neke veličine se određuje zamjenom prosječnih vrijednosti direktno mjerenih veličina u formulu (13), tj.

¯ N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) (14)

Potrebno je pronaći apsolutne i relativne greške ove funkcije ako su poznate greške nezavisnih varijabli.

Razmotrimo dva ekstremna slučaja u kojima su greške ili sistematske ili nasumične. Ne postoji konsenzus u pogledu izračunavanja sistematske greške u indirektnim mjerenjima. Međutim, ako pođemo od definicije sistematske greške kao najveće moguće greške, onda je preporučljivo pronaći sistematska greška prema formulama

(15) ili

Gdje

parcijalne derivacijske funkcije N= ƒ(x, y, z, ...) u odnosu na argument x, y, z..., koji se nalazi pod pretpostavkom da su svi ostali argumenti, osim onog u odnosu na koji se nalazi derivacija, konstantni ;
δx, δy, δz sistematske greške argumenata.

Formula (15) je zgodna za korištenje ako funkcija ima oblik zbira ili razlike argumenata. Preporučljivo je koristiti izraz (16) ako funkcija ima oblik proizvoda ili kvocijenta argumenata.

Naći slučajna greška Za indirektna mjerenja trebate koristiti formule:

(17) ili

gdje su Δx, Δy, Δz, ... intervali povjerenja pri datim vjerovatnoćama povjerenja (pouzdanosti) za argumente x, y, z, ... . Treba imati na umu da se intervali povjerenja Δx, Δy, Δz, ... moraju uzeti sa istom vjerovatnoćom povjerenja P 1 = P 2 = ... = P n = P.

U ovom slučaju, pouzdanost za interval pouzdanosti Δ N takođe će biti P.

Formula (17) je zgodna za korištenje ako je funkcija N= ƒ(x, y, z, ...) ima oblik zbira ili razlike argumenata. Formula (18) je zgodna za korištenje ako je funkcija N= ƒ(x, y, z, ...) ima oblik proizvoda ili količnika argumenata.

Često se uočava da su sistematska greška i slučajna greška bliske jedna drugoj i da obe podjednako određuju tačnost rezultata. U ovom slučaju, ukupna greška ∑ se nalazi kao kvadratni zbir slučajnih Δ i sistematskih δ grešaka sa vjerovatnoćom ne manjom od P, gdje je P vjerovatnoća pouzdanosti slučajne greške:

Prilikom izvođenja indirektnih mjerenja pod neponovljivim uslovima Funkcija se pronalazi za svako pojedinačno mjerenje, a interval pouzdanosti se izračunava kako bi se dobile vrijednosti željene veličine koristeći istu metodu kao i za direktna mjerenja.

Treba napomenuti da je u slučaju funkcionalne zavisnosti izražene formulom pogodnom za logaritmizaciju, lakše prvo odrediti relativnu grešku, a zatim iz izraza Δ N = ε ¯ N pronađite apsolutnu grešku.

Prije početka mjerenja uvijek morate razmišljati o naknadnim proračunima i zapisati formule po kojima će se izračunati greške. Ove formule će vam omogućiti da shvatite koja mjerenja treba izvršiti posebno pažljivo, a koja ne zahtijevaju mnogo truda.

Prilikom obrade rezultata indirektnih mjerenja predlaže se sljedeći redoslijed operacija:

1. Sve količine pronađene direktnim mjerenjem obraditi u skladu sa pravilima za obradu rezultata direktnih mjerenja. U tom slučaju postavite istu vrijednost pouzdanosti P za sve mjerene veličine.
2. Ocijenite tačnost rezultata indirektnih mjerenja pomoću formula (15) (16), gdje izračunajte derivate za prosječne vrijednosti veličina.
   Ako greška pojedinačnih mjerenja više puta ulazi u rezultat diferencijacije, tada je potrebno grupirati sve članove koji sadrže isti diferencijal, a izraze u zagradama koji prethode diferencijalu take modulo; sign d zamijeniti sa Δ (ili δ).
3. Ako su slučajne i sistematske greške bliske jedna drugoj, dodajte ih prema pravilu zbrajanja greške. Ako je jedna od grešaka tri ili više puta manja od druge, odbacite manju.
4. Rezultat mjerenja zapišite u formu:

   N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) ± Δƒ.

5. Odredite relativnu grešku rezultata serije indirektnih mjerenja

   ε = Δƒ · 100%.
   ¯¯ ƒ¯

   Navedimo primjere izračunavanja greške indirektnog mjerenja.

   Primjer 1. Zapremina cilindra se nalazi pomoću formule

   V = π d 2 h ,
   

   4

   gdje je d prečnik cilindra, h visina cilindra.

   Obje ove veličine se određuju direktno. Neka mjerenje ovih veličina da sljedeće rezultate:

   d = (4,01 ± 0,03) mm,

   h = (8,65 ± 0,02) mm, sa jednakom pouzdanošću P = 0,95.

   Prosječna vrijednost zapremine, prema (14), je jednaka

   V = 3,14 · (4,01) 2 · 8,65 = 109,19 mm
   

   4

   Koristeći izraz (18) imamo:

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

   ;

   Budući da su mjerenja vršena mikrometrom čija je vrijednost podjela 0,01 mm, sistematske greške
   δd = δh = 0,01 mm. Na osnovu (16), sistematska greška δV će biti

   Stoga se ispostavlja da je sistemska greška uporediva sa slučajnom

Proračun grešaka za direktne i indirektna mjerenja

Mjerenje se odnosi na poređenje izmjerene veličine sa drugom veličinom koja se uzima kao jedinica mjere. Mjerenja se vrše eksperimentalno pomoću posebnih tehničkih sredstava.

Direktna mjerenja su mjerenja čiji se rezultati dobivaju direktno iz eksperimentalnih podataka (na primjer, mjerenje dužine ravnalom, vrijeme štopericom, temperatura termometrom). Indirektna mjerenja su mjerenja u kojima se željena vrijednost neke veličine pronalazi na osnovu poznatog odnosa između ove veličine i veličina čije se vrijednosti dobijaju u procesu direktnih mjerenja (na primjer, određivanje brzine duž prijeđenog puta i vremena https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

Svako mjerenje, bez obzira koliko pažljivo se provodi, nužno je praćeno greškom (greškom) - odstupanjem rezultata mjerenja od prave vrijednosti izmjerene vrijednosti.

Sistematske greške su greške čija je veličina ista u svim mjerenjima koja se vrše istom metodom pomoću istih mjernih instrumenata, pod istim uslovima. Javljaju se sistematske greške:

Kao rezultat nesavršenosti instrumenata koji se koriste u mjerenjima (na primjer, igla ampermetra može odstupiti od nulte podjele u odsustvu struje; snop za ravnotežu može imati nejednake ruke, itd.);

Kao rezultat toga, teorija metode mjerenja nije u potpunosti razvijena, tj. metoda mjerenja sadrži izvor grešaka (npr. greška nastaje kada se gubitak topline u okolinu ne uzima u obzir u kalorimetrijskom radu ili prilikom vaganja na analitička ravnoteža se vrši bez uzimanja u obzir sile uzgona zraka);

Kao rezultat činjenice da se promjene u eksperimentalnim uvjetima ne uzimaju u obzir (na primjer, tokom dugotrajnog prolaska struje kroz kolo, kao rezultat termičkog efekta struje, mijenjaju se električni parametri kola) .

Sistematske greške se mogu eliminisati proučavanjem karakteristika instrumenata, potpunijim razvojem teorije iskustva i na osnovu toga ispravljanjem rezultata merenja.

Slučajne greške su greške čija je veličina različita čak i za mjerenja koja se vrše na isti način. Njihovi razlozi leže kako u nesavršenosti naših čulnih organa, tako iu mnogim drugim okolnostima koje prate mjerenja, a koje se ne mogu unaprijed uzeti u obzir (nastaju slučajne greške, na primjer, ako se okom utvrdi jednakost osvijetljenosti polja fotometra; ako se okom određuje trenutak maksimalnog otklona matematičkog klatna; pri pronalaženju momenta zvučne rezonancije na uho; pri vaganju na analitičkim vagama, ako se vibracije poda i zidova prenose na vagu itd.).

Slučajne greške se ne mogu izbjeći. Njihova pojava se manifestuje u tome što se pri ponavljanju merenja iste veličine sa istom pažnjom dobijaju numerički rezultati koji se međusobno razlikuju. Stoga, ako se pri ponavljanju mjerenja dobiju iste vrijednosti, to ne ukazuje na odsustvo slučajnih grešaka, već na nedovoljnu osjetljivost metode mjerenja.

Slučajne greške mijenjaju rezultat i u jednom i u drugom smjeru od prave vrijednosti, stoga, kako bi se smanjio utjecaj slučajnih grešaka na rezultat mjerenja, mjerenja se obično ponavljaju više puta i aritmetička sredina svih rezultata mjerenja je uzeti.

Namjerno netačni rezultati - greške nastaju zbog kršenja osnovnih uslova mjerenja, kao rezultat nepažnje ili nemara eksperimentatora. Na primjer, pri slabom osvjetljenju, piše se "8" umjesto "3"; zbog činjenice da je eksperimentator rasejan, može se zbuniti kada broji broj oscilacija klatna; zbog nemara ili nepažnje, može zbuniti mase opterećenja pri određivanju krutosti opruge itd. Vanjski znak greške je oštra razlika u vrijednosti rezultata od rezultata drugih mjerenja. Ako se otkrije greška, rezultat mjerenja treba odmah odbaciti i samo mjerenje treba ponoviti. Identifikacija grešaka je takođe olakšana poređenjem rezultata merenja dobijenih od strane različitih eksperimentatora.

Izmjeriti fizičku veličinu znači pronaći interval povjerenja u kojem leži njena prava vrijednost https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> slučajevima, prava vrijednost izmjerene vrijednosti će pasti unutar intervala pouzdanosti. Vrijednost je izražena ili u dijelovima jedinice ili u procentima. Za većinu mjerenja, ona su ograničena na nivo pouzdanosti od 0,9 ili 0,95. Ponekad, kada je izuzetno visok stepen pouzdanost, postavite vjerovatnoću pouzdanosti na 0,999. Uz vjerovatnoću povjerenja, često se koristi nivo značajnosti, koji specificira vjerovatnoću da prava vrijednost ne spada u interval povjerenja. Rezultat mjerenja je prikazan u obliku

gdje je https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> apsolutna greška. Dakle, granice intervala, https://pandia .ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> nalazi se u ovom intervalu.

Da bi se pronašli i , izvodi se serija pojedinačnih mjerenja. Razmotrimo konkretan primjer..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" visina =" 23">.png" width="72" height="24">. Vrijednosti se mogu ponavljati, poput vrijednosti i https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4. png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Prema tome, nivo značajnosti je .

Prosječna vrijednost mjerene veličine

Merni instrument takođe doprinosi mernoj nesigurnosti. Ova greška je uzrokovana dizajnom uređaja (trenje u osi pokazivača, zaokruživanje koje proizvodi digitalni ili diskretni pokazivački uređaj, itd.). Po svojoj prirodi, ovo je sistematska greška, ali ni njena veličina ni znak nisu poznati za ovaj konkretan uređaj. Greška instrumenta se procjenjuje tokom testiranja velike serije sličnih uređaja.

Standardizovani opseg klasa tačnosti mernih instrumenata obuhvata sledeće vrednosti: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. Klasa tačnosti instrumenta jednaka je relativnoj grešci instrumenta izraženoj u procentima u odnosu na puni opseg skale. Greška u specifikaciji uređaja