Pronalaženje čvorova i čvorova polinoma. Najveći zajednički djelitelj polinoma. relativno prosti polinomi. Lab Options
Neka su dati nenulti polinomi f(x) i φ(x). Ako je ostatak dijeljenja f(x) sa φ(x) jednak nuli, tada se polinom φ(x) naziva djelitelj polinoma f(x). Vrijedi sljedeća izjava: polinom φ(x) će biti djelitelj polinoma f(x) ako i samo ako postoji polinom ψ(x) koji zadovoljava jednakost f(x)=φ(x)ψ(x) . Polinom φ(x) naziva se zajedničkim djeliteljem proizvoljnih polinoma f(x) i g(x) ako je djelitelj svakog od ovih polinoma. Prema svojstvima djeljivosti, zajednički djelitelji polinoma f(x) i g(x) uključuju sve polinome stepena nula. Ako ovi polinomi nemaju druge zajedničke djelitelje, onda se nazivaju koprosti i pišu se (f(x), g(x))=1. U opštem slučaju, polinomi f(x) i g(x) mogu imati zajedničke djelitelje u zavisnosti od x.
Kao i kod cijelih brojeva, za polinome se uvodi koncept njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja. Najveći zajednički djelitelj ne-nula polinoma f(x) i g(x) naziva se njihov zajednički djelitelj d(x), koji je djeljiv sa bilo kojim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma. Najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x) je označen gcd simbolima, d(x), (f(x), g(x)). Imajte na umu da se ova definicija GCD-a odnosi i na cijele brojeve, iako se češće koristi druga, poznata svim učenicima.
Ova definicija postavlja niz pitanja:
1. Postoji li gcd za proizvoljne ne-nulte polinome f(x) i g(x)?
2. Kako pronaći GCD polinoma f(x) i g(x)?
3. Koliko najvećih zajedničkih djelitelja imaju polinomi f(x) i g(x)? I kako ih pronaći?
Postoji način da se pronađe GCD cijelih brojeva koji se zove sekvencijalni algoritam dijeljenja ili Euklidski algoritam. Primjenjuje se i na polinome i glasi kako slijedi.
Euklidov algoritam. Neka su dati polinomi f(x) i g(x), stepen f(x)≥stepen g(x). Podijelimo f(x) sa g(x), dobićemo ostatak r 1 (x). Podijelimo g(x) sa r 1 (x), dobićemo ostatak r 2 (x). Podijelite r 1 (x) sa r 2 (x). Nastavljamo dijeljenje na ovaj način dok se dijeljenje ne završi. Taj ostatak r k (x), kojim je prethodni ostatak r k -1 (x) potpuno podijeljen, bit će najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x).
Navedimo sljedeću napomenu, koja je korisna pri rješavanju primjera. Primjenom Euklidovog algoritma na polinome za pronalaženje GCD, možemo, kako bismo izbjegli razlomke koeficijente, pomnožiti dividendu ili smanjiti djelitelj za bilo koji broj različit od nule, ne samo započinjući bilo koje od uzastopnih dijeljenja, već i tokom procesa sama ova podjela. To će dovesti do izobličenja količnika, ali će ostaci koji nas zanimaju dobiti samo određeni množitelj nultog stepena, što je, kao što znamo, dozvoljeno pri traženju djelitelja.
Primjer 1. Pronađite gcd polinoma f(x)=x 3 –x 2 –5x–3,
g(x)=x 2 +x–12. Podijelite f(x) sa g(x):
Prvi ostatak od r 1 (x) nakon smanjenja za 9 bit će x–3. Podijelite g(x) sa r 1 (x):
.
Podjela je bila kompletna. Dakle, r 1 (x)=x–3 je GCD polinoma x 3 –x 2 –5x–3 i x 2 +x–12.
Primjer 2. Pronađite gcd polinoma f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1,
g(x)=5x 3 –3x 2 +2x–4. Pomnožite f(x) sa 5 i podijelite 5f(x) sa g(x):
Prvi ostatak r 1 (x) će biti 19x 2 –26x+7. Podijelite g(x) s prvim ostatkom, nakon množenja g(x) sa 19:
Pomnožite sa 19 i nastavite sa dijeljenjem:
Smanjujemo do 1955. i dobijamo drugi ostatak r 2 (x) = x-1. Podijelite r 1 (x) sa r 2 (x):
.
Podjela je potpuna, dakle, r 2 (x) = x-1 je gcd polinoma f(x) i g(x).
Primjer 3. Pronađite gcd polinoma f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4,
g(x)=x 3 –2x 2 +1.
. 
.
.
odgovor:(f(x), g(x))=x–1.
Ova metoda pronalaženja GCD pokazuje da ako polinomi f(x) i g(x) imaju racionalne ili realne koeficijente, tada će i koeficijenti njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja biti racionalni ili, shodno tome, realni.
Polinomi f(x), g(x) i d(x) povezani su sljedećom relacijom, koja se često koristi u raznim pitanjima i opisana je teoremom.
Ako je d(x) najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x), tada možemo pronaći polinome u(x) i v(x) takve da je f(x)u(x)+g( x)v (x)=d(x). U ovom slučaju, možemo pretpostaviti da ako su stepeni polinoma f(x) i g(x) veći od nule, tada je stepen u(x) manji od stepena g(x), a stepen od v(x) je manji od stepena f(x).
Pokažimo na primjeru kako pronaći polinome u(x) i v(x) za date polinome f(x) i g(x).
Primjer 4. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), ako
A) f(x)=x 4 -3x 3 +1, g(x)=x 3 -3x 2 +1;
B) f(x)=x 4 -x 3 +3x 2 -5x+2, g(x)=x 3 +x-2.
A. Pronalazimo gcd polinoma f(x) i g(x) koristeći Euklidov algoritam, samo što je sada u procesu dijeljenja nemoguće izvršiti redukciju i množenje odgovarajućim brojevima, kao što smo radili u primjerima 1, 2 , 3.
(1) 
(2)
Dakle, zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x) je –1.
Prema izvršenoj podjeli zapisujemo jednakosti:
f(x)=g(x)x+(–x+1) (1 *)
g(x)=(–x+1)(–x 2 +2x+2)–1. (2*)
Iz jednakosti (2 *) izražavamo d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2). Iz jednakosti (1 *) nalazimo –h+1=f(x)–g(x)h i njegovu vrijednost zamjenjujemo u jednakost (2*): d(x)= –1=g(x)–(f( x )–g(x)h)(–x 2 +2x+2).
Sada grupiramo članove na desnoj strani u odnosu na f(x) i g(x):
d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x 2 +2x+2)+g(x)x(–x 2 +2x+2)=f(x)(x 2 – 2x–2)+g(x)(1–x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2 –2x–2)+g(x)(–x 3 +2x 2 +2x+1) .
Dakle, u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1.
Najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x) je polinom 2x-2. Izražavamo ga pomoću jednakosti (1) i (2):
odgovor:
OPCIJE LABORATORIJSKOG RADA
Opcija 1
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 –2x 3 –x 2 –4x–6, 2x 4 –5x 3 +8x 2 –10x+8.
b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.
f(x)=x 6 -4x 5 +11x 4 -27x 3 +37x 2 -35x+35,
g(x)=x 5 -3x 4 +7x 3 -20x 2 +10x-25.
Opcija 2
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 -3x 3 -3x 2 +11x-6, x 4 –5x 3 +6x 2 +x-3.
b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) i njegov izvod.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=3x 7 +6x 6 -3x 5 +4x 4 +14x 3 -6x 2 -4x+4, g(x)=3x 6 -3x 4 +7x 3 -6x+2.
Opcija 3
1. Pronađite gcd polinoma:
a) 2x 4 +x 3 +4x 2 -4x-3, 4x 4 -6x 3 -4x 2 +2x+1.
b) (x+1) 2 (2x+4) 3 (x+5) 5, (x-2) 2 (x+2) 4 (x-1).
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=3x 3 -2x 2 +2x+2, g(x)=x 2 -x+1.
Opcija 4
1. Pronađite gcd polinoma:
a) 3x 4 -8 3 +7x 2 -5x+2, 3x 4 -2x 3 -3x 2 +17x-10.
b) (x+7) 2 (x-3) 3 (2x+1) i njen izvod.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=x 4 -x 3 -4x 2 +4x+1, g(x)=x 2 -x-1.
Opcija 5
1. Pronađite gcd polinoma:
a) 2x 4 -3x 3 -x 2 +3x-1, x 4 +x 3 -x-1.
b) x 4 (x-1) 2 (x+1) 3, x 3 (x-1) 3 (x+3).
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=3x 5 +5x 4 -16x 3 -6x 2 -5x-6, g(x)=3x 4 -4x 3 -x 2 -x-2.
Opcija 6
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+3, x 4 +5x 3 +8x 2 +5x+7.
b) x 3 (x+1) 2 (x-1) i njegov izvod.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=x 5 -5x 4 -2x 3 +12x 2 -2x+12, g(x)=x 3 -5x 2 -3x+17.
Opcija 7
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 +3x 3 -3x 2 +3x-4, x 4 +5x 3 +5x 2 +5x+4.
b) (2x+1)(x-8)(x+1), (x 3 +1)(x-1) 2 x 3.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=4x 4 -2x 3 -16x 2 +5x+9, g(x)=2x 3 -x 2 -5x+4.
Opcija 8
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 -3x 3 -2x 2 +4x+6, 2x 4 -6x 3 +2x 2 -7x+3.
b) (x 3 -1)(x 2 -1)(x 2 +1), (x 3 +1)(x-1)(x 2 +2).
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=2x 4 +3x 3 -3x 2 –5x+2, g(x)=2x 3 +x 2 -x-1.
Opcija 9
1. Pronađite gcd polinoma:
a) 2x 4 +x 3 -5x 2 +3x+2, 3x 4 +8x 3 +3x 2 -3x-2.
b) (x 3 +1)(x+1) 2 (2x+3) i njegov izvod.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=3x 4 -5x 3 +4x 2 –2x+1, g(x)=3x 3 -2x 2 +x-1.
Opcija 10
1. Pronađite gcd polinoma:
a) x 4 -5x 3 +7x 2 -3x+2, 2x 4 -x 3 -7x 2 +3x-2.
b) (x+1)(x 2 -1)(x 3 +1), (x 3 -1)(x 2 +x)x.
2. Pronađite polinome u(x) i v(x) tako da je f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), ako
f(x)=x 5 +5x 4 +9x 3 +7x 2 +5x+3, g(x)=x 4 +2x 3 +2x 2 +x+1.
2015-2020 lektsii.org -
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Polinom je algebarski zbir proizvoda brojeva, varijabli i njihovih potencija. Pretvaranje polinoma obično uključuje dvije vrste problema. Izraz treba ili pojednostaviti ili faktorizirati, tj. predstavljaju ga kao proizvod dva ili više polinoma ili monoma i polinoma.
Da biste pojednostavili polinom, navedite slične pojmove. Primjer. Pojednostavite izraz \ Pronađite monome sa istim slovnim dijelom. Presavijte ih. Zapišite rezultirajući izraz: \ Pojednostavili ste polinom.
Za probleme koji zahtijevaju faktoring polinoma, odredite zajednički faktor dati izraz. Da biste to učinili, prvo uklonite iz zagrada one varijable koje su uključene u sve članove izraza. Štaviše, ove varijable treba da imaju najniži indikator. Zatim izračunajte najveći zajednički djelitelj svakog od koeficijenata polinoma. Modul rezultirajućeg broja će biti koeficijent zajedničkog množitelja.
Primjer. Faktor polinoma \ Izvadite ga iz zagrada \ jer varijabla m je uključena u svaki član ovog izraza i njen najmanji eksponent je dva. Izračunajte zajednički faktor množitelja. Jednako je sa pet. Dakle, zajednički faktor ovog izraza je \ Otuda: \
Gdje mogu riješiti polinomsku jednačinu na mreži?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
1. Euklidski algoritam
Ako je svaki od dva polinoma djeljiv s trećim polinomom, onda se ovaj treći polinom naziva zajedničkim djeliteljom prva dva.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva polinoma je njihov zajednički djelitelj najvećeg stepena.
Imajte na umu da je svaki broj koji nije jednak nuli zajednički djelitelj bilo koja dva polinoma. Stoga se svaki broj koji nije jednak nuli naziva trivijalnim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma.
Euklidski algoritam predlaže niz radnji koje ili vode do pronalaženja gcd dva data polinoma, ili pokazuje da takav djelitelj u obliku polinoma prvog ili višeg stepena ne postoji.
Euklidski algoritam je implementiran kao niz podjela. U prvom podeljenju, polinom većeg stepena se tretira kao dividenda, a manjeg - kao delilac. Ako polinomi za koje je GCD pronađen imaju iste stupnjeve, tada se dividenda i djelitelj biraju proizvoljno.
Ako tokom sljedećeg dijeljenja, polinom u ostatku ima stepen veći ili jednak 1, tada djelitelj postaje dividenda, a ostatak postaje djelitelj.
Ako sljedeća podjela polinoma rezultira ostatkom jednakim nuli, tada je pronađen gcd ovih polinoma. To je djelitelj posljednjeg dijeljenja.
Ako se pri sljedećem dijeljenju polinoma ispostavi da je ostatak broj koji nije jednak nuli, tada za ove polinome ne postoje gcds osim trivijalnih.
Primjer br. 1
Smanjite frakciju.
2. Mogućnosti pojednostavljenja GCD proračuna u Euklidskom algoritmu
Kada se dividenda množi brojem koji nije jednak nuli, količnik i ostatak se množe istim brojem.
Dokaz
Neka je P dividenda, F djelitelj, Q količnik, R ostatak. onda,
Pomnožimo ovaj identitet brojem 0, dobijamo
pri čemu se polinom P može smatrati dividendom, a polinomi Q i R količnikom i ostatkom koji se dobije dijeljenjem polinoma P polinomom F. Dakle, kada se dividenda množi brojem 0, količnik i ostatak su također pomnoženo sa, h.t. d
Posljedica
Množenje djelitelja brojem 0 može se smatrati množenjem dividende brojem.
Stoga, kada se djelitelj pomnoži sa brojem, 0 je količnik, a ostatak se množi sa.
Primjer br. 2
Nađite količnik Q i ostatak R prilikom dijeljenja polinoma
dijeljeni polinomski algoritam Euklid
Da bismo prešli na cjelobrojne koeficijente u dividendi i djelitelju, pomnožimo dividendu sa 6, što će dovesti do množenja željenog kvocijenta Q i ostatka R sa 6. Nakon toga, pomnožimo djelitelj sa 5, što će dovesti do množenje količnika 6Q i ostatka 6R sa. Kao rezultat toga, kvocijent i ostatak dobiveni dijeljenjem polinoma s cjelobrojnim koeficijentima će se razlikovati za faktor nekoliko puta od željenih vrijednosti količnika Q i ostatka R dobivenog dijeljenjem ovih polinoma.
Dakle, ;
Imajte na umu da ako se pronađe najveći zajednički djelitelj ovih polinoma, onda ćemo množenjem sa bilo kojim brojem koji nije jednak nuli dobiti i najveći djelitelj ovih polinoma. Ova okolnost omogućava pojednostavljenje proračuna u Euklidskom algoritmu. Naime, prije sljedećeg dijeljenja, dividenda ili djelitelj se može pomnožiti brojevima odabranim na poseban način tako da koeficijent prvog člana u količniku bude cijeli broj. Kao što je gore prikazano, množenje dividende i djelitelja će dovesti do odgovarajuće promjene parcijalnog ostatka, ali takve da će, kao rezultat, GCD ovih polinoma biti pomnožen nekim brojem jednakim nuli, što je prihvatljivo.
OSNOVNI PODACI IZ TEORIJE
Definicija 4.1.
Polinom j(x) u P[x] se zove zajednički djelitelj polinomi g(x) i f(x) iz P[x] ako su f(x) i g(x) djeljivi sa j(x) bez ostatka.
Primjer 4.1. Zadata su dva polinoma: (x) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 O R[x]. Zajednički djelitelji ovih polinoma su: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = O R[x], j 2 (x) =(x 2 − 2x − 2) O R[x], j 3 (x) =(x − 1) O R[x], j 4 (x) = 1 O R[x]. (Provjeri!)
Definicija 4.2.
Najveći zajednički djeliteljrazličiti od nule polinomi f(x) i g(x) iz P[x] je polinom d(x) iz P[x] koji je njihov zajednički djelitelj i sam je djeljiv sa bilo kojim drugim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma.
Primjer 4.2. Za polinome iz primjera 4.1. f(x)= x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 O R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 O R[x] najveći zajednički djelitelj je polinom d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 O R[x], jer je ovo polinom d(x) je podijeljen sa svim njihovim ostalim zajedničkim djeliteljima j 2 (x), j 3 (x),j4(x).
Najveći zajednički djelitelj (GCD) označen je simbolom:
d(x) = (f(x), g(x)).
Najveći zajednički djelitelj postoji za bilo koja dva polinoma f(x),g(x) O P[x] (g(x) br. 0). Njegovo postojanje određuje Euklidski algoritamšto je kako slijedi.
Mi se delimo f(x) on g(x). Ostatak i količnik dobiveni dijeljenjem se označavaju sa r 1 (x) I q 1 (x). Onda ako r 1 (x)¹ 0, podijeliti g(x) on r 1 (x), dobijamo ostatak r2(x) i privatno q2(x) itd. Stepeni rezultujućih ostataka r 1 (x), r 2 (x),... će se smanjiti. Ali niz nenegativnih cijelih brojeva je ograničen odozdo brojem 0. Prema tome, proces dijeljenja će biti konačan i doći ćemo do ostatka r k (x), na koji će se prethodni ostatak potpuno podijeliti r k – 1 (x). Cijeli proces podjele može se zapisati na sljedeći način:
f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g(x);
g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deg r2(x) < deg r 1(x);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× qk(x) + r k (x), deg r k (x)< deg r k – 1 (x);
r k – 1 (x) = r k (x) × q k +1 (x).(*)
Dokažimo to r k (x)će biti najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) I g(x).
1) Pokažimo to r k (x) je zajednički djelitelj polinomi podataka.
Okrenimo se pretposljednjoj jednakosti:
r k –-2 (x)= r k –-1 (x)× qk(x) + r k (x), ili r k –-2 (x)= r k (x) × q k +1 (x) × qk(x) + r k (x).
Njegova desna strana je podijeljena na r k (x). Stoga je i lijeva strana djeljiva sa r k (x), one. r k –-2 (x) podijeljena r k (x).
r k –- 3 (x)= r k –- 2 (x)× q k – 1 (x) + r k –- 1 (x).
Evo r k –- 1 (x) I r k –- 2 (x) se dijele na r k (x), slijedi da je zbir na desnoj strani jednakosti djeljiv sa r k (x). To znači da je i lijeva strana jednakosti djeljiva sa r k (x), one. r k –- 3 (x) podijeljena r k (x). Krećući se na ovaj način sukcesivno naviše, dobijamo da su polinomi f(x) I g(x) se dijele na r k (x). Tako smo to i pokazali r k (x) je zajednički djelitelj polinomski podaci (definicija 4.1.).
2) Pokažimo to r k (x) podijeljena bilo koji drugi zajednički djelitelj j(x) polinomi f(x) I g(x), to je najveći zajednički djelitelj ovi polinomi .
Okrenimo se prvoj jednakosti: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x).
Neka d(x)– neki zajednički djelitelj f(x) I g(x). Zatim, prema svojstvima djeljivosti, razlika f(x)–g(x) × q 1 (x) takođe podeljen na d(x), odnosno lijeva strana jednakosti f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x) podijeljena d(x). Onda r 1 (x)će biti podijeljena sa d(x). Nastavljajući rasuđivanje na sličan način, sukcesivno silazeći kroz jednakosti, dobijamo to r k (x) podijeljena d(x). Zatim, prema definicija 4.2.r k (x) bice najveći zajednički djelitelj polinomi f(x) I g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = r k (x).
Najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) I g(x) je jedinstven do faktora - polinom stepena nula, ili, moglo bi se reći, do asocijacije(definicija 2.2.).
Tako smo dokazali teoremu:
Teorema 4.1. /Euklidski algoritam/.
Ako je za polinome f(x),g(x) O P[x] (g(x)¹ 0) sistem jednakosti i nejednakosti je ispravan(*), tada će posljednji ostatak različit od nule biti najveći zajednički djelitelj ovih polinoma.
Primjer 4.3. Pronađite najveći zajednički djelitelj polinoma
f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 i g(x)= x 3 –2x 2 + x –2.
Rješenje.
1 korak, 2 korak.
| x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 | x 3 –2x 2 + x –2 | x 3 –2x 2 + x –2 | 7x 2 + 7 | |
| –(x 4 –2x 3 + x 2 – 2x) | x+3 = q 1 (x) | –(x 3 + x) | 1/7x.–2/7 = q 2 (x) | |
| 3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 –6x 2 + 3x –6) | –2x 2 –2 –( –2x 2 –2) | |||
| 7x 2 + 7 = r 1 (x) | 0 = r 2 (x) |
Zapišimo korake podjele u obliku sistema jednakosti i nejednakosti, kao u (*) :
f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), st r 1 (x)< deg g(x);
g(x)= r 1 (x)× q2(x).
Prema Teorema 4.1./Euklidski algoritam/ posljednji nenulti ostatak r 1 (x) = 7x 2 + 7 će biti najveći zajednički djelitelj d(x) ovi polinomi :
(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7.
Budući da je djeljivost u polinomskom prstenu definirana do asocijacije ( Svojstvo 2.11.) , onda kao GCD možemo uzeti ne 7x 2 + 7, već ( 7x 2 + 7) = x 2 + 1.
Definicija 4.3.
Pozvat će se najveći zajednički djelitelj s vodećim koeficijentom 1 normalizirani najveći zajednički djelitelj.
Primjer 4.4. U primjeru 4.2. pronađen je najveći zajednički djelitelj d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 polinoma f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 i g(x)= x 3 –2x 2 + x –2. Zamjena sa pripadajućim polinomom d1(x)= x 2 + 1, dobijamo normalizovani najveći zajednički djelitelj ovih polinoma ( f(x), g(x)) = x 2 + 1.
Komentar. Koristeći Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva polinoma, možemo izvući sljedeći zaključak. Najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) I g(x) ne zavisi od toga da li razmatramo f(x) I g(x) preko terena P ili preko njegovog proširenja P'.
Definicija 4.4.
Najveći zajednički djeliteljpolinomi f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),… f n (x) Î P[x] se zove takav polinom d(x)Î P[x], koji je njihov zajednički djelitelj i sam je djeljiv sa bilo kojim drugim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma.
Budući da je Euklidov algoritam pogodan samo za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva polinoma, da bismo pronašli najveći zajednički djelitelj n polinoma, moramo dokazati sljedeću teoremu.
