Koliki je treći ugao u jednakokračnom trouglu? Jednakokraki trougao. Detaljna teorija sa primjerima. Poluprečnik upisane kružnice u jednakokraki trokut

Među svim trouglovima postoje dva posebna tipa: pravougli trouglovi i jednakokraki trouglovi. Zašto su ove vrste trouglova tako posebne? Pa, prvo, takvi se trokuti vrlo često ispostavljaju kao glavni likovi u problemima Jedinstvenog državnog ispita u prvom dijelu. I drugo, probleme o pravokutnim i jednakokračnim trouglovima je mnogo lakše riješiti nego druge geometrijske probleme. Samo trebate znati nekoliko pravila i svojstava. O svim najzanimljivijim stvarima raspravlja se u odgovarajućoj temi, ali sada pogledajmo jednakokračne trokute. I prije svega, šta je jednakokraki trougao? Ili, kako kažu matematičari, koja je definicija jednakokračnog trougla?

Pogledajte kako to izgleda:

Kao i pravougli trokut, jednakokraki trokut ima posebne nazive za svoje stranice. Zovu se dvije jednake strane strane, a treća strana - osnovu.

I opet obratite pažnju na sliku:

Moglo bi, naravno, ovako:

Zato budite oprezni: bočna strana - jedna od dvije jednake strane u jednakokračnom trouglu, i osnova je treća strana.

Zašto je jednakokraki trougao tako dobar? Da bismo ovo razumjeli, nacrtajmo visinu do baze. Sjećate li se koja je visina?

Šta se desilo? Iz jednog jednakokrakog trougla dobijamo dva pravougaona.

Ovo je već dobro, ali to će se dogoditi u bilo kojem, čak i "najkosijem" trouglu.

Kako se slika razlikuje za jednakokraki trougao? pogledaj ponovo:

Pa, prvo, naravno, ovim čudnim matematičarima nije dovoljno da samo vide – oni svakako moraju dokazati. Inače, odjednom se ovi trouglovi malo razlikuju, ali ćemo ih smatrati istim.

Ali ne brini: u ovom slučaju dokazivanje je gotovo jednako lako kao i vidjeti.

Hoćemo li početi? Pogledajte pažljivo, imamo:

A to znači! Zašto? Da, jednostavno ćemo pronaći i, i iz Pitagorine teoreme (sećajući se istovremeno da)

Jesi li siguran? Pa, sada imamo

I na tri strane - najlakši (treći) znak jednakosti trokuta.

Pa, naš jednakokraki trokut se podijelio na dva identična pravokutna.

Vidite kako je zanimljivo? Ispostavilo se da:

Kako matematičari obično govore o tome? Idemo redom:

(Zapamtite da je medijana prava povučena iz vrha koji deli stranu na pola, a simetrala je ugao.)

Pa, ovdje smo raspravljali o tome koje dobre stvari se mogu vidjeti ako se dobije jednakokraki trougao. Zaključili smo da su u jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi jednaki, a visina, simetrala i medijana povučeni bazi poklapaju.

I sada se postavlja drugo pitanje: kako prepoznati jednakokraki trokut? To je, kako matematičari kažu, šta su znakovi jednakokračnog trougla?

I ispostavilo se da samo trebate sve izjave "okrenuti" naopako. To se, naravno, ne dešava uvek, ali jednakokraki trougao je i dalje odlična stvar! Šta se dešava nakon "promet"?

pa pogledaj:
Ako se visina i medijan poklapaju, tada:

Ako se visina i simetrala poklapaju, tada:

Ako se simetrala i medijan poklapaju, tada:

Pa, ne zaboravite i koristite:

Ako vam je dat jednakokraki trougao, slobodno nacrtajte visinu, dobijete dva pravougaona trougla i riješite problem o pravokutnom trokutu.
Ako se to da dva ugla su jednaka, zatim trougao upravo jednakokračan i možete nacrtati visinu i….(Kuća koju je Jack sagradio…).
Ako se ispostavi da je visina podijeljena na pola, onda je trokut jednakokračan sa svim dodatnim bonusima.
Ako se ispostavi da visina dijeli ugao između katova - također je jednakokračan!
Ako simetrala dijeli stranu na pola ili medijana dijeli ugao, to se također događa samo u jednakokračnom trouglu

Pogledajmo kako to izgleda u zadacima.

Problem 1(najjednostavniji)

U trouglu su stranice i jednake, a. Nađi.

Odlučujemo:

Prvo crtež.

Šta je ovde osnova? Svakako, .

Prisjetimo se šta ako, onda i.

Ažurirani crtež:

Označimo sa. Koliki je zbir uglova trougla? ?

Koristimo:

To je odgovor: .

Nije teško, zar ne? Nisam ni morao da podešavam visinu.

Problem 2(Također nije teško, ali moramo ponoviti temu)

U trouglu, . Nađi.

Odlučujemo:

Trougao je jednakokraki! Crtamo visinu (ovo je trik kojim će se sada sve odlučiti).

Ajde sad da "precrtamo iz života", pogledajmo ga.

Dakle, imamo:

Prisjetimo se tabličnih vrijednosti kosinusa (pa, ili pogledajte varalicu...)

Ostaje samo pronaći: .

odgovor: .

Imajte na umu da smo ovdje Veoma potrebno znanje o pravokutnim trokutima i „tabelarnim“ sinusima i kosinusima. Vrlo često se to dešava: teme , “jednakokraki trougao” i u problemima idu zajedno, ali nisu baš prijateljski nastrojeni prema drugim temama.

Jednakokraki trougao. Prosječan nivo.

Ove dvije jednake strane su pozvani strane, A treća stranica je osnova jednakokračnog trougla.

Pogledajte sliku: i - stranice, - osnova jednakokračnog trougla.

Koristimo jednu sliku da shvatimo zašto se to dešava. Nacrtajmo visinu iz tačke.

To znači da su svi odgovarajući elementi jednaki.

Sve! Jednim zamahom (visina) dokazali su sve tvrdnje odjednom.

I zapamtite: da biste riješili problem o jednakokračnom trokutu, često je vrlo korisno spustiti visinu do osnove jednakokračnog trougla i podijeliti ga na dva jednaka pravokutna trougla.

Znakovi jednakokračnog trougla

Tačne su i suprotne tvrdnje:

Gotovo sve ove izjave se opet mogu dokazati “jednom potezom”.

1. Dakle, ispostavilo se da je ulazak jednak i.

Hajde da proverimo visinu. Onda

2. a) Neka sada unesemo neki trougao visina i simetrala se poklapaju.

2. b) I ako se visina i medijan poklapaju? Sve je skoro isto, ništa komplikovanije!

- sa dve strane

2. c) Ali ako nema visine, koji je spušten na osnovu jednakokračnog trougla, tada nema inicijalno pravokutnih trokuta. Loše!

Ali postoji izlaz - pročitajte ga na sljedećem nivou teorije, jer je dokaz ovdje složeniji, ali za sada samo zapamtite da ako se medijana i simetrala poklapaju, tada će se i trokut pokazati jednakokrakim, a visina će se i dalje poklapati sa ovim simetralama i medijanom.

Hajde da rezimiramo:

Ako je trokut jednakokračan, tada su uglovi u osnovi jednaki, a visina, simetrala i medijan povučeni prema osnovici se poklapaju.
Ako u nekom trokutu postoje dva jednaka ugla ili se neke dvije od tri prave (simetrala, medijana, visina) poklapaju, onda je takav trokut jednakokrak.

Jednakokraki trougao. Kratak opis i osnovne formule

Jednakokraki trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice.

Znakovi jednakokračnog trougla:

Ako su u određenom trokutu dva ugla jednaka, onda je on jednakokraki.
Ako se u nekom trouglu poklapaju:
A) visina i simetrala ili
b) visina i medijan ili
V) medijana i simetrala,
povučen na jednu stranu, onda je takav trokut jednakokračan.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristup za sve zadatke i svakoga skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Geometrija nije samo predmet u školi za koji treba da dobijete odličnu ocjenu. Ovo je takođe znanje koje je često potrebno u životu. Na primjer, kada se gradi kuća s visokim krovom, potrebno je izračunati debljinu trupaca i njihov broj. To nije teško ako znate kako pronaći visinu u jednakokračnom trokutu. Arhitektonske strukture su zasnovane na poznavanju svojstava geometrijski oblici. Oblici zgrada često im vizualno podsjećaju. Egipatske piramide, vrećice za mlijeko, umjetnički vez, sjeverne slike, pa čak i pite - sve su to trouglovi koji okružuju osobu. Kao što je rekao Platon, cijeli svijet je zasnovan na trouglovima.

Jednakokraki trougao

Trokut je jednakokraki ako ima dvije jednake stranice. Uvek se nazivaju bočnim. Strana čije se dimenzije razlikuju naziva se baza.

Osnovni koncepti

Kao i svaka nauka, geometrija ima svoja osnovna pravila i koncepte. Ima ih dosta. Razmotrimo samo one bez kojih će naša tema biti pomalo nerazumljiva.

Visina je prava linija povučena okomito na suprotnu stranu.

Medijan je odsječak usmjeren od bilo kojeg vrha trougla isključivo do sredine suprotne strane.

Simetrala ugla je zraka koja deli ugao na pola.

Simetrala trougla je prava linija, odnosno segment koji povezuje vrh sa suprotnom stranom.

Vrlo je važno zapamtiti da je simetrala ugla nužno zraka, a simetrala trougla je dio takvog zraka.

Uglovi na bazi

Teorema kaže da su uglovi u osnovi bilo kojeg jednakokračnog trougla uvijek jednaki. Dokazivanje ove teoreme je vrlo jednostavno. Razmotrite ilustrovane jednakokrake trougao ABC, za koji je AB = BC. Iz ugla ABC potrebno je povući simetralu VD. Sada bismo trebali razmotriti dva rezultujuća trougla. Prema uslovu AB = BC, stranica WD trouglova je zajednička, a uglovi AVD i SVD su jednaki, jer je WD simetrala. Sjećajući se prvog znaka jednakosti, možemo sa sigurnošću zaključiti da su trouglovi u pitanju jednaki. Dakle, svi odgovarajući uglovi su jednaki. I, naravno, strane, ali na ovo ćemo se vratiti kasnije.

Visina jednakokračnog trougla

Glavna teorema na kojoj se zasniva rješenje gotovo svih problema je sljedeća: visina u jednakokračnom trouglu je simetrala i medijana. Da biste razumjeli njegovo praktično značenje (ili suštinu), trebali biste napraviti pomoćni priručnik. Da biste to učinili, morate izrezati jednakokraki trokut iz papira. Najlakši način da to uradite je iz običnog lista sveske u kutiji.

Savijte rezultirajući trokut na pola, poravnavajući stranice. Šta se desilo? Dva jednaka trougla. Sada biste trebali provjeriti svoja nagađanja. Rasklopite rezultirajući origami. Nacrtajte liniju pregiba. Pomoću kutomjera provjerite ugao između nacrtane linije i osnove trokuta. Šta znači ugao od 90 stepeni? Da je nacrtana linija okomita. Po definiciji - visina. Shvatili smo kako pronaći visinu u jednakokračnom trouglu. Sada se pozabavimo uglovima vrhova. Koristeći isti kutomjer, provjerite uglove formirane sadašnjom visinom. Oni su jednaki. To znači da je i visina simetrala. Naoružani ravnalom, izmjerite segmente na koje je podijeljena visina baze. Oni su jednaki. Prema tome, visina u jednakokračnom trouglu deli bazu i predstavlja medijan.

Dokaz teoreme

Vizuelna pomoć jasno pokazuje istinitost teoreme. Ali geometrija je prilično precizna nauka, pa joj je potreban dokaz.

Dok se razmatra jednakost uglova u osnovici, dokazana je jednakost trouglova. Podsjetimo da je WD simetrala, a trouglovi AVD i SVD su jednaki. Zaključak je bio sljedeći: odgovarajuće stranice trokuta i, prirodno, uglovi su jednaki. Dakle, BP = DM. Dakle, VD je medijan. Ostaje dokazati da je VD visina. Na osnovu jednakosti trouglova koji se razmatraju, ispada da je ugao ADV jednak uglu DDV. Ali ova dva ugla su susedna i, kao što znate, zbir do 180 stepeni. Dakle, čemu su oni jednaki? Naravno, 90 stepeni. Dakle, VD je visina u jednakokračnom trokutu povučenom do baze. Q.E.D.

Glavne karakteristike

Da biste uspješno riješili probleme, trebali biste zapamtiti glavne karakteristike jednakokračnih trokuta. One su, takoreći, inverzne od teorema.
Ako se prilikom rješavanja zadatka nađe da su dva ugla jednaka, onda imate posla s jednakokračnim trouglom.
Ako možete dokazati da je medijana ujedno i visina trokuta, slobodno zaključite da je trokut jednakokračan.
Ako je i simetrala visina, onda se, na osnovu glavnih karakteristika, trokut klasificira kao jednakokračan.
I, naravno, ako medijana također djeluje kao visina, onda je takav trokut jednakokračan.

Formula visine 1

Međutim, većina problema zahtijeva pronalaženje aritmetičke vrijednosti visine. Zato ćemo razmotriti kako pronaći visinu u jednakokračnom trouglu.

Vratimo se gore prikazanoj ABC slici, u kojoj su a stranice, b baza. VD je visina ovog trougla, označena je h.

Šta je AED trougao? Pošto je VD visina, trougao ABC je pravougaoni trougao, čiji krak se mora naći. Koristeći Pitagorinu formulu, dobijamo:

AB² = AD² + VD²

Određivanjem VD iz izraza i zamjenom prethodno prihvaćenih notacija dobijamo:

N² = a² - (v/2)².

Morate izdvojiti korijen:

N = √a² - v²/4.

Ako uklonite ¼ ispod znaka korijena, formula će izgledati ovako:

H = ½ √4a² - b².

Ovako se nalazi visina u jednakokračnom trouglu. Formula slijedi iz Pitagorine teoreme. Čak i ako zaboravite ovu simboličku notaciju, onda, znajući metodu pronalaženja, uvijek je možete izvesti.

Formula visine 2

Gore opisana formula je osnovna i najčešće se koristi pri rješavanju većine geometrijskih problema. Ali ona nije jedina. Ponekad uslov, umjesto osnove, daje vrijednost ugla. S obzirom na takve podatke, kako pronaći visinu u jednakokračnom trokutu? Za rješavanje takvih problema preporučljivo je koristiti drugu formulu:

gdje je H visina usmjerena prema bazi,

sa strane,

α - ugao na bazi.

Ako je problemu data vrijednost ugla vrha, tada se visina u jednakokračnom trokutu nalazi na sljedeći način:

N = a/cos (β/2),

gdje je H visina spuštena na bazu,

β - ugao vrha,

sa strane.

Pravokraki trougao

Trougao čiji je vrh 90 stepeni ima veoma interesantno svojstvo. Uzmite u obzir ABC. Kao iu prethodnim slučajevima, HP je visina usmjerena prema bazi.

Uglovi u osnovi su jednaki. Neće biti teško izračunati ih:

α = (180 - 90)/2.

Dakle, uglovi u osnovi su uvek 45 stepeni. Sada razmotrite trougao ADV. Takođe je pravougaona. Nađimo ugao AVD. Jednostavnim proračunima dobijamo 45 stepeni. I, stoga, ovaj trokut nije samo pravougao, već i jednakokračan. Stranice AD i HP su bočne stranice i jednake su jedna drugoj.

Ali strana AD je u isto vrijeme polovina strane AC. Ispada da je visina u jednakokračnom trokutu jednaka polovini osnovice, a ako je zapišemo u obliku formule, dobićemo sljedeći izraz:

Ne treba to zaboraviti ovu formulu je izuzetno poseban slučaj i može se koristiti samo za pravokutne jednakokračne trokute.

Zlatni trouglovi

Zlatni trougao je veoma zanimljiv. Na ovoj slici, omjer stranice i baze jednak je vrijednosti koja se zove Fidijev broj. Ugao koji se nalazi na vrhu je 36 stepeni, na dnu - 72 stepena. Pitagorejci su se divili ovom trouglu. Principi Zlatnog trokuta čine osnovu mnogih besmrtnih remek-djela. Poznati je izgrađen na presjeku jednakokračnih trouglova. Leonardo da Vinci je koristio princip "zlatnog trougla" za mnoge svoje kreacije. Kompozicija “La Gioconda” zasnovana je upravo na figurama koje stvaraju pravilan petougao u obliku zvijezde.

Slika „Kubizam“, jedna od kreacija Pabla Pikasa, plijeni oko svojim jednakokračnim trouglovima kao osnovom.

Jednakokraki trougao je trougao u kome su dužine dveju strana jednake jedna drugoj.

Bilješka. Iz definicije jednakokračnog trougla slijedi da je i pravilan trokut jednakokračan. Međutim, treba imati na umu da suprotna izjava nije tačna.

Svojstva jednakokračnog trougla

Dolje navedena svojstva koriste se u rješavanju problema. Budući da su nadaleko poznati, podrazumijeva se da im nije potrebno objašnjenje. Stoga je u tekstovima problema izostavljeno pozivanje na njih.

Uglovi jednaka između sebe.
Simetrale, medijane i visine izvučeni iz uglova suprotnih jednakim stranama trokuta, jednaka između sebe.
Simetrala, medijan i visina, odnesen u bazu, match između sebe.
Centri upisanih i opisanih kružnica leže u visini, simetrala i medijana (oni se poklapaju) povučeni do baze.
Uglovi, nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta, uvek ljuto.

Stranice u jednakokračnom trokutu mogu se izračunati pomoću formula koje izražavaju njihovu dužinu u terminima drugih stranica i uglova čija je veličina poznata.

Bočna stranica jednakokračnog trougla jednaka je količniku osnovice podijeljen sa dvostrukim kosinusom ugla u osnovici (Formula 1). Ovaj identitet se može dobiti jednostavnim transformacijama iz kosinusne teoreme.

Osnova jednakokračnog trokuta jednaka je proizvodu bočne stranice i Kvadratni korijen iz dvostruke razlike jedinice i kosinusa ugla na vrhu (Formula 2)

Osnova jednakokračnog trokuta jednaka je dvostrukom umnošku bočne stranice i sinusa polovine ugla vrha. (Formula 3)

Osnova jednakokračnog trougla jednaka je dvostrukom umnošku bočne stranice i kosinusa ugla u njegovoj osnovi (Formula 4).

Poluprečnik upisane kružnice u jednakokraki trokut

Oznake u formulama mogu se vidjeti na gornjoj slici.

Polumjer upisane kružnice za jednakokraki trokut može se naći na osnovu vrijednosti baze i svake strane. (Formula 1)

Polumjer upisane kružnice za jednakokraki trokut može se odrediti na osnovu vrijednosti osnove i visine povučene ovoj osnovici (Formula 2)

Polumjer kružnice upisane u jednakokraki trokut također se može izračunati preko dužine stranice i visine povučene do osnove trokuta (Formula 3)

Poznavanje ugla između stranica i dužine baze također vam omogućava da odredite polumjer upisane kružnice (Formula 4)

Slična formula (5) omogućava vam da odredite polumjer upisane kružnice kroz stranice i kut između njih

Znakovi jednakokračnog trougla

Trokut koji ima sljedeće karakteristike je jednakokraki.

Dva ugla trougla su jednaka
Visina se poklapa sa medijanom
Visina se poklapa sa simetralom
Simetrala se poklapa sa medijanom
Dvije visine su jednake
Dva medijana su jednaka
Dvije simetrale su jednake

Površina jednakokračnog trougla

Površina jednakokračnog trokuta nalazi se pomoću sljedećih formula:

,
Gdje
a- dužina jedne od dvije jednake stranice trougla
b- dužina osnove
α - veličina jednog od dva jednaka ugla u osnovi

β - veličina ugla između jednake strane trougla i njegove osnove nasuprot.

Trougao u kojem su dvije stranice jednake jedna drugoj naziva se jednakokraki. Ove strane se nazivaju bočne, a treća strana se naziva baza. U ovom članku ćemo vam reći o svojstvima jednakokračnog trokuta.

Teorema 1

Uglovi blizu osnove jednakokračnog trougla su međusobno jednaki

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo jednakokraki trougao ABC čija je osnova AB. Pogledajmo trougao BAC. Ovi trouglovi su po prvom znaku jednaki jedan drugom. Ovo je tačno, jer BC = AC, AC = BC, ugao ACB = ugao ACB. Iz toga slijedi da je ugao BAC = ugao ABC, jer su to odgovarajući uglovi naših jednakih trouglova. Evo svojstva uglova jednakokračnog trougla.

Teorema 2

Medijan u jednakokračnom trokutu, koji je povučen prema njegovoj osnovi, je također visina i simetrala

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo jednakokraki trougao ABC, čija je osnova AB, a CD je medijana koju smo povukli do njegove baze. U trouglovima ACD i BCD, ugao CAD = ugao CBD, kao odgovarajući uglovi u osnovi jednakokračnog trougla (Teorema 1). I stranica AC = stranica BC (po definiciji jednakokračnog trougla). Strana AD = stranica BD, jer tačka D dijeli segment AB na jednake dijelove. Iz toga slijedi da je trougao ACD = trougao BCD.

Iz jednakosti ovih trouglova imamo jednakost odgovarajućih uglova. To jest, ugao ACD = ugao BCD i ugao ADC = ugao BDC. Iz jednakosti 1 slijedi da je CD simetrala. A ugao ADC i ugao BDC su susjedni uglovi, a iz jednakosti 2 slijedi da su oba pravi uglovi. Ispostavilo se da je CD visina trougla. Ovo je svojstvo medijane jednakokračnog trougla.

A sada malo o znakovima jednakokračnog trougla.

Teorema 3

Ako su dva ugla u trokutu jednaka jedan drugom, onda je trougao jednakokračan

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo trougao ABC u kojem je ugao CAB = ugao CBA. Trougao ABC = trougao BAC prema drugom kriterijumu jednakosti trouglova. To je tačno, jer AB = BA; ugao CBA = ugao CAB, ugao CAB = ugao CBA. Iz ove jednakosti trouglova imamo jednakost odgovarajućih stranica trougla - AC = BC. Tada se ispostavlja da je trougao ABC jednakokrak.

Teorema 4

Ako je u bilo kojem trokutu njegova medijana i visina, onda je takav trokut jednakokračan

Dokaz teoreme.

U trouglu ABC nacrtaćemo medijanu CD. To će također biti visina. Pravougli trokut ACD = pravougaonog trougla BCD, pošto im je noga CD zajednička, a noga AD = noga BD. Iz ovoga slijedi da su njihove hipotenuze jednake jedna drugoj, kao odgovarajući dijelovi jednakih trouglova. To znači da je AB = BC.

Teorema 5

Ako su tri strane trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su ti trokuti podudarni

Dokaz teoreme.

Pretpostavimo da imamo trougao ABC i trougao A1B1C1 takve da su stranice AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Razmotrimo dokaz ove teoreme kontradiktorno.

Pretpostavimo da ovi trouglovi nisu jednaki jedan drugom. Odavde imamo da ugao BAC nije jednak uglu B1A1C1, ugao ABC nije jednak uglu A1B1C1, ugao ACB istovremeno nije jednak uglu A1C1B1. U suprotnom, ovi trouglovi bi bili jednaki prema gore navedenim kriterijumima.

Pretpostavimo da je trougao A1B1C2 = trougao ABC. U trouglu, vrh C2 leži sa vrhom C1 u odnosu na pravu A1B1 u istoj poluravni. Pretpostavili smo da se vrhovi C2 i C1 ne poklapaju. Pretpostavimo da je tačka D sredina segmenta C1C2. Dakle, imamo jednakokračne trouglove B1C1C2 i A1C1C2, koji imaju zajedničko tlo C1C2. Ispostavilo se da su njihove medijane B1D i A1D ujedno i njihove visine. To znači da su prava linija B1D i prava A1D okomite na pravu liniju C1C2.

B1D i A1D imaju različite tačke B1 i A1, te se prema tome ne mogu podudarati. Ali kroz tačku D prave C1C2 možemo povući samo jednu pravu okomitu na nju. Imamo kontradikciju.

Sada znate koja su svojstva jednakokračnog trougla!