Kako pronaći površinu zasjenjene figure na grafikonu
Pokazivanje veze između predznaka derivacije i prirode monotonosti funkcije.
Molimo vas da budete izuzetno oprezni u vezi sa sljedećim. Pogledajte, raspored ŠTA vam je dat! Funkcija ili njen derivat
Ako je dat graf derivacije, tada će nas zanimati samo predznaci funkcije i nule. Nas u principu ne zanimaju nikakva “brda” ili “duplje”!
Zadatak 1.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.
Rješenje:
Na slici su područja opadajuće funkcije označena bojom:
Ove opadajuće regije funkcije sadrže 4 cjelobrojne vrijednosti.
Zadatak 2.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.
Rješenje:
Jednom kada je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) s pravom linijom (ili, što je ista stvar), ima nagib, jednako nuli, tada tangenta ima kutni koeficijent .
To zauzvrat znači da je tangenta paralelna s osi, budući da je nagib tangenta ugla nagiba tangente prema osi.
Dakle, nalazimo tačke ekstrema (maksimalne i minimalne tačke) na grafu - upravo u tim tačkama funkcije tangente na graf će biti paralelne sa osom.
Postoje 4 takve tačke.
Zadatak 3.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.
Rješenje:
Pošto je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) sa pravom koja ima nagib, onda i tangenta ima nagib.
To zauzvrat znači da na dodirnim tačkama.
Stoga, gledamo koliko točaka na grafu ima ordinatu jednaku .
Kao što vidite, postoje četiri takve tačke.
Zadatak 4.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite broj tačaka u kojima je derivacija funkcije 0.
Rješenje:
Izvod je jednak nuli u tačkama ekstrema. Imamo ih 4:
Zadatak 5.
Slika prikazuje grafik funkcije i jedanaest tačaka na x-osi:. U koliko od ovih tačaka je derivacija funkcije negativna?
Rješenje:
Na intervalima opadajuće funkcije njen izvod poprima negativne vrijednosti. I funkcija se smanjuje u tačkama. Postoje 4 takve tačke.
Zadatak 6.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Naći zbir točaka ekstrema funkcije.
Rješenje:
Ekstremne tačke– ovo su maksimalni poeni (-3, -1, 1) i minimalni poeni (-2, 0, 3).
Zbir bodova ekstrema: -3-1+1-2+0+3=-2.
Zadatak 7.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.
Rješenje:
Na slici su istaknuti intervali u kojima je derivacija funkcije nenegativna.
Nema cijelih točaka na malom rastućem intervalu na rastućem intervalu postoje četiri cijele vrijednosti: , , i .
Njihov zbir:
Zadatak 8.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.
Rješenje:
Na slici su svi intervali na kojima je derivacija pozitivna istaknuti bojom, što znači da se sama funkcija povećava na tim intervalima.
Dužina najvećeg od njih je 6.
Zadatak 9.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. U kojoj tački segmenta poprima najveću vrijednost?
Rješenje:
Da vidimo kako se graf ponaša na segmentu, što nas zanima samo znak derivacije .
Predznak derivacije na je minus, jer je graf na ovom segmentu ispod ose.
Zdravo prijatelji! U ovom članku ćemo pogledati zadatke za antiderivate. Ovi zadaci su uključeni u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Unatoč činjenici da su sami dijelovi - diferencijacija i integracija - prilično prostrani u kursu algebre i zahtijevaju odgovoran pristup razumijevanju, sami zadaci koji su uključeni u otvorenu banku zadataka iz matematike i bit će izuzetno jednostavni na Unified Državni ispit i može se riješiti u jednom ili dva koraka.
Važno je tačno razumjeti suštinu antiderivata i, posebno, geometrijsko značenje integrala. Razmotrimo ukratko teorijske osnove.
Geometrijsko značenje integrala
Ukratko o integralu možemo reći ovo: integral je površina.
Definicija: Neka je na koordinatnoj ravni dat graf pozitivne funkcije f definirane na segmentu. Podgraf (ili krivolinijski trapez) je figura ograničena grafikom funkcije f, linijama x = a i x = b i x-osom.
Definicija: Neka je data pozitivna funkcija f, definirana na konačnom segmentu. Integral funkcije f na segmentu je površina njegovog podgrafa.
Kao što je već rečeno F′(x) = f (x).Šta možemo zaključiti?
To je jednostavno. Moramo odrediti koliko tačaka ima na ovom grafu u kojima je F′(x) = 0. Znamo da je u onim tačkama gdje je tangenta na graf funkcije paralelna sa x osom. Pokažimo ove tačke na intervalu [–2;4]:
Ovo su tačke ekstrema date funkcije F (x). Ima ih deset.
Odgovor: 10
323078. Slika prikazuje grafik određene funkcije y = f (x) (dvije zrake sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F (8) – F (2), gdje je F (x) jedan od antiderivata funkcije f (x).
Zapišimo ponovo Newton-Leibnizovu teoremu:Neka je f data funkcija, F njen proizvoljni antiderivat. Onda
A ovo je, kao što je već rečeno, površina podgrafa funkcije.
Dakle, problem se svodi na pronalaženje površine trapeza (interval od 2 do 8):
Nije ga teško izračunati po ćelijama. Dobijamo 7. Predznak je pozitivan, jer se figura nalazi iznad x-ose (ili u pozitivnoj poluravni y-ose).
Čak i u ovom slučaju, moglo bi se reći ovo: razlika u vrijednostima antiderivata u tačkama je površina figure.
Odgovor: 7
323079. Slika prikazuje grafik određene funkcije y = f (x). Funkcija F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 je jedan od antiderivata funkcije y = f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Kao što je već rečeno o geometrijskom značenju integrala, ovo je površina figure ograničena grafikom funkcije f (x), ravnim linijama x = a i x = b i osom vola.
Teorema (Newton–Leibniz):
Dakle, zadatak se svodi na izračunavanje definitivnog integrala date funkcije na intervalu od –11 do –9, ili drugim riječima, potrebno je pronaći razliku u vrijednostima antiderivata izračunatih u naznačenim tačkama:
Odgovor: 6
323080. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x).
Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je jedan od antiderivata funkcije f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Teorema (Newton–Leibniz):
Problem se svodi na izračunavanje definitivnog integrala date funkcije u intervalu od –10 do –8:
Odgovor: 4
Još jedno rješenje ovog problema, sa stranice.
Derivati i pravila diferencijacije su također u . Potrebno ih je poznavati, a ne samo za rješavanje takvih zadataka.
Također možete pogledati informacije o pomoći na web stranici i.
Pogledajte kratak video, ovo je odlomak iz filma “The Blind Side”. Možemo reći da je ovo film o obrazovanju, o milosrđu, o važnosti navodno “slučajnih” susreta u našim životima... Ali ove riječi neće biti dovoljne, preporučujem da pogledate sam film, toplo ga preporučujem.
Sretno vam bilo!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x) )\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323383. Prototip br:
Na slici je prikazan graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323385. Prototip br:
Na slici je prikazan graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) je jedna od antiderivati funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323387. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) je jedna od antiderivati funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323389. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323391. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) je jedna od antiderivati funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323393. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323395. Prototip br:
Na slici je prikazan graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323397. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) je jedna od antiderivati funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Zadatak br.:
323399. Prototip br:
Slika prikazuje graf neke funkcije \(y=f(x)\). Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) je jedan od antiderivata funkcije \(f(x)\). Pronađite površinu zasjenjene figure.
odgovor:
Idi na stranicu: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 0 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 80 8 8 8 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 120 121 120 121 121 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 17 17 17 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 217 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 266 267 27 27 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 731 3 2 3 2 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 636 364 365 365 365 2 373 374 375 376 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x).
Pokaži rješenjeRješenje
Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5.
Iz grafikona utvrđujemo da je navedeni zakrivljeni trapez trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3. Njegova površina je jednaka
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
Odgovori
Rješenje
Na slici je prikazan grafik funkcije y=F(x) - jedne od antiderivata neke funkcije f(x) definisane na intervalu (-5; 5).
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednačine f(x)=0 na segmentu [-3; 4].
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
Prema definiciji antiderivata, vrijedi jednakost: F"(x)=f(x). Dakle, jednačina f(x)=0 može se napisati kao F"(x)=0.
Rješenje
Kako je na slici prikazan graf funkcije y=F(x), potrebno je pronaći te tačke u intervalu [-3; 4], u kojoj je derivacija funkcije F(x) jednaka nuli. Iz slike je jasno da će to biti apscise ekstremnih tačaka (maksimuma ili minimuma) grafa F(x).
Iz grafikona utvrđujemo da je navedeni zakrivljeni trapez trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3. U naznačenom intervalu ih ima tačno 7 (četiri minimalna i tri maksimalna).
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednačine f(x)=0 na segmentu [-3; 4].
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Rješenje
Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(5)-F(0), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x).
Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(5)-F(0), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=5 i x=0.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednačine f(x)=0 na segmentu [-3; 4].
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
Na slici je prikazan graf neke funkcije y=f(x).
Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 je jedan od antiderivata funkcije f(x).
Rješenje
Pronađite površinu zasjenjene figure. Osjenčana figura je krivolinijski trapez omeđen odozgo grafikom funkcije y=f(x), pravim linijama y=0, x=1 i x=3. Prema Newton-Leibnizovoj formuli, njegova površina S jednaka je razlici F(3)-F(1), gdje je F(x) antiderivat funkcije f(x) navedene u uvjetu. Zato 6,5-(-3,5)= 10.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednačine f(x)=0 na segmentu [-3; 4].
Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije
Stanje
S=
