Kako naučiti rješavati izvode složene funkcije. Pronađite izvod: algoritam i primjeri rješenja. "Raspakivanje" složene funkcije

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika su u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat od arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa u članku ima više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako se rješava nekoliko jednokomponentnih i dvokomponentnih primjera prosečan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Druga česta greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Rješenje problema izvoda možete provjeriti na online kalkulator derivata .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Dati su primjeri izračunavanja derivata korištenjem formule izvoda složena funkcija.

Sadržaj

Vidi također: Dokaz formule za izvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Ovdje dajemo primjere izračunavanja derivata sljedećih funkcija:
; ; ; ; .

Ako se funkcija može predstaviti kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
tada je njegov izvod određen formulom:
.
U primjerima ispod, zapisat ćemo ovu formulu na sljedeći način:
.
Gdje .
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze ispod predznaka derivacije, označavaju varijable pomoću kojih se vrši diferencijacija.

Obično se u tablicama izvoda daju izvode funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici izvoda, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod kompleksne funkcije
.

Hajde da to zapišemo datu funkciju u ekvivalentnom obliku:
.
U tabeli derivata nalazimo:
;
.

Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:
.
Evo.

Primjer 2

Pronađite izvod
.

Konstantu 5 uzimamo iz predznaka derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
.

.
Evo.

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Izvlačimo konstantu -1 za predznak derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
;
Iz tabele derivata nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
.
Evo.

Složeniji primjeri

U više složeni primjeri primjenjujemo pravilo za diferenciranje kompleksne funkcije nekoliko puta. U ovom slučaju derivaciju računamo od kraja. To jest, razbijamo funkciju na njene sastavne dijelove i pomoću njih pronalazimo derivate najjednostavnijih dijelova tabela derivata. Takođe koristimo pravila za razlikovanje suma, proizvodi i frakcije. Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.

Primjer 4

Pronađite izvod
.

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađemo njenu derivaciju. .

.
Ovdje smo koristili notaciju
.

Dobivenim rezultatima nalazimo derivaciju sljedećeg dijela originalne funkcije. Primjenjujemo pravilo za razlikovanje sume:
.

Još jednom primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.

.
Evo.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije
.

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađimo njen izvod iz tablice derivacija. .

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.
.
Evo
.

Razlikujemo sljedeći dio koristeći dobijene rezultate.
.
Evo
.

Hajde da razlikujemo sledeći deo.

.
Evo
.

Sada nalazimo derivaciju željene funkcije.

.
Evo
.

Vidi također:

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Da, dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnosti testovi i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. Tokom proučavanja diferencijalnog računa i drugih sekcija matematička analiza– morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek neophodno) detaljno opisati primjere. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će biti odmah namijenjen nezavisna odluka.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih shvatite (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Još uvijek možete biti izopačeni i izvaditi nešto iz zagrada, ali unutra u ovom slučaju Bolje je ostaviti odgovor u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate svesku, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći samopouzdano upravljati njime.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “Y” ispod logaritma?”

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada da se prisjetimo o kakvoj smo "igračkoj" funkciji govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Neophodno je koristiti tehniku o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju; da bismo to učinili, stavljamo oba dijela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritma logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Otkad ste došli ovdje, vjerovatno ste već vidjeli ovu formulu u udžbeniku

i napravi facu ovako:

Prijatelju, ne brini! U stvari, sve je jednostavno nečuveno. Sigurno ćete sve razumjeti. Samo jedan zahtjev - pročitajte članak polako, pokušajte razumjeti svaki korak. Napisao sam najjednostavnije i jasnije moguće, ali ipak morate razumjeti ideju. I svakako riješite zadatke iz članka.

Šta je složena funkcija?

Zamislite da se selite u drugi stan i da pakujete stvari u velike kutije. Pretpostavimo da trebate prikupiti neke male predmete, na primjer, školski materijal za pisanje. Ako ih samo bacite u ogromnu kutiju, između ostalog će se izgubiti. Da biste to izbjegli, prvo ih stavite, na primjer, u vrećicu, koju zatim stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj „složeni“ proces predstavljen je na dijagramu ispod:

Čini se, kakve veze ima matematika s tim? Da, uprkos činjenici da je složena funkcija formirana na POTPUNO ISTI način! Samo mi ne “pakujemo” sveske i olovke, već \(x\), dok su “paketi” i “kutije” različiti.

Na primjer, uzmimo x i "upakujemo" ga u funkciju:

Kao rezultat, dobijamo, naravno, \(\cos⁡x\). Ovo je naša "vreća stvari". Sada ga stavimo u "kutiju" - upakirajte ga, na primjer, u kubičnu funkciju.

Šta će se na kraju dogoditi? Da, tako je, postojaće "vreća stvari u kutiji", odnosno "kosinus od X u kocki".

Rezultirajući dizajn je složena funkcija. Po tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) se primjenjuje na jedan X u nizu i ispada kao da je “funkcija od funkcije” - “pakovanje unutar pakovanja”.

IN školski kurs Postoji vrlo malo vrsta ovih "paketa", samo četiri:

Hajdemo sada da "upakujemo" X prvo u eksponencijalnu funkciju sa bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. Dobijamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sada hajde da "upakujemo" X dvaput trigonometrijske funkcije, prvo u , a zatim u:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednostavno, zar ne?

Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se „pakuje“ u kosinus, a zatim u eksponencijalnu funkciju sa bazom \(3\);
- prvo na peti stepen, a zatim na tangentu;
- prvo na logaritam na osnovu \(4\) , zatim na stepen \(-2\).

Odgovore na ovaj zadatak potražite na kraju članka.

Možemo li "spakovati" X ne dva, već tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset i pet puta. Evo, na primjer, funkcije u kojoj je x "upakovano" \(4\) puta:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ali takve formule se neće naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - njihova može biti komplikovanija☺).

"Raspakivanje" složene funkcije

Pogledajte ponovo prethodnu funkciju. Možete li shvatiti redoslijed "pakiranja"? U šta je X ubačen prvo, u šta onda i tako do samog kraja. To jest, koja funkcija je ugniježđena unutar koje? Uzmite komad papira i zapišite šta mislite. To možete učiniti lancem sa strelicama kako smo gore napisali ili na bilo koji drugi način.

Sada je tačan odgovor: prvo, x je "upakovano" u \(4\)-tu potenciju, zatim je rezultat upakovan u sinus, on je zauzvrat stavljen u logaritam na osnovu \(2\) , i na kraju je cijela ova konstrukcija nabijena u petice.

Odnosno, potrebno je da odmotate sekvencu OBRATNIM REDOM. A evo i nagoveštaja kako da to učinite lakše: odmah pogledajte X – trebalo bi da plešete od njega. Pogledajmo nekoliko primjera.

Na primjer, evo sljedeće funkcije: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Gledamo X - šta se prvo događa s njim? Oduzeto od njega. I onda? Uzima se tangenta rezultata. Redosled će biti isti:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drugi primjer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Hajde da analiziramo - prvo smo kockali X, a zatim uzeli kosinus rezultata. To znači da će niz biti: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Obratite pažnju, funkcija je slična onoj prvoj (gdje ima slike). Ali ovo je potpuno drugačija funkcija: ovdje u kocki je x (to jest, \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tamo u kocki je kosinus \(x\) ( odnosno \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".

Posljednji primjer (sa važnim informacijama): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je da su ovdje prvo radili aritmetičke operacije sa x, a zatim uzeli sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I ovo je važna stvar: uprkos činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje također djeluju kao način „pakiranja“. Udubimo se malo dublje u ovu suptilnost.

Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se „pakuje“ jednom, a u složenim funkcijama - dva ili više. Štaviše, bilo koja kombinacija jednostavnih funkcija (tj. njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) je također jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). To znači da su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7· krevetac x\) – jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednostavno, itd.

Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, ona će postati složena funkcija, jer će postojati dva “paketa”. Pogledajte dijagram:

Ok, samo naprijed. Napišite redoslijed funkcija "omotavanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.

Unutrašnje i eksterne funkcije

Zašto trebamo razumjeti ugniježđenje funkcija? Šta nam ovo daje? Činjenica je da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivate funkcija o kojima je bilo riječi.

A da bismo nastavili dalje, trebat će nam još dva koncepta: unutrašnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, u stvari, već smo ih analizirali iznad: ako se sjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutrašnja funkcija „paket“, a vanjska funkcija je „kutija“. One. ono u šta je X prvo "umotano" je interna funkcija, a ono u šta je unutrašnja funkcija "umotana" je već eksterna. Pa, jasno je zašto - ona je napolju, znači eksterna.

U ovom primjeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) je interna, i
- eksterni.

A u ovome: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interno, i
- eksterni.

Završite posljednju praksu analize složenih funkcija i konačno prijeđimo na ono zbog čega smo svi započeli - naći ćemo derivate složenih funkcija:

Popunite prazna polja u tabeli:

Derivat kompleksne funkcije

Bravo za nas, konačno smo došli do "šefa" ove teme - zapravo derivata složene funkcije, a konkretno do one jako strašne formule s početka članka.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ova formula glasi ovako:

Izvod kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju i izvod unutrašnje funkcije.

I odmah pogledajte dijagram raščlanjivanja "riječ po riječ" da shvatite šta je šta:

Nadam se da termini „derivacija“ i „proizvod“ ne izazivaju nikakve poteškoće. "Složena funkcija" - već smo to riješili. Kvaka je u „derivatu eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju“. Šta je to?

Odgovor: Ovo je uobičajena derivacija eksterne funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, a unutrašnja ostaje ista. Još uvijek nije jasno? U redu, upotrijebimo primjer.

Neka nam je funkcija \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je da je unutrašnja funkcija ovdje \(x^3\), a eksterna
. Nađimo sada derivaciju eksterijera u odnosu na konstantnu unutrašnjost.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Čini se bez grešaka:

1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

2) Uzmite derivaciju razlike koristeći pravilo

3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

6) I konačno, uzimamo derivat najdubljeg ugrađivanja.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto van zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

Smanjimo izraz brojila na zajednički nazivnik i riješimo se trokatne strukture razlomka:

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju