Varijanca slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable Kako napisati zakon raspodjele slučajne varijable primjeri
kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označavaju velikim slovima Latinski alfabet (X, Y, Z), a njihova značenja - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla pozvao slučajna vrijednost, uzimajući samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon distribucije može se grafički specificirati – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Basic numeričke karakteristike diskretna slučajna varijabla :
- Matematičko očekivanje
(prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomna distribucija M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Rješenje. U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele:
Naći ćemo očekivanu vrijednost vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).
Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula
. S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:
Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.
3. Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H
Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 postojaće F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.
 |
Grafikon funkcije F(x)
4.
Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Rješenje.
Verovatnoća da nijedan amblem nije nacrtan: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Verovatnoća dobijanja tri grba: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Zakon distribucije slučajne varijable X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Primjer br. 2. Verovatnoća da jedan strelac jednim udarcem pogodi metu za prvog strelca je 0,8, za drugog strelca – 0,85. Strijelci su ispalili jedan hitac u metu. Uzimajući u obzir pogađanje mete kao nezavisne događaje za pojedinačne strijelce, pronađite vjerovatnoću događaja A – tačno jedan pogodak u metu.
Rješenje.
Uzmite u obzir događaj A - jedan pogodak u metu. Moguće opcije da se ovaj događaj dogodi su sljedeće:
- Prvi strijelac je pogodio, drugi strijelac je promašio: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Prvi strijelac je promašio, drugi je pogodio metu: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Prva i druga strela pogađaju metu nezavisno jedna od druge: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE
RANDOM VARIABLES
Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.
Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Za slučajnu varijablu, stoga, možete odrediti samo vrijednosti, od kojih će jednu definitivno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti nazivati mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.
Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinice, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.
Postoje tri tipa slučajnih varijabli:
Discrete; Kontinuirano; Miješano.
Diskretno je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini skup koji se može prebrojiti. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerisati naziva se prebrojiv. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".
Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Zaista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.
Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti se mogu numerisati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj.
Kontinuirano je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke ose, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.
Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije preduzeća.
Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je greška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka se iz principa rada visinomera zna da je greška u opsegu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.
Zakon raspodjele slučajnih varijabli.
Slučajna varijabla se smatra potpuno specificiranom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i uspostavljen je zakon raspodjele.
Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerovatnoća.
Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema datom zakonu ili podliježe datom zakonu distribucije. Određeni broj vjerovatnoća, funkcija distribucije, gustina vjerovatnoće i karakteristična funkcija se koriste kao zakoni distribucije.
Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, prije eksperimenta se može prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe.
Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele se može specificirati u obliku tabele, analitički (u obliku formule) i grafički.
Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće, tj.
Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable. 1
Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1, x 2,... x n, respektivno, su nedosljedne i jedino moguće (pošto su u tabeli navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. formiraju kompletnu grupu. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu
(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i termin "distribucija").
Serija distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nacrtaju duž ose apscise, a njihove odgovarajuće vjerovatnoće nanesene duž ordinatne ose. Veza dobijenih tačaka formira isprekidanu liniju koja se naziva poligon ili poligon distribucije verovatnoće (slika 1).
Primjer Lutrija uključuje: automobil od 5.000 den. jedinice, 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodato 1000 karata za 7 dana. jedinice Sastavite zakon o raspodjeli za neto dobitke koje je primio učesnik lutrije koji je kupio jedan listić.
Rješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako tiket ima dobitke od videorekordera, TV-a ili automobila). S obzirom da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo.
Možemo istaknuti najčešće zakone distribucije diskretnih slučajnih varijabli:
- Zakon binomne distribucije
- Poissonov zakon distribucije
- Geometrijski zakon raspodjele
- Hipergeometrijski zakon raspodjele
Za date distribucije diskretnih slučajnih varijabli, izračunavanje vjerovatnoća njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijansa, itd.) vrši se korištenjem određenih „formula“. Stoga je veoma važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.
1. Zakon binomne distribucije.
Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe zakonu binomne raspodjele vjerovatnoće ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. U stvari, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ nezavisnim pokusima. Zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \tačke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijansa je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Primjer . Porodica ima dvoje djece. Uz pretpostavku da su vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu jednake $0,5$, pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $\xi$ - broj dječaka u porodici.
Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u porodici. Vrijednosti koje $\xi može uzeti:\ 0,\ 1,\ 2$. Vjerovatnoće ovih vrijednosti mogu se naći pomoću formule $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdje je $n =2$ broj nezavisnih pokušaja, $p=0,5$ je vjerovatnoća da se događaj dogodi u seriji od $n$ pokušaja. Dobijamo:
$P\left(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerovatnoća, odnosno:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$
Zbir vjerovatnoća u zakonu raspodjele trebao bi biti jednak $1$, odnosno $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1$.
Očekivanje $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varijansa $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standardna devijacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\približno 0.707 $.
2. Poissonov zakon distribucije.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Posebnost ove distribucije je da na osnovu eksperimentalnih podataka nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobijene procjene bliske jedna drugoj, onda imamo razlog za tvrdnju da je slučajna varijabla podložna Poissonovom zakonu raspodjele.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će sutra opsluživati benzinska pumpa; broj neispravnih artikala u proizvedenim proizvodima.
Primjer . Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; šta je $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Neka je diskretna slučajna varijabla $X$ broj oštećenih proizvoda. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu raspodjele sa parametrom $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vjerovatnoće vrijednosti su jednake $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Zakon distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & ((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijansa su međusobno jednake i jednake su parametru $\lambda $, odnosno $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Geometrijski zakon raspodjele.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, onda kažu da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu raspodjele vjerovatnoće. Zapravo, geometrijska raspodjela je Bernoulli test do prvog uspjeha.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku distribuciju mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja do prvog kvara; broj bacanja novčića dok ne dođe prva glava itd.
Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable podložne geometrijskoj distribuciji su respektivno jednake $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se brava od 4$. Vjerovatnoća da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable $X$ - broj brava koje je riba prošla prije prvog zadržavanja na bravi. Pronađite $M\left(X\desno),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Neka slučajna varijabla $X$ bude broj brava koje je riba prošla prije prvog hapšenja na bravi. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može uzeti:$ 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće ovih vrijednosti se izračunavaju pomoću formule: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerovatnoća da će riba biti zadržana kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerovatnoća da će riba proći kroz prevodnicu, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko (5))=0.4;$
$P\left(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24; $
$P\left(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$
$P\left(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^3+(\left(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$
Očekivana vrijednost:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
disperzija:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\desno))^2+$
$+\0,216\cdot (\levo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$
Standardna devijacija:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\cca 1,173.$
4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.
Ako $N$ objekti, među kojima $m$ objekti imaju dato svojstvo. $n$ objekata se nasumično preuzimaju bez vraćanja, među kojima je bilo $k$ objekata koji imaju dato svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućava procjenu vjerovatnoće da tačno $k$ objekata u uzorku imaju dato svojstvo. Neka slučajna varijabla $X$ bude broj objekata u uzorku koji imaju dato svojstvo. Tada su vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable $X$:
$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$
Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za funkcije Excel $f_x$ omogućava vam da odredite vjerovatnoću da će određeni broj testova biti uspješan.
$f_x\to$ statistički$\to$ HYPERGEOMET$\to$ uredu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate popuniti. U koloni Broj_uspjeha_u_uzorku naznačiti vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U koloni Broj_uspjeha_u_zajedno naznačiti vrijednost $m$. populacija_veličina jednako $N$.
Matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable $X$, podložno geometrijskom zakonu raspodjele, su respektivno jednake $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\lijevo(1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.
Primjer . U kreditnoj službi banke zaposleno je 5 stručnjaka sa višom finansijskom spremom i 3 specijalista sa višom pravnom spremom. Rukovodstvo banke odlučilo je da pošalje 3 stručnjaka da poboljšaju svoje kvalifikacije, birajući ih slučajnim redoslijedom.
a) Napravite distribucijsku seriju za broj specijalista sa višom finansijskom spremom koji se mogu poslati na usavršavanje;
b) Pronađite numeričke karakteristike ove distribucije.
Neka je slučajna varijabla $X$ broj specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X može uzeti: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ova slučajna varijabla $X$ se distribuira prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerovatnoće $P\left(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:
$P\left(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$
$P\left(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$
$P\left(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$
$P\left(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$
Zatim serija distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$
Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ koristeći opšte formule hipergeometrijske distribucije.
$M\left(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$
$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\cca 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$
Slučajna varijabla Naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja provedenih pod istim uvjetima, poprima različite, općenito govoreći, vrijednosti u zavisnosti od slučajnih faktora koji se ne uzimaju u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj bodova bačenih na kocku, broj neispravnih proizvoda u seriji, odstupanje tačke udara projektila od mete, vrijeme rada uređaja, itd. Postoje diskretni i kontinuirani slučajne varijable. Diskretno Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti čine prebrojiv skup, konačan ili beskonačan (to jest, skup čiji se elementi mogu numerisati).
Kontinuirano Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti neprekidno ispunjavaju neki konačni ili beskonačni interval brojevne prave. Broj vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je uvijek beskonačan.
Slučajne varijable ćemo označavati velikim slovima sa kraja latinice: X, Y, . ; vrijednosti slučajne varijable - malim slovima: X, y,. . dakle, X Označava cijeli skup mogućih vrijednosti slučajne varijable, i X - Neka od njegovih specifičnih značenja.
Zakon o raspodjeli Diskretna slučajna varijabla je korespondencija specificirana u bilo kojem obliku između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.
Neka su moguće vrijednosti slučajne varijable X Are . Kao rezultat testa, slučajna varijabla će uzeti jednu od ovih vrijednosti, tj. Dogodit će se jedan događaj iz kompletne grupe parno nekompatibilnih događaja.
Neka su vjerovatnoće ovih događaja također poznate:
Zakon distribucije slučajne varijable X Može se napisati u obliku tabele tzv Blizu distribucije Diskretna slučajna varijabla:
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla.
Očekivana vrijednost
Drugi dio na teorija vjerovatnoće posvećeno slučajne varijable , koji nas je nevidljivo pratio u bukvalno svakom tekstu na tu temu. I došao je trenutak da se jasno formuliše šta je to:
Slučajno pozvao veličina, koji će kao rezultat testa polagati jedan i jedini numerička vrijednost koja ovisi o slučajnim faktorima i unaprijed je nepredvidljiva.
Slučajne varijable su obično označiti kroz * , a njihova značenja su napisana odgovarajućim malim slovima sa indeksima, na primjer, .
* Ponekad se koriste i grčka slova
Naišli smo na primjer na prva lekcija o teoriji vjerovatnoće, gdje smo zapravo razmatrali sljedeću slučajnu varijablu:
– broj bodova koji će se pojaviti nakon bacanja kocke.
Kao rezultat ovog testa, ispast će jedan i jedini linija, koja tačno, ne može se predvideti (ne uzimamo u obzir trikove); u ovom slučaju, slučajna varijabla može uzeti jednu od sljedećih vrijednosti:
– broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Apsolutno je jasno da ovaj broj nije poznat unaprijed, a sljedećih deset rođenih djece može uključivati:
Ili momci - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo fizičkog vaspitanja:
– daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)
Međutim, vaše hipoteze?
Čim skup realnih brojeva beskonačno, onda slučajna varijabla može uzeti beskonačno mnogo vrijednosti iz određenog intervala. I to je njegova fundamentalna razlika od prethodnih primjera.
dakle, Preporučljivo je podijeliti slučajne varijable u 2 velike grupe:
1) Diskretno (isprekidano) slučajna varijabla – uzima pojedinačne, izolovane vrijednosti. Broj ovih vrijednosti Svakako ili beskonačno ali prebrojivo.
...ima li nejasnih termina? Hitno ponavljamo osnove algebre!
2) Kontinuirana slučajna varijabla – prihvata Sve numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.
Bilješka : u obrazovnoj literaturi popularne su skraćenice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - kontinuirano.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo dopisivanje između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća. Zakon je najčešće zapisan u tabeli:
Termin se često pojavljuje red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se držati "zakona".
I sada veoma važna tačka: od slučajne varijable Neophodnoće prihvatiti jedna od vrednosti, zatim se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbir vjerovatnoća njihovog pojavljivanja jednak je jedan:
ili, ako je napisano sažeto:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerovatnoće bodova bačenih na kockicu ima sljedeći oblik:
Možda ste pod utiskom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo “dobre” vrijednosti cijelih brojeva. Razbijmo iluziju - mogu biti bilo šta:
Neka igra ima sljedeći pobjednički zakon distribucije:
...o takvim zadacima vjerovatno ste dugo sanjali 🙂 Odaću vam jednu tajnu – i ja. Pogotovo nakon završetka radova teorija polja.
Rješenje: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan:
Razotkrivanje "partizana":
– dakle, vjerovatnoća osvajanja konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: to je ono u šta smo trebali da se uverimo.
Odgovori:
Nije neuobičajeno kada trebate sami sastaviti zakon o raspodjeli. Za to koriste klasična definicija vjerovatnoće, teoreme množenja/sabiranja za vjerovatnoće događaja i drugi čips tervera:
Kutija sadrži 50 lutrijskih listića, među kojima je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Sastavite zakon za raspodjelu slučajne varijable - veličine dobitka, ako se iz kutije nasumično izvuče jedan listić.
Rješenje: kao što ste primijetili, vrijednosti slučajne varijable se obično stavljaju u u rastućem redosledu. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubalja.
Ukupno ima 50 takvih karata - 12 = 38, a prema klasična definicija:
– vjerovatnoća da će nasumično izvučena karta biti gubitnik.
U ostalim slučajevima sve je jednostavno. Vjerovatnoća osvajanja rublja je:
I za:
Provjerite: – a ovo je posebno prijatan trenutak takvih zadataka!
Odgovori: željeni zakon raspodjele dobitaka:
Sljedeći zadatak morate riješiti sami:
Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu je . Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
...znala sam da ti nedostaje :) Da se prisjetimo teoreme množenja i sabiranja. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi može biti korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje numeričke karakteristike .
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo je prosječna očekivana vrijednost kada se testiranje ponavlja mnogo puta. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti s vjerovatnoćom u skladu s tim. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj proizvoda sve njegove vrijednosti na odgovarajuće vjerovatnoće:
ili srušeno:
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova bačenih na kockicu:
Koje je vjerovatno značenje dobijenog rezultata? Ako bacite kockice dovoljno puta, onda prosječna vrijednost Bodovi će biti blizu 3,5 - i što više testova izvršite, to su bliže. Zapravo, već sam detaljno govorio o ovom efektu u lekciji o statistička vjerovatnoća.
Sada se prisjetimo naše hipotetičke igre:
Postavlja se pitanje da li je uopšte isplativo igrati ovu igru? ...ko ima utisaka? Dakle, ne možete to da kažete „na ruku“! Ali na ovo pitanje se lako može odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u suštini - prosjećna težina po vjerovatnoći pobjede:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte svojim utiscima - vjerujte brojevima!
Da, ovdje možete pobijediti 10 ili čak 20-30 puta uzastopno, ali na duge staze čeka nas neizbježna propast. I ne bih vam savjetovao da igrate takve igre :) Pa, možda samo za zabavu.
Iz svega navedenog proizilazi da matematičko očekivanje više nije RANDOM vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
G. X igra evropski rulet koristeći sledeći sistem: on stalno kladi 100 rubalja na „crveno“. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - njenog dobitka. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na najbližu kopejku. Koliko prosjek Da li igrač gubi za svakih sto u koje je uložio?
Referenca : Evropski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor (“nula”). Ako se pojavi „crveno“, igraču se plaća dupla opklada, u suprotnom ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sistemi ruleta za koje možete kreirati sopstvene tabele verovatnoće. Ali to je slučaj kada nam nisu potrebni nikakvi zakoni distribucije ili tabele, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Jedina stvar koja se mijenja od sistema do sistema je disperzija, o čemu ćemo učiti u 2. dijelu lekcije.
Ali prvo će biti korisno ispružiti prste na tipkama kalkulatora:
Slučajna varijabla je određena svojim zakonom raspodjele vjerovatnoće:
Pronađite da li je poznato da . Izvršite provjeru.
Onda pređimo na učenje varijansa diskretne slučajne varijable i ako je moguće, UPRAVO SADA!!- da ne izgubim nit teme.
Rješenja i odgovori:
Primjer 3. Rješenje: po uslovu – vjerovatnoća pogađanja mete. onda:
– vjerovatnoća promašaja.
Sastavimo zakon raspodjele pogodaka za dva udarca:
- ni jedan pogodak. By teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
- jedan pogodak. By teoreme za sabiranje vjerovatnoća nespojivih i množenje nezavisnih događaja:
- dva pogotka. Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
Provjerite: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Odgovori :
Bilješka : možete koristiti notacije - nije važno.
Primjer 4. Rješenje: igrač osvaja 100 rubalja u 18 slučajeva od 37, te stoga zakon raspodjele njegovog dobitka ima sljedeći oblik:
Izračunajmo matematičko očekivanje:
Dakle, na svakih sto opklada, igrač gubi u prosjeku 2,7 rubalja.
Primjer 5. Rješenje: po definiciji matematičkog očekivanja:
Zamenimo delove i napravimo pojednostavljenja:
ovako:
provjerimo:
, što je trebalo provjeriti.
Odgovori :
(Idi na glavnu stranicu)
Radovi visokog kvaliteta bez plagijata – Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Diskretne slučajne varijable
Slučajna varijabla Varijabla se naziva varijabla koja, kao rezultat svakog testa, poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim razlozima. Slučajne varijable se označavaju velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Prema svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretno I kontinuirano.
Diskretna slučajna varijabla- ovo je slučajna varijabla čije vrijednosti ne mogu biti više od prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Pod prebrojivosti podrazumijevamo da se vrijednosti slučajne varijable mogu numerisati.
Primjer 1 . Evo primjera diskretnih slučajnih varijabli:
a) broj pogodaka u metu sa $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) broj ispuštenih amblema prilikom bacanja novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) broj brodova koji pristižu na brod (prebrojiv skup vrijednosti).
d) broj poziva koji stižu na PBX (brojivi skup vrijednosti).
1. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.
Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ sa vjerovatnoćama $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća naziva se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Po pravilu, ova korespondencija se navodi pomoću tabele, čiji prvi red označava vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, a drugi red sadrži verovatnoće $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ove vrednosti.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih poena prilikom bacanja kockice. Takva slučajna varijabla $X$ može imati sljedeće vrijednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerovatnoće svih ovih vrijednosti su jednake $1/6$. Zatim zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Komentar. Pošto u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$ događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ čine kompletnu grupu događaja, onda zbir vjerovatnoća mora biti jednak jedinici, tj. $\sum
2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.
Očekivanje slučajne varijable postavlja njegovo „centralno“ značenje. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbir proizvoda vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ i vjerovatnoća $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ovim vrijednostima, tj. : $M\lijevo(X\desno)=\suma ^n_
Osobine matematičkog očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:
- $M\left(X\right)$ leži između najmanje i najveće vrijednosti slučajne varijable $X$.
- Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
- Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
Možemo primijetiti da $M\left(X\right)$ leži između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.
Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.
Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.
Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Disperzija diskretne slučajne varijable.
Moguće vrijednosti slučajnih varijabli sa jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije grupe studenata prosječna ocjena na ispitu iz teorije vjerovatnoće bila je 4, ali u jednoj grupi su svi bili dobri učenici, au drugoj su bili samo studenti C i odlični učenici. Stoga postoji potreba za numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.
Varijanca diskretne slučajne varijable$X$ je jednako:
U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijansa $D\left(X\right)$ izračunava pomoću formule $D\left(X\right)=\sum^n_
Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:
- Varijanca je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
- Varijanca konstante je nula, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
- Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije pod uslovom da je na kvadrat, tj. $D\left(CX\desno)=C^2D\left(X\right)$.
- Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
- Varijanca razlike između nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
Primjer 6 . Izračunajmo varijansu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
Primjer 7 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijansu slučajne varijable $4X+1$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.
Primjer 8 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijansu slučajne varijable $3-2X$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.
4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.
Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distributivnog niza nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, jer se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distributivnog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.
Funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ naziva se funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla $X$ poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, odnosno $F\ lijevo(x\desno )=P\lijevo(X 6$, zatim $F\lijevo(x\desno)=P\lijevo(X=1\desno)+P\lijevo(X=2\desno)+P\ lijevo(X=3 \desno)+P\lijevo(X=4\desno)+P\lijevo(X=5\desno)+P\lijevo(X=6\desno)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Grafikon funkcije distribucije $F\left(x\right)$:
Osnovni zakoni distribucije
1. Zakon binomne distribucije.
Zakon binomne distribucije opisuje vjerovatnoću pojave događaja A m puta u n nezavisnih pokušaja, pod uslovom da je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna.
Na primjer, odjel prodaje trgovine kućnim aparatima u prosjeku primi jednu narudžbu za kupovinu televizora od 10 poziva. Napraviti zakon raspodjele vjerovatnoće za kupovinu m televizora. Konstruirajte poligon distribucije vjerovatnoće.
U tabeli m - broj narudžbi koje je kompanija primila za kupovinu TV-a. C n m je broj kombinacija m televizora po n, p je vjerovatnoća nastanka događaja A, tj. naručivanja TV-a, q je vjerovatnoća da se događaj A ne dogodi, tj. ne naručiti TV, P m,n je vjerovatnoća naručivanja m televizora od n. Slika 1 prikazuje poligon distribucije vjerovatnoće.
2.Geometrijska raspodjela.
Geometrijska distribucija slučajne varijable ima sljedeći oblik:
P m je vjerovatnoća pojave događaja A u probnom broju m.
p je vjerovatnoća da se događaj A dogodi u jednom ispitivanju.
q = 1 - str
Primjer. Firma za popravku aparata za domaćinstvo dobila je seriju od 10 rezervnih jedinica za veš mašine. Postoje slučajevi kada se pokaže da serija ima 1 neispravan blok. Inspekcija se vrši sve dok se ne otkrije neispravna jedinica. Za broj verifikovanih blokova potrebno je izraditi zakon raspodjele. Vjerovatnoća da blok može biti neispravan je 0,1. Konstruirajte poligon distribucije vjerovatnoće.
Tabela pokazuje da kako se broj m povećava, vjerovatnoća da će neispravan blok biti otkriven opada. Poslednji red (m=10) kombinuje dve verovatnoće: 1 - da se deseti blok pokazao neispravnim - 0,038742049, 2 - da su svi provereni blokovi ispali da rade - 0,34867844. Budući da je vjerovatnoća da će blok biti neispravan relativno niska (p = 0,1), vjerovatnoća posljednjeg događaja P m (10 testiranih blokova) je relativno visoka. Fig.2.
3. Hipergeometrijska raspodjela.
Hipergeometrijska distribucija slučajne varijable ima sljedeći oblik:
Na primjer, nacrtajte zakon za raspodjelu 7 pogodnih brojeva od 49. U ovom primjeru ukupni brojevi su N = 49, n = 7 brojeva je uklonjeno, M - ukupni brojevi koji imaju dato svojstvo, tj. pravilno pogodenih brojeva, m je broj ispravno pogodenih brojeva među povučenima.
Tabela pokazuje da je vjerovatnoća pogađanja jednog broja m=1 veća nego kod m=0. Međutim, tada vjerojatnost počinje naglo opadati. Dakle, vjerovatnoća pogađanja 4 broja je već manja od 0,005, a 5 je zanemarljiva.
4. Poissonov zakon distribucije.
Slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju ako njen zakon raspodjele ima oblik:
Np = konst
n je broj testova koji teže beskonačnosti
p je vjerovatnoća da se dogodi neki događaj, koji teži nuli
m je broj pojavljivanja događaja A
Na primjer, u prosjeku dnevno kompanija koja prodaje televizore primi oko 100 poziva. Vjerovatnoća naručivanja TV marke A je 0,08; B - 0,06 i C - 0,04. Izraditi zakon o raspodjeli naloga za kupovinu televizora marki A, B i C. Konstruirati poligon raspodjele vjerovatnoće.
Iz uslova imamo: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)
(tabela nije data u potpunosti)
Ako je n dovoljno veliko da teži beskonačnosti, a vrijednost p teži nuli, tako da proizvod np teži konstantnom broju, onda je ovaj zakon aproksimacija binomnom zakonu raspodjele. Grafik pokazuje da što je veća vjerovatnoća p, to je kriva bliže m osi, tj. ravnije. (Sl.4)
Treba napomenuti da binomska, geometrijska, hipergeometrijska i Poissonova raspodjela izražavaju distribuciju vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.
5.Jedinstveni zakon o distribuciji.
Ako je gustina vjerovatnoće?(x) konstantna vrijednost u određenom intervalu, tada se zakon raspodjele naziva uniformnim. Slika 5 prikazuje grafike funkcije raspodjele vjerovatnoće i gustine vjerovatnoće uniformnog zakona raspodjele.
6.Normalni zakon raspodjele (Gaussov zakon).
Među zakonima raspodjele kontinuiranih slučajnih varijabli, najčešći je zakon normalne distribucije. Slučajna varijabla se distribuira u skladu sa zakonom normalne distribucije ako njena gustina vjerovatnoće ima oblik:
Gdje
a je matematičko očekivanje slučajne varijable
? - standardna devijacija
Graf gustine vjerovatnoće slučajne varijable koja ima normalan zakon raspodjele je simetričan u odnosu na pravu liniju x=a, tj. x je jednako matematičkom očekivanju. Dakle, ako je x=a, tada kriva ima maksimum jednak:
Kada se vrijednost matematičkog očekivanja promijeni, kriva će se pomjeriti duž ose Ox. Grafikon (slika 6) pokazuje da pri x=3 kriva ima maksimum, jer matematičko očekivanje je 3. Ako matematičko očekivanje ima drugačiju vrijednost, na primjer a=6, tada će kriva imati maksimum na x=6. Govoreći o standardnoj devijaciji, kao što se može vidjeti iz grafikona, što je veća standardna devijacija, to je niža maksimalna vrijednost gustine vjerovatnoće slučajne varijable.
Funkcija koja izražava distribuciju slučajne varijable na intervalu (-?, x) i ima normalan zakon distribucije, izražava se kroz Laplaceovu funkciju koristeći sljedeću formulu:
One. vjerovatnoća slučajne varijable X sastoji se od dva dijela: vjerovatnoće gdje x uzima vrijednosti od minus beskonačnosti do a, jednake 0,5, i drugog dijela - od a do x. (Sl.7)
Hajde da učimo zajedno
Korisni materijali za studente, diplomski i seminarski radovi po narudžbi
Lekcija: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se korespondencija između mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Može se specificirati tabelarno, grafički i analitički.
O tome šta je slučajna varijabla govori se u ovoj lekciji.
Kod tabelarnog načina specificiranja, prvi red tabele sadrži moguće vrijednosti, a drugi njihove vjerovatnoće, tj.
Ova količina se naziva serija distribucije diskretna slučajna varijabla.
X=x1, X=x2, X=xn čine kompletnu grupu, jer će u jednom pokušaju slučajna varijabla uzeti jednu i samo jednu moguću vrijednost. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan, odnosno p1 + p2 + pn = 1 ili
Ako je skup vrijednosti X beskonačan, onda 
Primjer 1. U gotovinskoj lutriji je izdato 100 tiketa. Izvučena je jedna pobeda od 1000 rubalja i 10 pobeda od 100 rubalja. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X - cijenu mogućeg dobitka za vlasnika jedne srećke.
Traženi zakon o distribuciji ima oblik:
Kontrola; 0,01+0,1+0,89=1.
U grafičkoj metodi specificiranja zakona distribucije, tačke (Xi:Pi) se konstruišu na koordinatnoj ravni, a zatim povezuju ravnim segmentima. Rezultirajuća izlomljena linija se zove distributivni poligon. Na primjer 1, poligon distribucije prikazan je na slici 1.
Kada se analitički specificira zakon raspodjele, specificira se formula koja povezuje vjerovatnoće slučajne varijable sa njenim mogućim vrijednostima.
Primjeri diskretnih distribucija
Binomna distribucija
Neka se izvede n pokušaja, u svakom od kojih se događaj A događa sa konstantnom vjerovatnoćom p, dakle, ne događa se sa konstantnom vjerovatnoćom q = 1- str. Uzmite u obzir slučajnu varijablu X- broj pojavljivanja događaja A u ovih n ispitivanja. Moguće vrijednosti X su x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Vjerovatnoća ovih mogućih
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se Windows XP Word 2003 Excel 2003 Zakoni distribucije diskretnih slučajnih varijabli Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i […]
