Podizanje kompleksnih brojeva na stepene. Povećanje kompleksnih brojeva na stepen Povećajte kompleksni broj na prirodni stepen na mreži

Počnimo s našim omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadrat kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stepen kao proizvod faktora i pomnožite brojeve prema pravilu za množenje polinoma.

Druga metoda je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za kompleksan broj lako je izvesti svoju skraćenu formulu za množenje:

Slična formula se može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbira i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene probleme analize. Šta ako trebate podići kompleksan broj na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je gotovo nemoguće izvesti takav trik u algebarskom obliku; zaista, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv Moivreova formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, vrijedi sljedeća formula:

To je jednostavno nečuveno.

Primjer 10

Dat kompleksan broj, pronađi.

Šta treba učiniti? Prvo treba da predstavite ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Pažljivi čitaoci će primetiti da smo u Primeru 8 već uradili ovo:

Zatim, prema Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne morate računati na kalkulator, ali u većini slučajeva ugao treba pojednostaviti. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, morate se riješiti nepotrebnih okreta. Jedan obrt je radijan ili 360 stepeni. Hajde da saznamo koliko zavoja imamo u raspravi. Radi praktičnosti, pravimo razlomak ispravnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete smanjiti jedan okret:. Nadam se da svi razumiju da je ovo isti ugao.

Dakle, konačni odgovor će biti napisan ovako:

Zasebna varijacija problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Povećati kompleksne brojeve na stepene

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti čuvenu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica podigne na neparan stepen, tada "odštipamo" jedno "i", dobijajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji realni koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba sa kompleksnim korijenima

Pogledajmo primjer:

Ne možete izdvojiti korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to zaista nemoguće. Moguće je izdvojiti korijen kompleksnih brojeva! Preciznije, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni zaista rješenje jednadžbe? provjerimo:

Što je trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćeni zapis; oba korijena su napisana u jednom redu ispod „istog češlja“: .

Ovi korijeni se također nazivaju konjugirati kompleksne korijene.

Mislim da svi razumiju kako izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirati kompleksne korijene.

Primjer 13

Riješi kvadratnu jednačinu

Izračunajmo diskriminanta:

Diskriminant je negativan, a jednadžba nema rješenja u realnim brojevima. Ali korijen se može izdvojiti u kompleksnim brojevima!

Koristeći poznate školske formule, dobijamo dva korijena: – konjugirani kompleksni korijeni

Dakle, jednadžba ima dva konjugirana kompleksna korijena:

Sada možete riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu!

I općenito, svaka jednadžba s polinomom "n-tog" stepena ima jednake korijene, od kojih neki mogu biti složeni.

Jednostavan primjer koji možete riješiti sami:

Primjer 14

Nađite korijene jednadžbe i činite kvadratni binom.

Faktorizacija se ponovo vrši prema standardnoj školskoj formuli.

Počnimo s našim omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadrat kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stepen kao proizvod faktora i pomnožite brojeve prema pravilu za množenje polinoma.

Druga metoda je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za kompleksan broj lako je izvesti svoju skraćenu formulu za množenje:

Slična formula se može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbira i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene probleme analize. Šta ako trebate podići kompleksan broj na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je gotovo nemoguće izvesti takav trik u algebarskom obliku; zaista, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv Moivreova formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, vrijedi sljedeća formula:

To je jednostavno nečuveno.

Primjer 10

Dat kompleksan broj, pronađi.

Šta treba učiniti? Prvo treba da predstavite ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Pažljivi čitaoci će primetiti da smo u Primeru 8 već uradili ovo:

Zatim, prema Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne morate računati na kalkulator, ali u većini slučajeva ugao treba pojednostaviti. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, morate se riješiti nepotrebnih okreta. Jedan obrt je radijan ili 360 stepeni. Hajde da saznamo koliko zavoja imamo u raspravi. Radi praktičnosti, pravimo razlomak ispravnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete smanjiti jedan okret:. Nadam se da svi razumiju da je ovo isti ugao.

Dakle, konačni odgovor će biti napisan ovako:

Zasebna varijacija problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Povećati kompleksne brojeve na stepene

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti čuvenu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica podigne na neparan stepen, tada "odštipamo" jedno "i", dobijajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji realni koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba sa kompleksnim korijenima

Pogledajmo primjer:

Ne možete izdvojiti korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to zaista nemoguće. Moguće je izdvojiti korijen kompleksnih brojeva! Preciznije, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni zaista rješenje jednadžbe? provjerimo:

Što je trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćeni zapis; oba korijena su napisana u jednom redu ispod „istog češlja“: .

Ovi korijeni se također nazivaju konjugirati kompleksne korijene.

Mislim da svi razumiju kako izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirati kompleksne korijene.