Prikaz funkcija i grafa funkcija. Funkcije, njihova svojstva i grafovi. Konstrukcija grafičkih slika
Funkcije i njihova svojstva
y
y = f( x )
x
0
Koncept funkcije
Ako svaka vrijednost X iz određenog skupa brojeva dodjeljuje se broj at , onda kažu da je ovo mnogo e set funkcija y(x) .
U isto vreme X pozvao nezavisna varijabla ili argument ,
A at – zavisna varijabla ili funkcija .
y = f(x)
Obim i
skup vrijednosti funkcije
Domen definicije funkcija imenuje skup svih vrijednosti koje njen argument može uzeti.
Određeno D(y)
Višestruka značenja (ili opseg) funkcije je skup svih vrijednosti varijable y.
Određeno E(y)
Metode za određivanje funkcije:
- analitički (koristeći formulu);
- grafički (pomoću grafa);
- tabelarni (koristeći tablicu vrijednosti);
- verbalno (pravilo za specificiranje funkcije je opisano riječima).
f(x 2) . (Funkcija se naziva opadajućom ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije) " width="640" Svojstva funkcije:
monotono
Funkcija y = f(x) pozvao povećanje X 1 2 , uslov je zadovoljen f(x 1 ) 2 ) .
(Funkcija se poziva povećanje, Ako više više vrijednost funkcije)
Funkcija y = f(x) pozvao opadajući na skupu X, ako je za bilo koja dva elementa iz ovog skupa takva da X 1 2 , uslov je zadovoljen f(x 1 ) f(x 2 ) .
(Funkcija se poziva smanjenje, Ako više odgovara vrijednosti argumenta manji vrijednost funkcije)
m. Kaže se da je funkcija y = f(x) ograničena odozgo na skupu X ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ∊ X vrijedi nejednakost f(x) M. Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se zove ograničena " width="640" Svojstva funkcije:
ograničenje
Funkcija y = f(x) pozvao ograničen ispod m ∊ X, vrijedi nejednakost
f(x) m .
Funkcija y = f(x) pozvao ograničen iznad na skupu X ako postoji broj M , tako da za bilo koju vrijednost x ∊ X, vrijedi nejednakost
f(x) M .
Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se poziva ograničeno
Svojstva funkcije:
najveća i najmanja vrijednost funkcije
Broj m pozvao najmanju vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X ako:
postoji broj x O ∊ X je to f( X o ) = m ;
za bilo koju vrijednost x ∊ X važi nejednakost
f(x) ≥ f(x o ) .
Broj M pozvao najveća vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X ako:
postoji broj x O ∊ X je to f( X o ) = M ;
za bilo koju vrijednost x ∊ X važi nejednakost
f(x) ≤ f(x o ) .
Svojstva funkcije:
paran ili neparan
Funkcija y = f(x) , X ∊ X pozvao čak f( - x) = f(x) .
Raspored čak y-osa .
Funkcija y = f(x) , X ∊ X pozvao odd , ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f( – x) = – f(x) .
Raspored odd funkcija je simetrična u odnosu na porijeklo .
f(x o) . Maksimalni i minimalni poeni su objedinjeni zajedničkim nazivom - ekstremni bodovi "width="640" Svojstva funkcije:
ekstremne tačke
Tačka X O pozvao maksimalna tačka funkcije y = f(x) O ) vrijedi nejednakost
f(x) f(x o ) .
Tačka X O pozvao minimalna tačka funkcije y = f(x) , ako ova tačka ima susjedstvo za sve tačke koje (osim same tačke x O ) vrijedi nejednakost
f(x) f(x o ) .
Maksimalni i minimalni bodovi ujedinjeni su zajedničkim imenom - ekstremne tačke
Svojstva funkcije:
periodičnost
Kažu da je funkcija y = f(x) , X ∊ X ima period T , ako je za bilo koji x ∊ X jednakost vrijedi
f(x - T ) = f(x) = f(x + T) .
Poziva se funkcija koja ima period različit od nule periodično .
Ako je funkcija y = f(x) , X ∊ X ima period T, zatim bilo koji broj koji je višekratnik T (tj. broj oblika kT , k ∊ Z ), je takođe njegov period.
Grafikon funkcije
Funkcijski graf je skup svih tačaka koordinatne ravni (x; y(x)) , čije su apscise jednake vrijednostima nezavisne varijable iz domene definicije ove funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
(ordinat) y
y = f( x )
x (apscisa)
Basic elementary
funkcije, njihova svojstva
i grafikone
0 ; b) opada ako je k . Nije ograničen ni odozdo ni odozgo. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost. Funkcija je kontinuirana na skupu (– ; + ) . "width="640" Linearna funkcija y=kx+b
Svojstva linearna funkcija y = kx + b :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) = (– ; + ) .
- Ako b = 0 , zatim funkciju odd .
- a) Nule funkcije: ( – b/k; 0) ;
b) tačka preseka sa Oy: (0; b) .
- A) povećava , Ako k 0 ;
b) smanjuje , Ako k .
- Neograničeno ni ispod ni iznad.
- (– ; + ) .
0 y = kx + b , k Linearna funkcija y=kx+b y 0 x b b k " width="640" y = kx + b , k0
y = kx + b , k
Linearna funkcija y=kx+b
0, tada su (– ; 0) i (0; + ) intervali opadajuće funkcije. Nije ograničen ni odozdo ni odozgo. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost. Funkcija je kontinuirana na svakom od intervala (– ; 0) i (0; + ). "width="640" k
at =
Inverzna proporcionalnost
x
Svojstva funkcije y = k/x :
- D(f) = (– ; 0) (0; + ) .
- E(f) = (– ; 0) (0; + ) .
- Funkcija je čudna.
- a) Nule funkcije: br ;
b) tačka preseka sa Oy: br .
- a) ako k , To (– ; 0) I (0; + ) – intervali povećanje funkcije ;
b) ako k 0 , To (– ; 0) I (0; + ) – intervali silazno funkcije.
- Neograničeno ni ispod ni iznad.
- Ne postoji najveća ili najmanja vrijednost.
- Funkcija je kontinuirana u svakom intervalu
(– ; 0) I (0; + ) .
0 x x x 0 " width="640" at =
Inverzna proporcionalnost
y = , k 0
y = , k 0
0: D(f) = (– ; + ) . E(f) = – interval smanjenja funkcije. Ograničeno odozdo, ne ograničeno odozgo. a) na naše ime. = 0; b) najviše – ne postoji. Kontinuirano na setu (– ; + ) . Konveksno prema dolje. "width="640" Kvadratna funkcija y= k x 2
Svojstva funkcije y = kx 2 at k 0 :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) =
– interval silazno funkcije.
- Ograničeno odozdo, nije ograničeno gore.
- a) kod ime = 0;
b) at max. – ne postoji.
- Kontinuirano na setu (– ; + ) .
- Konveksno prema dolje.
Kvadratna funkcija y= k x 2
Svojstva funkcije y = kx 2 at k :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) = (– ; 0] .
- Funkcija čak .
- a) Nule funkcije: (0; 0) ;
b) tačka preseka sa Oy: (0; 0) .
- A)
– interval povećanje funkcije.
- Ograničeno iznad, nije ograničeno ispod.
- a) kod max. = 0;
b) at ime – ne postoji.
- Kontinuirano na setu (– ; + ) .
- Konveksno prema gore.
0 x 0 y = kx 2 , k " width="640" Kvadratna funkcija y= k x 2
y = kx 2 , k0
y = kx 2 , k
Funkcija snage y= x
Svojstva funkcije y = x :
- D(f) = , y = (x), y = sgn x.
6 slajd
Funkcije y = [x], y = (x), y= sgn x. Grafikoni kojih funkcija su prikazani na slikama? Imenujte svojstva svakog od njih. y x -2 –1 0 1 2 1 a 0 -1 1 x y b -2 –1 0 1 2 x y 1 c
7 slajd
Zaključci. Dakle, kao rezultat rada na projektu, proučavali smo svojstva i iscrtali grafove sljedećih funkcija: linearne; direktna i inverzna proporcionalnost; frakciono-linearni; kvadratni; y = |x|; y = [x], y = (x), y = sgn x.
8 slajd
Samostalan rad. Samostalni rad se sastoji iz dva dijela: kompjuterski test; pismeni rad pomoću kartica.
Slajd 9
Funkcija je ovisnost jedne varijable o drugoj, u kojoj je svaka vrijednost nezavisne varijable povezana s jednom vrijednošću zavisne varijable.
10 slajd
Postoje različiti načini definiranja funkcije: analitički; tabelarni; grafički; zadatak po komadima.
11 slajd
Analitička metoda specificiranja funkcije. Specificiranje funkcije pomoću formule (analitički izraz) naziva se analitička metoda specificiranja funkcije. y= x2 + 2x y= - 2 x + 8
12 slajd
Tabelarni metod specificiranja funkcije. Funkcija se može specificirati pomoću tablice koja navodi sve vrijednosti argumenta i funkcije. Ova metoda specificiranja funkcije naziva se metodom tablice. x -5 -3 0 2 4 y 6 10 18 24 35
Slajd 13
Grafički način specificiranja funkcije. Određivanje funkcije pomoću grafa naziva se grafička metoda. Grafikon funkcije y = f (x) je skup tačaka (x, y) čije koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu.
Uvod. Matematika, koja je odavno postala jezik nauke i tehnike, danas sve više prodire u svakodnevni život i svakodnevni jezik, te se sve više uvodi u područja tradicionalno udaljena od njega.
Iz istorije razvoja funkcije. Prvi put je funkcija u matematiku pod nazivom „promenljiva količina“ ušla u čuvenom delu francuskog matematičara i filozofa R. Descartesa „Geometrija“, a njena pojava je, prema F. Engelsu, poslužila kao prekretnica u matematici. , zahvaljujući čemu su u njega uključeni pokret i dijalektika. Bez varijabli I. Newton ne bi mogao izraziti zakone dinamike koji opisuju procese mehaničkog kretanja tijela - nebeskih i potpuno zemaljskih, a savremeni naučnici ne bi mogli izračunati putanje svemirskih letjelica i riješiti beskrajan broj tehnički problemi našeg doba.
Iz istorije razvoja funkcije. Sa razvojem nauke, koncept funkcije je rafiniran i generalizovan. Sada je to postalo toliko opšte da se poklapa sa konceptom korespondencije.
Dakle, funkcija u opštem smislu je svaki zakon (pravilo) prema kojem je svaki objekat iz određene klase, domena definicije funkcije, povezan sa nekim objektom iz druge (ili iste) klase, domenom mogućeg. vrijednosti funkcije.
Metode za specifikaciju funkcija Grafička metoda predstavljanja zavisnosti je takođe jedno od načina njihovog evidentiranja pri proučavanju stvarnih pojava. To vam omogućava da napravite različite instrumente za "samosnimanje", kao što su seizmograf, elektrokardiograf, osciloskop itd., koji prikazuju informacije o promjenama izmjerenih veličina u obliku grafikona. Ali ako postoji graf, tada je definirana i odgovarajuća funkcija. U takvim slučajevima govorimo o grafičkom specificiranju funkcije.
Međutim, grafička metoda specificiranja funkcije je nezgodna za proračune; Štaviše, kao i tabelarni, on je približan i nepotpun.
Dodjela analitičke (formularne) funkcije odlikuje se svojom kompaktnošću, lako se pamti i sadrži potpune informacije o ovisnosti. Funkcija se može specificirati pomoću formule, na primjer: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Ove formule se mogu izvesti pomoću geometrijskog ili fizičkog zaključivanja. Ponekad se formule dobijaju kao rezultat obrade eksperimenta, takve formule se nazivaju empirijskim.< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>.
- porodica polinoma y= axn +...+an-1x +an, gdje je n € N.
Konstrukcija grafika Da biste konstruirali graf funkcije y = 3x2, potrebno je pomnožiti grafik funkcije y = x2 sa 3. Kao rezultat toga, graf funkcije y = x2 će se protezati 3 puta duž ordinatne ose, a ako je y = 0,3 x2, tada će graf biti komprimiran na 0,3 puta duž ose Oy. (Prilog 8, 9).
Konstrukcija grafova Grafikon funkcije y=3(x -4)2 može se dobiti izvođenjem sljedećih koraka: - sabiranjem grafika identične funkcije y=x i konstante y=-4, dobija se graf od funkcija y=x-4; - pomnožimo grafove funkcija y=x-4 i y=x-4, dobijemo grafik funkcije y= (x -4)2; - pomnožimo y= (x -4)2 sa 3, dobićemo grafik funkcije y=3(x -4)2. Ili jednostavno pomaknite grafik funkcije y=3x2 duž ose Ox za 4 jedinična segmenta (Dodatak 10).Transformacije originalnog grafa funkcije y= f(x). Iz navedenog možemo izvući sljedeći zaključak da izvođenjem različitih radnji sa grafovima elementarnih funkcija vršimo transformacije ovih grafova i to: paralelna translacija, simetrija u odnosu na pravu Ox i pravu Oy.
Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:
1 slajd
Opis slajda:
1 slajd
2 slajd
Ciljevi lekcije: Upoznati pojam „funkcije“, konsolidirati ga primjerima Učiti nove pojmove Učiti metode za proučavanje funkcija Učvrstiti znanje o temi prilikom rješavanja zadataka Naučiti kako se grade grafovi funkcija Kolomina N.N.
1 slajd
3 slajd
Malo istorije Reč “funkcija” (od latinskog functio – ostvarenje, izvršenje) prvi je put upotrebio 1673. godine nemački matematičar Lajbnic. Definiciju funkcije „Funkcija promjenjive veličine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove količine i brojeva ili konstantnih veličina“ dao je 1748. godine njemački i ruski matematičar Leonhard Euler N.N.
1 slajd
Definicija. “Zavisnost varijable y o varijable x, u kojoj svaka vrijednost varijable x odgovara jednoj vrijednosti varijable y, naziva se funkcija.” Simbolično, funkcionalni odnos između varijable y (funkcija) i varijable x (argument) ispisuje se korištenjem jednakosti. Metode za specificiranje funkcija: tabelarni (tabela), grafički (graf), analitički (formula). Kolomina N.N.
5 slajd
1 slajd
Opća shema za proučavanje funkcije 1. Područje definicije funkcije. 2.Istraživanje raspona vrijednosti funkcije. 3. Proučavanje funkcije za paritet. 4. Proučavanje intervala rastuće i opadajuće funkcije. 5. Proučavanje funkcije za monotonost. 5. Proučavanje funkcije za ekstrem. 6. Proučavanje funkcije za periodičnost. 7. Određivanje intervala konstantnosti predznaka. 8. Određivanje točaka presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa. 9. Grafički prikaz funkcije. Kolomina N.N.
6 slajd
1 slajd
Domena definicije funkcije Domena definicije (postojanja) funkcije je skup svih realnih vrijednosti argumenta za koje ona može imati realnu vrijednost. Na primjer, za funkciju y=x domen definicije je skup svih realnih vrijednosti brojeva R; za funkciju y=1/x domen definicije je skup R osim x=0. Kolomina N.N.
7 slajd
1 slajd
[-3;5] 0 x y 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Pronađite domen definicije funkcije čiji je graf prikazan na slici 5 -3 Domen definicija funkcije - vrijednosti, koje uzima nezavisna varijabla x Kolomina N.N.
8 slajd
1 slajd
Skup vrijednosti funkcije. Skup vrijednosti funkcije je skup svih realnih vrijednosti funkcije y koje ona može preuzeti. Na primjer, skup vrijednosti funkcije y= x+1 je skup R, skup vrijednosti funkcije je skup realnih brojeva većih ili jednakih 1. y= X2 +1 Kolomina N.N.
Slajd 9
1 slajd
Pronađite skup vrijednosti funkcije čiji je graf prikazan na slici. y x 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Skup vrijednosti funkcije su vrijednosti koje zavisna varijabla y uzima . Kolomina N.N.
10 slajd
1 slajd
Proučavanje funkcije za paritet. Funkcija se poziva čak i ako se za sve vrijednosti x u domeni definicije ove funkcije, kada se predznak argumenta promijeni u suprotan, vrijednost funkcije se ne mijenja, tj. . Na primjer, parabola y = X2 je parna funkcija, jer (-X2)= X2. Grafikon parne funkcije je simetričan oko y osi. Kolomina N.N.
11 slajd
1 slajd
Jedna od sljedećih slika prikazuje graf parne funkcije. Navedite ovaj raspored. x x x x y y y Grafikon je simetričan oko ose Oy 0 0 0 0 Kolomina N.N.
12 slajd
1 slajd
Funkcija se naziva neparnom ako se za sve vrijednosti x u domeni definicije ove funkcije, kada se predznak argumenta promijeni u suprotan, funkcija mijenja samo predznak, tj. . Na primjer, funkcija y = X3 je neparna, jer (-X)3 = -X3. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Nema svaka funkcija svojstvo parnog ili neparnog. Na primjer, funkcija nije ni parna ni neparna: X2+ X3 (-X)2+ (-X)3 = X2 – X3; X2 + X3 X2 – X3; = / Kolomina N.N.
Slajd 13
1 slajd
x x x x y y Jedna od sljedećih slika prikazuje grafik neparne funkcije. Navedite ovaj raspored. Graf je simetričan u odnosu na tačku O. O O O O Kolomina N.N.
Slajd 14
1 slajd
Među mnogim funkcijama, postoje funkcije čije se vrijednosti samo povećavaju ili smanjuju kako se argument povećava. Takve funkcije se nazivaju rastućim ili opadajućim. Funkcija se naziva rastućom u intervalu a x b ako za bilo koji X1 i pripada tom intervalu, na X1 X2 vrijedi nejednakost. Definicija intervala rasta i smanjenja /\ /\ X2 /\ /\ 1 2 Za funkciju se kaže da je. opadajući u intervalu a x b, ako za bilo koje X1 i X2 koji pripadaju ovom intervalu, za X1 X2 vrijedi nejednakost /\ /\ /\ 2 1 > N.N.
15 slajd
1 slajd
[-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] x 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), specificirano na intervalu (-5;6). Označite intervale u kojima se funkcija povećava. u Kolominu N.N.
16 slajd
1 slajd
y x 1 2 4 0 Nula funkcije je vrijednost x na kojoj je y = 0. Na slici su to tačke preseka grafika sa Ox osom. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Odredite broj nula funkcije. 0 Kolomina N.N.
Slajd 17
1 slajd
18 slajd
1 slajd
Proučavanje funkcije za monotonost. I rastuće i opadajuće funkcije nazivaju se monotoni, a intervali u kojima funkcija raste ili opada se nazivaju monotoni intervali. Na primjer, funkcija y = X2 na x 0 monotono raste. Funkcija y = X3 monotono raste na cijeloj numeričkoj osi, a funkcija y = -X3 monotono opada na cijeloj numeričkoj osi. /\ /\ Kolomina N.N.
Slajd 19
1 slajd
Ispitati monotonost funkcije Funkcija y=x2 Funkcija y=x2 na x<0 монотонно убывает, при х>0 monotono raste x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Kolomina N.N.
20 slajd
1 slajd
Inverzna funkcija Ako funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo za jednu vrijednost x, tada se takva funkcija naziva inverzibilna. Na primjer, funkcija y=3x+5 je invertibilna, jer svaka vrijednost y je prihvaćena sa jednom vrijednošću argumenta x. Naprotiv, funkcija y=3X2 nije inverzibilna, jer, na primjer, uzima vrijednost y=3 i na x=1 i na x=-1. Za bilo koju kontinuiranu funkciju (onu koja nema tačaka diskontinuiteta) postoji monotona, jednoznačna i kontinuirana inverzna funkcija. Kolomina N.N.
21 slajd
1 slajd
Diktat Pronađite raspon vrijednosti Istražite intervale rastućih i opadajućih funkcija. Br. Opcija-1 Br. Opcija-2 Pronađite domen definicije funkcije 1 1 2 2 Navedite način specificiranja funkcije 3 3 Ispitajte funkciju na paritet 4 4 5 5 x -2 -1 0 1 y 3 5 7 9 Kolomina N.N.
22 slajd
1 slajd
Funkcije. 1. Linearna funkcija 2. Kvadratna funkcija 3. Funkcija stepena 4. Eksponencijalna funkcija 5. Dogaritamska funkcija 6. Trigonometrijska funkcija Kolomin N.N.
Slajd 23
1 slajd
Linearna funkcija y = kx + b k – ugaoni koeficijent b x y α 0 b – slobodni koeficijent k = tan α Kolomina N.N.
24 slajd
“Izgradite graf funkcije” - Grafovi funkcija y=m sinx+n i y=m cosx+n. Istezanje grafika y=cosx duž y ose. Za povratak na sadržaj kliknite ovdje. Grafikon funkcije y= m*cos x. Pomak grafikona y=cosx okomito. Sadržaj: Samostalni rad. Zadata funkcija y=cosx+1. Horizontalni pomak grafika y=sinx. Zadana funkcija y=sinx+1.
“Najveća i najmanja vrijednost funkcije” - Zadatak 1 Zadatak 2.3. Ciljevi lekcije: Rješenje: Ne postoji najmanji. Uspostavimo vezu između uslova i zaključka. Odgovor: Najveća vrijednost je 0, najmanja vrijednost je -8/3. Konstantinova Tatyana Gennadievna Opštinska obrazovna ustanova "Zapadnodvinskaya srednja škola br. 1". Tema: Derivat funkcije stepena. Pronađite najmanju i najveću vrijednost date funkcije u datom intervalu:
“Koordinatna ravan” - Koordinatna ravan. Koordinatna linija, koordinatni ugao. Zadatak br. 1. Plan lekcije. Koordinate tačaka koje se nalaze na osi. Kako su brojevi označeni na koordinatnoj liniji? (1 način). Upoznati učenike sa istorijom negativnih brojeva. Kako se označavaju tačke na ravni. (2 smjera). Ciljevi lekcije:
“Svojstva funkcije” - 1. Definicija funkcije. y=0, x=0 6. Intervali konstantnog znaka y > 0 na (0; +). 5.Zero funkcija. Svojstva funkcije. E(y)=)
