Problemi nalaženja tačaka raskrsnice bilo koje figure su ideološki primitivne. Poteškoće u njima nastaju samo zbog aritmetike, jer se u tome prave razne tipografske greške i greške.

Instrukcije

1. Ovaj problem se rješava analitički, pa je stoga moguće uopće ne crtati grafove ravno i parabole. Često to daje veliku prednost u rješavanju primjera, jer problem može sadržavati takve funkcije da bi ih bilo lakše i brže ne nacrtati.

2. Prema udžbenicima algebre, parabola je data funkcijom oblika f(x)=ax^2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi, a eksponent a je dobar, jednak je nuli. Funkcija g(x)=kx+h, gdje su k,h realni brojevi, definira pravu na ravni.

3. Dot raskrsnice ravno a parabole su univerzalna tačka obe krive, stoga će funkcije u njoj poprimiti identične vrednosti, odnosno f(x)=g(x). Ova izjava nam omogućava da zapišemo jednačinu: ax^2+bx+c=kx+h, koja će dati vjerovatnoću otkrivanja puno tačaka raskrsnice .

4. U jednačini ax^2+bx+c=kx+h, potrebno je sve članove pomeriti na lijevu stranu i dovesti slične: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Sada ostaje samo da se reši rezultujuća kvadratna jednačina.

5. Svi otkriveni "X-ovi" još nisu rezultat za problem, jer tačku na ravni karakterišu dva realna broja (x,y). Da biste u potpunosti zaključili rješenje, morate izračunati odgovarajuće "igrače". Da biste to učinili, trebate zamijeniti "x" ili u funkciju f(x) ili u funkciju g(x), tea za tačku raskrsnice ispravno: y=f(x)=g(x). Kasnije ćete otkriti sve univerzalne tačke parabole i ravno .

6. Za konsolidaciju materijala, vrlo je važno vidjeti rješenje na primjeru. Neka je parabola definisana funkcijom f(x)=x^2-3x+3, a prava linija – g(x)=2x-3. Napravite jednačinu f(x)=g(x), odnosno, x^2-3x+3=2x-3. Pomjeranjem svih pojmova na lijevu stranu i donošenjem sličnih, dobijate: x^2-5x+6=0. Korijeni ovoga kvadratna jednačina: x1=2, x2=3. Sada pronađite odgovarajuće “igrače”: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Tako se detektuju sve tačke raskrsnice: (2,1) i (3,3).

Tačka raskrsnice prave linije se mogu približno odrediti iz grafikona. Međutim, često su potrebne tačne koordinate ove tačke ili nema potrebe za izradom grafikona, tada možete otkriti tačku raskrsnice, znajući samo jednačine linija.

Instrukcije

1. Neka su dvije prave definirane univerzalnim jednadžbama prave: A1*x + B1*y + C1 = 0 i A2*x + B2*y + C2 = 0. Tačka raskrsnice pripada i jednoj i drugoj liniji. Izrazimo pravu liniju x iz prve jednačine, dobićemo: x = -(B1*y + C1)/A1. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u drugu jednačinu: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Ili -A2B1*y – A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, inače y = ( A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1). Zamijenimo otkrivenu vrijednost u jednadžbu prve prave: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0(A1B2 – A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0 Zatim je x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. IN školski kurs matematičari, ravne su često date jednadžbom sa ugaonim eksponentom, pogledajmo ovaj slučaj. Neka su dva pravca data na ovaj način: y1 = k1*x + b1 i y2 = k2*x + b2. Očigledno, u trenutku raskrsnice y1 = y2, zatim k1*x + b1 = k2*x + b2. Nalazimo da je ordinata tačke raskrsnice x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Zamijenite x u bilo koju jednačinu prave i dobijete y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Video na temu

Jednačina parabole je kvadratna funkcija. Postoji nekoliko opcija za konstruisanje ove jednačine. Sve zavisi od toga koji su parametri predstavljeni u opisu problema.

Instrukcije

1. Parabola je kriva koja svojim oblikom podsjeća na luk i predstavlja graf funkcija snage. Bez obzira na to kakve usporedbe parabola ima, ova funkcija je parna. Parna funkcija je ona u kojoj se, za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije, kada se promijeni znak argumenta, vrijednost se ne mijenja: f (-x) = f (x) Počnite s najviše primitivna funkcija: y = x^2. Iz njegovog izgleda možemo zaključiti da se povećava i s tačnim i sa negativnim vrijednostima argumenta x. Tačka u kojoj je x=0, au isto vrijeme, y =0 smatra se minimalnom tačkom funkcije.

2. Ispod su sve glavne opcije za konstruisanje ove funkcije i njene jednadžbe. Kao prvi primjer, u nastavku razmatramo funkciju oblika: f(x)=x^2+a, gdje je a cijeli broj. Da biste nacrtali graf ove funkcije, morate pomaknuti graf funkcije f(x) po jedinicama. Primjer je funkcija y=x^2+3, gdje je duž y-ose funkcija pomaknuta nagore za dvije jedinice. Ako je data funkcija suprotnog predznaka, recimo y=x^2-3, tada se njen graf pomiče naniže duž y-ose.

3. Druga vrsta funkcije kojoj se može dati parabola je f(x)=(x +a)^2. U takvim slučajevima, graf se, naprotiv, pomera duž apscise (x-ose) za jedinice. Na primjer, možete vidjeti funkcije: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. U prvom slučaju, gdje postoji funkcija sa znakom plus, graf se pomiče duž x-ose ulijevo, au drugom slučaju udesno. Svi ovi slučajevi su prikazani na slici.

4. Postoje i parabolične zavisnosti oblika y=x^4. U takvim slučajevima, x=const, a y naglo raste. Međutim, ovo se odnosi samo na parne funkcije. Grafika parabole su često prisutni u fizički problemi, recimo, let tijela opisuje liniju koja je potpuno poput parabole. Također pogledajte parabole ima uzdužni presjek reflektora farova, fenjer. Za razliku od sinusoida, ovaj graf je neperiodičan i raste.

Savjet 4: Kako odrediti tačku presjeka prave i ravni

Ovaj zadatak je konstruisati tačku raskrsnice ravno sa ravninom je klasičan kurs inženjerske grafike i izvodi se primenom metoda nacrtne geometrije i njihovog grafičkog rešenja na crtežu.

Instrukcije

1. Pogledajmo definiciju tačke raskrsnice ravno sa ravninom određene lokacije (slika 1).Prava linija l seče frontalnu ravan projektovanja?. Usmjerite ih raskrsnice K pripada ravno i ravan, što znači da opšta projekcija K2 leži na?2 i l2. Odnosno, K2= l2??2, a njegova horizontalna projekcija K1 je određena na l1 pomoću projekcijske spojne linije. Dakle, željena tačka raskrsnice K(K2K1) se može lako konstruisati bez upotrebe pomoćnih ravni. Tačke se određuju na sličan način raskrsnice ravno sa svim vrstama aviona posebnog rasporeda.

2. Pogledajmo definiciju tačke raskrsnice ravno sa ravninom univerzalne lokacije. Na slici 2, proizvoljno locirane ravni su date u prostoru? i prava l. Odrediti tačku raskrsnice ravno kod ravni univerzalne lokacije koristi se metoda pomoćnih reznih ravnina sljedećim redoslijedom:

3. Pomoćna rezna ravan je povučena kroz pravu liniju l? Da bi se olakšala konstrukcija, ovo će biti ravan projektovanja.

5. Tačka K je označena raskrsnice ravno l i konstruisanu liniju raskrsnice MN. Ona je željena tačka raskrsnice ravno i avioni.

6. Primijenimo ovo pravilo za rješavanje određenog problema u složenom crtežu. Primjer. Definirajte tačku raskrsnice ravno l sa ravninom univerzalne lokacije definisanom trouglom ABC (slika 3).

7. Pomoćna rezna ravan? povučena je kroz pravu l, okomitu na ravan projekcije?2. Njegova projekcija?2 poklapa se sa projekcijom ravno l2.

8. MN linija se gradi. Avion? seče AB u tački M. Zabilježena je njegova opšta projekcija M2 = ?2?A2B2 i horizontalna M1 na A1B1 duž linije projekcije veze. seče stranu AC u tački N. Njegova opšta projekcija je N2 =? raskrsnice .

9. Određena je tačka K1 raskrsnice l1 i M1N1, nakon čega se gradi tačka K2 uz podršku komunikacijske linije. Ispada da su K1 i K2 projekcije željene tačke raskrsnice K ravno ja i avioni? ABC:K(K1K2)= l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2) Vidljivost se određuje korištenjem konkurentskih tačaka M,1 i 2,3 ravno l tangenta na ovu ravan? ABC.

Video na temu

Bilješka!
Koristite pomoćnu ravan kada rješavate problem.

Koristan savjet
Izvršite proračune koristeći detaljne crteže koji odgovaraju uslovima problema. Ovo će vam pomoći da se brzo snađete u odluci.

Dvije prave, ako nisu paralelne i ne poklapaju se, strogo se sijeku u jednoj tački. Pronaći koordinate ovog mjesta znači izračunati bodova raskrsnice ravno Dvije prave koje se seku uvijek leže u istoj ravni, pa ih je dovoljno vidjeti u kartezijanskoj ravni. Pogledajmo primjer kako pronaći univerzalnu tačku prave linije.

Instrukcije

1. Uzmite jednadžbe 2 prave, imajući na umu da jednadžba ravne u kartezijanskom koordinatnom sistemu izgleda kao ax + y + c = 0, a a, b, c su obični brojevi, a x i y su koordinate tačaka . Na primjer, pronađite bodova raskrsnice prave 4x+3y-6=0 i 2x+y-4=0. Da biste to učinili, pronađite rješenje sistema ove 2 jednačine.

2. Da biste riješili sistem jednačina, promijenite svaku od jednačina tako da ispred y stoji identičan eksponent. Budući da je u jednoj jednadžbi eksponent prije y 1, onda jednostavno pomnožite ovu jednačinu brojem 3 (eksponent prije y u drugoj jednačini). Da biste to učinili, pomnožite svaki element jednačine sa 3: (2x*3)+(y*3)-(4*3)=(0*3) i dobijete običnu jednačinu 6x+3y-12=0. Ako bi eksponenti ispred y bili divni od jedan u obje jednačine, obje jednakosti bi se morale pomnožiti.

3. Oduzmite jednu jednačinu od druge. Da biste to učinili, oduzmite od lijeve strane jedne lijevu stranu druge i učinite isto s desnom. Dobijte sljedeći izraz: (4x+3y-6) – (6x+3y-12)=0-0. Pošto se ispred zagrade nalazi znak "-", promijenite sve znakove u zagradama u suprotne. Dobijte sljedeći izraz: 4x+3y-6 – 6x-3y+12=0. Pojednostavite izraz i vidjet ćete da je varijabla y nestala. Nova jednadžba izgleda ovako: -2x+6=0. Premjestite broj 6 u drugi dio jednačine i iz rezultirajuće jednakosti -2x=-6 izrazite x: x=(-6)/(-2). Dakle, dobijate x=3.

4. Zamijenite vrijednost x=3 u bilo koju jednačinu, recimo, u drugu i dobijete sljedeći izraz: (2*3)+y-4=0. Pojednostavite i izrazite y: y=4-6=-2.

5. Zapišite rezultirajuće vrijednosti x i y kao koordinate bodova(3;-2). Ovo će biti rješenje problema. Provjerite rezultirajuću vrijednost zamjenom u obje jednačine.

6. Ako prave nisu date u obliku jednadžbi, već su date primitivno na ravni, otkrijte koordinate bodova raskrsnice grafički. Da biste to učinili, produžite ravne linije tako da se sijeku, a zatim spustite okomite na osi x i oy. Koordinate će biti presjek okomica sa osovinama ox i oy bodova, pogledajte sliku i vidjet ćete da su koordinate bodova raskrsnice x=3 i y=-2, odnosno tačka (3;-2) je rješenje problema.

Video na temu

Parabola je ravna kriva drugog reda, čija kanonska jednačina u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik y? = 2px. Gdje je p fokalni parametar parabole, jednak udaljenosti od fiksne tačke F, koja se zove fokus, do fiksne prave linije D u istoj ravni, koja se zove direktrisa. Vrh takve parabole prolazi kroz predgovor koordinata, a sama kriva je simetrična oko x-ose Ox. U školskom kursu algebre uobičajeno je razmatrati parabolu čija se osa simetrije poklapa sa ordinatnom osom Oy: x? = 2py. A jednadžba je napisana nešto suprotno: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabolu možete nacrtati koristeći nekoliko metoda, koje se mogu nazvati algebarskim i geometrijskim.

Instrukcije

1. Algebarska konstrukcija parabole.Nađi koordinate vrha parabole. Izračunajte koordinate duž ose Ox koristeći formulu: x0=-b/(2a), i duž ose Oy: y0=-(b?-4ac)/4a, ili zamenite rezultujuću vrednost x0 u jednadžbu parabole y0= ax0?+bx0+c i izračunajte vrijednost.

2. Na koordinatnoj ravni konstruisati os simetrije parabole. Njegova formula se poklapa sa formulom za koordinatu x0 vrha parabole: x=-b/(2a). Odredi gdje su usmjerene grane parabole. Ako je a>0, tada su ose usmjerene prema gore, ako je a

3. Uzmite proizvoljno 2-3 vrijednosti za parametar x tako da je: x0

4. Postavite tačke 1′, 2′ i 3′ tako da budu simetrične sa tačkama 1, 2, 3 u pogledu ose simetrije.

5. Povežite tačke 1′, 2′, 3′, 0, 1, 2, 3 glatkom kosom linijom. Nastavite liniju gore ili dolje, ovisno o smjeru parabole. Parabola je izgrađena.

6. Geometrijska konstrukcija parabole. Ova metoda se zasniva na definiciji parabole kao zajednice tačaka jednako udaljenih i od fokusa F i od direktrise D. Stoga prvo pronađite fokalni parametar date parabole p = 1/(2a).

7. Konstruirajte os simetrije parabole kao što je opisano u koraku 2. Na njemu postavite tačku F sa koordinatom duž ose Oy jednakom y=p/2 i tačku D sa koordinatom y=-p/2.

8. Koristeći kvadrat, konstruiraj pravu koja prolazi kroz tačku D, okomitu na os simetrije parabole. Ova prava je direktrisa parabole.

9. Uzmite nit dužine jednake jednoj od nogu kvadrata. Jedan kraj konca pričvrstite dugmetom na vrhu kvadrata uz koji je ova noga susedna, a drugi kraj u fokusu parabole u tački F. Postavite ravnalo tako da gornja ivica poklopilo se sa direktorom D. Postavite kvadrat na lenjir, noga slobodna od dugmeta.

10. Postavite olovku tako da njen vrh pritisne konac uz stranu kvadrata. Pomjerite kvadrat duž ravnala. Olovka će nacrtati parabolu koja vam je potrebna.

Video na temu

Bilješka!
Ne crtajte vrh parabole kao ugao. Njegove grane se spajaju jedna s drugom, glatko se zaokružuju.

Koristan savjet
Kada konstruišete parabolu geometrijskom metodom, vodite računa da konac uvek bude zategnut.

Prije početka proučavanja ponašanja funkcije potrebno je odrediti područje metamorfoze razmatranih veličina. Prihvatimo pretpostavku da varijable pripadaju skupu realnih brojeva.

Instrukcije

1. Funkcija je varijabla koja ovisi o vrijednosti argumenta. Argument je nezavisna varijabla. Granice promjena u argumentu nazivaju se rasponom mogućih vrijednosti (APV). Ponašanje funkcije razmatra se u okviru ODZ-a jer u tim granicama veza između dvije varijable nije haotična, već se pridržava određenih pravila i može se zapisati u obliku matematičkog izraza.

2. Razmotrimo proizvoljnu funkcionalnu vezu F=?(x), gdje? – matematički izraz. Funkcija može imati točke presjeka s koordinatnim osama ili s drugim funkcijama.

3. U tačkama preseka funkcije sa x-osom, funkcija postaje jednaka nuli: F(x) = 0. Riješite ovu jednačinu. Dobit ćete koordinate tačaka raskrsnice datu funkciju sa OX osom. Takvih tačaka će biti onoliko koliko ima korijena jednadžbe u datom dijelu metamorfoze argumenta.

4. U tačkama preseka funkcije sa y-osom, vrednost argumenta je nula. Posljedično, problem se pretvara u pronalaženje vrijednosti funkcije na x=0. Bit će onoliko točaka presjeka funkcije sa OY osom koliko ima vrijednosti date funkcije na nultom argumentu.

5. Da biste pronašli presečne tačke date funkcije sa drugom funkcijom, potrebno je da rešite sistem jednačina: F=?(x)W=?(x) Ovde?(x) je izraz koji opisuje datu funkciju F, ? (x) je izraz koji opisuje funkciju W, tačke preseka sa kojima se data funkcija mora detektovati. Očigledno, na mjestima presjeka obje funkcije uzimaju jednake vrijednosti s jednakim vrijednostima argumenata. Biće onoliko univerzalnih tačaka za 2 funkcije koliko ima rešenja za sistem jednačina u datom području promena u argumentu.

Video na temu

U točkama presjeka, funkcije imaju jednake vrijednosti sa identičnom vrijednošću argumenta. Otkriti točke presjeka funkcija znači odrediti koordinate tačaka zajedničkih funkcijama koje se sijeku.

Instrukcije

1. Uopšteno govoreći, problem pronalaženja presječnih tačaka funkcija jednog argumenta Y=F(x) i Y?=F?(x) na ravni XOY svodi se na rješavanje jednadžbe Y=Y?, budući da je na univerzalna tačka funkcije imaju jednake vrijednosti. Vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost F(x)=F?(x), (ako postoje) su apscise presječnih tačaka datih funkcija.

2. Ako su funkcije date jednostavnim matematičkim izrazom i zavise od jednog argumenta x, onda se problem nalaženja presječnih točaka može riješiti grafički. Konstruirati grafove funkcija. Odredite presječne točke sa koordinatnim osa (x=0, y=0). Postavite još nekoliko vrijednosti argumenata, pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije i dodajte rezultirajuće tačke na grafove. Što se više tačaka koristi za konstrukciju, to će graf biti tačniji.

3. Ako se grafovi funkcija sijeku, odredite koordinate presječnih tačaka sa crteža. Da biste provjerili, zamijenite ove koordinate u formule koje definiraju funkcije. Ako se matematički izrazi pokažu objektivnim, točke presjeka se pozitivno detektuju. Ako se grafovi funkcija ne sijeku, pokušajte promijeniti razmjer. Napravite veći korak između tačaka konstrukcije kako biste odredili u kojem dijelu numeričke ravni se linije grafikona približavaju. Nakon toga, na identificiranom mjestu raskrsnice, napravite detaljniji grafikon sa malim koracima za precizna definicija koordinate tačaka raskrsnice.

4. Ako je potrebno otkriti točke presjeka funkcija ne na ravni, već u trodimenzionalni prostor, moramo pogledati funkcije 2 varijable: Z=F(x,y) i Z?=F?(x,y). Za određivanje koordinata tačaka preseka funkcija potrebno je rešiti sistem jednačina sa dve nepoznate x i y za Z = Z?.

Video na temu

Dakle, glavni parametri grafikona kvadratna funkcija prikazano na slici:

Hajde da razmotrimo nekoliko načina za konstruisanje kvadratne parabole. Ovisno o tome kako je kvadratna funkcija specificirana, možete odabrati najprikladniju.

1 . Funkcija je data formulom .

Hajde da razmotrimo opšti algoritam crtanje kvadratne parabole koristeći primjer crtanja funkcije

1 . Smjer grana parabole.

Budući da su grane parabole usmjerene prema gore.

2 . Hajde da nađemo diskriminanta kvadratni trinom

Diskriminanta kvadratnog trinoma je veća od nule, tako da parabola ima dvije točke presjeka sa OX osom.

Da bismo pronašli njihove koordinate, rješavamo jednačinu:

,

3 . Koordinate vrha parabole:

4 . Tačka presjeka parabole sa OY osom: (0;-5), a simetrična je u odnosu na osu simetrije parabole.

Hajde da nacrtamo ove tačke koordinatna ravan i povežite ih glatkom krivom:

Ova metoda se može donekle pojednostaviti.

1. Pronađite koordinate vrha parabole.

2. Pronađite koordinate tačaka desno i lijevo od vrha.

Koristimo rezultate crtanja funkcije

Koordinate vrha parabole

Tačke najbliže vrhu, koje se nalaze lijevo od vrha, imaju apscise -1;-2;-3, respektivno

Tačke najbliže vrhu, koje se nalaze na desnoj strani, imaju apscise, odnosno 0;1;2

Utaknimo x vrijednosti u jednadžbu funkcije, pronađemo ordinate ovih tačaka i unesemo ih u tablicu:

Nacrtajmo ove tačke na koordinatnoj ravni i povežimo ih glatkom linijom:

2 . Jednadžba kvadratne funkcije ima oblik – u ovoj jednačini – koordinate vrha parabole

ili u jednadžbi kvadratne funkcije , a drugi koeficijent je paran broj.

Napravimo graf funkcije kao primjer .

Podsjetimo se linearne transformacije grafovi funkcija. Za crtanje funkcije , treba

§ prvo napravite graf funkcije,

§ zatim pomnožite iste vrijednosti svih tačaka na grafikonu sa 2,

§ zatim ga pomerite duž OX ose 1 jedinica udesno,

§ a zatim duž ose OY 4 jedinice gore:

Pogledajmo sada crtanje funkcije . U jednadžbi ove funkcije, a drugi koeficijent je paran broj.