Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o izvedenicama. Ova lekcija se sastoji od nekoliko dijelova.

Prije svega, reći ću vam šta su derivati ​​i kako ih izračunati, ali ne sofisticiranim akademskim jezikom, već onako kako ja to sam razumijem i kako to objašnjavam svojim studentima. Drugo, razmotrit ćemo najjednostavnije pravilo za rješavanje problema u kojem ćemo tražiti izvode suma, izvode razlika i izvode funkcije stepena.

Pogledat ćemo složenije kombinirane primjere, iz kojih ćete posebno naučiti da se slični problemi koji uključuju korijene, pa čak i razlomke, mogu riješiti korištenjem formule za izvod funkcije stepena. Osim toga, naravno, bit će mnogo problema i primjera rješenja različitih nivoa složenosti.

Generalno, u početku sam htela da snimim kratak 5-minutni video, ali možete videti kako je ispalo. Dakle, dosta tekstova - hajdemo na posao.

Šta je derivat?

Dakle, počnimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmotrite jednostavnu funkciju definiranu njenim grafom, nazovite je $y=f\left(x \right)$. Naravno, graf ne postoji sam po sebi, tako da morate nacrtati $x$ ose kao i $y$ os. Sada izaberimo bilo koju tačku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što možete pretpostaviti, biti $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Pogledajmo još jednu tačku na istom grafikonu. Nije bitno koja, glavna stvar je da se razlikuje od originalne. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, a takođe i ordinatu - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Dakle, imamo dvije točke: imaju različite apscise i, prema tome, različite vrijednosti funkcije, iako ovo drugo nije neophodno. Ali ono što je zaista važno je da znamo iz kursa planimetrije: kroz dvije tačke možete povući pravu liniju i, osim toga, samo jednu. Pa hajde da to izvedemo.

Sada povucimo ravnu liniju kroz prvu od njih, paralelnu sa osom apscise. Dobijamo pravougli trougao. Nazovimo ga $ABC$, pravi ugao $C$. Ovaj trougao ima jedno veoma interesantno svojstvo: činjenica je da je ugao $\alpha $ zapravo jednak uglu pod kojim se prava linija $AB$ seče sa nastavkom ose apscise. Procijenite sami:

1. prava linija $AC$ je po konstrukciji paralelna sa $Ox$ osom,
2. prava $AB$ seče $AC$ ispod $\alpha $,
3. stoga $AB$ seče $Ox$ pod istim $\alpha $.

Šta možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim da je u trouglu $ABC$ odnos kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangenti samog ovog ugla. Pa hajde da to zapišemo:

Naravno, $AC$ u ovom slučaju se lako izračunava:

Isto tako za $BC$:

Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sada kada smo sve to riješili, vratimo se na naš grafikon i pogledamo novu tačku $B$. Izbrišemo stare vrijednosti i odnesemo $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo ponovo njenu apscisu sa $((x)_(2))$, a njenu ordinatu sa $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Pogledajmo ponovo naš mali trougao $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očigledno da će ovo biti potpuno drugačiji ugao, tangenta će takođe biti drugačija jer su se dužine segmenata $AC$ i $BC$ značajno promenile, ali se formula za tangentu ugla uopšte nije promenila - ovo je još uvijek odnos između promjene funkcije i promjene argumenta.

Konačno, nastavljamo da pomeramo $B$ bliže prvobitnoj tački $A$, kao rezultat toga trougao će postati još manji, a prava linija koja sadrži segment $AB$ sve više liči na tangentu na graf funkcija.

Kao rezultat toga, ako nastavimo da približavamo tačke, tj. smanjimo udaljenost na nulu, tada će se prava linija $AB$ zaista pretvoriti u tangentu na graf u datoj tački, a $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ će se transformisati iz elementa pravilnog trougla u ugao između tangente na graf i pozitivnog smera $Ox$ ose.

I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u tački $((x)_(1))$ je tangenta ugla $\alpha $ između tangente na graf u tački $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru ose $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\ime operatera(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Vraćajući se na naš graf, treba napomenuti da se bilo koja tačka na grafu može odabrati kao $((x)_(1))$. Na primjer, sa istim uspjehom mogli bismo ukloniti potez u tački prikazanoj na slici.

Nazovimo ugao između tangente i pozitivnog smjera ose $\beta$. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ će biti jednako tangentu ovog ugla $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Svaka tačka na grafu će imati svoju tangentu, a samim tim i sopstvenu vrednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, pored tačke u kojoj tražimo derivaciju razlike ili sume, ili izvod funkcije stepena, potrebno je uzeti još jednu tačku koja se nalazi na nekoj udaljenosti od nje, a zatim usmeriti ovo ukazuje na originalni i, naravno, saznajte kako će u procesu takvo kretanje promijeniti tangentu ugla nagiba.

Derivat funkcije stepena

Nažalost, takva definicija nam nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, uglovi ne daju nam ni najmanju predstavu o tome kako izračunati pravi izvod u stvarnim problemima. Stoga, hajde da odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo efikasnije formule i tehnike pomoću kojih već možete riješiti stvarne probleme.

Počnimo s najjednostavnijim konstrukcijama, naime, funkcijama oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stepen koji je bio u eksponentu prikazan je u prednjem množitelju, a sam eksponent se smanjuje za jedinicu. Na primjer:

\[\begin(poravnati)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(poravnati) \]

Evo još jedne opcije:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Koristeći ova jednostavna pravila, pokušajmo ukloniti dodir sljedećih primjera:

Tako dobijamo:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sada da riješimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Naravno, to su bili vrlo jednostavni zadaci. Međutim, stvarni problemi su složeniji i nisu ograničeni samo na stepene funkcije.

Dakle, pravilo br. 1 - ako je funkcija predstavljena u obliku druge dvije, onda je derivacija ove sume jednaka zbroju izvoda:

\[((\left(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Slično, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici izvoda:

\[((\left(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))+((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=2x+1\]

Osim toga, postoji još jedno važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, s kojom se ova funkcija množi, onda se $f$ cijele ove konstrukcije izračunava na sljedeći način:

\[((\left(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Konačno, još jedno vrlo važno pravilo: u problemima često postoji poseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo primijetiti u našim današnjim izrazima. Derivat konstante, tj. broja koji ni na koji način ne zavisi od $x$, uvek je jednak nuli i uopšte nije bitno čemu je jednaka konstanta $c$:

\[((\lijevo(c \desno))^(\prime ))=0\]

Primjer rješenja:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Opet ključne tačke:

1. Derivat zbira dvije funkcije uvijek je jednak zbiru izvoda: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Iz sličnih razloga, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici dvije derivacije: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Ako funkcija ima faktor konstante, onda se ova konstanta može uzeti kao znak derivacije: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Ako je cijela funkcija konstanta, onda je njen izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Pogledajmo kako sve funkcionira na stvarnim primjerima. dakle:

Zapisujemo:

\[\begin(poravnati)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \desno))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(poravnati)\]

U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbira i derivaciju razlike. Ukupno, izvod je jednak $5((x)^(4))-6x$.

Pređimo na drugu funkciju:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \desno))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \desno))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ovdje smo pronašli odgovor.

Pređimo na treću funkciju - ona je ozbiljnija:

\[\begin(poravnati)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Pređimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:

Dakle, smatramo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ali rješenje se tu ne završava, jer se od nas traži ne samo da uklonimo potez, već da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj tački, pa u izraz zamjenjujemo −1 umjesto $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Idemo dalje i prijeđimo na još složenije i zanimljivije primjere. Činjenica je da je formula za rješavanje derivacije stepena $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima čak i širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere sa razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.

Za početak, zapišimo još jednom formulu koja će nam pomoći da pronađemo izvod funkcije stepena:

A sada pažnja: do sada smo smatrali samo prirodne brojeve kao $n$, ali ništa nas ne sprečava da razmatramo razlomke, pa čak i negativne brojeve. Na primjer, možemo napisati sljedeće:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(poravnati)\]

Ništa komplikovano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći pri rješavanju složenijih problema. Dakle, primjer:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(poravnati)\]

Vratimo se na naš primjer i napišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ovo je tako teška odluka.

Pređimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasičan stepen i korijene.

Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije stepena, koja osim toga sadrži korijen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba pojma su izračunata, ostaje samo da zapišemo konačan odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Derivat razlomka kroz funkciju stepena

Ali mogućnosti formule za rješavanje izvoda funkcije stepena se tu ne završavaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. Upravo je to rijetka prilika koja uvelike pojednostavljuje rješavanje ovakvih primjera, ali je često zanemaruju ne samo učenici, već i nastavnici.

Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasični izvod funkcije stepena

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

S druge strane, znamo da izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može biti predstavljen kao $((x)^(-n))$. dakle,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Tako se i derivati ​​prostih razlomaka, gdje je brojilac konstanta, a nazivnik stepen, također izračunavaju po klasičnoj formuli. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Dakle, prva funkcija:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \desno))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \desno))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ kraj(poravnaj)\]...

Sada skupljamo sve ove pojmove u jednu formulu:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Dobili smo odgovor.

Međutim, prije nego što krenemo dalje, skrećem vam pažnju na oblik pisanja samih originalnih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi učenici se izgube kada vide različite oblike snimanja. Koja je razlika između $f\left(x \right)$ i $y$? Ništa stvarno. To su samo različiti unosi sa istim značenjem. Samo, kada kažemo $f\left(x \right)$, prije svega govorimo o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače se radi o istoj stvari, tj. izvod se u oba slučaja smatra istim.

Složeni problemi s izvedenicama

U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih problema koji koriste sve što smo danas razmatrali. Sadrže korijene, razlomke i zbrojeve. Međutim, ovi primjeri će biti složeni samo u današnjem video tutorijalu, jer će vas zaista složene derivativne funkcije čekati naprijed.

Dakle, završni dio današnje video lekcije, koji se sastoji od dva kombinovana zadatka. Počnimo s prvim od njih:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \desno))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivat funkcije je jednak:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primjer je riješen. Razmotrimo drugi problem:

U drugom primjeru postupamo slično:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \desno))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Izračunajmo svaki pojam posebno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \desno))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Svi termini su izračunati. Sada se vraćamo na originalnu formulu i zbrajamo sva tri pojma. Dobijamo da će konačni odgovor biti ovakav:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U sljedećim lekcijama ćemo se osvrnuti na složenije konstrukcije, a također ćemo saznati zašto su derivati ​​uopće potrebni.

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako još jednom riječju nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima oblik funkcije stepena
y = u v ,
u kojoj su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v = v (x).
Ova funkcija se također zove eksponencijalna ili .

Imajte na umu da se stepen eksponencijalna funkcija može predstaviti u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove kompleksna eksponencijalna funkcija.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Izračunavanje pomoću logaritamskog izvoda

Nađimo derivaciju eksponencijalne funkcije stepena
(2) ,
gdje su i funkcije varijable.
Da bismo to učinili, logaritam jednačinu (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferencirati s obzirom na varijablu x:
(3) .
Prijavljujemo se pravila za razlikovanje složenih funkcija i radi:
;
.

Zamjenjujemo u (3):
.
Odavde
.

Dakle, pronašli smo derivaciju eksponencijalne funkcije stepena:
(1) .
Ako je eksponent konstantan, onda . Tada je derivacija jednaka izvodu kompleksne funkcije snage:
.
Ako je baza stepena konstantna, onda . Tada je izvod jednak izvodu kompleksne eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i funkcije x, tada je derivacija stepena-eksponencijalne funkcije jednaka zbroju izvoda kompleksne potencijske i eksponencijalne funkcije.

Izračunavanje derivacije redukcijom na kompleksnu eksponencijalnu funkciju

Sada pronađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena
(2) ,
predstavljajući ga kao složenu eksponencijalnu funkciju:
(4) .

Hajde da razlikujemo proizvod:
.
Primjenjujemo pravilo za pronalaženje izvoda kompleksne funkcije:

.
I opet smo dobili formulu (1).

Primjer 1

Pronađite derivaciju sljedeće funkcije:
.

Računamo koristeći logaritamski izvod. Logaritamo originalnu funkciju:
(A1.1) .

Iz tabele derivata nalazimo:
;
.
Koristeći formulu derivata proizvoda, imamo:
.
Razlikujemo (A1.1):
.
Zbog
,
To
.

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, moraćete vrlo često da pravite razliku, a nije uvek zgodno (i nije uvek neophodno) detaljno opisivati ​​primere. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih shvatite (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto van zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate svesku, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći samopouzdano upravljati njime.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “Y” ispod logaritma?”

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada da se prisjetimo o kakvoj smo "igračkoj" funkciji govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Neophodno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju; da bismo to učinili, stavljamo oba dijela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritma logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​iz korijena x. Formula za izvod funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.

Sadržaj

Vidi također: Funkcija stepena i korijeni, formule i graf
Grafikoni funkcija snage

Osnovne formule

Derivat x na stepen a jednak je a puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije stepena i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo derivat koristeći:
;
.
Evo.

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen od m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3) vidimo da
.
Onda
.

Koristeći formulu (1) nalazimo izvod:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo transformisati korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo derivaciju funkcije (3) na x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:
.

Zamenimo x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga je jasno da za , .
U , .
U , .
Ovaj rezultat se također dobija iz formule (1):
(1) .
Dakle, formula (1) vrijedi i za x = 0 .

Slučaj x< 0

Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za određene vrijednosti konstante a definira se i za negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Ako je n neparno, tada je funkcija stepena također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, kada je n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti varijable x.

Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavimo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo postavljanjem konstante izvan znaka izvoda i primjenom pravila za diferenciranje kompleksne funkcije:

.
Evo. Ali
.
Od tada
.
Onda
.
Odnosno, formula (1) važi i za:
(1) .

Derivati ​​višeg reda

Sada hajde da pronađemo izvode višeg reda funkcije stepena
(3) .
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.

Uzimajući konstantu a izvan predznaka derivacije, nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;

.

Iz ovoga je jasno da derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primeti, to ako je a prirodan broj, tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su svi naredni derivati ​​jednaki nuli:
,
u .

Primjeri izračunavanja derivata

Primjer

Pronađite izvod funkcije:
.

Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada originalna funkcija poprima oblik:
.

Pronalaženje derivata moći:
;
.
Derivat konstante je nula:
.