Avion u svemiru - potrebne informacije. Relativni položaj prave i ravni. znak paralelizma između prave i ravni Relativni položaj prave i ravni.
Relativni položaj prave i ravni određen je brojem zajedničkih tačaka :
1) ako prava ima dvije zajedničke tačke sa ravni, onda ona pripada ovoj ravni,
2) ako prava ima jednu zajedničku tačku sa ravni, tada prava seče ravan,
3) ako se tačka preseka prave sa ravni udalji u beskonačnost, tada su prava i ravan paralelne.
Zadaci koji određuju međusobnog dogovora različite geometrijske figure jedna u odnosu na drugu nazivaju se pozicijskim problemima.
Ranije je razmatrana linija koja pripada avionu.
Prava linija je paralelna ravni, ako je paralelna nekoj pravoj koja leži u ovoj ravni. Da biste konstruirali takvu ravnu liniju, morate odrediti bilo koju pravu liniju u ravnini i povući potrebnu paralelnu s njom.
Rice. 1.53 Sl. 1.54 Slika 1.55
Pustite kroz poentu A(Sl. 1.53) potrebno je nacrtati pravu liniju AB, paralelno sa ravninom Q, definisan trouglom CDF. Da biste to učinili, kroz frontalnu projekciju točke A / bodova A napravimo frontalnu projekciju a/b/željenu liniju paralelnu sa frontalnom projekcijom bilo koje linije koja leži u ravni R, na primjer, ravno CD (a/b/!!s/d/). Kroz horizontalnu projekciju A bodova A paralelno sd izvršiti horizontalnu projekciju awželjenu pravu liniju AB (av11 sd). Pravo AB paralelno sa ravninom R, dat trouglom CDF.
Od svih mogućih položaja prave koja siječe ravan, bilježimo slučaj kada je prava okomita na ravan. Razmotrimo svojstva projekcija takve prave.
Rice. 1.56 Sl. 1.57
Prava linija je okomita na ravan(poseban slučaj preseka prave i ravni) ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ravni. Za konstruiranje projekcija okomite na ravan u općem položaju, to nije dovoljno bez transformacije projekcija. Stoga se uvodi dodatni uslov: prava je okomita na ravan ako je okomita na dvije glavne prave koje se seku(za konstruisanje projekcija koristi se uslov projekcije pravi ugao). U ovom slučaju: horizontalna i frontalna projekcija okomice su okomite, respektivno, na horizontalnu projekciju horizontale i frontalnu projekciju frontala date ravni opšteg položaja (slika 1.54). Prilikom definiranja ravnine pomoću tragova, projekcije okomice su okomite, odnosno frontalne na čeoni trag, horizontalne na horizontalni trag ravnine (slika 1.55).
Presek prave linije sa projektovanom ravninom. Hajde da razmotrimo prava linija koja seče ravan, kada je avion u određenoj poziciji.
Na nju se kao prava projicira ravan okomita na ravan projekcije (projekcionu ravan). Na ovoj pravoj (projekciji ravni) mora postojati odgovarajuća projekcija tačke u kojoj određena prava seče ovu ravan (slika 1.56).
Na slici 1.56, frontalna projekcija tačke TO presek prave linije AB sa trouglom SDE je određena na presjeku njihovih frontalnih projekcija, jer trougao SDE projektovana na frontalnu ravan u obliku prave linije. Nalazimo horizontalnu projekciju tačke preseka prave sa ravninom (leži na horizontalnoj projekciji prave). Metodom konkurentskih tačaka određujemo vidljivost linije AB u odnosu na ravan trougla SDE na horizontalnoj ravni projekcije.
Slika 1.59 prikazuje horizontalnu ravan projekcije P i ravna linija u općem položaju AB. Jer avion R je okomita na horizontalnu ravan projekcija, onda se sve što se nalazi u njoj projektuje na horizontalnu ravan projekcija na njen trag, uključujući i tačku njegovog preseka sa pravom AB. Posljedično, u složenom crtežu imamo horizontalnu projekciju točke presjeka prave sa ravninom R. Na osnovu toga da li tačka pripada pravoj liniji, nalazimo frontalnu projekciju tačke preseka prave AB c avion R. Određujemo vidljivost linije na frontalnoj ravni projekcija.
Rice. 1.58 Sl. 1.59
Slika 1.58 je data složeni crtež konstruisanje projekcije tačke preseka prave AB sa horizontalnom ravninom G. Trag frontalne ravni G je njegova frontalna projekcija. Frontalna projekcija presečne tačke ravni G sa pravom linijom AB odredit će se na presjeku frontalne projekcije prave linije i frontalnog traga ravni. Imajući frontalnu projekciju točke presjeka, nalazimo horizontalnu projekciju točke presjeka linija AB sa avionom G.
Slika 1.57 prikazuje generičku ravan definisanu trouglom CDE i front-projektirana linija AB? presecajuća ravan u tački K. Frontalna projekcija tačke – k/ poklapa se sa tačkama a/ I b/ . Da biste konstruisali horizontalnu projekciju tačke preseka, povucite kroz tačku K u avionu CDE direktno (npr. 1-2 ). Konstruirajmo njegovu frontalnu projekciju, a zatim horizontalnu. Dot K je tačka preseka linija AB I 1-2. To je poenta K istovremeno pripada liniji AB i ravan trougla i, prema tome, je tačka njihovog preseka.
Presek dve ravni. Pravu liniju preseka dve ravni određuju dve tačke, od kojih svaka pripada obema ravnima, ili jedna tačka koja pripada dvema ravnima, i poznati pravac te prave. U oba slučaja, zadatak je pronaći tačku zajedničku za dvije ravni.
Presek projektovanih ravni. Dvije ravni mogu biti paralelne jedna drugoj ili se ukrštati. Razmotrimo slučajeve međusobnog presjeka ravnina.
Prava linija dobijena međusobnim presjekom dviju ravni je u potpunosti određena s dvije tačke od kojih svaka pripada objema ravnima, stoga je potrebno i dovoljno pronaći ove dvije tačke koje pripadaju liniji presjeka dvije date ravni.
Dakle, u opštem slučaju, da bi se konstruisala linija preseka dve ravni, potrebno je pronaći bilo koje dve tačke, od kojih svaka pripada obe ravni. Ove tačke određuju liniju preseka ravnina. Da biste pronašli svaku od ove dvije točke, obično morate izvesti posebne konstrukcije. Ali ako je barem jedna od ravnina koje se sijeku okomita (ili paralelna) na bilo koju ravan projekcije, tada je konstrukcija projekcije linije njihovog presjeka pojednostavljena.
Rice. 1.60 Sl. 1.61
Ako su ravni definisane tragovima, onda je prirodno tražiti tačke koje definišu liniju preseka ravnina u tačkama preseka istih tragova ravnina u parovima: prava koja prolazi kroz ove tačke je zajednička za obe ravni, tj. njihova presečna linija.
Razmotrimo posebne slučajeve lokacije jedne (ili obje) ravnine koja se sijeku.
Složeni crtež (sl. 1.60) prikazuje horizontalno projektovane ravni P I Q. Tada se horizontalna projekcija njihove presečne linije degeneriše u tačku, a frontalna projekcija u pravu liniju okomitu na osu oh.
Složeni crtež (slika 1.61) prikazuje ravni određene pozicije: ravan R okomito na horizontalnu projekcijsku ravan (horizontalnu projekcijsku ravan) i ravan Q- horizontalna ravnina. U ovom slučaju, horizontalna projekcija njihove linije presjeka će se poklopiti s horizontalnim tragom ravnine R, a frontalni – sa frontalnim tragom ravni Q.
U slučaju specificiranja ravni sa tragovima, lako je ustanoviti da se ove ravni sijeku: ako se barem jedan par tragova istog imena siječe, tada se ravni sijeku.
Gore navedeno vrijedi za ravnine definirane ukrštanjem tragova. Ako obje ravni imaju tragove na horizontalnoj i frontalnoj ravni koji su međusobno paralelni, tada te ravnine mogu biti paralelne ili se sijeku. Relativni položaj takvih ravni može se procijeniti konstruiranjem treće projekcije (treći trag). Ako su tragovi obe ravni na trećoj projekciji takođe paralelni, tada su ravni međusobno paralelne. Ako se tragovi na trećoj ravni sijeku, tada se sijeku ravni navedene u prostoru.
Složeni crtež (slika 1.62) prikazuje frontalno projektovane ravni definisane trouglom ABC I DEF. Projekcija linije preseka na frontalnu ravan projekcija je tačka, tj. pošto su trouglovi okomiti na frontalnu ravan projekcija, onda je i njihova linija preseka okomita na frontalnu ravan projekcija. Dakle, horizontalna projekcija linije presjeka trokuta ( 12 ) okomito na osu oh. Vidljivost elemenata trokuta na horizontalnoj projekcijskoj ravni određuje se pomoću konkurentskih točaka (3,4).
Na složenom crtežu (slika 1.63) navedene su dvije ravni: jedna je trokut ABC opći položaj, drugi - trokut DEF okomito na frontalnu ravan projekcija, tj. nalazi se na privatnom položaju (frontalno izbačen). Frontalna projekcija linije presjeka trokuta ( 1 / 2 / ) nalazi se na osnovu zajedničkih tačaka koje istovremeno pripadaju oba trokuta (sve što je u frontalno projektovanom trokutu DEF na frontalnoj projekciji će rezultirati linijom - njenom projekcijom na frontalnu ravninu, uključujući liniju njenog presjeka s trokutom ABC. Po pripadnosti tačaka preseka stranicama trougla ABC, nalazimo horizontalnu projekciju linije presjeka trokuta. Metodom konkurentnih tačaka određujemo vidljivost elemenata trokuta na horizontalnoj ravni projekcije.
Rice. 1.63 Sl. 1.64
Slika 1.64 prikazuje složeni crtež dvije ravni definisane generičkim trouglom ABC i horizontalnu ravan projekcije R, dato tragovima. Od aviona R– horizontalno projektovan, zatim sve što je u njemu, uključujući liniju njegovog preseka sa ravninom trokuta ABC, na horizontalnoj projekciji će se poklopiti sa svojim
horizontalna staza. Čeonu projekciju linije preseka ovih ravni nalazimo iz uslova da tačke elementa pripadaju (stranama) ravni u opštem položaju.
U slučaju da se ravni opšteg položaja određuju ne tragovima, tada da bi se dobila linija preseka ravnina, sukcesivno se nalazi tačka susreta stranice jednog trougla sa ravninom drugog trougla. Ako ravni u opštem položaju nisu definisane trouglovima, onda se linija preseka takvih ravnina može naći uvođenjem naizmenično dve pomoćne presečne ravni - projekcije (da se ravni definišu trouglovima) ili nivelete za sve ostale slučajeve.
Presek generičke linije sa generičkom ravninom. Ranije su se razmatrali slučajevi ukrštanja ravnina kada je jedna od njih bila projektovana. Na osnovu toga možemo pronaći tačku preseka generičke prave sa generičkom ravni uvođenjem dodatne projektovane međuravnine.
Prije razmatranja presjeka generičkih ravni, razmotrite presjek generičke linije sa generičkom ravninom.
Da biste pronašli tačku susreta prave linije u opštem položaju sa ravninom u opštem položaju, potrebno je:
1) zatvoriti pravu liniju u ravan pomoćne projekcije,
2) naći liniju preseka date i pomoćne ravni,
odrediti zajedničku tačku koja istovremeno pripada dvjema ravnima (ovo je njihova presječna linija) i pravoj liniji.
Rice. 1.65 Sl. 1.66
Rice. 1.67 Sl. 1.68
Složeni crtež (slika 1.65) prikazuje trokut SDE opšti položaj i ravno AB opšti položaj. Da bismo pronašli tačku preseka prave sa ravninom, zaključujemo pravu AB Q. Nađimo liniju raskrsnice ( 12 ) posrednička ravan Q i datu ravan SDE. Kada se konstruiše horizontalna projekcija linije raskrsnice, postoji zajednička tačka TO, koji istovremeno pripada dvjema ravnima i datoj pravoj AB. Iz pripadnosti tačke pravoj nalazimo frontalnu projekciju tačke preseka prave sa datom ravninom. Vidljivost linijskih elemenata na projekcijskim ravnima određuje se korištenjem konkurentskih tačaka.
Slika 1.66 prikazuje primjer pronalaženja tačke susreta prave linije AB, što je vodoravna linija (prava paralelna s horizontalnom ravninom projekcija) i ravan R, opšti položaj, dat tragovima. Da biste pronašli tačku njihovog preseka, prava linija AB leži u vodoravno projektovanoj ravni Q. Zatim nastavite kao u gornjem primjeru.
Za pronalaženje tačke susreta horizontalno projektovane linije AB sa ravni u opštem položaju (slika 1.67), kroz tačku preseka prave sa ravninom (njena horizontalna projekcija se poklapa sa horizontalnom projekcijom same prave), povlačimo horizontalnu liniju (tj. vezujemo tačka preseka prave linije sa ravninom u ravni R). Nakon što smo pronašli frontalnu projekciju nacrtane horizontalne linije u ravnini R, označite frontalnu projekciju tačke susreta prave linije AB sa avionom R.
Da bismo pronašli liniju preseka generičkih ravni definisanih tragovima, dovoljno je označiti dve zajedničke tačke koje istovremeno pripadaju obe ravni. Takve tačke su tačke preseka njihovih tragova (slika 1.68).
Da bismo pronašli liniju preseka generičkih ravni definisanih sa dva trougla (slika 1.69), sukcesivno nalazimo tačku
susret stranice jednog trougla sa ravninom drugog trougla. Uzimajući bilo koje dvije strane iz bilo kojeg trougla, zatvarajući ih u projekcijske ravnine posrednika, nalaze se dvije tačke koje istovremeno pripadaju oba trougla - linija njihovog presjeka.
Slika 1.69 prikazuje sveobuhvatan crtež trouglova ABC I DEF opšti položaj. Da biste pronašli liniju presjeka ovih ravni:
1. Zaključujemo zabavu Ned trougao ABC u frontalno projektovanu ravan S(izbor ravni je potpuno proizvoljan).
2. Pronađite liniju presjeka ravnine S i avioni DEF – 12 .
3. Označite horizontalnu projekciju tačke susreta (zajednička tačka dva trokuta) TO od raskrsnice 12 i Ned i nađi njegovu frontalnu projekciju na frontalnu projekciju prave linije Ned.
4. Nacrtajte drugu pomoćnu ravan projekcije Q kroz stranu DF trougao DEF.
5. Pronađite liniju presjeka ravnine Q i trougao ABC – 3 4.
6. Označite horizontalnu projekciju točke L, koji je mjesto okupljanja zabave DF sa ravninom trougla ABC i pronađite njegovu frontalnu projekciju.
7. Povezivanje projekcija istoimenih tačaka TO I L. Za L– linija preseka generičkih ravni definisanih trouglovima ABC I DEF.
8. Metodom konkurentskih tačaka određujemo vidljivost elemenata trougla na ravnima projekcije.
Pošto gore navedeno važi i za glavne prave paralelnih ravni, možemo to reći ravni su paralelne ako su im paralelni tragovi istog imena(Sl. 1.71).
Slika 1.72 prikazuje konstrukciju ravni paralelne datoj i koja prolazi kroz tačku A. U prvom slučaju, kroz tačku A povučena je prava linija (prednja) paralelna datoj ravni G. Tako je nacrtana ravan R koja sadrži pravu paralelnu datoj ravni G i paralelno sa njim. U drugom slučaju, kroz tačku A povučena je ravan definisana glavnim pravima iz uslova da su te prave paralelne datoj ravni G.
Međusobno okomite ravni.Ako jedan avion sadrži
barem jedna prava prava okomita na drugu ravan, tada takvu
ravni su okomite. Na slici 1.73 prikazane su međusobno okomite ravni. Slika 1.74 prikazuje konstrukciju ravni okomite na onu koja je određena kroz tačku A, koristeći uslov okomitosti prave (in u ovom slučaju glavne linije) ravan.
U prvom slučaju, kroz tačku A povučena je frontalna linija okomita na ravan R, konstruiše se njegov horizontalni trag i kroz njega se povlači horizontalni trag ravni Q, okomito na horizontalni trag ravni R. Kroz rezultirajuću tačku nestajanja Q X crta se frontalni trag ravni Q okomito na frontalni trag ravni R.
U drugom slučaju, horizontalne linije se povlače u ravnini trokuta BE i prednji B.F. i kroz datu tačku A Definiramo ravan presjecanjem pravih (glavnih linija) okomitih na ravan trougla. Da bismo to učinili, crtamo kroz tačku A horizontalno i frontalno. Horizontalna projekcija horizontale željene ravni ( N) crtamo okomito na horizontalnu projekciju horizontale trokuta, frontalnu projekciju prednje strane nove ravni ( M) – okomito na frontalnu projekciju frontala trougla.
U planimetriji, ravan je jedna od glavnih figura, stoga je vrlo važno imati jasno razumijevanje o njoj. Ovaj članak je kreiran da pokrije ovu temu. Prvo je dat koncept ravni, njen grafički prikaz i prikazane su oznake ravni. Zatim se ravan razmatra zajedno s tačkom, pravom linijom ili drugom ravninom, a opcije proizlaze iz njihovih relativnih položaja u prostoru. U drugom i trećem i četvrtom pasusu članka analiziraju se sve opcije za relativni položaj dvije ravni, prave i ravni, kao i tačke i ravnine, daju se osnovni aksiomi i grafičke ilustracije. U zaključku su date glavne metode definiranja ravnine u prostoru.
Navigacija po stranici.
Ravan - osnovni pojmovi, simboli i slike.
Najjednostavniji i najosnovniji geometrijski oblici V trodimenzionalni prostor su tačka, prava i ravan. Već imamo ideju o tački i pravoj na ravni. Ako postavimo ravan na kojoj su tačke i prave prikazane u trodimenzionalnom prostoru, onda ćemo dobiti tačke i linije u prostoru. Ideja o ravni u prostoru omogućava nam da dobijemo, na primjer, površinu stola ili zida. Međutim, stol ili zid imaju konačne dimenzije, a ravan se proteže izvan njegovih granica do beskonačnosti.
Tačke i linije u prostoru označavaju se na isti način kao i na ravni - velikim i malim latiničnim slovima. Na primjer, tačke A i Q, prave a i d. Ako su date dvije tačke koje leže na pravoj, tada se prava može označiti sa dva slova koja odgovaraju tim tačkama. Na primjer, prava linija AB ili BA prolazi kroz tačke A i B. Avioni se obično označavaju malim grčkim slovima, na primjer, avioni ili.
Prilikom rješavanja problema postaje potrebno prikazati ravnine na crtežu. Ravan se obično prikazuje kao paralelogram ili proizvoljno jednostavno zatvoreno područje.
Ravan se obično razmatra zajedno sa tačkama, pravim linijama ili drugim ravnima i pojavljuju se različite opcije za njihove relativne pozicije. Pređimo na njihov opis.
Relativni položaj ravni i tačke.
Počnimo s aksiomom: u svakoj ravni postoje tačke. Iz nje slijedi prva opcija za relativni položaj ravni i tačke - tačka može pripadati ravni. Drugim riječima, ravan može proći kroz tačku. Za označavanje da tačka pripada ravni, koristi se simbol “”. Na primjer, ako ravnina prolazi kroz tačku A, tada možete ukratko napisati .
Treba shvatiti da na datoj ravni u prostoru postoji beskonačno mnogo tačaka.
Sljedeći aksiom pokazuje koliko tačaka u prostoru mora biti označeno da bi definisale određenu ravan: kroz tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, prolazi ravan i samo jedna. Ako su poznate tri tačke koje leže u ravni, tada se ravan može označiti sa tri slova koja odgovaraju tim tačkama. Na primjer, ako ravan prolazi kroz tačke A, B i C, onda se može označiti ABC.
Formulirajmo još jedan aksiom, koji daje drugu verziju relativnog položaja ravnine i tačke: postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u istoj ravni. Dakle, tačka u prostoru možda ne pripada ravni. Zaista, na osnovu prethodnog aksioma, ravan prolazi kroz tri tačke u prostoru, a četvrta tačka može, ali i ne mora ležati na ovoj ravni. Kada pišete ukratko, koristite simbol “”, što je ekvivalentno frazi “ne pripada”.
Na primjer, ako tačka A ne leži u ravni, onda koristite kratku notaciju.
Prava linija i ravan u prostoru.
Prvo, prava linija može ležati u ravni. U ovom slučaju, najmanje dvije tačke ove prave leže u ravni. To je utvrđeno aksiomom: ako dvije tačke prave leže u ravni, onda sve tačke ove prave leže u ravni. Da biste ukratko zabilježili pripadnost određene linije datoj ravni, koristite simbol “”. Na primjer, oznaka znači da prava linija a leži u ravnini.
Drugo, prava linija može preseći ravan. U ovom slučaju, prava i ravan imaju jednu zajedničku tačku, koja se zove tačka preseka prave i ravni. Kada pišem ukratko, raskrsnicu označavam simbolom “”. Na primjer, oznaka znači da prava linija a siječe ravan u tački M. Kada ravan seče određenu pravu liniju, nastaje koncept ugla između prave i ravni.
Odvojeno, vrijedi se fokusirati na pravu liniju koja siječe ravan i okomita je na bilo koju pravu liniju koja leži u ovoj ravnini. Takva prava se naziva okomita na ravan. Za kratko snimanje okomitosti koristite simbol “”. Za detaljnije proučavanje materijala možete pogledati u članku okomitost prave linije i ravni.
Od posebnog značaja pri rešavanju problema vezanih za ravan je takozvani vektor normale ravni. Normalni vektor ravni je svaki vektor različit od nule koji leži na pravoj okomitoj na ovu ravan.
Treće, prava linija može biti paralelna sa ravninom, odnosno ne mora imati zajedničke tačke u sebi. Kada kratko pišete paralelnost, koristite simbol “”. Na primjer, ako je pravac a paralelan s ravninom, onda možemo napisati . Preporučujemo da detaljnije proučite ovaj slučaj pozivajući se na članak paralelnost prave i ravni.
Treba reći da prava linija koja leži u ravni dijeli ovu ravan na dvije poluravnine. Prava linija se u ovom slučaju naziva granicom poluravni. Bilo koje dvije tačke iste poluravnine leže na istoj strani prave, a dvije točke različitih poluravni leže na suprotnim stranama granične linije.
Međusobni raspored aviona.
Dvije ravni u svemiru mogu se poklopiti. U ovom slučaju imaju najmanje tri zajedničke tačke.
Dvije ravni u svemiru se mogu ukrštati. Presek dviju ravni je prava linija, koja se utvrđuje aksiomom: ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu liniju na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni.
U ovom slučaju nastaje koncept ugla između ravnina koje se sijeku. Posebno je zanimljiv slučaj kada je ugao između ravnina devedeset stepeni. Takve ravni se nazivaju okomite. O njima smo govorili u članku okomitost ravnina.
Konačno, dvije ravni u prostoru mogu biti paralelne, odnosno nemaju zajedničkih tačaka. Preporučujemo da pročitate članak o paralelnosti ravnina kako biste u potpunosti razumjeli ovu opciju relativnog rasporeda ravnina.
Metode za definisanje ravni.
Sada ćemo navesti glavne načine definiranja određene ravni u prostoru.
Prvo, ravan se može definisati fiksiranjem tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji. Ova metoda se zasniva na aksiomu: kroz bilo koje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, postoji jedna ravan.
Ako je ravan fiksna i specificirana u trodimenzionalnom prostoru navođenjem koordinata njene tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, tada možemo napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri date tačke.
Sljedeće dvije metode definiranja ravni su posljedica prethodne. Oni se zasnivaju na posledicama aksioma o ravni koja prolazi kroz tri tačke:
- ravan prolazi kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj, i samo jednu (vidi i članak jednadžba ravni koja prolazi kroz pravu i tačku);
- Postoji samo jedna ravan koja prolazi kroz dvije prave koje se ukrštaju (preporučamo da pročitate materijal u članku: jednadžba ravnine koja prolazi kroz dvije prave koje se seku).
Četvrti način definisanja ravni u prostoru zasniva se na definisanju paralelnih linija. Podsjetimo da se dvije prave u prostoru nazivaju paralelnim ako leže u istoj ravni i ne sijeku se. Dakle, označavanjem dvije paralelne prave u prostoru odredit ćemo jedinu ravan u kojoj te prave leže.
Ako je ravan data na naznačen način u trodimenzionalnom prostoru u odnosu na pravougaoni koordinatni sistem, tada možemo napraviti jednačinu za ravan koja prolazi kroz dve paralelne prave.
Znam srednja škola Na časovima geometrije dokazuje se sljedeća teorema: kroz fiksnu tačku u prostoru prolazi jedna ravan okomita na datu pravu. Dakle, ravan možemo definirati ako navedemo tačku kroz koju ona prolazi i pravu okomitu na nju.
Ako je pravougaoni koordinatni sistem fiksiran u trodimenzionalnom prostoru i ravan je specificirana na naznačen način, tada je moguće konstruisati jednačinu za ravan koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.
Umjesto prave okomite na ravan, možete odrediti jedan od normalnih vektora ove ravni. U ovom slučaju je moguće pisati
Relativni položaj prave i ravni u prostoru dozvoljava tri slučaja. Prava i ravan se mogu ukrštati u jednoj tački. One mogu biti paralelne. Konačno, prava linija može ležati u ravni. Pronalaženje konkretnu situaciju za pravu liniju i ravan zavisi od metode njihovog opisivanja.
Pretpostavimo da je ravan π data opštom jednačinom π: Ax + By + Cz + D = 0, a prava L je data kanonskim jednačinama (x - x 0)/l = (y - y 0) /m = (z - z 0) /n. Jednačine prave daju koordinate tačke M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) na pravoj i koordinate vektora pravca s = (l; m; n) ove prave, a jednačina ravan daje koordinate svog vektora normale n = (A; B; C).
Ako se prava L i ravan π sijeku, tada vektor pravca s prave linije nije paralelan sa ravninom π. To znači da normalni vektor n ravni nije ortogonan na vektor s, tj. njihov skalarni proizvod nije jednak nuli. Preko koeficijenata jednačina prave i ravni ovaj uslov se zapisuje kao nejednakost A1 + Bm + Cn ≠ 0.
Ako su prava i ravan paralelne ili prava leži u ravni, tada je zadovoljen uslov s ⊥ n, koji se u koordinatama svodi na jednakost Al + Bm + Cn = 0. Da razdvojimo slučajeve „paralela“ i „ prava pripada ravni”, potrebno je da proverite da li je tačka prave u datoj ravni.
Dakle, sva tri slučaja relativnog položaja prave i ravni su razdvojena provjerom odgovarajućih uslova:
Ako je prava L data svojim općim jednačinama:
tada se relativni položaj prave i π ravni može analizirati na sljedeći način. Iz općih jednačina prave i opšta jednačina hajde da napravimo avion sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate
Ako ovaj sistem nema rješenja, tada je prava paralelna s ravninom. Ako ima jedinstveno rješenje, tada se prava i ravan sijeku u jednoj tački. Ovo poslednje je ekvivalentno sistemska determinanta (6.6)
različito od nule. Konačno, ako sistem (6.6) ima beskonačno mnogo rješenja, tada prava pripada ravni.
Ugao između prave i ravni. Ugao φ između prave L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n i ravni π: Ax + By + Cz + D = 0 je u opsegu od 0° (u slučaju paralelizma) do 90° (u slučaju okomitosti na pravu liniju i ravan). Sinus ovog ugla je jednak |cosψ|, gde je ψ ugao između vektora usmeravanja prave s i vektora normale n ravni (slika 6.4). Nakon što smo izračunali kosinus ugla između dva vektora kroz njihove koordinate (vidi (2.16)), dobijamo
Uslov da su prava i ravan okomite je ekvivalentan činjenici da su vektor normale ravni i vektor pravca kolinearni. Preko koordinata vektora ovaj uslov se zapisuje kao dvostruka jednakost
Lokacija
znak: ako je prava koja ne leži u datoj ravni paralelna nekoj pravoj koja leži u ovoj ravni, onda je ona paralelna datoj ravni.
1. ako ravan prolazi kroz datu pravu paralelnu drugoj ravni i siječe ovu ravan, tada je linija presjeka ravni paralelna sa datom pravom.
2. ako je jedna od 2 prave paralelna sa datom, onda je i druga prava ili paralelna datoj ravni ili leži u ovoj ravni.
MEĐUSOBNI POLOŽAJ AVIONA. PARALELNOST RAVNINA
Lokacija
1. ravni imaju najmanje 1 zajedničku tačku, tj. seku u pravoj liniji
2. ravni se ne seku, tj. nemaju ni 1 zajednička tačka, u ovom slučaju se nazivaju paralelnim.
sign
ako su 2 prave linije 1 ravni koje se seku paralelne sa 2 prave druge ravni, onda su ove ravni paralelne.
Sveto
1. ako se sijeku 2 paralelne ravni 3, tada su linije njihovog presjeka paralelne
2. segmenti paralelnih pravih sadržanih između paralelne ravni, su jednaki.
PERENDIKULARNOST PRAVE I RAVNI. ZNAK PERENDIKULARNOSTI PRAVE I RAVNE.
Direktna imena okomito, ako se sijeku ispod<90.
Lema: Ako je 1 od 2 paralelne prave okomita na 3. pravu, onda je druga prava okomita na ovu pravu.
Za pravu se kaže da je okomita na ravan, ako je okomita na bilo koju pravu u ovoj ravni.
Teorema: Ako je 1 od 2 paralelne prave okomita na ravan, onda je druga prava okomita na ovu ravan.
Teorema: Ako su 2 prave okomite na ravan, onda su paralelne.
Potpiši
Ako je prava okomita na 2 prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na ovu ravan.
KOMITAN I KOSI
Hajde da konstruišemo ravan i tako dalje, ne pripadajući ravni. Njihov t.A ćemo povući pravu liniju, okomitu na ravan. Tačka preseka prave sa ravninom označena je H. Segment AN je okomit povučen iz tačke A na ravan. T.N – osnova okomice. Uzmimo ravan t.M, koja se ne poklapa sa H. Segment AM je nagnut, povučen iz t.A u ravan. M – nagnuta osnova. Segment MH je projekcija nagnute ravni na ravan. Okomita AN - udaljenost od t.A do ravni. Bilo koja udaljenost je dio okomice.
Teorema o 3 okomice:
Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute ravni okomita na njenu projekciju na ovu ravan je također okomita na samu nagnutu ravan.
UGAO IZMEĐU PRAVE I RAVNI
Ugao između prave linije i Ravan je ugao između ove prave i njene projekcije na ravan.
DIHEDRALNI UGAO. UGAO IZMEĐU RAVNI
Diedarski ugao naziva se figura koju čine prava linija i 2 poluravnine sa zajedničkom granicom a, koje ne pripadaju istoj ravni.
Granica a – ivica diedralnog ugla. Pola aviona – Diedral ugao lica. Za mjerenje diedralnog ugla. Morate konstruisati linearni ugao unutar njega. Označimo neku tačku na ivici diedarskog ugla i nacrtajmo zrak iz te tačke na svakoj strani, okomito na ivicu. Ugao koji formiraju ove zrake naziva se linearni diedarski ugao. Može ih biti beskonačan broj unutar diedralnog ugla. Svi imaju istu veličinu.
PERENDIKULARNOST DVIJE RAVNE
Zovu se dvije ravni koje se ukrštaju okomito, ako je ugao između njih 90.
znak:
Ako 1 od 2 ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite.
POLYhedra
Poliedar– površina sastavljena od poligona i koja omeđuje određeno geometrijsko tijelo. Ivice– poligoni od kojih se prave poliedri. Rebra– strane lica. Vrhovi- krajevi rebara. Dijagonala poliedra naziva se segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju jednom licu. Zove se ravan na kojoj se na obje strane nalaze tačke poliedra . reznu ravninu. Zajednički dio poliedra i sekantne površine naziva se presjek poliedra. Poliedri mogu biti konveksni ili konkavni. Poliedar se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani ravni svake njegove strane (tetraedar, paralelepiped, oktaedar). U konveksnom poliedru, zbir svih ravnih uglova u svakom vrhu je manji od 360.
PRISM
Poliedar sastavljen od 2 jednaka poligona smještena u paralelnim ravnima i n-paralelograma naziva se prizma.
Poligoni A1A2..A(p) i B1B2..B(p) – baza prizme. A1A2V2V1…- paralelograma, A(p)A1B1B(p) – bočne ivice. Segmenti A1B1, A2B2..A(p)B(p) – bočna rebra. U zavisnosti od poligona koji leži ispod prizme, prizma nazvan p-ugalj. Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze visina. Ako su bočne ivice prizme okomite na osnovu, tada je prizma – ravno, a ako nije okomito – koso je. Visina ravne prizme jednaka je dužini njene bočne ivice. Direktna prizma je ispravna, ako je njegova osnova pravilni poligoni, sve bočne strane su jednaki pravokutnici.
PARALLEPIPED
ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (prema prirodi paralelnih ravni)
Paralelepiped se sastoji od 6 paralelograma. Paralelogrami se nazivaju ivice. ABCD i A1V1S1D1 su baze, preostala lica se zovu bočno. Tačke A B C D A1 B1 C1 D1 – vrhovi. Segmenti linija koji povezuju vrhove - rebra AA1, BB1, SS1, DD1 – bočna rebra.
Dijagonala paralelepipeda je naziva se segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju jednom licu.
Sveci
1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake. 2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i tom tačkom se dijele popola.
PIRAMIDA
Razmotrimo poligon A1A2..A(n), tačku P koja ne leži u ravni ovog poligona. Spojimo tačku P sa vrhovima poligona i dobijemo n trouglova: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.
Poliedar sastavljen od n-ugla i n-trokuta nazvana piramida. Poligon – temelj. trokuti – bočne ivice. R - vrh piramide. Segmenti A1P, A2P..A(p)P – bočna rebra. U zavisnosti od poligona koji leži u osnovi, piramida se naziva p-ugalj. Visina piramide naziva se okomica povučena od vrha do ravni baze. Piramida se naziva ispravnom, ako njegova baza sadrži pravilan poligon i njegova visina pada u centar baze. Apothem– visina bočne strane pravilne piramide.
TRUNCATED PYRAMID
Razmotrimo piramidu PA1A2A3A(n). Nacrtajmo reznu ravan paralelnu sa bazom. Ova ravan dijeli našu piramidu na 2 dijela: gornji je piramida slična ovoj, donji je skraćena piramida. Bočna površina se sastoji od trapeza. Bočna rebra povezuju vrhove baza.
Teorema: Površina bočne površine pravilne skraćene piramide jednaka je umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme.
REGULAR POLYHEDES
Konveksni poliedar se naziva regularan, ako su sva njegova lica jednaki pravilni poligoni i isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova. Primjer pravilnog poliedra je kocka. Sve njegove strane su jednaki kvadrati, a 3 ivice se sastaju na svakom vrhu.
Regularni tetraedar sastavljena od 4 jednakostranična trougla. Svaki vrh je vrh 3 trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180.
Regularni oktaedar sastavljena od 8 jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh je vrh 4 trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 240
Regularni ikosaedar sastavljena od 20 jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh je vrh 5 trougao. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 300.
Kocka sastavljena od 6 kvadrata. Svaki vrh je vrh od 3 kvadrata. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 270.
Regularni dodekaedar sastavljen od 12 pravilnih pentagona. Svaki vrh je vrh 3 pravilna pentagona. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 324.
Ne postoje druge vrste pravilnih poliedara.
CILINDAR
Tijelo ograničeno cilindričnom površinom i dvije kružnice s granicama L i L1 naziva se cilindar. Zovu se krugovi L i L1 osnove cilindra. Segmenti MM1, AA1 – formativno. Formiranje cilindrične ili bočne površine cilindra. Prava linija koja povezuje centre baza O i O1 osi cilindra. Dužina generatora - visina cilindra. Radijus osnove (r) – poluprečnik cilindra.
Sekcije cilindra
Aksijalni prolazi kroz osu i prečnik baze
Okomito na os
Cilindar je tijelo rotacije. Dobiva se rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica.
KORNET
Razmotrimo kružnicu (o;r) i pravu liniju OP okomitu na ravan ove kružnice. Kroz svaku tačku kružnice L i sl. nacrtaćemo segmente, kojih ima beskonačno mnogo. Oni čine konusnu površinu i nazivaju se formativno.
R- vertex, ILI – osa konične površine.
Tijelo ograničeno konusnom površinom i kružnicom s granicom L nazvan konus. Krug - osnovu konusa. Vrh konične površine - vrh konusa. Formiranje konične površine - formiranje konusa. Konusna površina - bočna površina konusa. RO – konus osi. Udaljenost od P do O – visina konusa. Konus je tijelo okretanja. Dobiva se rotacijom pravouglog trougla oko noge.
Cone section
Aksijalni presek
Presjek okomit na osu
SFERA I LOPTA
Sfera naziva se površina koja se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke. Ova tačka je centar sfere. Ova udaljenost je poluprečnik sfere.
Segment koji povezuje 2 tačke sfere i prolazi kroz njeno središte naziva prečnik sfere.
Tijelo ograničeno sferom tzv lopta. Zovu se centar, poluprečnik i prečnik sfere centar, poluprečnik i prečnik lopte.
Sfera i lopta su tijela rotacije. Sfera se dobija rotiranjem polukruga oko prečnika, i lopta dobijeno rotiranjem polukruga oko prečnika.
u pravougaonom koordinatnom sistemu, jednadžba sfere poluprečnika R sa centrom C(x(0), y(0), Z(0) ima oblik (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)
