Vremenske serije, multivarijantne statističke metode i metode teorije katastrofa. Ciljevi, faze i metode analize vremenskih serija Grafovi vremenskih serija
Uvod
Ovo poglavlje ispituje problem opisivanja poređanih podataka dobijenih sekvencijalno (tokom vremena). Uopšteno govoreći, uređenje se može pojaviti ne samo u vremenu, već iu prostoru, na primjer, prečnik niti kao funkcija njegove dužine (jednodimenzionalni slučaj), vrijednost temperature zraka kao funkcija prostornih koordinata (tri -dimenzionalni slučaj).
Za razliku od regresiona analiza, gdje redoslijed redova u matrici promatranja može biti proizvoljan, redoslijed je važan u vremenskim serijama, pa je stoga interesantan odnos između vrijednosti u različitim vremenskim točkama.
Ako su vrijednosti niza poznate u pojedinim vremenskim trenucima, onda se takav niz naziva diskretno, Za razliku od kontinuirano, čije su vrijednosti poznate u svakom trenutku. Nazovimo interval između dva uzastopna momenta vremena takt (korak). Ovdje ćemo razmatrati uglavnom diskretne vremenske serije sa fiksnom dužinom takta, uzete kao jedinica za brojanje. Imajte na umu da su vremenske serije ekonomskih indikatora, po pravilu, diskretne.
Vrijednosti serije mogu biti direktno merljivi(cijena, isplativost, temperatura), ili agregirano (kumulativno), na primjer, izlazni volumen; udaljenost koju prevoze terete tokom vremenskog koraka.
Ako su vrijednosti niza određene determinističkom matematičkom funkcijom, tada se serija naziva deterministički. Ako se ove vrijednosti mogu opisati samo pomoću vjerojatnosnih modela, tada se naziva vremenska serija nasumično .
Pojava koja se javlja tokom vremena naziva se proces, stoga možemo govoriti o determinističkim ili slučajnim procesima. U potonjem slučaju, termin se često koristi "stohastički proces". Analizirani segment vremenske serije može se posmatrati kao posebna implementacija (uzorak) stohastičkog procesa koji se proučava, generisana skrivenim probabilističkim mehanizmom.
Vremenske serije nastaju u mnogim predmetnim oblastima i imaju različite prirode. Predložene su različite metode za njihovo proučavanje, što teoriju vremenskih serija čini veoma opsežnom disciplinom. Dakle, u zavisnosti od vrste vremenske serije, mogu se razlikovati sledeći delovi teorije analize vremenskih serija:
– stacionarni slučajni procesi koji opisuju nizove slučajnih varijabli čija se vjerovatnoća svojstva ne mijenjaju tokom vremena. Slični procesi su rasprostranjeni u radiotehnici, meteorologiji, seizmologiji itd.
– procesi difuzije koji se odvijaju pri međusobnom prodiranju tečnosti i gasova.
– tačkasti procesi koji opisuju slijed događaja, kao što su prijem zahtjeva za uslugom, prirodne katastrofe i katastrofe izazvane čovjekom. Slični procesi se proučavaju u teoriji čekanja.
Ograničićemo se na razmatranje primenjenih aspekata analize vremenskih serija, koji su korisni u rešavanju praktičnih problema u ekonomiji i finansijama. Glavni naglasak će biti na metodama selekcije matematički model da opiše vremensku seriju i predvidi njeno ponašanje.
1.Ciljevi, metode i faze analize vremenskih serija
Praktično proučavanje vremenske serije uključuje identifikaciju svojstava serije i izvođenje zaključaka o vjerovatnostnom mehanizmu koji generiše ovu seriju. Glavni ciljevi proučavanja vremenskih serija su sljedeći:
– opis karakteristika serije u sažetom obliku;
– konstrukcija modela vremenske serije;
– predviđanje budućih vrijednosti na osnovu prošlih zapažanja;
– kontrola procesa koji generiše vremensku seriju uzorkovanjem signala koji upozoravaju na predstojeće štetne događaje.
Postizanje postavljenih ciljeva nije uvijek moguće, kako zbog nedostatka početnih podataka (nedovoljno trajanje posmatranja), tako i zbog varijabilnosti statističke strukture serije tokom vremena.
Navedeni ciljevi u velikoj mjeri diktiraju slijed faza analize vremenskih serija:
1) grafički prikaz i opis ponašanja serije;
2) identifikaciju i isključivanje regularnih, neslučajnih komponenti serije koje zavise od vremena;
3) proučavanje slučajne komponente vremenske serije preostale nakon uklanjanja regularne komponente;
4) konstrukcija (izbor) matematičkog modela za opisivanje slučajne komponente i provera njene adekvatnosti;
5) predviđanje budućih vrijednosti serije.
Prilikom analize vremenskih serija koriste se različite metode od kojih su najčešće:
1) korelacionom analizom koja se koristi za identifikaciju karakterističnih karakteristika serije (periodičnosti, trendovi, itd.);
2) spektralnu analizu, koja omogućava pronalaženje periodičnih komponenti vremenske serije;
3) metode izglađivanja i filtriranja dizajnirane da transformišu vremenske serije radi uklanjanja visokofrekventnih i sezonskih fluktuacija;
5) metode predviđanja.
2. Strukturne komponente vremenske serije
Kao što je već napomenuto, u modelu vremenske serije uobičajeno je razlikovati dvije glavne komponente: determinističku i slučajnu (sl.). Deterministička komponenta vremenske serije podrazumijeva se kao numerički niz čiji se elementi izračunavaju pomoću određeno pravilo kao funkcija vremena t. Isključivanjem determinističke komponente iz podataka dobijamo niz koji osciluje oko nule, koji u jednom ekstremnom slučaju može predstavljati čisto slučajne skokove, au drugom glatko oscilatorno kretanje. U većini slučajeva biće nešto između: neke nepravilnosti i nekog sistematskog efekta zbog zavisnosti uzastopnih članova serije.
Zauzvrat, deterministička komponenta može sadržavati sljedeće strukturne komponente:
1) trend g, koji predstavlja glatku promjenu procesa tokom vremena i uzrokovan je djelovanjem dugoročnih faktora. Kao primjer takvih faktora u ekonomiji možemo navesti: a) promjene u demografskim karakteristikama stanovništva (broj, starosna struktura); b) tehnološke i ekonomski razvoj; c) rast potrošnje.
2) sezonski efekat s , povezan sa prisustvom faktora koji deluju ciklički sa unapred određenom učestalošću. Serija u ovom slučaju ima hijerarhijsku vremensku skalu (na primjer, unutar godine postoje godišnja doba povezana sa godišnjim dobima, kvartalima, mjesecima) i slični efekti se dešavaju u istim tačkama serije.
Rice. Strukturne komponente vremenske serije.
Tipični primjeri sezonskog efekta: promjene u gužvi na autoputu tokom dana, po danima u sedmici, po dobu godine, vrhunac prodaje robe za školarce krajem avgusta - početkom septembra. Sezonska komponenta se može mijenjati tokom vremena ili biti plutajuće prirode. Dakle, na grafikonu obima saobraćaja aviona (vidi sliku) može se vidjeti da lokalni vrhovi koji se javljaju za vrijeme Uskršnjih praznika „plutaju“ zbog varijabilnosti njegovog vremena.
Ciklična komponenta c, koji opisuje duge periode relativnog uspona i pada i sastoji se od ciklusa promjenjivog trajanja i amplitude. Slična komponenta je vrlo tipična za niz makroekonomskih pokazatelja. Ciklične promjene su ovdje uzrokovane interakcijom ponude i potražnje, kao i nametanjem faktora kao što su iscrpljivanje resursa, vremenski uslovi, promjene u poreska politika itd. Imajte na umu da je cikličnu komponentu izuzetno teško identifikovati formalnim metodama, samo na osnovu podataka serije koja se proučava.
"Eksplozivna" komponenta i, inače intervencija, koja se shvata kao značajan kratkoročni uticaj na vremensku seriju. Primjer intervencije su događaji „crnog utorka“ 1994. godine, kada je kurs dolara rastao za nekoliko desetina posto dnevno.
Slučajna komponenta niza odražava utjecaj brojnih faktora slučajne prirode i može imati raznoliku strukturu, od najjednostavnijih u obliku "bijelog šuma" do vrlo složenih, opisanih modelima autoregresivno-pokretnog prosjeka (više detalja ispod).
Nakon selekcije strukturne komponente potrebno je navesti oblik njihovog pojavljivanja u vremenskoj seriji. Na najvišem nivou reprezentacije, naglašavajući samo determinističke i slučajne komponente, obično se koriste aditivni ili multiplikativni modeli.
Aditivni model ima oblik
multiplikativno -
gdje je vrijednost serije u ovom trenutku t ;
Vrijednost determinističke komponente;
Vrijednost slučajne komponente.
Zauzvrat, deterministička komponenta se može predstaviti kao aditivna kombinacija determinističkih komponenti:
kao multiplikativna kombinacija:
,
ili kao mješovita kombinacija, npr.
3.Modeli komponenti determinističke komponente vremenske serije
3.1. Trend modeli
Trend odražava učinak stalnih dugoročnih faktora i glatke je prirode, tako da se polinomski modeli, linearni u parametrima, široko koriste za opisivanje trenda
gdje su vrijednosti eksponenta k polinom rijetko prelazi 5.
Uz polinomske modele, ekonomski podaci koji opisuju procese rasta često se aproksimiraju sljedećim modelima:
– eksponencijalna
Ovaj model opisuje proces sa konstantnom stopom rasta, tj
– logistika
Za proces opisan logističkom krivom, stopa rasta ispitivane karakteristike opada linearno sa povećanjem y, to je
– Gompertz
.
Ovaj model opisuje proces u kojem je stopa rasta karakteristike koja se proučava proporcionalna njenom logaritmu
.
Posljednja dva modela postavljaju krivulje trenda S-u obliku, koji predstavlja procese sa rastućom stopom rasta u početnoj fazi sa postepenim usporavanjem na kraju.
Prilikom odabira odgovarajućeg funkcionalnog odnosa, ili specifikacije trenda, grafički prikaz vremenske serije je vrlo koristan.
Napomenimo i to da je trend, koji odražava djelovanje dugoročnih faktora, odlučujući pri konstruiranju dugoročnih prognoza.
3.2 Modeli sezonskih komponenti
Sezonski efekat u vremenskoj seriji pojavljuje se na „pozadini” trenda i njegova identifikacija postaje moguća nakon preliminarne procjene trenda. (Metode spektralne analize, koje omogućavaju izolaciju doprinosa sezonske komponente spektru bez izračunavanja drugih komponenti serije, ovdje se ne razmatraju.) Zaista, linearno rastuća serija mjesečnih podataka će imati slične efekte na istim tačkama - najmanju vrijednost u januaru, a najveći u decembru; međutim, ovdje teško da je prikladno govoriti o sezonskom efektu: eliminacijom linearnog trenda dobićemo seriju u kojoj sezonalnost potpuno izostaje. Istovremeno, serijal koji opisuje mjesečni obim prodaje novogodišnjih čestitki, iako će imati istu karakteristiku (minimalna prodaja u januaru i maksimum u decembru), najvjerovatnije će imati oscilatornu prirodu u odnosu na trend, što omogućava ove fluktuacije treba specificirati kao sezonski efekat.
U najjednostavnijem slučaju, sezonski učinak može se manifestirati u obliku strogo periodične ovisnosti.
Za bilo koga t, Gdje t- sezonski period.
Općenito, vrijednosti su razdvojene pomoću t mogu biti povezani funkcionalnom zavisnošću, tj
Na primjer, sam sezonski efekat može sadržavati komponentu trenda, koja odražava promjenu amplitude fluktuacija.
Ako je sezonski efekat aditivni u seriji, onda 
Model sezonskog efekta može se napisati kao
gdje su Boolean, inače indikator, varijable, jedna za svaki ciklus takta unutar perioda t sezonalnost. Dakle, za seriju mjesečnih podataka =0 za sve t , osim januara svake godine, za koji je =1 i tako dalje. Koeficijent pri pokazuje odstupanje januarskih vrijednosti od trenda, - odstupanje februarskih vrijednosti i tako dalje do . Da bi se otklonile nejasnoće u vrijednostima koeficijenata sezonskosti, uvodi se dodatno ograničenje, tzv. uvjet reparametarizacije, obično
U slučaju kada je sezonski efekat multiplikativne prirode, tj
serijski model koji koristi indikatorske varijable može se napisati kao
Koeficijenti u ovom modelu se obično nazivaju sezonskim indeksima.
Za potpuno multiplikativnu seriju
postupak linearizacije se obično izvodi pomoću logaritamske operacije
Složimo se da predstavljene modele sezonskog efekta nazovemo „indikativnim“. Ako je sezonski efekat prilično "glatki" - blizu harmonika - koristite "harmoničnu" reprezentaciju
,
Gdje d- amplituda, w- frekvencijski uslovi (u radijanima po jedinici vremena), a- talasna faza. Zato što je faza obično nepoznata unaprijed. Poslednji izraz se piše kao
Opcije A I IN može se procijeniti koristeći obično regresiju. Ugaona frekvencija w smatra poznatim. Ako je kvalitet uklapanja nezadovoljavajući, zajedno sa harmonikom w osnovni val, model također uključuje prvi harmonik (sa dvostrukom osnovnom frekvencijom 2 w), ako je potrebno, drugi i tako dalje harmonike. U principu, od dva prikaza: indikatorskog i harmoničnog, trebali biste odabrati onaj koji zahtijeva manje parametara.
3.3 Model intervencije
Intervencija koja predstavlja uticaj koji znatno premašuje fluktuacije serije može biti prirode „impulsa“ ili „koraka“.
Impulsni efekat je kratkotrajan: kada jednom počne, gotovo odmah završava. Postepeni efekat je dugotrajan i održiv. Generalizovani model intervencije ima oblik
gdje je vrijednost determinističke komponente serije, opisane kao intervencija;
Koeficijenti tipa pokretnog prosjeka;
Egzogena varijabla jednog od dva tipa;
("korak"), ili ("impuls")
gdje je fiksna tačka u vremenu, koja se zove trenutak intervencije.
4. Metode identifikacije trenda
Specifikacije serije date u paragrafu 3.1 su parametarske funkcije vremena. Parametri se mogu procijeniti korištenjem metode najmanjih kvadrata isto kao u regresionoj analizi. Iako statistički preduslovi za regresijsku analizu (vidi tačku) u vremenskim serijama često nisu ispunjeni (posebno tačka 5 – nekorelirani poremećaji), ipak, procjene trenda se ispostavljaju prihvatljivima ako je model točno specificiran i nema velikih odstupanja među zapažanja. Kršenje pretpostavki regresione analize utječe ne toliko na procjene koeficijenata koliko na njihova statistička svojstva, a posebno se iskrivljuju procjene varijanse slučajne komponente i intervala povjerenja za koeficijente modela.
U literaturi su opisane metode procjene u uvjetima koreliranih poremećaja, ali njihova primjena zahtijeva dodatne informacije o korelaciji opažanja.
Glavni problem pri identifikaciji trenda je to što je često nemoguće izabrati jednu specifikaciju za sve privremeno, jer se uslovi procesa menjaju. Obračunavanje ove varijabilnosti je posebno važno ako se trend izračunava za potrebe predviđanja. Tu dolazi do izražaja posebnost vremenskih serija: podaci koji se odnose na „daleku prošlost” biće irelevantni, beskorisni ili čak „štetni” za procenu parametara modela tekućeg perioda. Zbog toga se procedure ponderisanja podataka široko koriste u analizi vremenskih serija.
Da bi se uzela u obzir varijabilnost uslova, serijski model je često obdaren svojstvom prilagodljivosti, barem na nivou procjena parametara. Prilagodljivost se podrazumijeva u smislu da se procjene parametara lako preračunavaju kako nova zapažanja postanu dostupna. Naravno, običnoj metodi najmanjih kvadrata mogu se dati i adaptivne karakteristike ponovnim izračunavanjem procjena svaki put, uključujući stare podatke plus nova zapažanja u procesu izračunavanja. Međutim, svako novo preračunavanje dovodi do promjene prethodnih procjena, dok adaptivni algoritmi oslobođeni ovog nedostatka.
4.1 Pokretni proseci
Metoda pokretnog prosjeka je jedna od najstarijih i najpoznatijih metoda za identifikaciju determinističke komponente vremenske serije. Suština metode je u prosjeku originalne serije u vremenskom intervalu čija je dužina odabrana unaprijed. U ovom slučaju, sam odabrani interval klizi duž reda, pomičući svaki put jednu taktu udesno (otuda naziv metode). Zbog usrednjavanja, moguće je značajno smanjiti disperziju slučajne komponente.
Serija novih vrijednosti postaje glatkija, zbog čega se ovaj postupak naziva izglađivanje vremenskih serija.
Prvo ćemo razmotriti postupak izglađivanja za seriju koja sadrži samo komponentu trenda, na koju je aditivno superponirana nasumična komponenta.
Kao što je poznato, glatka funkcija se može lokalno predstaviti kao polinom sa dosta visok stepen tačnost. Odložimo od početka vremenske serije vremenski interval dužine (2 m+1) tačke i konstruisati polinom stepena m za odabrane vrijednosti i koristite ovaj polinom da odredite vrijednost trenda u ( m +1 )-ta, sredina, tačka grupe.
Radi određenosti, konstruirajmo polinom 3. reda za interval od sedam opservacija. Radi pogodnosti daljih transformacija, numerišemo trenutke vremena unutar odabranog intervala tako da ima njegova sredina null vrijednost, tj. t= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Zapišimo traženi polinom:
Konstante pronalazimo metodom najmanjih kvadrata:
Razlikujemo po koeficijentima:
;
Zbroji neparnih redova t od -3 do +3 jednaki su 0, a jednadžbe se svode na oblik:
Koristeći prvu i treću jednadžbinu, dobijamo pri t=0:
Dakle, vrijednost trenda u tački t= 0 jednako prosjećna težina sedam bodova sa ovom tačkom kao centralnom i težinama
, koji se zbog simetrije može napisati kraće:
.
Da biste izračunali vrijednost trenda u sljedećoj (m+2) točki originalne serije (u našem slučaju petoj), trebate koristiti formulu (1), gdje se vrijednosti promatranja uzimaju iz intervala pomaknutog jedan kvačica udesno, itd. do tačke N - m .
formula za broj bodova
9 
.
Svojstva pokretnih prosjeka:
1) zbir pondera je jednak jedinici (pošto bi izglađivanje niza, čiji su svi članovi jednaki istoj konstanti, trebalo da dovede do iste konstante);
2) težine su simetrične u odnosu na srednju vrijednost;
3) formule ne dozvoljavaju izračunavanje vrednosti trenda za prvu i poslednju m vrednosti serije;
4) moguće je izvesti formule za konstruisanje trendova na parnom broju tačaka, ali bi to rezultiralo vrednostima trenda usred vremenskih koraka. Vrijednost trenda u tačkama posmatranja može se u ovom slučaju odrediti kao poluzbir dvije susjedne vrijednosti trenda.
Treba napomenuti da ako je broj 2 paran m ciklusa u intervalu usrednjavanja (dvadeset četiri sata dnevno, četiri nedelje mesečno, dvanaest meseci u godini), široko se praktikuje jednostavno usrednjavanje sa utezima. Neka postoje, na primjer, zapažanja posljednjeg dana svakog mjeseca od januara do decembra. Jednostavno prosječenje 12 ponderiranih bodova daje vrijednost trenda sredinom jula. Da biste dobili vrijednost trenda na kraju jula, trebate uzeti prosječnu vrijednost trenda sredinom jula i sredinom avgusta. Ispostavilo se da je to ekvivalentno prosječnim podacima za 13 mjeseci, ali vrijednosti na rubovima intervala uzimaju se s ponderima. Dakle, ako interval izglađivanja sadrži paran broj 2 m bodova, a ne 2 su uključeni u prosječenje m, i 2 m+1 vrijednosti reda:
Pokretni proseci, izglađujući originalnu seriju, ostavljaju trend i ciklične komponente u njoj. Odabir vrijednosti intervala ujednačavanja trebao bi biti napravljen na osnovu značajnih razmatranja. Ako serija sadrži sezonsku komponentu, tada se vrijednost intervala izravnavanja bira jednaka ili višekratna periodu sezonskosti. U nedostatku sezonalnosti, interval izglađivanja se obično uzima u rasponu od tri do sedam
Slutsky-Yul efekat
Razmotrimo kako proces izglađivanja utječe na slučajnu komponentu serije, u odnosu na koju ćemo pretpostaviti da je ona centrirana, a susjedni članovi serije nisu u korelaciji.
Pokretni prosek nasumične serije x Tu je:
.
Zbog centralnosti x i odsustvo korelacija između članova originalne serije, imamo:
I 
.
Iz dobijenih relacija jasno je da usrednjavanje dovodi do smanjenja disperzije oscilacija. Osim toga, članovi serije dobiveni kao rezultat usrednjavanja više nisu nezavisni. Izvedena, izglađena serija ima autokorelacije različite od nule (korelacije između članova serije razdvojenih k-1 opservacijama) do reda 2m. Dakle, izvedeni niz će biti glatkiji od originalnog slučajnog niza i može pokazivati sistematske fluktuacije. Ovaj efekat se naziva efektom Slutsky-Yul.
4.2 Određivanje reda polinoma metodom sukcesivnih razlika
Ako postoji niz koji sadrži polinom (ili je lokalno predstavljen polinomom) sa slučajnim elementom koji se nalazi na njemu, onda bi bilo prirodno istražiti da li se polinomski dio ne može eliminirati izračunavanjem uzastopnih razlika niza. Zaista, razlike polinoma reda k predstavljaju polinom reda k-1. Nadalje, ako niz sadrži polinom reda p, tada ga prijelaz na razlike, koji se ponavlja (p+1) puta, eliminira i ostavlja elemente povezane sa slučajnom komponentom originalnog niza.
Razmotrimo, na primjer, prijelaz na razlike u nizu koji sadrži polinom trećeg reda.
0 1 8 27 64 125
6 12 18 24
6 6 6
0 0
Uzimanje razlika transformiše slučajnu komponentu serije.
U opštem slučaju dobijamo:
;
.
Iz posljednje relacije dobijamo
Stoga se metoda uzastopnih razlika varijable sastoji od izračunavanja prve, druge, treće itd. razlike, određivanje zbira kvadrata, dijeljenje sa, itd. i otkrivanje trenutka kada ovaj odnos postaje konstantan. Na ovaj način dobijamo procjene reda polinoma sadržanog u originalnom nizu i varijanse slučajne komponente.
4.3.Metode eksponencijalnog izglađivanja
Metode za konstruisanje funkcija za opisivanje opservacija do sada su se zasnivale na kriterijumu najmanjih kvadrata, prema kojem sva opažanja imaju jednaku težinu. Međutim, može se pretpostaviti da bi nedavnim tačkama trebalo dati u nekom smislu veću težinu, a zapažanja koja datiraju iz daleke prošlosti trebala bi imati manju vrijednost u poređenju. To smo donekle uzeli u obzir u pokretnim prosecima sa konačnom dužinom segmenta usrednjavanja, gde vrednosti pondera dodeljenih grupi od 2m+1 vrednosti ne zavise od prethodnih vrednosti. Sada se okrenimo drugom metodu identifikacije „skorijih“ zapažanja.
Razmotrimo niz pondera proporcionalnih faktoru b, naime, itd. Pošto zbir pondera mora biti jednak jedan, tj. , zapravo će biti vage itd. (pod pretpostavkom 0 4.3.1 Jednostavno eksponencijalno izglađivanje Razmotrimo najjednostavniji niz jednak zbroju konstantnih (nivoa) i slučajnih komponenti: U datom izrazu, neslaganja između posmatranih vrednosti serije i procene nivoa uzimaju se sa eksponencijalno opadajućim težinama u zavisnosti od starosti podataka. Ocjena dobijena u to vrijeme t označimo ( t). Izglađena vrijednost u vremenu t može se izraziti kroz izglađenu vrijednost u prethodnom trenutku t-1 i novo zapažanje: Rezultirajući omjer Hajde da to prepišemo malo drugačije, uvodeći takozvanu konstantu izglađivanja (0 £ a£1). Iz rezultirajućeg odnosa jasno je da se nova izglađena vrijednost dobija iz prethodne ispravljanjem potonje za udio greške, neusklađenosti, između novih i predviđenih vrijednosti serije. Postoji neka vrsta prilagođavanja nivoa serije novim podacima. 4.3.2 Eksponencijalno izglađivanje visokog reda Uopštimo metodu eksponencijalnog izglađivanja na slučaj kada je model procesa određen linearnom funkcijom. Kao i ranije, za dati b minimiziramo: (Ovdje su, radi lakšeg prikaza, znakovi ~ i Ù izostavljeni). S obzirom na to dobijamo Hajde da zapišemo: Ova operacija se može smatrati izravnavanjem 1. reda. Analogno ćemo konstruisati izglađivanje 2. reda: Procedura o kojoj se gore raspravlja može se generalizirati na slučaj polinomskih trendova višeg reda n, u kom slučaju će algebarski izrazi biti složeniji. Na primjer, ako je model opisan parabolom, tada se koristi metoda trostrukog eksponencijalnog izglađivanja. Sezonske komponente mogu biti od nezavisnog interesa ili djelovati kao ometajući faktor. U prvom slučaju, potrebno ih je moći izdvojiti iz serije i procijeniti parametre odgovarajućeg modela. Što se tiče uklanjanja sezonske komponente iz serije, moguće je nekoliko metoda. Razmotrimo prvo proceduru za procjenu sezonskih efekata. Neka originalna serija bude potpuno aditivna, tj Potrebno je procijeniti na osnovu zapažanja. Drugim riječima, potrebno je dobiti procjene koeficijenata indikatorskog modela. Kao što je već napomenuto, sezonski efekat se manifestuje u pozadini trenda, pa je prvo potrebno proceniti komponentu trenda pomoću jedne od razmatranih metoda. Zatim se za svako godišnje doba izračunavaju sve razlike vezane za nju gdje je, kao i obično, promatrana vrijednost serije, i procijenjena vrijednost trenda. Svaka od ovih razlika daje zajedničku procjenu sezonskog efekta i slučajne komponente, koja se, međutim, razlikuje od prvobitne zbog uzimanja razlika. Usrednjavanjem nastalih razlika dobijaju se procene efekata. Pod pretpostavkom da originalna serija sadrži cijeli broj k sezonski periodi i ograničavajući se na jednostavan prosjek, imamo Uzimajući u obzir uvjet reparametarizacije, koji zahtijeva da zbir sezonskih efekata bude jednak nuli, dobijamo prilagođene procjene U slučaju multiplikativnog sezonskog efekta, kada model serije ima oblik Više ne računaju razlike, već omjere Sezonski indeks se ocjenjuje prosjekom U praksi se smatra da za procjenu sezonskih efekata vremenska serija mora sadržavati najmanje pet do šest sezonskih perioda. Pređimo sada na načine uklanjanja sezonskog efekta iz serije. Postoje dva takva načina. Nazovimo prvu "post-trend". To je logična posljedica postupka ocjenjivanja o kojem je bilo riječi. Za aditivni model, uklanjanje sezonske komponente se svodi na oduzimanje procijenjene sezonske komponente od originalne serije. Za multiplikativni model, vrijednosti serije se dijele odgovarajućim sezonskim indeksima. Druga metoda ne zahtijeva preliminarnu procjenu ni trenda ni sezonskih komponenti, već se zasniva na korištenju operatora razlike. Operatori razlike. Kada se proučavaju vremenske serije, često je moguće predstaviti determinističke funkcije vremena jednostavnim jednadžbama ponavljanja. Na primjer, linearni trend može se napisati kao Posljednja relacija se dobija iz (1) poređenjem dvije vrijednosti serije za susjedne momente t-1 i t. S obzirom da relacija (2) vrijedi i za trenutke t-2 i t
-
1, dakle Model (3) ne sadrži eksplicitno parametre koji opisuju trend. Opisane transformacije mogu se kompaktnije opisati korištenjem operatora razlike Modeli (2) i (3) se mogu zapisati kao Ispada da razlika drugog reda potpuno isključuje linearni trend iz originalne serije. Lako je uočiti da je redoslijed razlika d isključuje polinomski trend reda iz serije d-1. Neka sada serija sadrži sezonski efekat sa tačkom t, Dakle Postupak prelaska iz serije ( t
= 1,2,...,T) nizu se naziva uzimanje prve sezonske razlike, a operator je operator sezonske razlike s periodom t. Iz (4) slijedi da Ispostavilo se da uzimanje sezonske razlike eliminira bilo koju determinističku sezonsku komponentu iz vremenske serije. Ponekad su korisni sezonski operateri višeg reda. Dakle, sezonski operator drugog reda s periodom t Tu je Ako serija sadrži i trend i sezonsku komponentu, one se mogu eliminirati uzastopnom primjenom operatora i. Lako je pokazati da redoslijed primjene ovih operatora nije značajan: Također napominjemo da deterministički trend, koji se sastoji od trenda i sezonske komponente, nakon primjene operatora potpuno degenerira, tj. Međutim, ako zapišemo posljednju jednačinu u rekurentnom obliku, dobijamo Iz posljednje relacije jasno je kako se niz može nastaviti u nedogled, imajući barem t+1 uzastopne vrijednosti. linearni serijski vremenski sistem Radi lakšeg predstavljanja, slažemo se da se slučajne varijable ovdje označavaju kao što je uobičajeno u matematičkoj statistici - malim slovima. Slučajnim procesom X
(
t
)
na skupu T je funkcija čije su vrijednosti slučajne za svaku tÎT. Ako su elementi od T prebrojivi (diskretno vrijeme), onda slučajni procesčesto nazivan slučajnim nizom. Potpuni matematički opis slučajnog procesa uključuje specificiranje sistema funkcija distribucije: - za svaki t OT, (1) – za svaki par elemenata i općenito za bilo koji konačan broj elemenata Funkcije (1), (2), (3) se nazivaju konačno-dimenzionalne distribucije slučajnog procesa. Gotovo je nemoguće konstruisati takav sistem funkcija za proizvoljan slučajni proces. Tipično, slučajni procesi se specificiraju korištenjem apriornih pretpostavki o njegovim svojstvima, kao što su neovisnost prirasta, markovska priroda putanja, itd. Proces za koji su sve konačno-dimenzionalne distribucije normalne naziva se normalan (Gausov). Ispada da je za potpuni opis takvog procesa dovoljno poznavanje jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih distribucija (1), (2), što je važno sa praktične tačke gledišta, jer nam omogućava da se ograničimo na proučavanje matematičkog očekivanja i korelacione funkcije procesa. U teoriji vremenskih serija koriste se brojni modeli slučajnih komponenti, u rasponu od najjednostavnijih – „bijeli šum“, do vrlo složenih tipova autoregresije – pokretnih prosjeka i drugih, koji se grade na bazi bijelog šuma. Prije definiranja procesa bijelog šuma, razmotrite niz nezavisnih slučajnih varijabli za koje je funkcija distribucije Iz posljednje relacije slijedi da su sve konačno-dimenzionalne distribucije niza određene korištenjem jednodimenzionalnih distribucija. Ako je, osim toga, u takvom nizu sastavne slučajne varijable X
(t) imaju nulu očekivanu vrijednost i distribuiraju se podjednako za sve tÎT, onda je ovo “bijeli šum”. U slučaju normalne distribucije X
(t) govore o Gausovom bijelom šumu. Dakle, Gausov bijeli šum je niz nezavisnih normalno raspoređenih slučajnih varijabli sa nultim matematičkim očekivanjem i istom (ukupnom) varijansom. Složeniji modeli, koji se široko koriste u teoriji i praksi analize vremenskih serija, su linearni modeli: procesi pokretnog prosjeka, autoregresijski i mješoviti. Proces pokretnog prosjeka q predstavlja ponderisani zbir slučajnih poremećaja: Gdje – numerički koeficijenti. Iz definicije je lako vidjeti da proces pokretnog prosjeka ima red q(skraćeno CC( q)) statistički zavisne su ( q+1) uzastopne količine X
(t), X
(t
-1),..., X
(t
-
q). Članovi serije udaljeni su jedan od drugog za više od ( q+1) sat, statistički su nezavisni, jer u njihovom formiranju učestvuju različiti pojmovi. gdje je slučajni poremećaj koji djeluje u trenutnom trenutku t
; – numerički koeficijenti. Izražavajući dosljedno u skladu s relacijom (5) X(t-1) kroz X(t-2), . . . , X(t-p-1), onda X(t-2) kroz X(t-3), . . . , X(t-p-2) itd. mi to shvatamo X(t) je beskonačan zbir prošlih poremećaja.Iz ovoga slijedi da su članovi autoregresivnog procesa X(t) i X(t-k) su statistički zavisne za bilo koje k
. Proces AP(1) se često naziva Markovljevim procesom, a AP(2) je Yule proces. Općenito, Markovljevim procesom se naziva proces čija je budućnost određena samo njegovim stanjem u sadašnjosti i utjecajima na proces koji će se vršiti u budućnosti, dok je njegovo stanje do sadašnjeg trenutka nevažno. AP proces(1) je markovsko, budući da je njegovo stanje u svakom trenutku određeno kroz vrijednosti procesa ako je vrijednost u ovom trenutku poznata. Formalno, autoregresivni proces proizvoljnog poretka se takođe može smatrati markovskim ako je njegovo trenutno stanje t prebrojati set (X(t), X(t-1), . . . , X(t-p-1)) . SS, AR modeli, kao i njihov sastav: autoregresivni - modeli pokretnog proseka se dalje razmatraju (odeljak 10.1.5). Napominjemo samo da se čini da su svi posebni slučajevi općeg linearnog modela gdje su težinski koeficijenti, čiji je broj, općenito govoreći, beskonačan. Među modelima slučajne komponente izdvojićemo važnu klasu - stacionarne procese, one čija se svojstva ne menjaju tokom vremena. Slučajni proces Y(t) se naziva stacionarnim ako za bilo koji n, distribucije slučajnih varijabli i su identične. Drugim riječima, funkcije konačno-dimenzionalnih distribucija se ne mijenjaju s vremenskim pomakom: Slučajne varijable koje formiraju stacionarni niz su jednako raspoređene, tako da je proces bijelog šuma definiran gore stacionaran. Prilikom analize vremenskih serija koriste se numeričke karakteristike slične onima kod slučajnih varijabli: – matematičko očekivanje (prosječna vrijednost procesa) – funkcija autokovarijance – disperzija - standardna devijacija – funkcija autokorelacije – funkcija parcijalne autokorelacije Imajte na umu da se u operatoru funkcije usrednjavanje dešava na konstanti t, odnosno postoji matematičko očekivanje nad skupom realizacija (uopšteno govoreći, potencijalnih jer „ne možete dvaput ući u rijeku vremena”). Razmotrimo uvedene numeričke karakteristike za stacionarne procese. Iz definicije stacionarnosti slijedi da za bilo koje s
,
t I stavljanje = - t, dobijamo Ispada da su za stacionarni proces matematičko očekivanje i varijansa isti za bilo koji t, a funkcije autokovarijance i autokorelacije ne ovise o trenutku vremena s ili t, ali samo na njihovoj razlici (lag). Imajte na umu da ispunjenje svojstava (1) još ne implicira stacionarnost u smislu definicije iz klauzule 6. Ipak, konstantnost prva dva momenta, kao i zavisnost autokorelacione funkcije samo o kašnjenju, definitivno odražava izvesnu invarijantnost procesa tokom vremena. Ako su uslovi (1) ispunjeni, onda se za proces kaže da je stacionaran u širem smislu, dok su uslovi () ispunjeni znači da je stacionaran u užem (strožem) smislu. Gore datu definiciju bijelog šuma treba tumačiti u užem smislu. U praksi su često ograničeni na bijeli šum u širem smislu, koji se podrazumijeva kao vremenski niz (slučajni proces) za koji je =0 i Imajte na umu da je Gausov proces, stacionaran u užem smislu, stacionaran i u širem smislu. Mnogo je lakše suditi o stacionarnosti u širem smislu. U tu svrhu koriste se različiti statistički kriterijumi, zasnovani na jednoj realizaciji slučajnog procesa. Procjena numeričkih karakteristika slučajnog vremenskog niza u svakom trenutku zahtijeva skup realizacija (trajektorija) odgovarajućeg slučajnog procesa. Iako vrijeme nije ponovljivo, uvjeti procesa se ponekad mogu smatrati ponovljivim. Ovo je posebno tipično za tehničke primjene, na primjer, fluktuacije napona u električnoj mreži tokom dana. Vremenske serije posmatrane u različite dane mogu se smatrati nezavisnim implementacijama jednog slučajnog procesa. Drugačija je situacija kada se proučavaju procesi socio-ekonomske prirode. U pravilu je ovdje dostupna samo jedna implementacija procesa, koja se ne može ponoviti. Posljedično, nemoguće je dobiti procjene srednje vrijednosti, varijanse i kovarijanse. Međutim, za stacionarne procese takve procjene su još uvijek moguće. Neka posmatrane vrijednosti vremenske serije budu u trenucima respektivno. Tradicionalna procjena srednje vrijednosti može poslužiti kao procjena matematičkog očekivanja stacionarnog (u širem smislu) slučajnog procesa. Jasno je da će takva procjena za stacionarni niz biti nepristrasna. Konzistentnost ove procjene utvrđena je teoremom Slutskog, koja, kao neophodan i dovoljan uslov, zahtijeva da gdje je autokorelaciona funkcija procesa. Tačnost procjene prosjeka zavisi od dužine N red. Vjeruje se da je dužina N mora uvijek biti ne manje od takozvanog vremena korelacije, koje se podrazumijeva kao vrijednost Magnituda T daje predstavu o redu veličine vremenskog perioda tokom kojeg ostaje primjetna korelacija između dvije vrijednosti serije. Razmotrimo sada dobivanje procjena vrijednosti autokorelacijske funkcije. Kao i ranije, ovo su posmatrane vrednosti vremenske serije. formirajmo ( N-1) par. Ovi parovi se mogu posmatrati kao uzorak od dvije slučajne varijable za koje se može odrediti procjena standardnog koeficijenta korelacije. Zatim ćemo komponovati ( N-2) uparite i odredite rejting itd. Budući da se veličina uzorka mijenja tokom sljedećeg izračunavanja, mijenja se vrijednost srednje vrijednosti i standardne devijacije za odgovarajući skup vrijednosti. Da pojednostavimo, uobičajeno je mjeriti sve varijable u odnosu na prosječnu vrijednost cijelog niza i zamijeniti članove disperzije u nazivniku disperzijom serije kao cjeline, tj. gdje je prosjek, jednak . Na slobodi N Razlike u procjenama su beznačajne. Na praksi k ne naplaćuju više N
/4. Ako se niz posmatra kao opšta populacija beskonačne dužine, onda govorimo o autokorelacijama (teorijskim) i označavamo ih. Niz koeficijenata ili odgovarajući koeficijenti uzorka sadrže vrlo vrijedne informacije o unutrašnjoj strukturi serije. Skup koeficijenata korelacije ucrtanih na graf sa koordinatama k(zaostajanje) duž x-ose i bilo duž ordinatne ose naziva se korelogram (teorijski ili uzorak, respektivno). Dobivene su karakteristike procjene tačnosti za Gausove procese. Konkretno, za Gausov bijeli šum, za koji su sve korelacije nula, . Pokazalo se da matematičko očekivanje za Gaussov bijeli šum nije jednako nuli, odnosno, procjena je pristrasna. Veličina odstupanja opada sa povećanjem veličine uzorka i nije toliko značajna u primijenjenoj analizi. Procjena je asimptotski normalna na , što daje osnovu za konstruiranje približnog intervala povjerenja. Široko korišteni interval od 95% je . Granice intervala povjerenja ucrtane na graf se nazivaju cijev povjerenja. Ako korelogram nekog slučajnog procesa ne ide dalje od cijevi povjerenja, onda je ovaj proces blizak bijelom šumu. Istina, ovaj uslov se može smatrati samo dovoljnim. Često, uzorak korelograma Gaussovog bijelog šuma sadrži jedan ili čak dva odstupanja među prvih 20 procjena, što prirodno komplikuje tumačenje takvog korelograma. Uz funkciju autokorelacije, pri analizi strukture slučajnog vremenskog niza koristi se i djelomična autokorelacija, čije su vrijednosti parcijalni koeficijenti korelacije. Najjednostavnija hipoteza koja se može postaviti u vezi sa fluktuirajućim nizom koji nema jasno definisan trend je pretpostavka da su fluktuacije slučajne. U nasumičnim serijama, prema hipotezi, opažanja su nezavisna i mogu se pojaviti bilo kojim redoslijedom. Za testiranje slučajnosti, poželjno je koristiti kriterij koji ne zahtijeva nikakva ograničenja u pogledu vrste distribucije populacije iz koje se pretpostavlja da su izvučene promatrane vrijednosti. 1. Kriterijum prekretnice sastoji se od brojanja vrhova (vrijednosti koje su veće od dva susjedna) i padova (vrijednosti koje su manje od dva susjedna). Razmotrimo niz y 1 ,...,y N . vršna korita y t-1< y t
>y t+1 y t-1 > y t< y t+1 y t-1 y t y t+1 y t-1 y t y t+1 Rice. Prekretnice. Za određivanje tačke preokreta potrebne su tri uzastopne vrijednosti. Početne i krajnje vrijednosti ne mogu biti prekretnice, jer su y 0 i y N+1 nepoznati. Ako je niz nasumičan, tada se ove tri vrijednosti mogu pojaviti u bilo kojem od šest mogućih redoslijeda s jednakom vjerojatnošću. Samo četiri od njih će imati prekretnicu, odnosno kada je najveća ili najmanja od tri vrijednosti u sredini. Stoga je vjerovatnoća pronalaženja prekretnice u bilo kojoj grupi od tri vrijednosti 2/3. Rice. Opcije relativnu poziciju tri boda. Za grupu od N veličina definišemo prebrojivu varijablu X. M 1, ako je y t-1< y t
>y t+1 ili y t-1 > y t< y t+1 î 0, inače. Tada je broj prekretnih tačaka p u nizu jednostavno , a njihovo matematičko očekivanje je M[p]=2/3(N-2). Varijanca broja tačaka preokreta izračunava se pomoću formule D[p]=(16N-29)/90, a sama raspodela je bliska normalnoj. 2. Kriterijum zasnovan na određivanju dužine faze Interval između dvije prekretnice naziva se faza. Da bi se ustanovilo prisustvo faze dužine d (na primjer, rastuće), potrebno je detektirati d+3 člana koji sadrže smanjenje od prvog člana do drugog, zatim uzastopni porast na (d+2) th pojam i smanjenje na (d+3) -njegov kurac. 1 2 3 4 d+1 d+2 d+3 N pirinač. 3. Dužina faze d. Razmotrimo grupu od d+3 brojeva raspoređenih u rastućem redoslijedu. Ako, ne dodirujući dva ekstremna člana, izdvojimo par brojeva iz preostalog d+1 i stavimo jedan na početak, a drugi na kraj, dobićemo fazu dužine d. Postoje načini da se na ovaj način izabere par brojeva i svaki član para se može postaviti na bilo koji kraj, pa je broj rastućih faza jednak d(d+1). Osim toga, prekretnice će se dogoditi ako se prvi član niza stavi na kraj, a bilo koji od preostalih, s izuzetkom drugog, stavi se na početak. Broj takvih sekvenci će biti (
d
+1)
. Isti broj sekvenci će se dobiti ako se zadnji član u originalnom rastućem nizu stavi na početak, a bilo koji drugi, osim posljednjeg, na kraj. Da bi se izbjeglo dvostruko računanje, treba isključiti slučaj kada je prvi pojam stavljen na posljednje, a posljednji na prvo mjesto. Dakle, u nizu od (
d
+3)
brojevi sa dužinom faze d broj slučajeva povećanja će biti d
(d
+1)+2(d
+1)-1 =+3d
+1 . Broj mogućih sekvenci od (
d
+3)
brojeva jednak je broju permutacija (
d
+3)
!, pa je vjerovatnoća ili uzlazne ili opadajuće faze U nizu dužine N može se sukcesivno identificirati N-2-d grupe od d+3 člana. To. matematičko očekivanje broja faza dužine d Može se pokazati da je matematičko očekivanje ukupnog broja faza dužine od 1 do N-3 3
.Kriterijum na osnovu znakova razlika Ovaj kriterij se sastoji od brojanja broja pozitivnih razlika prvog reda u nizu, drugim riječima, broja rastućih tačaka serije. Za niz od N pojmova dobijamo N-1 razlike. Definirajmo varijablu brojanja kao Ako sada označimo sa With broj rastućih tačaka slučajnog niza, dakle Distribucija ima tendenciju normalizacije prilično brzo sa varijansom U osnovi, ovaj kriterij se preporučuje za provjeru prisutnosti linearnog trenda. S druge strane, kriterij zasnovan na prijelomnim tačkama je slabo prikladan za detekciju trenda jer superponiranje primjetnih nasumičnih fluktuacija na umjereni trend rezultira približno istim brojem prijelomnih tačaka kao u odsustvu trenda. Napredniji, ali složeniji test za otkrivanje linearnog trenda je regresija y na t i testiranje značajnosti koeficijenta regresije. 4. Kriterijum na osnovu poređenja rangova Ideja poređenja susjednih vrijednosti u nizu može se razviti na poređenje svih vrijednosti. Za datu seriju računamo broj slučajeva kada sljedeći član serije premašuje sve naredne. Ukupno ima N(N-1) parova za poređenje. Neka n ukupan broj slučajeva je prekoračen. Izračunajte Kendalov koeficijent korelacije ranga Ako je ovaj koeficijent značajan i pozitivan, onda se serija povećava, ako je negativna, onda se smanjuje. Razmatran je opći linearni model stohastičkog procesa gdje je bijeli šum – težinski koeficijenti. Podsjetimo da je =0, , Hajde da predstavimo operatera pomeranja jedan korak unazad IN
: Višestruko (da budemo precizni j-višestruka) primjena operatera IN, označen kao , daje Uzimajući u obzir uvedenu notaciju, opći linearni model se može napisati kao gdje je linearni operator. Nađimo matematičko očekivanje, varijansu i funkciju autokovarijance za proces (1): Da bi model imao smisla, varijansa mora biti konačna, odnosno pretpostavlja se da niz konvergira. Osim toga, pretpostavlja se da vrijedi takozvani uvjet reverzibilnosti: gde umesto IN pojaviti kompleksni brojevi. Ovaj uslov implicira postojanje inverznog operatora gdje, odnosno takav da Proširujući proizvod u zadnjem izrazu, grupirajući homogene članove i izjednačavajući ih sa nulom, dobijamo izraze za određivanje koeficijenata. dakle, Množenjem () sa lijevo, dobijamo da se reverzibilni proces može zapisati kao Unos (2) odgovara autoregresivnoj šemi beskonačnog reda. Ovaj isti omjer se može tumačiti kao linearni prediktor za sve prošle vrijednosti vremenske serije, a termin se može tumačiti kao slučajna greška ovog prediktora. Ako su poznate sve prošle vrijednosti serije, tada je pomoću forme (2) moguće predvidjeti buduću vrijednost serije. Razmotrimo detaljnije modele slučajnih komponenti, koji su posebni slučajevi opšteg linearnog modela, a to su autoregresivni, pokretni prosjek i mješoviti modeli, koji se široko koriste u praksi. AR(1) model ima oblik Model će poprimiti formu Smatra se zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom A
IN mi to shvatamo Dakle, Markovljev proces jeste poseban slučaj opšti linearni model čiji se koeficijenti menjaju po zakonu geometrijske progresije, tj. Izraz (2) se također može dobiti iz (1) direktno, izražavajući kroz , kroz, itd. Varijanca u skladu sa () je Ispostavilo se da bijeli šum sa disperzijom generiše slučajni proces u Markovovoj shemi sa povećanom disperzijom jednakom . Da biste pronašli funkciju autokovarijance Markovljevog procesa, možete koristiti opći izraz (). Međutim, to je jasnije sljedeći način. Pomnožimo jednačinu (1) Markovljevog procesa sa i uzmimo matematičko očekivanje Budući da je drugi član na desnoj strani jednak nuli zbog nekorelirane prirode poremećaja u trenutnom trenutku s prošlim vrijednostima serije, dobijamo ( Iz zadnje relacije koju imamo to je A poklapa se sa koeficijentom autokorelacije prosječnih članova serije. Pomnožimo sada (1) sa i uzmimo matematičko očekivanje: Zamjena A po i dijeljenjem sa , dobivamo Davanje k vrijednosti 2,3,... dobijamo Dakle, u Markovljevom procesu, sve autokorelacije se mogu izraziti u terminima prve autokorelacije. Budući da , autokorelacija funkcija Markovljevog procesa opada eksponencijalno s rastom k
. Razmotrimo sada parcijalnu autokorelacionu funkciju Markovljevog procesa. Otkrili smo da je korelacija između dva člana serije razdvojena sa dva takta, odnosno između i izražena vrijednošću . Ali zavisi od , i od . Postavlja se pitanje da li će zavisnost između i ostati ako se eliminiše zavisnost od medijana. Odgovarajući parcijalni koeficijent korelacije je Zbog Završavajući razmatranje AR(1) modela, napominjemo da se on vrlo često koristi u ekonomskim i matematičkim istraživanjima za opisivanje reziduala linearne regresije koja povezuje ekonomske indikatore. Korištenje operatora smjene IN model će biti napisan kao Svojstva modela zavise od korijena i polinoma koji se takođe može napisati u obliku (1-IN)(1-IN)=0. Da bi proces (1) bio stacionaran, potrebno je da korijeni i leže unutra jedinični krug(slučaj kompleksnih korijena), ili su bili manji od jedinice (slučaj realnih korijena), što je osigurano kada Neka oboje budu valjani i različiti. Podijelimo ga na jednostavne razlomke Gdje Razmatrajući pojedinačne članove u (3) kao sume beskonačnog geometrijske progresije, dobijamo Ispada da je AR(2) poseban slučaj opšteg linearnog modela () sa koeficijentima Razmotrimo sada autokorelacione funkcije Yule procesa. Pomnožimo (1) zauzvrat sa i , uzmimo matematička očekivanja i podijelimo sa . Kao rezultat dobijamo Ove jednadžbe su dovoljne da se odrede kroz prve dvije autokorelacije i obrnuto, koristeći poznate koje se mogu pronaći. Sada množenjem (1) sa dobijamo rekurentnu jednačinu iz kojih se autokorelacije visokog reda mogu pronaći kroz prve autokorelacije. Time je korelogram badnjaka potpuno određen. Hajde da ispitamo oblik korelograma AR(2) procesa. Izraz (4) se može posmatrati kao jednačina razlike drugog reda u odnosu na r sa konstantnim koeficijentima. Opšte rješenje takve jednačine ima oblik gdje su korijeni karakteristične jednadžbe Lako je vidjeti da su jednačine (2) i (5) ekvivalentne do zamjene IN on z i dijeleći obje strane sa tako da se korijeni ovih jednačina poklapaju, tj Opće rješenje diferencijske jednačine (4) je gdje su koeficijenti A I IN pronađeno iz graničnih uslova na j=0 i j
=1. Dakle, u slučaju realnih korijena, korelogram AP(2), kao što se može vidjeti iz (6), predstavlja mješavinu dvije prigušene eksponencijale. U slučaju potpunosti korijena, korelogram procesa AR(2) ispada kao prigušeni harmonik. Razmotrimo sada kako se ponaša parcijalna autokorelacija procesa Yule. Samo koeficijent jednak je različit od nule. Parcijalne korelacije viših redova jednake su nuli (ovaj proces je detaljnije razmotren kasnije). Dakle, parcijalni korelogram procesa se prekida odmah nakon kašnjenja jednakog jedan. U zaključku, napominjemo da su se AR(2) modeli pokazali prihvatljivim u opisivanju ponašanja ciklične prirode, čiji je prototip klatno, na koje djeluju mali slučajni impulsi. Amplituda i faza takvog oscilatornog procesa će se stalno mijenjati. Rješenje izraza razlike (1) ili () u odnosu na y sastoji se od dva dijela: općeg rješenja koje sadrži R proizvoljne konstante i određeno rješenje. Postoji opće rješenje gde postoji konstantne kvote, (j
=1,2,...,R) su korijeni karakteristične jednadžbe. Stacionarnost serije (2) nastaje ako korijeni jednadžbe (3) imaju modul manji od jedan. Drugim riječima, korijeni moraju ležati unutar jediničnog kruga. Pod pretpostavkom da niz ima dovoljno dugu istoriju, generalno rešenje (2) se može zanemariti zbog slabljenja. Često rješenje, kao što se može vidjeti iz (), je Posljednja relacija je oblik predstavljanja autoregresivnog procesa u obliku generalnog linearnog modela. Uzastopno množimo jednačinu (1) sa , uzimamo matematičko očekivanje i dijelimo sa . Dobijamo sistem jednačina za koeficijente korelacije: , k
=1, 2, ..., str
(4) Uzimajući u obzir to , i uvođenje matrične notacije zapisujemo (4) u obliku Pa
=
r
(5) Sistem jednačina (5) naziva se Yule-Walkerov sistem. Iz toga saznajemo da a
=
r
(6) Dakle, poznavajući prvih p autokorelacija vremenske serije, može se pronaći autokorelacija višeg reda iz (3), odnosno potpuno vratiti autokorelaciju (što je već primjećeno pri analizi procesa AR(1) i AR(2) ). Ponašanje autokorelacijske funkcije ovisi o korijenima karakterističnog polinoma. Obično korelogram AR procesa ( R) se sastoji od skupa prigušenih sinusoida. Ako proces AP(2) ima djelomičnu autokorelaciju članova serije razdvojenih sa 2 ili veliki brojčlanova jednak nuli, tada proces AP( R) autokorelacije reda p i više jednake su nuli. Ispostavilo se da je parcijalni korelogram AR procesa ( R) mora biti jednak nuli počevši od određenog trenutka. Međutim, treba napomenuti da ova činjenica vrijedi za beskonačan niz. Za konačne implementacije, često je teško naznačiti tačku prekida korelograma. Dakle, za proces AP( R) djelomična autokorelacija se završava na kašnjenju R, dok se funkcija autokorelacije glatko smanjuje. 10.1.4 Procesi pokretnog prosjeka Generalizirani linearni model za procese pokretnog prosjeka sadrži samo konačan broj pojmova, odnosno u (): =0 k
>
q
. Model uzima formu (IN(1) koeficijenti su preimenovani sa.) Relacija (1) definira proces narudžbe pokretnog prosjeka q, ili skraćeno SS( q). Uvjet reverzibilnosti () za proces SS( q) je zadovoljen ako su korijeni polinoma b
(IN) leže izvan jediničnog kruga. Hajde da pronađemo varijansu procesa SS( q): Sve mješoviti radovi tipa su jednake nuli zbog nekorelirane prirode poremećaja u različitim vremenima. Da biste pronašli funkciju autokorelacije CC procesa ( q) sekvencijalno pomnožite (1) sa i uzmite matematičko očekivanje Na desnoj strani izraza (2) ostat će samo oni pojmovi koji odgovaraju istim vremenskim koracima (vidi sliku) Dakle, izraz (2) je dijeleći (3) sa , dobivamo Činjenica da autokorelacija procesa CC(q) ima konačan opseg ( q takt ciklusa) je karakteristična karakteristika takvog procesa. Ako je poznato, onda (4) se u principu može riješiti u odnosu na parametre . Jednačine (4) su nelinearne i u opštem slučaju imaju nekoliko rješenja, ali uvjet reverzibilnosti uvijek bira jedno rješenje. Kao što je već napomenuto, reverzibilni SS procesi se mogu smatrati beskonačnim AP procesima -AP(¥). Kao posljedica toga, djelomična autokorelacija procesa CC( R) ima beskonačan opseg. Dakle, proces CC( q) funkcija autokorelacije završava na kašnjenju q, dok funkcija parcijalne autokorelacije glatko opada. Iako AR modeli ( R) i SS( q) omogućavaju opisivanje mnogih stvarnih procesa; broj procijenjenih parametara može biti značajan. Da bi se postigla veća fleksibilnost i ekonomičnost opisa pri odabiru modela za posmatrane vremenske serije, mešoviti modeli koji sadrže i autoregresiju i pokretni prosek pokazali su se kao veoma korisni. Ove modele su predložili Box i Jenkins i nazvani su model autoregresivnog pokretnog prosjeka (skraćeno ARMC( R,
q)): Korištenje operatora smjene IN model (1) može se predstaviti kompaktnije: b
(IN)-pokretni prosjek operator naloga q
. Model() se takođe može napisati ovako: Razmotrimo najjednostavniji mješoviti proces ARSS(1,1) Prema Iz relacije (2) jasno je da je model ARCC(1,1) poseban slučaj opšteg linearnog modela () sa koeficijentima Iz (2) lako je dobiti izraz za varijansu: Za dobijanje korelacione funkcije koristićemo istu tehniku kao i kod analize autoregresivnih modela. Pomnožimo oba dijela modela reprezentacije procesa ARSS(1,1) i uzmi matematičko očekivanje: ili (uzimajući u obzir da je drugi član na desnoj strani jednakosti jednak nuli) Dijeljenjem kovarijanse varijansom dobijamo izraze za autokorelaciju rezultirajuće relacije pokazuju da se eksponencijalno smanjuje od početne vrijednosti, ovisno o i, a ako je >, tada je slabljenje monotono; at< – затухание колебательное. Slično, autokorelacija se može konstruirati za opšti model ARSS( R,
q). Pomnožimo sve pojmove (1) sa . Uzmimo matematičko očekivanje i kao rezultat dobijamo sljedeću jednačinu razlike. Gdje Iz toga slijedi da za vrijednosti q+1 autokovarijanca i autokorelacija zadovoljavaju iste odnose kao u AR modelu ( R): Kao rezultat toga, ispada da kada q
<р
cijela autokorelacija će biti izražena skupom prigušenih eksponencijala i/ili prigušenih sinusnih valova, a kada q
>
strće q
-
str vrijednosti koje ispadaju iz ove šeme. ARSS model se može generalizirati na slučaj kada je slučajni proces nestacionaran. Upečatljiv primjer takav proces su "slučajne šetnje": Koristeći operator pomaka, model (1) poprima oblik Iz (2) je jasno da je proces (1) divergentan, jer U opštem slučaju, pretpostavlja se da nestacionarni autoregresivni operator u ARCC modelu ima jedan ili više korijena jednakih jednom. Drugim riječima, je nestacionarni autoregresivni operator reda str
+
d
;
d korijeni jednadžbe =0 su jednaki jedan, a ostali R korijeni leže izvan jediničnog kruga. Onda to možemo napisati Gdje a
(B) – stacionarni autoregresivni operator reda R(sa korijenima izvan jediničnog kruga). Hajde da uvedemo operator razlike takav da je =(1- B), tada će se nestacionarni proces ARSS pisati kao Gdje b
(B) je invertibilni pokretni prosjek (njegovi korijeni leže izvan jediničnog kruga). Za razliku u narudžbi d, odnosno model opisuje već stacionarni reverzibilni proces ARSS( R,
q). Da bi se iz serije razlika vratili na originalnu seriju, potreban je operator s, obrnuto: Ovaj operator se naziva operator sumiranja jer Ako je početna razlika red d, a zatim će vam trebati za vraćanje originalne serije d- višestruka iteracija operatora s
,
inače d- višestruko zbrajanje (integracija). Stoga se proces (3) obično naziva ARISS proces, dodajući termin integriran u ARISS. Ukratko, model (3) je napisan kao ARISS( R,
d
,
q), Gdje R– red autoregresije, d– red razlike, q– red pokretnog prosjeka. Jasno je da kada d=0 ARISS model ide u ARSS model. Na praksi d obično ne prelazi dva, tj d
. ARISS model dozvoljava reprezentaciju sličnu opštem linearnom modelu, kao iu obliku „čistog” autoregresivnog procesa (beskonačnog reda). Razmotrimo, na primjer, proces ARISS (1, 1, 1): Iz (4) slijedi da U izrazu (5) koeficijenti se, počevši od trećeg, izračunavaju po formuli. Prikaz (5) je zanimljiv jer se težine, počevši od treće, eksponencijalno smanjuju. Stoga, iako formalno ovisi o svim prošlim vrijednostima, nekoliko "skorašnjih" vrijednosti serije će dati pravi doprinos trenutnoj vrijednosti. Stoga je jednadžba (5) najpogodnija za predviđanje. Kao što je već napomenuto, ARISS procesi se mogu predstaviti u obliku generalizovanog linearnog modela, tj Prirodno je tražiti buduću (prognoziranu) vrijednost serije u ovom trenutku u obliku Očekivana vrijednost koju ćemo označiti kao = Prvi zbir na desnoj strani zadnje relacije sadrži samo buduće poremećaje (prognoza je napravljena u ovom trenutku t, kada su poznate prošle vrijednosti i serije i poremećaja) i za njih je matematičko očekivanje jednako 0 po definiciji. Što se tiče drugog mandata, poremećaji su se ovdje već desili, dakle Dakle Greška prognoze, koja predstavlja nesklad između vrijednosti prognoze i njenog očekivanja je Odstupanje greške odavde je Predviđanje korištenjem relacije (1) je u principu moguće, ali je teško jer zahtijeva poznavanje svih prošlih poremećaja. Osim toga, za stacionarne serije brzina raspada je često nedovoljna, a da ne spominjemo nestacionarne procese za koje serije divergiraju. Budući da model ARISS dozvoljava i druge reprezentacije, razmotrićemo mogućnosti njihovog korišćenja za prognoziranje. Neka je model direktno zadan jednadžbom razlike Na osnovu poznatih vrijednosti serije (rezultati posmatranja) Kada predviđate za dva ciklusa, trebali biste ponovo koristiti relacija recidiva(3), gde je posmatrana vrednost serije u ovom trenutku t+1 treba uzeti vrijednost predviđenu (4), tj. itd. Konačno, predviđanje je moguće na osnovu predstavljanja ARISS procesa u obliku autoregresije (). Kao što je već napomenuto, unatoč činjenici da je redoslijed autoregresije beskonačan, težinski koeficijenti u reprezentaciji serije opadaju prilično brzo, tako da je umjeren broj prošlih vrijednosti serije dovoljan za izračunavanje prognoze. Varijanca greške predviđanja za korake naprijed je a prema izrazu (2) dat je izrazom Uz pretpostavku da su slučajni poremećaji Gaussov bijeli šum, odnosno možemo uzeti u obzir interval povjerenja za predviđenu vrijednost serije na standardan način. Gore opisane teorijske šeme izgrađene su na pretpostavci da vremenska serija ima beskonačnu praistoriju, dok je u stvarnosti istraživaču dostupna ograničena količina zapažanja. Model se mora odabrati eksperimentalno, prilagođavajući ga dostupnim podacima. Dakle, sa stanovišta teorijska primjena teorije analize vremenskih serija, pitanja ispravne specifikacije ARISS modela su od odlučujućeg značaja ( str
,
d
,
q) (njegova identifikacija) i naknadna procjena njegovih parametara. U fazi identifikacije, posmatrani podaci se koriste za određivanje odgovarajuće klase modela i vrše se preliminarne procjene njenih parametara, odnosno izgrađuje se probni model. Probni model se zatim pažljivije prilagođava podacima; pri čemu početne procjene, dobijene u fazi identifikacije, djeluju kao početne vrijednosti u iterativnim algoritmima za procjenu parametara. I na kraju, u trećoj fazi, dobijeni model se podvrgava dijagnostičkom testiranju kako bi se utvrdila moguća neadekvatnost modela i razvile odgovarajuće promjene u njemu. Razmotrimo navedene faze detaljnije. Identifikacija modela Svrha identifikacije je stjecanje neke ideje o količinama str
,
d
, q i o parametrima modela. Identifikacija modela se dijeli na dvije faze 1. Određivanje reda razlike d originalna serija. 2. Identifikacija ARSS modela za niz razlika. Glavni alat koji se koristi u obje faze su funkcije autokorelacije i parcijalne autokorelacije. U teoretskom dijelu smo to vidjeli stacionarni modeli autokorelacije se smanjuju s rastom k vrlo brzo (prema zakonu korelacije). Ako funkcija autokorelacije opada sporo i gotovo linearno, onda to ukazuje da je proces nestacionaran, međutim, možda je njegova prva razlika stacionarna. Nakon što se konstruiše korelogram za brojne razlike, analiza se ponovo ponavlja, i tako dalje. Smatra se da je red razlika d, osiguravajući stacionarnost, postiže se kada se autokorelacija procesa prilično brzo smanjuje. U praksi je dovoljno pogledati oko 15-20 prvih vrijednosti autokorelacije originalne serije, njene prve i druge razlike. Nakon što se dobije stacionarni niz razlika reda d, proučava se opći oblik autokorelacijskih i parcijalnih autokorelacijskih funkcija ovih razlika. Na osnovu teorijskih svojstava ovih funkcija, možete odabrati vrijednosti str I q za AP i CC operatere. Dalje, sa odabranim str I q konstruirane su početne procjene parametara autoregresije Za mješovite APCC procese, postupak procjene postaje komplikovaniji. Dakle, za proces ARSS(1,1) razmatran u paragrafu 1, parametri i, tačnije, njihove procjene, dobijaju se iz () sa zamjenom i njihovim procjenama uzorka. U opštem slučaju, izračunavanje početnih procjena ARCC procesa ( str
,
q) predstavlja proceduru u više koraka i o njoj se ovdje ne govori. Napominjemo samo da su za praksu od posebnog interesa AR i SS procesi 1. i 2. reda i najjednostavniji mješoviti proces ARCC(1,1). U zaključku, napominjemo da procjene autokorelacija, na osnovu kojih se zasnivaju postupci identifikacije, mogu imati velike varijanse (posebno u uslovima nedovoljne veličine uzorka – nekoliko desetina opservacija) i biti visoko korelirane. Stoga ne treba govoriti o strogoj korespondenciji između teorijske i empirijske autokorelacijske funkcije. To dovodi do poteškoća pri odabiru str
,
d
,
q
,
stoga se može odabrati više modela za dalje proučavanje. linearni serijski sistem vremenskih serija Objavljeno na http://www.
.
; 
; 
.
.
,
, 
,
.
; 
.
5. Procjena i eliminacija sezonske komponente
.
.
,
.
.
, model (1) se može napisati i u obliku
6. Modeli slučajne komponente vremenske serije
– nezavisne identično raspoređene slučajne varijable (bijeli šum);
7.Numeričke karakteristike slučajne komponente
;
(1)
8. Procjena numeričkih karakteristika vremenske serije
,
,
9. Kriterijumi za provjeru niza na slučajnost, bez zakona raspodjele
.
.
.
.
.
10. Teorijska analiza stacionarne slučajne komponente linearne forme
;
,
i tako dalje.
10.1\. Autoregresivni modeli
zbog stacionarnosti)
,
.
, brojilac jednaka nuli. Slično, može se pokazati da su parcijalni koeficijenti korelacije za članove serije, razdvojene sa 3, 4 i tako dalje ciklusa, takođe jednaki nuli. Dakle, autokorelacija postoji samo zbog korelacije susednih članova, što, međutim, proizilazi iz matematičkog modela Markovljevog procesa.
,
.
, (3)
.
,
(5)
(6)
,
(1)
(3)
(4)
, ()
(2)
(j
>0)
- međusobna kovarijantna funkcija između y i . Od poremećaja u ovom trenutku t a vrijednosti serije u prošlim trenucima (cm(2)) nisu u korelaciji, 0 za k>0.
(2)
. Karakteristična jednadžba ovog procesa ima korijen jednak jedinici, odnosno postoji granični slučaj kada je korijen karakteristične jednadžbe na granici jedinične kružnice. U isto vrijeme, ako idemo na prve razlike, proces će se pokazati stacionarnim.
,
, (3)
11. Predviđanje korištenjem ARISS modela
=
i procijenjene vrijednosti smetnji, na osnovu rekurentne formule (3), može se procijeniti očekivana vrijednost serije u ovom trenutku t
+1:
12.Tehnologija konstruisanja ARISS modela
i pokretni prosek b=(). Za autoregresivne procese koriste se Yule-Walkerove jednačine, gdje se teorijske autokorelacije zamjenjuju njihovim procjenama uzorka. Za procese narudžbe pokretnog prosjeka q samo prve q autokorelacije su različite od nule i mogu se izraziti kroz parametre (vidi). Zamjenjujući ih procjenama uzorka i rješavajući rezultirajuće jednadžbe za , dobivamo procjenu . Ove preliminarne procjene mogu se koristiti kao sjemenke za dobijanje efikasnijih procjena u narednim koracima.
1 Vrste i metode analize vremenskih serija
Vremenska serija je niz posmatranja vrijednosti određenog indikatora (atributa), poredanih hronološkim redom, tj. u rastućem redoslijedu varijable parametra t-time. Pojedinačna zapažanja u vremenskoj seriji nazivaju se nivoima te serije.
1.1 Vrste vremenskih serija
Vremenske serije se dijele na momente i intervale. U trenutnim vremenskim serijama, nivoi karakterišu vrednosti indikatora u određenim vremenskim tačkama. Na primjer, vremenske serije cijena za određene vrste robe, vremenske serije cijena dionica, čiji su nivoi fiksirani za određene brojeve. Primjeri trenutnih vremenskih serija također mogu biti serije stanovništva ili vrijednosti osnovnih sredstava, budući da vrijednosti nivoa ovih serija utvrđuju se godišnje na isti datum.
U intervalnim serijama, nivoi karakterišu vrijednost indikatora za određene intervale (periode) vremena. Primjeri serija ovog tipa su vremenske serije proizvodnje proizvoda u fizičkom ili vrijednosnom smislu za mjesec, kvartal, godinu itd.
Ponekad nivoi serije nisu direktno posmatrane vrednosti, već izvedene vrednosti: prosečne ili relativne. Takve serije se nazivaju derivati. Nivoi takvih vremenskih serija dobijaju se nekim proračunima na osnovu direktno posmatranih indikatora. Primjeri takvih serija su serije prosječne dnevne proizvodnje glavnih vrsta industrijskih proizvoda ili serije indeksa cijena.
Nivoi serije mogu imati determinističke ili slučajne vrijednosti. Primjer serije sa determinističkim vrijednostima nivoa je niz uzastopnih podataka o broju dana u mjesecima. Naravno, serije sa vrijednostima slučajnog nivoa podliježu analizi, a potom i predviđanju. U takvim serijama svaki nivo se može smatrati realizacijom slučajna varijabla- diskretno ili kontinuirano.
1.2 Metode analize vremenskih serija
Metode analize vremenskih serija. Postoji veliki broj različitih metoda za rješavanje ovih problema. Od njih, najčešći su sljedeći:
1. Korelaciona analiza, što omogućava da se identifikuju značajne periodične zavisnosti i njihova kašnjenja (kašnjenja) unutar jednog procesa (autokorelacija) ili između više procesa (unakrsna korelacija);
2. Spektralna analiza, koji vam omogućava da pronađete periodične i kvaziperiodične komponente vremenske serije;
3. Izglađivanje i filtriranje, dizajnirano da transformiše vremenske serije kako bi se uklonile visokofrekventne ili sezonske fluktuacije iz njih;
5. Predviđanje, koje omogućava da se na osnovu odabranog modela ponašanja privremenog rada predvidi njegove vrijednosti u budućnosti.
2 Osnove predviđanja razvoja prerađivačke industrije i trgovinskih organizacija
2.1 Predviđanje razvoja prerađivačkih preduzeća
Poljoprivredni proizvodi se proizvode u preduzećima različitih organizacionih oblika. Ovdje se može skladištiti, sortirati i pripremati za preradu, au isto vrijeme mogu postojati i specijalizirana skladišta. Zatim se proizvodi transportuju u pogone za preradu, gdje se istovaraju, skladište, sortiraju, prerađuju i pakuju; Odavde se odvija transport do komercijalnih preduzeća. U samim trgovačkim preduzećima vrši se naknadno pakovanje i isporuka.
Sve navedene vrste tehnoloških i organizacionih operacija moraju biti predviđene i planirane. U ovom slučaju koriste se različite tehnike i metode.
Ali treba napomenuti da preduzeća za preradu hrane imaju određene specifičnosti planiranja.
Prehrambena industrija zauzima značajno mjesto u agroindustrijskom kompleksu. Poljoprivredna proizvodnja obezbjeđuje ovu industriju sirovinama, odnosno, u suštini, postoji stroga tehnološka veza između sfera 2 i 3 agroindustrijskog kompleksa.
U zavisnosti od vrste upotrebljenih sirovina i karakteristika prodaje finalnog proizvoda, nastale su tri grupe prehrambenih i prerađivačkih industrija: primarna i sekundarna prerada poljoprivrednih resursa i rudarstvo. Prehrambena industrija. U prvu grupu spadaju industrije koje prerađuju teško prenosive poljoprivredne proizvode (škrob, konzervirano voće i povrće, alkohol i dr.), u drugu grupu spadaju industrije koje koriste poljoprivredne sirovine koje su prošle primarnu preradu (pečenje, konditorski proizvodi, koncentrati hrane, rafinirani šećer proizvodnja itd.). U treću grupu spadaju industrije soljenja i ribarstva.
Preduzeća prve grupe nalaze se bliže oblastima poljoprivredne proizvodnje, ovde je proizvodnja sezonska. Preduzeća druge grupe, po pravilu, gravitiraju područjima u kojima se ti proizvodi konzumiraju; rade ritmično tokom cijele godine.
Zajedno sa zajedničke karakteristike preduzeća sve tri grupe imaju svoje interne, određene asortimanom proizvoda, tehničkim sredstvima, tehnologijama koje se koriste, organizacijom rada i proizvodnje itd.
Važna polazna tačka za predviđanje ovih industrija je uzimanje u obzir eksternih i unutrašnjih karakteristika i specifičnosti svake industrije.
Prehrambena i prerađivačka industrija agroindustrijskog kompleksa obuhvata preradu žitarica, pekarske i testenine, šećerne, nemasne, konditorske proizvode, voće i povrće, koncentrate hrane itd.
2.2 Predviđanje razvoja trgovinskih organizacija
U trgovini, predviđanje koristi iste metode kao iu drugim sektorima nacionalne ekonomije. Obećavajuće je stvaranje tržišnih struktura u vidu mreže veleprodajnih tržišta hrane, unapređenje brendirane trgovine, stvaranje široke informacione mreže. Trgovina na veliko vam omogućava da smanjite broj posrednika prilikom dovođenja proizvoda od proizvođača do potrošača, kreirate alternativne kanale prodaje i preciznije predvidite potražnju i ponudu potrošača.
U većini slučajeva, plan ekonomskog i društvenog razvoja trgovačkog preduzeća sastoji se uglavnom od pet delova: promet trgovine na malo i veliko i snabdevanje robom; finansijski plan; razvoj materijalno-tehničke baze; društveni razvoj timova; plan rada.
Planovi se mogu razvijati u obliku dugoročnih - do 10 godina, srednjoročnih - od tri do pet godina, tekućih - do jednog mjeseca.
Planiranje je zasnovano na prometu za svaku asortimansku grupu roba.
Promet trgovine na veliko i malo može se prognozirati u sljedećem redoslijedu:
1. ocjenjuje očekivanu realizaciju plana za tekuću godinu;
2. izračunati prosječnu godišnju stopu trgovinskog prometa za dvije do tri godine koje prethode prognoziranom periodu;
3. na osnovu analize prve dvije pozicije, ekspertskom metodom, utvrđuje se stopa rasta (pada) prodaje pojedinih roba (grupa proizvoda za prognozirani period) u procentima.
Množenjem obima očekivanog prometa za tekuću godinu sa projektovanom stopom rasta prodaje, izračunava se mogući promet u prognoziranom periodu.
Neophodni robni resursi se sastoje od očekivanog prometa i zaliha. Zalihe se mogu mjeriti u fizičkom i novčanom smislu ili u danima prometa. Planiranje inventara se obično zasniva na ekstrapolaciji podataka za četvrti kvartal tokom niza godina.
Ponuda robe se utvrđuje upoređivanjem potreba za neophodnim robnim resursima i njihovim izvorima. Neophodni robni resursi izračunavaju se kao zbir trgovinskog prometa, vjerovatnog povećanja zaliha minus prirodni gubitak robe i njeno smanjenje.
Finansijski plan trgovačkog preduzeća uključuje gotovinski plan, kreditni plan i procjenu prihoda i rashoda. Plan gotovine sastavljam tromjesečno, kreditnim planom se utvrđuju potrebe za raznim vrstama kredita, a procjenom prihoda i rashoda - po stavkama prihoda i novčanih primitaka, rashoda i odbitka.
Objekti planiranja materijalno-tehničke baze su maloprodajna mreža, tehnička opremljenost i skladišni prostori, odnosno opšta potreba za maloprodajnim prostorom, maloprodajna preduzeća, njihova lokacija i specijalizacija, potreba za mehanizmima i opremom, kao i potrebno skladištenje. planirani su kapaciteti.
Indikatori društvenog razvoja tima obuhvataju izradu planova usavršavanja, poboljšanje uslova rada i zdravstvene zaštite radnika, stambenih i kulturnih uslova, razvoj društvene aktivnosti.
Prilično složen dio je plan rada. Mora se naglasiti da u trgovini rezultat rada nije proizvod, već usluga; ovdje prevladavaju troškovi živog rada zbog teškoće mehanizacije većine radno intenzivnih procesa.
Produktivnost rada u trgovini mjeri se prosječnim prometom po zaposlenom u određenom vremenskom periodu, odnosno iznos prometa se dijeli sa prosječnim brojem zaposlenih. S obzirom da radni intenzitet prodaje različite robe nije isti, prilikom planiranja treba uzeti u obzir promjene u prometu robe, indeksima cijena i asortimanu robe.
Razvoj trgovinskog prometa zahtijeva povećanje broja trgovačkih i javnih ugostiteljskih preduzeća. Prilikom obračuna količine za planski period na osnovu standarda za obezbjeđenje stanovništva trgovačkim preduzećima za urbana i ruralna područja.
Kao primjer dajemo sadržaj plana ekonomskog i društvenog razvoja preduzeća za trgovinu voćem i povrćem. Sadrži sljedeće dijelove: početni podaci; glavni ekonomski pokazatelji preduzeća; tehnički i organizacioni razvoj preduzeća; plan skladištenja proizvoda za dugotrajno skladištenje; plan prodaje proizvoda; plan prometa na malo; raspodjela troškova uvoza, skladištenja i prodaje na veliko po grupama roba; troškovi distribucije maloprodaje proizvoda; troškovi proizvodnje, prerade i prodaje; broj zaposlenih i platni spisak; dobit od prodaje proizvoda na veliko; plan dobiti od svih vrsta djelatnosti; raspodjela prihoda; raspodjela dobiti; društveni razvoj tim; finansijski plan. Metodologija izrade ovog plana je ista kao iu drugim sektorima agroindustrijskog kompleksa.
3 Proračun prognoze ekonomske vremenske serije
Postoje podaci o izvozu armiranobetonskih proizvoda (u zemlje izvan ZND), milijarde američkih dolara.
Tabela 1
Izvoz robe za 2002, 2003, 2004, 2005 (milijarde američkih dolara)
Prije nego što nastavimo s analizom, osvrnimo se na grafička slika početni podaci (slika 1).
Rice. 1. Izvoz robe
Kao što se može vidjeti iz nacrtanog grafikona, postoji jasan trend povećanja obima uvoza. Nakon analize rezultirajućeg grafa, možemo zaključiti da je proces nelinearan, uz pretpostavku eksponencijalnog ili paraboličnog razvoja.
Sada napravimo grafičku analizu kvartalnih podataka za četiri godine:
tabela 2
Izvoz robe za kvartale 2002., 2003., 2004. i 2005.
Rice. 2. Izvoz robe
Kao što se može vidjeti iz grafikona, sezonskost fluktuacija je jasno izražena. Amplituda oscilacije je prilično nefiksna, što ukazuje na prisustvo multiplikativnog modela.
U izvornim podacima predstavljeni su intervalni nizovi sa jednako raspoređenim nivoima u vremenu. Stoga, da bismo odredili prosječni nivo serije, koristimo sljedeću formulu:
Milijardu dolara
Za kvantificiranje dinamike pojava koriste se sljedeći glavni analitički pokazatelji:
· apsolutni rast;
· stope rasta;
· Stopa rasta.
Izračunajmo svaki od ovih indikatora za intervalnu seriju sa jednako raspoređenim nivoima u vremenu.
Statističke pokazatelje dinamike predstavimo u obliku tabele 3.
Tabela 3
Statistički pokazatelji dinamike
| t | y t | Apsolutni rast, milijarde američkih dolara | Stopa rasta, % | Stopa rasta, % | |||
| Lanac | Basic | Lanac | Basic | Lanac | Basic | ||
| 1 | 48,8 | - | - | - | - | - | - |
| 2 | 61,0 | 12,2 | 12,2 | 125 | 125 | 25 | 25 |
| 3 | 77,5 | 16,5 | 28,7 | 127,05 | 158,81 | 27,05 | 58,81 |
| 4 | 103,5 | 26 | 54,7 | 133,55 | 212,09 | 33,55 | 112,09 |
Stope rasta su bile približno iste. Ovo sugerira da se prosječna stopa rasta može koristiti za određivanje vrijednosti prognoze:
Provjerimo hipotezu o prisutnosti trenda koristeći Foster-Stewart test. Da biste to učinili, popunite pomoćnu tabelu 4:
Tabela 4
Pomoćni sto
| t | yt | mt | lt | d | t | yt | mt | lt | d |
| 1 | 9,8 | - | - | - | 9 | 16,0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 11,8 | 1 | 0 | 1 | 10 | 18,0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 12,6 | 1 | 0 | 1 | 11 | 19,8 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 14,6 | 1 | 0 | 1 | 12 | 23,7 | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 12,9 | 0 | 0 | 0 | 13 | 21,0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 14,7 | 1 | 0 | 1 | 14 | 23,9 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 15,5 | 1 | 0 | 1 | 15 | 26,9 | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 17,8 | 1 | 0 | 1 | 16 | 31,7 | 1 | 0 | 1 |
Primijenimo Studentov test:
Dobili smo, tj 
, otuda hipoteza N 0 je odbijeno, postoji trend.
Analizirajmo strukturu vremenske serije koristeći koeficijent autokorelacije.
Nađimo koeficijente autokorelacije redom:
–
koeficijent autokorelacije prvog reda, budući da je vremenski pomak jednak jedan (-lag).
Slično pronalazimo i preostale koeficijente.
– koeficijent autokorelacije drugog reda.
– koeficijent autokorelacije trećeg reda.
– koeficijent autokorelacije četvrtog reda.
Dakle, vidimo da je najveći koeficijent autokorelacije četvrtog reda. Ovo sugerira da vremenska serija sadrži sezonske varijacije s periodikom od četiri kvartala.
Provjerimo značaj koeficijenta autokorelacije. Da bismo to učinili, uvodimo dvije hipoteze: N 0: , N 1: .
Nalazi se iz tabele kritičnih vrednosti odvojeno za >0 i<0. Причем, если ||>||, onda je hipoteza prihvaćena N 1, odnosno koeficijent je značajan. Ako ||<||, то принимается гипотеза N 0, a koeficijent autokorelacije je beznačajan. U našem slučaju koeficijent autokorelacije je prilično velik i nije potrebno provjeravati njegovu značajnost.
Potrebno je izgladiti vremensku seriju i vratiti izgubljene nivoe.
Hajde da izgladimo vremensku seriju koristeći jednostavan pokretni prosek. Rezultate proračuna predstavljamo u obliku sljedeće tabele 13.
Tabela 5
Izglađivanje originalne serije pomoću pokretnog prosjeka
| Godina br. | Broj četvrtine | t | Uvoz robe, milijarde američkih dolara, yt | pokretni prosek, | |
| 1 | I | 1 | 9,8 | - | - |
| II | 2 | 11,8 | - | - | |
| III | 3 | 12,6 | 12 , 59 | 1,001 | |
| IV | 4 | 14,6 | 13,34 | 1,094 | |
| 2 | I | 5 | 12,9 | 14,06 | 0,917 |
| II | 6 | 14,7 | 14,83 | 0,991 | |
| III | 7 | 15,5 | 15,61 | 0,993 | |
| IV | 8 | 17,8 | 16,41 | 1,085 | |
| 3 | I | 9 | 16 | 17,36 | 0,922 |
| II | 10 | 18 | 18,64 | 0,966 | |
| III | 11 | 19,8 | 20,0 | 0,990 | |
| IV | 12 | 23,7 | 21,36 | 1,110 | |
| 4 | I | 13 | 21 | 22,99 | 0,913 |
| II | 14 | 23,9 | 24,88 | 0,961 | |
| III | 15 | 26,9 | - | - | |
| IV | 16 | 31,7 | - | - |
Sada izračunajmo omjer stvarnih vrijednosti i nivoa izglađene serije. Kao rezultat, dobijamo vremensku seriju čiji nivoi odražavaju uticaj slučajnih faktora i sezonalnosti.
Dobijamo preliminarne procjene sezonske komponente usrednjavanjem nivoa vremenske serije za ista tromjesečja:
Za prvi kvartal:
Za drugu četvrtinu:
Za drugu četvrtinu:
Za četvrtu četvrtinu: 
Međusobno poništavanje sezonskih uticaja u multiplikativnom obliku izražava se u činjenici da zbir vrijednosti sezonske komponente za sve kvartale mora biti jednak broju faza u ciklusu. U našem slučaju, broj faza je četiri. Sumirajući prosječne vrijednosti po kvartalu, dobijamo:
Pošto se ispostavilo da zbroj nije jednak četiri, potrebno je prilagoditi vrijednosti sezonske komponente. Nađimo amandman da promijenimo preliminarne procjene sezonalnosti:
Određujemo prilagođene sezonske vrijednosti, a rezultate sumiramo u tabeli 6.
Tabela 6
Procjena sezonske komponente u multiplikativnom modelu .
| Broj četvrtine | i | Preliminarna procjena sezonske komponente, | Prilagođena vrijednost sezonske komponente, |
| I | 1 | 0,917 | 0,921 |
| II | 2 | 0,973 | 0,978 |
| III | 3 | 0,995 | 1,000 |
| IV | 4 | 1,096 | 1,101 |
| 3,981 | 4 |
Vršimo sezonsko prilagođavanje izvornih podataka, odnosno uklanjamo sezonsku komponentu.
Tabela 7
Izgradnja sezonskog modela multiplikativnog trenda.
| t | Uvoz robe, milijarde američkih dolara | sezonska komponenta, | Desezonizovani uvoz robe, | Procijenjena vrijednost | Procijenjena vrijednost uvoza robe,  |
| 1 | 9,8 | 0,921 | 10,6406 | 11,48 | 10,57308 |
| 2 | 11,8 | 0,978 | 12,0654 | 11,85 | 11,5893 |
| 3 | 12,6 | 1 | 12,6 | 12,32 | 12,32 |
| 4 | 14,6 | 1,101 | 13,2607 | 12,89 | 14,19189 |
| 5 | 12,9 | 0,921 | 14,0065 | 13,56 | 12,48876 |
| 6 | 14,7 | 0,978 | 15,0307 | 14,33 | 14,01474 |
| 7 | 15,5 | 1 | 15,5 | 15,2 | 15,2 |
| 8 | 17,8 | 1,101 | 16,1671 | 16,17 | 17,80317 |
| 9 | 16 | 0,921 | 17,3724 | 17,24 | 15,87804 |
| 10 | 18 | 0,978 | 18,4049 | 18,41 | 18,00498 |
| 11 | 19,8 | 1 | 19,8 | 19,68 | 19,68 |
| 12 | 23,7 | 1,101 | 21,5259 | 21,05 | 23,17605 |
| 13 | 21 | 0,921 | 22,8013 | 22,52 | 20,74092 |
| 14 | 23,9 | 0,978 | 24,4376 | 24,09 | 23,56002 |
| 15 | 26,9 | 1 | 26,9 | 25,76 | 25,76 |
| 16 | 31,7 | 1,101 | 28,792 | 27,53 | 30,31053 |
Koristeći OLS dobijamo sljedeću jednačinu trenda:3
Prikažimo grafički niz ostataka:
Rice. 3. Grafikon reziduala
Nakon analize rezultirajućeg grafa, možemo zaključiti da su fluktuacije ovog niza nasumične.
Kvalitet modela se može provjeriti i pomoću indikatora asimetrije i kurtozisa reziduala. U našem slučaju dobijamo:
,
tada se hipoteza o normalnoj raspodjeli reziduala odbacuje.
Pošto je jedna od nejednakosti zadovoljena, prikladno je zaključiti da se hipoteza o normalnoj prirodi raspodjele reziduala odbacuje.
Posljednji korak u primjeni krivulja rasta je izračunavanje prognoze na osnovu odabrane jednačine.
Za prognozu uvoza robe naredne godine, procijenimo vrijednosti trenda na t =17, t =18, t =19 i t =20:
4. Ličko N.M. Planiranje u agrobiznis preduzećima. – M., 1996.
5. Finam. Događaji i tržišta, – http://www.finam.ru/
Vrste i metode analize vremenskih serija
Vremenska serija je skup uzastopnih mjerenja varijable uzetih u jednakim vremenskim intervalima. Analiza vremenskih serija vam omogućava da rešite sledeće probleme:
- istražiti strukturu vremenske serije koja, po pravilu, uključuje trend – redovne promjene prosječnog nivoa, kao i slučajne periodične fluktuacije;
- istražiti uzročno-posljedične veze između procesa koji određuju promjene u serijama, a koje se manifestiraju u korelacijama između vremenskih serija;
- izgraditi matematički model procesa predstavljenog vremenskom serijom;
- transformirati vremenske serije koristeći alate za izglađivanje i filtriranje;
- predvidjeti budući razvoj procesa.
Značajan dio poznatih metoda namijenjen je analizi stacionarnih procesa čija su statistička svojstva, karakterizirana normalnom distribucijom po srednjoj vrijednosti i varijansi, konstantna i ne mijenjaju se tokom vremena.
Ali serije često imaju nestacionarni karakter. Nestacionarnost se može eliminisati na sledeći način:
- oduzmite trend, tj. promjene prosječne vrijednosti, predstavljene nekom determinističkom funkcijom koja se može odabrati regresionom analizom;
- izvršiti filtriranje posebnim nestacionarnim filterom.
Standardizirati vremenske serije radi uniformnosti metoda
analizu, preporučljivo je izvršiti njihovo generalno ili sezonsko centriranje dijeljenjem sa prosječnom vrijednošću, kao i normalizaciju dijeljenjem sa standardnom devijacijom.
Centriranjem serije uklanja se srednja vrijednost različita od nule koja može otežati interpretaciju rezultata, na primjer u spektralnoj analizi. Svrha normalizacije je izbjegavanje operacija s velikim brojevima u proračunima, što može dovesti do smanjenja tačnosti proračuna.
Nakon ovih preliminarnih transformacija vremenske serije može se izgraditi njen matematički model prema kojem se vrši predviđanje, tj. Dobijen je neki nastavak vremenske serije.
Da bi se rezultat prognoze uporedio sa originalnim podacima, na njemu se moraju izvršiti transformacije koje su inverzne onima koje su izvršene.
U praksi se najčešće koriste metode modeliranja i predviđanja, a kao pomoćne metode smatraju se korelacija i spektralna analiza. To je zabluda. Metode za predviđanje razvoja prosječnih trendova omogućavaju dobivanje procjena sa značajnim greškama, što otežava predviđanje budućih vrijednosti varijable predstavljene vremenskom serijom.
Metode korelacione i spektralne analize omogućavaju da se identifikuju različita, uključujući inercijalna, svojstva sistema u kojem se razvijaju procesi koji se proučavaju. Upotreba ovih metoda omogućava da se iz trenutne dinamike procesa sa dovoljno pouzdanosti utvrdi kako će i sa kojim zakašnjenjem poznata dinamika uticati na budući razvoj procesa. Za dugoročno predviđanje, ove vrste analiza daju vrijedne rezultate.
Analiza i predviđanje trendova
Analiza trenda je namijenjena proučavanju promjena prosječne vrijednosti vremenske serije uz izgradnju matematičkog modela trenda i na osnovu toga predviđanje budućih vrijednosti serije. Analiza trenda se izvodi konstruiranjem jednostavnih linearnih ili nelinearnih regresijskih modela.
Početni podaci koji se koriste su dvije varijable, od kojih su jedna vrijednosti vremenskog parametra, a druga stvarne vrijednosti vremenske serije. Tokom procesa analize možete:
- testirati nekoliko matematičkih trend modela i odabrati onaj koji preciznije opisuje dinamiku serije;
- izgraditi prognozu budućeg ponašanja vremenske serije na osnovu odabranog trend modela sa određenom sigurnošću;
- ukloniti trend iz vremenske serije kako bi se osigurala njegova stacionarnost, neophodna za korelaciju i spektralnu analizu, a za to je, nakon izračunavanja regresionog modela, potrebno sačuvati ostatke za izvođenje analize.
Različite funkcije i kombinacije koriste se kao trend modeli, kao i power serije, koje se ponekad nazivaju polinomski modeli. Najveću preciznost daju modeli u obliku Fourierovih redova, ali mali broj statističkih paketa dozvoljava korištenje takvih modela.
Ilustrujmo izvođenje modela serijskog trenda. Koristimo niz podataka o američkom bruto nacionalnom proizvodu za period 1929-1978. po trenutnim cijenama. Napravimo model polinomske regresije. Preciznost modela se povećavala sve dok stepen polinoma nije dostigao peti:
Y = 145,6 - 35,67* + 4,59* 2 - 0,189* 3 + 0,00353x 4 + 0,000024* 5,
(14,9) (5,73) (0,68) (0,033) (0,00072) (0,0000056)
Gdje U - BNP, milijarde dolara;
* - godine koje se računaju od prve 1929. godine;
Ispod koeficijenata su njihove standardne greške.
Standardne greške koeficijenata modela su male, ne dostižu vrednosti jednake polovini vrednosti koeficijenata modela. Ovo ukazuje na dobar kvalitet modela.
Koeficijent determinacije modela, jednak kvadratu redukovanog koeficijenta višestruke korelacije, iznosio je 99%. To znači da model objašnjava 99% podataka. Ispostavilo se da je standardna greška modela 14,7 milijardi, a nivo značajnosti nulte hipoteze - hipoteze o nepovezanosti - bio je manji od 0,1%.
Koristeći dobijeni model, moguće je dati prognozu, koja je u poređenju sa stvarnim podacima data u tabeli. PZ. 1.
Prognoza i stvarna veličina američkog BNP-a, milijarde dolara.
Tabela PZ.1
Prognoza dobijena polinomskim modelom nije baš tačna, o čemu svjedoče podaci prikazani u tabeli.
Korelaciona analiza
Korelaciona analiza je neophodna da bi se identifikovale korelacije i njihova kašnjenja – kašnjenja u njihovoj periodičnosti. Komunikacija u jednom procesu se zove autokorelacija, i veza između dva procesa karakterizirana nizom - unakrsne korelacije. Visok nivo korelacije može poslužiti kao indikator uzročno-posledičnih veza, interakcija unutar jednog procesa, između dva procesa, a vrednost kašnjenja ukazuje na vremensko kašnjenje u prenosu interakcije.
Tipično, u procesu izračunavanja vrijednosti korelacijske funkcije na To U ovom koraku izračunava se korelacija između varijabli duž dužine segmenta / = 1,..., (p - k) prvi red X i segment / = To,..., P drugi red K Tako se mijenja dužina segmenata.
Rezultat je vrijednost koja je teška za praktičnu interpretaciju, koja podsjeća na parametarski koeficijent korelacije, ali nije identična njemu. Stoga su mogućnosti korelacione analize, čija se metodologija koristi u mnogim statističkim paketima, ograničene na uski raspon klasa vremenskih serija, koje nisu tipične za većinu ekonomskih procesa.
Ekonomisti u korelacionoj analizi zainteresovani su za proučavanje kašnjenja u prenošenju uticaja sa jednog procesa na drugi ili uticaja početnog poremećaja na kasniji razvoj istog procesa. Za rješavanje takvih problema predložena je modifikacija poznate metode tzv intervalna korelacija".
Kulaichev A.P. Metode i alati za analizu podataka u Windows okruženju. - M.: Informatika i računari, 2003.
Intervalna korelaciona funkcija je niz koeficijenata korelacije izračunatih između fiksnog segmenta prvog reda date veličine i položaja i segmenata jednake veličine drugog reda, odabranih uzastopnim pomacima od početka serije.
Definiciji su dodana dva nova parametra: dužina pomaknutog fragmenta serije i njegova početna pozicija, te se koristi i definicija Pearsonovog koeficijenta korelacije prihvaćena u matematičkoj statistici. To čini izračunate vrijednosti uporedivim i lakim za interpretaciju.
Obično je za izvođenje analize potrebno odabrati jednu ili dvije varijable za autokorelaciju ili unakrsnu korelaciju, a također postaviti sljedeće parametre:
Dimenzija vremenskog koraka analizirane serije za uparivanje
rezultati sa stvarnom vremenskom linijom;
Dužina pomaknutog fragmenta prvog reda, u obliku broja uključenog u
elemenata serije;
Pomak ovog fragmenta u odnosu na početak reda.
Naravno, potrebno je izabrati opciju intervalne korelacije ili neku drugu korelaciju.
Ako je jedna varijabla odabrana za analizu, tada se izračunavaju vrijednosti autokorelacijske funkcije za sukcesivno povećanje kašnjenja. Funkcija autokorelacije nam omogućava da odredimo u kojoj mjeri se dinamika promjena u datom fragmentu reproducira u vlastitim segmentima pomjerenim u vremenu.
Ako su dvije varijable odabrane za analizu, tada se izračunavaju vrijednosti unakrsne korelacijske funkcije za sukcesivno povećanje kašnjenja - pomaka druge odabrane varijable u odnosu na prvu. Funkcija unakrsne korelacije nam omogućava da odredimo u kojoj mjeri se promjene u fragmentu prvog reda reproduciraju u fragmentima drugog reda pomaknutim u vremenu.
Rezultati analize trebaju uključiti procjene kritične vrijednosti koeficijenta korelacije g 0 za hipotezu "r 0= 0" na određenom nivou značajnosti. Ovo vam omogućava da zanemarite statistički beznačajne koeficijente korelacije. Potrebno je dobiti vrijednosti korelacijske funkcije koje ukazuju na kašnjenje. Grafovi auto- ili međukorelacijskih funkcija su vrlo korisni i vizualni.
Ilustrirajmo korištenje unakrsne korelacijske analize primjerom. Procijenimo odnos između stopa rasta BDP-a SAD-a i SSSR-a tokom 60 godina od 1930. do 1979. godine. Da bi se dobile karakteristike dugoročnih trendova, odabran je pomaknut fragment serije da bude dug 25 godina. Kao rezultat, dobijeni su koeficijenti korelacije za različite lagove.
Jedino zaostajanje u kojem se korelacija pokazuje kao značajna je 28 godina. Koeficijent korelacije na ovom lagu je 0,67, dok je prag minimalne vrijednosti 0,36. Pokazalo se da je cikličnost dugoročnog razvoja privrede SSSR-a sa zakašnjenjem od 28 godina bila usko povezana sa cikličnosti dugoročnog razvoja privrede SAD.
Spektralna analiza
Uobičajeni način analize strukture stacionarnih vremenskih serija je korištenje diskretne Fourierove transformacije za procjenu spektralne gustine ili spektra serije. Ova metoda se može koristiti:
- da dobije deskriptivnu statistiku jedne vremenske serije ili deskriptivnu statistiku zavisnosti između dve vremenske serije;
- identificirati periodična i kvaziperiodična svojstva nizova;
- provjeriti adekvatnost modela izgrađenih drugim metodama;
- za prezentaciju komprimiranih podataka;
- da se interpolira dinamika vremenskih serija.
Preciznost procjena spektralne analize može se povećati korištenjem posebnih metoda – korištenjem prozora za izravnavanje i metodama usrednjavanja.
Za analizu morate odabrati jednu ili dvije varijable i navesti sljedeće parametre:
- dimenzija vremenskog koraka analizirane serije, neophodna za koordinaciju rezultata sa skalama realnog vremena i frekvencije;
- dužina To analizirani segment vremenske serije, u obliku broja podataka koji su u njega uključeni;
- pomak sljedećeg segmenta reda do 0 u odnosu na prethodni;
- vrsta vremenskog prozora za uglađivanje za suzbijanje tzv efekat curenja struje;
- vrsta usrednjavanja frekvencijskih karakteristika izračunatih za uzastopne segmente vremenske serije.
Rezultati analize uključuju spektrograme - vrijednosti karakteristika amplitudno-frekventnog spektra i vrijednosti fazno-frekventnih karakteristika. U slučaju unakrsne spektralne analize, rezultati su i vrijednosti prijenosne funkcije i funkcije koherencije spektra. Rezultati analize mogu uključivati i podatke periodograma.
Amplitudno-frekvencijska karakteristika unakrsnog spektra, koja se naziva i unakrsna spektralna gustina, predstavlja zavisnost amplitude međusobnog spektra dva međusobno povezana procesa o frekvenciji. Ova karakteristika jasno pokazuje na kojim se frekvencijama uočavaju sinhrone i odgovarajuće po veličini promjene snage u dvije analizirane vremenske serije ili gdje se nalaze područja njihovih maksimalnih podudarnosti i maksimalnih neslaganja.
Ilustrirajmo korištenje spektralne analize primjerom. Analizirajmo talase ekonomskih prilika u Evropi u periodu početka industrijskog razvoja. Za analizu koristimo neuglađenu vremensku seriju indeksa cijena pšenice u prosjeku od Beveridgea na osnovu podataka sa 40 evropskih tržišta tokom 370 godina od 1500. do 1869. Dobijamo spektre
serija i njeni pojedinačni segmenti u trajanju od 100 godina svakih 25 godina.
Spektralna analiza vam omogućava da procenite snagu svakog harmonika u spektru. Najmoćniji su talasi sa periodom od 50 godina, koje je, kao što je poznato, otkrio N. Kondratiev 1 i dobio njegovo ime. Analiza nam omogućava da utvrdimo da oni nisu nastali krajem 17. - početkom 19. stoljeća, kako smatraju mnogi ekonomisti. Formirani su od 1725. do 1775. godine.
Konstrukcija autoregresivnih i integrisanih modela pokretnog proseka ( ARIMA) smatraju se korisnim za opisivanje i predviđanje stacionarnih vremenskih serija i nestacionarnih serija koje pokazuju uniformne fluktuacije oko promjenjive srednje vrijednosti.
Modeli ARIMA su kombinacije dva modela: autoregresije (AR) i pokretni prosek (pokretni prosek - MA).
Modeli pokretnih prosjeka (MA) predstavljaju stacionarni proces kao linearnu kombinaciju uzastopnih vrijednosti takozvanog “bijelog šuma”. Pokazalo se da su takvi modeli korisni i kao nezavisni opisi stacionarnih procesa i kao dodatak autoregresivnim modelima za detaljniji opis komponente buke.
Algoritmi za proračun parametara modela MA su vrlo osjetljivi na pogrešan izbor broja parametara za određenu vremensku seriju, posebno u smjeru njihovog povećanja, što može rezultirati nedostatkom konvergencije proračuna. Preporučuje se da se u početnim fazama analize ne odabire model pokretnog prosjeka s velikim brojem parametara.
Preliminarna procjena - prva faza analize pomoću modela ARIMA. Proces preliminarne procjene završava se prihvatanjem hipoteze o adekvatnosti modela vremenskoj seriji ili iscrpljivanjem dozvoljenog broja parametara. Kao rezultat, rezultati analize uključuju:
- vrijednosti parametara autoregresivnog modela i modela pokretnog prosjeka;
- za svaki korak prognoze naznačena je prosječna vrijednost prognoze, standardna greška prognoze, interval pouzdanosti prognoze za određeni nivo značajnosti;
- statistika za procjenu nivoa značajnosti hipoteze nekoreliranih reziduala;
- grafikoni vremenskih serija koji pokazuju standardnu grešku prognoze.
- Značajan dio materijala u dijelu PZ baziran je na odredbama knjiga: Basovsky L.E. Predviđanje i planiranje u tržišnim uslovima. - M.: INFRA-M, 2008. Gilmore R. Primijenjena teorija katastrofa: U 2 knjige. Book 1/ Per. sa engleskog M.: Mir, 1984.
- Jean Baptiste Joseph Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier; 1768-1830) - francuski matematičar i fizičar.
- Nikolaj Dmitrijevič Kondratjev (1892-1938) - ruski i sovjetski ekonomista.
ANALIZA VREMENSKIH SERIJA
UVOD
POGLAVLJE 1. ANALIZA VREMENSKIH SERIJA
1.1 VREMENSKI NIZ I NJEGOVI OSNOVNI ELEMENTI
1.2 AUTOKORELACIJA NIVOA VREMENSKOG SERIJA I IDENTIFIKACIJA NJEGOVE STRUKTURE
1.3 MODELIRANJE TRENDOVA VREMENSKIH SERIJA
1.4 Metoda najmanjeg kvadrata
1.5 REDUKCIJA JEDNAČINE TRENDA NA LINEARNI FORM
1.6 PROCJENA PARAMETARA REGRESIJE JEDNAČINE
1.7 ADITIVNI I MNOŽENI MODELI VREMENSKIH REDOVA
1.8 STACIONARNI VREMENSKI NIZ
1.9 PRIMJENA BRZE FOURIEROVE TRANSFORMACIJE NA STACIONARNI VREMENSKI RED
1.10 AUTOKORELACIJA REZIDUALA. DURBIN-WATSON KRITERIJ
Uvod
Gotovo u svakoj oblasti postoje fenomeni koji su zanimljivi i važni za proučavanje u njihovom razvoju i promjeni tokom vremena. U svakodnevnom životu mogu biti zanimljivi, na primjer, meteorološki uslovi, cijene određenog proizvoda, određene karakteristike zdravstvenog stanja pojedinca itd. Sve se to mijenja s vremenom. S vremenom se mijenjaju poslovna aktivnost, način određenog proizvodnog procesa, dubina sna i percepcija televizijskog programa. Ukupnost mjerenja bilo koje karakteristike ove vrste u određenom vremenskom periodu predstavlja vremenske serije.
Skup postojećih metoda za analizu takvih serija zapažanja naziva se analiza vremenskih serija.
Glavna karakteristika koja razlikuje analizu vremenskih serija od drugih tipova statističke analize je važnost redosleda u kojem se vrše zapažanja. Ako su u mnogim problemima posmatranja statistički nezavisna, onda su u vremenskim serijama po pravilu zavisna, a priroda ove zavisnosti može se odrediti pozicijom opažanja u nizu. Priroda serije i struktura procesa koji generira niz mogu unaprijed odrediti redoslijed u kojem se niz formira.
Target Rad se sastoji u dobijanju modela za diskretnu vremensku seriju u vremenskom domenu, koja ima maksimalnu jednostavnost i minimalan broj parametara i istovremeno adekvatno opisuje opažanja.
Dobivanje takvog modela važno je iz sljedećih razloga:
1) može pomoći da se razume priroda sistema koji generiše vremenske serije;
2) kontroliše proces koji generiše niz;
3) može se koristiti za optimalno predviđanje budućih vrijednosti vremenskih serija;
Vremenske serije su najbolje opisane nestacionarni modeli, u kojoj se trendovi i druge pseudostabilne karakteristike, koje se eventualno mijenjaju tokom vremena, smatraju statističkim, a ne determinističkim fenomenima. Osim toga, vremenske serije povezane sa ekonomijom često su uočljive sezonski, ili periodične, komponente; ove komponente mogu varirati tokom vremena i moraju biti opisane cikličkim statističkim (moguće nestacionarnim) modelima.
Neka posmatrana vremenska serija bude y 1 , y 2 , . . ., y n . Ovaj unos ćemo razumjeti na sljedeći način. Postoje T brojevi koji predstavljaju posmatranje neke varijable u T jednako udaljenim trenucima u vremenu. Radi praktičnosti, ovi momenti su numerisani celim brojevima 1, 2, . . .,T. Prilično općeniti matematički (statistički ili probabilistički) model je model u obliku:
y t = f(t) + u t , t = 1, 2, . . ., T.
U ovom modelu, posmatrani niz se smatra zbirom nekog potpuno determinističkog niza (f(t)), koji se može nazvati matematičkom komponentom, i slučajnog niza (u t ), koji se povinuje nekom verovatnosnom zakonu. (A ponekad se za ove dvije komponente koriste termini signal i šum). Ove komponente posmatranog niza su neuočljive; one su teorijske veličine. Tačno značenje ove dekompozicije ne ovisi samo o samim podacima, već dijelom i o tome što se podrazumijeva pod ponavljanjem eksperimenta iz kojeg su ti podaci rezultat. Ovdje se koristi takozvana „frekvencijska“ interpretacija. Vjeruje se da je, barem u principu, moguće ponoviti cijelu situaciju, dobijajući nove skupove zapažanja. Slučajne komponente, između ostalog, mogu uključivati i greške opservacije.
Ovaj rad razmatra model vremenske serije u kojem je slučajna komponenta superponirana na trend, formirajući slučajni stacionarni proces. U takvom modelu se pretpostavlja da protok vremena ni na koji način ne utiče na slučajnu komponentu. Preciznije, pretpostavlja se da je matematičko očekivanje (odnosno prosječna vrijednost) slučajne komponente identično jednako nuli, varijansa jednaka nekoj konstanti i da su vrijednosti u t u različitim vremenima nekorelirane. Dakle, bilo koja vremenska zavisnost je uključena u sistematsku komponentu f(t). Niz f(t) može zavisiti od nekih nepoznatih koeficijenata i od poznatih veličina koje se mijenjaju tokom vremena. U ovom slučaju to se naziva „funkcija regresije“. Metode statističkog zaključivanja za koeficijente funkcije regresije pokazale su se korisnim u mnogim oblastima statistike. Jedinstvenost metoda vezanih za vremenske serije je u tome što proučavaju one modele u kojima su gore navedene veličine koje se mijenjaju tokom vremena poznate funkcije t.
Poglavlje 1. Analiza vremenskih serija
1.1 Vremenska serija i njeni glavni elementi
Vremenska serija je skup vrijednosti bilo kojeg indikatora za nekoliko uzastopnih trenutaka ili vremenskih perioda. Svaki nivo vremenske serije formira se pod uticajem velikog broja faktora koji se mogu podeliti u tri grupe:
· faktori koji oblikuju trend serije;
· faktori koji formiraju cikličke fluktuacije u seriji;
· slučajni faktori.
Uz različite kombinacije ovih faktora u procesu ili fenomenu koji se proučava, zavisnost nivoa serije od vremena može imati različite oblike. Prvo, većina vremenskih serija ekonomskih indikatora ima trend koji karakteriše dugoročni kumulativni uticaj mnogih faktora na dinamiku indikatora koji se proučava. Očigledno je da ovi faktori, uzeti odvojeno, mogu imati višesmjerni uticaj na indikator koji se proučava. Međutim, zajedno čine trend rasta ili smanjenja.
drugo, indikator koji se proučava može biti podložan cikličnim fluktuacijama. Ove fluktuacije mogu biti sezonske, jer aktivnosti brojnih privrednih i poljoprivrednih sektora zavise od doba godine. Ako su velike količine podataka dostupne tokom dugih vremenskih perioda, moguće je identificirati ciklične fluktuacije povezane s ukupnom dinamikom vremenske serije.
Neke vremenske serije ne sadrže trend ili cikličku komponentu, a svaki sljedeći nivo se formira kao zbir prosječnog nivoa serije i neke (pozitivne ili negativne) slučajne komponente.
U većini slučajeva, stvarni nivo vremenske serije može se predstaviti kao zbir ili proizvod trenda, cikličkih i slučajnih komponenti. Naziva se model u kojem je vremenska serija predstavljena kao zbir navedenih komponenti aditivni model vremenske serije. Naziva se model u kojem se vremenska serija predstavlja kao proizvod navedenih komponenti multiplikativni model vremenske serije. Glavni zadatak statističke studije pojedinačne vremenske serije je da identifikuje i kvantificira svaku od gore navedenih komponenti kako bi se dobivene informacije koristile za predviđanje budućih vrijednosti serije.
1.2 Autokorelacija nivoa vremenske serije i identifikacija njene strukture
Ako postoji trend i ciklične fluktuacije u vremenskoj seriji, vrijednosti svakog sljedećeg nivoa serije zavise od prethodnih. Korelaciona zavisnost između uzastopnih nivoa vremenske serije naziva se autokorelacija nivoa serije.
Može se kvantitativno mjeriti korištenjem koeficijenta linearne korelacije između nivoa originalne vremenske serije i nivoa ove serije, pomjerenih za nekoliko koraka u vremenu.
Jedna od radnih formula za izračunavanje koeficijenta autokorelacije je:
(1.2.1)Kao promenljivu x, smatraćemo niz y 2, y 3, ..., y n; kao varijabla y – serija y 1, y 2, . . . ,y n – 1 . Tada će gornja formula poprimiti oblik:
(1.2.2)Slično, mogu se odrediti koeficijenti autokorelacije drugog i višeg reda. Dakle, koeficijent autokorelacije drugog reda karakteriše bliskost veze između nivoa y t i y t – 1 i određen je formulom
(1.2.3)Poziva se broj perioda za koje se izračunava koeficijent autokorelacije lagom. Kako se kašnjenje povećava, smanjuje se broj parova vrijednosti iz kojih se izračunava koeficijent autokorelacije. Neki autori smatraju da je preporučljivo koristiti pravilo kako bi se osigurala statistička pouzdanost koeficijenata autokorelacije – maksimalno zaostajanje ne bi trebalo biti veće od (n/4).
Ciljevi analize vremenskih serija. U praktičnom proučavanju vremenskih serija zasnovanih na ekonomskim podacima tokom određenog vremenskog perioda, ekonometričar mora izvući zaključke o svojstvima ove serije i verovatnoćasnom mehanizmu koji generiše ovu seriju. Najčešće se prilikom proučavanja vremenskih serija postavljaju sljedeći ciljevi:
1. Kratak (komprimovani) opis karakterističnih karakteristika serije.
2. Izbor statističkog modela koji opisuje vremensku seriju.
3. Predviđanje budućih vrijednosti na osnovu prošlih zapažanja.
4. Kontrola procesa koji generiše vremensku seriju.
U praksi, ovi i slični ciljevi su daleko od uvijek i daleko od toga da su u potpunosti ostvarivi. Ovo je često otežano nedovoljno posmatranja zbog ograničenog vremena posmatranja. Još češće se statistička struktura vremenske serije mijenja tokom vremena.
Faze analize vremenskih serija. Obično se u praktičnoj analizi vremenskih serija uzastopno slijede sljedeće faze:
1. Grafički prikaz i opis ponašanja privremenog rada.
2. Identifikacija i uklanjanje redovnih komponenti vremenskog rada, ovisno o vremenu: trend, sezonske i ciklične komponente.
3. Izolacija i uklanjanje nisko ili visokofrekventnih komponenti procesa (filtracija).
4. Proučavanje nasumične komponente vremenske serije preostale nakon uklanjanja gore navedenih komponenti.
5. Konstrukcija (izbor) matematičkog modela za opisivanje slučajne komponente i provjera njene adekvatnosti.
6. Predviđanje budućeg razvoja procesa predstavljenog vremenskom serijom.
7. Proučavanje interakcija između različitih vremenskih opsega.
Metode analize vremenskih serija. Postoji veliki broj različitih metoda za rješavanje ovih problema. Od njih, najčešći su sljedeći:
1. Korelaciona analiza, koja omogućava da se identifikuju značajne periodične zavisnosti i njihova kašnjenja (kašnjenja) unutar jednog procesa (autokorelacija) ili između više procesa (unakrsna korelacija).
2. Spektralna analiza, koja omogućava pronalaženje periodičnih i kvaziperiodičnih komponenti vremenske serije.
3. Izglađivanje i filtriranje, dizajnirano da transformiše vremenske serije kako bi se uklonile visokofrekventne ili sezonske fluktuacije iz njih.
5. Predviđanje, koje omogućava da se na osnovu odabranog modela ponašanja privremenog rada predvidi njegove vrijednosti u budućnosti.
Modeli trendova i metode za njihovo izdvajanje iz vremenskih serija
Najjednostavniji trend modeli. Evo trend modela koji se najčešće koriste u analizi ekonomskih vremenskih serija, kao i u mnogim drugim oblastima. Prvo, to je jednostavan linearni model
Gdje a 0, a 1– koeficijenti modela trenda;
t – vrijeme.
Jedinica vremena može biti sat, dan(i), sedmica, mjesec, tromjesečje ili godina. Model 3.1. Uprkos svojoj jednostavnosti, pokazalo se da je koristan u mnogim problemima iz stvarnog života. Ako je nelinearna priroda trenda očigledna, tada bi jedan od sljedećih modela mogao biti prikladan:
1. Polinom :
(3.2)
gdje je stepen polinoma P u praktičnim problemima rijetko prelazi 5;
2. logaritamski:
Ovaj model se najčešće koristi za podatke koji imaju tendenciju održavanja konstantne stope rasta;
3. Logistika :
(3.4)
Gompertz
(3.5)
Posljednja dva modela proizvode krivulje trenda u obliku slova S. Oni odgovaraju procesima sa postupnim povećanjem stopa rasta u početnoj fazi i postepeno opadajućim stopama rasta na kraju. Potreba za ovakvim modelima je zbog nemogućnosti da se mnogi ekonomski procesi razvijaju dugo vremena konstantnim stopama rasta ili prema polinomskim modelima, zbog njihovog prilično brzog rasta (ili smanjenja).
Prilikom predviđanja, trend se prvenstveno koristi za dugoročne prognoze. Tačnost kratkoročnih prognoza zasnovanih samo na prilagođenoj krivulji trenda je obično nedovoljna.
Metoda najmanjih kvadrata najčešće se koristi za procjenu i uklanjanje trendova iz vremenskih serija. Ova metoda je detaljnije razmotrena u drugom dijelu priručnika u problemima analize linearne regresije. Vrijednosti vremenske serije se tretiraju kao odgovor (zavisna varijabla) i vrijeme t– kao faktor koji utiče na odgovor (nezavisna varijabla).
Vremenske serije karakterišu međusobna zavisnost njegovi članovi (barem vremenski ne udaljeni) i to je značajna razlika od obične regresione analize, za koju se pretpostavlja da su sva opažanja nezavisna. Međutim, procjene trenda u ovim uvjetima su obično razumne ako se odabere adekvatan model trenda i ako među zapažanjima nema velikih odstupanja. Gore spomenuta kršenja ograničenja regresione analize utječu ne toliko na vrijednosti procjena koliko na njihova statistička svojstva. Dakle, u prisustvu primetne zavisnosti između članova vremenske serije, procene varijanse zasnovane na rezidualnom sumi kvadrata (2.3) daju netačne rezultate. Intervali povjerenja za koeficijente modela, itd., također se ispostavljaju netačnim. U najboljem slučaju, mogu se smatrati vrlo približnim.
Ova situacija se može djelomično ispraviti primjenom modificiranih algoritama najmanjih kvadrata, kao što su ponderirani najmanji kvadrati. Međutim, ove metode zahtijevaju dodatne informacije o tome kako se mijenja varijansa opažanja ili njihova korelacija. Ako takve informacije nisu dostupne, istraživači moraju koristiti klasičnu metodu najmanjih kvadrata, uprkos ovim nedostacima.
