Regularni poligon. Broj stranica pravilnog poligona. Poligon geometrijske figure Prikazan je poligon sa tri strane

Poznavanje terminologije, kao i poznavanje svojstava različitih geometrijskih oblika pomoći će u rješavanju mnogih problema u geometriji. Kada proučava dio kao što je planimetrija, student često naiđe na termin „poligon”. Koju figuru karakteriše ovaj koncept?

Poligon - definicija geometrijske figure

Zatvorena izlomljena linija, čiji svi presjeci leže u istoj ravni i nemaju dijelove samopresjeka, formira geometrijsku figuru koja se naziva poligon. Broj veza isprekidane linije mora biti najmanje 3. Drugim riječima, poligon je definiran kao dio ravni čija je granica zatvorena izlomljena linija.

Prilikom rješavanja problema koji uključuju poligon, koncepti kao što su:

Strana poligona. Ovaj pojam karakterizira segment (kariku) prekinutog lanca željene figure.
Ugao poligona (unutrašnji) – ugao koji čine 2 susjedne karike isprekidane linije.
Vrh poligona je definiran kao vrh polilinije.
Dijagonala poligona je segment koji povezuje bilo koja 2 vrha (osim susjednih) poligonalne figure.

U ovom slučaju, broj veza i broj vrhova izlomljene linije unutar jednog poligona poklapaju se. U zavisnosti od broja uglova (odnosno segmenata polilinije), određuje se vrsta poligona:

3 ugla - trougao.
4 ugla - četverougao.
5 uglova - pentagon, itd.

Ako poligonalna figura ima jednakih uglova pa prema tome i stranice, onda kažu da je ovaj poligon pravilan.

Vrste poligona

Svi poligonalni geometrijski oblici podijeljeni su u 2 tipa - konveksni i konkavni.

Ako bilo koja strana poligona, nakon nastavka ravne linije, ne tvori točke presjeka sa samom figurom, imate konveksan poligonalni lik.
Ako, nakon nastavka stranice (bilo koju), rezultirajuća prava linija siječe poligon, govorimo o konkavnom poligonu.

Svojstva poligona

Bez obzira da li je poligonalna figura koja se proučava pravilna ili ne, ona ima sljedeća svojstva. dakle:

Njegovi unutrašnji uglovi čine ukupno (p – 2)*π, pri čemu je

π – radijanska mjera zarotiranog ugla, odgovara 180°,

p – broj uglova (vrhova) poligonalne figure (p-ugla).

Broj dijagonala bilo koje poligonalne figure određuje se iz omjera p*(p – 3) / 2, gdje je

p – broj strana p-ugla.

Vrste poligona:

Četvorouglovi

Četvorouglovi, odnosno sastoje se od 4 strane i uglova.

Stranice i uglovi jedan naspram drugog nazivaju se suprotno.

Dijagonale dijele konveksne četverouglove na trouglove (vidi sliku).

Zbir uglova konveksnog četvorougla je 360° (pomoću formule: (4-2)*180°).

Paralelogrami

Paralelogram je konveksan četvorougao sa suprotnim paralelnim stranicama (numerisanim na slici 1).

Suprotne strane i uglovi u paralelogramu su uvek jednaki.

A dijagonale u točki presjeka su podijeljene na pola.

Trapez

Trapez- ovo je takođe četvorougao, i u trapezi Samo dvije strane su paralelne, koje se nazivaju razlozi. Druge strane jesu strane .

Trapez na slici je označen brojevima 2 i 7.

Kao u trouglu:

Ako su stranice jednake, onda je trapez jednakokraki;

Ako je jedan od uglova pravi, onda je trapez pravougaona.

Srednja linija trapeza jednaka je polovini zbira baza i paralelna je s njima.

Rhombus

Rhombus je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

Pored svojstava paralelograma, rombovi imaju svoje posebno svojstvo - Dijagonale romba su okomite jedno drugom i prepoloviti uglove romba.

Na slici je romb broj 5.

Pravokutnici

Pravougaonik je paralelogram u kojem je svaki ugao pravi (vidi sliku broj 8).

Osim svojstava paralelograma, pravokutnici imaju svoje posebno svojstvo - dijagonale pravougaonika su jednake.

Kvadrati

Square je pravougaonik sa svim stranama jednakim (br. 4).

Ima svojstva pravougaonika i romba (pošto su sve stranice jednake).

Tema: “Poligoni. Vrste poligona”

9. razred

SHL br. 20

Nastavnik: Kharitonovich T.I. Svrha časa: proučavanje tipova poligona.

Zadatak učenja: ažurirati, proširiti i generalizirati znanja učenika o poligonima; formiraju ideju o "komponentnim dijelovima" poligona; provesti studiju broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trougla do n-ugla);

Razvojni zadatak: razvijati sposobnost analize, upoređivanja, zaključivanja, razvijati računske vještine, usmeni i pismeni matematički govor, pamćenje, kao i samostalnost u razmišljanju i obrazovne aktivnosti, sposobnost rada u parovima i grupama; razvijati istraživanja i kognitivna aktivnost;

Edukativni zadatak: negovati samostalnost, aktivnost, odgovornost za zadati posao, istrajnost u postizanju cilja.

Oprema: interaktivna tabla (prezentacija)

Tokom nastave

Prikaz prezentacije: “Poligoni”

„Priroda govori jezikom matematike, slovima ovog jezika... matematičke figure" G.Galliley

Na početku časa razred se deli u radne grupe (u našem slučaju podeljene u 3 grupe)

1. Faza poziva-

a) ažuriranje znanja učenika o temi;

b) buđenje interesovanja za temu koja se proučava, motivisanje svakog učenika za obrazovne aktivnosti.

Tehnika: Igra „Vjeruješ li da...“, organizacija rada sa tekstom.

Oblici rada: frontalni, grupni.

“Vjeruješ li da...”

1. ... riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj porodici imaju "mnogo uglova"?

2. ... da li trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuje po raznovrsnosti različitih geometrijskih oblika na ravni?

3. ... da li je kvadrat pravilan osmougao (četiri stranice + četiri ugla)?

Danas ćemo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ova figura ograničena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o činjenici da poligoni mogu biti ravni, pravilni ili konveksni. Jedan od ravnih poligona je trougao, koji vam je odavno poznat (učenicima možete pokazati postere koji prikazuju poligone, isprekidanu liniju, prikazati njihove različite vrste, možete koristiti i TSO).

2. Faza začeća

Cilj: dobiti nove informacije, razumjeti ih, odabrati.

Tehnika: cik-cak.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Svaki član grupe dobija tekst na temu nastavnog časa, a tekst je sastavljen tako da sadrži i informacije koje su učenicima već poznate i informacije koje su potpuno nove. Uz tekst učenici dobijaju pitanja na koja odgovore moraju pronaći u ovom tekstu.

Poligoni. Vrste poligona.

Ko nije čuo za misterioznu Bermudski trokut, u kojem brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut, poznat nam iz djetinjstva, prepun je mnogo zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Pored već poznatih tipova trokuta, podijeljenih stranicama (skalenasti, jednakokraki, jednakostranični) i uglovima (oštri, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na avion.

Riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj porodici imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.

Izlomljena linija A1A2...An je figura koja se sastoji od tačaka A1,A2,...An i odsječaka A1A2, A2A3,... koji ih spajaju. Tačke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti karike polilinije. (SLIKA 1)

Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2, 3).

Polilinija se naziva zatvorenom ako joj se krajevi poklapaju. Dužina isprekidane linije je zbir dužina njenih karika (slika 4)

Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5).

Zamijenite određeni broj, na primjer 3, u riječ “poligon” umjesto dijela “mnogo” Dobićete trougao. Ili 5. Zatim - pentagon. Imajte na umu da, koliko god uglova ima, toliko je i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati polilateralima.

Vrhovi izlomljene linije nazivaju se vrhovi poligona, a karike izlomljene linije nazivaju se stranice poligona.

Poligon deli ravan na dve oblasti: unutrašnje i spoljašnje (slika 6).

Ravan poligon ili poligonalna površina je konačni dio ravni omeđen poligonom.

Dva vrha poligona koji su krajevi jedne strane nazivaju se susjedni. Vrhovi koji nisu krajevi jedne strane nisu susjedni.

Poligon sa n vrhova, a samim tim i sa n stranica, naziva se n-ugao.

Iako najmanji broj Postoje 3 strane poligona, ali trouglovi, kada su povezani jedan sa drugim, mogu formirati druge figure, koje su takođe poligoni.

Segmenti koji povezuju nesusedne vrhove poligona nazivaju se dijagonale.

Poligon se naziva konveksan ako leži u istoj poluravni u odnosu na bilo koju liniju koja sadrži njegovu stranu. U ovom slučaju, smatra se da sama ravna linija pripada POLURAVNI

Ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji formiraju njegove strane koje konvergiraju u ovom vrhu.

Dokažimo teoremu (o zbiru uglova konveksnog n-ugla): Zbir uglova konveksnog n-ugla je jednak 1800*(n - 2).

Dokaz. U slučaju n=3 teorema je važeća. Neka je A1A2...A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Pošto je poligon konveksan, ove dijagonale ga dijele na n – 2 trougla. Zbir uglova poligona je zbir uglova svih ovih trouglova. Zbir uglova svakog trougla je 1800, a broj ovih trouglova n je 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n trougla A1A2...A n je 1800* (n - 2). Teorema je dokazana.

Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom poligona u ovom vrhu.

Konveksni poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice jednake i svi uglovi jednaki.

Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverougao. Jednakostranični trouglovi su takođe pravilni. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade. Pravili su prekrasne šare, na primjer na parketu. Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za izradu parketa. Parket se ne može praviti od pravilnih osmougaonika. Činjenica je da je svaki ugao jednak 1350. A ako je bilo koja tačka vrh dva takva osmougla, onda će njihov udio biti 2700, a treći osmougao nema gdje da stane: 3600 - 2700 = 900. Ali za kvadrat ovo je dovoljno. Stoga možete napraviti parket od pravilnih osmougaonika i kvadrata.

Zvezdice su takođe tačne. Naša petokraka zvijezda je pravilna petougaona zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko centra za 450, dobit ćete pravilnu osmougaonu zvijezdu.

Šta je izlomljena linija? Objasnite šta su vrhovi i veze polilinije.

Koja izlomljena linija se zove jednostavna?

Koja izlomljena linija se zove zatvorena?

Kako se zove poligon? Kako se nazivaju vrhovi poligona? Kako se zovu stranice poligona?

Koji se poligon naziva ravan? Navedite primjere poligona.

Šta je n – kvadrat?

Objasnite koji vrhovi poligona su susjedni, a koji nisu.

Kolika je dijagonala poligona?

Koji se poligon naziva konveksan?

Objasni koji su uglovi poligona spoljašnji, a koji unutrašnji?

Koji se poligon naziva pravilnim? Navedite primjere pravilnih poligona.

Koliki je zbir uglova konveksnog n-ugla? Dokaži to.

Učenici rade sa tekstom, traže odgovore na postavljena pitanja, nakon čega se formiraju stručne grupe u kojima se radi na istim temama: učenici ističu glavne tačke, sastavljaju prateći sažetak i iznose informacije u jednom od grafičke forme. Po završetku rada učenici se vraćaju u svoje radne grupe.

3. Faza refleksije -

a) procjena vlastitog znanja, izazov za sljedeći korak znanja;

b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.

Prijem: istraživački rad.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Radne grupe uključuju stručnjake koji odgovaraju na svaki dio predloženih pitanja.

Vraćajući se u radnu grupu, stručnjak sa odgovorima na svoja pitanja upoznaje ostale članove grupe. Grupa razmjenjuje informacije između svih članova radne grupe. Dakle, u svakom radna grupa, zahvaljujući radu stručnjaka, dobija oblik opšta ideja na temu koja se proučava.

Istraživanja studenti– popunjavanje tabele.

Pravilni poligoni Crtež Broj stranica Broj vrhova Zbir svih unutrašnjih uglova Unutrašnja mjera stepena. ugao Stepen mjera vanjskog ugla Broj dijagonala

A) trougao

B) četvorougao

B) sa pet rupa

D) heksagon

D) n-ugao

Rješavanje zanimljivih zadataka na temu lekcije.

1) Koliko stranica ima pravilan mnogougao, čiji je svaki unutrašnji ugao 1350?

2) U određenom poligonu svi unutrašnji uglovi su međusobno jednaki. Može li zbir unutrašnjih uglova ovog poligona biti: 3600, 3800?

3) Da li je moguće izgraditi pentagon sa uglovima od 100,103,110,110,116 stepeni?

Sumiranje lekcije.

Zapis zadaća: STRANA 66-72 Br. 15,17 I ZADATAK: U ČETVORUGONU NACRTATI PRAVU PRAVU TAKO DA JE PODELI NA TRI TROUGLA.

Refleksija u obliku testova (na interaktivnoj tabli)

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Trokut, kvadrat, šesterokut - ove figure su poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi šta je pravilan poligon. Ali to su sve iste.Pravilan poligon je onaj koji ima jednake uglove i stranice. Ima mnogo takvih figura, ali sve imaju ista svojstva i za njih se primjenjuju iste formule.

Svojstva pravilnih poligona

Svaki pravilan poligon, bilo da je kvadrat ili osmougao, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo se često koristi prilikom konstruisanja figure. Osim toga, krug se može upisati u poligon. U ovom slučaju, broj dodirnih tačaka će biti jednak broju njegovih strana. Važno je da kružnica upisana u pravilan poligon sa sobom ima zajednički centar. Ove geometrijske figure podliježu istim teoremama. Bilo koja strana pravilnog n-ugla povezana je sa poluprečnikom kružnice R koja je okružuje. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a = 2R ∙ sin180°. Kroz njega možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.

Kako pronaći broj stranica pravilnog poligona

Svaki se sastoji od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, formiraju zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi uglovi rezultirajuće figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva grupa uključuje trokut i kvadrat. Kompleksni poligoni imaju veći broj strane To također uključuje figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne mnogouglove, stranice se nalaze upisivanjem u krug. Hajde da damo dokaz. Nacrtajte pravilan poligon sa proizvoljnim brojem stranica n. Nacrtajte krug oko njega. Postavite radijus R. Sada zamislite da vam je dat neki n-ugao. Ako tačke njegovih uglova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, onda se stranice mogu naći pomoću formule: a = 2R ∙ sinα: 2.

Određivanje broja stranica upisanog pravilnog trougla

Jednakostranični trougao je pravilan mnogougao. Za njega se primjenjuju iste formule kao za kvadrat i n-ugao. Trokut će se smatrati pravilnim ako su mu stranice jednake po dužini. U ovom slučaju, uglovi su 60⁰. Konstruirajmo trougao sa datom dužinom stranice a. Znajući njegovu medijanu i visinu, možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja preko formule a = x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Pošto su sve strane trougla jednake, dobijamo a = b = c. Tada će sljedeća izjava biti tačna: a = b = c = x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trouglu, ali x će biti data visina. U ovom slučaju, treba ga projicirati striktno na bazu figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranu a jednakokračnog trougla koristeći formulu a = b = x: cosα. Nakon što pronađete vrijednost a, možete izračunati dužinu baze c. Primijenimo Pitagorinu teoremu. Tražićemo vrednost polovine baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Tada je c = 2xtanα. Na ovaj jednostavan način možete pronaći broj strana bilo kojeg upisanog poligona.

Izračunavanje stranica kvadrata upisanog u krug

Kao i svaki drugi upisani pravilni poligon, kvadrat ima jednake strane i uglovi. Za njega se primjenjuju iste formule kao i za trokut. Možete izračunati stranice kvadrata koristeći vrijednost dijagonale. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala dijeli ugao na pola. U početku je njegova vrijednost bila 90 stepeni. Tako se nakon dijeljenja formiraju dva, čiji će uglovi u osnovi biti jednaki 45 stepeni. U skladu s tim, svaka strana kvadrata će biti jednaka, odnosno: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata, odnosno osnova pravokutnog trokuta formiranog nakon divizije. Ovo nije jedini način da pronađete stranice kvadrata. Upišimo ovu figuru u krug. Znajući polumjer ove kružnice R, nalazimo stranu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način: a4 = R√2. Radijusi pravilnih poligona se izračunavaju pomoću formule R = a: 2tg (360 o: 2n), gdje je a dužina stranice.

Kako izračunati obim n-ugla

Opseg n-ugla je zbir svih njegovih strana. Lako je izračunati. Da biste to učinili, morate znati značenja svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam da pronađete perimetar mnogo brže. Poznato je da svaki pravilan poligon ima jednake stranice. Stoga je za izračunavanje njegovog perimetra dovoljno poznavati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P = an, gdje je a bočna vrijednost, a n broj uglova. Na primjer, da biste pronašli obim pravilnog osmougla sa stranom od 3 cm, morate ga pomnožiti sa 8, odnosno P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Za šestougao sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tako za svaki poligon.

Pronalaženje perimetra paralelograma, kvadrata i romba

U zavisnosti od toga koliko stranica ima pravilan poligon, izračunava se njegov perimetar. To znatno olakšava zadatak. Zaista, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju ne morate tražiti sve njegove strane, dovoljna je jedna. Po istom principu nalazimo obim četverokuta, odnosno kvadrata i romba. Unatoč činjenici da su to različite figure, formula za njih je ista: P = 4a, gdje je a strana. Dajemo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada nalazimo obim na sljedeći način: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Za paralelogram, samo suprotne strane. Stoga se njegov perimetar pronalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati dužinu a i širinu b figure. Tada primjenjujemo formulu P = (a + b) ∙ 2. Paralelogram u kojem su sve stranice i uglovi između njih jednaki naziva se romb.

Pronalaženje perimetra jednakostraničnog i pravokutnog trokuta

Opseg ispravnog može se naći pomoću formule P = 3a, gdje je a dužina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijanu. IN pravougaonog trougla samo su dvije strane podjednako važne. Osnova se može naći kroz Pitagorinu teoremu. Kada su vrijednosti sve tri strane poznate, izračunavamo perimetar. Može se naći pomoću formule P = a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c baza. Podsjetimo da je u jednakokračnom trokutu a = b = a, što znači a + b = 2a, tada je P = 2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, hajde da pronađemo njegovu osnovu i perimetar. Vrijednost hipotenuze izračunavamo pomoću Pitagorine teoreme sa = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm, a sada izračunaj perimetar P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako pronaći uglove pravilnog poligona

Pravilan poligon se svakodnevno pojavljuje u našim životima, na primjer, pravilan kvadrat, trokut, osmougao. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je jednostavno samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-ugao, morate znati vrijednost njegovih uglova. Ali kako ih pronaći? Više drevni naučnici pokušao da napravi pravilne poligone. Smislili su kako ih uklopiti u krugove. A onda su na njemu označene potrebne tačke i povezane ravnim linijama. Za jednostavne figure problem konstrukcije je riješen. Dobijene su formule i teoreme. Na primjer, Euklid se u svom poznatom djelu “Početak” bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kuta. Pronašao je načine da ih konstruiše i pronađe uglove. Pogledajmo kako to učiniti za 15-gon. Prvo morate izračunati zbir njegovih unutrašnjih uglova. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Dakle, dat nam je 15-ugao, što znači da je broj n 15. Zamijenimo podatke koje znamo u formulu i dobijemo S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Pronašli smo zbir svih unutrašnjih uglova 15-kuta. Sada morate dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno je uglova 15. Računamo 2340⁰: 15 = 156⁰. To znači da je svaki unutrašnji ugao jednak 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete konstruisati običan 15-ugao. Ali šta je sa složenijim n-uglovima? Tokom mnogih vekova, naučnici su se borili da reše ovaj problem. Pronašao ga je tek u 18. veku Carl Friedrich Gauss. Bio je u stanju da konstruiše 65537-gon. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.

Proračun uglova n-uglova u radijanima

Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje uglova poligona. Najčešće se računaju u stepenima. Ali mogu se izraziti i u radijanima. Kako uraditi? Morate postupiti na sljedeći način. Prvo saznajemo broj stranica pravilnog poligona, a zatim od njega oduzimamo 2. To znači da dobijamo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo brojem n (“pi” = 3,14). Sada sve što ostaje je podijeliti rezultirajući proizvod brojem uglova u n-ugaoniku. Razmotrimo ove proračune koristeći isti dekagon kao primjer. Dakle, broj n je 15. Primijenimo formulu S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo, naravno, nije jedini način izračunavanja ugla u radijanima. Možete jednostavno podijeliti ugao u stepenima sa 57,3. Na kraju krajeva, ovo je koliko stepeni je ekvivalentno jednom radijanu.

Izračunavanje uglova u stepenima

Pored stepeni i radijana, možete pokušati pronaći uglove pravilnog poligona u stepenima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja uglova oduzmite 2 i rezultujuću razliku podelite sa brojem stranica pravilnog poligona. Pronađeni rezultat množimo sa 200. Usput, takva jedinica mjerenja uglova kao stepeni se praktički ne koristi.

Proračun vanjskih uglova n-uglova

Za bilo koji pravilan poligon, osim unutrašnjeg, možete izračunati i vanjski ugao. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za druge brojke. Dakle, da biste pronašli vanjski ugao pravilnog poligona, morate znati vrijednost unutrašnjeg ugla. Nadalje, znamo da je zbir ova dva ugla uvijek jednak 180 stepeni. Zbog toga radimo proračune na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutrašnjeg ugla. Pronalazimo razliku. Bit će jednak vrijednosti ugla pored njega. Na primjer, unutrašnji ugao kvadrata je 90 stepeni, što znači da će vanjski ugao biti 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski ugao može imati vrijednost od +180⁰ do -180⁰, respektivno.