Kvantifikatori. Logičke operacije. Kvantifikatori Zakoni permutacije kvantifikatora

Specifična priroda predikata omogućava nam da uvedemo operacije nad njima koje nemaju analoga među operacijama na iskazima. Ovo se odnosi na dvije operacije kvantifikatora nad predikatima.

Opšti kvantifikator

Da biste transformirali jedno mjesto predikata u iskaz, trebate zamijeniti neki specifičan objekat iz domene specificiranja predikata umjesto njegove varijable. Postoji još jedan način za takvu transformaciju - ovo je primjena operacija vezivanja na predikat pomoću opšteg kvantifikatora ili kvantifikatora postojanja. Svaka od ovih operacija povezuje unarni predikat sa određenim iskazom, istinitim ili netačnim u zavisnosti od originalnog predikata.

Definicija. je pravilo prema kojem je svaki unarni predikat P(x) definiran na skupu M pridružen iskazu, označenom sa , koji je istinit ako i samo ako je predikat P(x) identično istinit, a netačan u suprotnom, tj.

Verbalni analog opšteg kvantifikatora " je: „za bilo koga“, „za svakoga“, „za svakoga“ itd.

U izrazu varijabla X prestaje biti varijabla u uobičajenom smislu riječi, odnosno nemoguće je zamijeniti bilo koju određenu vrijednost umjesto nje. Kažu da je varijabla X povezane .

Ako je unarni predikat P(x) dat na konačnom skupu M = (a 1,a 2 , …,a n), zatim izjava ekvivalentno konjukciji P(a 1) P(a 2) … P(an).

Primjer 59 .

Neka X određuju mnoge ljude M, A P(x)– predikat "x je smrtan". Navedite verbalnu formulaciju predikatske formule .

Rješenje.

Izraz znači "svi ljudi su smrtni." Ne zavisi od varijable X, ali karakterizira sve ljude u cjelini, tj. izražava sud o svima X setovi M.

Definicija. Operacijom vezivanja općim kvantifikatorom n-aran ( n , novo ( , istinit ako i samo ako je unarni predikat definiran na skupu M 1 identično istinit, a netačan u suprotnom, to jest:

Kvantifikator postojanja

Definicija. je pravilo prema kojem je svaki unarni predikat P(x) definiran na skupu M pridružen iskazu, označenom sa , koji je netačan ako i samo ako je predikat P(x) identično lažan, a u suprotnom istinit, tj.

Verbalni analog egzistencijalnog kvantifikatora $ je: "postoji", "naći će se" itd.

Slično izrazu , u izrazu varijabla X također prestaje biti varijabla u uobičajenom smislu riječi: to je - povezane varijabla .

Ako je unarni predikat P(x) dat na konačnom skupu M = (a 1,a 2 , …,a n), zatim izjava ekvivalentno disjunkciji P(a 1) P(a 2) … P(an).

Primjer 60.

Neka P(x)– predikat "x je paran broj", definisano na setu N. Dajte verbalnu formulaciju izjavi , utvrdi njegovu istinitost.

Rješenje.

Originalni predikat P(x): "x je paran broj" je izjava varijable: kada se umjesto varijable zamjenjuje određeni broj X postaje jednostavna izjava koja je istinita ili netačna, npr.

kod zamjene broja 5 - netačno, kod zamjene broja 10 - tačno.

Izjava znači "u skupu prirodnih brojeva N postoji paran broj." Od mnogih N sadrži parne brojeve, zatim izjavu istinito.

Definicija. Operacijom vezivanja sa kvantifikatorom postojanja po varijabli x 1 je pravilo prema kojem svakin-aran (n 2) predikat P(x 1, x 2, ..., xn), definisane na skupovima M 1, M 2, ..., Mn , novo (n-1)-arni predikat, označen sa , što je za sve stavke , pretvara se u izjavu , lažno ako i samo ako je unarni predikat definiran na skupu M 1 identično lažan, a istinit u suprotnom, to jest:

Gore je već rečeno da se varijabla na koju je vezan kvantifikator naziva vezana, a varijabla koja nije vezana kvantifikatorom naziva se besplatno . Poziva se izraz na koji je vezan kvantifikator opseg kvantifikatora i sva pojavljivanja varijable sa kvantifikatorom u ovom izrazu su vezana. Za predikate s više mjesta, možete priložiti različite kvantifikatore različitim varijablama; ne možete priložiti dva kvantifikatora istoj varijabli odjednom.

Primjer 61.

Neka predikat P(x, y) opisuje stav "x voli y" kod raznih ljudi. Razmotrite sve opcije za priključivanje kvantifikatora na obje varijable. Dajte usmeno tumačenje primljenih izjava.

Rješenje.

Označimo predikat "x voli y" kroz VOLI(x, y). Rečenice koje odgovaraju različitim opcijama za priključivanje kvantifikatora ilustrovane su na Sl. 2.3-2.8, gdje X I at prikazano na različitim skupovima, što je konvencija i samo da bi se objasnilo značenje rečenica (pravi skupovi varijabli X I at, očito se mora podudarati):

- “za bilo koju osobu X postoji osoba at koga voli” ili “svaka osoba voli nekoga” (slika 2.3).

Rice. 2.3. Ilustracija za izreku "za bilo koju osobu" X postoji osoba at koga voli" ili "svaka osoba voli nekoga"

Operater uz pomoć kojeg o k.-l. poseban objekat se transformiše u iskaz o kolekciji (skupu) takvih objekata.
U logici se koriste dva osnovna koda: kod općenitosti, “V” i kod postojanja, “E”. U prirodnom jeziku, udaljeni semantički analozi koncepta zajednice su riječi „svi“, „bilo koji“, „svi“; semantički analozi postojanja K. su riječi “neki”, “postoji”. Uz pomoć K podataka, svaka atributivna izjava tipa P(x) da je objekt x svojstven P može se transformirati u odgovarajući iskaz kvantifikatora tipa VxP(x) i tipa ZxP(x). U sadržaju, sama formula kvantifikatora “VxP(x)” glasi kao “za sve x postoji P(x)”, a formula “ExP(x)” - kao “za neki x postoji P(x)”. Izjava oblika VxP(x) je istinita ako bilo koji x ima svojstvo P; i netačan je ako barem jedan x nema svojstvo P. Slično, iskaz oblika ZxP(x) je istinit ako barem jedan x ima svojstvo P; i lažno ako nijedan x nema svojstvo P.
Na osnovu formula elementarnog kvantifikatora „VxP(x)“, „ExP(x)“ mogu se konstruisati i druge, složenije formule kvantifikatora. Logički odnosi između ovakvih formula proučavaju se u predikatskoj logici. Konkretno, formula “ZxP(x)” je logički ekvivalentna formuli “) VxQUANTITOR| P(x)”, a formula “VxP(x)” je ekvivalentna formuli “) Eh) P(x)”, gdje su “)” negacije.
U implicitnom obliku, logike je već koristio Aristotel, ali su u strogom sadržajnom i formalnom smislu prvi put uvedene u logiku G. Fregea.

Filozofija: Enciklopedijski rječnik. - M.: Gardariki. Uredio A.A. Ivina. 2004 .

(od lat. kvantni - koliko), logički operator predikata, primijenjen na formule koje sadrže samo jednu slobodnu varijablu daje (izjava). Postoje K. zajednice, označene simbolom (od engleski sve - sve), i K. postojanje (od postojati - postojati): xP(x) se interpretira (cm. tumačenje) kao "za sve x važi svojstvo P", a xP(x) - kao "postoji x takav da svojstvo?(x)" važi. Ako (svemir) je konačan, onda je xP(x) ekvivalentan konjunkciji svih formula P (A), gdje je a element predmetne oblasti. Slično, xP(x) je ekvivalentno disjunkciji svih formula oblika? (A). Ako je predmetno područje beskonačno, onda xP (x) i xP(x) se mogu tumačiti kao beskonačno i kao disjunkcija. Uvod u K. u logiku višemesnih predikata (tj. ne-singl) uzrokuje neodlučivost predikatskog računa. Različiti odnosi između principa općenitosti i postojanja i logičkih veza propozicionalne logike su formalizirani u predikatskom računu.

Filozofski enciklopedijski rječnik. - M.: Sovjetska enciklopedija. Ch. montaža: L. F. Ilyichev, P. N. Fedoseev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. 1983 .

(od lat. quantum - koliko) - logično. operator primijenjen na logički. izrazi i davanje količina. karakteristika domena objekata (a ponekad i domena predikata), koja uključuje ono što se dobije kao rezultat primjene K. Kako logično Sredstva propozicionalne logike nisu dovoljna za izražavanje oblika općih, posebnih i pojedinačnih sudova; u predikatskoj logici, dobivenoj proširenjem propozicionalne logike uvođenjem principa, takvi su sudovi izražajni. Tako, na primjer, četiri osnovna. forme prosuđivanja tradicija. logike „Sve A su B“, „Nijedan A nije B“, „Neki A su B“ i „Neki A nisu B“ mogu se zapisati (ako zanemarimo pretpostavljeni zahtjev Aristotelovske logike za neprazninom A u općim sudovima) koristeći simboliku objašnjenu u nastavku kako slijedi: ∀(x) (A (x) ⊃ B (x)), ∀(x) (A (x) ⊃ B(x)), ∃(x) (A (x ) & B (x)) i ∃ (x) (A (x) & B (x)). Uvod K. vam omogućava da ga zapišete na formalizovan logički način. jezik izražavanja prirode. jezici koji sadrže količine. karakteristike k.-l. subjekt ili predikat oblasti. U prirodnom U jezicima su nosioci takvih karakteristika tzv. kvantifikatorske riječi, koje uključuju, posebno, količine. brojevi, zamjenice “svi”, “svaki”, “neki”, glagol “postoji”, pridjevi “bilo koji”, “svaki”, “jedan”, prilozi “beskonačno mnogo” itd. Ispada da sve pomenute kvantifikatorske reči izraziti u formalizmu. jezika i logike U računanju su dovoljna dva najčešće korišćena. K.: K. općenitost (ili općenito), obično se označava simbolom ∀ (obrnuto slovo A - početno slovo engleske riječi “all”, njemačkog “alle” itd.), i K. postojanje, obično označava simbolom ∃ (obrnuto slovo E je početno slovo engleske riječi “exist”, njemačkog “existieren” itd.); nakon znakova ∀ i ∃ u zapisu veličine slijedi slovo određene abecede, koja se naziva kvantifikatorska varijabla, koja se obično smatra dijelom notacije kvantifikatora: ∀x, ∀y, ∀ F, ∃x, ∃α, itd. Za generalnosti K. koriste se i sljedeće oznake:

za K. postojanje:

Znak K. se stavlja ispred izraza na koji je K. primenjen (operacija primene K. se često naziva kvantifikacija); ovaj izraz je zatvoren u zagradama (koje se često izostavljaju ako to ne dovodi do dvosmislenosti). Izraz ∀x (A (x)) koji sadrži opšti princip glasi kao „Za sve x je tačno da je A (x)“, ili „Za svako x je tačno da je A (x)“; Izraz ∃x (A(x)) koji sadrži K. postojanja čita se kao "Postoji x takav da je A (x)", ili "Za neki x, A(x) je istina." U oba ova slučaja ne pretpostavlja se, uopšteno govoreći, da izraz A(x) zapravo zavisi od varijable x (možda uopšte ne sadrži nijednu varijablu, tj. može označavati određenu izjavu; u ovom slučaju ne promijenite značenje ove izjave). Međutim, glavni svrha K. su iskazi iz izraza koji zavise od varijable kvantifikatora, ili barem smanjenje broja varijabli od kojih ovaj izraz, budući da je otvorena (otvorena) formula (vidi Zatvorenu formulu), zavisi. Na primjer, izraz (y>0&z>0&x=y-z) sadrži tri varijable (x, y i z) i postaje iskaz (tačan ili netačan) kada je k.-l. def. zamjenjujući ove varijable imenima određenih objekata iz raspona njihovih vrijednosti. Izraz ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) zavisi od samo dvije varijable (x i y), a ∃y∃z (y>0&z>0& &x = y –z) - od jednog x. Posljednja formula izražava, dakle, određeno svojstvo (jednomjesto). Konačno, formula ∃h∃u∃z (y>0&z>0&x=y–z) izražava potpuno definisan izjava.

dr. primjeri formula koje sadrže K.: 1) ∀x(x>0); 2) ∃x(x>0); 3) ∀h (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀x (x = x)& (x+2=y); 6) x ∃y su dijelovi formule desno od njih i područje djelovanja formule (x = z⊃x ≠ 0) Pojavljivanje određene varijable u znaku formule ili u domena djelovanja formule koja sadrži ovu varijablu naziva se vezano pojavljivanje varijable u formuli. U drugim slučajevima, pojavljivanje varijable se naziva slobodno. Ista se može pojaviti u određenoj formuli na jednom mjestu u vezanom obliku, a na drugom mjestu - na slobodnom mjestu. Ovo je, na primjer, formula 5: prva tri (brojeći slijeva) pojavljivanja varijable x u njoj su povezana, zadnja je slobodna. Ponekad kažu da je varijabla povezana u datoj formuli ako su sve njene pojave u ovoj formuli povezane. U matematici i logici, svaki izraz koji sadrži slobodnu varijablu može se smatrati (u neformalnom pristupu) jer u uobičajenom smislu riječi on (izraz) ovisi o različitim vrijednostima ove varijable; dajući ovoj varijabli različita značenja (tj. zamjenjujući sva njena slobodna pojavljivanja imenom određenog objekta koji pripada rasponu vrijednosti ove varijable), dobijamo različita (općenito govoreći) značenja ovog izraza, ovisno o vrijednosti varijable, tj. umjesto zamijenjene konstante. Što se tiče vezanih varijabli, izrazi koji ih okružuju zapravo ne ovise o njima. Na primjer, izraz ∃x(x = 2y), u zavisnosti od y (koji je slobodno uključen u njega), ekvivalentan je izrazima ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2y), itd. Ovo je logično izrazi iz pridruženih varijabli uključenih u njih nalaze se u tzv. pravilo za preimenovanje povezanih varijabli, postuliranih ili izvedenih u dep. logicno račun (pogledajte Varijabla, Predikatski račun).

Gore navedeno tumačenje značenja K. odnosilo se na sadržaj logičkog. teorije. Što se tiče ispravnih proračuna. smislu (tzv. formalni sistemi), onda u njima uopće nema smisla govoriti o „značenju“ ovog ili onog računa, koji je ovdje jednostavno određeni simbol računa. Pitanje značenja (značenja) računa se u potpunosti odnosi na područje interpretacije računa. U primjeni na K. možemo govoriti o najmanje tri interpretacije: klasičnoj, intuicionističkoj i konstruktivnoj, koja odgovaraju različitim konceptima postojanja i univerzalnosti u logici i matematici (vidi Intuicionizam, Konstruktivna logika). I u klasičnom i u intuicionističkom (konstruktivnom) predikatskom računu, metode zaključivanja u slučajevima kada original ili formule koje treba dokazati sadrže formulu opisuju se istim takozvanim predikatskim računom. postulati kvantifikacije, npr. Bernaysovi postulati.

Načela opštosti i egzistencije ne iscrpljuju tipove principa koji se koriste u logici. Ekstenzivni principi su tzv. ograničene kvantne jednadžbe oblika ∀xP(x)A(x) ili ∃xQ(x)A(x), u kojima je raspon promjene varijable kvantifikatora x “ograničen” nekim posebnim predikat P(x) (ili Q(x)). Ograničeni K. se svode na K. općenitosti i postojanja uz pomoć tragova. ekvivalencije: ∀xP(x)A(x) KVANTITOR ∀x(P(x) ⊃A(x)) i ∃xQ(x)A(x) KVANTITOR ∃x(Q(x)&A(x)). Često korišteni K. jedinstvenosti ∃!xA(x) (“postoji jedinstveni x takav da je A(x)”) također se izražava kroz K. općenitosti i postojanja, na primjer. pa: xA(x) KVANTITOR ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).

Koriste se i drugi tipovi proračuna koji nisu obuhvaćeni konceptom ograničenog izračunavanja.To su "numerički" proračuni oblika ∃xnA(x) ("postoji tačno n različitih x takvih da je A(x)"), koristi se u intuicionističkoj logici izračunavanja “kvazi-egzistencija” ∃ xA(x), ili (“nije tačno da ne postoji x takav da je A(x)”); sa t.zr. klasična u logici Q. “kvazi-egzistencije” se ne razlikuje od Q. postojanja, u intuicionističkoj logici rečenica ∃xA(x), koja ništa ne govori o postojanju algoritma za pronalaženje takvog x da je A( x), zaista potvrđuje samo “kvazi” takvog x i K. beskonačnost ∃x∞A(x) (“postoji beskonačno mnogo x takvih da je A(x)”). Izrazi koji sadrže principe beskonačnosti i numeričke članove mogu se pisati i korištenjem pojmova općenitosti i postojanja. U proširenom predikatskom računu koeficijente uzimaju ne samo varijable subjekta, već i predikatne varijable, tj. razmatraju se formule oblika ∃F∀xF(x), ∀F∃u(F(y)), itd.

Lit.: Gilbert D. i Ackerman V., Osnove teorijske logike, trans. sa engleskog, M., 1947, str. 81-108; Tarski A., Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih nauka, trans. sa engleskog, M., 1948, o. 36-42, 100-102, 120-23; Kleene S.K., Uvod u metamatematiku, trans. sa engleskog, M., 1957, str. 72-80, 130-38; Church A., Uvod u matematičku logiku, trans. sa engleskog, tom 1, str. 42–48; Kuznjecov A.V., Logičke konture algoritma, prevod sa standardizovanog ruskog jezika na informaciono-logički jezik, u: Sažeci izveštaja na konferenciji o obradi informacija, mašinskom prevođenju i automatskom čitanju teksta, M., 1961; Mostowski A., O generalizaciji kvantifikatora, "Fundam. math.", 1957, t. 44, br. 1, str. 12–36; Hailperin T., Teorija ograničene kvantifikacije, I–II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, br. 1, str. 19–35, br. 2, str. 113–29.

Yu Gastev. Moskva.

Philosophical Encyclopedia. U 5 tomova - M.: Sovjetska enciklopedija. Uredio F. V. Konstantinov. 1960-1970 .

Sinonimi:

Pogledajte šta je "QUANTITOR" u drugim rječnicima:

Imenica, broj sinonima: 1 operator (24) ASIS rečnik sinonima. V.N. Trishin. 2013… Rečnik sinonima

kvantifikator- - Telekomunikacijske teme, osnovni koncepti EN kvantifikator... Vodič za tehnički prevodilac

Kvantifikator je opšte ime za logičke operacije koje ograničavaju domen istinitosti predikata i kreiraju iskaz. Najčešće se pominje: Kvantifikator univerzalnosti (oznaka: , glasi: “za sve...”, “za svakog...” ili “svakog...” ... Wikipedia

Općenito ime za logičke operacije koje koriste predikat P(x) za konstruiranje iskaza koji karakterizira domen istinitosti predikata P(x). U matematici U logici se najčešće koriste kvantifikator univerzalnosti i kvantifikator postojanja.Izjava znači ... ... Mathematical Encyclopedia

Kvantifikator- (od latinskog quantum koliko) simbol koji se koristi za označavanje određenih operacija matematičke logike, ujedno i logička operacija koja daje kvantitativnu karakteristiku polja objekata kojem se izraz dobija u ... ... Počeci moderne prirodne nauke

U bilo kojem nacionalnom jeziku, veznici „i“, „ili“, „ako ..., onda ...“, „ako i samo ako...“, itd. se koriste u običnom govoru. omogućavaju vam da konstruišete nove složene iskaze od već datih iskaza. Istinitost ili netačnost tako dobivenih izjava ovisi o istinitosti i neistinitosti izvornih izjava i odgovarajućih interpretacija veziva kao operacija nad iskazima. Logička operacija se može u potpunosti opisati tabela istine, pokazujući koja značenja složeni iskaz ima za sva moguća značenja jednostavnih iskaza.

Logička operacija je metoda konstruisanja složene izjave od elementarnih iskaza, u kojoj je istinitost složene izjave u potpunosti određena istinitošću originalnih iskaza (vidi članak “ ”).

U algebri logike, logičke operacije i odgovarajući logički spojevi imaju posebne nazive i označavaju se na sljedeći način:

Konjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novim iskazom, koji je istinit ako i samo ako su oba originalna iskaza tačna 7 . Logička operacija konjunkcija

Razmotrite dvije izjave: str = “Sutra će biti mraz" I q = “Sutra će padati snijeg" Očigledno nova izreka str & q = “Sutra će biti mraz, a sutra snijeg” je istinit samo ako su iskazi istiniti u isto vrijeme str I q, naime, da će sutra biti mraza i snijega. Izjava str & q bit će lažna u svim ostalim slučajevima: padat će snijeg, ali će doći do odmrzavanja (tj. neće biti mraza); bit će mraza, ali snijega neće biti; neće biti mraza i neće biti snega.

Disjunkcija- logička operacija koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novim iskazom, koji je netačan ako i samo ako su obje početne izjave netačne, i istinito kada je barem jedan od dva iskaza koji ga formiraju istinit 8. Logička operacija disjunkcija utvrđeno sljedećom tablicom istinitosti:

Razmotrite dvije izjave: str = “Kolumbo je bio u Indiji" I q = “Kolumbo je bio u Egiptu str q = “Kolumbo je bio u Indiji ili je bio u Egiptu” je tačno i ako je Kolumbo bio u Indiji, ali nije bio u Egiptu, i ako nije bio u Indiji, ali je bio u Egiptu, kao i ako je bio i u Indiji i u Egiptu. Ali ova izjava bi bila lažna da Kolumbo nije bio ni u Indiji ni u Egiptu.

Veznik "ili" može se koristiti u govoru u drugom, "isključivom" smislu. Tada odgovara drugom iskazu - disjunktivnoj, ili strogoj, disjunkciji.

Strogo, ili podjela,disjunkcija- logička operacija koja povezuje dva elementarna iskaza sa novim iskazom koji je istinit samo kada je samo jedan od iskaza tačan. Logička operacija disjunktivna klauzula utvrđeno sljedećom tablicom istinitosti:

Razmotrite dvije izjave: str = “Mačka lovi miševe" I q = “Mačka spava na sofi" Očigledno je da nova izjava strq istina samo u dva slučaja - kada mačka lovi miševe ili kada mačka mirno spava. Ova izjava će biti lažna ako mačka ne učini ni jedno ni drugo, tj. kada se oba događaja ne dese. Ali ova izjava će biti lažna čak i kada se pretpostavi da će se obje izjave pojaviti istovremeno. Pošto se to ne može dogoditi, izjava je lažna.

U logici, veznicima "ili" i "ili" daju se različita značenja, ali u ruskom se vezivno "ili" ponekad koristi umjesto veziva "ili". U ovim slučajevima, nedvosmislenost definicije korištene logičke operacije povezana je s analizom sadržaja iskaza. Na primjer, analiza izjave “ Petya sjedi na podijumu A ili podijumu B" zamijenjeno sa " Petya sjedi na podijumu A ili B“, onda će analiza posljednje izjave jasno ukazati na logičnu operaciju podjela disjunkcija, jer osoba ne može biti na dva različita mjesta u isto vrijeme.

Implikacije- logičku operaciju koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novom naredbom koja je lažna ako i samo ako stanje(premisa) - istina, i posljedica(zaključak) je netačan. Ogroman broj zavisnosti između događaja može se opisati pomoću implikacije. Na primjer, sa izjavom „ Ako odemo u Sankt Peterburg za vreme praznika, posetićemo Isaakovsku katedralu” Potvrđujemo da ćemo, ukoliko dođemo u Sankt Peterburg tokom praznika, svakako posjetiti Isaakovsku katedralu.

Logička operacija implikacija

Implikacija će biti lažna samo ako je premisa tačna, a zaključak lažan, a sigurno će biti istinit ako je njen uslov str false. Štaviše, za matematičara je to sasvim prirodno. U stvari, polazeći od pogrešne premise, može se dobiti i istinita i lažna izjava putem ispravnog zaključivanja.

Recimo 1 = 2, pa 2 = 1. Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo 3 = 3, tj. iz lažne premise, kroz identične transformacije, dobili smo istinit iskaz.

Implikacija formirana iz izjava A I IN, može se napisati koristeći sljedeće rečenice: „Ako A, To IN“, „Od A trebalo bi IN”, “A povlači za sobom IN“, „Da bi A, potrebno je da IN“, „Da bi IN, dovoljno za A”.

Ekvivalencija- logička operacija koja povezuje dva elementarna iskaza sa novim, koji je istinit ako i samo ako su oba početna iskaza istovremeno tačna ili istovremeno lažna. Logička operacija ekvivalencija je dato sljedećom tabelom istinitosti:

Razmotrimo moguća značenja složenog iskaza koji je ekvivalent: “ Nastavnik će učeniku dati 5 u četvrtini ako i samo ako učenik dobije 5 na testu.”.

1) Učenik je dobio 5 na testu i 5 na četvrtini, tj. nastavnik je ispunio svoje obećanje, stoga je izjava tačna.

2) Učenik nije dobio 5 na testu, a nastavnik mu nije dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik je održao obećanje, izjava je tačna.

3) Učenik nije dobio 5 na testu, ali mu je nastavnik dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik nije održao obećanje, izjava je lažna.

4) Učenik je dobio 5 na testu, ali mu nastavnik nije dao 5 u četvrtini, tj. nastavnik nije održao obećanje, izjava je lažna.

Imajte na umu da se u matematičkim teoremama ekvivalencija izražava vezom „neophodno i dovoljno“.

Gore navedene operacije su bile dvostruke (binarne), tj. su izvedene na dva operanda (naredbe). U algebri logike definirana je i široko korištena operacija na jednom mjestu (unarna). negacija.

Negacija- logička operacija koja povezuje svaki elementarni iskaz s novom naredbom, čije je značenje suprotno izvornom. Logička operacija negacija je dato sljedećom tabelom istinitosti:

U ruskom se za konstruisanje negacije koristi veznik "nije tačno da...". Iako veznik “nije tačno da…” ne povezuje nijedna dva iskaza u jedan, logičari ga tumače kao logičku operaciju, jer, kada se postavi ispred proizvoljnog iskaza, od njega formira novi.

Negirajući izjavu “Imam kompjuter kod kuće” biće saopštenje “Nije tačno da imam kompjuter kod kuće” ili, što je isto na ruskom, “Nemam kompjuter kod kuće”. Negirajući izjavu “Ne znam kineski” biće saopštenje “Nije istina da ne znam kineski” ili, što je ista stvar na ruskom, “Znam kineski”.

Kvantifikatori

U matematičkoj logici, uz logičke operacije, koriste se i kvantifikatori. Kvantifikator(od lat. kvantna- koliko) je logička operacija koja daje kvantitativnu karakteristiku područja objekata na koje se odnosi izraz dobijen kao rezultat njegove primjene.

U običnom jeziku, riječi poput Sve, svaki, neki, bilo koji, bilo koji, beskonačno puno, postoji, dostupan, jedini, neki, final broj, kao i svi kardinalni brojevi. U formalizovanim jezicima, čiji je sastavni deo predikatski račun, dve vrste kvantifikatora su dovoljne da izraze sve takve karakteristike: opšti kvantifikator I kvantifikator postojanja.

Kvantifikatori dopuštaju iz specifičnog izražajnog oblika (vidi “ Izjave. Boolean vrijednosti") za dobijanje ekspresivnog oblika sa manjim brojem parametara, posebno za dobijanje iskaza 9 iz ekspresivnog oblika na jednom mestu.

Opšti kvantifikator dozvoljava iz datog oblika iskaza sa jednom slobodnom varijablom x dobiti izjavu koristeći link “Za sve x…”. Rezultat primjene općeg kvantifikatora na propozicioni oblik A( x) označavaju x A( x). Izjava x A( x) bit će istinit ako i samo ako, nakon zamjene u A( x) umjesto slobodne varijable x bilo kojeg objekta iz raspona mogućih vrijednosti, uvijek se dobije tačna izjava. Izjava x A( x) može se pročitati na sljedeći način: „Za bilo koje x A( x)”, “A( x) za proizvoljno x", "Za sve x tačno A( x)", "Svako x ima svojstvo A( x)" i tako dalje.

Egzistencijalni kvantifikator dozvoljava iz date ekspresivne forme sa jednom slobodnom promenljivom x dobiti izjavu koristeći veznik “Postoji takav x, Šta …". Rezultat primjene općeg kvantifikatora na propozicioni oblik A( x) označavaju x A( x). Izjava
x A( x) je istinit ako i samo ako je u rasponu mogućih vrijednosti varijable x postoji objekat takav da prilikom zamjene njegovog imena umjesto pojave slobodne varijable x u( x) se ispostavilo kao istinita izjava. Izjava x A( x) može se pročitati ovako: „Za neke x A( x)”, „Za prikladan x tačno A( x)", "Postoji x, za koji je A( x)”, „Barem za jednu x tačno A( x)" i tako dalje.

Kvantifikatori igraju za formalizirane jezike matematičke logike istu ulogu koju takozvane "kvantitativne" ("kvantifikatorske") riječi imaju za prirodni jezik - određuju opseg primjenjivosti datog iskaza (ili ekspresivnog oblika).

Kada se konstruiše negacija iskaza koji sadrži kvantifikator, primenjuje se sledeće pravilo: čestica “ne” se dodaje predikatu, opšti kvantifikator se zamenjuje kvantifikatorom jedinstvenosti, i obrnuto. Pogledajmo primjer. Negacija tvrdnje „Svi dječaci 11. razreda su odlični učenici“ je izjava „Nije tačno da su svi dječaci 11. razreda odlični učenici“ ili „Neki dječaci 11. razreda nisu odlični učenici“.

U informatici, kvantifikatori se koriste u logičkim programskim jezicima (vidi “ Programski jezici”) i jezici upita baze podataka.

Sposobnost konstruisanja složenih izraza potrebna je pri radu sa bazama podataka, pri konstruisanju upita za internet pretragu, pri konstruisanju algoritama i pisanju programa na bilo kom algoritamskom jeziku. Štaviše, ova vještina se može svrstati u opštu školsku vještinu, jer povezuje se sa konstrukcijom složenih zaključaka (rezonovanje, izvođenje zaključaka). Ova vještina se zasniva na poznavanju osnovnih logičkih operacija i sposobnosti utvrđivanja istinitosti složenih iskaza.

Školarci se u osnovnoj školi upoznaju sa logičkim operacijama disjunkcija, konjunkcija i negacija. Koncept tabele istinitosti je takođe uveden tamo. Najvjerovatnije se poznavanje ovih koncepata javlja u programskim jezicima, ali se mogu koristiti i u proračunskim tabelama - tamo se logičke operacije implementiraju kroz odgovarajuće funkcije ILI, I, NE.

Složenije logičke operacije mogu se obraditi u srednjoj školi. Problemi sa implikacijama nalaze se u svakoj od objavljenih verzija Jedinstvenog državnog ispita iz računarstva. Na primjer: za koji broj X istinita izjava (( X > 3) (X < 3)) –> (X < 1)? (Demo verzija Jedinstvenog državnog ispita, 2007)

Prilikom proučavanja operacije implikacije, studenti treba da obrate pažnju na činjenicu da je većina matematičkih teorema implikacija. Međutim, one implikacije u kojima su premise (uslovi) i zaključci (posljedice) rečenice bez međusobne (suštinske) veze ne mogu igrati manje ili više važnu ulogu u nauci. Potpuno su jalovi prijedlozi, jer... ne dovode do dubljih zaključaka. Zaista, u matematici, niti jedna teorema nije implikacija u kojoj uslov i zaključak nisu sadržajno povezani. Pored veznog „ako,... onda...“, u matematičkim teoremama implikacije su formulacije samo neophodnih ili samo dovoljnih uslova.

Zadaci stvaranja dovoljnih i potrebnih uslova za školsku djecu su teški. Prilikom razvijanja ove vještine posebno treba napomenuti tri tačke:

a) oblik "neophodan i dovoljan" koji se koristi u matematičkim iskazima odgovara vezivu "ako i samo tada" (ekvivalencija);

b) veznik „kako bi se…( A), potrebno je da...( B)” se ostvaruje direktnom implikacijom A B. (Da bi kvadratna jednadžba imala rješenje, diskriminanta mora biti nenegativna);

c) dovoljan uslov se ostvaruje inverznom implikacijom B ® A i može se izraziti na ruskom, na primjer, ovako: „da bi se... (A), dovoljno je da... (B).”

U srednjoj školi (od 10. do 11. razreda) korisno je da učenici razviju sposobnost da konstruišu negaciju iskaza na ruskom jeziku. Ova vještina je neophodna, na primjer, za dokazivanje teorema korištenjem metode „preko kontradikcije“. Konstruisanje negacije čak i za jednostavne iskaze nije uvijek lako. Na primjer, na izjavu Ima crvenih na parkingu“Zhiguli” sljedeće rečenice neće biti negativne:

1) Oni na parkingu nisu crveni “Zhiguli”;

2) Ima jedan bijeli na parkingu “Mercedes”;

3) Crveni“Zhiguli” nisu parkirani.

Negacija ove izjave bi bila "Nema crvenih žigulija na parkingu." Ovo se školarcima može objasniti na sljedeći način: negacija rečenice mora u potpunosti isključiti istinitost izvorne izjave. Ako se na parkingu nalazi bijeli mercedes, onda ništa ne sprječava i crveni Žiguli da parkira.

O algoritmu za konstruisanje negacije složenog iskaza možete pročitati u knjizi “Matematičke osnove računarstva” E. Andreeve, L. Bosove, I. Faline.

Do sada, proučavanje kvantifikatora nije bilo tradicionalno za školske kurseve informatike. Međutim, sada su uključeni u standard specijalizovane škole. Najlakši način je demonstrirati ulogu kvantifikatora u konstruiranju istih negacija iskaza na ruskom, kako matematičkih tako i proizvoljnih. Pravilo za zamjenu općeg kvantifikatora egzistencijalnim kvantifikatorom i obrnuto može se lako opravdati korištenjem De Morganovih zakona (vidi. “Boolean izrazi”).

6 Od latinskih riječi idem- isto i potens- jaka; bukvalno ekvivalentno.

7 Ova definicija se lako proširuje na slučaj n izjave ( n > 2, n- prirodni broj).

8 Ova se definicija, kao i prethodna, odnosi na slučaj n izjave ( n > 2, n- prirodni broj).

9 Uspenski V.A., Vereščagin N.K., Plisko V.E. Uvodni kurs matematičke logike. M.: Fizmatlit, 2002.

Logika i argumentacija: Udžbenik. priručnik za univerzitete. Ruzavin Georgij Ivanovič

4.2. Kvantifikatori

4.2. Kvantifikatori

Značajna razlika između predikatske i propozicionalne logike je i to što prva uvodi kvantitativnu karakteristiku iskaza ili, kako se kaže u logici, kvantificira ih. Već u tradicionalnoj logici sudovi su klasifikovani ne samo po kvalitetu, već i po kvantitetu, tj. opšti sudovi su se razlikovali od pojedinačnih i pojedinačnih. Ali nije bilo teorije o povezanosti između njih. Moderna logika razmatra kvantitativne karakteristike iskaza u posebnoj teoriji kvantifikacije, koja je sastavni dio predikatskog računa.

Za kvantifikaciju (kvantitativne karakteristike) iskaza, ova teorija uvodi dva glavna kvantifikatora: opšti kvantifikator, koji ćemo označiti simbolom (x), i egzistencijalni kvantifikator, označen simbolom (Ex). Postavljaju se neposredno ispred iskaza ili formula na koje se odnose. U slučaju kada kvantifikatori imaju širi opseg, zagrade se stavljaju ispred odgovarajuće formule.

Opšti kvantifikator pokazuje da predikat označen određenim simbolom pripada svim objektima date klase ili univerzuma rasuđivanja.

Dakle, propozicija: “Sva materijalna tijela imaju masu” može se prevesti na simbolički jezik na sljedeći način:

gdje x - označava materijalno tijelo:

M - masa;

(x) je opšti kvantifikator.

Slično, izjava o postojanju ekstrasenzornih fenomena može se izraziti kroz kvantifikator postojanja:

gdje x označava fenomene:

E - svojstvo ekstrasenzorne percepcije svojstveno takvim pojavama;

(Ex) je egzistencijalni kvantifikator.

Koristeći kvantifikator općenitosti, možete izraziti empirijske i teorijske zakone, generalizacije o povezanosti fenomena, univerzalne hipoteze i druge opšte tvrdnje. Na primjer, zakon toplinskog širenja tijela može se simbolički predstaviti kao formula:

(x) (T(x) ? P(x)),

gdje je (x) opći kvantifikator;

T(x) - tjelesna temperatura;

P(x) je njegova ekstenzija;

Znak implikacije.

Egzistencijalni kvantifikator se odnosi samo na određeni dio objekata iz datog univerzuma rasuđivanja. Stoga se, na primjer, koristi za simbolično pisanje statističkih zakona koji navode da se osobina ili relacija primjenjuje samo za karakterizaciju određenog dijela objekata koji se proučavaju.

Uvođenje kvantifikatora omogućava, prije svega, transformaciju predikata u određene iskaze. Sami predikati nisu ni istiniti ni lažni. Oni postaju takvi ako se konkretnim iskazima ili zamjene varijable, ili, ako su povezani kvantifikatorima, budu kvantificirani. Na osnovu toga uvodi se podjela varijabli na vezane i slobodne.

Varijable koje potpadaju pod utjecaj znakova kvantifikatora općenitosti ili postojanja nazivaju se vezane. Na primjer, formule (x) A (x) i (x) (P (x) ? Q (x)) sadrže varijablu x. U prvoj formuli, opšti kvantifikator stoji neposredno ispred predikata A(x), u drugoj, kvantifikator proširuje svoju akciju na varijable uključene u prethodni i naredni termin implikacije. Slično tome, egzistencijalni kvantifikator se može odnositi i na poseban predikat i na njihovu kombinaciju, formiranu pomoću logičkih operacija negacije, konjunkcije, disjunkcije itd.

Slobodna varijabla ne podliježe kvantifikatorskim znacima, tako da karakterizira predikat ili propozicionu funkciju, a ne iskaz.

Koristeći kombinaciju kvantifikatora, moguće je izraziti prilično složene rečenice prirodnog jezika simboličkim jezikom logike. U ovom slučaju, iskazi u kojima se govori o postojanju objekata koji zadovoljavaju određeni uslov uvode se pomoću kvantifikatora postojanja. Na primjer, izjava o postojanju radioaktivnih elemenata piše se pomoću formule:

gdje R označava svojstvo radioaktivnosti.

Izjava da postoji opasnost da pušač dobije rak može se izraziti na sljedeći način: (Ex) (K(x) ? P(x)), gdje K označava svojstvo “biti pušač”, a P - “ dobijanje raka”. Uz određene rezerve, ista stvar bi se mogla izraziti” pomoću opšteg kvantifikatora: (x) (K(x) ? P(x)). Ali izjava da svako ko puši može dobiti rak bila bi netačna, pa je zato najbolje pisati koristeći kvantifikator postojanja, a ne kvantifikator općenitosti.

Opšti kvantifikator se koristi za izjave koje navode da je određeni predikat A zadovoljen bilo kojim objektom u njegovom rasponu vrijednosti. U nauci, kao što je već spomenuto, opći kvantifikator se koristi za izražavanje iskaza univerzalne prirode, koji se verbalno predstavljaju pomoću fraza kao što su „za svakoga“, „svakog“, „bilo koji“, „bilo koji“ itd. Negirajući kvantifikator općenitosti, mogu se izraziti općenito negativne izjave, koje se u prirodnom jeziku uvode riječima „nitko“, „nitko“, „nitko“ itd.

Naravno, pri prevođenju iskaza prirodnog jezika u simbolički jezik nailazi se na određene poteškoće, ali se postiže potrebna tačnost i nedvosmisleno izražavanje misli. Međutim, ne može se misliti da je formalni jezik bogatiji od prirodnog jezika, u kojem nije izraženo samo značenje, već i njegove različite nijanse. Stoga možemo govoriti samo o preciznijem prikazu izraza prirodnog jezika kao univerzalnog sredstva izražavanja misli i njihove razmjene u procesu komunikacije.

Najčešće se kvantifikatori općenitosti i postojanja pojavljuju zajedno. Na primjer, da bismo simbolički izrazili izjavu: “Za svaki realan broj x, postoji broj y takav da će x biti manji od y”, predikat “biti manji” označavamo simbolom<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Iz same definicije kvantifikatora općenitosti i postojanja odmah proizilazi da između njih postoji određena veza, koja se obično izražava korištenjem sljedećih zakona.

1. Zakoni permutacije kvantifikatora:

(x) (y) A ~ (y) (x) A;

(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;

2. Zakoni negacije kvantifikatora:

¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;

¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;

3. Zakoni međusobne izražajnosti kvantifikatora:

(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;

(Ex) A ~ ¬ (x) ¬ A.

Ovdje A označava bilo koju formulu objektnog (subjektnog) jezika. Značenje negacije kvantifikatora je očigledno: ako nije tačno da za bilo koje x A važi, onda postoji x za koje A ne važi. Iz toga također slijedi da ako bilo koji x ima A, onda ne postoji x koji nema-A, što je simbolički predstavljeno u prvom zakonu međusobnog izražavanja.

Pogledajmo nekoliko rečenica sa varijablom:

- « - jednostavan prirodan broj"; raspon dozvoljenih vrijednosti ovog predikata je skup prirodnih brojeva;

- « - parni cijeli broj”; raspon dozvoljenih vrijednosti ovog predikata je skup cijelih brojeva;

- «
- jednakostraničan";

- «
»

- „student dobio ocjenu »

- « je djeljiv sa 3"

Definicija. Ako se rečenica s varijablama, uz bilo kakvu zamjenu varijabli s dopuštenim vrijednostima, pretvori u iskaz, onda se takva rečenica naziva predikat.

,
,
,
- predikati iz jedne varijable (predikati jednog mjesta). Predikati iz dvije varijable:
,
- predikati sa dva mjesta. Propozicije su predikati nultog mjesta.

Opšti kvantifikator.

Definicija. Simbol se naziva opšti kvantifikator.

čitaj: za bilo koga , za svaki , za sve .

Neka
- unarni predikat.

čitaj: za bilo koga
- istinito.

Primjer.

- "Svi prirodni brojevi su prosti" - Netačna izjava.

- “Svi cijeli brojevi su parni” - Netačna izjava.

- „Svi učenici su dobili ocjenu " je predikat na jednom mjestu. Stavili smo kvantifikator na predikat od dva mjesta i dobili smo predikat na jednom mjestu. Isto tako
-n-aran predikat, dakle

- (n-1)-lokalni predikat.

- (n-2)-predikat mjesta.

U ruskom jeziku, opšti kvantifikator je izostavljen.

Kvantifikator postojanja.

Definicija. Simbol nazvan kvantifikator postojanja.

pročitaj: postoji , Tu je , tamo će biti .

Izraz
, Gdje
- jednomjesni predikat, čitaj: postoji , za koji
istinito.

Primjer.

- "postoje prosti prirodni brojevi." (i)

- "postoje parni cijeli brojevi." (I).

- “postoji učenik koji je dobio ocjenu " je predikat na jednom mjestu.

Ako dodamo 1 kvantifikator n-arnom predikatu, dobićemo (n-1)-arni predikat; ako dodamo n kvantifikatora, dobićemo predikat nulte pozicije, tj. izjava.

Ako dodijelimo kvantifikatore istog tipa, onda redosljed kojim su kvantifikatori dodijeljeni nije bitan. A ako su predikatu dodijeljeni različiti kvantifikatori, tada se redoslijed u kojem su kvantifikatori dodijelili ne može promijeniti.

Konstrukcija negacije iskaza koji sadrže kvantifikatore. De Morganovi zakoni.

De Morganov zakon.

Kada se konstruiše negacija iskaza koji sadrži opšti kvantifikator, ovaj opšti kvantifikator se zamenjuje kvantifikatorom postojanja, a predikat se zamenjuje njegovom negacijom.

De Morganov zakon.

Prilikom konstruiranja negacije iskaza koji sadrže egzistencijalni kvantifikator, potrebno je egzistencijalni kvantifikator zamijeniti općim kvantifikatorom, a predikat
- njegovo poricanje. Negacija iskaza koji sadrže nekoliko kvantifikatora konstruisana je na sličan način: opšti kvantifikator je zamenjen kvantifikatorom postojanja, kvantifikator postojanja je zamenjen opštim kvantifikatorom, predikat je zamenjen njegovom negacijom.

P.2. Elementi teorija skupova (intuitivna teorija skupova). Numerički skupovi. Skup realnih brojeva.

Opis seta: Skup riječi se odnosi na kolekciju objekata koji se smatraju jednom cjelinom. Umjesto riječi “set” ponekad kažu “kolekcija”, “klasa”.

Definicija. Objekt uključen u skup naziva se njegovim elementom.

Zapis
znači da je element skupa . Zapis
znači da nije element skupa . Za bilo koji objekt možete reći da li je element skupa ili ne. Napišimo ovu izjavu koristeći logičke simbole: