Predmet. Derivat. Geometrijsko i mehaničko značenje izvoda

Ako ova granica postoji, onda se kaže da je funkcija diferencibilna u nekoj tački. Derivat funkcije se označava sa (formula 2).

1. Geometrijsko značenje derivacije. Pogledajmo graf funkcije. Sa slike 1 je jasno da se za bilo koje dvije tačke A i B grafika funkcije može napisati formula 3). Sadrži ugao nagiba sekante AB.

Dakle, odnos razlike je jednak nagibu sekante. Ako fiksirate tačku A i pomerite tačku B prema njoj, ona se neograničeno smanjuje i približava se 0, a sekansa AB približava tangenti AC. Stoga je granica omjera razlike jednaka nagibu tangente u tački A. Ovo dovodi do zaključka.

Derivat funkcije u tački je nagib tangente na graf ove funkcije u toj tački. Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.

1. Tangentna jednadžba . Izvedemo jednadžbu tangente na graf funkcije u tački. U opštem slučaju, jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom ima oblik: . Da bismo pronašli b, koristimo činjenicu da tangenta prolazi kroz tačku A: . Ovo implicira: . Zamjenom ovog izraza umjesto b, dobijamo tangentnu jednačinu (formula 4).

Matematički problemi nalaze svoju primenu u mnogim naukama. To ne uključuje samo fiziku, hemiju, tehnologiju i ekonomiju, već i medicinu, ekologiju i druge discipline. Jedan važan koncept koji treba savladati da biste pronašli rješenja za važne dileme je izvod funkcije. Njegovo fizičko značenje uopće nije tako teško objasniti kao što bi se moglo činiti onima koji nisu upućeni u suštinu problema. Dovoljno je samo pronaći odgovarajuće primjere za to u stvarnom životu i običnim svakodnevnim situacijama. Zapravo, svaki vozač se nosi sa sličnim zadatkom svaki dan kada pogleda brzinomjer, određujući brzinu svog automobila u određenom trenutku određenog vremena. Uostalom, upravo ovaj parametar sadrži suštinu fizičkog značenja izvedenice.

Kako pronaći brzinu

Svaki učenik petog razreda može lako odrediti brzinu osobe na putu, znajući prijeđenu udaljenost i vrijeme putovanja. Da biste to učinili, podijelite prvu od datih vrijednosti s drugom. Ali ne zna svaki mladi matematičar da trenutno pronalaze omjer prirasta funkcije i argumenta. Zaista, ako zamislite kretanje u obliku grafa, iscrtavajući putanju duž ordinatne ose i vrijeme duž apscise, to će biti upravo ovako.

Međutim, brzina pješaka ili bilo kojeg drugog objekta, koju odredimo na velikom dijelu puta, smatrajući da je kretanje ujednačeno, može se promijeniti. U fizici su poznati mnogi oblici kretanja. Može se dogoditi ne samo uz konstantno ubrzanje, već i usporavanje i povećanje na proizvoljan način. Treba napomenuti da u ovom slučaju linija koja opisuje kretanje više neće biti prava linija. Grafički, može poprimiti najsloženije konfiguracije. Ali za bilo koju tačku na grafu, uvijek možemo nacrtati tangentu, predstavljenu linearnom funkcijom.

Da bi se razjasnio parametar promjene pomaka u zavisnosti od vremena, potrebno je skratiti mjerene segmente. Kada postanu beskonačno male, izračunata brzina će biti trenutna. Ovo iskustvo nam pomaže da definiramo derivat. Iz takvog rezonovanja logično proizlazi i njegovo fizičko značenje.

Sa geometrijske tačke gledišta

Poznato je da što je veća brzina tijela, to je grafik zavisnosti pomaka od vremena strmiji, a samim tim i ugla nagiba tangente na graf u određenoj tački. Pokazatelj takvih promjena može biti tangent ugla između ose apscise i tangentne linije. Upravo to određuje vrijednost derivacije i izračunava se omjerom dužina suprotnog i susjednog kraka u pravokutnom trokutu formiranom okomom spuštenom iz određene tačke na osu apscise.

Ovo je geometrijsko značenje prve izvedenice. Fizički se otkriva u činjenici da vrijednost suprotne strane u našem slučaju predstavlja prijeđeni put, a susjedne strane predstavlja vrijeme. U ovom slučaju, njihov omjer je brzina. I opet dolazimo do zaključka da je trenutna brzina, određena kada oba intervala teže beskonačno maloj, suština, što ukazuje na njeno fizičko značenje. Drugi izvod u ovom primjeru bit će ubrzanje tijela, što zauzvrat pokazuje stupanj promjene brzine.

Primjeri pronalaženja derivata u fizici

Derivat je pokazatelj brzine promjene bilo koje funkcije, čak i kada ne govorimo o kretanju u doslovnom smislu riječi. Da bismo to jasno pokazali, navest ćemo nekoliko konkretnih primjera. Pretpostavimo da se jačina struje, ovisno o vremenu, mijenja prema sljedećem zakonu: I= 0,4t 2 . Potrebno je pronaći vrijednost brzine kojom se ovaj parametar mijenja na kraju 8. sekunde procesa. Imajte na umu da se sama željena vrijednost, kao što se može suditi iz jednačine, stalno povećava.

Da bi se riješio, potrebno je pronaći prvu izvedenicu, o čijem fizičkom značenju je bilo riječi ranije. Evo dI/ dt = 0,8 t. Sljedeće ćemo ga pronaći na t=8 , nalazimo da je brzina kojom se dešavaju trenutne promjene jednaka 6,4 A/ c. Ovdje se smatra da se jačina struje mjeri u amperima, a vrijeme, shodno tome, u sekundama.

Sve je promjenjivo

Vidljivi okolni svijet, koji se sastoji od materije, stalno se mijenja, u kretanju različitih procesa koji se u njemu odvijaju. Za njihovo opisivanje mogu se koristiti različiti parametri. Ako su objedinjeni zavisnošću, onda se zapisuju matematički u obliku funkcije koja jasno pokazuje njihove promjene. A tamo gde postoji kretanje (u kom god obliku da se izrazi), postoji i derivat, čije fizičko značenje razmatramo u ovom trenutku.

Sljedeći primjer govori o tome. Recimo da se tjelesna temperatura mijenja u skladu sa zakonom T=0,2 t 2 . Trebali biste pronaći brzinu njegovog zagrijavanja na kraju 10. sekunde. Problem se rješava na način sličan onome opisanom u prethodnom slučaju. To jest, nalazimo derivat i zamjenjujemo vrijednost za t= 10 , dobijamo T= 0,4 t= 4. To znači da je konačni odgovor 4 stepena u sekundi, odnosno proces zagrijavanja i promjena temperature, mjerena u stepenima, odvija se upravo ovom brzinom.

Rješavanje praktičnih problema

Naravno, u stvarnom životu sve može biti mnogo komplikovanije nego u teorijskim problemima. U praksi, vrijednost količina se obično određuje tokom eksperimenta. U ovom slučaju se koriste instrumenti koji daju očitavanja tokom mjerenja sa određenom greškom. Stoga, prilikom izračunavanja, morate se baviti približnim vrijednostima parametara i pribjegavati zaokruživanju nezgodnih brojeva, kao i drugim pojednostavljenjima. Uzevši to u obzir, pređimo opet na probleme o fizičkom značenju derivacije, uzimajući u obzir da su oni samo svojevrsni matematički model najsloženijih procesa koji se dešavaju u prirodi.

Erupcija

Zamislimo da vulkan eruptira. Koliko on može biti opasan? Da bi se ovo pitanje razjasnilo, potrebno je uzeti u obzir mnoge faktore. Pokušaćemo da uzmemo u obzir jednu od njih.

Iz ušća „vatrenog čudovišta“ bacaju se kamenje okomito prema gore, sa početnom brzinom od trenutka kada izađe.Neophodno je izračunati do koje maksimalne visine može doći.

Da bismo pronašli željenu vrijednost, sastavit ćemo jednačinu za ovisnost visine H, mjerene u metrima, o drugim vrijednostima. To uključuje početnu brzinu i vrijeme. Vrijednost ubrzanja smatramo poznatom i približno jednakom 10 m/s 2 .

Parcijalni derivat

Razmotrimo sada fizičko značenje derivacije funkcije iz malo drugačijeg ugla, jer sama jednadžba može sadržavati ne jednu, već nekoliko varijabli. Na primjer, u prethodnom problemu, ovisnost visine uspona kamenja izbačenog iz usta vulkana bila je određena ne samo promjenom vremenskih karakteristika, već i vrijednošću početne brzine. Ovo posljednje se smatralo konstantnom, fiksnom vrijednošću. Ali u drugim problemima sa potpuno drugačijim uslovima, sve bi moglo biti drugačije. Ako postoji nekoliko veličina od kojih zavisi složena funkcija, proračuni se rade prema formulama u nastavku.

Fizičko značenje frekventne izvedenice treba odrediti kao u uobičajenom slučaju. Ovo je stopa promjene funkcije u određenoj tački kako se parametar varijable povećava. Izračunava se na način da se sve ostale komponente uzimaju kao konstante, samo jedna se smatra promenljivom. Tada se sve odvija po uobičajenim pravilima.

Razumijevajući fizičko značenje izvedenice, nije teško dati primjere rješavanja zamršenih i složenih problema čiji se odgovor može pronaći uz takvo znanje. Ako imamo funkciju koja opisuje potrošnju goriva ovisno o brzini automobila, možemo izračunati pri kojim parametrima potonjeg će potrošnja benzina biti najmanja.

U medicini je moguće predvidjeti kako će ljudski organizam reagovati na lijek koji je propisao ljekar. Uzimanje lijeka utječe na različite fiziološke pokazatelje. To uključuje promjene krvnog tlaka, otkucaja srca, tjelesne temperature i još mnogo toga. Svi oni ovise o dozi lijeka koji se uzima. Ovi proračuni pomažu u predviđanju tijeka liječenja, kako u povoljnim manifestacijama tako iu neželjenim događajima koji mogu kobno utjecati na promjene u tijelu pacijenta.

Nesumnjivo je važno razumjeti fizičko značenje derivata u tehničkim pitanjima, posebno u elektrotehnici, elektronici, dizajnu i konstrukciji.

Kočioni put

Hajde da razmotrimo sledeći problem. Krećući se konstantnom brzinom, automobil je, približavajući se mostu, bio prinuđen da koči 10 sekundi prije ulaska, pošto je vozač uočio putokaz koji zabranjuje kretanje brzinom većom od 36 km/h. Da li je vozač prekršio pravila ako se njegov put kočenja može opisati formulom S = 26t - t 2?

Izračunavši prvi izvod, nalazimo formulu za brzinu, dobijamo v = 28 - 2t. Zatim zamjenjujemo vrijednost t=10 u naznačeni izraz.

Pošto je ova vrijednost izražena u sekundama, ispada brzina 8 m/s, što znači 28,8 km/h. To omogućava razumijevanje da je vozač počeo kočiti na vrijeme i nije prekršio saobraćajna pravila, a samim tim i ograničenje brzine naznačeno na znaku.

Ovo dokazuje važnost fizičkog značenja izvedenice. Primjer rješavanja ovog problema pokazuje širinu upotrebe ovog koncepta u različitim područjima života. Uključujući i svakodnevne situacije.

Derivat u ekonomiji

Sve do 19. stoljeća ekonomisti su uglavnom radili s prosjecima, bilo da se radi o produktivnosti rada ili cijeni proizvedenih proizvoda. Ali u nekom trenutku, granične vrijednosti su postale potrebnije da bi se napravile efektivne prognoze u ovoj oblasti. Oni mogu uključivati ​​graničnu korisnost, prihod ili troškove. Razumijevanje ovoga dalo je poticaj stvaranju potpuno novog alata u ekonomskom istraživanju, koji postoji i razvija se više od stotinu godina.

Za izradu takvih proračuna, gdje dominiraju koncepti kao što su minimum i maksimum, jednostavno je potrebno razumjeti geometrijsko i fizičko značenje derivacije. Među tvorcima teorijske osnove ovih disciplina mogu se navesti istaknuti engleski i austrijski ekonomisti kao što su W. S. Jevons, K. Menger i drugi. Naravno, nije uvijek zgodno koristiti granične vrijednosti u ekonomskim proračunima. I, na primjer, tromjesečni izvještaji se ne uklapaju nužno u postojeću šemu, ali je ipak primjena takve teorije u mnogim slučajevima korisna i efikasna.

Predavanje: Pojam derivacije funkcije, geometrijsko značenje izvoda

Koncept derivacijske funkcije

Razmotrimo neku funkciju f(x), koja će biti kontinuirana u cijelom intervalu razmatranja. Na intervalu koji se razmatra biramo tačku x 0, kao i vrijednost funkcije u ovoj tački.

Dakle, pogledajmo graf na kojem označavamo našu tačku x 0, kao i tačku (x 0 + ∆x). Podsjetimo da je ∆h udaljenost (razlika) između dvije odabrane tačke.

Također je vrijedno razumjeti da svaki x odgovara vlastitoj vrijednosti funkcije y.

Razlika između vrijednosti funkcije u tački x 0 i (x 0 + ∆x) naziva se prirast ove funkcije: ∆u = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Obratimo pažnju na dodatne informacije koje su dostupne na grafu - ovo je sekansa, koja se zove KL, kao i trokut koji on formira sa intervalima KN i LN.

Ugao pod kojim se nalazi sekansa naziva se njegov ugao nagiba i označava se α. Lako se može utvrditi da je stepen stepena ugla LKN takođe jednak α.

Sada se prisjetimo odnosa u pravokutnom trokutu tgα = LN / KN = ∆u / ∆h.

To jest, tangent sekansnog ugla jednak je omjeru prirasta funkcije i priraštaja argumenta.

U jednom trenutku, derivacija je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na infinitezimalnim intervalima.

Izvod određuje brzinu kojom se funkcija mijenja na određenom području.

Geometrijsko značenje derivacije

Ako pronađete derivaciju bilo koje funkcije u određenoj tački, možete odrediti ugao pod kojim će se nalaziti tangenta na graf u datoj struji, u odnosu na osu OX. Obratite pažnju na grafikon - tangencijalni ugao nagiba označen je slovom φ i određen je koeficijentom k u jednačini prave: y = kx + b.

Odnosno, možemo zaključiti da je geometrijsko značenje derivacije tangenta kuta tangente u nekoj tački funkcije.

Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku na grafu funkcije - tačku A(x 0, f (x 0)) i sijeku graf u nekoj tački B(x; f(x )). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: ​​AC = ∆ x ; VS =∆u; tgβ =∆ y /∆ x .

Budući da AC || Ox, onda Ð ALO = Ð BAC = β (kao što odgovara kada je paralelno). AliÐ ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. znači, tgβ = k - ugaoni koeficijent prave AB.

Sada ćemo smanjiti ∆h, tj. ∆h→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆h→ 0 će biti prava linija ( a ), naziva se tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.

Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tg β =∆ y /∆ x , onda dobijamo

ili tg a = f "(x 0 ), pošto
a - ugao nagiba tangente na pozitivan smjer ose Ox

, po definiciji derivata. Ali tg a = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg a = f "(x 0 ).

Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:

Derivat funkcije u tački x 0 jednak je nagibu tangenta na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0.

Fizičko značenje izvedenice.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka koordinata tačke bude data u bilo kom trenutku x(t ). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] je jednak omjeru pređenog puta u ovom vremenskom periodu i vremena, tj.

V av = ∆ x /∆ t . Prijeđimo na granicu u posljednjoj jednakosti na ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - trenutna brzina u trenutku t 0 , ∆ t → 0.

i lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (po definiciji derivata).

Dakle, n(t) = x"(t).

Fizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcije y = f( x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcije f(x) u tačkix 0

Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.

u (t) = x "(t) - brzina,

a(f) = n"(t ) - ubrzanje, ili

a(t) = x"(t).

Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke u krugu, onda se može pronaći ugaona brzina i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:

φ = φ (t ) - promjena ugla s vremenom,

ω = φ "(t ) - ugaona brzina,

ε = φ "(t ) - kutno ubrzanje, iliε = φ "(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:

m = m (x) - masa,

x O , l - dužina štapa,

p = m "(x) - linearna gustina.

Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu

F = - kx, x – promjenjiva koordinata, k - koeficijent elastičnosti opruge. Stavljanjeω2 = k/m , dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

gdje je ω = √ k /√ m frekvencija oscilovanja ( l/c ), k - krutost opruge ( h/m).

Jednačina oblika y" +ω2y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetnih). Rješenje takvih jednačina je funkcija

y = Asin (ωt + φ 0) ili y = Acos (ωt + φ 0), gdje je

A je amplituda oscilacija,ω - ciklička frekvencija,

φ 0 - početna faza.

Derivat funkcije je jedna od teških tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je stopa promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo grafik funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim točkama može imati različite vrijednosti izvoda - to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije je označen .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.

Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.

Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao s pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.

U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.

U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

	povećava	maksimalni poen	smanjuje se	minimalna tačka	povećava
+	0	-	0	+

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati kada rješavate probleme USE. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje