Dvije kvadratne jednadžbe imaju zajednički korijen. Rješavanje kvadratnih jednadžbi, formule korijena, primjeri. Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Samo. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

trebati za zadata jednačina dovesti do standardne forme, tj. na obrazac:

Ako vam je jednačina već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je da to uradite kako treba

odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno . Kao što vidite, da bismo pronašli X, mi

koristimo samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratna jednačina. Samo pažljivo ubacite

vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Zamjenjujemo sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c = -4.

Zamjenjujemo vrijednosti i pišemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b I With. Ili bolje rečeno, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje u pomoć dolazi detaljan snimak formule

sa određenim brojevima. Ako imate problema sa proračunima, uradite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Sve opisujemo detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka.

Prvi sastanak. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednačine dovesti ga u standardni oblik.

Šta to znači?

Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c.

Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

Riješite se minusa. Kako? Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera.

Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! By Vietin teorem.

Za rješavanje zadatog kvadratne jednačine, tj. ako je koeficijent

x 2 +bx+c=0,

Ondax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednačinu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednačinu sa O:

→ →

Gdje x 1 I x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite

jednadžba sa zajedničkim nazivnikom.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem svega

jednačine za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomljeni, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se može lako provjeriti pomoću

Kop'evskaya ruralna srednja sveobuhvatne škole

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

selo Kopevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe od al-Khorezmija

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje područja zemljišne parcele i sa zemljanim radovima vojne prirode, kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.

Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Problem 11.“Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96”

Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihove sume, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x.

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od traženih brojeva je jednak 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim A, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima stoji sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek nadmašiti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

Problem 13.

„Jato žustrih majmuna, i dvanaest duž vinove loze...

Vlasti su se, pojevši, zabavile. Počeli su skakati, vješati se...

Ima ih na trgu, dio 8. Koliko je majmuna bilo?

Zabavljao sam se na čistini. Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi se lijeva strana ove jednadžbe dovršila na kvadrat, dodaje obje strane 32 2 , a zatim dobijate:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al - Khorezmi

U algebarskoj raspravi al-Khorezmija data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c =bX.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c =bX.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima“, tj. ah 2+bx= s.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj.bx+ c = ax 2 .

Za al-Khorezmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim problemima ono nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, al-Khorezmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i geometrijske dokaze.

Problem 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (što podrazumijeva korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5 , dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.

Traktat Al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u EvropiXIII - XVIIbb

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina duž linija al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako islamskih zemalja tako i Ancient Greece, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz knjige Abacus korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. - 17. veka. i dijelom XVIII.

Opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

x 2 +bx= c,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenta b, With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viete, ali je Vieta prepoznala samo pozitivni koreni. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, nazvanu po Vieti, on je prvi put formulirao 1591. na sljedeći način: „Ako B + D, pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, To A jednaki IN i jednaki D».

Da bismo razumjeli Vietu, trebamo to zapamtiti A, kao i svako samoglasničko slovo, značilo je nepoznato (naše X), samoglasnici IN,D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: ako postoji

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opšte formule pisan simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Vieta još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga je prilikom rješavanja jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni bili pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

Rješavanje jednačina u matematici zauzima posebno mjesto. Ovom procesu prethodi mnogo sati izučavanja teorije, tokom kojih student uči kako rješavati jednačine, određivati njihov tip i dovoditi vještinu do potpune automatizacije. Međutim, potraga za korijenima nema uvijek smisla, jer oni možda jednostavno ne postoje. Postoje posebne tehnike za pronalaženje korijena. U ovom članku ćemo analizirati glavne funkcije, njihove domene definicije, kao i slučajeve kada nedostaju njihovi korijeni.

Koja jednačina nema korijen?

Jednačina nema korijena ako nema pravih argumenata x za koje je jednačina identično istinita. Za nespecijaliste, ova formulacija, kao i većina matematičkih teorema i formula, izgleda vrlo nejasno i apstraktno, ali to je u teoriji. U praksi sve postaje krajnje jednostavno. Na primjer: jednadžba 0 * x = -53 nema rješenja, jer ne postoji broj x čiji bi proizvod sa nulom dao nešto drugo osim nule.

Sada ćemo pogledati najosnovnije tipove jednadžbi.

1. Linearna jednačina

Jednačina se naziva linearnom ako su njena desna i lijeva strana predstavljene u obliku linearne funkcije: ax + b = cx + d ili u generaliziranom obliku kx + b = 0. Gdje su a, b, c, d poznati brojevi, a x je nepoznata veličina. Koja jednačina nema korijen? Primjeri linearnih jednadžbi prikazani su na donjoj ilustraciji.

U osnovi, linearne jednadžbe se rješavaju jednostavnim prenošenjem broja u jedan dio, a sadržaja x u drugi. Rezultat je jednačina oblika mx = n, gdje su m i n brojevi, a x je nepoznanica. Da biste pronašli x, samo podijelite obje strane sa m. Tada je x = n/m. Većina linearnih jednadžbi ima samo jedan korijen, ali postoje slučajevi kada postoji ili beskonačno mnogo korijena ili uopće nema korijena. Kada je m = 0 i n = 0, jednačina ima oblik 0 * x = 0. Rješenje takve jednačine će biti apsolutno bilo koji broj.

Međutim, koja jednačina nema korijen?

Za m = 0 i n = 0, jednadžba nema korijene iz skupa realni brojevi. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ove jednačine nemaju korijen.

2. Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0 za a = 0. Najčešće rješenje je preko diskriminanta. Formula za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine je: D = b 2 - 4 * a * c. Dalje su dva korijena x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Za D > 0 jednačina ima dva korijena, za D = 0 ima jedan korijen. Ali koja kvadratna jednadžba nema korijen? Najlakši način za promatranje broja korijena kvadratne jednadžbe je grafički prikaz funkcije, koja je parabola. Za a > 0 grane su usmjerene prema gore, za a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Također možete vizualno odrediti broj korijena bez izračunavanja diskriminanta. Da biste to učinili, morate pronaći vrh parabole i odrediti u kojem smjeru su grane usmjerene. Koordinata x vrha se može odrediti pomoću formule: x 0 = -b / 2a. U ovom slučaju, koordinata y vrha se nalazi jednostavnom zamjenom vrijednosti x 0 u originalnu jednačinu.

Kvadratna jednačina x 2 - 8x + 72 = 0 nema korijena, jer ima negativan diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To znači da parabola ne dodiruje x-osu i funkcija nikada ne uzima vrijednost 0, dakle, jednadžba nema pravi korijen.

3. Trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske funkcije se razmatraju na trigonometrijskom krugu, ali se takođe mogu predstaviti u kartezijanskom koordinatnom sistemu. U ovom članku ćemo pogledati dva glavna trigonometrijske funkcije i njihove jednačine: sinx i cosx. Pošto ove funkcije formiraju trigonometrijski krug poluprečnika 1, |sinx| i |cosx| ne može biti veći od 1. Dakle, koja sinx jednačina nema korijen? Pogledajmo graf sinx funkcije, prikazano na slici ispod.

Vidimo da je funkcija simetrična i da ima period ponavljanja od 2pi. Na osnovu ovoga možemo reći da maksimalna vrijednost ova funkcija može biti 1, a minimum je -1. Na primjer, izraz cosx = 5 neće imati korijen, jer je njegova apsolutna vrijednost veća od jedan.

Ovo je najjednostavniji primjer trigonometrijskih jednadžbi. Zapravo, njihovo rješavanje može potrajati mnogo stranica, na kraju kojih shvatite da ste koristili pogrešnu formulu i morate početi ispočetka. Ponekad, čak i ako ispravno pronađete korijene, možete zaboraviti uzeti u obzir ograničenja za OD, zbog čega se u odgovoru pojavljuje dodatni korijen ili interval, a cijeli odgovor se pretvara u grešku. Stoga se striktno pridržavajte svih ograničenja, jer se svi korijeni ne uklapaju u opseg zadatka.

4. Sistemi jednačina

Sistem jednačina je skup jednačina spojenih kovrčavim ili uglastim zagradama. Vitičaste zagrade označavaju da se sve jednačine rade zajedno. To jest, ako barem jedna od jednačina nema korijen ili je u suprotnosti s drugom, cijeli sistem nema rješenje. Uglaste zagrade označavaju riječ "ili". To znači da ako barem jedna od jednačina sistema ima rješenje, onda cijeli sistem ima rješenje.

Odgovor sistema c je skup svih korijena pojedinačnih jednačina. A sistemi sa vitičastim zagradama imaju samo zajedničke korijene. Sistemi jednačina mogu uključivati potpuno različite funkcije, pa nam takva složenost ne dozvoljava da odmah kažemo koja jednačina nema korijen.

U knjigama zadataka i udžbenicima postoje različite vrste jednačina: one koje imaju korijen i one koje nemaju. Prije svega, ako ne možete pronaći korijene, nemojte misliti da ih uopće nema. Možda ste negdje pogriješili, onda samo trebate pažljivo provjeriti svoju odluku.

Pogledali smo najosnovnije jednadžbe i njihove vrste. Sada možete reći koja jednačina nema korijen. U većini slučajeva to nije teško učiniti. Postizanje uspjeha u rješavanju jednačina zahtijeva samo pažnju i koncentraciju. Vježbajte više, to će vam pomoći da se lakše i brže snalazite u gradivu.

Dakle, jednadžba nema korijen ako:

u linearnoj jednačini mx = n vrijednost je m = 0 i n = 0;
u kvadratnoj jednadžbi, ako je diskriminanta manja od nule;
V trigonometrijska jednačina oblika cosx = m / sinx = n, ako je |m| > 0, |n| > 0;
u sistemu jednadžbi sa vitičastim zagradama ako barem jedna jednačina nema korijena, i sa uglastim zagradama ako sve jednačine nemaju korijena.

Nastavljajući temu “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Pogledajmo sve detaljno: suštinu i notaciju kvadratne jednadžbe, definiramo prateće članove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednačina, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno daćemo vizuelno rešenje praktičnim primerima.

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednačina napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednačine nazivaju i jednačinama drugog stepena, jer je u suštini kvadratna jednačina algebarska jednačina drugog stepena.

Dajemo primjer koji ilustruje datu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent na x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada su koef b i/ili c su negativni, onda koristite kratke forme records like 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Razjasnimo i ovaj aspekt: ako su koeficijenti a i/ili b jednaka 1 ili − 1 , onda možda neće eksplicitno učestvovati u pisanju kvadratne jednačine, što se objašnjava posebnostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na osnovu vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednačine se dijele na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba nije redukovana.

Navedimo primjere: redukovane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, od kojih je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovana kvadratna jednačina, u kojoj se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka neredukovana kvadratna jednačina može se pretvoriti u redukovanu jednačinu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednačina će imati iste korijene kao i data nereducirana jednačina ili također neće imati korijena uopće.

Razmatranje konkretan primjerće nam omogućiti da jasno demonstriramo prijelaz sa nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Neophodno je prevesti originalnu jednačinu u redukovani oblik.

Rješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane originalne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6. Tada dobijamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobija jednačina ekvivalentna datoj.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uslov je neophodan za jednačinu a x 2 + b x + c = 0 bila upravo kvadratna, budući da je u a = 0 suštinski se transformiše u linearna jednačina b x + c = 0.

U slučaju kada su koef b I c su jednake nuli (što je moguće, kako pojedinačno tako i zajedno), kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednačina u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Hajde da raspravimo zašto se tipovima kvadratnih jednačina daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba poprima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratna jednačina se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. At b = 0 I c = 0 jednačina će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednačine koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ni oboje. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednačine – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednačine.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućava razlikovanje sljedećih tipova nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 = 0, ova jednačina odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0 ;
a · x 2 + c = 0 na b = 0;
a · x 2 + b · x = 0 na c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednačine a x 2 =0

Kao što je gore pomenuto, ova jednačina odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednačina a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednačinu x 2 = 0, koji dobijamo dijeljenjem obje strane originalne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očigledna činjenica je da je korijen jednačine x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može objasniti svojstvima stepena: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je tačna p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednačinu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednačinu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednačini x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada originalna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednačine a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Hajde da transformišemo ovu jednačinu tako što ćemo pomeriti član s jedne strane jednačine na drugu, promeniti predznak u suprotan i podeliti obe strane jednačine brojem koji nije jednak nuli:

transfer c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 = − c;
podijelite obje strane jednačine sa a, završavamo sa x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, shodno tome, rezultirajuća jednačina je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućava izvođenje zaključaka o korijenima jednačine. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a zavisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti tačna.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednačine x 2 = - c a biti broj - c a, jer - c a 2 = - c a. Nije teško shvatiti da je broj - - c a također korijen jednačine x 2 = - c a: zaista, - - c a 2 = - c a.

Jednačina neće imati druge korijene. To možemo demonstrirati koristeći metodu kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za korijene pronađene iznad kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednačina x 2 = - c a također ima korijen x 2, što se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednačinu x njene korijene, transformiramo jednačinu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , i za x 2- x 2 2 = - c a . Na osnovu svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan tačan pojam jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizilazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očigledna kontradikcija, jer je u početku bilo dogovoreno da je korijen jednačine x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednačina nema korijene osim x = - c a i x = - - c a.

Hajde da sumiramo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

neće imati korijene na - c a< 0 ;
imaće dva korena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednačina a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana kvadratna jednačina 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Rješenje

Pomerimo slobodni član na desnu stranu jednačine, tada će jednačina poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednačina nema korijen. Zatim originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korena.

odgovor: jednačina 9 x 2 + 7 = 0 nema korena.

Primjer 4

Jednačinu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Rješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela sa − 1 , dobijamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korena x=6 ili x = − 6.

odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednačine a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristićemo metod faktorizacije. Faktorizujmo polinom koji se nalazi na lijevoj strani jednačine, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju originalne nepotpune kvadratne jednadžbe u njen ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova jednadžba je, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednačina x = 0 I a x + b = 0. Jednačina a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imaće dva korena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednačine 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rješenje

Izvadićemo ga x izvan zagrada dobijamo jednačinu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednačina je ekvivalentna jednačinama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednačine na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– takozvani diskriminant kvadratne jednačine.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u suštini znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Hajde da izvršimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

podijelite obje strane jednačine brojem a, različito od nule, dobijamo sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Nakon toga, jednačina će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobijamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dakle, dolazimo do jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne originalnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi smo ispitali u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućava da se izvede zaključak o korijenima jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednačina je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očigledan jedini korijen x = - b 2 · a;

za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisustvo ili odsustvo korena jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a samim tim i originalne jednačine) zavisi od predznaka izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano na desnoj strani. A znak ovog izraza je dat znakom brojioca, (imenik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednačine i slovo D se definiše kao njena oznaka. Ovdje možete zapisati suštinu diskriminanta - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka mogu zaključiti da li će kvadratna jednadžba imati realne korijene i, ako ima, koliki je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednačinu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo ga koristeći diskriminantnu notaciju: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Hajde da ponovo formulišemo naše zaključke:

Definicija 9

at D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
at D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
at D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na osnovu svojstava radikala, ovi korijeni se mogu zapisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. A, kada otvorimo module i dovedemo razlomke do zajedničkog imenioca, dobijamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućavaju određivanje oba realna korijena kada je diskriminanta veća od nule. Kada je diskriminanta nula, primjena obje formule će dati isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom da uzmemo kvadratni korijen negativnog broja, što će nas odvesti izvan opsega realnih brojeva. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednačinu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne kompleksnih, već realnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminanta i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednost korijena.

Gornje rezonovanje omogućava formulisanje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminantnu vrijednost;
kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
za D = 0, pronađite jedini koren jednačine koristeći formulu x = - b 2 · a ;
za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminanta nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Dajemo rješenja na primjerima za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.

Rješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Tako dobijamo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x = - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobijamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo rezultirajući izraz tako što ćemo uzeti faktor iz predznaka korijena, a zatim smanjiti razlomak:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rješenje

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ovom vrijednošću diskriminanta, originalna jednačina će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednačinu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Rješenje

Numerički koeficijenti ove jednačine će biti: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da originalna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći radnje sa kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

odgovor: nema pravih korena; kompleksni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN školski program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tokom rješavanja utvrdi da je diskriminanta negativna, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućava da se dobije još jedna formula, kompaktnija, koja omogućava pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili sa koeficijentom oblika 2 · n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hajde da pokažemo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednačine a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminanta D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo korijen formulu:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 · n poprimiti oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očigledno je da je predznak D 1 isti kao i znak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao indikator prisustva ili odsustva korijena kvadratne jednačine.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:

naći D 1 = n 2 − a · c ;
na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
kada je D 1 = 0, odrediti jedini korijen jednadžbe koristeći formulu x = - n a;
za D 1 > 0, odrediti dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rješenje

Drugi koeficijent date jednačine možemo predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim prepisujemo datu kvadratnu jednačinu kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Rezultirajuća vrijednost je pozitivna, što znači da jednačina ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvršiti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednačina

Ponekad je moguće optimizirati oblik originalne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je očigledno pogodnije za rješavanje od 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe vrši množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednačine 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivenu dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednačine nisu međusobno primarni brojevi. Tada obično dijelimo obje strane jednačine s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednačinu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se oslobađate razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, oni se množe sa najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Konačno, napominjemo da se minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednačine gotovo uvijek rješavamo promjenom predznaka svakog člana jednačine, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane sa −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete preći na njenu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, koja nam je već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Oslanjajući se na ovu formulu, imamo priliku specificirati druge zavisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah utvrditi da je zbir njenih korijena 7 3, a proizvod korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u vidu koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednačina oblika:

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

zapamti, Bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta!

Čak i nepotpuna.

Druge metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom je vrlo jednostavno; glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima 2 korijena. Morate obratiti posebnu pažnju na korak 2.

Diskriminant D nam govori o broju korijena jednadžbe.

Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Hajde da se okrenemo geometrijskog smisla kvadratna jednačina.

Grafikon funkcije je parabola:

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9

Riješite jednačinu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima dva korijena.

Korak 3.

odgovor:

Primjer 10

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se zove redukovana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Primjer 12

Riješite jednačinu

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer .

Zbir korijena jednačine je jednak, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sistem:

I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

odgovor: ; .

Primjer 13

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14

Riješite jednačinu

Jednačina je data, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - besplatni član.

Jer ako jednačina odmah postane linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj stolici jednačina se zove nepotpuno.

Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je kompletan.

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Možemo razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I., u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korena

Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Primjer 15

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Primjer 16

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Primjer 17

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Faktorimo lijevu stranu jednačine i pronađemo korijene:

odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen od diskriminanta u formuli za korijene?

Ali diskriminant može biti negativan.

sta da radim?

Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

Ako, onda jednačina ima korijen:
Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:
Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.
Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto je to moguće različite količine roots?

Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednačine. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, .

To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa osom apscise (osom).

Parabola možda uopće ne siječe osu, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

4 primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi

Primjer 18

odgovor:

Primjer 19

Odgovor: .

Primjer 20

odgovor:

Primjer 21

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Upotreba Vietine teoreme je vrlo jednostavna.

Sve što ti je potrebno je pokupiti takav par brojeva, čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo u redukovane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer 22

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer 23

Rješenje:

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Da biste dobili, dovoljno je jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, proizvoda.

odgovor:

Primjer 24

Rješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. Ovo je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbir korijena jednak razlike njihovih modula.

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je jednaka - ne uklapa se;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, korijen sa manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer 25

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo su korijeni i pogodni za prvi uvjet:

odgovor:

Primjer 26

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator.

Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće!

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena.

Da biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera.

Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem!

5 primjera Vietine teoreme za samostalan rad

Primjer 27

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Primjer 28

Zadatak 2.

I opet naša omiljena Vietina teorema: zbir mora biti jednak, a proizvod mora biti jednak.

Ali pošto mora biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Primjer 29

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Morate premjestiti sve pojmove u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Ok, stani! Jednačina nije data.

Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama.

Dakle, prvo morate dati jednačinu.

Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminator).

Dozvolite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lako izabrati kruške: na kraju krajeva, to je prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Primjer 30

Zadatak 4.

Slobodni član je negativan.

Šta je u ovome posebno?

A činjenica je da će korijeni imati različite znakove.

I sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku u njihovim modulima: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus.

Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj.

To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Primjer 31

Zadatak 5.

Šta prvo treba da uradite?

Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Sažmite

Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
Koristeći Vietin teorem, možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
Ako jednačina nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda za odabir cijelog kvadrata

Ako su svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula za množenje - kvadrata zbira ili razlike - tada se nakon zamjene varijabli jednačina može predstaviti u obliku nepotpune kvadratne jednačine tipa.

Na primjer:

Primjer 32

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Primjer 33

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Generalno, transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Ne podsjeća te ni na šta?

Ovo je diskriminatorna stvar! Upravo tako smo dobili diskriminantnu formulu.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Kvadratna jednadžba- ovo je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - koeficijenti kvadratne jednačine, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

ako je koeficijent, jednačina izgleda ovako: ,
ako postoji slobodni član, jednačina ima oblik: ,
ako i, jednačina izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

ako, onda jednačina nema rješenja,
ako, onda jednačina ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Dovedemo jednačinu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata