Modeli u igri konfliktnih situacija. Matematički modeli teorije igara Modeli konfliktnih situacija u teoriji igara

Funk Maxim

Relevantnost ovog rada leži u prilici da se prošire sopstvene ideje o upotrebi matematike, da se pokažu njene mogućnosti u oblasti društvenih nauka, koje po svojoj prirodi opisuju ponašanje kako pojedinaca tako i grupa. Matematičko proučavanje sukoba omogućava ne samo da se sagledaju nečije akcije u datoj situaciji, već i da se utvrde njihove posledice, posebno kada zavise od kombinacije strategija koje koriste učesnici u datoj situaciji. Rad pokazuje kako matematika i šah priskaču jedni drugima u pomoć u različitim situacijama.

Skinuti:

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Matematički modeli konfliktne situacije koristeći šah Izvođač: Funk Maxim, učenik 5 A razreda MBOU "Srednja škola br. 71" Rukovodilac: Senatorova L.G., nastavnik matematike. Novokuznjeck, 2017

To je ono što je šah. Danas svom protivniku date lekciju, a sutra on vas nauči lekciju. Robert Fischer, 11. svjetski prvak u šahu

Igra je proces u kojem učestvuju dvije ili više strana koje se bore za ostvarivanje svojih interesa.

Relevantnost ove studije: * proširite vlastite ideje o upotrebi matematičkog i šahovskog znanja; * razmotriti, kroz matematičko proučavanje sukoba, ne samo moguće ljudske radnje, već i utvrditi njihove posljedice.

Predmet istraživanja su matematički modeli konfliktnih situacija. Svrha rada je da se sagledaju osnovni koncepti teorije igara i njihova primjena u konkretnim situacijama. Hipoteza – matematički modeli koji koriste šah pomažu u rješavanju konfliktnih situacija.

Igra Seneta Igra kraljeva Ura

Formiranje teorije igara počelo je u 17. veku i nastavilo se do sredine 20. veka.

Džon fon Nojman (1903-1957) mađarsko-američki matematičar jevrejskog porekla koji je dao značajan doprinos kvantna fizika, kvantna logika, funkcionalna analiza, teorija skupova, računarstvo, ekonomija i druge grane nauke

Legenda o četiri dijamanta

Koordinate. Od geografske širine i dužine do apscise i ordinate

Kada se ujutro probudite, zapitajte se: "Šta da radim?" Uveče pre nego što zaspite: "Šta sam uradio?" Pitagora

Pobjeda i poraz na šahovskoj tabli Bijela pobjeda. Mat White gubi. Mat

Zaigrajmo!

Niko neće požaliti vremena posvećenog šahu, jer će pomoći u bilo kojoj profesiji... Tigran Petrosyan, 9. svetski šampion u šahu Ko od detinjstva uči matematiku razvija pažnju, trenira mozak, volju, neguje istrajnost i upornost u postizanju cilja . A. Markushevich, matematicar

Internet resursi: https:// ru.wikipedia.org http:// chessmaestro.ru http:// life-prog.ru http:// www.magichess.uz http:// stuki-druki.com http:/ / home.onego.ru https://www.google.ru

Pregled:

Uvod 3

1. Istorija nastanka i razvoja teorije igara 5

2. Osnovni koncepti teorije igara 7

3. Šah i matematika 8

4. Koordinatni sistem 11

5. Pitagorina teorema na šahovskoj tabli 13

6. Zaključak 15

7. Literatura 16

Uvod

Odabrao sam ovu temu jer učim šah od svoje četvrte godine, a matematika mi je jedan od omiljenih školskih predmeta. Štaviše, matematika i šah imaju mnogo toga zajedničkog. Izvanredni matematičar Godfri Hardi, povlačeći paralelu između ova dva tipa ljudskih aktivnosti, jednom je primetio da „rešenje problema u igri šaha nije ništa drugo do matematička vežba, a sam šah je zviždanje matematičkih melodija“. Postoji čak i koncept šahovske matematike.

Nakon malo razmišljanja, shvatio sam da ova veza može pomoći u savladavanju i šahovskog i matematičkog znanja. U matematici postoje problemi koji se mogu riješiti izradom matematičkog modela, a pri igranju šaha stalno se javljaju konfliktne situacije koje se mogu riješiti izradom modela.

Radio sam po ovom planu:

1. Proučite teoriju igara.

2. Shvatite kako, uz pomoć šahovskog znanja, možete riješiti teške situacije u matematici.

3. Razmotrite primjere.

4. Izvucite zaključak.

Teorija igara - grana matematike koja prvenstveno proučava donošenje odluka. Teorija igara je primjenjiva u mnogim situacijama u kojima postoji sukob, gdje strane moraju donijeti optimalnu odluku na osnovu svojih interesa, a da ništa ne znaju o odluci svojih protivnika. Ispod igra shvaćen je kao proces u kojem učestvuju dvije ili više strana koje se bore za ostvarivanje svojih interesa. Svaka strana ima svoj cilj i koristi neku strategiju koja može dovesti do pobjede ili gubitka – ovisno o ponašanju drugih igrača. Teorija igara pomaže u odabiru najboljih strategija uzimajući u obzir ideje o drugim učesnicima, njihovim resursima i mogućim akcijama.

Relevantnost ove studijeleži u prilici da se prošire vlastite ideje o upotrebi matematike, da se pokažu njene mogućnosti u oblasti društvenih nauka, koje po svojoj prirodi opisuju ponašanje kako pojedinaca tako i grupa. Matematičko proučavanje sukoba omogućava ne samo razmatranje nečijih postupaka u datoj situaciji, već i utvrđivanje njihovih posljedica, posebno kada zavise od kombinacije strategija koje koriste učesnici u datoj situaciji.

Dakle, objekatove studije -matematički modeli konfliktnih situacija.

Svrha studije– razmotriti osnovne koncepte teorije igara i njihovu primjenu u konkretnim situacijama.

Za postizanje cilja odlučeno je sljedeće zadaci:

proučavati teoriju igara i njene osnovne koncepte;
proučavati algoritam za izradu matematičkog modela konfliktnih situacija na primjeru šahovske partije;
razmotriti metodologiju za konstruisanje šahovske partije.

Hipoteza – matematički modeli koji koriste šah pomažu u rješavanju konfliktnih situacija.

Prilikom izvođenja radova korišteno je sljedeće: metode:

metoda pretraživanja; modeliranje; metoda analize.

1. Istorija nastanka i razvoja teorije igara

Od davnina, historija matematike je puna referenci na igre i zabavne probleme. Od početka igara do 19. stoljeća ozbiljno i zabavno matematike se ne mogu odvojiti jedna od druge, jer su usko isprepletene. Već u dvije velike civilizacije antike, babilonskoj i egipatskoj, gdje je matematika bila samo praktične prirode, postojale su društvene igre i zabavni problemi: igra „Senet“, društvena igra kraljeva Ura.

Ozbiljno i zabavnomatematika je koegzistirala rame uz rame od davnina, ali se početkom 17. stoljeća pojavio poseban pravac, posvećen analizi igara. 1612. prva knjiga posvećena samo zabavan matematike. Njegov autor je Claude Gaspard Bachet de Meziriac. Ova knjiga sadrži opise problema o vuku, kozi i kupusu, magične kvadrate i probleme sa vaganjem.

Od ovog trenutka pojavljuju se mnoge slične knjige. A u 17. veku, Christian G. Eugens (1629-1695) i Gottfried W. Leibniz (1646-1716) su predložili stvaranje discipline koja bi koristila naučne metode proučavati ljudske sukobe i interakcije kroz igre. Tokom 18. veka, praktično nije napisano delo o analizi igara koje bi imalo sličan cilj. U 19. veku, mnogi ekonomisti su kreirali jednostavne matematičke modele za analizu jednostavnih situacija konkurencije. Među njima se ističe rad francuskog ekonomiste Antoinea Augustea Cournota, “Studija matematičkih principa teorije bogatstva” (1838.). Ipak, teorija igara kao osnova matematička teorija pojavio se tek u prvoj polovini 20. veka.

Početkom 20. veka počela je da se formira teorijska osnova moderne teorije igara, koja je konačno dobila oblik sredinom veka. Autorstvo prve teoreme pripada logičaru Ernstu Zermelu (1871–1956). On je to formulisao i dokazao 1912. Ova teorema potvrđuje da svaka konačna igra sa kompletnom informacijom (na primjer, dama ili šah) ima optimalno rješenje u čistim strategijama, odnosno u odsustvu elementa neizvjesnosti. Ali ova teorema ne opisuje kako se takve strategije mogu pronaći.

Oko 1920. godine, veliki matematičar Emil Borel zainteresovao se za teoriju koja se razvijala i uveo ideju mješovite strategije (koja uključuje element slučajnosti). Ubrzo je John von Neumann počeo raditi na ovoj temi.

Poznat po svom radu u raznim oblastima, Džon fon Nojman je jedan od najeminentnijih matematičara 20. veka. Dao je značajan doprinos mnogim oblastima nauke. Jedno od njegovih najvažnijih dostignuća vezanih za primijenjenu matematiku u ekonomiji je stvaranje prve knjige sa sistematskim prikazom teorije igara i pristupom analizi ekonomskih problema pod nazivom “Teorija igara i ekonomsko ponašanje”. Godine 1943. Nojman ju je napisao zajedno sa Oskarom Morgensternom. Ovaj rad se smatra fundamentalnim u teoriji igara. To je označilo stvaranje teorije igara, koja je u roku od nekoliko godina, počevši od 1950-ih, počela da nalazi primenu u analizi mnogih stvarnih situacija.

Glavna pitanja kojima su se teoretičari igara bavili 1950-ih i 60-ih godina odnosila su se, između ostalog, na spoljna politika, posebno nuklearno odvraćanje i trka u naoružanju.

U Rusiji teoriju igara uglavnom proučavaju matematičari - Olga Bondareva, Elena Janovskaja, Sergej Pečerski, Viktorija Kreps, Viktor Domanski, Levon Petrosjan u Sankt Peterburgu, Viktor Vasiljev u Novosibirsku, Nikolaj Kukuškin i Vladimir Danilov u Moskvi.

2. Osnovni pojmovi teorije igara

Situacije u kojima se sukobljavaju interesi dviju strana, a rezultat bilo koje operacije koju izvrši jedna od strana zavisi od radnji druge strane nazivaju se konfliktno.

Konfliktna situacija preuzeta iz pravi zivot, po pravilu je prilično složen. Osim toga, njegovo proučavanje je komplicirano prisustvom različitih okolnosti, od kojih neke nemaju značajan uticaj ni na razvoj sukoba ni na njegov ishod. Stoga, da bi analiza konfliktne situacije bila moguća, moram da apstrahujem od ovih sekundarnih faktora. Govoriću o konfliktnoj situaciji sa opšteprihvaćene tačke gledišta, gde se zove formalizovani model konflikta igra (dame, šah, karte, itd.). Igra se od stvarne konfliktne situacije razlikuje po tome što se u igri protivnici ponašaju po strogo određenim pravilima.

Otuda terminologija teorije igara: sukobljene strane se nazivaju igrači , jedna implementacija igre - utakmica, ishod utakmice - pobeda ili poraza.

Tipičan sukob karakteriziraju tri glavne komponente:

zainteresovane strane,
moguće radnje ovih strana,
interese stranaka.

Radnje koje igrači izvode se nazivaju strategije . Kada optimalna strategija sadrži element neizvjesnosti i mora se držati u tajnosti, takva strategija se naziva mješovito . Ako optimalna strategija ne sadrži element slučajnosti, onda se zove cisto.

Igre se mogu klasifikovati na različite načine u zavisnosti od izabranog kriterijuma: mesta igranja, broja učesnika, trajanja igre, nivoa težine itd. U odnosu na matematiku, igre se mogu podijeliti u dvije velike grupe ovisno o tome da li sadrže slučajne događaje ili ne. Slučajni događaji se mogu pojaviti kako u početnim uvjetima igre tako i pri povlačenju poteza. Na primjer, u većini kartaških igara igrači dijele karte nasumično. Ista stvar se dešava u dominima.

Strateške igre su igre u kojima se ništa ne dešava. slučajni događaji. Sve je određeno samo odlukama igrača. Zbog nedostatka slučajnosti, ova vrsta igre se može analizirati i pronaći način za pobjedu (šah).

3. Šah i matematika

Šah je igra koja je usko povezana s matematikom i rješavanjem sukoba. Stoga predlažem da razmislite o šahovskoj tabli.

Fig.1

Šahovska tabla nije samo 64 polja. Ima koordinate, simetriju i geometriju (slika 1).U matematičkim zadacima i zagonetkama na šahovskoj tabli, stvar se po pravilu ne može obaviti bez učešća figura. Međutim, sama tabla takođe predstavlja prilično zanimljiv matematički objekat. Jasnoća i korektnost linija podsjeća da rješavanje sukoba mora biti sprovedeno korektno, razumno, uz poštovanje pravila koja neće štetiti protivnicima. Pogledajmo situacije koje se mogu riješiti uz pomoć šaha.

Podsjetio bih vas na jednu staru legendu o nastanku šaha vezanu za aritmetička računanja na tabli.

Kada se indijski kralj prvi put upoznao sa šahom, bio je oduševljen njegovom originalnošću i obiljem lijepih kombinacija. Saznavši da je mudrac koji je izmislio igru njegova tema, kralj ga je pozvao da ga lično nagradi za njegov briljantni izum. Vladar je obećao da će ispuniti svaki zahtjev mudraca, a bio je iznenađen njegovom skromnošću kada je poželio da za nagradu dobije zrna pšenice. Na prvom polju šahovske ploče nalazi se jedno zrno, na drugom - dva, i tako redom, svako sljedeće ima dvostruko više zrna od prethodnog. Car je naredio da se izumitelju šaha brzo da njegova beznačajna nagrada. Međutim, sutradan su dvorski matematičari obavijestili svog gospodara da ne mogu ispuniti želju lukavog mudraca. Pokazalo se da za to nema dovoljno pšenice, uskladištene ne samo u štalama cijelog kraljevstva, već i u svim ambarima svijeta. Mudrac je ponizno zahtevao

1+2+2 2 + … +2 63 =2 64 − 1

zrna Ovaj broj je napisan sa dvadeset cifara i fantastično je velik. Proračuni pokazuju da je štala za skladištenje potrebnog žita sa osnovnom površinom od 80 m 2 mora se protezati od Zemlje do Sunca.

Ova količina žitarica je otprilike 1800 puta veća od svjetske godišnje žetve pšenice, odnosno više od cjelokupne žetve pšenice požnjevene u cijeloj istoriji čovječanstva.

S = 18 446 744 073 709 551 615

Osamnaest kvintiliona četiri stotine četrdeset šest kvadriliona sedam stotina četrdeset četiri triliona sedamdeset tri milijarde sedam stotina devet miliona pet stotina pedeset jedna hiljada šest stotina petnaest.

Naravno, veza s matematikom ovdje je donekle proizvoljna, ali neočekivani ishod priče jasno ilustruje ogromne matematičke mogućnosti koje se kriju u igri šaha.

Prikladno je dati jednu hipotezu koja koristi neke od matematičkih svojstava ploče. Prema ovoj hipotezi, šah je nastao iz tzv magični kvadrati.

Magični kvadrat reda n je kvadratna tablica od n× n, ispunjen cijelim brojevima od 1 do n 2 i ima sljedeće svojstvo: zbir brojeva u svakom redu, svakoj koloni, kao i dvije glavne dijagonale je isti. Za magične kvadrate reda 8 to je jednako 260 (slika 2).

Rice. 2. Almujannah 1 i magični kvadrat

Pravilnost rasporeda brojeva u magičnim kvadratima daje im magičnu moć umetnosti. Nije uzalud istaknuti njemački umjetnik A. Durer bio toliko fasciniran ovim matematičkim predmetima da je reproducirao magični kvadrat u svojoj poznatoj gravuri „Melanholija”.

Takvi primjeri (njihov broj se može povećati) omogućavaju nam da formuliramo hipotezu o povezanosti magičnih polja i šaha. A nestanak tragova ove veze može se objasniti činjenicom da su u dalekoj eri praznovjerja i misticizma, stari Hindusi i Arapi pripisivali misteriozna svojstva numeričkim kombinacijama magičnih kvadrata, a ti su kvadrati pažljivo skrivani. Možda je zato i izmišljena legenda o mudracu koji je izmislio šah.

Među matematičkim problemima i zagonetkama sa šahovske ploče, najpopularniji su problemi sa sečenjem ploče. Prvi od njih je također povezan s legendom.

Almujannah 1 - drevna uvodna tabija (početni raspored figura)

Rice. 3. Legenda o četiri dijamanta

Jedan istočni vladar bio je toliko vješt igrač da je u svom životu doživio samo četiri poraza. U čast svojih pobjednika, četvorice mudraca, naredio je da se u njegovu šahovsku ploču umetnu četiri dijamanta - na polja na kojima je njegov kralj matiran (vidi sliku 3, gdje su umjesto dijamanata prikazani vitezovi).

Nakon smrti vladara, njegov sin, slab igrač i okrutni despot, odlučio je da se osveti mudracima koji su pretukli njegovog oca. Naredio im je da šahovsku ploču sa dijamantima podijele na četiri dijela istog oblika, tako da svaki sadrži po jedan dijamant. Iako su mudraci udovoljili zahtjevu novog vladara, on im je ipak oduzeo živote i, kako legenda kaže, koristio je svoj dio ploče sa dijamantom da pogubi svakog mudraca.

Ovaj problem oko rezanja daske često se nalazi u zabavnoj literaturi.

Izrežite ploču na četiri identična dijela (koji se poklapaju kada se preklapaju) tako da na svakom od njih bude po jedan konj. Pretpostavlja se da rezovi prolaze samo duž granica između vertikala i horizontala ploče.

Jedno od rješenja problema prikazano je na sl. 3. Postavljanjem četiri viteza na različita polja ploče, dobijamo razne probleme rezanja. Interes za njih nije samo u pronalaženju jednog potrebnog rezanja, već i u prebrojavanju svih načina da se ploča isiječe na četiri identična dijela od kojih svaki sadrži po jednog viteza. Utvrđeno je da je najveći broj rješenja - 800 - kada su vitezovi smješteni u uglovima ploče.

Kao što vidimo, mudri ljudi iz ovih šahovskih situacija izlaze dostojanstveno, tj. ljudi koji imaju znanje i vjeruju u njega. U međusobnoj komunikaciji nastaju situacije koje zahtijevaju koordinaciju akcija i ispoljavanje prijateljskog stava prema rivalima, sposobnost napuštanja ličnih želja radi postizanja zajedničkih ciljeva, a ponekad i istinu. Nažalost, ne mogu svi i ne uvijek, čak ni na šahovskoj tabli, dostojanstveno izaći iz trenutne situacije. Ovo nije lak, svakodnevni posao. A šah to uči.

U našoj školi u 5. razredu uči 78 učenika, od kojih 25 (21%) uči šah i uči na “4” i “5”.

Nije teško zaključiti. Šah nije samo igra, već sport koji trenira i razvija mentalne procese. Veza između učenja i igre je neosporna.

4. Koordinatni sistem

Više od 100 godina prije Krista. Grčki naučnik Hiparh predložio je da se mapa zaokruži zemlja paralele i meridijane i uvesti sada dobro poznate geografske koordinate: geografsku širinu i dužinu - i označiti ih brojevima.

U 14. veku. Francuski matematičar N. Oresme uveo je, po analogiji sa geografskim, koordinate na ravni. Predložio je da se ravan pokrije pravokutnom mrežom i nazove geografsku širinu i dužinu ono što sada zovemo apscisa i ordinata.

Ova inovacija se pokazala izuzetno produktivnom. Na njegovoj osnovi nastala je koordinatna metoda koja povezuje geometriju s algebrom. Glavna zasluga za stvaranje koordinatnog metoda pripada francuskom matematičaru R. Descartesu.

Dekartov koordinatni sistem na ravnidat je međusobno okomitim koordinatnim linijama sa zajedničkim ishodištem u tački O i istoj skali. Tačka O se zove ishodište koordinata.Horizontalna linija se zove x-osa ili x-osa , okomito – y-osa ili y-osa. Koordinatna ravan je označena xOy.

Neka tačka P leži u avionu xOy. Spustimo okomice iz ove tačke na koordinatne ose; označimo osnovu okomica R x i R y . Tačka apscise R zove koordinata x tačka P x na osi Ox , ordinata – koordinata u tački Py na osi Oy.

Fig.4

Udaljenost između dvije tačke P 1 (x 1; y 1) i P 2 (x 2; y 2) na ravni se određuje pomoću Pitagorine teoreme. O tome ću dalje.

Rice. 5

Na slikama vidimo karte za cirkus i pozorište. Svaki od njih sadrži opis gdje se nalazi sjedište vlasnika. ove karte: broj reda i broj sjedišta u tom redu.

Naziva se opis gdje se nalazi ovaj ili onaj predmet (predmet, mjesto). koordinate . Dakle, na karti za cirkus, broj reda i broj sjedišta u redu su koordinate ovog mjesta.

Na šahovskoj tabli se nalaze i koordinate. Kada igraju profesionalno, obično vode evidenciju (oznake komada i koordinate tih komada).

Na slici 6 vidimo određeni algoritam za određivanje koordinata crnog kralja.

(Kr. c2)

Fig.6

Koordinatni sistem se koristi ne samo u šahu, već iu drugim igrama (Battleship, društvene igre, biatlon, izvlačenje po bodovima, grafički diktati itd.)

Mislim da kada bi većina ljudi igrala takve igre (unutar porodice, sa prijateljima), onda bi se mogao izbjeći veliki broj domaćih sukoba. Jer igra je jedan od načina da se prevaziđu nesuglasice. A sposobnost rješavanja malih sukoba kompromisom će se poboljšati, što znači da se mogu riješiti i ozbiljniji problemi.

5. Pitagorina teorema na šahovskoj tabli.

Svi znamo poznatu Pitagorinu teoremu“U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.”.

Fig.7

Neka ABC – dati pravougli trougao sa pravim uglom SA . Nađimo CD visine iz vrha pravog ugla SA . AC 2 + BC 2 = AB 2.

Ovu teoremu školska djeca proučavaju nekoliko stotina godina. Koristi se za rješavanje problema i koriste ga inženjeri, arhitekte, dizajneri i modni dizajneri. Pitagorina teorema se široko koristi u svakodnevnom životu.

Pogledajmo dokaz ove teoreme na šahovskoj tabli.

Fig.8 Sl.9

Podijelimo ploču na kvadrat i četiri identična pravokutna trougla (slika 8). Slika 9 prikazuje ista četiri trougla i dva kvadrata. Trokuti u oba slučaja zauzimaju istu površinu, pa je stoga istu površinu zauzimaju i preostali delovi ploče bez trouglova (na slici 8 je jedan kvadrat, a na slici 9 dva). Pošto je veliki kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravougaonog trougla, a mali su na nogama, onda je poznata Pitagorina teorema dokazana!

Teoremu možete dokazati na sljedeći način:

Fig.10

Crtajte u sredini šahovske ploče trougao ABC(Sl. 10). Konstruirajte kvadrate na katetama i hipotenuzi ovog trokuta, a kvadrat izgrađen na hipotenuzi sastoji se od kvadrata uključenih u pregrade kvadrata izgrađenih na katetama.

Kvadrati 1 i 2 sastoje se od osam malih kvadrata, ukupno dobijamo broj kvadrata koji čine kvadrat 3 izgrađen na hipotenuzi.

Ako pažljivo pogledate ovaj crtež, vidjet ćete prekrasnu kuću. Mi, djeca, obično ih crtamo. U takvoj kući definitivno nema sukoba, jer se sve izračunava i gradi uz pomoć najstarije igre – šaha i jedne od najstarijih nauka – matematike. Ova kuća je udobna i udobna.

6. Zaključak

Na samom početku svog rada postavio sam cilj - da uz pomoć šaha razmotrim rješavanje konfliktnih situacija u matematici i vjerujem da sam svoj zadatak izvršio. Na primjerima sam analizirao upotrebu šaha za rješavanje matematičkih zadataka.

zaključak: matematika pomaže šahistima da igraju i pobjeđuju. A šah nam, zauzvrat, pomaže da riješimo i najjednostavnije i najsloženije matematički problemi, pomažu u razvoju logike, pažnje i odličnog znanja matematike, grade logičke lance, čak i rješavaju konflikte.

Takmičarski duh u igri, u rješavanju problema, pomaže u razvoju, razmišljanju, pronalaženju pravih rješenja, a u slučaju gubitka, ne odustajanju, već traženju i pobjeđivanju.

Moj trener mi je dajući knjigu o šahu napisao: „Cilj u životu nije glavna stvar. Glavno je kako ste to postigli!”

Uvjeren sam da ću, naučivši igrati šah i savladati matematiku, moći pronaći prava rješenja u konfliktnim situacijama. U budućnosti planiram da nastavim da igram šah i pokušaću da shvatim šta mi ostaje misterija.

7. Reference

Gardner, M. Matematička čuda i misterije / M. Gardner. – Moskva: Nauka, 1978. – 127 str.
Gik, E. Ya. Matematika na šahovskoj tabli / E. Ya. Gik. – Moskva: Svet enciklopedija Avanta+, Astrel, 2009. – 317 str; ill. – (Avanta biblioteka+).
Gik, E. Ya. Šah i matematika / E. Ya. Gik. - Moskva: Nauka, 1983. - 173 str.
Gik, E. Ya. Zabavne matematičke igre / E. Ya. Gik. – Moskva: Znanje, 1982. – 143 str.
Gusev, V. A. Vannastavni rad iz matematike u 6-8 razredima: Toolkit/ V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal. – Moskva: Prosveta, 1984.
Gusev, V.A. Matematika – referentni materijali / V.A. Gusev, A.G. Mordkovich. – Moskva: Prosveta, 1986.- 271 str.
Ignatiev, E. I. U kraljevstvu genijalnosti / E. I. Ignatiev. - Moskva: Nauka, 1984. – 189 str.
Loyd, S. Matematički mozaik / S. Loyd. – Moskva: Mir, 1984. – 311 str.
Saati, T. L. Matematički modeli konfliktnih situacija / T. L. Saati. - Moskva: Sovjetski radio, 1977. - 300 str.
Savin, A. P. enciklopedijski rječnik mladi matematičar / A. P. Savin. – Moskva: Pedagogija, 1989.- 349 str.
Seirawan, Y. Dijamantske igre: šahovski udžbenik / Yasser Seirawan; lane sa engleskog od A. N. Elkove. - Moskva: Astrel, 2007. - 259 str.: ilustr. – (Win-win šah).

U posljednje vrijeme sve se više koristi metoda proučavanja međugrupnih i međudržavnih sukoba. matematičko modeliranje. Njegov značaj je zbog činjenice da eksperimentalne studije Takvi sukobi su prilično radno intenzivni i složeni. Prisustvo opisa modela omogućava nam da proučimo mogući razvoj situacije kako bismo odabrali optimalna opcija njihovu regulativu.

Matematičko modeliranje uz upotrebu savremene kompjuterske tehnologije omogućava nam da pređemo sa jednostavnog prikupljanja i analize činjenica na predviđanje i procenu događaja u realnom vremenu njihovog razvoja. Ako metode promatranja i analize međugrupnih sukoba omogućavaju dobivanje jedinstvenog rješenja za konfliktni događaj, onda matematičko modeliranje konfliktnih pojava pomoću kompjutera omogućava izračunavanje različitih opcija za njihov razvoj, predviđanje vjerojatnog ishoda i utjecaja na rezultat. .

Matematičko modeliranje međugrupnih sukoba omogućava zamjenu direktne analize sukoba analizom svojstava i karakteristika njihovih matematičkih modela. Matematički model konflikta je sistem formalizovanih odnosa između karakteristika sukoba, podeljenih na parametre i varijable. Parametri modela odražavaju vanjske uslove i slabo promjenjive karakteristike sukoba, a varijabilne komponente su glavne karakteristike za ovu studiju. Promjena ovih vrijednosti konflikta predstavlja glavni cilj simulacije. Sadržaj i operativno objašnjenje varijabli i parametara koji se koriste - neophodno stanje efikasnost modeliranja.

Upotreba matematičkog modeliranja sukoba počela je sredinom 20. vijeka, čemu je doprinijela pojava elektronske računarske tehnologije i veliki broj primijenjenih studija sukoba. Još uvijek je teško dati jasnu klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u konfliktologiji. Klasifikacija modela može se zasnivati na korištenom matematičkom aparatu ( diferencijalne jednadžbe, distribucije vjerovatnoće, matematičko programiranje itd.) i objekte modeliranja (međuljudski sukobi, međudržavni sukobi, sukobi u životinjskom svijetu, itd.). Možemo identificirati tipične matematičke modele koji se koriste u konfliktologiji.
Distribucije vjerovatnoće su najjednostavniji način za opisivanje varijabli navođenjem proporcije elemenata populacije sa datom vrijednošću varijable.
Statističke studije zavisnosti su klasa modela koji se široko koriste za proučavanje društvenih pojava. Ovo je prije svega regresijski modeli, koji predstavlja odnos zavisnih i nezavisnih varijabli u obliku funkcionalnih odnosa.
Markovljevi lanci opisuju takve mehanizme dinamike distribucije, gdje buduće stanje nije određeno cjelokupnom praistorijom sukoba, već samo „sadašnjošću“. Glavni parametar konačnog Markovljevog lanca je vjerovatnoća da statistički pojedinac (u našem slučaju, protivnik) pređe iz jednog stanja u drugo u određenom vremenskom periodu. Svaka radnja donosi privatnu dobit (gubitak); oni zbrajaju rezultirajući dobitak (gubitak).

Modeli ciljno usmjerenog ponašanja predstavljaju korištenje ciljnih funkcija za analizu, predviđanje i planiranje društvenih procesa. Ovi modeli obično imaju oblik problema matematičkog programiranja sa specificiranom funkcijom cilja i ograničenjima. Trenutno je ovaj pravac fokusiran na modeliranje procesa interakcije između svrsishodnih socijalnih objekata, uključujući utvrđivanje vjerovatnoće sukoba između njih.

Teorijski modeli su namijenjeni logičkoj analizi određenih sadržajnih koncepata kada je otežana mogućnost mjerenja osnovnih parametara i varijabli (mogući međudržavni sukobi i sl.). Simulacijski modeli predstavljaju klasu modela implementiranih u obliku algoritama i kompjuterskih programa i odražavaju složene zavisnosti koje se ne mogu analitički analizirati. Simulacijski modeli su sredstvo mašinskog eksperimentisanja. Može se koristiti u teorijske i praktične svrhe. Ova metoda modeliranja se koristi za proučavanje razvoja tekućih sukoba.

U praksi se često susrećemo sa problemima u kojima je potrebno donositi odluke u uslovima neizvjesnosti, tj. nastaju situacije u kojima dvije strane ostvaruju različite ciljeve, a rezultati djelovanja svake strane zavise od aktivnosti neprijatelja (ili partnera).

Situacija u kojoj efektivnost odluke koju donese jedna strana zavisi od radnji druge strane naziva se sukob. Konflikt je uvijek povezan sa nekom vrstom neslaganja (ovo nije nužno antagonistička kontradikcija).

Konfliktna situacija se zove antagonistički, ako povećanje dobitka jedne od strana za određeni iznos dovodi do smanjenja dobitka druge strane za isti iznos, i obrnuto.

U ekonomiji se konfliktne situacije javljaju vrlo često i raznolike su prirode. Na primjer, odnos između dobavljača i potrošača, kupca i prodavca, banke i klijenta. Svaki od njih ima svoje interese i teži donošenju optimalnih odluka koje će u najvećoj mjeri pomoći ostvarivanju njihovih ciljeva. Pri tome, svako mora voditi računa ne samo o svojim ciljevima, već i o ciljevima svog partnera i uzeti u obzir odluke koje će ti partneri donijeti (mogu biti nepoznati unaprijed). U cilju donošenja optimalnih odluka u konfliktnim situacijama kreirana je matematička teorija konfliktnih situacija, tzv. teorija igara . Pojava ove teorije datira iz 1944. godine, kada je objavljena monografija J. von Neumanna “Teorija igara i ekonomsko ponašanje”.

Igra je matematički model stvarne konfliktne situacije. Strane uključene u sukob nazivaju se igračima. Ishod sukoba naziva se pobjedom. Pravila igre su sistem uslova koji određuju opcije igrača za akciju; količinu informacija koje svaki igrač ima o ponašanju svojih partnera; isplati do koje svaki skup radnji vodi.

Igra se zove parna soba, ako uključuje dva igrača, i višestruko, ako je broj igrača veći od dva. Razmotrićemo samo igre parova. Igrači su određeni A I B.

Igra se zove antagonistički (nula suma), ako je dobitak jednog od igrača jednak gubitku drugog.

Zove se izbor i implementacija jedne od opcija predviđenih pravilima napredak igrač. Pokreti mogu biti lični i nasumični.

Lični potez- ovo je svjestan izbor igrača jedne od opcija za akciju (na primjer, u šahu).

Slučajni potez je nasumično odabrana radnja (na primjer, bacanje kocke). Razmatraćemo samo lične poteze.

Strategija igrača- ovo je skup pravila koja određuju ponašanje igrača tokom svakog ličnog poteza. Obično tokom igre u svakoj fazi igrač bira potez u zavisnosti od toga konkretnu situaciju. Takođe je moguće da je sve odluke igrač doneo unapred (tj. igrač je izabrao određenu strategiju).

Igra se zove krajnji, ako svaki igrač ima konačan broj strategija, i beskrajno- inače.

Svrha teorije igara- razviti metode za određivanje optimalne strategije za svakog igrača.

Zove se igračeva strategija optimalno, ako ovom igraču omogući višestruko ponavljanje igre maksimalnu moguću prosječnu pobjedu (ili minimalni mogući prosječni gubitak bez obzira na ponašanje protivnika).

Sekcija Teorija igara je predstavljena sa tri online kalkulatori:

1. Rješavanje matrične igre. U takvim problemima specificira se matrica plaćanja. Potrebno je pronaći čiste ili mješovite strategije igrača i, cijena igre. Da biste riješili, morate specificirati dimenziju matrice i metodu rješenja.
2. Bimatrix igra. Obično se u takvoj igri specificiraju dvije matrice iste veličine isplata prvog i drugog igrača. Redovi ovih matrica odgovaraju strategijama prvog igrača, a stupci matrica odgovaraju strategijama drugog igrača. U ovom slučaju, prva matrica predstavlja dobitak prvog igrača, a druga matrica predstavlja dobitke drugog.
3. Igre sa prirodom. Koristi se kada je potrebno odabrati upravljačku odluku prema kriterijima Maximaxa, Bayesa, Laplacea, Walda, Savage, Gurvitsa.

Primjer 1. Svaki od igrača A ili B, može zapisati, nezavisno od drugog, brojeve 1, 2 i 3. Ako je razlika između brojeva koje su igrači zapisali pozitivna, tada A pobjeđuje broj bodova jednak razlici između brojeva. Ako je razlika manja od 0, on pobjeđuje B. Ako je razlika 0, to je neriješeno.

Igrač ima A tri strategije (opcije akcije): A1= 1 (upiši 1), A2= 2, A3= 3, igrač takođe ima tri strategije: B1, B2, B3.

B A

Zadatak igrača A- povećajte svoj dobitak. Zadatak igrača B- minimizirati svoj gubitak, tj. minimizirati dobitke A. Ovo parna soba Osnovni koncepti teorije igara

U ekonomskoj praksi često se javljaju konfliktne situacije. Modeli igara su u osnovi pojednostavljeni matematički modeli sukoba. Za razliku od pravog sukoba, igra se igra po jasnim pravilima. Za simulaciju konfliktnih situacija razvijen je poseban aparat - matematička teorija igara. Strane uključene u sukob nazivaju se igračima.

Svaku formalizovanu igru (model) karakteriše:

1. broj subjekata - igrača koji učestvuju u sukobu;
2. opcije za svakog igrača, koje se nazivaju strategije;
3. funkcije pobjede ili gubitka (isplate) ishoda sukoba;

Igra u kojoj učestvuju dva igrača A i B naziva se igra parova. Ako je broj igrača veći od dva, onda je ovo višestruka igra. Mi ćemo razmotriti samo modeli uparenih igara.

Zove se igra u kojoj je dobitak jednog od igrača potpuno jednak gubitku drugog antagonistička igra ili igra sa nultom sumom. Počećemo razmatranjem modela antagonističkih igara.

Modelirati (riješiti) antagonističku igru znači za svakog igrača naznačiti strategije koje zadovoljavaju uslov optimalnost, tj. igrač A mora dobiti maksimalnu zagarantovanu pobjedu, bez obzira na koju se strategiju pridržava igrač B, a igrač B mora dobiti minimalni gubitak, bez obzira koje strategije se pridržava igrač A. Optimalne strategije karakterizira stabilnost, odnosno nije isplativa da bilo koji od igrača odstupi od svoje optimalne strategije.

Bilješka. Postoje igre koje su kooperativne i nekooperativne, sa potpunim i nepotpunim informacijama. U igri sa potpunim informacijama, svaki igrač prije svakog poteza zna sve moguće poteze (strategije ponašanja) i isplate. U kooperativnim igrama dozvoljena je mogućnost preliminarnih pregovora između igrača. Razmotrit ćemo nekooperativne igre s potpunim informacijama.

Matematička teorija igara je grana matematike koja proučava donošenje odluka u konfliktnim situacijama.

Hajde da definišemo osnovne koncepte teorije igara.

Igra- pojednostavljeni formalizovani model konfliktne situacije. Player- jedna od strana u situaciji igre. U zavisnosti od formulacije zadatka, stranka može biti kolektivna ili čak cijela država. Svaki igrač može imati svoje strategije. Strategija i-tog igrača x2 je jedno od mogućih rješenja iz skupa izvodljivih rješenja ovog igrača.

Na osnovu broja strategija igre se dijele na final, u kojem je broj strategija ograničen, i beskrajno, koji imaju beskonačno mnogo različitih strategija.

Svaki od n učesnika u igri može izabrati sopstvenu strategiju. Skup strategija x=x1,x2,…,xn, koje su odabrali učesnici igre, naziva se situacija u igri.

Situaciju x moguće je procijeniti sa stanovišta ciljeva kojima teži donosilac odluke konstruiranjem objektivnih funkcija (ili kriterija kvaliteta) kojima se dodjeljuju numeričke procjene f1(x),f2(x),…,fn(x) na svaku situaciju x (na primjer, prihod firmi u situacijama x ili njihovi troškovi, itd.).

Tada je cilj i-tog donosioca odluke formaliziran na sljedeći način: odaberite svoje rješenje xi tako da u situaciji x=x1,x2,…,xn broj fi(x) bude što veći (ili manji). Međutim, postizanje ovog cilja samo djelimično zavisi od njega, jer drugi učesnici u igri utiču opšta situacija x kako bi ostvarili svoje ciljeve (optimizirali svoje ciljne funkcije). Vrijednost funkcije cilja u datoj situaciji igre može se pozvati b dobitak igrača u ovoj situaciji.
Na osnovu prirode dobitaka, igre se mogu podijeliti na igre sa nultom sumom i igre bez nulte sume. IN igre sa nultom sumom zbir dobitaka u svakoj situaciji igre je nula. Zovu se igre sa nultom sumom između dva igrača antagonistički. U ovim igrama, dobitak jednog igrača jednak je gubitku drugog.

U igrama sa zbir različit od nule Svi učesnici u igri mogu pobijediti ili izgubiti.

Na osnovu vrste funkcije isplate, igre se mogu podijeliti na matrične, bimatrične, kontinuirane, odvojive itd.

Matrične igre se nazivaju konačne igre za dva igrača sa nultom sumom. U ovom slučaju, broj reda matrice odgovara broju strategije Ai igrača 1, a broj kolone odgovara broju strategije Bj igrača 2.

Elementi matrice aij su isplata igrača 1 za situaciju (implementaciju strategija) AiBj. Zbog činjenice da se razmatra matrična igra sa nultom sumom, dobitak igrača 1 jednak je gubitku igrača 2.

Može se pokazati da se bilo koja matrična igra s poznatom matricom isplate svodi na rješavanje problema linearnog programiranja.

Budući da se u primijenjenim problemima ekonomije i upravljanja situacije koje se svode na matrične igre ne dešavaju često, nećemo se zadržavati na rješavanju ovih problema.

Bimatrix igra - to je konačna igra za dva igrača bez nulte sume. U ovom slučaju, za svaku situaciju igre AiBj, svaki igrač ima svoju isplatu aij za prvog igrača i bij- za drugog igrača. Na primjer, ponašanje proizvođača na nesavršeno konkurentnim tržištima svodi se na bimatričnu igru. Tema 6 ovog udžbenika posvećena je analizi ovog problema.

Prema stepenu nepotpunosti informacija koje posjeduju donosioci odluka, igre se dijele na strateške i statističke.

Strateške igre- ovo su igre u uslovima potpune neizvesnosti.

Statističke igre- Ovo su utakmice sa delimičnom neizvesnošću. U statističkoj igri uvijek postoji jedan aktivan igrač sa svojim vlastitim strategijama i ciljevima. Drugi igrač (pasivan, koji ne teži sopstvenim ciljevima) je priroda. Ovaj igrač implementira svoje strategije (prirodna stanja) nasumično, a vjerovatnoća realizacije određenog stanja može se procijeniti pomoću statističkog eksperimenta.

Budući da je teorija ekonomskog odlučivanja usko povezana sa teorijom statističkih igara, u budućnosti ćemo se ograničiti na razmatranje samo ove klase igara.

Generalizacija. Sastoji se od proučavanja svojstava, veza i odnosa sukoba, koji karakteriziraju ne jedan sukob, već čitavu klasu homogenih sukoba. u tom pogledu sukobi. Prilikom generalizacije važno je moći identificirati pojedinačno, ono što je karakteristično samo za ovu konfliktnu situaciju, i opšte, što je karakteristično za čitav niz konflikata. Ova metoda se koristi u većini naučnih disciplina koje proučavaju konflikt.

Komparativna metoda. Podrazumijeva poređenje niza aspekata sukoba i utvrđivanje sličnosti ili razlika u njihovim manifestacijama u različitim sukobima. Kao rezultat poređenja, utvrđuju se razlike u parametrima konflikta, što omogućava diferencirano upravljanje konfliktnim procesima.

Matematičko modeliranje sukoba

U posljednje vrijeme se metoda matematičkog modeliranja sve više koristi za proučavanje međugrupnih i međudržavnih sukoba. Njegov značaj je zbog činjenice da su eksperimentalne studije takvih sukoba prilično radno intenzivne i složene. Prisutnost opisa modela omogućava nam da proučimo mogući razvoj situacije kako bismo odabrali optimalnu opciju za njihovu regulaciju.

Matematičko modeliranje uz upotrebu savremene kompjuterske tehnologije omogućava prelazak sa jednostavnog prikupljanja i analize činjenica na predviđanje i procjenu događaja u realnom vremenu njihovog razvoja. Ako metode promatranja i analize međugrupnih sukoba omogućavaju dobivanje jedinstvenog rješenja za konfliktni događaj, onda matematičko modeliranje konfliktnih pojava pomoću kompjutera omogućava izračunavanje različitih opcija za njihov razvoj, predviđanje vjerojatnog ishoda i utjecaja na rezultat. .

Matematičko modeliranje međukrušnih sukoba omogućava zamjenu direktne analize sukoba analizom svojstava i karakteristika njihovih matematičkih modela.

Matematički model konflikta je sistem formalizovanih odnosa između karakteristika sukoba, podeljenih na parametre i varijable. Parametri modela odražavaju vanjske uslove i slabo promjenjive karakteristike sukoba, a varijabilne komponente su glavne karakteristike za ovu studiju.

Promjena ovih vrijednosti konflikta predstavlja glavni cilj simulacije. Sadržajna i operativna objašnjivost korištenih varijabli i parametara je neophodan uslov za efektivnost modeliranja.

distribucije vjerovatnoće predstavljaju najjednostavniji način za opisivanje varijabli navođenjem proporcije elemenata u populaciji sa datom vrijednošću varijable;

statističko istraživanje zavisnosti - klasa modela koji se široko koriste za proučavanje društvenih pojava. To su, prije svega, regresijski modeli koji predstavljaju odnos zavisnih i nezavisnih varijabli u obliku funkcionalnih odnosa;

Markovski lanci opisuju takve mehanizme dinamike distribucije, gdje buduće stanje nije određeno cjelokupnom praistorijom sukoba, već samo „sadašnjošću“. Glavni parametar konačnog Markovljevog lanca je vjerovatnoća da statistički pojedinac (u našem slučaju, protivnik) pređe iz jednog stanja u drugo u određenom vremenskom periodu. Svaka radnja donosi privatnu dobit (gubitak); oni zbrajaju rezultirajući dobitak (gubitak);

modeli ciljanog ponašanja predstavljaju upotrebu objektivnih funkcija za analizu, predviđanje i planiranje društvenih procesa. Ovi modeli obično imaju oblik problema matematičkog programiranja sa specificiranom funkcijom cilja i ograničenjima. Trenutno je ovaj pravac fokusiran na modeliranje procesa interakcije između svrsishodnih društvenih objekata, uključujući određivanje vjerovatnoće sukoba između njih;

teorijski modeli namijenjeni su za logičku analizu određenih sadržajnih koncepata kada je otežana mogućnost mjerenja osnovnih parametara i varijabli (mogući međudržavni sukobi i sl.);

simulacijski modeli predstavljaju klasu modela implementiranih u obliku algoritama i kompjuterskih programa i odražavaju složene zavisnosti koje nisu podložne smislenoj analizi. Simulacijski modeli su sredstvo mašinskog eksperimentisanja. Može se koristiti u teorijske i praktične svrhe. Ova metoda modeliranja se koristi za proučavanje razvoja tekućih sukoba.

Tema 10. Prevencija sukoba

1. Karakteristike prevencije i predviđanja sukoba. Objektivni i organizacioni i upravljački uslovi koji doprinose prevenciji destruktivnih konflikata.

2. Tehnologija prevencije sukoba. Promjena stava prema situaciji i ponašanju u njoj. Načini i tehnike uticaja na ponašanje protivnika. Psihologija konstruktivne kritike.

3. Faktori koji sprečavaju nastanak sukoba.

4. Metode psihokorekcije konfliktnog ponašanja: socio-psihološki trening; individualno psihološko savjetovanje; autogeni trening; posredničke aktivnosti psihologa (socijalnog radnika); samoanaliza konfliktnog ponašanja.

1. Osobine prevencije i predviđanja sukoba. Objektivni i organizacioni i upravljački uslovi koji doprinose prevenciji destruktivnih konflikata.

Predviđanje nastanka sukoba je glavni preduslov za efikasne napore na njihovom sprečavanju. Predviđanje i sprečavanje konflikata su oblasti aktivnosti menadžmenta za regulisanje društvenih kontradikcija.

Osobine upravljanja konfliktima u velikoj mjeri su određene njihovom specifičnošću kao složenim društvenim fenomenom.

Važan princip upravljanja konfliktima je princip kompetentnosti.

Intervenciju u prirodnom razvoju konfliktne situacije moraju izvršiti kompetentni ljudi.

Prvo, ljudi koji intervenišu u razvoju konfliktne situacije moraju imati opšta znanja o prirodi nastanka, razvoja i završetka sukoba uopšte.

Drugo, potrebno je prikupiti najraznovrsnije, detaljnije i informativne informacije o konkretnoj situaciji.

Drugi princip .

Upravljanje konfliktom ne zahtijeva blokiranje, već nastojanje da se on riješi na nekonfliktan način.

Bolje je i dalje dati ljudima priliku da brane svoje interese, ali osigurati da to rade kroz saradnju, kompromis i izbjegavanje konfrontacije.

Razmotrimo sadržaj takvog koncepta kao što je upravljanje konfliktima.

Upravljanje konfliktom je svjesna aktivnost u odnosu na njega, koju u svim fazama njegovog nastanka, razvoja i završetka sprovode strane u sukobu ili treća strana.

Upravljanje konfliktima uključuje: dijagnostiku, predviđanje, prevenciju, prevenciju, ublažavanje, rješavanje, rješavanje.

Upravljanje konfliktima je efikasnije ako se provodi u ranim fazama društvenih kontradikcija. Rano otkrivanje društvenih kontradikcija, čiji razvoj može dovesti do sukoba, osigurava se predviđanjem.

Predviđanje sukoba je utemeljena pretpostavka o njihovom mogućem budućem nastanku ili razvoju.

Prije predviđanja sukoba, nauka mora proći kroz dvije faze u svom znanju.

Prvo, neophodno je razvoj deskriptivnih modela razne vrste sukoba. Potrebno je utvrditi suštinu sukoba, dati njihovu klasifikaciju, otkriti strukturu i funkcije, opisati evoluciju i dinamiku.

Drugo, moramo treba izraditi objašnjenja modeli sukobi.

Znakovi socijalne napetosti mogu se identifikovati rutinskim posmatranjem. Mogući su sljedeći načini predviđanja sukoba koji „zreo”:

1. spontani mini-sastanci (razgovori više ljudi);

2. povećanje broja izostanaka sa posla;

3. povećanje broja lokalnih sukoba;

4. smanjenje produktivnosti rada;

5. povećana emocionalna i psihička pozadina;

6. masovno otpuštanje po sopstvenoj volji;

7. širenje glasina;

8. spontani skupovi i štrajkovi;

9. povećanje emocionalne napetosti.

Prepoznavanje izvora društvenih tenzija i predviđanje konflikta u ranoj fazi njegovog razvoja značajno smanjuje troškove i smanjuje mogućnost negativnih posljedica. Važan način upravljanja konfliktima je njihova prevencija.

Prevencija sukoba se sastoji u organizovanju životnih aktivnosti subjekata društvene interakcije na takav način da se eliminiše ili minimizira mogućnost nastanka sukoba između njih. Prevencija sukoba – ovo je njihovo upozorenje u najširem smislu te riječi. Mnogo je lakše spriječiti sukobe nego ih konstruktivno rješavati. Sprečavanje sukoba nije ništa manje važno od sposobnosti da se oni konstruktivno rješavaju. To zahtijeva manje truda, novca i vremena.

Teorija igara je skup matematičkih alata za izgradnju modela, au društveno-ekonomskim aplikacijama nepresušan je izvor fleksibilnih koncepata.

Igra je matematički model kolektivnog ponašanja koji odražava interakciju učesnika-igrača u nastojanju da se postigne bolji ishod, a njihovi interesi mogu biti različiti. Nepodudarnost i antagonizam interesa dovode do sukoba, a poklapanje interesa dovodi do saradnje. Često interesi u socio-ekonomskim situacijama nisu ni striktno antagonistički niti se precizno podudaraju. Prodavac i kupac su saglasni da je u njihovom obostranom interesu da se dogovore o prodaji, pod uslovom, naravno, da je transakcija korisna za oboje. Oni se energično cjenkaju kako bi pronašli obostrano korisnu cijenu unutar granica. Teorija igara nam omogućava da razvijemo optimalna pravila ponašanja u sukobima.

Mogućnost sukoba inherentna je suštini samog ljudskog života. Uzroci sukoba su ukorijenjeni u anomalijama društvenog života i nesavršenosti samog čovjeka. Među razlozima koji dovode do sukoba treba spomenuti, prije svega, socio-ekonomske, političke i moralne razloge. Oni su plodno tlo za nastanak raznih vrsta sukoba. Na pojavu sukoba utiču psihofizičke i biološke karakteristike ljudi.

U svim sferama ljudskog djelovanja, pri rješavanju najrazličitijih problema u svakodnevnom životu, na poslu ili u slobodno vrijeme, moraju se uočiti sukobi koji se razlikuju po svom sadržaju i snazi ispoljavanja. O tome svakodnevno pišu novine, prenose se na radiju i prenose na televiziji. One zauzimaju značajno mjesto u životu svake osobe, a posljedice nekih sukoba mogu biti previše uočljive čak i tokom mnogo godina života. Oni mogu da troše životnu energiju jedne osobe ili grupe ljudi nekoliko dana, sedmica, mjeseci ili čak godina. Dešava se, iako, nažalost, retko, da se rešavanje nekih sukoba odvija veoma korektno i profesionalno, kompetentno, dok su drugi, što se dešava mnogo češće, nestručni, nepismeni, ponekad sa lošim ishodima za sve strane u sukobu, gde nema pobednika, već samo poraženih. Očigledno je da su potrebne preporuke o racionalnom postupanju u konfliktnim situacijama.

Štaviše, najčešće su neki od sukoba nategnuti, vještački napuhani, stvoreni da bi se prikrila profesionalna nesposobnost pojedinih pojedinaca i štetni u komercijalnim aktivnostima.

Ostali sukobi, kao neizbježan pratilac u životu svakog tima, mogu biti vrlo korisni i poslužiti kao poticaj za razvoj komercijalne djelatnosti na bolje.

Konflikti su trenutno ključni problem u životima kako pojedinaca tako i čitavih grupa.

Postupci književnih likova i junaka neminovno su praćeni ispoljavanjem i razvojem neke vrste životnog sukoba, koji se nekako rješava, ponekad mirno, ponekad dramatično ili tragično, na primjer u dvoboju. Najbolji izvori našeg znanja o ljudskim sukobima su klasične tragedije, ozbiljni i duboki romani, njihove filmske adaptacije ili kazališne predstave.

Ljudskim aktivnostima se u sukobu mogu suprotstaviti interesi drugih ljudi ili prirodne sile prirode. U nekim sukobima Suprotna strana svjesno i ciljano djeluje aktivni neprijatelj, zainteresiran za naš poraz, svjesno sprječava uspjeh, pokušava učiniti sve što je u njegovoj moći da ostvari svoju pobjedu na bilo koji način, na primjer, uz pomoć ubice.

U ostalim sukobima nema takvog svjesnog neprijatelja, već djeluju samo “slijepe sile prirode”: vremenski uslovi, stanje komercijalne opreme u preduzeću, bolesti zaposlenih itd. U takvim slučajevima priroda nije zlonamjerna i djeluje pasivno, nekad na štetu čovjeka, a nekad u njegovu korist, ali njeno stanje i ispoljavanje mogu značajno uticati na rezultat komercijalne djelatnosti.

Pogonska snaga u konfliktu je radoznalost osobe, želja za pobjedom, održavanjem ili poboljšanjem svoje pozicije, na primjer sigurnost, stabilnost u timu ili nada uspjehu u postizanju eksplicitnog ili implicitnog cilja.

Često je nejasno šta učiniti u datoj situaciji. Karakteristična karakteristika svakog sukoba je da nijedna od uključenih strana ne zna unapred tačno i u potpunosti sva svoja moguća rešenja, kao i druge strane, njihovo buduće ponašanje, pa su stoga svi prinuđeni da deluju u uslovima neizvesnosti.

Neizvjesnost ishoda može biti posljedica kako svjesnih akcija aktivnih protivnika, tako i nesvjesnih, pasivnih manifestacija, npr. elementarne sile priroda: kiša, sunce, vjetar, lavine itd. U takvim slučajevima, mogućnost preciznog predviđanja ishoda je isključena.

Zajedničkost svih sukoba, bez obzira na njihovu prirodu, leži u sukobu interesa, težnji, ciljeva, načina za postizanje ciljeva i nepostojanju saglasnosti dvije ili više strana u sukobu. Složenost sukoba određena je razumnim i razboritim postupcima pojedinaca ili grupa sa različitim interesima.

Neizvjesnost ishoda sukoba, radoznalost, zainteresovanost i želja za pobjedom podstiču ljude da svjesno ulaze u sukob, što u sukobe privlači i učesnike i posmatrače.

Matematička teorija igara daje naučno utemeljene preporuke za ponašanje u konfliktnim situacijama, pokazujući „kako igrati da ne izgubiš“. Da biste primijenili ovu teoriju, morate biti u stanju zamisliti sukobe kao igre.

Osnova svakog sukoba je prisustvo kontradikcije, koja poprima oblik neslaganja. Konflikt se može definisati kao nedostatak dogovora između dve ili više strana - pojedinaca ili grupa, koji se manifestuje kada se pokušava razrešiti kontradikcija, često u pozadini akutne negativne emocionalna iskustva, iako je poznato, prema definiciji V. Hugoa, da je „za dvije svađe kriv onaj koji je pametniji“.

Treba napomenuti da je uključenost u sukob veliki broj ljudi vam omogućava da dramatično povećate broj alternative I ishodi, što je važna pozitivna funkcija konflikta povezana sa širenjem vidika, povećanjem broja alternativa i, shodno tome, mogućih ishoda.

U procesu komercijalnih pregovora potrebno je tražiti područje od zajedničkih interesa (slika 3.4) u kojem se nalazi kompromisno rješenje. Praveći veće ustupke na manje značajnim aspektima za kompaniju, ali značajnijim za protivnika, trgovac dobija više na drugim pozicijama koje su značajnije i korisnije za kompaniju. Ove koncesije imaju minimalne i maksimalne granice interesa. Ovo stanje se zove Pareto princip nazvan po italijanskom naučniku V. Paretu.

Za savremenim uslovima tržišne odnose karakteriziraju situacije slične kooperativnim igrama sa dva igrača u potrazi za uspješnim dogovorom, na primjer, pri kupoprodaji stana, automobila itd. U takvim slučajevima, ishodi interakcije učesnika mogu biti predstavljeni kao skup odluka S na avionu (vidi sliku 3.4) među ukupnim dobicima X i Y. Ovaj skup je konveksan, zatvoren, omeđen odozgo, a optimalna rješenja su na gornjoj desnoj sjeveroistočnoj granici. Na ovoj granici se izdvaja između R i P 2 set Pareto optimalna rješenja(P), u kojem je povećanje dobitka partnera moguće samo smanjenjem dobitka drugog partnera. Tačka prijetnje T (x t, y t) određuje iznos dobitka koji igrači mogu dobiti bez ulaska u koaliciju jedni s drugima. Na setu (P) istaknuto F x i P 2, set za pregovaranje F, unutar kojeg

Rice. IZA

ima smisla pregovarati tamo gdje se poenta ističe N, koji odgovara Nashovoj ravnoteži, - Nash point, postiže maksimalni proizvod max(th L. - x m)(h y - y t), u kojem faktori predstavljaju višak dobitaka svakog igrača nad uplatama koje se mogu primiti bez operacije. Nash tačka je najatraktivnija referentna tačka u pronalaženju optimalnog rješenja.

Jedan od tipičnih socio-psiholoških međuljudskih sukoba je neuravnotežena interakcija uloga. Teorijska osnova analizu međuljudskih konflikata predložio je američki psiholog E. Burn, koji je predstavio opis interakcije uloga partnera (slika 3.5, A - nema sukoba b - sukob je moguć) u obliku mrežnih modela.

Rice. 35

Svaka osoba u procesu interakcije s drugima prisiljena je igrati više od desetak uloga, i to ne uvijek uspješno. U predloženom modelu svaki partner može imitirati ulogu S - senior, P - jednak ili M - junior. Ako je interakcija uloga uravnotežena, onda se komunikacija može razvijati bez sukoba, u suprotnom ako postoji neravnoteža uloga, sukob je moguć.

U dugotrajnim konfliktima, udio poslovnog sadržaja često opada s vremenom i lična sfera počinje da dominira, kao što je prikazano na sl. 3.6.

Konflikt je proces koji se razvija tokom vremena (slika 3.7), koji se može podijeliti na nekoliko perioda, tj. predstavljen u obliku dinamičkih modela razvoja konflikta. To, na primjer, mogu biti period prije sukoba (/„), interakcija sukoba (?/ e) i period nakon sukoba ( t c).

Tenzije tokom vremena u periodu prije sukoba (? 0 ~t) postepeno (1) ili poput lavine (2) para-

Rice. 3.6

topi se i onda dopire najveća vrijednost u trenutku vrhunca? 2, a zatim pada. Treba napomenuti da konfliktne interakcije često traju dugo (?3 - 1 1) samo oko 1 minut, a postkonfliktni period može biti 600-2000 ili više puta duži. Štaviše, indikatori ishoda sukoba za obe strane možda uopšte ne sadrže pokazatelje pobede, tj. samo šteta.

Procjena stanja partnera u interakciji može se grafički tumačiti kao kombinacija stepena njegove aktivnosti A i nivo raspoloženja (slika 3.8).

Ovi indikatori se mogu mjeriti sa prosječnog, neutralnog (0) nivoa. Tada je točka stanja određena vektorom s odgovarajućim koordinatama, na primjer M(x,1 ) 2 ). Stanje definisano drugim vektorom N(pci, Y[) y je manje aktivan at= (z/ 2 - U) Stanje partnera određeno vektorom Oh 3, g/ 2), karakterizira lošije raspoloženje od stanja određenog vektorom B(x 2 , y 2).

Rice. 3.7

Rice. 3.8

Na sl. Slika 3.9 predstavlja model interakcije između partnera čija su stanja fiksirana vektorima A I IN, iz kojeg se može konstruirati rezultirajući vektor konflikta E. Ova zona spremnosti za sukob je najnepovoljnija od svih kvadranata. Koristeći takve grafičke modele za procjenu stanja partnera, možete se unaprijed pripremiti za moguće ishode njihove interakcije.

Model igre sukoba može se predstaviti kao kombinacija prikaza (slika 3.10) mogućih pozitivnih i negativnih alternativa (poteza) učesnika K i P i opcija ishoda za svaki par poteza K, P u obliku matrica plaćanja B =|| I, čiji se element može odrediti formulom

Rice. 3.9

Rice. 3.10

gdje je Boogie M* - prema procjeni nka karakteristike ishoda sukoba u bodovima i njegovu težinu, k = 1 na t.

Na sl. 3.10 pokazuje da djelovanje obje strane sa negativnim alternativama (-/-) ukazuje da je nemoguće razumjeti jedni druge uz pomoć „ratova“. Pozitivne akcije s obje strane dovode do mirnog ishoda. Opcije za alternative (-/+) ili (+/-) mogu dovesti do mirne verzije sporazuma, koja je određena lancem uzročno-posledičnih alternativa u višesmernoj interakciji.

Primjer 3.14. Razmotrimo primjer rješavanja konfliktne situacije.

Žena je na pijaci platila 2 kg paradajza, ali je kontrolna vaga pokazala manju težinu od 200 g. Zamolila je prodavca da preuzme paradajz i vrati novac. Prodavac je odbio i vređao kupca.

Alternative kupca: IIi - pozvati administraciju, P 2 - kontaktirati agencije za provođenje zakona, P 3 - vrijeđati prodavca i tražiti povraćaj novca.

Alternative prodavca: DO - vratiti novac, K 2 - vrijeđati kupca i ne vraćati novac, K 3 - ne vraćati novac.

Kao karakteristike za procjenu ishoda sukoba izabraćemo sljedeće.

E - snaga emocionalnog uzbuđenja, dB (0,19)

tk- vrijeme interakcije sukoba, min (0,17)

t - trajanje negativnih emocija, min (0,15)

O s - broj uvredljivih, grubih riječi, kom. (0.13)

Lk - broj učesnika u sukobu, ljudi (0,11)

t cn - postkonfliktni period, min (0,09);

T - ukupno utrošeno vrijeme, min (0,07);

Z m - materijalni troškovi, rub. (0,05);

tn- period prije sukoba, min (0,03);

t+ - trajanje pozitivnog

Karakteristike su raspoređene po rangu, njihova težina je navedena u zagradama M/ 0 pronađeno metodom parnih poređenja (odjeljak 1.3).

Hajde da uvedemo procjenu karakteristika sukoba u 10 tačaka na skali lošije (B/, = 1) - bolje (B* = 10) i formiramo matricu njihovih mogućih vrijednosti (tabela 3.22).

i neutralne emocije, min (0,01).

Tabela 3.22

Sada je potrebno za svaki par alternativa (P„K) utvrditi stvarne vrijednosti karakteristika konflikta RU, odrediti rezultat karakteristika B/CL))* i zatim izračunati vrijednosti ishoda by prema formuli

Gdje T - broj karakteristika konflikta; M - težina k- karakteristike sukoba; B ʹ(Ru) - bodovna vrijednost k-th karakteristike sukoba ishoda para alternativa II/, K,-.

Na primjer, za par alternativa Pj, TO i uslovne vrijednosti karakteristika naći ćemo vrijednost ishoda b str

Na isti način izračunavamo ishode by za preostale parove alternativa i tako konstruirati model igre konfliktne situacije u obliku matrice plaćanja

Koristeći princip minimaksa, nalazimo donju i gornju cijenu igre, koje su jednake a = P = 3,23, a zatim par alternativa 11 (, K] određuje sedlo igre. Posljedično, minimaks strategije igre učesnici u konfliktu P[, Kj su optimalni.

U stvari, kupac je uradio upravo to: pozvala je administratora, koji je oduzeo tegove od prodavca, zabranio trgovinu, a prodavac je uzeo paradajz i vratio novac.

Treba napomenuti da se za druge vrijednosti indikatora konflikta može konstruirati matrica koja ne sadrži sedlo; tada se može koristiti kriterij Wald, Savage i Hurwitz, a također se može koristiti metoda linearnog simpleksnog programiranja za riješite igru u mješovitim strategijama.