155*. Odrediti prirodnu veličinu segmenta AB prave u opštem položaju (slika 153, a).

Rješenje. Kao što je poznato, projekcija pravolinijskog segmenta na bilo koju ravninu jednaka je samom segmentu (uzimajući u obzir skalu crteža), ako je paralelna s ovom ravninom

(Sl. 153, b). Iz ovoga slijedi da je transformacijom crteža potrebno postići paralelizam ovog segmenta pl. V ili kvadrat H ili dopuniti sistem V, H drugom ravninom koja je okomita na kvadrat. V ili do pl. H i istovremeno paralelno sa ovim segmentom.

Na sl. 153, c prikazuje uvođenje dodatne ravni S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa datim segmentom AB.

Projekcija a s b s jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

Na sl. 153, d prikazuje drugu tehniku: segment AB se rotira oko prave linije koja prolazi kroz tačku B i okomita na kvadrat. H, u položaj paralelan

pl. V. U ovom slučaju tačka B ostaje na svom mestu, a tačka A zauzima novu poziciju A 1. Horizont je u novoj poziciji. projekcija a 1 b || x os Projekcija a" 1 b" jednaka je prirodnoj veličini segmenta AB.

156. S obzirom na piramidu SABCD (Sl. 154). Odrediti stvarnu veličinu ivica piramide AS i CS, koristeći metodu promene ravni projekcije, i ivice BS i DS, koristeći metodu rotacije, i uzeti os rotacije okomitu na kvadrat. H.

157*. Odrediti udaljenost od tačke A do prave BC (Sl. 155, a).

Rješenje. Udaljenost od tačke do prave mjeri se okomitim segmentom povučenim od tačke do prave.

Ako je prava okomita na bilo koju ravan (Sl. 155.6), tada se udaljenost od tačke do prave mjeri rastojanjem između projekcije tačke i tačke-projekcije prave linije na ovu ravan. Ako prava linija zauzima opšti položaj u sistemu V, H, tada je za određivanje udaljenosti od tačke do prave promenom ravni projekcije potrebno uvesti dve dodatne ravni u V, H sistem.

Prvo (sl. 155, c) ulazimo u kvadrat. S, paralelno sa segmentom BC (nova osa S/H je paralelna sa projekcijom bc), i konstruisati projekcije b s c s i a s. Zatim (slika 155, d) uvodimo još jedan kvadrat. T, okomita na pravu BC (nova osa T/S je okomita na b s sa s). Konstruišemo projekcije prave linije i tačke - sa t (b t) i a t. Udaljenost između tačaka a t i c t (b t) jednaka je udaljenosti l od tačke A do prave BC.

Na sl. 155, d, isti zadatak se ostvaruje metodom rotacije u svom obliku, koja se naziva metoda paralelnog kretanja. Prvo, prava linija BC i tačka A, zadržavajući svoj relativni položaj nepromenjenim, rotiraju se oko neke (nije naznačene na crtežu) prave linije okomite na kvadrat. H, tako da je prava BC paralelna kvadratu. V. Ovo je ekvivalentno kretanju tačaka A, B, C u ravnima paralelnim sa kvadratom. H. Istovremeno, horizont. projekcija datog sistema (BC + A) se ne menja ni po veličini ni po konfiguraciji, menja se samo njegov položaj u odnosu na x osu. Postavljamo horizont. projekciju prave linije BC paralelne sa x-osi (položaj b 1 c 1) i odredimo projekciju a 1, ostavljajući sa strane c 1 1 1 = c-1 i a 1 1 1 = a-1, i a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Crtajući prave b"b" 1, a"a" 1, c"c" 1 paralelne sa x-osi, nalazimo front na njima. projekcije b" 1, a" 1, c" 1. Zatim pomeramo tačke B 1, C 1 i A 1 u ravninama paralelnim sa površinom V (takođe bez promene njihovog relativnog položaja), tako da dobijemo B 2 C 2 ⊥ površina H. U ovom slučaju, prednja projekcija prave linije će biti okomita na x,b ose 2 c" 2 = b" 1 c" 1, a za konstruisanje projekcije a" 2 treba uzeti b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, nacrtati 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 i odvojite a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Sada, potrošivši sa 1 sa 2 i 1 a 2 || x 1 dobijamo projekcije b 2 od 2 i a 2 i željenu udaljenost l od tačke A do prave BC. Udaljenost od A do BC se može odrediti rotiranjem ravni definisane tačkom A i prave linije BC oko horizontale ove ravni u položaj T || pl. H (Sl. 155, f).

U ravni definisanoj tačkom A i pravom BC nacrtajte horizontalnu liniju A-1 (Sl. 155, g) i zarotirajte oko nje tačku B. Tačka B se pomera u kvadrat. R (naveden na crtežu pored R h), okomit na A-1; u tački O nalazi se centar rotacije tačke B. Sada ćemo odrediti prirodnu vrijednost polumjera rotacije VO (Sl. 155, c). U traženom položaju, odnosno kada pl. T, određen tačkom A i pravom BC, će postati || pl. H, tačka B će biti na R h na udaljenosti Ob 1 od tačke O (može postojati još jedna pozicija na istom tragu R h, ali sa druge strane O). Tačka b 1 je horizont. projekcija tačke B nakon pomeranja u poziciju B 1 u prostoru, kada je ravan definisana tačkom A i pravom BC zauzela položaj T.

Crtajući (sl. 155, i) pravu liniju b 1 1, dobijamo horizont. projekcija prave BC, već locirane || pl. H je u istoj ravni kao i A. U ovoj poziciji, udaljenost od a do b 1 1 jednaka je željenoj udaljenosti l. Ravan P, u kojoj leže dati elementi, može se kombinovati sa kvadratom. H (Sl. 155, j), okretanje kvadrata. R oko nje je horizont. trag. Prelazeći od zadavanja ravni tačkom A i prave BC do zadavanja pravih BC i A-1 (Sl. 155, l), nalazimo tragove ovih pravih i kroz njih povlačimo tragove P ϑ i P h. Gradimo (sl. 155, m) u kombinaciji sa trgom. H pozicija napred. trag - P ϑ0 .

Kroz tačku a crtamo horizont. frontalna projekcija; kombinovani frontalni prolazi kroz tačku 2 na tragu P h paralelno sa P ϑ0. Tačka A 0 - u kombinaciji s kvadratom. H je pozicija tačke A. Slično, nalazimo tačku B 0. Direktno sunce u kombinaciji sa kvadratom. H pozicija prolazi kroz tačku B 0 i tačku m (horizontalni trag prave).

Udaljenost od tačke A 0 do prave B 0 C 0 jednaka je traženoj udaljenosti l.

Navedenu konstrukciju možete izvesti tako što ćete pronaći samo jedan trag P h (Sl. 155, n i o). Cijela konstrukcija je slična rotaciji oko horizontale (vidi sliku 155, g, c, i): trag P h je jedna od horizontala pl. R.

Od metoda datih za rješavanje ovog problema, poželjna metoda transformacije crteža je metoda rotacije oko horizontale ili fronte.

158. Data je SABC piramida (Sl. 156). Odredite udaljenosti:

a) od vrha B baze na njenu stranu AC metodom paralelnog kretanja;

b) od vrha S piramide do stranica BC i AB osnove rotacijom oko horizontale;

c) sa vrha S na stranu AC baze promjenom ravni projekcije.

159. Dana je prizma (sl. 157). Odredite udaljenosti:

a) između rebara AD i CF promjenom ravni projekcije;

b) između rebara BE i CF rotacijom oko frontalnog;

c) između ivica AD i BE paralelnim kretanjem.

160. Odredite stvarnu veličinu četvorougla ABCD (Sl. 158) tako što ćete ga poravnati sa kvadratom. N. Koristite samo horizontalni trag ravni.

161*. Odrediti rastojanje između pravih AB i CD koje se ukrštaju (slika 159, a) i konstruisati projekcije zajedničke okomice na njih.

Rješenje. Udaljenost između linija ukrštanja mjeri se segmentom (MN) okomitim na obje prave (Sl. 159, b). Očigledno, ako je jedna od pravih postavljena okomito na bilo koji kvadrat. T, onda

odsječak MN okomit na obje prave će biti paralelan kvadratu. Njegova projekcija na ovu ravan će prikazati potrebnu udaljenost. Projekcija pravi ugao Menad MN n AB na pl. Takođe se ispostavlja da je T pravi ugao između m t n t i a t b t , pošto je jedna od strana pravog ugla AMN, odnosno MN. paralelno sa kvadratom T.

Na sl. 159, c i d, tražena udaljenost l određena je metodom promjene ravni projekcije. Prvo uvodimo dodatni kvadrat. projekcije S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa pravom CD (Sl. 159, c). Zatim uvodimo još jedan dodatni kvadrat. T, okomito na kvadrat. S i okomito na istu pravu liniju CD (Sl. 159, d). Sada možete konstruisati projekciju opšte okomice crtanjem m t n t iz tačke c t (d t) okomito na projekciju a t b t. Tačke m t i n t su projekcije tačaka preseka ove okomice sa pravim AB i CD. Koristeći tačku m t (slika 159, e) nalazimo m s na a s b s: projekcija m s n s treba da bude paralelna sa T/S osom. Zatim, od m s i n s nalazimo m i n na ab i cd, a od njih m" i n" na a"b" i c"d".

Na sl. 159, c prikazuje rješenje ovog problema korištenjem metode paralelnih kretanja. Prvo postavljamo pravu liniju CD paralelno sa kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Zatim pomeramo prave CD i AB sa pozicija C 1 D 1 i A 1 B 1 na pozicije C 2 B 2 i A 2 B 2 tako da C 2 D 2 bude okomito na H: projekcija c" 2 d" 2 ⊥ x. Segment tražene okomice nalazi se || pl. H, te stoga m 2 n 2 izražava željenu udaljenost l između AB i CD. Nalazimo položaj projekcija m" 2, i n" 2 na a" 2 b" 2 i c" 2 d" 2, zatim projekcije m 1 i m" 1, n 1 i n" 1, konačno, projekcije m" i n", m i n.

162. Data je SABC piramida (Sl. 160). Odrediti rastojanje između ivice SB i stranice AC osnove piramide i konstruisati projekcije zajedničke okomice na SB i AC, koristeći metodu promene ravni projekcije.

163. Data je SABC piramida (Sl. 161). Odredite udaljenost između ivice SH i stranice BC osnove piramide i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SX i BC koristeći metodu paralelnog pomaka.

164*. Odrediti rastojanje od tačke A do ravni u slučajevima kada je ravan određena sa: a) trouglom BCD (Sl. 162, a); b) tragovi (Sl. 162, b).

Rješenje. Kao što znate, udaljenost od tačke do ravni se mjeri vrijednošću okomice povučene od tačke do ravni. Ova udaljenost se projektuje na bilo koje područje. projekcije u punoj veličini, ako je ova ravan okomita na kvadrat. projekcije (sl. 162, c). Ova situacija se može postići transformacijom crteža, na primjer, promjenom područja. projekcije. Hajde da predstavimo pl. S (sl. 16c, d), okomito na kvadrat. trougao BCD. Da bismo to učinili, provodimo na trgu. trougao horizontalno B-1 i postaviti os projekcije S okomito na horizontalnu projekciju b-1. Konstruišemo projekcije tačke i ravni - a s i segmenta c s d s. Udaljenost od a s do c s d s jednaka je željenoj udaljenosti l tačke do ravni.

U Rio. 162, d koristi se metoda paralelnog kretanja. Pomeramo ceo sistem sve dok horizontalna ravan B-1 ne postane okomita na ravan V: projekcija b 1 1 1 treba da bude okomita na osu x. U ovom položaju, ravan trougla će postati frontalno projektovana, a rastojanje l od tačke A do nje će biti pl. V bez izobličenja.

Na sl. 162, b ravan je definisana tragovima. Uvodimo (Sl. 162, e) dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. P: S/H osa je okomita na P h. Ostalo je jasno iz crteža. Na sl. 162, g problem je riješen jednim pokretom: pl. P prelazi u poziciju P 1, tj. postaje frontalno projekcijski. Track. P 1h je okomito na x osu. U ovoj poziciji aviona gradimo prednji dio. horizontalni trag je tačka n" 1,n 1. Trag P 1ϑ će proći kroz P 1x i n 1. Udaljenost od a" 1 do P 1ϑ jednaka je traženoj udaljenosti l.

165. Data je SABC piramida (vidi sliku 160). Odredite udaljenost od tačke A do ivice SBC piramide koristeći metodu paralelnog kretanja.

166. Data je SABC piramida (vidi sliku 161). Odredite visinu piramide metodom paralelnog pomaka.

167*. Odredite rastojanje između pravih ukrštanja AB i CD (vidi sliku 159,a) kao rastojanje između paralelnih ravni povučenih kroz ove prave.

Rješenje. Na sl. 163, a ravni P i Q su međusobno paralelne, od kojih pl. Q se povlači kroz CD paralelno sa AB, a pl. P - kroz AB paralelno sa kvadratom. P. Razdaljinom između ovakvih ravni se smatra rastojanje između ukrštanja pravih AB i CD. Međutim, možete se ograničiti na konstruisanje samo jedne ravni, na primjer Q, paralelne sa AB, a zatim odrediti udaljenost barem od tačke A do ove ravni.

Na sl. 163, c prikazuje ravan Q povučenu kroz CD paralelnu sa AB; u projekcijama izvedenim sa "e" || a"b" i ce || ab. Koristeći metodu promjene pl. projekcije (slika 163, c), uvodimo dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. V i istovremeno

okomito na kvadrat P. Da nacrtate S/V osu, uzmite frontalni D-1 u ovoj ravni. Sada crtamo S/V okomito na d"1" (slika 163, c). Pl. Q će biti prikazan na kvadratu. S kao prava linija sa s d s. Ostalo je jasno iz crteža.

168. Data je SABC piramida (vidi sliku 160). Odrediti razmak između rebara SC i AB Primijeniti: 1) metodu promjene površine. projekcije, 2) metoda paralelnog kretanja.

169*. Odrediti rastojanje između paralelnih ravni, od kojih je jedna definisana pravim AB i AC, a druga pravim DE i DF (Sl. 164, a). Izvršite i konstrukciju za slučaj kada su ravni specificirane tragovima (Sl. 164, b).

Rješenje. Udaljenost (Sl. 164, c) između paralelnih ravnina može se odrediti povlačenjem okomice iz bilo koje tačke jedne ravni u drugu ravninu. Na sl. 164, g uveden je dodatni kvadrat. S okomito na kvadrat. H i na obe date ravni. S.H os je okomita na horizontalu. horizontalna projekcija nacrtana u jednoj od ravni. Na kvadrat konstruišemo projekciju ove ravni i tačke u drugoj ravni. 5. Udaljenost tačke d s do prave l s a s jednaka je traženoj udaljenosti između paralelnih ravnina.

Na sl. 164, d data je još jedna konstrukcija (prema metodi paralelnog kretanja). Da bi ravan izražena linijama koje se seku AB i AC bila okomita na kvadrat. V, horizont. Horizontalnu projekciju ove ravni postavljamo okomito na osu x: 1 1 2 1 ⊥ x. Udaljenost između fronta projekcija d" 1 tačke D i prava a" 1 2" 1 (prednja projekcija ravni) jednaka je traženom rastojanju između ravni.

Na sl. 164, e prikazuje uvođenje dodatnog kvadrata. S, okomito na područje H i na date ravnine P i Q (os S/H je okomita na tragove P h i Q h). Gradimo tragove Ps i Qs. Udaljenost između njih (vidi sliku 164, c) jednaka je željenoj udaljenosti l između ravnina P i Q.

Na sl. 164, g prikazuje kretanje ravni P 1 n Q 1, do položaja P 1 i Q 1, kada je horizont. ispada da su tragovi okomiti na x-osu. Udaljenost između novih frontova. tragovi P 1ϑ i Q 1ϑ jednaki su traženoj udaljenosti l.

170. Dat je paralelepiped ABCDEFGH (Sl. 165). Odrediti rastojanja: a) između osnova paralelepipeda - l 1; b) između lica ABFE i DCGH - l 2; c) između lica ADHE i BCGF-l 3.

Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do prave », Raspravlja o definiciji udaljenosti od tačke do prave sa ilustrovanim primerima koristeći koordinatnu metodu. Svaki teorijski blok na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Pogledajmo izbliza.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Kroz njega povlačimo pravu liniju b, koja se nalazi okomito na pravu liniju a. Uzmimo tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave a se naziva rastojanje između tačaka M 1 i H 1.

Postoje definicije koje uključuju dužinu okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a koja se ne poklapa sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim segmentom, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose linije povučene od tačke do prave.

Da bismo to dokazali, razmotrimo trougao M 1 Q 1 H 1, gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. To znači da imamo M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju vam korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, određivanje sinusa, kosinusa, tangenta kuta i drugih. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada se pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave može uvesti pravougaoni koordinatni sistem, onda se koristi koordinatni metod. U ovom paragrafu ćemo razmotriti dvije glavne metode za pronalaženje potrebne udaljenosti od date tačke.

Prva metoda uključuje traženje udaljenosti kao okomice povučene od M 1 do prave a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu prave a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1 , y 1), koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu, pravoj liniji a, i treba da pronađete rastojanje M 1 H 1, možete izračunati na dva načine. Pogledajmo ih.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava pomoću koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije na ravni. Uzmimo metodu definisanja prave linije a pisanjem opšte jednačine prave ili jednačine sa ugaonim koeficijentom. Sastavljamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo pravu liniju slovom b. H 1 je tačka preseka pravih a i b, što znači da za određivanje koordinata trebate koristiti članak koji se bavi koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za pronalaženje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• nalaženje opšte jednačine prave a, koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ili jednačine sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobijanje opšte jednačine prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednačine sa ugaonim koeficijentom y = k 2 x + b 2, ako prava b seče tačku M 1 i okomita je na data linija a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, u tu svrhu se rešava sistem linearne jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje pronalaženja udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje se povlači prava linija u ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, jednako Apsolutna vrijednost dobijena na lijevoj strani normalne jednadžbe prave, izračunata po x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se smatra n → = (cos α, cos β) normalni vektor pravac a na udaljenosti od početka do prave a sa p jedinicama. Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1), gde je vektor radijusa tačke M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju označavamo sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa vektorom pravca oblika n → = (cos α, cos β), i označiti numerička projekcija vektora kao O M 1 → = (x 1, y 1) na pravac n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same M1 tačke. Pogledajmo sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , što je proizvod u koordinatnom obliku oblika n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . To znači da dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema je dokazana.

Otkrivamo da da biste pronašli udaljenost od tačke M 1 (x 1 , y 1) do prave linije a na ravni, morate izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, gdje rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1.

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1, 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0.

Rješenje

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, morate pronaći opšta jednačina prava b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1, 2), okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0. Iz uslova je jasno da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3). Tako imamo priliku da zapišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1 koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b. Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz gore napisanog imamo da su koordinate tačke H 1 jednake (- 5; 5).

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ih zamjenjujemo u formulu da pronađemo udaljenost i dobijemo to

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0. Odavde dobijamo da je faktor normalizacije jednak - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna, potrebno je dobiti normalnu jednadžbu linije i izračunati je sa vrijednostima x = - 1, y = 2. Onda to shvatamo

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Iz ovoga dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1, 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5.

odgovor: 5 .

Vidi se da je u ovoj metodi važno koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna jer je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Rješenje

Prva metoda uključuje redukciju date jednadžbe sa ugaonim koeficijentom na opštu jednačinu. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako proizvod ugaonih koeficijenata okomitih linija ima vrijednost - 1, tada kutni koeficijent prave okomite na datu jedinicu y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2. Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0). Imamo da je y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo sa pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka preseka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) i H 1 (6, 4) . Izračunajmo i nađemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Rješenje na drugi način je prelazak sa jednadžbe s koeficijentom na njen normalan oblik. Odnosno, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Iz toga slijedi da normalna jednačina prave ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Izvršimo proračun od tačke M 1 8, 0 do prave oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 2, 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0.

Rješenje

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću jednakom -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0. Nastavljamo s izračunavanjem udaljenosti od tačke M 1 (- 2, 4) do prave linije - y - 1 = 0. Nalazimo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5.

Pogledajmo bliže pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni do koordinatnih osa O x i O y.

U pravougaonom koordinatnom sistemu, O osa y ima jednačinu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1, y 1 do pravih. To se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1. Pogledajmo sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Rješenje

Budući da se jednadžba y = 0 odnosi na pravu liniju O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa datim koordinatama do ove prave linije koristeći formulu. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x = 0 odnosi na pravu liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove prave linije koristeći formulu. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalni prostor imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrimo dvije metode koje vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra udaljenost od tačke M 1 do prave, pri čemu se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je rastojanje od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj a dužina okomice M 1 H 1, onda dobijamo da sa pronađenim koordinatama tačke H 1, tada hajde da nađemo udaljenost između M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 1, y 1, z 1), na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nalazimo da cijelo rješenje ide ka pronalaženju koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. To se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava linija a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do linije a u prostoru podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku koja se nalazi okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2, y 2, z 2) koje pripadaju tački H 1, koja je tačka preseka prave a i ravni χ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom tačkom M 3 koja pripada pravoj a. Ako imate koordinate tačaka M 1 (x 1, y 1) i M 3 x 3, y 3, z 3, možete izračunati M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vektore a → = a x , a y , a z i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 trebamo izdvojiti iz tačke M 3 , povezati ih i dobiti paralelogramsku figuru . M 1 H 1 je visina paralelograma.

Pogledajmo sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 tražena udaljenost, onda je potrebno pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1.

Označimo površinu paralelograma slovom S, pronađeno formulom pomoću vektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula površine je S = a → × M 3 M 1 → . Takođe, površina figure je jednaka proizvodu dužina njenih stranica i visine, dobijamo da je S = a → · M 1 H 1 sa a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → = (a x, a y, a z), bitak jednaka strana paralelogram. To znači da je M 1 H 1 rastojanje od tačke do prave. Nalazi se pomoću formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvršiti nekoliko koraka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca prave a - a → = (a x, a y, a z);
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj liniji a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• pronalaženje vektorskog proizvoda vektora a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije dužina pomoću formule a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje problema nalaženja udaljenosti od date tačke do date prave u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2, - 4, - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Rješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravni χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravninom χ do prave određene uslovom. Trebalo bi da pređete sa kanonskog pogleda na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednadžbi oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Odavde imamo da je H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Druga metoda mora započeti traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2, - 1, 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava linija x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2, - 4, - 1 je M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

nalazimo da je dužina vektorskog proizvoda jednaka a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa hajde da je primenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Morate odrediti udaljenost od tačke do prave. Sveukupni plan rješenje problema:

- kroz datu tačku povlačimo ravan okomitu na datu pravu liniju;

- pronađite tačku susreta linije

sa avionom;

- odrediti prirodnu vrijednost udaljenosti.

Kroz datu tačku povlačimo ravan okomitu na pravu AB. Ravan definiramo kao horizontalne i frontalne linije koje se seku, čije su projekcije konstruirane prema algoritmu okomitosti (inverzni problem).

Pronađite tačku u kojoj se prava linija AB susreće sa ravninom. Ovo tipičan zadatak o presjeku prave s ravninom (vidi odjeljak „Presjek prave sa ravninom“).

Okomitost ravnina

Ravnine su međusobno okomite ako jedna od njih sadrži pravu okomitu na drugu ravan. Stoga, da biste nacrtali ravan okomitu na drugu ravan, prvo morate nacrtati okomitu ravan, a zatim kroz nju povući željenu ravan. U dijagramu, ravan je definisana sa dve prave koje se seku, od kojih je jedna okomita na ravan ABC.

Ako su ravni definirane tragovima, tada su mogući sljedeći slučajevi:

- ako se projekcije dvije okomite ravnine, onda su njihovi zajednički tragovi međusobno okomiti;

- opšta ravan i ravan projekcije su okomite, ako je zbirni trag projektovane ravni okomit na isti trag generičke ravni;

- ako su tragovi istog imena dvije ravni u općem položaju okomiti, tada ravnine nisu okomite jedna na drugu.

Metoda zamjene projekcijske ravni

	zamena projekcijskih ravni
je da su avioni
dijelovi se zamjenjuju drugim ravnim
	tako da	geometrijski
objekat u novi sistem avioni
projekcije su počele da zauzimaju količnik - po
situaciju, što omogućava pojednostavljenje
rješavanje problema. Na prostornoj skali
kete prikazuje zamenu ravni V sa
novi V 1. Prikazana je i projektovana
prenos tačke A na prvobitne ravni
projekcije i nova projekcijska ravan
V 1. Prilikom zamjene projekcijskih ravni
ortogonalnost sistema je očuvana.

Prostorni raspored transformišemo u planarni rotirajući ravni duž strelica. Dobijamo tri ravni projekcije spojene u jednu ravan.

Zatim uklanjamo ravnine projekcije i
		projekcije
Iz dijagrama tačke slijedi pravilo: kada
zamjenjujući V sa V 1 da bi se
		frontalni
cija tražene tačke od nove ose
ostavite po strani uzetu tačku primjene
prethodni sistem aviona
akcije. Slično se može dokazati
	zamena H sa H 1 je neophodna
odvojiti ordinatu tačke.

Prvi tipični problem metode zamjene projekcijske ravni

Prvi tipični zadatak metode zamjene projekcijske ravnine je transformacija opće prave linije prvo u ravnu liniju, a zatim u projekcijsku ravnu liniju. Ovaj problem je jedan od glavnih, jer se koristi u rješavanju drugih problema, na primjer, pri određivanju udaljenosti između paralelnih i ukrštajućih linija, pri određivanju diedralnog ugla itd.

Napravimo zamjenu V → V 1.
nacrtajte os paralelnu s horizontalom
		projekcije.
frontalna projekcija ravno, za
				odgoditi
tačkasti aplikatori. Nova frontalna
projekcija prave linije je HB prava linija.
Sama ravna linija postaje frontalna linija.
Određuje se ugao α°.

Napravimo zamjenu H → H 1. Novu os crtamo okomito na frontalnu projekciju prave linije. Konstruišemo novu horizontalnu projekciju prave, za koju iz nove ose iscrtavamo ordinate prave preuzete iz prethodnog sistema projekcijskih ravni. Prava linija postaje horizontalno projektovana ravna linija i "degeneriše" u tačku.

Uvod

U ovom nastavnom radu bavio sam se temom „udaljenost od tačke do prave“: data je definicija udaljenosti od tačke do prave i date su grafičke ilustracije. Raspravlja se o pronalaženju udaljenosti od tačke do prave na ravni iu prostoru pomoću metode koordinata. Nakon svakog teorijskog bloka prikazana su detaljna rješenja primjera i zadataka za određivanje udaljenosti od tačke do prave.

Udaljenost od tačke do prave - definicija

Neka su prava a i tačka M 1 koja ne leži na pravoj a date na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Povučemo pravu b kroz tačku M 1 okomitu na pravu a. Označimo točku presjeka pravih a i b kao H 1 . Segment M 1 H 1 naziva se okomica povučena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija.

Udaljenost od tačke M 1 do prave a je rastojanje između tačaka M 1 i H 1.

Međutim, najčešća definicija udaljenosti od tačke do prave je dužina okomice.

Definicija.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice povučene od date tačke do date prave.

Ova definicija je ekvivalentna prvoj definiciji udaljenosti od tačke do prave.

Slika 1

Imajte na umu da je udaljenost od tačke do prave najmanja od udaljenosti od ove tačke do tačaka na datoj liniji. Hajde da to pokažemo.

Uzmimo tačku Q na pravoj a koja se ne poklapa sa tačkom M 1 . Odsječak M 1 Q naziva se kosi segment povučen iz tačke M 1 do prave a. Moramo pokazati da je okomica povučena iz tačke M 1 na pravu a manja od bilo koje kose povučene iz tačke M 1 na pravu a. Ovo je tačno: trougao M 1 QH 1 je pravougaonik sa hipotenuzom M 1 Q, pa je dužina hipotenuze uvek veća od dužine bilo koje katete.

St. Petersburg State Marine Technical University

Katedra za kompjutersku grafiku i informatičku podršku

LEKCIJA 3

PRAKTIČNI ZADATAK br. 3

Određivanje udaljenosti od tačke do prave linije.

Možete odrediti udaljenost između tačke i prave linije izvođenjem sljedećih konstrukcija (vidi sliku 1):

· iz tačke WITH spustite okomicu na pravu liniju A;

· označite tačku TO presjek okomice sa pravom linijom;

izmjeriti dužinu segmenta KS, čiji je početak set lopta, a kraj je označena tačka preseka.

Fig.1. Udaljenost od tačke do prave.

Osnova za rješavanje problema ove vrste je pravilo projekcije pravog ugla: pravi ugao se projektuje bez izobličenja ako je barem jedna njegova strana paralelna s ravninom projekcije(tj. zauzima privatni položaj). Počnimo upravo s takvim slučajem i razmotrimo konstrukcije za određivanje udaljenosti od tačke WITH na pravi segment AB.

U ovom zadatku nema testnih primjera, a date su opcije za izvršavanje pojedinačnih zadataka tabela 1 i tabela 2. Rješenje problema je opisano u nastavku, a odgovarajuće konstrukcije su prikazane na slici 2.

1. Određivanje udaljenosti od tačke do određene linije.

Prvo se konstruišu projekcije tačke i segmenta. Projekcija A1B1 paralelno sa osom X. To znači da segment AB paralelno sa ravninom P2. Ako iz tačke WITH nacrtati okomito na AB, tada se pravi ugao projektuje bez izobličenja na ravan P2. Ovo vam omogućava da nacrtate okomicu iz tačke C2 do projekcije A2B2.

Padajući meni Crtež-Segment (Draw- Linija) . Postavite kursor na tačku C2 i fiksirajte je kao prvu tačku segmenta. Pomjerite kursor u smjeru normale na segment A2B2 i fiksirajte drugu tačku na njoj u trenutku kada se nagoveštaj pojavi normalno (Okomito) . Označite izgrađenu tačku K2. Omogući način rada ORTO(ORTHO) , i sa tačke K2 nacrtajte vertikalnu liniju veze dok se ne ukrsti sa projekcijom A1 B1. Označite točku raskrsnice sa K1. Dot TO, leži na segmentu AB, je presječna tačka okomice povučene iz tačke WITH, sa segmentom AB. Dakle, segment KS je tražena udaljenost od tačke do prave.

Iz konstrukcija je jasno da je segment KS zauzima opšti položaj i stoga su njegove projekcije iskrivljene. Kada govorimo o udaljenosti, uvijek mislimo prava vrijednost segmenta, izražavajući udaljenost. Stoga moramo pronaći pravu vrijednost segmenta KS, rotirajući ga u određeni položaj, npr. KS|| P1. Rezultat konstrukcija je prikazan na slici 2.

Iz konstrukcija prikazanih na slici 2, možemo zaključiti: određeni položaj prave (segment je paralelan P1 ili P2) omogućava vam da brzo izgradite projekcije udaljenosti od tačke do linije, ali su one iskrivljene.

Fig.2. Određivanje udaljenosti od tačke do određene linije.

2. Određivanje udaljenosti od tačke do opće linije.

Segment ne zauzima uvijek određenu poziciju u početnom stanju. Sa općim početnim položajem, izvode se sljedeće konstrukcije za određivanje udaljenosti od tačke do prave:

a) koristeći metodu transformacije crteža, pretvoriti segment iz opšte pozicije u određeni - to će omogućiti izradu projekcija udaljenosti (iskrivljenih);

b) koristeći ponovo metodu, pretvoriti segment koji odgovara traženoj udaljenosti u određenu poziciju - dobijamo projekciju udaljenosti po veličini jednaku stvarnoj.

Razmotrite slijed konstrukcija kako biste odredili udaljenost od tačke A segmentu u općem položaju Ned(Sl. 3).

Na prvom okretu potrebno je dobiti određenu poziciju segmenta INC. Da biste to učinili u sloju TMR potrebno je povezati tačke U 2, C2 I A2. Koristeći komandu Promjena-Rotiraj (Modify – Rotiraj) trougao V2S2A2 rotirati oko tačke C2 do pozicije na kojoj je nova projekcija B2*C2će se nalaziti striktno horizontalno (tačka WITH je nepomičan i stoga se njegova nova projekcija poklapa sa prvobitnom i oznakom C2* I C1* možda neće biti prikazano na crtežu). Kao rezultat, dobiće se nove projekcije segmenta B2*C2 i bodovi: A2*. Dalje od bodova A2* I NA 2* izvode se vertikalne, a iz tačaka U 1 I A1 horizontalne komunikacijske linije. Presjek odgovarajućih linija odredit će položaj tačaka nove horizontalne projekcije: segmenta B1*C1 i tačke A1*.

U rezultujućoj određenoj poziciji možemo konstruisati projekcije udaljenosti za ovo: iz tačke A1* normalno da B1*C1. Tačka njihovog međusobnog ukrštanja je K1*. Od ove tačke se povlači vertikalna linija veze sve dok se ne ukrsti sa projekcijom B2*C2. Tačka je označena K2*. Kao rezultat, dobijene su projekcije segmenta AK, što je tražena udaljenost od tačke A na pravi segment Ned.

Zatim je potrebno konstruirati projekcije udaljenosti u početnom stanju. Da to uradite iz tačke K1* zgodno je nacrtati vodoravnu liniju dok se ne siječe s projekcijom V1S1 i označite tačku raskrsnice K1. Tada se konstruiše tačka K2 na frontalnoj projekciji segmenta i izvode se projekcije A1K1 I A2K2. Kao rezultat konstrukcija dobijene su projekcije udaljenosti, ali i u početnoj i u novom parcijalnom položaju segmenta sunce, linijski segment AK zauzima opšti položaj, a to dovodi do činjenice da su sve njegove projekcije iskrivljene.

U drugoj rotaciji potrebno je rotirati segment AK do određene pozicije, što će nam omogućiti da odredimo pravu vrijednost udaljenosti - projekcije A2*K2**. Rezultat svih konstrukcija je prikazan na slici 3.

ZADATAK br. 3-1. WITH na pravu liniju određenog položaja određenog segmentom AB. Odgovor dajte u mm (Tabela 1).Uklonite projekcijska sočiva

Tabela 1

ZADATAK br. 3-2. Pronađite pravu udaljenost od tačke M na pravu liniju u općem položaju koji je dat segmentom ED. Odgovor dajte u mm (tabela 2).

tabela 2

Provjera i polaganje urađenog ZADATAKA br.3.