Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće navodi da je empirijska sredina (aritmetička sredina) dovoljno velikog konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine (matematičko očekivanje) ove distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, pravi se razlika između slabog zakona velikih brojeva, kada se konvergencija javlja u verovatnoći, i jakog zakona velikih brojeva, kada se konvergencija dešava skoro svuda.

Uvijek postoji konačan broj pokušaja u kojima je, uz bilo koju datu vjerovatnoću unaprijed, manje 1 relativna učestalost pojave nekog događaja će se što manje razlikovati od njegove vjerovatnoće.

Opšte značenje zakona velikih brojeva: zajedničko djelovanje velikog broja identičnih i neovisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Jasan primjer je prognoza izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Zakon velikih brojeva

✪ 07 - Teorija vjerovatnoće. Zakon velikih brojeva

✪ 42 Zakon velikih brojeva

✪ 1 - Čebiševljev zakon velikih brojeva

✪ 11. razred, lekcija 25, Gausova kriva. Zakon velikih brojeva

Titlovi

Pogledajmo zakon velikih brojeva, koji je možda najintuitivniji zakon u matematici i teoriji vjerovatnoće. A pošto se odnosi na toliko stvari, ponekad se koristi i pogrešno shvata. Dozvolite mi da ga prvo definiram zbog tačnosti, a onda ćemo razgovarati o intuiciji. Uzmimo slučajnu varijablu, na primjer X. Recimo da znamo njeno matematičko očekivanje ili prosjek za populaciju. Zakon velikih brojeva jednostavno kaže da ako uzmemo primjer n-tog broja posmatranja slučajne varijable i uzmemo prosjek svih tih zapažanja... Uzmimo varijablu. Nazovimo ga X sa indeksom n i crtom na vrhu. Ovo je aritmetička sredina n-tog broja posmatranja naše slučajne varijable. Evo mog prvog zapažanja. Uradim eksperiment jednom i napravim ovo zapažanje, onda to uradim ponovo i napravim ovo zapažanje, i uradim to ponovo i dobijem ovo. Izvodim ovaj eksperiment n-ti broj puta, a zatim dijelim s brojem svojih zapažanja. Evo srednje vrijednosti mog uzorka. Evo prosjeka svih zapažanja koje sam napravio. Zakon velikih brojeva nam govori da će se srednja vrijednost mog uzorka približiti očekivanoj vrijednosti slučajne varijable. Ili također mogu napisati da će se moja srednja vrijednost uzorka približiti srednjoj vrijednosti populacije za n-tu veličinu koja teži beskonačnosti. Neću praviti jasnu razliku između "aproksimacije" i "konvergencije", ali se nadam da ćete intuitivno shvatiti da ću, ako uzmem prilično veliki uzorak ovdje, dobiti očekivanu vrijednost za populaciju u cjelini. Mislim da većina vas intuitivno razumije da ako uradim dovoljno testova sa velikim uzorkom primjera, na kraju će mi testovi dati vrijednosti koje očekujem, uzimajući u obzir očekivanu vrijednost i vjerovatnoću i sav taj jazz. Ali mislim da je često nejasno zašto se to dešava. I prije nego što počnem da objašnjavam zašto je to tako, dajte konkretan primjer. Zakon velikih brojeva nam govori da... Recimo da imamo slučajnu varijablu X. Ona je jednaka broju glava u 100 bacanja poštenog novčića. Prije svega, znamo matematičko očekivanje ove slučajne varijable. Ovo je broj bacanja novčića ili pokušaja pomnožen sa izgledima za uspjeh bilo kojeg pokušaja. Dakle, ovo je jednako 50. Odnosno, zakon velikih brojeva kaže da ako uzmemo uzorak, ili ako uprosim ova ispitivanja, dobiću. .. Prvi put kada radim test, baciću novčić 100 puta, ili ću uzeti kutiju sa sto novčića, protresti je, pa izbrojati koliko glava dobijem, pa ću dobiti, recimo , broj 55. To bi bilo X1. Zatim ponovo protresem kutiju i dobijem broj 65. Zatim ponovo i dobijem 45. I uradim ovo n broj puta, i onda to podijelim sa brojem pokušaja. Zakon velikih brojeva nam govori da će se ovaj prosjek (prosjek svih mojih zapažanja) približiti 50 kako se n približava beskonačnosti. Sada bih želeo da pričam malo o tome zašto se to dešava. Mnogi ljudi vjeruju da ako je moj rezultat nakon 100 pokušaja iznad prosjeka, onda bih prema zakonima vjerovatnoće trebao dobiti više ili manje glava kako bih, da tako kažem, nadoknadio razliku. To nije baš ono što će se dogoditi. Ovo se često naziva "kockarska zabluda". Dozvolite mi da vam pokažem razliku. Koristit ću sljedeći primjer. Da nacrtam grafik. Hajde da promenimo boju. Ovo je n, moja x osa je n. Ovo je broj testova koje ću uraditi. A moja Y osa će biti srednja vrijednost uzorka. Znamo da je matematičko očekivanje ove proizvoljne varijable 50. Daj da nacrtam ovo. Ovo je 50. Vratimo se našem primjeru. Ako je n... Tokom mog prvog testa dobio sam 55, to je moj prosjek. Imam samo jednu tačku za unos podataka. Onda nakon dva testa dobijem 65. Znači moj prosek bi bio 65+55 podeljeno sa 2. To je 60. I moj prosek je malo porastao. Onda sam dobio 45, što je opet snizilo moj aritmetički prosek. Neću iscrtati 45. Sada sve ovo trebam u prosjeku. Čemu je jednako 45+65? Dozvolite mi da izračunam ovu vrijednost da predstavim tačku. To je 165 podijeljeno sa 3. To je 53. Ne, 55. Dakle, prosjek se vraća na 55. Možemo nastaviti sa ovim testovima. Nakon što smo uradili tri pokušaja i dobili taj prosjek, mnogi ljudi misle da će se bogovi vjerovatnoće pobrinuti da dobijemo manje glava u budućnosti, da će sljedećih nekoliko pokušaja imati niže rezultate za snižavanje prosjeka. Ali nije uvijek tako. U budućnosti, vjerovatnoća uvijek ostaje ista. Uvijek će postojati 50% šanse da dobijem glave. Nije da u početku dobijem određeni broj glava, više nego što očekujem, a onda odjednom moram dobiti repove. Ovo je zabluda kockara. Samo zato što dobijete nesrazmjerno veliki broj glava ne znači da ćete u nekom trenutku početi dobivati ​​nesrazmjerno veliki broj repova. Ovo nije sasvim tačno. Zakon velikih brojeva nam govori da to nije bitno. Recimo da je posle određenog konačnog broja testova vaš prosek... Verovatnoća za to je prilično mala, ali, ipak... Recimo da je vaš prosek dostigao ovu oznaku - 70. Mislite: "Vau, odmakli smo se od očekivane vrijednosti." Ali zakon velikih brojeva kaže da nije važno koliko testova radimo. Pred nama je još beskrajan broj izazova. Matematičko očekivanje ovog beskonačnog broja pokušaja, posebno u ovakvoj situaciji, bilo bi sljedeće. Kada dođete do konačnog broja koji izražava neku veliku vrijednost, beskonačan broj koji konvergira s njim opet će dovesti do očekivane vrijednosti. Ovo je, naravno, vrlo labavo tumačenje, ali to nam govori zakon velikih brojeva. Važno je. To nam ne govori da ako dobijemo mnogo glava, onda će se nekako povećati vjerovatnoća da ćemo dobiti repove da bismo to nadoknadili. Ovaj zakon nam govori da nije važno kakav će biti ishod na konačnom broju suđenja sve dok vam je još preostao beskonačan broj suđenja. A ako ih učinite dovoljno, opet ćete se vratiti na očekivanu vrijednost. Ovo je važna tačka. Razmisli o tome. Ali to se ne koristi svaki dan u praksi sa lutrijama i kockarnicama, iako se zna da ako uradite dovoljno testova... Možemo i izračunati... kolika je verovatnoća da ćemo ozbiljno odstupiti od norme? Ali kockarnice i lutrije rade svaki dan po principu da ako uzmete dovoljno ljudi, naravno, za kratko vrijeme, sa malim uzorkom, onda će nekoliko ljudi osvojiti džekpot. Ali tokom dužeg vremenskog perioda, kazino će uvek pobediti zbog parametara igara u koje vas pozivaju da igrate. Ovo je važan princip vjerovatnoće koji je intuitivan. Iako ponekad kada vam se to formalno objasni slučajnim varijablama, sve to izgleda pomalo zbunjujuće. Sve što ovaj zakon kaže je da što više uzoraka ima, to će više aritmetička sredina tih uzoraka težiti pravoj sredini. I da budemo precizniji, aritmetička sredina vašeg uzorka će konvergirati s matematičkim očekivanjem slučajne varijable. To je sve. Vidimo se u sljedećem videu!

Slab zakon velikih brojeva

Slab zakon velikih brojeva naziva se i Bernoullijevom teoremom, po Jacobu Bernoulliju, koji ga je dokazao 1713. godine.

Neka postoji beskonačan niz (sekvencijalno nabrajanje) identično raspoređenih i nekoreliranih slučajnih varijabli. To jest, njihova kovarijansa c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Neka . Označimo prosjekom uzorka prvog n (\displaystyle n)članovi:

.

Onda X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Odnosno za svaku pozitivu ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Ojačani zakon velikih brojeva

Neka postoji beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), definisano na jednom prostoru vjerovatnoće (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Neka E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Označimo sa X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) uzorak srednje vrijednosti prvog n (\displaystyle n)članovi:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Onda X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) skoro uvijek.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ desno)=1.) .

Kao i svaki matematički zakon, zakon velikih brojeva može se primijeniti na stvarni svijet samo pod određenim pretpostavkama koje se mogu ispuniti samo sa određenim stepenom tačnosti. Na primjer, uzastopni uvjeti testiranja često se ne mogu održavati neograničeno i sa apsolutnom tačnošću. Osim toga, zakon velikih brojeva samo govori o tome nevjerovatnost značajno odstupanje prosječne vrijednosti od matematičkog očekivanja.

Koja je tajna uspješnih prodavača? Ako posmatrate najbolje prodavače u bilo kojoj kompaniji, primijetit ćete da imaju jednu zajedničku stvar. Svaki od njih se susreće s više ljudi i pravi više prezentacija od manje uspješnih prodavača. Ovi ljudi razumiju da je prodaja igra brojeva i što više ljudi pričaju o svojim proizvodima ili uslugama, više će poslova sklopiti - to je sve. Shvaćaju da ako komuniciraju ne samo s onim nekolicinom koji će im sigurno reći da, već i sa onima čije interesovanje za njihovu ponudu nije toliko veliko, onda će im zakon prosjeka ići u prilog.

Vaš prihod će ovisiti o broju prodaja, ali će u isto vrijeme biti direktno proporcionalan broju prezentacija koje napravite. Jednom kada shvatite i praktikujete zakon prosjeka, anksioznost povezana s pokretanjem novog posla ili radom u novoj oblasti će početi da se smanjuje. Kao rezultat toga, osjećaj kontrole i povjerenja u vašu sposobnost da zaradite novac će početi rasti. Ako samo pravite prezentacije i usavršavate svoje vještine u procesu, dogovori će doći.

Umjesto da razmišljate o broju ponuda, bolje razmislite o broju prezentacija. Nema smisla buditi se ujutro ili dolaziti kući navečer i pitati se ko će kupiti vaš proizvod. Umjesto toga, najbolje je planirati koliko poziva trebate obaviti svaki dan. I onda, bez obzira na sve - obavite sve te pozive! Ovaj pristup će vam olakšati rad – jer je to jednostavan i specifičan cilj. Ako znate da imate konkretan i ostvariv cilj, lakše ćete obaviti planirani broj poziva. Ako čujete "da" nekoliko puta tokom ovog procesa, tim bolje!

A ako "ne", onda ćete uveče osjećati da ste pošteno učinili sve što ste mogli, i neće vas mučiti misli o tome koliko ste novca zaradili ili koliko ste drugova stekli u danu.

Recimo da u vašoj kompaniji ili poslu prosječan prodavač zaključi jedan posao po četiri prezentacije. Sada zamislite da izvlačite karte iz špila. Svaka karta od tri boje - pik, karo i tref - predstavlja prezentaciju u kojoj profesionalno predstavljate proizvod, uslugu ili priliku. Uradite to najbolje što možete, ali i dalje ne zaključujete posao. A svaka kartica srca je dogovor koji vam omogućava da dobijete novac ili steknete novog pratioca.

U takvoj situaciji, zar ne biste željeli da izvučete što više karata iz špila? Recimo da vam se nudi da izvučete onoliko karata koliko želite, dok vam plaćate ili vam nudimo novog pratioca svaki put kada izvučete kartu srca. Počećete sa entuzijazmom da crtate karte, jedva primećujući šta odgovara karti koju ste upravo izvukli.

Znate da u špilu od pedeset i dve karte ima trinaest srca. A u dva špila ima dvadeset šest karata srca i tako dalje. Hoćete li se razočarati kada izvučete pik, karo ili tref? Naravno da ne! Samo ćete pomisliti da vas svaki takav „promašaj“ približava čemu? Na kartu srca!

Ali znaš šta? Već ste dobili takvu ponudu. Vi ste u jedinstvenoj poziciji da zaradite koliko želite i nacrtate onoliko srca koliko želite da nacrtate u svom životu. A ako jednostavno savjesno „izvučete karte“, poboljšate svoje vještine i izdržite malo pika, karama i trepavica, postat ćete odličan prodavač i postići uspjeh.

Jedna od stvari koja prodaju čini tako zabavnom je da se svaki put kada promiješate špil karte miješaju drugačije. Ponekad sva srca završe na početku špila, a nakon niza sreće (kada nam se čini da nikada nećemo izgubiti!) čeka nas dugačak red karata različite boje. A drugi put, da biste došli do prvog srca, morate proći kroz beskrajan broj pikova, trefanja i dijamanata. A ponekad se karte različitih boja pojavljuju strogo po redu. Ali u svakom slučaju, u svakom špilu od pedeset i dve karte, nekim redom, uvek se nalazi trinaest srca. Samo vadite kartice dok ih ne pronađete.

Od: Leylya,  

Zakon velikih brojeva

Praksa proučavanja slučajnih pojava pokazuje da, iako se rezultati pojedinačnih posmatranja, čak i onih sprovedenih pod istim uslovima, mogu znatno razlikovati, u isto vreme, prosečni rezultati za dovoljno veliki broj posmatranja su stabilni i slabo zavise od rezultati pojedinačnih zapažanja. Teorijska osnova za ovo izvanredno svojstvo slučajnih pojava je zakon velikih brojeva. Opšte značenje zakona velikih brojeva je da kombinovano djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi do rezultata koji je gotovo nezavisan od slučajnosti.

Centralna granična teorema

Ljapunovljev teorem objašnjava raširenu distribuciju zakona normalne distribucije i objašnjava mehanizam njegovog formiranja. Teorema nam omogućava da kažemo da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat sabiranja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli, čije su varijanse male u poređenju sa disperzijom sume, zakon distribucije ove slučajne varijable se mijenja. gotovo normalan zakon. A budući da su slučajne varijable uvijek generirane beskonačnim brojem uzroka i najčešće nijedan od njih nema disperziju uporedivu sa disperzijom same slučajne varijable, većina slučajnih varijabli koje se susreću u praksi podliježu normalnom zakonu distribucije.

Zaustavimo se detaljnije na sadržaju teorema svake od ovih grupa

U praktičnim istraživanjima veoma je važno znati u kojim slučajevima je moguće garantovati da će verovatnoća nekog događaja biti ili dovoljno mala ili bliža jedinici koliko se želi.

Ispod zakon velikih brojeva i shvaćen je kao skup tvrdnji koje navode da će se, s vjerovatnoćom blizu jedan (ili nuli), događaj dogoditi u zavisnosti od veoma velikog, neograničeno rastućeg broja slučajnih događaja, od kojih svaki ima samo mali uticaj na to.

Preciznije, zakon velikih brojeva shvata se kao skup tvrdnji koje navode da sa verovatnoćom što je moguće bližom jedinici, odstupanje aritmetičke sredine dovoljno velikog broja slučajnih varijabli od konstantne vrednosti - aritmetičke sredine njihovih matematičkih očekivanja - neće premašiti dati proizvoljno mali broj.

Pojedinačne, izolovane pojave koje posmatramo u prirodi i društvenom životu često se javljaju kao slučajne (npr. registrovana smrt, pol rođenog deteta, temperatura vazduha i sl.) zbog činjenice da na takve pojave utiču mnogi faktori. nije u vezi sa suštinom nastanka ili razvoja neke pojave. Nemoguće je predvideti njihov ukupni efekat na posmatranu pojavu, a različito se manifestuju u pojedinačnim pojavama. Na osnovu rezultata jednog fenomena, ništa se ne može reći o obrascima svojstvenim mnogim takvim fenomenima.

Međutim, odavno je zapaženo da je aritmetička sredina numeričkih karakteristika nekih znakova (relativne frekvencije pojavljivanja događaja, rezultati mjerenja itd.) sa velikim brojem ponavljanja eksperimenta podložna vrlo malim fluktuacijama. U prosjeku se čini da se manifestira obrazac koji je inherentan suštini fenomena; u njemu se poništava utjecaj pojedinačnih faktora koji su rezultate pojedinačnih promatranja učinili slučajnim. Teoretski, ovakvo ponašanje prosjeka može se objasniti korištenjem zakona velikih brojeva. Ako su ispunjeni neki vrlo opšti uslovi u vezi sa slučajnim varijablama, onda će stabilnost aritmetičke sredine biti gotovo siguran događaj. Ovi uslovi čine najvažniji sadržaj zakona velikih brojeva.

Prvi primjer rada ovog principa može biti konvergencija učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja s njegovom vjerovatnoćom kako se broj pokušaja povećava - činjenica je utvrđena Bernoullijevom teoremom (švicarski matematičar Jacob Bernoulli(1654-1705) Bernulova teorema je jedan od najjednostavnijih oblika zakona velikih brojeva i često se koristi u praksi. Na primjer, učestalost pojavljivanja bilo kojeg kvaliteta ispitanika u uzorku uzima se kao procjena odgovarajuće vjerovatnoće).

Izuzetan francuski matematičar Simeon Denny Poisson(1781-1840) je generalizovao ovu teoremu i proširio je na slučaj kada se vjerovatnoća događaja u testu mijenja bez obzira na rezultate prethodnih testova. On je bio prvi koji je upotrebio termin "zakon velikih brojeva".

Veliki ruski matematičar Pafnutij Lvovič Čebišev(1821 - 1894) dokazao je da zakon velikih brojeva djeluje u pojavama sa bilo kojim varijacijama i da se proteže i na zakon prosjeka.

Dalja generalizacija teorema zakona velikih brojeva povezana je s imenima A.A.Markov, S.N.Bernstein, A.Ya.Khinčin i A.N.Kolmlgorov.

Opća moderna formulacija problema, formulacija zakona velikih brojeva, razvoj ideja i metoda za dokazivanje teorema vezanih za ovaj zakon pripadaju ruskim naučnicima P. L. Čebišev, A. A. Markov i A. M. Ljapunov.

ČEBIŠEVOVA NEJEDNAKOST

Razmotrimo prvo pomoćne teoreme: Čebiševljevu lemu i nejednakost, uz pomoć kojih se lako može dokazati zakon velikih brojeva u Čebiševljevom obliku.

Lemma (Čebišev).

Ako među vrijednostima slučajne varijable X nema negativnih, onda je vjerovatnoća da će ona poprimiti neku vrijednost koja prelazi pozitivni broj A nije veća od razlomka, čiji je brojnik matematičko očekivanje slučajnog varijabla, a nazivnik je broj A:

Dokaz.Neka je poznat zakon raspodjele slučajne varijable X:

(i = 1, 2, ..., ), i smatramo da su vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu.

S obzirom na broj A, vrijednosti slučajne varijable podijeljene su u dvije grupe: neke ne prelaze A, a druge su veće od A. Pretpostavimo da prva grupa uključuje prve vrijednosti slučajne varijabla ().

Budući da , Tada su svi uvjeti sume nenegativni. Stoga, odbacivanjem prvih članova u izrazu dobijamo sljedeću nejednakost:

Zbog

,

To

Q.E.D.

Slučajne varijable mogu imati različite distribucije sa istim matematičkim očekivanjima. Međutim, za njih će Čebiševljeva lema dati istu procjenu vjerovatnoće jednog ili drugog rezultata testa. Ovaj nedostatak leme je povezan sa njenom opštošću: nemoguće je postići bolju procenu za sve slučajne varijable odjednom.

Čebiševljeva nejednakost .

Vjerovatnoća da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja premašiti apsolutnu vrijednost pozitivnog broja nije veća od razlomka, čiji je brojnik varijanca slučajne varijable, a nazivnik kvadrat

Dokaz.Pošto je to slučajna varijabla koja ne uzima negativne vrijednosti, primjenjujemo nejednakost iz Čebiševe leme za slučajnu varijablu na:

Q.E.D.

Posljedica. Zbog

,

To

- drugi oblik Čebiševljeve nejednakosti

Prihvatimo bez dokaza činjenicu da su Čebiševljeva lema i nejednakost tačne i za kontinuirane slučajne varijable.

Čebiševljeva nejednakost leži u osnovi kvalitativnih i kvantitativnih iskaza zakona velikih brojeva. Određuje gornju granicu vjerovatnoće da je odstupanje vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja veće od određenog specificiranog broja. Izvanredno je da Čebiševljeva nejednakost daje procjenu vjerovatnoće događaja za slučajnu varijablu čija je distribucija nepoznata, poznati su samo njeno matematičko očekivanje i varijansa.

Teorema. (Zakon velikih brojeva u obliku Čebiševa)

Ako su varijanse nezavisnih slučajnih varijabli ograničene jednom konstantom C, a njihov broj je dovoljno velik, tada vjerovatnoća da odstupanje aritmetičke sredine ovih slučajnih varijabli od aritmetičke sredine njihovih matematičkih očekivanja neće premašiti apsolutnu vrijednost dati pozitivan broj, bez obzira koliko je mali, je što je moguće bliže jedinici.

.

Prihvatamo teoremu bez dokaza.

Zaključak 1. Ako nezavisne slučajne varijable imaju ista, jednaka, matematička očekivanja, njihove varijanse su ograničene istom konstantom C, a njihov broj je dovoljno velik, onda bez obzira koliko je mali dati pozitivan broj, koliko god blizak jedinici, vjerovatnoća je da odstupanje od prosjeka aritmetika ovih slučajnih varijabli neće premašiti u apsolutnoj vrijednosti.

Ovom teoremom može se opravdati činjenica da se aritmetička sredina rezultata dovoljno velikog broja njegovih mjerenja izvršenih pod istim uslovima uzima kao približna vrijednost nepoznate veličine. Zaista, rezultati mjerenja su nasumični, jer na njih utiču mnogi slučajni faktori. Odsustvo sistematskih grešaka znači da su matematička očekivanja pojedinačnih rezultata mjerenja ista i jednaka. Prema tome, prema zakonu velikih brojeva, aritmetička sredina dovoljno velikog broja mjerenja će se razlikovati praktično onoliko koliko se želi od prave vrijednosti željene veličine.

(Podsjetimo da se greške nazivaju sistematskim ako iskrivljuju rezultat mjerenja u istom smjeru prema manje-više jasnom zakonu. Tu spadaju greške koje se javljaju kao rezultat nesavršenih instrumenata (instrumentalne greške), zbog ličnih karakteristika posmatrača (lične greške) i sl.)

Zaključak 2 . (Bernoullijeva teorema.)

Ako je vjerovatnoća pojave događaja A u svakom od nezavisnih pokušaja konstantna, a njihov broj dovoljno velik, tada je vjerovatnoća da se učestalost pojave događaja onoliko malo razlikuje koliko se želi od vjerovatnoće njegovog pojavljivanja proizvoljno do jedinstva:

Bernulijeva teorema kaže da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti slučajna.

U praksi je relativno rijetko naići na eksperimente u kojima je vjerovatnoća pojave događaja u bilo kojem eksperimentu konstantna, češće varira u različitim eksperimentima. Poissonova teorema se primjenjuje na testnu šemu ovog tipa:

Zaključak 3 . (Poissonova teorema.)

Ako se vjerovatnoća pojave događaja u -tom ispitivanju ne promijeni kada rezultati prethodnih testova postanu poznati, a njihov broj je dovoljno velik, tada je vjerovatnoća da se učestalost pojave događaja proizvoljno malo razlikuje od aritmetičke prosek verovatnoće je proizvoljno blizak jedinici:

Poissonova teorema kaže da učestalost događaja u nizu nezavisnih pokušaja teži aritmetičkoj sredini njegovih vjerovatnoća i prestaje biti slučajna.

U zaključku, napominjemo da nijedna od razmatranih teorema ne daje tačnu ili čak približnu vrijednost željene vjerovatnoće, već je naznačena samo njena donja ili gornja granica. Stoga, ako je potrebno utvrditi tačnu ili barem približnu vrijednost vjerovatnoća odgovarajućih događaja, mogućnosti ovih teorema su vrlo ograničene.

Približne vjerovatnoće za velike vrijednosti mogu se dobiti samo pomoću graničnih teorema. U njima se nameću dodatna ograničenja na slučajne varijable (kao što je slučaj, na primjer, u Lyapunovljevom teoremu), ili se razmatraju slučajne varijable određenog tipa (na primjer, u Moivre-Laplaceovom integralnom teoremu).

Teorijski značaj Čebiševljeve teoreme, koja je vrlo opšta formulacija zakona velikih brojeva, je velik. Međutim, ako ga primijenimo na pitanje da li je moguće primijeniti zakon velikih brojeva na niz nezavisnih slučajnih varijabli, onda ako je odgovor potvrdan, teorema će često zahtijevati da postoji mnogo više slučajnih varijabli nego što je neophodno da zakon velikih brojeva stupi na snagu. Ovaj nedostatak Čebiševljeve teoreme objašnjava se njenom opštom prirodom. Stoga je poželjno imati teoreme koje bi preciznije ukazivale na donju (ili gornju) granicu željene vjerovatnoće. Oni se mogu dobiti nametanjem nekih dodatnih ograničenja na slučajne varijable, koja su obično zadovoljena za slučajne varijable koje se susreću u praksi.

NAPOMENE O SADRŽAJU ZAKONA VELIKIH BROJEVA

Ako je broj slučajnih varijabli dovoljno velik i one zadovoljavaju neke vrlo opće uvjete, onda bez obzira na to kako su raspoređene, gotovo je sigurno da njihova aritmetička sredina odstupa onoliko koliko se želi od konstantne vrijednosti - aritmetičke sredine njihovih matematičkih očekivanja. , tj. je skoro konstantna vrijednost. Ovo je sadržaj teorema vezanih za zakon velikih brojeva. Shodno tome, zakon velikih brojeva jedan je od izraza dijalektičke veze između slučajnosti i nužnosti.

Može se navesti mnogo primjera nastanka novih kvalitativnih stanja kao manifestacija zakona velikih brojeva, prvenstveno među fizičkim pojavama. Hajde da razmotrimo jednu od njih.

Prema modernim konceptima, plinovi se sastoje od pojedinačnih čestica - molekula koje su u haotičnom kretanju i nemoguće je tačno reći gdje će se u datom trenutku nalaziti i kojom brzinom će se kretati ovaj ili onaj molekul. Međutim, zapažanja pokazuju da ukupni učinak molekula, na primjer tlak plina na

zid posude, manifestuje se sa neverovatnom konzistencijom. Određuje se brojem udaraca i jačinom svakog od njih. Iako su prvi i drugi slučajni, uređaji ne detektuju fluktuacije pritiska gasa u normalnim uslovima. To se objašnjava činjenicom da zbog ogromnog broja molekula, čak iu najmanjim volumenima

promjena tlaka za primjetnu količinu je praktično nemoguća. Shodno tome, fizički zakon koji navodi konstantnost pritiska gasa je manifestacija zakona velikih brojeva.

Konstantnost pritiska i neke druge karakteristike gasa svojevremeno su služile kao ubedljiv argument protiv molekularne teorije strukture materije. Kasnije su naučili da izoluju relativno mali broj molekula, osiguravajući da uticaj pojedinačnih molekula i dalje ostane, pa se tako zakon velikih brojeva nije mogao manifestovati u dovoljnoj meri. Tada je bilo moguće uočiti fluktuacije tlaka plina, potvrđujući hipotezu o molekularnoj strukturi tvari.

Zakon velikog broja je u osnovi raznih vrsta osiguranja (osiguranje života ljudi za sve moguće periode, imovine, stoke, useva itd.).

Prilikom planiranja asortimana robe široke potrošnje uzima se u obzir potražnja stanovništva za njima. Ovaj zahtjev otkriva učinak zakona velikih brojeva.

Metoda uzorkovanja, koja se široko koristi u statistici, nalazi svoju naučnu osnovu u zakonu velikih brojeva. Na primjer, kvalitet pšenice donesene sa kolektivne farme na mjesto nabavke se procjenjuje prema kvalitetu zrna slučajno uhvaćenih u maloj mjeri. U mjeri nema puno zrna u odnosu na cijelu seriju, ali je u svakom slučaju mjera odabrana tako da u njoj ima dovoljno zrna za

manifestacije zakona velikih brojeva sa tačnošću koja zadovoljava potrebe. Imamo pravo da u uzorku uzmemo odgovarajuće indikatore kao indikatore kontaminacije, vlažnosti i prosječne mase zrna cijele serije pristiglog zrna.

Dalji napori naučnika da prodube sadržaj zakona velikih brojeva bili su usmereni na dobijanje najopštijih uslova za primenljivost ovog zakona na niz slučajnih varijabli. U tom pravcu odavno nije bilo suštinskih uspjeha. Nakon P. L. Čebiševa i A. A. Markova, tek je 1926. sovjetski akademik A. N. Kolmogorov uspio da dobije uslove potrebne i dovoljne da zakon velikih brojeva bude primjenjiv na niz nezavisnih slučajnih varijabli. Sovjetski naučnik A. Ya. Khinčin je 1928. godine pokazao da je dovoljan uslov za primenljivost zakona velikih brojeva na niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli postojanje njihovog matematičkog očekivanja.

Za praksu je izuzetno važno u potpunosti razjasniti pitanje primjenjivosti zakona velikih brojeva na zavisne slučajne varijable, budući da su pojave u prirodi i društvu međusobno zavisne i međusobno se određuju. Mnogo rada je posvećeno razjašnjavanju ograničenja koja treba nametnuti

o zavisnim slučajnim varijablama tako da se na njih može primijeniti zakon velikih brojeva, a najvažnije pripadaju istaknutom ruskom naučniku A. A. Markovu i istaknutim sovjetskim naučnicima S. N. Bernsteinu i A. Ya. Khinčinu.

Glavni rezultat ovih radova je da se zakon velikih brojeva može primijeniti na zavisne slučajne varijable samo ako postoji jaka ovisnost između slučajnih varijabli sa bliskim brojevima, a između slučajnih varijabli sa udaljenim brojevima ovisnost je dovoljno slaba. Primjeri slučajnih varijabli ovog tipa su numeričke karakteristike klime. Na vrijeme svakog dana primjetno utiče vrijeme prethodnih dana, a utjecaj osjetno slabi kako se dani udaljavaju jedan od drugog. Shodno tome, dugoročna prosečna temperatura, pritisak i druge karakteristike klime datog područja, u skladu sa zakonom velikih brojeva, trebale bi da budu praktično bliske njihovim matematičkim očekivanjima. Potonje su objektivne karakteristike klime ovog područja.

Kako bi se eksperimentalno testirao zakon velikih brojeva, sljedeći eksperimenti su izvedeni u različito vrijeme.

1. Iskustvo Buffon. Novčić je bačen 4040 puta. Grb se pojavio 2048 puta. Ispostavilo se da je učestalost njegovog pojavljivanja jednaka 0,50694 =

2. Iskustvo Pearson. Novčić se baca 12.000 i 24.000 puta. Učestalost ispadanja grba u prvom slučaju je bila 0,5016, u drugom - 0,5005.

H. Iskustvo Vestergaard. Iz urne u kojoj je bio jednak broj bijelih i crnih loptica, nakon 10.000 izvlačenja dobijeno je 5011 bijelih i 4989 crnih loptica (sa sljedećom izvađenom loptom koja se vraća u urnu). Učestalost bijelih kuglica bila je 0,50110 = (), a učestalost crnih 0,49890.

4. Iskustvo V.I. Romanovski. Četiri novčića se bacaju 21.160 puta. Frekvencije i frekvencije raznih kombinacija grba i heš oznaka raspoređene su na sljedeći način:

Kombinacije broja glava i repova	Frekvencije	Frekvencije
		Empirijski	Teorijski
4 i 0	1 181	0,05858	0,0625
3 i 1	4909	0,24350	0,2500
2 i 2	7583	0,37614	0,3750
1 i 3	5085	0,25224	0,2500
1 i 4		0,06954	0,0625
Ukupno	20160	1,0000	1,0000

Rezultati eksperimentalnih ispitivanja zakona velikih brojeva uvjeravaju nas da su eksperimentalne frekvencije vrlo bliske vjerovatnoći.

CENTRALNA GRANIČNA TEOREMA

Nije teško dokazati da je zbir bilo kojeg konačnog broja nezavisnih normalno distribuiranih slučajnih varijabli također normalno raspoređen.

Ako nezavisne slučajne varijable nisu normalno raspoređene, onda im se mogu nametnuti neka vrlo labava ograničenja, a njihov zbir će i dalje biti normalno raspoređen.

Ovaj problem su postavili i riješili uglavnom ruski naučnici P. L. Čebišev i njegovi učenici A. A. Markov i A. M. Ljapunov.

Teorema (Lyapunov).

Ako nezavisne slučajne varijable imaju konačna matematička očekivanja i konačne varijanse , njihov broj je prilično velik, i sa neograničenim porastom

,

gdje su apsolutni centralni momenti trećeg reda, onda njihov zbir ima distribuciju sa dovoljnim stepenom tačnosti

(U stvari, ne predstavljamo Ljapunovljevu teoremu, već jednu od njenih posledica, budući da je ova posledica sasvim dovoljna za praktične primene. Stoga je uslov, koji se zove Ljapunovljev uslov, jači zahtev nego što je neophodan za dokazivanje same Ljapunovljeve teoreme. )

Značenje uslova je da je efekat svakog pojma (slučajne varijable) mali u poređenju sa ukupnim efektom svih njih. Mnoge slučajne pojave koje se javljaju u prirodi i društvenom životu odvijaju se upravo po ovom obrascu. U tom smislu, Ljapunovljeva teorema je od izuzetnog značaja, a zakon normalne raspodele je jedan od osnovnih zakona u teoriji verovatnoće.

Neka se, na primjer, proizvede mjerenje neke veličine. Različita odstupanja uočene vrijednosti od njene prave vrijednosti (matematičko očekivanje) dobijaju se kao rezultat uticaja veoma velikog broja faktora, od kojih svaki generiše malu grešku, i . Tada je ukupna greška mjerenja slučajna varijabla, koja se, prema Ljapunovljevom teoremu, treba rasporediti prema normalnom zakonu.

At pucanje iz pištolja pod uticajem veoma velikog broja nasumičnih uzroka, projektili se raspršuju po određenom području. Slučajni udari na putanju projektila mogu se smatrati nezavisnim. Svaki uzrok uzrokuje samo neznatnu promjenu putanje u odnosu na ukupnu promjenu pod utjecajem svih uzroka. Stoga treba očekivati ​​da će odstupanje lokacije eksplozije projektila od cilja biti slučajna varijabla raspoređena po normalnom zakonu.

Prema Ljapunovljevom teoremu, možemo očekivati ​​da npr. visina odraslog muškarca je slučajna varijabla distribuirana prema normalnom zakonu. Ova hipoteza, kao i one razmotrene u prethodna dva primjera, dobro se slažu sa zapažanjima.Da bismo to potvrdili, predstavljamo distribuciju po visini 1000 odraslih muških radnika, odgovarajući teoretski broj muškaraca, odnosno broj muškaraca koji bi trebao imaju visinu ovih grupa, na osnovu pretpostavke distribucije visine muškaraca prema normalnom zakonu.

Visina, cm	broj muškaraca
	eksperimentalni podaci	teorijski prognoze
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Bilo bi teško očekivati ​​preciznije slaganje između eksperimentalnih i teorijskih podataka.

Kao posljedicu Ljapunovljeve teoreme lako se može dokazati tvrdnja koja će biti neophodna u budućnosti da bi se opravdala metoda uzorkovanja.

Ponuda.

Zbir dovoljno velikog broja identično raspoređenih slučajnih varijabli koje imaju apsolutne centralne momente trećeg reda distribuira se prema normalnom zakonu.

Granične teoreme teorije vjerovatnoće, Moivre-Laplaceova teorema objašnjavaju prirodu stabilnosti učestalosti pojavljivanja događaja. Ova priroda leži u činjenici da je ograničavajuća distribucija broja pojavljivanja događaja uz neograničeno povećanje broja pokušaja (ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokusima) normalna distribucija.

Sistem slučajnih varijabli.

Slučajne varijable koje smo prethodno razmatrali su bile jednodimenzionalne, tj. određene su jednim brojem, međutim, postoje i slučajne varijable koje su određene sa dva, tri itd. brojevi. Takve slučajne varijable se nazivaju dvodimenzionalnim, trodimenzionalnim itd.

U zavisnosti od vrste slučajnih varijabli uključenih u sistem, sistemi mogu biti diskretni, kontinuirani ili mješoviti ako sistem uključuje različite tipove slučajnih varijabli.

Pogledajmo bliže sisteme od dvije slučajne varijable.

Definicija. Zakon o raspodjeli Sistem slučajnih varijabli je relacija koja uspostavlja vezu između područja mogućih vrijednosti sistema slučajnih varijabli i vjerovatnoća da se sistem pojavi u tim područjima.

Primjer. Iz urne u kojoj se nalaze 2 bijele i tri crne kugle izvade se dvije kuglice. Neka je broj izvučenih bijelih loptica, a slučajna varijabla je definirana na sljedeći način:

Kreirajmo tabelu distribucije za sistem slučajnih varijabli:

Budući da je vjerovatnoća da nijedna bijela kuglica nije izvučena (što znači da su izvučene dvije crne lopte), i , tada

.

Vjerovatnoća

.

Vjerovatnoća

Vjerovatnoća - vjerovatnoća da nijedna bijela loptica nije izvučena (i stoga su izvučene dvije crne lopte), dok je , tada

Vjerovatnoća - vjerovatnoća da je jedna bijela kugla izvučena (i, prema tome, jedna crna), dok je , tada

Vjerovatnoća - vjerovatnoća da su dvije bijele kugle izvučene (i, prema tome, nijedna crna), dok je , tada

.

Dakle, serija distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable ima oblik:

Definicija. Funkcija distribucije sistem od dvije slučajne varijable naziva se funkcija dva argumentaF( x, y) , jednaka vjerovatnoći zajedničkog ispunjenja dvije nejednačineX< x, Y< y.

Zapazimo sljedeća svojstva funkcije distribucije sistema od dvije slučajne varijable:

1) ;

2) Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija za svaki argument:

3) Istina je sljedeće:

4)

5) Vjerovatnoća pogađanja slučajne tačke ( X, Y ) u proizvoljan pravougaonik sa stranicama paralelnim s koordinatnim osa, izračunava se po formuli:

Gustoća distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Definicija. Gustina distribucije zglobova vjerovatnoće dvodimenzionalne slučajne varijable ( X, Y ) naziva se drugi mješoviti parcijalni izvod funkcije distribucije.

Ako je gustina distribucije poznata, tada se funkcija distribucije može pronaći pomoću formule:

Gustoća dvodimenzionalne distribucije je nenegativna i dvostruki integral sa beskonačnim granicama dvodimenzionalne gustine jednak je jedan.

Iz poznate gustine zajedničke raspodele može se naći gustina raspodele svake od komponenti dvodimenzionalne slučajne varijable.

; ;

Uslovni zakoni distribucije.

Kao što je gore prikazano, znajući zajednički zakon distribucije, lako možete pronaći zakone raspodjele svake slučajne varijable uključene u sistem.

Međutim, u praksi se često susreće s inverznim problemom - koristeći poznate zakone raspodjele slučajnih varijabli, pronađite njihov zajednički zakon raspodjele.

U opštem slučaju, ovaj problem je nerešiv, jer zakon distribucije slučajne varijable ne govori ništa o odnosu ove varijable sa drugim slučajnim varijablama.

Osim toga, ako su slučajne varijable zavisne jedna od druge, onda se zakon distribucije ne može izraziti kroz zakone raspodjele komponenti, jer moraju uspostaviti veze između komponenti.

Sve ovo dovodi do potrebe razmatranja zakona o uslovnoj raspodjeli.

Definicija. Distribucija jedne slučajne varijable uključene u sistem, pronađene pod uslovom da je druga slučajna varijabla zauzela određenu vrijednost, naziva se zakon uslovne raspodele.

Uvjetni zakon raspodjele može se specificirati i funkcijom raspodjele i gustinom raspodjele.

Uslovna gustina distribucije se izračunava pomoću formula:

Uslovna gustina distribucije ima sva svojstva gustine distribucije jedne slučajne varijable.

Uslovno matematičko očekivanje.

Definicija. Uslovno matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla Y na X = x (x – određena moguća vrijednost X) je proizvod svih mogućih vrijednosti Y na njihove uslovne vjerovatnoće.

Za kontinuirane slučajne varijable:

,

Gdje f( y/ x) – uslovna gustina slučajne varijable Y na X = x.

Uslovno matematičko očekivanjeM( Y/ x)= f( x) je funkcija od X i zove se regresijska funkcija X uključena Y.

Primjer.Pronađite uslovno matematičko očekivanje komponente Y at

X = x 1 =1 za diskretnu dvodimenzionalnu slučajnu varijablu datu u tabeli:

Y
	x 1 =1	x 2 =3	x 3 =4	x 4 =8
y 1 =3	0,15	0,06	0,25	0,04
y 2 =6	0,30	0,10	0,03	0,07

Uslovna varijansa i uslovni momenti sistema slučajnih varijabli određuju se na sličan način.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable.

Definicija. Pozivaju se slučajne varijable nezavisni, ako zakon raspodjele jednog od njih ne ovisi o vrijednosti druge slučajne varijable.

Koncept zavisnosti slučajnih varijabli je veoma važan u teoriji verovatnoće.

Uslovne distribucije nezavisnih slučajnih varijabli jednake su njihovim bezuslovnim distribucijama.

Odredimo potrebne i dovoljne uslove za nezavisnost slučajnih varijabli.

Teorema. Y bile nezavisne, neophodno je i dovoljno da funkcija distribucije sistema ( X, Y) bio je jednak proizvodu funkcija distribucije komponenti.

Slična teorema se može formulirati za gustinu distribucije:

Teorema. Da bi slučajne varijable X i Y bile nezavisne, neophodno je i dovoljno da zajednička gustina raspodele sistema ( X, Y) bio je jednak proizvodu gustine distribucije komponenti.

Praktično se koriste sljedeće formule:

Za diskretne slučajne varijable:

Za kontinuirane slučajne varijable:

Korelacijski momenat služi za karakterizaciju odnosa između slučajnih varijabli. Ako su slučajne varijable nezavisne, tada je njihov korelacijski moment jednak nuli.

Korelacioni moment ima dimenziju jednaku proizvodu dimenzija slučajnih varijabli X i Y . Ova činjenica je nedostatak ove numeričke karakteristike, jer Sa različitim mjernim jedinicama dobijaju se različiti korelacijski momenti, što otežava poređenje korelacijskih momenata različitih slučajnih varijabli.

Kako bi se otklonio ovaj nedostatak, koristi se još jedna karakteristika - koeficijent korelacije.

Definicija. Koeficijent korelacije r xy slučajne varijable X i Y se naziva odnos korelacionog momenta i proizvoda standardnih devijacija ovih veličina.

Koeficijent korelacije je bezdimenzionalna veličina. Za nezavisne slučajne varijable, koeficijent korelacije je nula.

Nekretnina: Apsolutna vrijednost korelacijskog momenta dvije slučajne varijable X i Y ne prelazi geometrijsku sredinu njihovih varijansi.

Nekretnina: Apsolutna vrijednost koeficijenta korelacije ne prelazi jedan.

Pozivaju se slučajne varijable u korelaciji, ako je njihov korelacijski moment različit od nule, i nekorelirano, ako je njihov korelacijski moment jednak nuli.

Ako su slučajne varijable nezavisne, onda su nekorelirane, ali se iz nekorelacije ne može zaključiti da su nezavisne.

Ako su dvije veličine zavisne, one mogu biti ili korelirane ili nekorelirane.

Često se iz date gustine distribucije sistema slučajnih varijabli može odrediti zavisnost ili nezavisnost ovih varijabli.

Uz koeficijent korelacije, stepen zavisnosti slučajnih varijabli može se okarakterisati još jednom veličinom koja se naziva koeficijent kovarijanse. Koeficijent kovarijance je dat formulom:

Primjer. Gustina distribucije sistema slučajnih varijabli X je data inezavisni. Naravno, oni će takođe biti nekorelirani.

Linearna regresija.

Razmotrimo dvodimenzionalnu slučajnu varijablu ( X, Y), gdje su X i Y su zavisne slučajne varijable.

Hajde da približno predstavimo jednu slučajnu varijablu kao funkciju druge. Tačno podudaranje nije moguće. Pretpostavit ćemo da je ova funkcija linearna.

Da bismo odredili ovu funkciju, sve što ostaje je pronaći konstantne vrijednosti a I b.

Definicija. Funkcijag( X) pozvao najbolja aproksimacija slučajna varijabla Y u smislu metode najmanjih kvadrata, ako je matematičko očekivanje

Uzima najmanju moguću vrijednost. Također funkcijag( x) pozvao srednja kvadratna regresija Y do X.

Teorema. Linearna srednje kvadratna regresija Y na X se izračunava po formuli:

u ovoj formuli m x= M( X slučajna varijabla Yu odnosu na slučajnu varijablu X. Ova vrijednost karakterizira veličinu greške generirane prilikom zamjene slučajne varijableYlinearna funkcijag( X) = aX+b.

Jasno je da ako r= ± 1, tada je zaostala varijansa nula, i stoga je greška nula i slučajna varijablaYtačno predstavljen linearnom funkcijom slučajne varijable X.

Srednja kvadratna regresijska linija X onYse na sličan način određuje formulom: X i Yimaju funkcije linearne regresije jedna u odnosu na drugu, onda kažu da su količine X IYpovezan zavisnost linearne korelacije.

Teorema. Ako je dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X, Y) je normalno raspoređena, zatim X i Y povezani su linearnom korelacijom.

Npr. Nikiforova

Funkcija distribucije slučajne varijable i njena svojstva.

Funkcija distribucije slučajna varijabla X je funkcija F(X), koja izražava za svaki x vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od x: F(x)=P(X

Funkcija F(x) ponekad se zove integralna funkcija distribucija ili integralni zakon raspodele.

Svojstva funkcije distribucije:

1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija između nule i jedan:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Funkcija distribucije slučajne varijable je neopadajuća funkcija na cijeloj numeričkoj osi.

3. Na minus beskonačnosti funkcija raspodjele je jednaka nuli, na plus beskonačnosti jednaka je jedan, tj.: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval [x1,x2) (uključujući x1) jednaka je prirastu njene funkcije distribucije na ovom intervalu, tj. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Nejednakost Markova i Čebiševa

Markova nejednakost

Teorema: Ako slučajna varijabla X uzima samo ne-negativne vrijednosti i ima matematičko očekivanje, tada je za bilo koji pozitivan broj A tačna sljedeća jednakost: P(x>A) ≤ .

Kako su događaji X > A i X ≤ A suprotni, onda zamjenom P(X > A) izražavamo 1 - P(X ≤ A), dolazimo do drugog oblika Markove nejednakosti: P(X ≥ A) ≥1 - .

Markova nejednakost k primjenjuje se na sve nenegativne slučajne varijable.

Čebiševljeva nejednakost

Teorema: Za bilo koju slučajnu varijablu koja ima matematičko očekivanje i varijansu, vrijedi Čebiševljeva nejednakost:

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 ili P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, gdje je a= M(X), ε>0.

Zakon velikih brojeva "u obliku" Čebiševljeve teoreme.

Čebiševljeva teorema: Ako varijanse n nezavisne slučajne varijable X1, X2,…. X n ograničeni su na istu konstantu, zatim sa neograničenim povećanjem broja n aritmetička sredina slučajnih varijabli konvergira po vjerovatnoći sa aritmetičkom sredinom njihovih matematičkih očekivanja a 1 , a 2 ...., a n, tj. .

Značenje zakona velikih brojeva je da prosječne vrijednosti slučajnih varijabli teže njihovom matematičkom očekivanju kada n→ ∞ u vjerovatnoći. Odstupanje prosječnih vrijednosti od matematičkog očekivanja postaje proizvoljno malo s vjerovatnoćom bliskom jedinici ako je n dovoljno veliko. Drugim riječima, vjerovatnoća bilo kakvog odstupanja prosječnih vrijednosti od A onoliko mali koliko rasteš n.

30. Bernulijeva teorema.

Bernulijeva teorema: Učestalost događaja u n ponovljena nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih se može dogoditi sa istom vjerovatnoćom p, uz neograničeno povećanje broja n konvergiraju po vjerovatnoći sa vjerovatnoćom p ovog događaja u posebnom ispitivanju: \

Bernulijeva teorema je posljedica Čebiševljeve teoreme, jer se učestalost događaja može predstaviti kao aritmetička sredina n nezavisnih alternativnih slučajnih varijabli koje imaju isti zakon raspodjele.

18. Matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli i njihova svojstva.

Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih njegovih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća

Za diskretnu slučajnu varijablu:

Za kontinuiranu slučajnu varijablu:

Svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti: M(S)=C

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja, tj. M(kX)=kM(X).

3. Matematičko očekivanje algebarskog zbira konačnog broja slučajnih varijabli jednako je istom zbiru njihovih matematičkih očekivanja, tj. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Matematičko očekivanje proizvoda konačnog broja nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Ako se sve vrijednosti slučajne varijable povećaju (smanje) za konstantu C, tada će se matematičko očekivanje ove slučajne varijable povećati (smanjiti) za istu konstantu C: M(X±C)=M(X)±C.

6. Matematičko očekivanje odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja je nula: M=0.

ZAKON VELIKIH BROJEVA

opšti princip, na osnovu kojeg kombinacija slučajnih faktora vodi, pod određenim vrlo opštim uslovima, do rezultata gotovo nezavisnog od slučajnosti. Konvergencija učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja sa njegovom vjerovatnoćom kako se broj pokušaja povećava (prvi uočeni, očigledno, u kockanju) može poslužiti kao prvi primjer djelovanja ovog principa.

Na prijelazu iz 17. u 18. vijek. J. Bernoulli je dokazao teoremu u kojoj se navodi da je u nizu nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih pojava određenog događaja ima istu vrijednost, tačna sljedeća relacija:

za bilo koji - broj pojavljivanja događaja u prvim ispitivanjima, - učestalost pojavljivanja. Ovo Bernulijeva teorema je proširio S. Poisson na slučaj niza nezavisnih ispitivanja, gdje vjerovatnoća pojave događaja A može zavisiti od broja pokušaja. Neka je ova vjerovatnoća za k-ti ogled jednaka i neka

Onda Poissonova teorema To navodi

za bilo koji Prvi rigorozni pristup ovoj teoremi dao je P. L. Čebišev (1846), čija je metoda potpuno drugačija od Poissonove metode i zasnovana je na određenim ekstremnim razmatranjima; S. Poisson je izveo (2) iz približne formule za naznačenu vjerovatnoću, zasnovanu na korištenju Gaussovog zakona i u to vrijeme još uvijek nije bila striktno potkrijepljena. S. Poisson se prvi put susreo s pojmom "zakon velikih brojeva", koji je nazvao svojom generalizacijom Bernoullijeve teoreme.

Prirodna daljnja generalizacija teorema Bernoullija i Poissona javlja se ako primijetimo da se slučajne varijable mogu predstaviti kao zbir

nezavisne slučajne varijable, gdje ako se A pojavljuje u Ath suđenju, i - inače. Istovremeno, matematički očekivanje (koje se podudara sa aritmetičkom sredinom matematičkih očekivanja) je jednako p za slučaj Bernoulli i za slučaj Poisson. Drugim riječima, u oba slučaja se uzima u obzir odstupanje aritmetičke sredine X k iz aritmetičke sredine njihove matematičke očekivanja.

U radu P. L. Čebiševa “Prosječne vrijednosti” (1867.) ustanovljeno je da je za nezavisne slučajne varijable relacija

(za bilo koji ) je tačno pod vrlo opštim pretpostavkama. P. L. Čebišev je pretpostavio da je matematičar. sva očekivanja su ograničena istom konstantom, iako je iz njegovog dokaza jasno da je zahtjev ograničenih varijansi dovoljan

ili čak zahteva

Tako je P. L. Chebyshev pokazao mogućnost široke generalizacije Bernoullijeve teoreme. A. A. Markov je uočio mogućnost daljnjih generalizacija i predložio korištenje imena B. h.z. na čitav skup generalizacija Bernoullijeve teoreme [a posebno na (3)]. Čebiševljev metod se zasniva na preciznom utvrđivanju opštih svojstava matematike. očekivanja i o upotrebi tzv. Čebiševljeve nejednakosti[za vjerovatnoću (3) daje procjenu oblika

ova granica se može zamijeniti preciznijom, naravno, pod značajnijim ograničenjima, vidi Bernsteinova nejednakost]. Naknadni dokazi o raznim oblicima B. h.z. u jednom ili drugom stepenu su razvoj metode Čebiševa. Primjenjujući pravilno “rezanje” slučajnih varijabli (zamjenjujući ih pomoćnim varijablama i to: , ako gdje su određene konstante), A. A. Markov je proširio B. dio. za slučajeve u kojima ne postoje varijacije termina. Na primjer, pokazao je da se (3) odvija ako, za određene konstante i svi i