Fundamentalni sistem odlučivanja (konkretni primjer). Šta je homogeni sistem linearnih jednačina? Primjer rješavanja homogenog sistema linearnih jednačina
2.4.1. Definicija. Neka nam bude dat nehomogen sistem linearnih jednačina
Razmislite o homogenom sistemu
čija se matrica koeficijenata poklapa sa matricom koeficijenata sistema (2.4.1). Tada se poziva sistem (2.4.2). smanjeni homogeni sistem (2.4.1).
2.4.2. Teorema. Opće rješenje nehomogenog sistema jednako je zbiru nekog posebnog rješenja nehomogenog sistema i opšteg rješenja redukovanog homogenog sistema.
Dakle, za pronalaženje opšteg rešenja za nehomogen sistem (2.4.1) dovoljno je:
1) Istražite kompatibilnost. U slučaju kompatibilnosti:
2) Naći opšte rešenje redukovanog homogenog sistema.
3) Pronađite bilo koje posebno rješenje za originalno (nehomogeno).
4) Sabiranjem pronađenog partikularnog rješenja i opšteg rješenja zadatog naći opšte rješenje originalnog sistema.
2.4.3. Vježbajte. Istražite kompatibilnost sistema i, u slučaju kompatibilnosti, pronađite njegovo opšte rješenje u obliku zbira pojedinačnog i opšteg datog.
Rješenje. a) Da bismo riješili problem, primjenjujemo gornju shemu:
1) Ispitujemo kompatibilnost sistema (po metodi obrubljivanja minora): Rang glavne matrice je 3 (vidi rješenje vježbe 2.2.5, a), a nenulti minor maksimalnog reda je sastavljen od elemenata 1., 2., 4. red i 1., 3., 4. stupac. Da bismo pronašli rang proširene matrice, graničimo je sa 3. redom i 6. kolonom proširene matrice: =0. znači, rg A =rg=3, a sistem je konzistentan. Konkretno, on je ekvivalentan sistemu
2) Nađimo opšte rješenje X 0 smanjeni homogeni sistem
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(vidi rješenje vježbe 2.2.5, a)).
3) Nađimo bilo koje posebno rješenje x h originalnog sistema . Da biste to učinili, u sistemu (2.4.3), ekvivalentnom originalnom, slobodne nepoznate x 2 i x Pretpostavljamo da je 5 jednako, na primjer, nuli (ovo je najpogodniji podatak):
i riješite rezultirajući sistem: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Dakle, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ je posebno rješenje sistema.
4) Naći opće rješenje X n originalnog sistema :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Komentar. Uporedite odgovor koji ste dobili sa drugim odgovorom u primeru 1.2.1 c). Za dobijanje odgovora u prvom obliku za 1.2.1 c) uzimaju se osnovne nepoznanice x 1 , x 3 , x 5 (minor za koji takođe nije jednak nuli), a kao slobodan ¾ x 2 i x 4 .
§3. Neke aplikacije.
3.1. O pitanju matričnih jednačina. Podsjećamo vas na to matrična jednačina preko terena F je jednadžba u kojoj je nepoznata matrica nad poljem F .
Najjednostavnije matrične jednačine su jednačine oblika
SJEKIRA=B , XA =B (2.5.1)
Gdje A , B ¾ data (poznata) matrica nad poljem F , A X ¾ takve matrice, čijom se zamjenom jednačine (2.5.1) pretvaraju u prave matrične jednakosti. Konkretno, matrična metoda određenih sistema se svodi na rješavanje matrične jednadžbe.
U slučaju kada su matrice A u jednačinama (2.5.1) su nedegenerisani, imaju rješenja, respektivno X =A B I X =B.A. .
U slučaju kada je barem jedna od matrica na lijevoj strani jednadžbe (2.5.1) singularna, ova metoda više nije prikladna, jer odgovarajuća inverzna matrica A ne postoji. U ovom slučaju, pronalaženje rješenja jednačina (2.5.1) svodi se na rješavanje sistema.
Ali prvo, hajde da predstavimo neke koncepte.
Nazovimo skup svih rješenja sistema opšta odluka . Nazovimo posebno uzeto rješenje neodređenog sistema privatno rešenje .
3.1.1. Primjer. Riješiti matričnu jednačinu nad poljem R.
A) X = ; b) X = ; V) X = .
Rješenje. a) Kako je =0, onda formula X =A B nije pogodno za rješavanje ove jednačine. Ako u radu XA =B matrica A ima 2 reda, zatim matricu X ima 2 kolone. Broj linija X mora odgovarati broju redova B . Zbog toga X ima 2 linije. dakle, X ¾ neka kvadratna matrica drugog reda: X = . Zamenimo X u originalnu jednačinu:
Množenjem matrica na lijevoj strani (2.5.2) dolazimo do jednakosti
Dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Stoga je (2.5.3) ekvivalentno sistemu
Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu
Rješavajući ga, na primjer, Gausovom metodom, dolazimo do skupa rješenja (5-2 b , b , -2d , d ), Gdje b , d trče nezavisno jedno od drugog R. dakle, X = .
b) Slično kao a) imamo X = i.
Ovaj sistem je nedosljedan (provjerite!). Stoga ova matrična jednačina nema rješenja.
c) Označimo ovu jednačinu sa SJEKIRA =B . Jer A ima 3 kolone i B onda ima 2 kolone X ¾ neka matrica dimenzije 3´2: X = . Stoga imamo sljedeći lanac ekvivalencija:
Posljednji sistem rješavamo Gaussovom metodom (izostavljamo komentare)
Tako dolazimo do sistema
čije je rješenje (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Gdje z , w trče nezavisno jedno od drugog R.
Odgovor: a) X = , b , d Î R.
b) Ne postoje rješenja.
V) X = z , w Î R.
3.2. O pitanju permutabilnosti matrica. Općenito, proizvod matrica je nepromjenjiv, odnosno ako A I B takav da AB I B.A. definisani su, dakle, uopšteno govoreći, AB ¹ B.A. . Ali primjer matrice identiteta E pokazuje da je moguća i komutabilnost A.E. =E.A. za bilo koju matricu A , kad bi samo A.E. I E.A. bili odlučni.
U ovom dijelu ćemo razmotriti probleme pronalaženja skupa svih matrica koje komutiraju sa datom. dakle,
Nepoznato x 1 , y 2 i z 3 može imati bilo koju vrijednost: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Onda
dakle, X = .
Odgovori. A) X d ¾ bilo koji broj.
b) X ¾ skup matrica oblika , gdje je a , b I g ¾ bilo koji broj.
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!Da razumem šta je to fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom. Sada pređimo na stvarni opis svih potrebnih radova. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.
Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?
Uzmimo za primjer sljedeći sistem linearnih jednadžbi:
Hajde da pronađemo rešenje za ovaj linearni sistem jednačina. Za početak, mi potrebno je da napišete matricu koeficijenata sistema.
Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz petog reda i upisati razliku u peti red. 
Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(32)$, trebate oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(42)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 2 iz četvrtog reda i upišete razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 3 iz petog reda i upišete razliku u peti red. 
Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, oni će postati nula. 
Prema ovoj matrici napisati novi sistem jednačina.
Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi treba da pomerimo poslednje dve nepoznate udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo rezultirajući rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Zatim, umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.
Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).
Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice:
Osobine sistema linearnih homogenih jednačina
Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.
Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja nekog sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem rješenja, ako se ovaj skup sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.
Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.
Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina
- Pronalaženje ranga matrice.
- Odabiremo osnovni mol. Razlikujemo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
- Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u bazni minor, jer su posljedice ostalih (prema teoremi o baznom minoru).
- Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice pomjeramo na desnu stranu. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
- Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
- Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo osnovno rješenje sistema.
- U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.
Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1, a 2,...,a m), rangirajte i izrazite vektore na osnovu baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sistema:
Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožimo 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Nađimo rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 preko slobodnih x 4 , odnosno pronašli smo opšte rešenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Gausova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvrše sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.
Razmotrimo druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg konzistentnog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.
Primjer 1. Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.
1. Izrada matrice A i proširena sistemska matrica (1)
2. Istražite sistem (1) za zajedništvo. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija kompatibilnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).
a. Mi nalazimo rA.
Naći rA, razmatraćemo sekvencijalno nenulte minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.
M1=1≠0 (uzimamo 1 iz gornjeg lijevog ugla matrice A).
Graničimo M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. 
. Nastavljamo do granice M1 drugi red i treci stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo ne-nulti mol M2′ drugi red.
Imamo: 
(pošto su prve dvije kolone iste)
(pošto su drugi i treći red proporcionalni).
Vidimo to rA=2, a je osnovni minor matrice A.
b. Mi nalazimo.
Prilično osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih pojmova i svim redovima (imamo samo zadnji red).
. Iz toga slijedi M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Jer M2′- bazni minor matrice A sistemima (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).
(3)
Od osnovnog mola https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
U ovom sistemu postoje dvije slobodne nepoznate ( x2 I x4 ). Zbog toga FSR sistemima (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznate u (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 dobijamo:
.
Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći korištenjem Cramerovog pravila ili bilo koje druge metode). Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo:
Njeno rešenje će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 I x4 , koji smo dodali, dobijamo prvo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Sada vjerujemo u (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:
.
Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:
.
Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemima (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti
γ= C1 β1+S2β2=S1(‑1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2)
Evo C1 , C2 – proizvoljne konstante.
4. Hajde da nađemo jednog privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) Hajde da razmotrimo ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .
(5)
Pomerimo slobodne nepoznanice na desnu stranu x2 I x4.
(6)
Dajmo besplatne nepoznate x2 I x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i stavi ih unutra (6) . Idemo po sistem
Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (pošto je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 I x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sada ostaje samo da to zapišete opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatno rešenje ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).
Ovo znači: 
(7)
6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je opšte rešenje (7) zamena u (1) . Ako se svaka jednadžba pretvori u identitet ( C1 I C2 mora biti uništeno), tada je rješenje pronađeno ispravno.
Zamenićemo (7) na primjer, samo posljednja jednačina sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1
(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1
Gdje je –1=–1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .
Komentar. Provjera je obično prilično glomazna. Može se preporučiti sljedeća “djelimična provjera”: u opštem rješenju sistema (1) dodijelite neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijenite rezultirajuće parcijalno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednačine iz (1) , koji nisu bili uključeni u (5) ). Ako dobijete identitet, onda vjerovatnije, sistemsko rješenje (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.
Primjer 2. Pronađite opšte rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući osnovne nepoznanice u terminima slobodnih.
Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, ekvivalentan sistemu (1).
Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.
sistem (9) Rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući desne strane slobodnim članovima.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opcija 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opcija 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opcija 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opcija 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina
U sklopu nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, Gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.
Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:
To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:
Primjer 1
Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira na to što radite s nulama, one će ostati nule: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.
(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem 
, i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovori:
Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) je jednako broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).
Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Iz članka Kako pronaći rang matrice? Prisjetimo se racionalne tehnike istovremenog smanjivanja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati rezati veliku ribu koja često grize. Približan primjer zadatka na kraju lekcije.
Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi sistemske matrice linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:
Primjer 3
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik. Prva radnja je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:
(1) Treći red je dodan prvom redu, pomnožen sa –1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. U gornjem lijevom kutu dobio sam jedinicu sa “minusom”, koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.
(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je obrisan. Iskreno, nisam forsirao rješenje - ispalo je tako. Ako transformacije izvodite na šablonski način, onda linearna zavisnost linije bi se otkrile nešto kasnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 3.
(4) Promijenjen je predznak prvog reda.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem: 
Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable “sjedi na stepenicama” su glavne, varijabla koja nije dobila “korak” je besplatna.
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu: 
Odgovori: zajednička odluka: 
Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno zapisivati.
Provjera se također vrši prema uobičajenoj šemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i za sve zamjene mora se dobiti zakonska nula.
To bi bilo moguće završiti tiho i mirno, ali rješenje za homogeni sistem jednačina često treba biti predstavljeno u vektorskom obliku korišćenjem fundamentalni sistem rješenja. Molim vas, zaboravite na to za sada analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o matrični rang. Nema potrebe prekrivati terminologiju, sve je prilično jednostavno.
