Poređenje količina po njihovim brojčanim vrijednostima. Poređenje brojeva i količina po dužini, zapremini, masi. Poređenje prosjeka
Valery Galasyuk– akademik AEN Ukrajine, generalni direktor revizorske kuće “COWPERWOOD” (Dnjepropetrovsk), član predsedništva Saveta Unije revizora Ukrajine, član Revizorske komore Ukrajine, predsednik Komisije za reviziju Ukrajinsko društvo procjenitelja, zamjenik predsjednika Upravnog odbora Udruženja poreznih obveznika Ukrajine, zamjenik predsjednika Komisije za procjenu učinka investicionih aktivnosti Ukrajinskog društva finansijskih analitičara, vodeći procjenitelj ukrajinskog društva procjenitelja
Victor Galasyuk– Direktor Odeljenja za kreditno konsalting informaciono-konsultantske firme “INCON-CENTER” (konsultantska grupa “COWPERWOOD”), magistar poslovne ekonomije, laureat takmičenja za mlade procenitelje Ukrajinskog društva procenjivača
Matematika je jedina savršena metoda
dopuštajući da vas zavaraju za nos
Einstein
Moj posao je da govorim istinu, a ne da te nateram da veruješ u nju.
Rousseau
Ovaj članak je posvećen fundamentalnom problemu koji se javlja u procesu numeričkog poređenja veličina. Suština ovog problema je da, pod određenim uslovima, različite metode numeričkog poređenja istih veličina fiksiraju različitim stepenima njihove nejednakosti. Jedinstvenost ovog problema nije toliko u činjenici da on još uvijek nije riješen, iako se čini da su postupci numeričkog poređenja temeljito proučeni i ne postavljaju pitanja čak ni među školarcima, već u činjenici da je još nije na odgovarajući način odraženo u javnoj svijesti i, što je još važnije, u praktičnim aktivnostima.
Kao što znate, dvije veličine možete uporediti brojčano ili tako što ćete odgovoriti na pitanje “Koliko je jedna veličina veća od druge?” ili odgovorom na pitanje “Koliko puta je jedna veličina veća od druge?” To jest, da biste numerički uporedili dvije veličine, morate ili oduzeti jednu od druge () ili podijeliti jednu s drugom (). Štaviše, kako je istraživanje pokazalo, postoje samo dva početna tipa kriterijuma za numeričko poređenje veličina: i , i nijedan od njih nema ekskluzivno pravo na postojanje.
Postoji samo 13 kvalitativno različitih opcija za odnos na numeričkoj osi vrijednosti dvije upoređene veličine X i Y (vidi sliku 1).
Prilikom poređenja dvije vrijednosti X i Y na osnovu kriterija poređenja sa bilo kojom varijantom njihovog odnosa na brojevnoj osi ne nastaju problemi. Uostalom, bez obzira na vrijednosti X i Y, kriterij poređenja jedinstveno karakterizira udaljenost između točaka X i Y na numeričkoj osi.
Istovremeno, upotreba kriterijuma poređenja za poređenje vrijednosti X i Y u nekim slučajevima njihov odnos na brojevnoj osi može dovesti do problema, jer u tim slučajevima vrijednosti vrijednosti X i Y mogu imati značajan utjecaj na poređenje rezultate. Na primjer, kada se porede vrijednosti 0,0100000001 i 0,0000000001, koje odgovaraju opciji 5 na „Galasyuk brojanici“, korištenje kriterija poređenja pokazuje da je prvi broj veći od drugog za 0,01, a korištenje kriterija poređenja pokazuje da je prvi broj 100 veći od drugog 000 001 puta. Dakle, uz određeni omjer uspoređenih vrijednosti na numeričkoj osi, kriterij poređenja ukazuje blagi stepen nejednakosti uspoređene vrijednosti X i Y, a kriterij poređenja ukazuje značajan stepen nejednakosti.
Ili, na primjer, kada se porede vrijednosti 1 000 000 000 100 i
1.000.000.000.000, što odgovara istoj opciji 5 na “Galasyuk brojanici”, korištenje kriterija poređenja pokazuje da je prvi broj veći od drugog za 100, a korištenje kriterija poređenja pokazuje da je prvi broj približno jednak drugi, jer je samo 1,0000000001 puta veći od drugog broja. Dakle, uz određeni omjer uspoređenih vrijednosti na numeričkoj osi, kriterij poređenja ukazuje značajan stepen nejednakosti uspoređene vrijednosti X i Y, a kriterij poređenja ukazuje neznatan stepen njihove nejednakosti.
Budući da se problem o kojem se govori u ovom članku javlja samo kada se koristi kriterij poređenja, da bismo ga proučavali razmotrit ćemo poređenje dvije veličine m I n na osnovu kriterijuma poređenja. Da bismo uporedili ove vrijednosti, dijelimo m on n: .
Analiza rezultata poređenja vrijednosti m I nće se izvoditi u dvije faze: u prvoj ćemo uzeti imenilac omjera nepromijenjen - količinu n, na drugom brojiocu - vrijednost m(vidi sliku 2).
Da bismo izvršili prvu fazu analize, nacrtaćemo zavisnost omjera od vrijednosti m(vidi sliku 3), treba napomenuti da kada n Relacija =0 nije definirana.
Kao što se može vidjeti na slici 3, ako je n=const, n¹0, tada je za |m|→∞ omjer | |→∞, a za |m|→0 relacija | |→0.
Da bismo izvršili drugu fazu analize, nacrtaćemo zavisnost omjera od vrijednosti n(vidi sliku 4), treba napomenuti da kada n Relacija =0 nije definirana.
Kao što se može vidjeti na slici 4, ako je m=const, m¹0, n¹0, tada je za |n|→∞ relacija | |→0, a za |n|→0 relacija | |→∞. Treba napomenuti da kao vrijednosti | n| jednake promjene | n| povlači za sobom sve manje promjene u stavu | |. I kako se vrijednosti približavaju nuli | n| jednake promjene | n| povlači za sobom sve veće promjene u stavovima | |.
Nakon sumiranja rezultata I i II faze analize, predstavljamo ih u obliku sljedeće tabele, uključujući i rezultate uporedne analize na osnovu izvornog tipa kriterijuma (vidi tabelu 1). Ovdje se ne razmatraju situacije u kojima X=0 i Y=0. Nadamo se da ćemo ih analizirati u budućnosti.
Tabela 1
Uopšteni rezultati analize poređenja vrijednostiXIY
na osnovu dva originalna tipa kriterijuma poređenja
(X¹ 0 iY¹ 0)
|
7. Galasyuk V.V. Koliko početnih tipova kriterijuma isplativosti treba da postoji: jedan, dva, tri...?//Berza.-2000.-br.3.-Str.39-42. 8. Galasyuk V.V. O dva početna tipa kriterijuma ekonomske efikasnosti troškova // Pitanja procene, Moskva, 2000. - Br. 1. - S. 37-40. 9. Poincaré Henri. O nauci: Per. sa francuskog-M.-Nauka. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, 1983.-560 str. 20.10.2002 |
Prvo, razmotrimo problem poređenja veličine izmjerene u eksperimentu sa konstantom a. Vrijednost se može odrediti samo približno izračunavanjem prosjeka mjerenja. Moramo saznati da li relacija vrijedi. U ovom slučaju postavljaju se dva zadatka, direktni i inverzni:
a) koristeći poznatu vrijednost, pronaći konstantu a, koja je veća od c data verovatnoća
b) naći vjerovatnoću da , gdje je a data konstanta.
Očigledno, ako je tada vjerovatnoća koja je manja od 1/2. Ovaj slučaj nije od interesa, pa ćemo ubuduće to pretpostavljati
Problem se svodi na probleme o kojima se govori u paragrafu 2. Neka se X i njegov standard određuju iz mjerenja
Pretpostavićemo da broj dimenzija nije baš mali, tako da postoji slučajna varijabla sa normalnom distribucijom. Tada iz Studentovog kriterija (9), uzimajući u obzir simetriju normalne distribucije, slijedi da je za proizvoljno odabranu vjerovatnoću uvjet zadovoljen
Pod pretpostavkom da prepišemo ovaj izraz u sljedećem obliku:
gdje su Studentovi koeficijenti navedeni u tabeli 23. Tako je riješen direktni problem: nađena je konstanta a koja s vjerovatnoćom prelazi
Inverzni problem rješava se direktnim. Prepišimo formule (23) na sljedeći način:
To znači da morate izračunati t iz poznatih vrijednosti a, odabrati red s podacima u tabeli 23 - i pronaći odgovarajuću vrijednost iz vrijednosti t. Određuje željenu vjerovatnoću
Dvije slučajne varijable. Često je potrebno utvrditi utjecaj nekog faktora na vrijednost koja se proučava – na primjer, da li (i za koliko) određeni aditiv povećava čvrstoću metala. Da biste to učinili, morate izmjeriti snagu originalnog metala i čvrstoću legiranog metala y i uporediti ove dvije vrijednosti, tj.
Uspoređene vrijednosti su nasumične; Dakle, svojstva određene vrste metala variraju od topline do topline, budući da sirovine i način topljenja nisu striktno isti. Označimo ove veličine sa . Veličina posmatranog efekta je jednaka i potrebno je utvrditi da li je uslov zadovoljen
Tako se zadatak sveo na poređenje slučajna varijabla sa konstantom a o kojoj smo gore govorili. Problemi direktnog i inverznog poređenja u ovom slučaju su formulisani na sledeći način:
a) na osnovu rezultata merenja pronaći konstantu a koju ona premašuje sa datom verovatnoćom (tj. proceniti veličinu efekta koji se proučava);
b) odrediti vjerovatnoću da je gdje a željena veličina efekta; to znači da je potrebno odrediti vjerovatnoću sa kojom
Za rješavanje ovih problema potrebno je izračunati z i disperziju ove veličine. Razmotrimo dva načina da ih pronađemo.
Nezavisna mjerenja. Izmjerimo veličinu u eksperimentima, a magnitudu u eksperimentima neovisno o prvim eksperimentima. Izračunajmo prosječne vrijednosti koristeći uobičajene formule:
Ovi prosjeci su sami po sebi slučajne varijable, a njihovi standardi (ne brkati se sa standardima pojedinačnih mjerenja!) su približno određeni nepristrasnim procjenama:
Budući da su eksperimenti nezavisni, slučajne varijable x i y su također nezavisne, tako da prilikom njihovog izračunavanja matematička očekivanja se oduzimaju, a varijanse se dodaju:
Malo preciznija procjena varijanse je:
Na taj način je pronađena njegova disperzija, a dalji proračuni se izvode pomoću formula (23) ili (24).
Konzistentna mjerenja. Veća tačnost postiže se drugom metodom obrade, kada u svakom od eksperimenata istovremeno mjerimo . Na primjer, nakon otpuštanja polovine topline, metalu koji je ostao u peći dodaje se aditiv, a zatim se upoređuju uzorci metala iz svake polovine topline.
U ovom slučaju, u suštini, u svakom eksperimentu se odjednom meri vrednost jedne slučajne varijable, koja se mora uporediti sa konstantom a. Mjerenja se zatim obrađuju prema formulama (21)-(24), gdje z mora biti zamijenjen svuda.
Disperzija kod konzistentnih mjerenja bit će manja nego kod nezavisnih, jer je posljedica samo dijela slučajnih faktora: oni faktori koji se dosljedno mijenjaju ne utiču na širenje njihove razlike. Stoga nam ova metoda omogućava da dobijemo pouzdanije zaključke.
Primjer. Zanimljiva ilustracija poređenja vrijednosti je određivanje pobjednika u onim sportovima u kojima se suđenje vrši "na oko" - gimnastika, umjetničko klizanje itd.
Tabela 24. Bodovi sudija u bodovima
U tabeli 24 prikazan je protokol takmičenja u dresuri na Olimpijskim igrama 1972. Vidi se da je rasprostranjenost sudijskih bodova velika, a niti jedan rezultat se ne može smatrati grubo pogrešnim i odbačenim. Na prvi pogled se čini da je pouzdanost određivanja pobjednika mala.
Izračunajmo koliko je tačno pobjednik određen, odnosno kolika je vjerovatnoća događaja. Pošto su oba vozača ocijenila iste sudije, može se koristiti dosljedna metoda mjerenja. Koristeći tablicu 24, izračunavamo zamjenom ovih vrijednosti u formulu (24) i dobijemo .
Odabirom reda 23 u tabeli nalazimo da ova vrijednost t odgovara Dakle, tj. sa vjerovatnoćom od 90% Zlatna medalja pravilno nagrađen.
Nezavisno poređenje mjera će dati nešto lošiju ocjenu jer se ne koristi informacija da su iste sudije dale bodove.
Poređenje varijansi. Pretpostavimo da želite da uporedite dve eksperimentalne tehnike. Očigledno, tačnija metoda je ona u kojoj je varijansa jednog mjerenja manja (naravno, ako to ne povećava sistematsku grešku). To znači da moramo utvrditi da li nejednakost vrijedi.
Prosječne vrijednosti
U kliničkoj medicini i zdravstvenoj praksi često se susrećemo sa znakovima koji imaju kvantitativnu karakteristiku (visina, broj dana invaliditeta, nivo krvnog pritiska, posete klinici, broj stanovnika u okruženju, itd.). Kvantitativne vrijednosti mogu biti diskretne ili kontinuirane. Primjer diskretne vrijednosti je broj djece u porodici, puls; primjer neprekidne vrijednosti - krvni tlak, visina, težina (broj može biti razlomak, koji se kotrlja u sljedeći)
Poziva se svaka brojčana vrijednost jedinice posmatranja opcija(x). Ako se sve opcije konstruišu uzlaznim ili silaznim redosledom i naznače učestalost svake opcije (p), onda se može dobiti tzv. varijantne serije.
Varijacijski niz koji ima normalnu distribuciju grafički je predstavljen kao zvono (histogram, poligon).
Za karakteristike varijantne serije imaju normalnu distribuciju (ili distribuciju Gauss-Lyapunova), uvijek se koriste dvije grupe parametara:
1. Parametri koji karakterišu glavnu tendenciju serije: prosečna vrednost (`x), mod (Mo), medijan (Me).
2. Parametri koji karakterišu rasipanje serije: standardna devijacija (d), koeficijent varijacije (V).
prosječna vrijednost(`x) je veličina koja u jednom broju određuje kvantitativnu karakteristiku kvalitativno homogene populacije.
moda (pon.)– najčešća varijanta varijantnog niza.
medijana (ja)– varijanta koja dijeli varijantni niz na jednake polovine.
Standardna devijacija(d) pokazuje kako, u prosjeku, svaka opcija odstupa od prosjeka.
Koeficijent varijacije (V) određuje varijabilnost serije varijacija u procentima i omogućava procjenu kvalitativne homogenosti populacije koja se proučava. Preporučljivo je koristiti za poređenje varijacije različitih karakteristika (kao i stepena varijabilnosti veoma različitih grupa, grupa pojedinaca različite vrste na primjer, težina novorođenčadi i sedmogodišnje djece).
Granice ili granice(lim) – minimum i maksimalna vrijednost opcija. Najjednostavniji način da se okarakteriše varijacijski niz je da se naznači njegov opseg, minimalna i maksimalna vrijednost serije, tj. njegove granice. Međutim, granice ne pokazuju kako su pojedini članovi populacije raspoređeni prema osobini koja se proučava, stoga se koriste gornje dvije grupe parametara serije varijacija.
Postoje različite modifikacije za izračunavanje parametara serije varijacija. Njihov izbor zavisi od same serije varijacija i tehničkih sredstava.
U zavisnosti od toga kako znak varira - diskretno ili kontinuirano, u širokom ili uskom opsegu, jednostavno neponderisano, jednostavno ponderisano (za diskretne količine) i intervalne serije varijacije (za kontinuirane količine).
Grupisanje redova se vrši na veliki broj zapažanja na sledeći način:
1. Odredite opseg serije oduzimanjem minimalne opcije od maksimuma.
2. Dobijeni broj se dijeli sa željenim brojem grupa (minimalni broj - 7, maksimalni - 15). Ovako se određuje interval.
3. Počevši od minimalnih opcija, gradi se serija varijacija. Granice intervala moraju biti jasne, sprečavajući da iste opcije padaju u različite grupe.
Proračun parametara varijacione serije vrši se iz centralne opcije. Ako je niz kontinuiran, tada se centralna opcija izračunava kao polovina zbroja početnih opcija prethodne i narednih grupa. Ako se radi o diskontinuiranom nizu, tada se centralna opcija izračunava kao polovični zbroj početne i konačne opcije u grupi.
Proračun parametara varijacionih serija
Algoritam za izračunavanje parametara jednostavne neponderisane serije varijacija:
1. Rasporedite opcije u rastućem redoslijedu
2. Zbrojite sve opcije (Sx);
3. Deljenjem sume sa brojem posmatranja dobija se neponderisani prosek;
4. Izračunajte serijski broj medijane (Me);
5. Odredite varijantu medijane (Me)
6. Pronađite odstupanje (d) svake opcije od prosjeka (d = x -`x)
7. Kvadrirajte devijaciju (d 2);
8. Zbir d 2 (Sd 2);
9. Izračunajte standardnu devijaciju koristeći formulu: ± ;
10. Odredite koeficijent varijacije koristeći formulu: 
.
11. Izvedite zaključak o dobijenim rezultatima.
Bilješka: u homogenoj statističkoj populaciji koeficijent varijacije je 5-10%, 11-20% je prosječna varijacija, a više od 20% je visoka varijacija.
primjer:
Na odjelu intenzivne njege liječeno je devet pacijenata sa vaskularnim oštećenjem mozga. Trajanje tretmana za svakog pacijenta u danima: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5,11.
1. Konstruirajte seriju varijacija (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Izračunajte opciju sume: Sx = 72
3. Izračunajte prosječnu vrijednost serije varijacija: =72/9=8 dana;
4. 
;
5. Me n =5 =8 dana;
| x | d | d 2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd 2 =60 |
9. 
(dani);
10. Koeficijent varijacije je: ;
Algoritam za izračunavanje parametara jednostavne ponderisane serije varijacija:
1. Rasporedite opcije u rastućem redosledu, naznačujući njihovu učestalost (p);
2. Pomnožite svaku opciju sa njenom frekvencijom (x*p);
3. Zbrojite proizvode xp (Sxp);
4. Izračunajte prosječnu vrijednost koristeći formulu (`x)= ;
5. Pronađite serijski broj medijane;
6. Odrediti varijantu medijane (Me);
7. Najčešća opcija je greška za modu (Mo);
8. Pronađite odstupanja d svake opcije od prosjeka (d = x - `x);
9. Kvadrirajte odstupanja (d 2);
10. Pomnožite d 2 sa p (d 2 *p);
11. Zbir d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Izračunajte standardnu devijaciju (s) koristeći formulu: ± ;
13. Odredite koeficijent varijacije koristeći formulu: .
Primjer.
Sistolni krvni pritisak meren je devojčicama starosti 16 godina.
| Sistolni krvni pritisak, mm Hg. x | Broj pregledanih, str | x*p | d | d 2 | d 2 *str |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860,4 |
mmHg.;
MmHg.
;
Me=108 mmHg; Mo=108 mm Hg.
Algoritam za izračunavanje parametara grupisanog varijantnog niza metodom momenata:
1. Rasporedite opcije uzlaznim redoslijedom, naznačujući njihovu učestalost (p)
2. Izvršiti opciju grupisanja
3. Izračunajte centralnu opciju
4. Opcija sa najvećom frekvencijom uzima se kao uslovni prosek (A)
5. Izračunajte uslovno odstupanje (a) svake centralne opcije od uslovnog prosjeka (A)
6. Pomnožite a sa p (a*p)
7. Zbrojite proizvode ar
8. Odredite vrijednost intervala y oduzimanjem centralne opcije od prethodne
9. Izračunajte prosječnu vrijednost koristeći formulu:
;
10. Za izračunavanje uslovne kvadratne devijacije, uslovna odstupanja se kvadriraju (a 2)
11. Pomnožite a 2 * p
12. Zbrojite proizvode a*p 2
13. Izračunajte standardnu devijaciju koristeći formulu
Primjer
Dostupni podaci za muškarce u dobi od 30-39 godina
| težina, kg x | Broj pregledanih str | Srednja opcija x s | A | a 2 | a 2 *str | a*r | Akumulirane frekvencije |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| suma |
- aritmetička sredina
; - standardna devijacija; 
- prosječna greška
Procjena vjerodostojnosti
Statistička procjena Pouzdanost rezultata medicinsko-statističke studije sastoji se od više faza - tačnost rezultata zavisi od pojedinačnih faza.
U ovom slučaju postoje dvije kategorije grešaka: 1) greške koje se ne mogu unaprijed uzeti u obzir matematičke metode(greške tačnosti, pažnje, tipičnosti, metodološke greške, itd.); 2) greške reprezentativnosti povezane sa uzorkovanjem.
Veličina greške reprezentativnosti određena je i veličinom uzorka i raznovrsnošću osobine i izražava se prosječnom greškom. Prosječna greška indikatora izračunava se pomoću formule:
gdje je m prosječna greška indikatora;
p – statistički pokazatelj;
q – recipročno od p (1-p, 100-p, 1000-p, itd.)
n – broj zapažanja.
Ako je broj zapažanja manji od 30, u formulu se unosi amandman:
Prosječna greška se izračunava pomoću formula:
; 
;
gdje je s standardna devijacija;
n – broj zapažanja.
Primjer 1.
Bolnicu je napustilo 289 osoba, 12 je umrlo.
Smrtnost će biti:
; ;
Kod ponovljenih istraživanja, prosjek (M) u 68% slučajeva će fluktuirati unutar ±m, tj. stepen verovatnoće (p) sa kojim dobijamo takve granice poverenja srednje vrednosti je 0,68. Međutim, ovaj stepen vjerovatnoće obično ne zadovoljava istraživače. Najniži stepen vjerovatnoće sa kojim se želi dobiti određene granice za fluktuaciju prosjeka (granice povjerenja) je 0,95 (95%). U ovom slučaju, granice pouzdanosti srednje vrijednosti moraju se proširiti množenjem greške (m) sa faktorom povjerenja (t).
Koeficijent pouzdanosti (t) je broj koji pokazuje koliko puta se mora povećati greška prosječne vrijednosti da bi se za dati broj opservacija sa željenim stepenom vjerovatnoće (p) potvrdilo da prosječna vrijednost neće premašiti tako dobijene granice.
Kod p=0,95 (95%) t=2, tj. M±tm=M+2m;
Kod p=0,99 (99%) t=3, tj. M±tm=M+3m;
Poređenje prosjeka
Kada se uporede dva aritmetička prosjeka (ili dva indikatora), izračunata u različitim vremenskim periodima ili pod nešto drugačijim uslovima, utvrđuje se značaj razlika između njih. U ovom slučaju se primjenjuje sljedeće pravilo: razlika između prosjeka (ili indikatora) smatra se značajnom ako je aritmetička razlika između upoređenih prosjeka (ili pokazatelja) veća od dva kvadratni korijeni iz zbira kvadrata grešaka ovih prosjeka (ili indikatora), tj.
(za upoređene prosjeke);
(za upoređene indikatore).
Stavka: matematike
Naziv nastavno-metodičkog kompleta (UMK): „RITAM»
Tema lekcije: Upoređivanje brojeva i veličina po dužini, zapremini, masi.
Vrsta lekcije: Sistematizacija i generalizacija znanja.
Svrha lekcije: naučiti đake prvog razreda da uspostave veze „šema-obilježje“; vraćaju u memoriju načine poređenja objekata prema karakteristikama koje su proučavali; generalizirati i konsolidirati materijal o količinama (na primjeru dužine, zapremine, mase).
Ciljevi lekcije:
Razvijati sposobnost opisivanja rezultata posmatranja svojstava objekata (boja, oblik, veličina, materijal, zapremina, površina, masa);
Razviti sposobnost prepoznavanja zbirki objekata ili figura koje imaju zajedničku osobinu;
Vježbajte mentalne operacije, razvijajte fine motoričke sposobnosti, sposobnost samokontrole, razvijajte komunikacijske vještine;
Negovati kod učenika odnos poslovne saradnje (dobronamernost jedni prema drugima, uvažavanje mišljenja drugih, umeti da slušaju drugove);
Potaknite interesovanje za temu.
Planirani rezultati:
Lični :
Formirati obrazovni i kognitivni interes za gradivo;
Sposobnost vrednovanja vlastitog rada i rada svojih kolega;
Negujte odgovornost za svoj rad;
Razvijati motivaciju za učenje i znanje;
spremnost i sposobnost za samorazvoj, razvoj tolerancije.
metasubjekt:
regulatorno:
Umeti da odredi i formuliše cilj na času uz pomoć nastavnika;
Objasniti redoslijed radnji u lekciji;
Razumjeti cilj učenja lekcije; rješavanje obrazovnog zadatka pod vodstvom nastavnika;
Ocijeniti ispravnost radnje na nivou adekvatne retrospektivne procjene;
Izrazite svoju pretpostavku;
edukativni:
Biti u mogućnosti da se krećete svojim sistemom znanja;
Pronađite odgovore na pitanja koristeći udžbenik, svoje životno iskustvo i informacije dobijene na času;
komunikativan:
Formulirajte sopstveno mišljenje i položaj;
Slušati i razumjeti mišljenja drugih;
Pridržavajte se pravila rada u parovima;
Predmet:
Sposobnost razlikovanja svojstava objekata koji su količine od onih svojstava koja nisu količine;
Znanje o tome šta se može učiniti s količinama: uporedi, mjeri;
Sposobnost poređenja količina i njihovih brojčanih vrijednosti;
Sposobnost poređenja rezultata;
Sposobnost rada u grupi.
Oprema za nastavu: demonstracijske kartice s nazivima karakteristika (dužina, volumen, boja, površina, oblik, obim, širina, materijal, masa), kartice (pojedinačne), vage, 4 kocke (izvana identične, ali različite po masi - 2 kocke od ista misa), pokazni čamac, prezentacija za čas.
Oprema: multimedijalni projektor, kompjuter, materijali za grupni rad (lopte, loptice, kutije od razlicitih materijala, razlicitih velicina, baloni, zica), lepeza iz matematike, kartice za individualni rad.
MAPA TEHNOLOŠKE LEKCIJE
| Aktivnosti nastavnika | Aktivnosti učenika |
||||||||||||||||||
| Zdravo. Drago mi je da vam poželim dobrodošlicu. Kreirajmo za uspješan rad dobro raspoloženje. Gledajte se ljubaznim očima. Dajte jedno drugom ljubazan osmijeh. Dajte jedno drugom ljubazan pogled. Recite jedno drugom ljubaznu riječ, tiho. Raspoloženje je odlično. Hajde da počnemo Jeste li spremni za početak lekcije? Provjerite svoje radno mjesto. | Provjerite spremnost za lekciju. Nastavnici slušaju. Dijele svoje raspoloženje i govore lijepe riječi. Priprema za predstojeći rad na času |
||||||||||||||||||
| Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije. Motivacija obrazovne aktivnosti studenti. |
|||||||||||||||||||
| Iznad kojih vaspitni zadatak mi ćemo raditi? Po kojim kriterijumima upoređujemo količine? (po dužini, zapremini, težini) Možete li uporediti količine? Pokažite nam pomoću naših posebnih ikona kako upoređujete po dužini, perimetru, površini, materijalu, boji, obliku, težini, zapremini. | Djeca odgovaraju na pitanja. Ikonama pokazuju kako se objekti porede po nekim kriterijumima. |
||||||||||||||||||
| Ažuriranje znanja |
|||||||||||||||||||
| 1. Konkretno - praktičan rad upoređivanja objekata prema datoj osobini Šta pokazuje dijagram? (objekti nisu isti iz nekog razloga) Grupni zadaci: Pronađite objekte nejednake dužine Pronađite objekte nejednake mase Pronađite objekte koji nisu iste veličine -Imenujte količine. DUŽINA COLOR TEŽINA VRIJEDNOSTI VOLUME MIRIS FORMA – Zašto su to količine? | Masa, dužina, zapremina. Mogu se izmjeriti. Pričaćemo o količinama. |
||||||||||||||||||
| Dajem grupne žice iste dužine. Napravite izlomljene linije od 2, 3, 4, 5 veza. Na osnovu čega su izlomljene linije iste? (materijal, dužina) | |||||||||||||||||||
| Poređenje vrijednosti Na osnovu čega možete uporediti 2 objekta? Koja je shema prikladna? 1. Miš i slon. Uporedite po težini, veličini 2. Trokut i kvadrat. Uporedite po veličini ili obliku 3. Dvije posude s vodom. Hajde da uporedimo po obimu. Krosh i Jež su odlučili pomoći Nyushi da zalije cvijeće. | Pogledajte slajdove i uporedite |
||||||||||||||||||
| Verbalno brojanje Uspoređujemo vrijednosti prema broju stavki. Stavljamo veći ili manji znak. Koliko više ili manje? Pingvini 2 i 4 Ribe 8 i 4 Tasteri 3 i 1 Budilnik i stolne lampe 3 i 4 Koji je broj za 2 veći od 3, 4 Koji je broj 1 manji od 8, 3 manji od 6, 1 veći od 10 | Koristeći slike upoređujemo njihove količine Prikazivanje odgovora pomoću matematičke lepeze |
||||||||||||||||||
| Generalizacija i sistematizacija znanja |
|||||||||||||||||||
| - Momci, o čemu ćemo danas pričati na času? Da biste saznali više o njima, predlažem vam da radite u grupama. Svaka grupa će dobiti svoj zadatak koji će izvršiti praktičan rad. U grupi mora biti odgovorna osoba. Jedan govori - drugi sluša. Uljudno izrazite svoje neslaganje. Ako ne razumete, pitajte ponovo. Svi moraju raditi za rezultate. Zadatak 1 grupa Unesite broj koji odgovara masi životinje 8, 5 i 2
2) Stavite znake veće, manje ili jednako. Zadatak 2 grupa 1) Izmjerite dužinu ribe pomoću ravnala i zapišite je. nosilac mača
2). Vratite snimak: Procijenite rad. Zadatak 4 grupa Radite praktičan rad. 1) Izmjerite zapreminu šolje, čaše, tegle pomoću mjerača za šalice i zapišite podatke. 2) Vratite snimak: Ocijenite rad. IV. Generalizacija. Zaključci po grupama. 1 grupa – Koja je bila vrijednost vašeg zadatka? Koja životinja ima najmanju masu? Kitty? Zašto bi osoba to trebala znati? 2. grupa
3 grupa – S kojom veličinom ste radili? Zaključak se izvodi iz tabele koja je dobijena tokom odgovora učenika.
– Koje smo radnje izvodili s količinama? | O količinama Momci rade u grupama. Svaka grupa ispunjava svoj zadatak. Predstavljanje njihovog rada. Odgovorite na pitanja. |
||||||||||||||||||
| Fizminutka |
|||||||||||||||||||
| Kontrola asimilacije, diskusija učinjenih grešaka i njihovo ispravljanje |
|||||||||||||||||||
| Kaligrafska minuta Koji broj dolazi iza broja 6? prethodi broju 7? Samostalan rad. | Djeca odgovaraju na pitanja Izvrši samostalan rad na kartama Provjera grupnog rada Zajedno provjeravamo rad, čitamo odgovore. |
||||||||||||||||||
| Na osnovu čega su uspoređene vrijednosti? Stranica 103, br. 7 Udžbenik i slajdovi Na osnovu čega je Ira uporedila predmete? (po obimu) Dasha? (u visini) Tanja? (po težini) Uporedite stavke koristeći dijagram. | Djeca gledaju crteže, dijagrame, upoređuju crteže sa dijagramima i donose zaključke |
||||||||||||||||||
| Izrada zadataka na osnovu crteža i dijagrama Stranica 111, br. 18 Hajde da napravimo problem oko oca i sina. Pomoću dijagrama određujemo čemu su jednake vrijednosti. Šta je ovo? (Pakovanje povrća i krompira) Na osnovu čega se ovi objekti mogu porediti? (po težini) Šta je ovo? (kante vode) Na osnovu čega se ovi objekti mogu porediti? (po obimu) Šta je ovo? (2 ribe) Kako se ovi objekti mogu porediti? | U grupama djeca kolektivno stvaraju probleme. Recitiraju tekst zadatka na osnovu crteža i dijagrama. Odgovorite na pitanje usmeno. Pokažite na dijagramu koliko je jedna vrijednost veća ili manja od druge |
||||||||||||||||||
| Refleksija (sažimanje lekcije) |
|||||||||||||||||||
| Koju temu smo danas radili? Uspio sam Imao sam problema Nisam dobio ništa Sa čime ste imali poteškoća? Šta ste uradili lako, bez poteškoća? | Pomoću znaka pokazuju svoj stav prema lekciji. Oni izražavaju svoj stav. |
||||||||||||||||||
| Dodatni zadatak Problem uključen logičko razmišljanje |
|||||||||||||||||||
| 1. Stojeći na jednoj nozi, piletina je teška 1 kg. Koliko je ovo pile tesko kad stoji na dvije noge? 2 identične lubenice teže kao 3 identične lubenice. Šta je teže: lubenica ili dinja? | Zaključak: Pile koje stoji na dvije noge ima 1 kg. |
||||||||||||||||||
Od davnina ljudi su se ozbiljno zanimali za pitanje kako najbolje uporediti količine izražene u različitim vrijednostima. I nije samo stvar prirodne radoznalosti. Ljudi najstarijih zemaljskih civilizacija pridavali su čisto praktičan značaj ovoj prilično teškoj stvari. Ispravno odmjeriti zemljište, odrediti težinu proizvoda na tržištu, izračunati potreban omjer robe pri trampi, odrediti ispravnu količinu grožđa pri pripremi vina - samo su neki od zadataka koji su se često javljali u ionako teškom životu naših predaka. Stoga su slabo obrazovani i nepismeni ljudi, kada je trebalo uporediti vrijednosti, odlazili po savjet svojim iskusnijim drugovima, a često su za takvu uslugu uzimali i odgovarajući mito, i inače prilično dobar.
Šta se može porediti
Danas ova aktivnost takođe igra značajnu ulogu u procesu izučavanja egzaktnih nauka. Svi, naravno, znaju da je potrebno porediti homogene količine, odnosno jabuke sa jabukama, i cveklu sa cveklom. Nikome ne bi palo na pamet da stepene Celzijusa pokuša izraziti u kilometrima ili kilograme u decibelima, ali dužinu boa konstriktora kod papagaja znamo od djetinjstva (za one koji se ne sjećaju: u jednom udavu ima 38 papagaja ). Iako su i papagaji različiti, a zapravo će dužina boa konstriktora varirati ovisno o podvrsti papiga, ali to su detalji koje ćemo pokušati dokučiti.
Dimenzije
Kada zadatak kaže: „Uporedi vrijednosti veličina“, potrebno je te iste količine dovesti u isti nazivnik, odnosno izraziti ih istim vrijednostima radi lakšeg poređenja. Jasno je da mnogima od nas nije teško poređenje vrijednosti izražene u kilogramima sa vrijednošću izraženom u centarima ili tonama. Međutim, postoje homogene veličine koje se mogu izraziti u različitim dimenzijama i, štaviše, u različiti sistemi mjerenja. Pokušajte, na primjer, uporediti vrijednosti kinematičke viskoznosti i odrediti koja je od tekućina viskoznija u centistoksima i kvadratnih metara u sekundi. Ne radi? I neće raditi. Da biste to učinili, trebate odraziti obje vrijednosti u istim količinama, a već po brojčanoj vrijednosti odrediti koja je od njih superiornija od protivnika.
Mjerni sistem
Da bismo razumjeli koje se veličine mogu uporediti, pokušajmo se prisjetiti postojećih mjernih sistema. Kako bi optimizirali i ubrzali procese naseljavanja, 1875. godine sedamnaest zemalja (uključujući Rusiju, SAD, Njemačku, itd.) potpisalo je metričku konvenciju i definiralo metrički sistem mjere Za razvoj i konsolidaciju standarda metra i kilograma osnovan je Međunarodni komitet za utege i mjere, a u Parizu je osnovan Međunarodni biro za utege i mjere. Ovaj sistem je vremenom evoluirao u Međunarodni sistem jedinica, SI. Trenutno je ovaj sistem usvojen u većini zemalja u oblasti tehničkih proračuna, uključujući i one zemlje u kojima je to tradicionalno Svakodnevni život koriste se nacionalni (na primjer, SAD i Engleska).
GHS
Međutim, paralelno sa opšteprihvaćenim standardom standarda, razvio se i drugi, manje pogodan GHS sistem (centimetar-gram-sekunda). Predložio ga je 1832. godine njemački fizičar Gauss, a modernizirali su ga 1874. Maxwell i Thompson, uglavnom u oblasti elektrodinamike. Godine 1889. predložen je pogodniji ISS sistem (metar-kilogram-sekunda). Poređenje objekata prema standardnim vrijednostima metra i kilograma mnogo je pogodnije za inženjere nego korištenje njihovih derivata (centi-, mili-, deci-, itd.). Međutim, ni ovaj koncept nije naišao na masovni odjek u srcima onih kojima je bio namijenjen. Aktivno se razvijao i koristio u cijelom svijetu, pa su se proračuni u GHS-u obavljali sve rjeđe, a nakon 1960. godine, uvođenjem SI sistema, GHS je skoro potpuno izašao iz upotrebe. Trenutno se GHS zapravo koristi u praksi samo u proračunima u teorijska mehanika i astrofizike, a zatim i zbog jednostavnijeg oblika snimanja zakona elektromagnetizma.
Korak po korak instrukcije
Pogledajmo primjer detaljno. Recimo da zadatak zvuči ovako: "Uporedi vrijednosti 25 tona i 19570 kg. Koja je vrijednost veća?" Prvo što treba da uradimo je da odredimo u kojim količinama su date naše vrednosti. Dakle, prva vrijednost je data u tonama, a druga u kilogramima. U drugom koraku provjeravamo da li autori problema ne pokušavaju da nas zavedu pokušavajući da nas natjeraju da uporedimo različite veličine. Postoje i takvi zadaci zamke, posebno u brzim testovima, gdje vam se daje 20-30 sekundi da odgovorite na svako pitanje. Kao što vidimo, vrijednosti su ujednačene: masu i težinu tijela mjerimo i u kilogramima i u tonama, pa je drugi test prošao s pozitivnim rezultatom. Treći korak je pretvaranje kilograma u tone ili, obrnuto, tone u kilograme radi lakšeg poređenja. U prvoj opciji ispada 25 i 19,57 tona, au drugoj: 25.000 i 19.570 kilograma. A sada možete mirno upoređivati veličine ovih vrijednosti. Kao što se jasno vidi, prva vrijednost (25 t) je u oba slučaja veća od druge (19.570 kg).
Zamke
Kao što je gore spomenuto, moderni testovi sadrže mnogo zadataka obmanjivanja. To nisu nužno zadaci koje smo analizirali; prilično bezazleno pitanje može se pokazati kao zamka, posebno ono koje sugerira potpuno logičan odgovor. Međutim, podmuklost se u pravilu krije u detaljima ili u maloj nijansi koju pisci zadataka pokušavaju prikriti na sve moguće načine. Na primjer, umjesto pitanja koje vam je već poznato iz analiziranih zadataka: "Uporedite vrijednosti gdje je moguće", kompajleri testa mogu jednostavno zamoliti da uporedite navedene vrijednosti i sami odaberete vrijednosti koje su upadljivo slične jedni drugima. Na primjer, kg*m/s 2 i m/s 2. U prvom slučaju to je sila koja djeluje na objekt (njutni), au drugom je to ubrzanje tijela, odnosno m/s 2 i m/s, gdje se od vas traži da uporedite ubrzanje sa brzina tijela, odnosno potpuno različite količine.
Kompleksna poređenja
Međutim, vrlo često se u zadacima daju dvije vrijednosti, izražene ne samo u različitim mjernim jedinicama i različitim računskim sistemima, već se i međusobno razlikuju po specifičnosti fizičko značenje. Na primjer, izjava problema kaže: "Uporedite vrijednosti dinamičke i kinematičke viskoznosti i odredite koja je tekućina viskoznija." U ovom slučaju, vrijednosti su naznačene u SI jedinicama, odnosno u m 2 / s, a dinamičke - u CGS, odnosno u poisima. Šta učiniti u ovom slučaju?
Da biste riješili takve probleme, možete koristiti gore navedene upute s malim dodatkom. Mi odlučujemo u kom sistemu ćemo raditi: neka bude opšte prihvaćen među inženjerima. U drugom koraku provjeravamo i da li je ovo zamka? Ali i u ovom primjeru sve je čisto. Upoređujemo dvije tečnosti prema parametru unutrašnjeg trenja(viskozitet), stoga su obe količine homogene. Treći korak je pretvaranje poisa u paskalne sekunde, odnosno u opšte prihvaćene SI jedinice. Zatim pretvaramo kinematičku viskoznost u dinamičku viskoznost, množeći je sa odgovarajućom vrijednošću gustine tekućine (tabelarna vrijednost), i upoređujemo dobivene rezultate.
Izvan sistema
Postoje i nesistemske mjerne jedinice, odnosno jedinice koje nisu uključene u SI, ali su prema rezultatima odluka sazivanja Generalne konferencije za utege i mjere (GCWM), prihvatljive za zajedničku upotrebu sa the SI. Takve se veličine mogu međusobno upoređivati samo kada se svedu na njihov opći oblik u SI standardu. Nesistemske jedinice uključuju jedinice kao što su minuta, sat, dan, litar, elektron-volt, čvor, hektar, bar, angstrom i mnoge druge.
