Metode računanja." Prezentacija za čas "Neodređeni integral. Metode proračuna „Ekstremi funkcije dvije varijable

GBOU SPO "Navashinsky Marine Mechanical College" Neodređeni integral. Metode proračuna

Eudoks iz Knida c. 408 - cca. 355 pne e. Integralni račun se pojavio tokom antički period razvoj matematičke nauke i započeo je metodom iscrpljivanja, koju su razvili matematičari Ancient Greece, i bio je skup pravila koje je razvio Eudoks iz Knida. Koristeći ova pravila izračunate su površine i zapremine

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbol ∫ uveo je Leibniz (1675). Ovaj znak je modifikacija latiničnog slova S (prvo slovo riječi summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton i Leibniz su nezavisno otkrili činjenicu poznatu kao Newton-Leibniz formula.

Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) Radovi Cauchyja i Weierstrassa sumirali su viševjekovni razvoj integralnog računa.

Ruski matematičari su učestvovali u razvoju integralnog računa: M.V. Ostrogradsky (1801 – 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 – 1889) P.L. Čebišev (1821 – 1894)

OŠTEĆENI INTEGRAL Neodređeni integral od kontinuirana funkcija f(x) na intervalu (a; b) je bilo koja od njegovih antiderivativnih funkcija. Gdje je C proizvoljna konstanta (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +S 5. F(x) = s tan x +S 6. F(x) = - cos x +S 5. f (x) = cosx Postavite korespondenciju. Pronađite opšti oblik antiderivata koji odgovara datu funkciju. tg x +C

Svojstva integrala

Osnovne metode integracije Tabelarno. 2. Redukcija na tabelu transformacijom integrala u zbir ili razliku. 3.Integracija korištenjem zamjene varijable (supstitucije). 4.Integracija po dijelovima.

Pronađite antiderivate za funkcije: F(x) = 5 x² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x² 6) f(x) = 3-2x

Da li je tačno da: a) c) b) d)

Primjer 1. Integral zbira izraza jednak je zbiru integrala ovih izraza.Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala

Primjer 2. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:

Primjer 3. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:

Primjer 4. Provjerite rješenje Napišite rješenje: Uvedite novu varijablu i izrazite razlike:

Primjer 5. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:

C samostalni rad Pronađite neodređeni integral Provjerite rješenje Nivo “A” (na “3”) Nivo “B” (na “4”) Nivo “C” (na “5”)

Zadatak Uspostavite korespondenciju. Pronađite opći oblik antiderivata koji odgovara datoj funkciji.

Anoshina O.V.

Glavna literatura

1. Šipačev V. S. Viša matematika. Osnovni kurs: udžbenik i
radionica za prvostupnike [Državna oznaka Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije] / V.S.
Shipachev; uređeno od A. N. Tikhonova. - 8. izd., revidirano. i dodatne Moskva: Jurajt, 2015. - 447 str.
2. Shipachev V. S. Viša matematika. Puni kurs: udžbenik
za akademika Bachelor's Degree [Griff UMO] / V. S. Shipachev; uređeno od A.
N. Tikhonova. - 4. izdanje, rev. i dodatne - Moskva: Jurajt, 2015. - 608
With
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Viša matematika
u vežbama i zadacima. [Tekst] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. U 2 sata - M.: postdiplomske škole, 2007. – 304+415c.

Izvještavanje

1.
Test. Izvedeno u skladu sa:
Zadaci i smjernice za obavljanje kontrolnih poslova
u disciplini "PRIMIJENJENA MATEMATIKA", Ekaterinburg, Savezna državna autonomna obrazovna ustanova
VO „Ruski državni stručni pedagoški
Univerzitet", 2016. - 30 str.
Opcija testni rad izaberite po poslednjoj cifri broja
knjiga razreda.
2.
Ispit

Neodređeni integral, njegova svojstva i izračunavanje Antiderivativni i neodređeni integral

Definicija. Poziva se funkcija Fx
antiderivativna funkcija f x definisan na
neki interval, ako je F x f x for
svaki x iz ovog intervala.
Na primjer, funkcija cos x je
antiderivativ funkcije sin x , pošto
cos x sin x .

Očigledno, ako je F x antiderivat
funkcija f x , tada je i F x C , gdje je C neka konstanta
antiderivat funkcije f x .
Ako je F x bilo koji antiderivat
funkcije f x , zatim bilo koja funkcija oblika
F x F x C je također
antiderivativna funkcija f x i bilo koja
antiderivat se može predstaviti u ovom obliku.

Definicija. Totalnost svega
antiderivati funkcije f x ,
definisano na nekima
interval se zove
neodređeni integral od
funkcije fx na ovom intervalu i
označeno sa f x dx.

Ako je F x neki antiderivat funkcije
f x , onda pišu f x dx F x C , iako
ispravnije bi bilo napisati f x dx F x C .
Po ustaljenoj tradiciji, pisaćemo
f x dx F x C .
Dakle, isti simbol
f x dx će označavati cjelinu
skup antiderivata funkcije fx ,
i bilo koji element ovog skupa.

Svojstva integrala

Izvod neodređenog integrala je jednak
integrand funkcija, i njen diferencijalni izraz integranda. stvarno:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Svojstva integrala

3. Neodređeni integral od
diferencijal kontinuirano (x)
diferencijabilna funkcija jednaka je samoj sebi
ovu funkciju do konstante:
d (x) (x) dx (x) C,
pošto je (x) antiderivat od (x).

Svojstva integrala

4. Ako funkcije f1 x i f 2 x imaju
su antiderivati, onda je funkcija f1 x f 2 x
takođe ima antiderivativ, i
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tabela neodređenih integrala

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
sjekira
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
sjekira
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Svojstva diferencijala

Pogodan za korištenje prilikom integracije
svojstva: 1
1. dx d (sjekira)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Primjeri

Primjer. Izračunajte cos 5xdx.
Rješenje. U tabeli integrala nalazimo
cos xdx sin x C .
Pretvorimo ovaj integral u tabelarni,
koristeći prednost činjenice da je d ax adx .
onda:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Primjeri

Primjer. Izračunajte x
3x x 1 dx.
Rješenje. Pošto je pod znakom integrala
je onda zbir četiri člana
proširimo integral na zbir četiri
integrali:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Nezavisnost tipa varijable

Prilikom izračunavanja integrala to je zgodno
koristite sljedeća svojstva
integrali:
Ako je f x dx F x C , onda
f x b dx F x b C .
Ako je f x dx F x C , onda
1
f ax b dx F ax b C .
a

Primjer

Hajde da izračunamo
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metode integracije Integracija po dijelovima

Ova metoda se zasniva na formuli udv uv vdu.
Metodom integracije po dijelovima uzimaju se sljedeći integrali:
a) x n sin xdx, gdje je n 1,2...k;
b) x n e x dx, gdje je n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, gdje je n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, gdje je n 0, 1, 2,... k.
Prilikom izračunavanja integrala a) i b) unesite
n 1
notacija: x n u , zatim du nx dx , i, na primjer
sin xdx dv , zatim v cos x .
Prilikom izračunavanja integrala c), d), u se označava funkcijom
arctgx, ln x, a za dv uzmite x n dx.

Primjeri

Primjer. Izračunajte x cos xdx .
Rješenje.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Primjeri

Primjer. Izračunati
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Varijabilna metoda zamjene

Neka je potrebno pronaći f x dx , i
direktno odabrati antiderivat
za f x ne možemo, ali to znamo
ona postoji. Često je moguće pronaći
antiderivativ uvođenjem nove varijable,
prema formuli
f x dx f t t dt , gdje je x t i t novo
varijabla

Integrirajuće funkcije koje sadrže kvadratni trinom

Razmotrimo integral
sjekira b
dx,
x px q
koji sadrži kvadratni trinom V
nazivnik integrala
izrazi. Takav integral se također može uzeti
metodom zamjene varijabli,
prethodno dodijeljena u
imenilac je savršen kvadrat.
2

Primjer

Izračunati
dx
.
x 4x 5
Rješenje. Hajde da transformišemo x 2 4 x 5 ,
2
birajući ceo kvadrat koristeći formulu a b 2 a 2 2ab b 2.
Tada dobijamo:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Primjer

Nađi
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Određeni integral, njegova glavna svojstva. Newton-Leibnizova formula. Primjena određenog integrala.

Dovodi do koncepta određenog integrala
problem nalaženja površine krivoline
trapezi.
Neka je dato na nekom intervalu
kontinuirana funkcija y f (x) 0
zadatak:
Konstruirajte njegov graf i pronađite F površinu figure,
omeđen ovom krivom, dvije prave linije x = a i x
= b, a ispod – segment ose apscise između tačaka
x = a i x = b.

Zove se figura aABb
zakrivljeni trapez

Definicija

b
f(x)dx
Pod određenim integralom
a
od date kontinuirane funkcije f(x) do
ovaj segment je shvaćen
njegov odgovarajući prirast
antiderivat, tj
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Brojevi a i b su granice integracije,
– interval integracije.

pravilo:

Definitivni integral je jednak razlici
vrijednosti antiderivativnog integrala
funkcije za gornje i donje granice
integracija.
Uvođenjem oznake za razliku
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton–Leibnizova formula.

Osnovna svojstva određenog integrala.

1) Vrijednost određenog integrala ne zavisi od
notacija za varijablu integracije, tj.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
gdje su x i t bilo koja slova.
2) Definitivni integral sa identičnim
vani
integracija je nula
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Prilikom preuređivanja granica integracije
određeni integral mijenja svoj predznak u suprotan
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(svojstvo aditivnosti)
4) Ako je interval podijeljen na konačan broj
parcijalni intervali, zatim određeni integral,
uzeti u intervalu, jednak je zbiru određenih
integrali uzeti u svim njegovim parcijalnim intervalima.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Konstantni množitelj se može podesiti
za predznak određenog integrala.
6) Definitivni integral algebarskog
sume konačnog broja kontinuiranih
funkcije jednaka istoj algebarskoj
zbir određenih integrala ovih
funkcije.

3. Promjena varijable u određenom integralu.

3. Zamjena varijable u određenom
integral.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
Gdje
za t [ ; ] , funkcije (t) i (t) su kontinuirane;
5
primjer:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Nepravilni integrali.

Nepravilni integrali.
Definicija. Neka je funkcija f(x) definirana na
beskonačni interval, gdje je b< + . Если
postoji
b
lim
f(x)dx,
b
a
tada se ova granica naziva nepravilnim
integral funkcije f(x) na intervalu
}