Osnovna istraživanja. Kome polja ne pritiskaju Suština teoreme o farmi

Da će Abelovu nagradu 2016. dobiti Andrew Wiles za njegov dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke za polustabilne eliptičke krivulje i dokaz koji slijedi iz ove pretpostavke velika teorema Farma. Trenutno je premija 6 miliona norveških kruna, odnosno oko 50 miliona rubalja. Prema Wilesu, nagrada je za njega bila "potpuno iznenađenje".

Fermatova teorema, dokazana prije više od 20 godina, još uvijek privlači pažnju matematičara. Djelomično je to zbog njegove formulacije, koja je razumljiva čak i školarcu: dokazati da za prirodno n>2 ne postoje tripleti cijelih brojeva koji nisu nula takvi da je a n + b n = c n . Pierre Fermat napisao je ovaj izraz na marginama Diofantove Aritmetike, dodajući izvanredan potpis „Pronašao sam zaista divan dokaz [ove izjave], ali margine knjige su preuske za to.” Za razliku od većine matematičkih priča, ova je stvarna.

Uručenje nagrade odlična je prilika da se prisjetimo deset zabavnih priča vezanih za Fermatovu teoremu.

1.

Prije nego što je Andrew Wiles dokazao Fermatov teorem, tačnije se zvala hipoteza, odnosno Fermatova pretpostavka. Činjenica je da je teorema, po definiciji, već dokazana izjava. Međutim, iz nekog razloga ovo ime je priloženo ovoj izjavi.

2.

Ako u Fermatovoj teoremi postavimo n = 2, onda takva jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Ova rješenja se nazivaju "pitagorine trojke". Ovo ime su dobili jer odgovaraju pravokutnim trokutima čije su stranice izražene upravo takvim skupovima brojeva. Možete generisati Pitagorine trojke koristeći ove tri formule (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Moramo zamijeniti različite vrijednosti m i n u ove formule, a rezultat će biti trojke koje su nam potrebne. Glavna stvar ovdje je, međutim, osigurati da će rezultirajući brojevi biti veći od nule - dužine se ne mogu izraziti kao negativni brojevi.

Inače, lako je vidjeti da ako se svi brojevi u pitagorinoj trojci pomnože nekim brojem koji nije nula, dobija se nova pitagorina trojka. Stoga je razumno proučavati trojke, u kojima tri broja zajedno nemaju zajednički djelitelj. Shema koju smo opisali nam omogućava da dobijemo sve takve trojke - ovo više nije jednostavan rezultat.

3.

Dana 1. marta 1847. godine, na sastanku Pariške akademije nauka, dva matematičara - Gabriel Lamé i Augustin Cauchy - objavili su da su na ivici dokazivanja izvanredne teoreme. Utrkivali su se da objave dokaze. Većina akademika je navijala za Lamea, budući da je Cauchy bio samozadovoljni, netolerantni vjerski fanatik (i, naravno, apsolutno briljantan matematičar sa pola radnog vremena). Međutim, meču nije bilo suđeno da se završi - preko svog prijatelja Josepha Liouvillea, njemački matematičar Ernst Kummer obavijestio je akademike da postoji ista greška u dokazima Cauchyja i Lamea.

U školi je dokazano da je dekompozicija broja na proste faktore jedinstvena. Oba matematičara su vjerovala da će, ako pogledamo proširenje cijelih brojeva u složenom slučaju, ovo svojstvo - jedinstvenost - biti sačuvano. Međutim, nije.

Važno je napomenuti da ako uzmemo u obzir samo m + i n, onda je proširenje jedinstveno. Takvi brojevi se nazivaju Gausovim. Ali Laméov i Cauchyjev rad zahtijevao je faktorizaciju u ciklotomskim poljima. To su, na primjer, brojevi u kojima su m i n racionalni, a i zadovoljava svojstvo i^k = 1.

4.

Fermatova teorema za n = 3 je jasna geometrijsko značenje. Zamislimo da imamo mnogo malih kockica. Sastavimo od njih dvije velike kocke. U ovom slučaju, naravno, strane će biti cijeli brojevi. Da li je moguće pronaći dvije tako velike kocke da bismo, rastavljajući ih na sastavne male kocke, od njih sastavili jednu veliku kocku? Fermatova teorema kaže da se to nikada ne može učiniti. Smiješno je da ako postavite isto pitanje za tri kocke, odgovor je da. Na primjer, postoji ovaj kvartet brojeva, koji je otkrio divni matematičar Srinivas Ramanujan:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

U istoriji Fermaove teoreme zapažen je Leonard Euler. Nije baš uspio dokazati tvrdnju (pa čak ni pristupiti dokazu), ali je formulirao hipotezu da je jednadžba

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

nema rješenja u cijelim brojevima. Svi pokušaji da se nađe rješenje za takvu jednačinu bili su neuspješni. Tek 1988. Nahum Elkies sa Harvarda uspio je pronaći protuprimjer. izgleda ovako:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Ova formula se obično pamti u kontekstu numeričkog eksperimenta. Po pravilu, u matematici to izgleda ovako: postoji neka formula. Matematičar provjerava ovu formulu u jednostavnim slučajevima, uvjerava se u njenu istinitost i formulira neku hipotezu. Zatim on (iako češće neko od njegovih postdiplomaca ili studenata) napiše program kojim će provjeriti da li je formula ispravna za dovoljno velike brojeve koji se ne mogu prebrojati rukom (govorimo o jednom takvom eksperimentu sa prostim brojevima). Ovo, naravno, nije dokaz, već odličan razlog za iznošenje hipoteze. Sve ove konstrukcije su zasnovane na razumnoj pretpostavci da ako postoji protuprimjer neke razumne formule, onda ćemo ga pronaći dovoljno brzo.

Ojlerova hipoteza nas podsjeća da je život mnogo raznolikiji od naših fantazija: prvi protuprimjer može biti koliko god želimo.

6.

U stvari, naravno, Andrew Wiles nije pokušavao da dokaže Fermatov teorem - on je rješavao teži problem nazvan Taniyama-Shimura pretpostavka. Postoje dvije divne klase objekata u matematici. Prvi se nazivaju modularni oblici i u suštini su funkcije na prostoru Lobačevskog. Ove funkcije se ne mijenjaju s kretanjem ove ravni. Druga se naziva “eliptične krive” i predstavlja krivulje definisane jednadžbom trećeg stepena na kompleksnoj ravni. Oba objekta su veoma popularna u teoriji brojeva.

Pedesetih godina prošlog veka u biblioteci Univerziteta u Tokiju susrela su se dva talentovana matematičara Yutaka Taniyama i Goro Shimura. U to vrijeme na univerzitetu nije bilo posebne matematike: jednostavno nije imao vremena da se oporavi nakon rata. Kao rezultat toga, naučnici su učili koristeći stare udžbenike i na seminarima raspravljali o problemima za koje se u Evropi i SAD-u smatralo da su riješeni i da nisu posebno relevantni. Taniyama i Shimura su otkrili da postoji određena podudarnost između modularnih oblika i eliptičkih funkcija.

Testirali su svoju hipotezu na nekim jednostavnim klasama krivulja. Ispostavilo se da radi. Tako su pretpostavili da ova veza uvijek postoji. Tako se pojavila hipoteza Taniyama-Shimura, a tri godine kasnije Taniyama je izvršio samoubistvo. Godine 1984. njemački matematičar Gerhard Frey pokazao je da ako je Fermatova teorema lažna, onda je pretpostavka Taniyama-Shimura lažna. Iz ovoga je slijedilo da će onaj ko dokaže ovu hipotezu dokazati i teoremu. To je upravo ono što je Wiles uradio - iako ne sasvim uopšteno.

7.

Wiles je proveo osam godina dokazujući hipotezu. I tokom pregleda, recenzenti su u njemu pronašli grešku koja je "ubila" većinu dokaza, negirajući sve godine rada. Jedan od recenzenata, po imenu Richard Taylor, preuzeo je na sebe da zakrpi ovu rupu sa Wilesom. Dok su radili pojavila se poruka da je Elkies, isti onaj koji je pronašao kontraprimjer Ojlerovoj pretpostavci, našao i kontraprimjer Fermatovoj teoremi (kasnije se ispostavilo da je ovo prvoaprilska šala). Wiles je postao depresivan i nije želio da nastavi - rupa u dokazima se neće zatvoriti. Taylor je nagovorio Wilesa da se bori još mjesec dana.

Desilo se čudo i do kraja ljeta matematičari su uspjeli napraviti iskorak - ovako su nastala djela “Modularne eliptičke krive i Fermatova posljednja teorema” Andrewa Wilesa (pdf) i “Teorijske osobine nekih Heckeovih algebri” Richarda Rođeni su Taylor i Andrew Wiles. Ovo je već bio tačan dokaz. Objavljena je 1995. godine.

8.

1908. matematičar Paul Wolfskehl je umro u Darmstadtu. Iza sebe je ostavio testament u kojem je matematičkoj zajednici dao 99 godina da pronađe dokaz Fermatove posljednje teoreme. Autor dokaza je trebao dobiti 100 hiljada maraka (autor kontraprimjera, inače, ne bi dobio ništa). Prema široko rasprostranjenoj legendi, Wolfskehl je bio motiviran da podari takav poklon matematičarima ljubavlju. Evo kako Simon Singh opisuje legendu u svojoj knjizi Fermatova posljednja teorema:

Priča počinje tako što se Wolfskehl zaljubljuje u prelijepu ženu, čiji identitet nikada nije utvrđen. Nažalost po Wolfskela, tajanstvena žena ga je odbila. Pao je u tako duboko očajanje da je odlučio da izvrši samoubistvo. Wolfskel je bio strastven čovjek, ali ne i impulzivan, i stoga je počeo da razrađuje svoju smrt do svakog detalja. Odredio je datum za svoje samoubistvo i odlučio da puca sebi u glavu u ponoć. Tokom preostalih dana, Wolfskel je odlučio da dovede u red svoje poslove koji su išli odlično, a posljednjeg dana je napravio testament i pisao pisma bliskim prijateljima i rođacima.

Wolfskel je radio tako marljivo da je sav posao završio prije ponoći i, kako bi nekako popunio preostale sate, otišao u biblioteku, gdje je počeo prelistavati matematičke časopise. Ubrzo je naišao na Kummerov klasični članak, u kojem je objasnio zašto Cauchy i Lamé nisu uspjeli. Kummerov rad bio je jedna od najznačajnijih matematičkih publikacija svog vijeka i bio je najbolje štivo za matematičara koji razmišlja o samoubistvu. Wolfskel je pažljivo pratio Kummerove proračune, red po red. Odjednom, Wolfskehlu se učinilo da je otkrio prazninu: autor je napravio pretpostavku i nije opravdao ovaj korak u svom rasuđivanju. Wolfskehl se pitao da li je zaista otkrio ozbiljan jaz ili je Kummerova pretpostavka razumna. Ako bi se otkrio jaz, postojala je šansa da se Fermatova posljednja teorema može dokazati mnogo lakše nego što su mnogi vjerovali.

Wolfskehl je sjeo za stol, pažljivo analizirao "pogrešan" dio Kummerovog rezonovanja i počeo da skicira mini-dokaz koji je trebao ili podržati Kummerov rad ili pokazati pogrešnost njegove pretpostavke i, kao rezultat toga, opovrgnuti sve njegove argumentima. Do zore, Wolfskel je završio svoje proračune. Loša (sa matematičke tačke gledišta) vijest je bila da je Kummerov dokaz popravljen, a Fermatova posljednja teorema ostala je nedostupna. Ali bilo je dobrih vijesti: vrijeme određeno za samoubistvo je prošlo, a Wolfskehl je bio toliko ponosan što je uspio otkriti i popuniti prazninu u radu velikog Ernesta Kummera da su se njegov očaj i tuga sami raspršili. Matematika mu je vratila želju za životom.

Međutim, postoji alternativna verzija. Prema njenim riječima, Wolfskehl se bavio matematikom (i, zapravo, Fermatovom teoremom) zbog progresivne multiple skleroze, koja ga je spriječila da radi ono što voli – da bude doktor. A novac je ostavio matematičarima da ga ne bi ostavio svojoj ženi koju je do kraja života jednostavno mrzeo.

9.

Pokušaji da se Fermatov teorem dokaže korištenjem elementarnih metoda doveli su do pojave čitave klase čudnih ljudi zvanih “fermatisti”. Bavili su se izvođenjem ogromne količine dokaza i nisu nimalo očajavali kada su pronašli grešku u ovim dokazima.

Na Fakultetu za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog univerziteta postojao je legendarni lik po imenu Dobretsov. Sakupio je sertifikate sa raznih odseka i koristeći ih upisao na Mašinsko-matematički fakultet. To je urađeno isključivo da se pronađe žrtva. Nekako je naišao na mladog postdiplomca (budućeg akademika Novikova). On je, u svojoj naivnosti, počeo pažljivo proučavati hrpu papira koje mu je Dobretsov dao uz riječi, kažu, evo dokaza. Nakon još jednog "evo greške..." Dobrecov je uzeo gomilu i strpao je u svoju aktovku. Iz druge aktovke (da, šetao je sa dvije aktovke po Mašinsko-matematičkom fakultetu) izvadio je drugu gomilu, uzdahnuo i rekao: „Pa hajde onda da pogledamo opciju 7 B“.

Inače, većina ovih dokaza počinje rečenicom „Pomerimo jedan od pojmova na desnu stranu jednakosti i razložimo ga na faktore“.

10.

Priča o teoremi ne bi bila potpuna bez divnog filma “Matematičar i đavo”.

Amandman

Odjeljak 7 ovog članka prvobitno je naveo da je Nahum Elkies pronašao protuprimjer Fermatovoj teoremi, za koju se kasnije pokazalo da je pogrešan. Ovo je netačno: izvještaj iz kontraprimjera bio je prvoaprilska šala. Izvinjavamo se zbog netačnosti.

Andrey Konyaev

Ivliev Yu.A.

Članak je posvećen opisu fundamentalne matematičke greške napravljene u procesu dokazivanja Fermatove posljednje teoreme krajem dvadesetog stoljeća. Otkrivena greška ne samo da iskrivljuje pravo značenje teoreme, već i ometa razvoj novog aksiomatskog pristupa proučavanju stepena brojeva i prirodnih nizova brojeva.

Godine 1995. objavljen je članak, po veličini sličan knjizi, i izvještava o dokazu čuvene Fermatove velike (posljednje) teoreme (WTF) (za povijest teoreme i pokušaje njenog dokazivanja, vidi npr. ). Nakon ovog događaja pojavili su se brojni naučni članci i naučno-popularne knjige koje su propagirale ovaj dokaz, ali nijedan od ovih radova nije otkrio temeljnu matematičku grešku u njemu, koja se uvukla čak ni krivnjom autora, već nekim čudnim optimizmom koji je zahvatio umovi matematičara koji su proučavali ovaj problem i srodna pitanja. Psihološki aspekti ovog fenomena su proučavani u. Ovdje dajemo detaljnu analizu nastale greške, koja nije privatne prirode, već je posljedica pogrešnog razumijevanja svojstava potencija cijelih brojeva. Kao što je pokazano u, Fermatov problem je ukorijenjen u novom aksiomatskom pristupu proučavanju ovih svojstava, koji je još uvijek u moderna nauka nije korišteno. Ali pogrešan dokaz stao mu je na put, pružajući stručnjacima za teoriju brojeva lažne smjernice i vodeći istraživače Fermatovog problema udaljavajući se od njegovog izravnog i adekvatnog rješenja. Ovaj rad je posvećen otklanjanju ove prepreke.

1. Anatomija greške napravljene tokom WTF dokaza

U procesu veoma dugog i zamornog razmišljanja, Fermatova originalna izjava je preformulisana u smislu poređenja Diofantove jednačine p-tog stepena sa eliptičkim krivuljama 3. reda (vidi Teoreme 0,4 i 0,5 in). Ovo poređenje natjeralo je autore praktično kolektivnog dokaza da najave da njihova metoda i rezonovanje vode do konačnog rješenja Fermatovog problema (podsjetimo da WTF nije imao priznate dokaze za slučaj proizvoljnih cjelobrojnih potencija cijelih brojeva sve do 90-ih godina prošlog stoljeća). veka). Svrha ovog razmatranja je da se utvrdi matematička neispravnost gornjeg poređenja i, kao rezultat analize, da se pronađe fundamentalna greška u dokazu prikazanom u.

a) Gdje i koja je greška?

Dakle, slijedimo tekst, gdje se na strani 448 kaže da se nakon „duhovite ideje“ G. Freya otvorila mogućnost dokazivanja WTF-a. 1984. G. Frey je predložio i

K. Ribet je kasnije dokazao da pretpostavljena eliptična kriva koja predstavlja hipotetičko cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

ne može biti modularna. Međutim, A. Wiles i R. Taylor su dokazali da je svaka polustabilna eliptična kriva definirana nad poljem racionalnih brojeva modularna. To je dovelo do zaključka o nemogućnosti cjelobrojnih rješenja Fermatove jednadžbe i, posljedično, o valjanosti Fermatove tvrdnje, koja je u notaciji A. Wilesa zapisana kao Teorem 0.5: neka postoji jednakost

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Gdje u, v, w - racionalni brojevi, cjelobrojni indeks p ≥ 3; tada je (2) zadovoljeno samo ako uvw = 0 .

Sada bi se, očigledno, trebali vratiti i kritički razmisliti o tome zašto je kriva (1) a priori percipirana kao eliptička i kakva je njena stvarna veza sa Fermatovom jednačinom. Anticipirajući ovo pitanje, A. Wiles se poziva na rad Y. Hellegouarcha, u kojem je pronašao način da poveže Fermatovu jednačinu (vjerovatno riješenu cijelim brojevima) s hipotetičkom krivom trećeg reda. Za razliku od G. Freya, I. Elleguarche nije povezao svoju krivu sa modularnim oblicima, međutim, njegova metoda dobijanja jednačine (1) je korištena za dalje unapređenje dokaza A. Wilesa.

Pogledajmo izbliza posao. Autor svoje razmišljanje vodi u terminima projektivne geometrije. Pojednostavljujući neke od njegovih notacija i dovodeći ih u skladu sa , nalazimo da je Abelova kriva

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

upoređuje se Diofantova jednačina

x p+ y p+ z p = 0 (4)

Gdje x, y, z su nepoznati cijeli brojevi, p je cjelobrojni eksponent iz (2), a rješenja Diofantove jednadžbe (4) α p , β p , γ p koriste se za pisanje Abelove krive (3).

Sada, da bismo bili sigurni da je ovo eliptična kriva 3. reda, potrebno je razmotriti varijable X i Y u (3) u Euklidovoj ravni. Da bismo to učinili, koristimo dobro poznato pravilo aritmetike eliptičkih krivulja: ako postoje dvije racionalne točke na kubičnoj algebarskoj krivulji i prava koja prolazi kroz te točke siječe ovu krivu u drugoj tački, tada je potonja također racionalna točka . Hipotetička jednačina (4) formalno predstavlja zakon sabiranja tačaka na pravoj liniji. Ako izvršimo promjenu varijabli x p = A, y p = B, z p = C i usmjeriti rezultirajuću pravu liniju duž X ose u (3), tada će ona presjeći krivulju 3. stepena u tri tačke: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), što se odražava u zapisu Abelove krive (3) iu sličnoj notaciji (1). Međutim, da li je kriva (3) ili (1) zapravo eliptična? Očigledno ne, jer se segmenti euklidske linije, kada se na njoj sabiraju tačke, uzimaju na nelinearnoj skali.

Vraćajući se na linearne koordinatne sisteme euklidskog prostora, umjesto (1) i (3) dobijamo formule koje se jako razlikuju od formula za eliptičke krive. Na primjer, (1) može biti sljedećeg oblika:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

gdje je ξ p = x, η p = y, a pozivanje na (1) u ovom slučaju da se izvede WTF izgleda nelegitimno. Uprkos činjenici da (1) zadovoljava neke kriterijume za klasu eliptičkih krivih, on ne zadovoljava najvažniji kriterijum da je jednačina 3. stepena u linearnom koordinatnom sistemu.

b) Klasifikacija grešaka

Dakle, vratimo se još jednom na početak razmatranja i vidimo kako se dolazi do zaključka o istinitosti WTF-a. Prvo, pretpostavlja se da postoji neko rješenje Fermatove jednadžbe u pozitivnim cijelim brojevima. Drugo, ovo rješenje se proizvoljno ubacuje u algebarski oblik poznatog oblika (ravna kriva stepena 3) pod pretpostavkom da tako dobijene eliptičke krive postoje (druga nepotvrđena pretpostavka). Treće, budući da druge metode dokazuju da je određena konstruirana kriva nemodularna, to znači da ona ne postoji. Ovo dovodi do zaključka: ne postoji cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe i stoga je WTF ispravan.

U ovim argumentima postoji jedna slaba karika za koju se nakon detaljne provjere ispostavi da je greška. Ova greška je napravljena u drugoj fazi postupka dokazivanja, kada se pretpostavlja da je hipotetičko rješenje Fermatove jednačine također rješenje algebarske jednačine 3. stepena koja opisuje eliptičku krivu poznatog oblika. Sama po sebi, takva pretpostavka bi bila opravdana da je naznačena kriva zaista eliptična. Međutim, kao što se vidi iz tačke 1a), ova kriva je predstavljena u nelinearnim koordinatama, što je čini „iluzornom“, tj. ne postoje u linearnom topološkom prostoru.

Sada moramo jasno klasifikovati pronađenu grešku. Ona leži u činjenici da se ono što treba dokazati predstavlja kao argument dokaza. U klasičnoj logici ova greška je poznata kao "začarani krug". U ovom slučaju se cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe uspoređuje (očigledno, vjerojatno jedinstveno) sa fiktivnom, nepostojećom eliptičnom krivom, a zatim se sav patos daljnjeg rezoniranja troši na dokazivanje da je određena eliptična kriva ovog oblika, dobivena iz hipotetičkih rješenja Fermatove jednadžbe, ne postoji.

Kako se dogodilo da je tako elementarna greška promašena u ozbiljnom matematičkom radu? To se vjerovatno dogodilo zbog činjenice da "iluzorni" objekti ranije nisu proučavani u matematici. geometrijske figure navedenog tipa. Zaista, koga bi mogao zanimati, na primjer, fiktivni krug dobijen iz Fermatove jednačine zamjenom varijabli x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Uostalom, njena jednadžba C 2 = A 2 + B 2 nema cjelobrojna rješenja za cijeli broj x, y, z i n ≥ 3. U nelinearnim koordinatnim osa X i Y, takav krug bi bio opisan jednadžbom, prema izgled vrlo sličan standardnom obliku:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

gdje A i B više nisu varijable, već specifični brojevi određeni gornjom zamjenom. Ali ako se brojevima A i B daju izvorni oblik, koji se sastoji u njihovom karakteru stepena, onda heterogenost notacije u faktorima na desnoj strani jednadžbe odmah upada u oči. Ova karakteristika pomaže u razlikovanju iluzije od stvarnosti i prelasku s nelinearnih na linearne koordinate. S druge strane, ako brojeve posmatramo kao operatore kada ih upoređujemo sa varijablama, kao na primjer u (1), onda oba moraju biti homogene veličine, tj. moraju imati iste diplome.

Ovo razumijevanje potencija brojeva kao operatora nam također omogućava da vidimo da poređenje Fermatove jednadžbe sa iluzornom eliptičnom krivom nije jednoznačno. Uzmimo, na primjer, jedan od faktora s desne strane (5) i razložimo ga na p linearnih faktora, uvodeći kompleksan broj r takav da je r p = 1 (vidi na primjer):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Tada se oblik (5) može predstaviti kao dekompozicija na proste faktore kompleksnih brojeva prema tipu algebarskog identiteta (6), međutim, jedinstvenost takve dekompozicije u opštem slučaju je upitna, kao što je svojevremeno pokazao Kummer .

2. Zaključci

Iz prethodne analize proizilazi da takozvana aritmetika eliptičkih krivulja nije u stanju da rasvijetli gdje tražiti dokaz WTF-a. Nakon rada, Fermatova izjava, inače, uzeta kao epigraf ovog članka, počela je da se doživljava kao istorijska šala ili podvala. Međutim, u stvarnosti se ispostavilo da se nije šalio Fermat, već stručnjaci koji su se okupili na matematičkom simpozijumu u Oberwolfachu u Njemačkoj 1984. godine, na kojem je G. Frey iznio svoju duhovitu ideju. Posljedice takve neoprezne izjave dovele su matematiku u cjelinu na rub gubitka povjerenja javnosti, što je detaljno opisano u i što nužno postavlja pitanje odgovornosti naučnih institucija prema društvu. Usporedba Fermatove jednadžbe sa Frey-ovom krivuljom (1) je „zaključak“ cijelog Wilesovog dokaza u vezi s Fermatovom teoremom, a ako nema korespondencije između Fermatove krive i modularnih eliptičkih krivulja, onda nema dokaza.

Nedavno su se pojavili različiti izvještaji na Internetu da su neki istaknuti matematičari konačno shvatili Wilesov dokaz Fermatove teoreme, smislivši za to opravdanje u obliku „minimalnog“ ponovnog izračunavanja cijelih tačaka u Euklidskom prostoru. Međutim, nikakve inovacije ne mogu poništiti klasične rezultate koje je čovječanstvo već dobilo u matematici, a posebno činjenicu da iako se bilo koji redni broj poklapa sa svojim kvantitativnim analogom, on ne može biti zamjena za njega u operacijama međusobnog poređenja brojeva, pa stoga sa neizbježnim zaključkom slijedi da Freyeva kriva (1) nije inicijalno eliptična, tj. zar nije po definiciji.

BIBLIOGRAFIJA:

Ivliev Yu.A. Rekonstrukcija izvornog dokaza Fermatove posljednje teoreme - United Scientific Journal (odjeljak "Matematika"). april 2006. br. 7 (167) str. 3-9, vidi i Praci Lugansk ogranak Međunarodne akademije informatizacije. Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine. Nacionalni univerzitet Skhidnoukransky nazvan po. V.Dal. 2006. br. 2 (13) str.19-25.
Ivliev Yu.A. Najveća naučna prevara 20. veka: „dokaz” Fermaove poslednje teoreme – Prirodne i inženjerske nauke (odeljak „Istorija i metodologija matematike”). avgust 2007. br. 4 (30) str.34-48.
Edwards G. (Edwards H.M.) Fermatova posljednja teorema. Genetski uvod u algebarsku teoriju brojeva. Per. sa engleskog uređeno od B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 str.
Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI str.253-263.
Wiles A. Modularne eliptičke krive i Fermatova posljednja teorema - Annals of Mathematics. Maj 1995. v.141 Druga serija br. 3 str.443-551.

Bibliografska veza

Ivliev Yu.A. WILLESOV LAŽNI DOKAZ FERMINE POSLJEDNJE TEOREME // Fundamentalna istraživanja. – 2008. – br. 3. – str. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (datum pristupa: 03.03.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodnih nauka"

Dakle, Fermatova posljednja teorema (često nazvana Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, vrlo je jednostavna po prirodi i razumljiva svima sa srednjom stručnom spremom. Kaže da formula a na stepen od n + b na stepen od n = c na stepen od n nema prirodna (tj. ne razlomka) rešenja za n > 2. Sve izgleda jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri više od tri i po vijeka mučili su se s traženjem rješenja.

Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati...

Postoji li mnogo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Ovdje se radi o tome da Fermatova posljednja teorema predstavlja najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak problem, a ipak njenu formulaciju može razumjeti svako ko ima nivo 5. razreda. srednja škola, ali dokaz nije ni za svakog profesionalnog matematičara. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u matematici ne postoji nijedan problem koji bi se mogao tako jednostavno formulisati, a koji je tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?

Počnimo od Pitagorinih pantalona. Formulacija je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavan jer je zasnovan na matematičkoj izjavi koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravougaonog trougla kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.

U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cjelobrojne trojke koje zadovoljavaju jednakost x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opšte formule da ih pronađem. Vjerovatno su pokušali tražiti trojke ili više visoki stepeni. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su napustili svoje beskorisne pokušaje. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.

Odnosno, lako je odabrati skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x²+y²=z²

Počevši od 3, 4, 5 - zaista, mlađi učenik razumije da je 9 + 16 = 25.

Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.

I tako dalje. Šta ako uzmemo sličnu jednačinu x³+y³=z³? Možda ima i takvih brojeva?

I tako dalje (slika 1).

Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, njegovo odsustvo. Kada trebate dokazati da rješenje postoji, možete i trebate jednostavno predstaviti ovo rješenje.

Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - i evo ga, rješenje! (dati rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsustvo?

Recite: “Nisam našao takva rješenja”? Ili možda niste dobro izgledali? Šta ako postoje, samo veoma veliki, veoma veliki, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još uvek nema dovoljno snage? Ovo je ono što je teško.

To se može vizuelno prikazati ovako: ako uzmete dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavite ih na jedinične kvadrate, onda iz ove gomile jediničnih kvadrata dobijete treći kvadrat (slika 2):

Ali hajde da uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3) – ne radi. Nema dovoljno kocki, ili su ostale viška:

Ali matematičar iz 17. veka, Francuz Pjer de Fermat, sa entuzijazmom je istraživao opšta jednačina x n +y n =z n . I konačno, zaključio sam: za n>2 ne postoje cjelobrojna rješenja. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: „Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz za ovu tvrdnju, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale.”

Zapravo, teorema bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne pravi greške. Čak i ako nije ostavio dokaze o izjavi, ona je naknadno potvrđena. Štaviše, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.

Nakon Ferma, veliki umovi kao što je Leonhard Euler radili su na potrazi za dokazom (1770. godine predložio je rješenje za n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lamé (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Do sredine 1980-ih postalo je jasno da naučni svet je na putu do konačnog rješenja Fermatove posljednje teoreme, ali tek 1993. matematičari su vidjeli i vjerovali da je trovjekovni ep o pronalaženju dokaza Fermatove posljednje teoreme praktično završen.

Lako se pokazuje da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za jednostavno n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje važeći. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...

Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, matematičarke, Dirichlet i Legendre su nezavisno dokazale teoremu za n=5. Godine 1839, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame je pokazao istinitost teoreme za n=7. Postepeno je teorema dokazana za skoro svih n manje od sto.

Konačno, njemački matematičar Ernst Kummer je u briljantnoj studiji pokazao da se teorema općenito ne može dokazati korištenjem metoda matematike 19. stoljeća. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, ostala je nedodijeljena.

Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskehl odlučio je sebi oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Stvari su se završile prije ponoći. Mora se reći da je Paul bio zainteresovan za matematiku. Nemajući ništa drugo da radi, otišao je u biblioteku i počeo da čita Kumerov čuveni članak. Odjednom mu se učinilo da je Kummer pogriješio u rasuđivanju. Wolfskel je počeo analizirati ovaj dio članka s olovkom u rukama. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazu je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je pocijepao svoja oproštajna pisma i prepisao svoj testament.

Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 tekućih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevske naučno društvo Göttingen, koji je iste godine raspisao konkurs za Wolfskehl nagradu. Osoba koja je dokazala Fermatovu teoremu dobila je 100.000 maraka. Za pobijanje teoreme nije dodijeljen ni fening...

Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme beznadežnim zadatkom i odlučno je odbijala gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se oduševili. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E.M. Landau, čija je odgovornost bila da analizira poslate dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:

Dragi. . . . . . . .

Hvala vam što ste mi poslali rukopis s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... u redu... . Zbog toga ceo dokaz gubi na validnosti.
Profesor E. M. Landau

Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gödelove nalaze, dokazao nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema - hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema neodlučiva?! Ali pravi fanatici Velike Teoreme nisu bili razočarani. Pojava kompjutera iznenada je dala matematičare nova metoda dokaz. Nakon Drugog svjetskog rata, timovi programera i matematičara dokazali su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.

Osamdesetih godina, Samuel Wagstaff je podigao granicu na 25.000, a 1990-ih matematičari su izjavili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti od n do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak i trilion triliona, on neće postati manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazati Veliku teoremu značilo je dokazati je za SVE n ide u beskonačnost.

Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su istraživati modularne forme. Ovi oblici generiraju nizove brojeva, svaki sa svojom serijom. Igrom slučaja, Taniyama je uporedio ove serije sa serijama generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nije pronađena nikakva veza između tako različitih objekata.

Međutim, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima blizanca - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.

Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatova posljednja teorema bila neraskidivo povezana s Taniyama-Shimura pretpostavkom. Pošto smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednačine, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a sve je manje bilo nade za uspjeh.

Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da ne može odustati od nje. Kao školarac, student i postdiplomac pripremao se za ovaj zadatak.

Saznavši za otkrića Kena Ribeta, Wiles je bezglavo upao u dokazivanje pretpostavke Tanijama-Šimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. „Shvatio sam da sve što ima bilo kakve veze sa Fermaovom poslednjom teoremom izaziva preveliko interesovanje... Previše gledalaca očigledno ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada se isplatilo; Wiles je konačno završio dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke.

Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni rad na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu), rad na kojem je trajao više od sedam godina.

Dok se hajka nastavila u štampi, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo nemirno ljeto čekajući povratne informacije od recenzenata, nadajući se da će uspjeti dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su ocijenili da je presuda nedovoljno obrazložena.

Ispostavilo se da ova odluka sadrži grubu grešku, iako je generalno ispravna. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć čuvenog specijaliste za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljeni i prošireni dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu “Annals of Mathematics”. Ali ni tu se priča nije završila – konačna tačka je postignuta tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.

“...pola minuta nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, poklonio sam Nady rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Wales). Nisam li još rekao da su matematičari čudni ljudi?

Ovoga puta nije bilo sumnje u dokaze. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.

Od tog trenutka je prošlo dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje da je Fermatova posljednja teorema nerješiva. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo je onih koji su zadovoljni da Velika teorema zahtijeva rješenje od 130 stranica!

Stoga su sada napori mnogih matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačeni u potragu za jednostavnim i konciznim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće voditi nikuda...

Sudeći po popularnosti upita "Fermatova teorema - kratak dokaz" ovo matematički problem zaista interesuje mnoge ljude. Ovu teoremu prvi je iznio Pierre de Fermat 1637. godine na rubu kopije Aritmetike, gdje je tvrdio da ima rješenje koje je preveliko da stane na ivicu.

Prvi uspješan dokaz objavljen je 1995. godine, potpuni dokaz Fermatove teoreme Andrew Wilesa. To je opisano kao "zapanjujući napredak" i dovelo je do toga da Wiles dobije Abelovu nagradu 2016. Dok je opisan relativno kratko, dokaz Fermatove teoreme je također dokazao veći dio teoreme modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima i efikasne metode porast modularnosti. Ova dostignuća su unapredila matematiku za 100 godina. Dokaz Fermatove male teoreme danas nije nešto neobično.

Nerešeni problem podstakao je razvoj algebarske teorije brojeva u 19. veku i potragu za dokazom teoreme modularnosti u 20. veku. To je jedna od najistaknutijih teorema u istoriji matematike i, prije potpunog dokaza Fermatove posljednje teoreme dijeljenjem, bila je u Ginisovoj knjizi rekorda kao "najteži matematički problem", čija je jedna od karakteristika da ima najveći broj neuspjelih dokaza.

Istorijska referenca

Pitagorina jednadžba x 2 + y 2 = z 2 ima beskonačan broj pozitivnih cjelobrojnih rješenja za x, y i z. Ova rješenja su poznata kao Pitagorina trojstva. Oko 1637. godine, Fermat je napisao na margini knjige da opštija jednačina a n + b n = c n nema rješenja u prirodnim brojevima ako je n cijeli broj veći od 2. Iako je sam Fermat tvrdio da ima rješenje za svoj problem, on jeste ne ostavlja nikakve detalje o njenom dokazu. Elementarni dokaz Fermatove teoreme, koji je naveo njen tvorac, bio je prije njegov hvalisavi izum. Knjiga velikog francuskog matematičara otkrivena je 30 godina nakon njegove smrti. Ova jednačina, nazvana Fermatova posljednja teorema, ostala je neriješena u matematici tri i po stoljeća.

Teorema je na kraju postala jedan od najznačajnijih neriješenih problema u matematici. Pokušaji da se ovo dokaže izazvali su značajan napredak u teoriji brojeva, a vremenom je Fermatova posljednja teorema postala poznata kao neriješen problem u matematici.

Kratka istorija dokaza

Ako je n = 4, kao što je Fermat sam dokazao, dovoljno je dokazati teoremu za indekse n, koji su prosti brojevi. U naredna dva stoljeća (1637-1839) pretpostavka je dokazana samo za proste brojeve 3, 5 i 7, iako je Sophie Germain ažurirala i dokazala pristup koji se primjenjuje na cijelu klasu prostih brojeva. Sredinom 19. stoljeća, Ernst Kummer je proširio ovo i dokazao teoremu za sve regularne proste brojeve, što je uzrokovalo da se nepravilni prosti brojevi analiziraju pojedinačno. Nadovezujući se na Kummerov rad i koristeći sofisticirano kompjutersko istraživanje, drugi matematičari su uspjeli proširiti rješenje teoreme, s ciljem da pokriju sve glavne eksponente do četiri miliona, ali dokaz za sve eksponente još uvijek nije bio dostupan (što znači da su matematičari općenito smatrali rješenjem teoremi nemoguće, izuzetno teško ili nedostižno sa trenutnim znanjem).

Rad Shimura i Taniyama

Godine 1955. japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama sumnjali su da postoji veza između eliptičkih krivulja i modularnih oblika, dvije potpuno različite oblasti matematike. U to vrijeme poznata kao Taniyama-Shimura-Weil pretpostavka i (na kraju) kao teorema modularnosti, stajala je sama za sebe, bez očigledne veze sa Fermatovom posljednjom teoremom. Naširoko se smatralo važnom matematičkom teoremom za sebe, ali se smatralo (kao i Fermatov teorem) nemoguće dokazati. Istovremeno, dokaz Fermatove velike teoreme (metodom dijeljenja i upotrebom složenih matematičkih formula) izveden je tek pola stoljeća kasnije.

Godine 1984. Gerhard Frey je uočio očiglednu vezu između ova dva prethodno nepovezana i neriješena problema. Potpuni dokaz da su dvije teoreme bile blisko povezane objavio je 1986. Ken Ribet, koji je izgradio djelomični dokaz Jean-Pierre Serresa, koji je dokazao sve osim jednog dijela, poznatog kao "epsilon pretpostavka". Jednostavno rečeno, ovi radovi Freya, Serresa i Ribea pokazali su da ako se teorema modularnosti može dokazati za barem polustabilnu klasu eliptičkih krivulja, onda bi prije ili kasnije bio otkriven i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Svako rješenje koje može biti kontradiktorno Fermatovoj posljednjoj teoremi također se može koristiti za proturječnost teoremi modularnosti. Stoga, ako se teorema o modularnosti pokaže istinitom, onda po definiciji ne može postojati rješenje koje je u suprotnosti s posljednjom Fermatovom teoremom, što znači da je trebalo uskoro biti dokazano.

Iako su obje teoreme bile teški problemi u matematici, smatrani nerješivima, rad dvojice Japanaca bio je prvi prijedlog o tome kako bi se posljednja Fermatova teorema mogla proširiti i dokazati za sve brojeve, a ne samo za neke. Istraživačima koji su odabrali temu istraživanja bila je važna činjenica da je, za razliku od Fermatove posljednje teoreme, teorema modularnosti bila glavno aktivno područje istraživanja za koje je razvijen dokaz, a ne samo istorijska neobičnost, tako da je vrijeme provedeno na rad na tome bi mogao biti opravdan sa profesionalne tačke gledišta. Međutim, opći konsenzus je bio da rješavanje Taniyama-Shimura pretpostavke nije praktično.

Fermatova posljednja teorema: Wilesov dokaz

Nakon što je saznao da je Ribet dokazao da je Freyeva teorija tačna, engleski matematičar Andrew Wiles, koji je bio zainteresiran za Fermatovu posljednju teoremu od djetinjstva i imao iskustva u radu s eliptičkim krivuljama i srodnim poljima, odlučio je pokušati dokazati Taniyama-Shimura pretpostavku kao način da dokazati posljednju Fermatovu teoremu. Godine 1993, šest godina nakon što je objavio svoj cilj, dok je tajno radio na problemu rješavanja teoreme, Wiles je uspio dokazati srodnu pretpostavku, koja će mu zauzvrat pomoći da dokaže Fermatovu posljednju teoremu. Wilesov dokument bio je ogroman po veličini i obimu.

Greška je otkrivena u jednom dijelu njegovog originalnog rada tokom recenzije i zahtijevala je još godinu dana saradnje sa Richardom Taylorom da bi se zajednički riješio teorem. Kao rezultat toga, Wilesov konačni dokaz Fermatove posljednje teoreme nije dugo čekao. Godine 1995. objavljen je u mnogo manjem obimu od Wilesovog prethodnog matematičkog rada, jasno pokazujući da nije pogriješio u svojim prethodnim zaključcima o mogućnosti dokazivanja teoreme. Wilesovo postignuće je naširoko izvještavano u popularnoj štampi i popularizirano u knjigama i televizijskim programima. Preostale dijelove Taniyama-Shimura-Weil pretpostavke, koji su sada dokazani i poznati su kao teorema modularnosti, naknadno su dokazali drugi matematičari koji su gradili na Wilesovom radu između 1996. i 2001. godine. Za svoje postignuće, Wiles je nagrađen i dobio je brojne nagrade, uključujući Abelovu nagradu 2016.

Wilesov dokaz Fermatove posljednje teoreme je poseban slučaj rješenja teoreme modularnosti za eliptičke krive. Međutim, ovo je najviše poznati slučaj tako velike matematičke operacije. Uz rješavanje Ribetove teoreme, britanski matematičar je dobio i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Fermatova posljednja teorema i teorema modularnosti su moderni matematičari gotovo univerzalno smatrali nedokazivima, ali Andrew Wiles je uspio sve dokazati naučni svet da su čak i učeni ljudi sposobni da pogreše.

Wiles je prvi put najavio svoje otkriće u srijedu, 23. juna 1993. u predavanju na Cambridgeu pod naslovom "Modularni oblici, eliptične krive i Galois reprezentacije". Međutim, u septembru 1993. godine utvrđeno je da su njegovi proračuni sadržavali grešku. Godinu dana kasnije, 19. septembra 1994., u onome što bi nazvao "najvažnijim trenutkom svog radnog vijeka", Wiles je naišao na otkriće koje mu je omogućilo da ispravi rješenje problema do tačke u kojoj bi moglo zadovoljiti matematičke zajednica.

Karakteristike rada

Dokaz Fermatove teoreme Andrewa Wilesa koristi mnoge tehnike iz algebarske geometrije i teorije brojeva i ima mnogo razgranaka u ovim oblastima matematike. On također koristi standardne konstrukcije moderne algebarske geometrije, kao što su kategorija shema i Iwasawa teorija, kao i druge metode 20. stoljeća koje nisu bile dostupne Pierreu Fermau.

Dva članka koja sadrže dokaze imaju ukupno 129 stranica i pisana su tokom sedam godina. John Coates je ovo otkriće opisao kao jedno od najvećih dostignuća teorije brojeva, a John Conway ga je nazvao glavnim matematičkim dostignućem 20. stoljeća. Wiles je, da bi dokazao posljednju Fermatovu teoremu dokazujući teorem modularnosti za poseban slučaj polustabilnih eliptičkih krivulja, razvio moćne metode za podizanje modularnosti i otkrio nove pristupe brojnim drugim problemima. Za rješavanje posljednje Fermatove teoreme proglašen je vitezom i dobio je druge nagrade. Kada je objavljeno da je Wiles osvojio Abelovu nagradu, Norveška akademija nauka opisala je njegovo postignuće kao "čudesan i elementaran dokaz Fermatove posljednje teoreme".

Kako je bilo

Jedan od ljudi koji je analizirao Wilesov originalni rukopis rješenja teoreme bio je Nick Katz. Tokom svog pregleda, Britancu je postavio niz pitanja koja pojašnjavaju, što je natjeralo Wilesa da prizna da njegov rad jasno sadrži prazninu. Došlo je do greške u jednom kritičnom dijelu dokaza koji je dao procjenu za poredak određene grupe: Ojlerov sistem korišten za proširenje Kolyvaginove i Flachove metode bio je nepotpun. Greška, međutim, nije učinila njegov rad beskorisnim - svaki dio Wilesovog rada bio je vrlo značajan i inovativan sam po sebi, kao i mnoga razvoja i metode koje je stvorio tokom svog rada i koji su uticali na samo jedan dio rukopis. Međutim, ovaj originalni rad, objavljen 1993., zapravo nije pružio dokaz Fermatove posljednje teoreme.

Wiles je proveo skoro godinu dana pokušavajući da ponovo otkrije rešenje teoreme, prvo sam, a zatim u saradnji sa svojim bivšim učenikom Richardom Taylorom, ali se činilo da je sve bilo uzaludno. Do kraja 1993. proširile su se glasine da je Wilesov dokaz propao u testiranju, ali nije poznato koliko je neuspjeh bio ozbiljan. Matematičari su počeli vršiti pritisak na Wilesa da otkrije detalje svog rada, bilo da je završen ili ne, kako bi šira zajednica matematičara mogla istražiti i koristiti sve što je postigao. Umjesto da brzo ispravi svoju grešku, Wiles je samo otkrio dodatne složenosti u dokazu Fermatove posljednje teoreme i konačno shvatio koliko je to teško.

Wiles navodi da je ujutro 19. septembra 1994. godine bio na ivici odustajanja i odustajanja, te se gotovo pomirio sa činjenicom da nije uspio. Bio je voljan objaviti svoje nedovršeno djelo kako bi drugi mogli nadograditi na njemu i otkriti gdje je pogriješio. Engleski matematičar odlučio je dati sebi posljednju šansu i analizirao je teoremu posljednji put kako bi pokušao razumjeti glavne razloge zašto njegov pristup nije uspio, kada je iznenada shvatio da Kolyvagin-Flac pristup neće funkcionirati dok ne uključi dokaz u proces Iwasawa teorija, što ga čini da funkcioniše.

Dana 6. oktobra, Wiles je zamolio tri kolege (uključujući Faltinsa) da ga pregledaju novi posao, a 24. oktobra 1994. godine predao je dva rukopisa - "Modularne eliptične krive i Fermatova posljednja teorema" i "Teorijske osobine prstena nekih Heckeovih algebri", od kojih je drugi Wiles napisao zajedno s Taylorom i dokazao da su potrebni određeni uvjeti. za opravdanje ispravljenog koraka u glavnom članku.

Ova dva rada su recenzirana i konačno objavljena kao izdanje punog teksta u izdanju Annals of Mathematics iz maja 1995. godine. Andrewovi novi proračuni bili su široko analizirani i na kraju prihvaćeni od strane naučne zajednice. Ovi radovi su utvrdili teoremu modularnosti za polustabilne eliptičke krive, posljednji korak ka dokazivanju Fermatove posljednje teoreme, 358 godina nakon što je stvorena.

Istorija Velikog problema

Rješavanje ove teoreme se vekovima smatra najvećim problemom u matematici. Godine 1816. i ponovo 1850. godine, Francuska akademija nauka ponudila je nagradu za opšti dokaz Fermaove poslednje teoreme. Godine 1857. Akademija je dodijelila 3.000 franaka i zlatna medalja Kummeru za njegovo istraživanje idealnih brojeva, iako se nije prijavio za nagradu. Briselska akademija mu je 1883. ponudila još jednu nagradu.

Wolfskehl nagrada

Godine 1908. njemački industrijalac i matematičar amater Paul Wolfskehl zavještao je 100.000 zlatnih maraka (velika suma za to vrijeme) Getingenskoj akademiji nauka kao nagradu za potpuni dokaz Fermatove posljednje teoreme. Akademija je 27. juna 1908. objavila devet pravila o dodjeli nagrada. Između ostalog, ova pravila su zahtijevala objavljivanje dokaza u recenziranom časopisu. Nagrada je trebala biti dodijeljena tek dvije godine nakon objavljivanja. Konkurs je trebao isteći 13. septembra 2007. - otprilike vek nakon što je počeo. Dana 27. juna 1997. Wiles je primio Wolfschelovu nagradu, a zatim još 50.000 dolara. U martu 2016. dobio je 600.000 eura od norveške vlade kao dio Abelove nagrade za svoj „zapanjujući dokaz Fermatove posljednje teoreme koristeći pretpostavku modularnosti za polustabilne eliptičke krive, otkrivajući nova era u teoriji brojeva." Bio je to svjetski trijumf za skromnog Engleza.

Prije Wilesovog dokaza, Fermatova teorema, kao što je ranije spomenuto, stoljećima se smatrala apsolutno nerješivom. Hiljade netačnih dokaza u drugačije vrijeme su predstavljeni Wolfskehlovoj komisiji, što je iznosilo približno 10 stopa (3 metra) prepiske. Samo u prvoj godini postojanja nagrade (1907-1908) podnesena je 621 prijava koja je tvrdila da rješava teoremu, iako se do 1970-ih ovaj broj smanjio na otprilike 3-4 prijave mjesečno. Prema F. Schlichtingu, Wolfschelovom recenzentu, većina dokaza bila je zasnovana na rudimentarnim metodama koje su se podučavale u školama i često su ih iznosili „ljudi sa tehničkim iskustvom, ali neuspješnom karijerom“. Prema istoričaru matematike Howardu Avesu, Fermatova posljednja teorema postavila je svojevrsni rekord – to je teorema s najviše netačnih dokaza.

Fermatove lovorike pripale su Japancima

Kao što je ranije spomenuto, oko 1955. godine japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama otkrili su moguću vezu između dvije naizgled potpuno različite grane matematike - eliptičkih krivulja i modularnih oblika. Rezultirajuća teorema modularnosti (tada poznata kao Taniyama-Shimura pretpostavka) iz njihovog istraživanja navodi da je svaka eliptična kriva modularna, što znači da se može povezati s jedinstvenom modularnom formom.

Teorija je u početku odbačena kao malo vjerovatna ili vrlo spekulativna, ali je ozbiljnije shvaćena kada je teoretičar brojeva Andre Weyl pronašao dokaze koji podržavaju japanske nalaze. Kao rezultat toga, pretpostavka se često nazivala Taniyama-Shimura-Weil pretpostavka. Postao je dio Langlandsovog programa, koji je lista važnih hipoteza koje zahtijevaju dokaz u budućnosti.

Čak i nakon ozbiljne pažnje, moderni matematičari su ovu pretpostavku prepoznali kao izuzetno teško ili možda nemoguće dokazati. Sada upravo ova teorema čeka Andrewa Wilesa, koji bi svojim rješenjem mogao iznenaditi cijeli svijet.

Fermatova teorema: Perelmanov dokaz

Uprkos popularnom mitu, ruski matematičar Grigorij Perelman, uz svu svoju genijalnost, nema nikakve veze sa Fermaovom teoremom. Što, međutim, ni na koji način ne umanjuje njegove brojne usluge naučnoj zajednici.