Proračun matematičkog očekivanja i varijanse. Očekivana vrijednost. Očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Magnituda
Osnovne numeričke karakteristike slučajnog
Zakon raspodjele gustine karakterizira slučajnu varijablu. Ali često je nepoznat, i čovjek se mora ograničiti na manje informacija. Ponekad je još isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu. Takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajna varijabla. Pogledajmo glavne.
definicija:Matematičko očekivanje M(X) diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća:
Ako je diskretna slučajna varijabla X tada uzima prebrojivo mnogo mogućih vrijednosti
Štaviše, matematičko očekivanje postoji ako je ovaj niz apsolutno konvergentan.
Iz definicije proizilazi da M(X) diskretna slučajna varijabla je neslučajna (konstantna) varijabla.
primjer: Neka X– broj pojavljivanja događaja A u jednom testu, P(A) = p. Moramo pronaći matematičko očekivanje X.
Rješenje: Kreirajmo tabelarni zakon raspodjele X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - str | str |
Nađimo matematičko očekivanje:
dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom pokušaju jednako je vjerovatnoći ovog događaja.
Poreklo termina očekivanu vrijednost povezano sa početni period pojava teorije verovatnoće (XVI-XVII vek), kada je obim njene primene bio ograničen na kockanje. Igrača je zanimala prosječna vrijednost očekivane pobjede, tj. matematičko očekivanje pobjede.
Hajde da razmotrimo vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja.
Neka se proizvede n testovi u kojima je slučajna varijabla X prihvaćeno m 1 puta vrijednost x 1, m 2 puta vrijednost x 2, i tako dalje, i na kraju je prihvatila m k puta vrijednost x k, i m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Zatim zbir svih vrijednosti koje uzima slučajna varijabla X, je jednako x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Aritmetička sredina svih vrijednosti koje uzima slučajna varijabla X,jednako:
budući da je relativna frekvencija vrijednosti za bilo koju vrijednost i = 1, …, k.
Kao što je poznato, ako je broj testova n je dovoljno velika, onda je relativna frekvencija približno jednaka vjerovatnoći da će se događaj dogoditi, dakle,
Dakle, .
zaključak:Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable približno je jednako (što je preciznije, to je veći broj testova) aritmetičkoj sredini posmatranih vrijednosti slučajne varijable.
Razmotrimo osnovna svojstva matematičkog očekivanja.
Nekretnina 1:Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstantnoj vrijednosti:
M(C) = C.
dokaz: Konstantno WITH može se smatrati , što ima jedno moguće značenje WITH i prihvata to sa vjerovatnoćom p = 1. dakle, M(C) = C 1= S.
Hajde da definišemo proizvod konstantne varijable C i diskretne slučajne varijable X kao diskretna slučajna varijabla CX, čije su moguće vrijednosti jednake umnošku konstante WITH do mogućih vrednosti X CX jednaka vjerovatnoćama odgovarajućih mogućih vrijednosti X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Nekretnina 2:Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M(CX) = CM(X).
dokaz: Neka je slučajna varijabla X dato je zakonom raspodjele vjerovatnoće:
| X | … | |||
| P | … |
Napišimo zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
definicija:Dvije slučajne varijable nazivaju se neovisnim ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je druga varijabla uzela. Inače, slučajne varijable su zavisne.
definicija:Za nekoliko slučajnih varijabli se kaže da su međusobno neovisne ako zakoni distribucije bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su preostale varijable uzele.
Hajde da definišemo proizvod nezavisnih diskretnih slučajnih varijabli X i Y kao diskretna slučajna varijabla XY, čije su moguće vrijednosti jednake proizvodima svake moguće vrijednosti X za svaku moguću vrijednost Y. Vjerovatnoće mogućih vrijednosti XY jednaki su proizvodima vjerovatnoća mogućih vrijednosti faktora.
Neka su date distribucije slučajnih varijabli X I Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Zatim distribucija slučajne varijable XY ima oblik:
| XY | … | |||
| P | … |
Neki radovi mogu biti jednaki. U ovom slučaju, vjerovatnoća moguće vrijednosti proizvoda jednaka je zbiru odgovarajućih vjerovatnoća. Na primjer, ako je = , tada je vjerovatnoća vrijednosti
Svojstvo 3:Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X) M(Y).
dokaz: Neka su nezavisne slučajne varijable X I Y specificirani su vlastitim zakonima raspodjele vjerovatnoće:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Da bismo pojednostavili proračune, ograničit ćemo se na mali broj mogućih vrijednosti. U opštem slučaju dokaz je sličan.
Kreirajmo zakon raspodjele slučajne varijable XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Posljedica:Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
dokaz: Dokažimo za tri međusobno nezavisne slučajne varijable X,Y,Z. Slučajne varijable XY I Z nezavisno, onda dobijamo:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Za proizvoljan broj međusobno nezavisnih slučajnih varijabli, dokaz se izvodi metodom matematičke indukcije.
primjer: Nezavisne slučajne varijable X I Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Treba pronaći M(XY).
Rješenje: Pošto slučajne varijable X I Y su dakle nezavisni M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Hajde da definišemo zbir diskretnih slučajnih varijabli X i Y kao diskretna slučajna varijabla X+Y, čije su moguće vrijednosti jednake zbiru svake moguće vrijednosti X sa svakom mogućom vrednošću Y. Vjerovatnoće mogućih vrijednosti X+Y za nezavisne slučajne varijable X I Y jednaki su proizvodima vjerovatnoća termina, a za zavisne slučajne varijable - proizvodima vjerovatnoće jednog člana i uslovne vjerovatnoće drugog.
Ako su = i vjerovatnoće ovih vrijednosti respektivno jednake, tada je vjerovatnoća (isto kao ) jednaka .
Svojstvo 4:Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable (zavisne ili nezavisne) jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
dokaz: Neka dvije slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Da bismo pojednostavili zaključak, ograničit ćemo se na dvije moguće vrijednosti svake veličine. U opštem slučaju dokaz je sličan.
Sastavimo sve moguće vrijednosti slučajne varijable X+Y(pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su ove vrijednosti različite; ako nisu, onda je dokaz sličan):
| X+Y | ||||
| P |
Nađimo matematičko očekivanje ove vrijednosti.
M(X+Y) = + + + +
Dokažimo da je + = .
Događaj X = ( njegovu vjerovatnoću P(X = ) uključuje događaj da je slučajna varijabla X+Yće uzeti vrijednost ili (vjerovatnoća ovog događaja, prema teoremi sabiranja, jednaka je ) i obrnuto. Tada = .
Jednakosti = = = dokazuju se na sličan način
Zamjenom desne strane ovih jednakosti u rezultirajuću formulu za matematičko očekivanje, dobivamo:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Posljedica:Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja termina.
dokaz: Dokažimo za tri slučajne varijable X,Y,Z. Nađimo matematičko očekivanje slučajnih varijabli X+Y I Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Za proizvoljan broj slučajnih varijabli, dokaz se provodi metodom matematičke indukcije.
primjer: Pronađite prosjek zbira broja bodova koji se mogu dobiti bacanjem dvije kocke.
Rješenje: Neka X– broj bodova koji se mogu pojaviti na prvom kocku, Y- Na drugom. Očigledno je da su slučajne varijable X I Y imaju iste distribucije. Zapišimo podatke o distribuciji X I Y u jednu tabelu:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Dakle, prosječna vrijednost zbira broja poena koji se mogu pojaviti pri bacanju dvije kocke je 7 .
Teorema:Matematičko očekivanje M(X) broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja u svakom pokušaju: M(X) = np.
dokaz: Neka X– broj pojavljivanja događaja A V n nezavisni testovi. Očigledno, ukupan broj X pojave događaja A u ovim ispitivanjima je zbir broja pojavljivanja događaja u pojedinačnim ispitivanjima. Zatim, ako je broj pojavljivanja događaja u prvom pokušaju, u drugom i tako dalje, konačno, broj pojavljivanja događaja u n-ti test, tada se ukupan broj pojavljivanja događaja izračunava po formuli:
By svojstvo 4 matematičkog očekivanja imamo:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Budući da je matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom pokušaju jednako vjerovatnoći događaja, tada
M( ) = M( )= … = M( ) = str.
dakle, M(X) = np.
primjer: Vjerovatnoća pogađanja mete pri pucanju iz pištolja je p = 0,6. Pronađite prosječan broj pogodaka ako je ostvaren 10 shots.
Rješenje: Pogodak za svaki hitac ne zavisi od ishoda drugih hitaca, stoga su događaji koji se razmatraju nezavisni i stoga je potrebno matematičko očekivanje jednako:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Dakle, prosječan broj pogodaka je 6.
Sada razmotrite matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable.
definicija:Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X, čije moguće vrijednosti pripadaju intervalu,naziva se definitivnim integralom:
gdje je f(x) gustina distribucije vjerovatnoće.
Ako moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X pripadaju cijeloj osi Ox, onda
Pretpostavlja se da ovaj nepravilni integral apsolutno konvergira, tj. integral konvergira Ako ovaj zahtjev nije ispunjen, tada bi vrijednost integrala ovisila o brzini kojom (posebno) donja granica teži -∞, a gornja granica +∞.
To se može dokazati sva svojstva matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable su sačuvana za kontinuiranu slučajnu varijablu. Dokaz se zasniva na svojstvima određenih i nepravih integrala.
Očigledno je da je matematičko očekivanje M(X) veća od najmanje i manja od najveće moguće vrijednosti slučajne varijable X. One. na brojevnoj osi moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze se lijevo i desno od njenog matematičkog očekivanja. U tom smislu, matematičko očekivanje M(X) karakterizira lokaciju distribucije i stoga se često naziva distributivni centar.
Poglavlje 6.
Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Matematičko očekivanje i njegova svojstva
Za rješavanje mnogih praktičnih problema nije uvijek potrebno poznavanje svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća. Štaviše, ponekad je zakon raspodjele slučajne varijable koja se proučava jednostavno nepoznat. Međutim, potrebno je istaknuti neke karakteristike ove slučajne varijable, drugim riječima, numeričke karakteristike.
Numeričke karakteristike– to su neki brojevi koji karakterišu određena svojstva, karakteristične karakteristike slučajne varijable.
Na primjer, prosječna vrijednost slučajne varijable, prosječno širenje svih vrijednosti slučajne varijable oko njenog prosjeka, itd. Osnovna svrha numeričkih karakteristika je da u sažetom obliku izraze najvažnije karakteristike distribucije slučajne varijable koja se proučava. Numeričke karakteristike igraju veliku ulogu u teoriji vjerovatnoće. Oni pomažu u rješavanju, čak i bez poznavanja zakona distribucije, mnogih važnih praktičnih problema.
Među svim numeričkim karakteristikama prvo izdvajamo karakteristike položaja. To su karakteristike koje fiksiraju položaj slučajne varijable na numeričkoj osi, tj. određena prosječna vrijednost oko koje se grupišu preostale vrijednosti slučajne varijable.
Od karakteristika pozicije, najveću ulogu u teoriji vjerovatnoće igra matematičko očekivanje.
Očekivana vrijednost ponekad se naziva jednostavno sredinom slučajne varijable. To je svojevrsni distributivni centar.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Razmotrimo prvo koncept matematičkog očekivanja za diskretnu slučajnu varijablu.
Prije nego što uvedemo formalnu definiciju, riješimo sljedeći jednostavan problem.
Primjer 6.1. Neka određeni strijelac ispali 100 hitaca u metu. Kao rezultat toga, dobijena je sljedeća slika: 50 hitaca - pogoditi "osmicu", 20 hitaca - pogoditi "devetku" i 30 - pogoditi "desetku". Koja je prosječna ocjena za jedan hitac?
Rješenje Ovaj problem je očigledan i svodi se na pronalaženje prosječne vrijednosti 100 brojeva, odnosno bodova.
Razlomak transformiramo tako što brojilac podijelimo sa nazivnikom član po član i predstavimo prosječnu vrijednost u obliku sljedeće formule:
Pretpostavimo sada da je broj poena u jednom metu vrijednosti neke diskretne slučajne varijable X. Iz iskaza problema je jasno da X 1 =8; X 2 =9; X 3 =10. Poznate su relativne frekvencije pojavljivanja ovih vrijednosti, koje su poznate veliki broj testovi su približno jednaki vjerovatnoćama odgovarajućih vrijednosti, tj. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Dakle, . Vrijednost na desnoj strani je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća tih vrijednosti.
Neka je diskretna slučajna varijabla X dat je njegovim distribucijskim nizom:
| X | X 1 | X 2 | … | X n |
| R | R 1 | R 2 | … | R n |
Zatim matematičko očekivanje M(X) diskretne slučajne varijable određuje se sljedećom formulom:
Ako diskretna slučajna varijabla poprimi beskonačan prebrojiv skup vrijednosti, tada se matematičko očekivanje izražava formulom:
,
Štaviše, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.
Primjer 6.2 . Pronađite matematičko očekivanje pobjede X pod uslovima iz primera 5.1.
Rješenje . Podsjetimo da je distribucija serije X ima sljedeći oblik:
| X | |||
| R | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Dobijamo M(X)=0∙0.7+10∙0.2+50∙0.1=7. Očigledno, 7 rubalja je fer cijena za kartu u ovoj lutriji, bez raznih troškova, na primjer, povezanih s distribucijom ili proizvodnjom tiketa. ■
Primjer 6.3 . Neka je slučajna varijabla X je broj pojavljivanja nekog događaja A u jednom testu. Vjerovatnoća ovog događaja je R. Nađi M(X).
Rješenje. Očigledno, moguće vrijednosti slučajne varijable su: X 1 =0 – događaj A nije se pojavio i X 2 =1 – događaj A pojavio. Serija distribucije izgleda ovako:
| X | ||
| R | 1−R | R |
Onda M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■
Dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom ogledu jednako je vjerovatnoći ovog događaja.
Na početku paragrafa je dato konkretan zadatak, gdje je naznačen odnos između matematičkog očekivanja i prosječne vrijednosti slučajne varijable. Objasnimo ovo uopšteno.
Neka se proizvede k testovi u kojima je slučajna varijabla X prihvaćeno k 1 vremenska vrijednost X 1 ; k 2 puta veća vrijednost X 2 itd. i na kraju k n puta vrijednost xn. Očigledno je da k 1 +k 2 +…+k n = k. Hajde da nađemo aritmetičku sredinu svih ovih vrednosti koje imamo
Imajte na umu da je razlomak relativna učestalost pojavljivanja vrijednosti x i V k testovi. Kod velikog broja testova relativna frekvencija je približno jednaka vjerovatnoći, tj. . Iz toga slijedi
.
Dakle, matematičko očekivanje je približno jednako aritmetičkoj sredini posmatranih vrijednosti slučajne varijable, a što je tačnije veći je broj testova - to je vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja.
Ponekad se naziva očekivana vrijednost centar distribuciju slučajne varijable, jer je očigledno da se moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze na numeričkoj osi lijevo i desno od njenog matematičkog očekivanja.
Pređimo sada na koncept matematičkog očekivanja za kontinuiranu slučajnu varijablu.
Biće i zadataka za nezavisna odluka, na koje možete vidjeti odgovore.
Očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen raspršenosti. Očekivana vrijednost se često naziva jednostavno prosjekom. slučajna varijabla. Disperzija slučajne varijable - karakteristika disperzije, širenje slučajne varijable o njegovom matematičkom očekivanju.
U mnogim praktičnim problemima, potpuna, iscrpna karakteristika slučajne varijable - zakon raspodjele - ili se ne može dobiti ili uopće nije potrebna. U ovim slučajevima se ograničava na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Hajdemo do koncepta matematičkog očekivanja. Neka je masa neke supstance raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n. Štaviše, svaka materijalna tačka ima odgovarajuću masu sa verovatnoćom od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je odabrati jednu tačku na osi apscise, koja karakterizira položaj cijelog sistema materijalne tačke, uzimajući u obzir njihovu masu. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, do koje apscisa svake tačke xi ulazi sa “težinom” jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Prosječna vrijednost slučajne varijable dobijena na ovaj način X naziva se njeno matematičko očekivanje.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:
Primjer 1. Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki. 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Koliki je prosječan dobitak za nekoga ko kupi jednu kartu?
Rješenje. Pronalazimo prosječnu isplatu ako ukupan iznos dobitke, što je jednako 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijelite sa 1000 (ukupan iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka može se predstaviti u sljedećem obliku:
S druge strane, pod ovim uvjetima, dobitna veličina je slučajna varijabla, koja može imati vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Shodno tome, očekivani prosječni dobitak jednak je zbiru proizvoda veličine dobitaka i vjerovatnoće njihovog primanja.
Primjer 2. Izdavač je odlučio da objavi novu knjigu. Knjigu planira prodati za 280 rubalja, od čega će on sam dobiti 200, 50 knjižari i 30 autoru. Tabela daje informacije o troškovima izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.
Pronađite očekivani profit izdavača.
Rješenje. Slučajna varijabla “profit” jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:
| Broj | Profit xi | Vjerovatnoća stri | xi str i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ukupno: | 1,00 | 25000 |
Tako dobijamo matematičko očekivanje profita izdavača:
.
Primjer 3. Verovatnoća pogađanja jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju projektila koji daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.
Rješenje. Iz iste formule matematičkog očekivanja koju smo do sada koristili, izražavamo x- potrošnja ljuske:
.
Primjer 4. Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogotka sa svakim udarcem str = 0,4 .
Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .
Osobine matematičkog očekivanja
Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja.
Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:
Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:
Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj WITH, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:
Kada se ne možete ograničiti samo na matematička očekivanja
U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može dovoljno okarakterizirati slučajnu varijablu.
Neka slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| Značenje X | Vjerovatnoća |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Značenje Y | Vjerovatnoća |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:
Međutim, obrasci njihove distribucije su različiti. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava procjenu udjela visoko i nisko plaćenih radnika. Drugim riječima, iz matematičkog očekivanja ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.
Varijanca diskretne slučajne varijable
Varijanca diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:
Standardna devijacija slučajne varijable X aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse naziva se:
.
Primjer 5. Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X I Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.
Rješenje. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X I Y, kao što je gore utvrđeno, jednaki su nuli. Prema formuli disperzije at E(X)=E(y)=0 dobijamo:
Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X I Yšminka
.
Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X vrlo mala, ali slučajna varijabla Y- značajno. To je posljedica razlika u njihovoj distribuciji.
Primjer 6. Investitor ima 4 alternativni projekat ulaganja. Tabela sumira očekivanu dobit u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.
| Projekat 1 | Projekat 2 | Projekat 3 | Projekat 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Pronađite za svaku alternativu matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju.
Rješenje. Hajde da pokažemo kako se ove vrijednosti izračunavaju za 3. alternativu:
Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.
Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, onda će izabrati projekat sa najvećom standardnom devijacijom - projekat 4.
Svojstva disperzije
Hajde da predstavimo svojstva disperzije.
Nekretnina 1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula:
Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:
.
Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:
,
Gdje 
.
Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbroju (razlici) njihovih varijansi:
Primjer 7. Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.
Rješenje. Označimo sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla uzima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:
E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,
odakle dobijamo verovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .
Zakon distribucije slučajne varijable:
| X | −3 | 7 |
| str | 0,3 | 0,7 |
Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 disperzije:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 8. Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Prihvata veću od vrijednosti 3 sa vjerovatnoćom 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.
Primjer 9. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz urne se izvlače 3 lopte. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Rješenje. Slučajna vrijednost X može imati vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoće. Zakon distribucije slučajne varijable:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| str | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varijanca date slučajne varijable je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Očekivanje i varijansa kontinuirane slučajne varijable
Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osi s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, čiji argument funkcije xi naglo se mijenja za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja; Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable je takođe povezano sa njenom prosečnom vrednošću.
Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona direktno ulazi u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.
Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .
Očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable
Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, uzorak, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, problemi, procjena očekivanja, disperzija, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna
Proširite sadržaj
Sažmi sadržaj
Matematičko očekivanje je definicija
Jedan od najvažnijih koncepata u matematičke statistike i teorija vjerojatnosti, koja karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao prosjećna težina sve moguće parametre slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, istraživanju numeričke serije, proučavanje kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igara na sreću u teoriji kockanja.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.
Matematičko očekivanje je mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Očekivanje slučajne varijable x označeno sa M(x).
Matematičko očekivanje je
Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti.
Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoće tih vrijednosti.
Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.
Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. U kockarskom jeziku, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "ivica kuće" (ako je negativna za igrača).
Matematičko očekivanje je procenat profita po pobedi pomnožen prosečnim profitom, minus verovatnoća gubitka pomnožena sa prosečnim gubitkom.
Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematička teorija
Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njeno matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrimo skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, dat je vjerovatnoćama.
Termin "matematičko očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i dolazi od koncepta "očekivana vrijednost dobitka", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascal-a i Christiaana. Huygens. Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuti Lvovič Čebišev (sredina 19. stoljeća).
Zakon slučajne distribucije numeričke veličine(funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuju ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.
Matematičko očekivanje je jednostavno fizičko značenje: ako stavite jediničnu masu na pravu liniju, stavljajući neku masu u neke tačke (za diskretna distribucija), ili ga „razmazujući“ određenom gustinom (za apsolutno kontinuirana distribucija), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "centra gravitacije" linije.
Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj koji je, takoreći, njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u približno približnim proračunima. Kada kažemo: "prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati" ili "prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno", ukazujemo na određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokaciju. na numeričkoj osi, tj. "karakteristike položaja".
Iz karakteristika položaja u teoriji vjerovatnoće vitalna uloga igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koja se ponekad naziva jednostavno prosječna vrijednost slučajne varijable.
Uzmite u obzir slučajnu varijablu X, sa mogućim vrijednostima x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu, prirodno je koristiti takozvani „ponderisani prosek“ vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati prosjek slučajne varijable X, koje označavamo M |X|:
Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Tako smo uveli u razmatranje jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.
X je povezan osebujnom zavisnošću sa aritmetičkom sredinom posmatranih vrednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između frekvencije i vjerovatnoće, može se zaključiti kao posljedica prisutnosti slične veze između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Zaista, razmotrite slučajnu varijablu X, karakteriziran distribucijskim nizom:
Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da je vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 jednom, u opštem smislu xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu uočenih vrijednosti vrijednosti X, koja je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označavamo M*|X|:
Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Gore formulisana veza između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.
Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su neki prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje govorimo o stabilnosti aritmetičke sredine iz serije opažanja iste veličine. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo neslučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.
Stabilnost prosjeka u velikom broju eksperimenata može se lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, kada vagamo tijelo u laboratoriju na preciznoj vagi, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; Da bismo smanjili grešku u promatranju, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje i, uz dovoljno veliki broj eksperimenata, praktično prestaje da se menja.
Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, takvi slučajevi nisu od značajnog interesa za praksu. Tipično, slučajne varijable s kojima se bavimo imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju matematička očekivanja.
Pored najvažnijih karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike pozicije, posebno mod i medijan slučajne varijable.
Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Izraz "najvjerovatnija vrijednost" striktno govoreći primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.
Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "multimodalna".
Ponekad postoje distribucije koje imaju minimum u sredini, a ne maksimum. Takve distribucije se nazivaju „antimodalne“.
U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ono poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje zatvoreno krivom raspodjele podijeljeno na pola.
U slučaju simetrične modalne distribucije, medijana se poklapa sa matematičkim očekivanjem i modom.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucija vjerovatnoće slučajne varijable. Na najopštiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) definisan kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:
Matematičko očekivanje se također može izračunati kao Lebesgueov integral od X po distribuciji vjerovatnoće px količine X:
Koncept slučajne varijable sa beskonačnim matematičkim očekivanjem može se definirati na prirodan način. Tipičan primjer su vremena povratka nekih nasumičnih šetnji.
Koristeći matematičko očekivanje, određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno disperzija, kovarijanca .
Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki „tipični“ parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta – koordinate težišta distribucije mase – u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. Značenje matematičkog očekivanja najpotpunije otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova pri bacanju kocke može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi, za takvu vrijednost, postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prihod (ili gubitak) od svake od rizičnih transakcija?
Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da je svaka četvrta karta pobjednička, nagrada će biti 300 rubalja, a cijena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačno veliki broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštat će 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), to jest, za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.
Bacamo kockice. Ako nije varanje (bez pomeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda u proseku imati poena u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija jednako vjerovatna, jednostavno uzimamo aritmetičku sredinu i dobijemo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što ni jedno konkretno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!
Sada da sumiramo naše primjere:
Pogledajmo upravo datu sliku. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (datih u gornjem redu). Ne može postojati nikakva druga značenja. Ispod svake moguće vrijednosti je njena vjerovatnoća. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem testova (sa velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti istom matematičkom očekivanju.
Vratimo se ponovo na istu kocku za igru. Matematičko očekivanje broja poena pri bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako mi ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Rezultati su bili 4 i 6. Prosek je bio 5, što je daleko od 3,5. Bacili su ga još jednom, dobili su 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A čak i da prosek nije tačno 3,5, biće blizu toga.
Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Ploča će izgledati ovako:
Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo gore utvrdili:
Druga stvar je da bi bilo teško to učiniti "na prste" bez formule da postoji više opcija. Pa, recimo da bi bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% posebno dobitnih.
Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.
Lako je dokazati:
Konstantni faktor se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja, odnosno:
Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.
Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:
to jest, matematičko očekivanje sume slučajnih varijabli je jednako zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.
Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, Zatim:
Ovo je takođe lako dokazati) Rad XY sama po sebi je slučajna varijabla, i ako bi početne vrijednosti mogle poprimiti n I m vrijednosti prema tome XY može uzeti nm vrijednosti. Verovatnoća svake vrednosti se izračunava na osnovu činjenice da su verovatnoće nezavisnih događaja umnožiti. Kao rezultat, dobijamo ovo:
Očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). Suštinski karakteriše situaciju da neke vrijednosti iz skupa realni brojevi slučajna varijabla uzima češće, neke rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:
Evo X- stvarna slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. Šanse su premašene 3 ili biti manji -3 prilično čisto teorijski.
Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:
Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo, ako dobijemo mnogo slučajnih realnih brojeva sa uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.
Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost, itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva ovde.
Odnos između matematičkog očekivanja i drugih statističkih pokazatelja
U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Indikatori varijacije često nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakteriše homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.
Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.
Najvažniji indikator koji karakteriše varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Kao i prosječno linearno odstupanje, varijansa također odražava opseg širenja podataka oko srednje vrijednosti.
Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je disperzija prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, dodaje, a zatim dijeli sa brojem vrijednosti u populaciji. Razlika između zasebna vrijednost a prosjek odražava mjeru odstupanja. Kvadira se tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno uništavanje pozitivnih i negativnih devijacija prilikom njihovog sabiranja. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i izračunava se prosjek. Odgovor na magičnu reč "disperzija" leži u samo tri reči.
Međutim, u svom čistom obliku, kao što je aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Čak nema ni normalnu mjernu jedinicu. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat mjerne jedinice izvornih podataka.
Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je prosječna vrijednost povezana sa funkcijom distribucije?
Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će se pojaviti na kocki pri svakom bacanju je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. Aritmetički prosjek ispuštenih bodova izračunat za sva bacanja je također slučajna varijabla, ali za velike N teži vrlo specifičnom broju - matematičkom očekivanju Mx. IN u ovom slučaju Mx = 3,5.
Kako ste dobili ovu vrijednost? Pusti unutra N testovi n1 kada dobijete 1 bod, n2 jednom - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:
Slično za ishode kada se bacaju 2, 3, 4, 5 i 6 poena.
Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ..., pk.
Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x jednako je:
Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Stoga je za procjenu prosječne plate razumnije koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da se poklopi broj ljudi koji primaju platu nižu od medijane i veću.
Vjerovatnoća p1 da će slučajna varijabla x biti manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da će slučajna varijabla x biti veća od x1/2, iste su i jednake su 1/2. Medijan nije određen jedinstveno za sve distribucije.
Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da se podaci grupišu oko srednje vrednosti, dok velika standardna devijacija ukazuje da se početni podaci nalaze daleko od nje. Standardna devijacija je kvadratni korijen količina koja se naziva disperzija. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od prosječne vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:
Primjer. U uslovima testiranja kada pucate na metu, izračunajte disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable:
Varijacija- fluktuacija, promjenjivost vrijednosti neke karakteristike među jedinicama stanovništva. Pojedinačne numeričke vrijednosti neke karakteristike pronađene u populaciji koja se proučava nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljna prosječna vrijednost za pune karakteristike populacija nas prisiljava da prosječne vrijednosti dopunimo indikatorima koji nam omogućavaju da procijenimo tipičnost ovih prosjeka mjerenjem varijabilnosti (varijacije) karakteristike koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava pomoću formule:
Raspon varijacija(R) predstavlja razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti atributa u populaciji koja se proučava. Ovaj indikator daje najviše opšta ideja o varijabilnosti proučavane karakteristike, jer ona pokazuje razliku samo između graničnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima karakteristike daje opsegu varijacije nestabilan, slučajan karakter.
Prosječna linearna devijacija predstavlja aritmetičku sredinu apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:
Očekivanje u teoriji kockanja
Matematičko očekivanje je Prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo važan koncept za igrača jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je također optimalno sredstvo za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.
Recimo da igrate igru novčića sa prijateljem, svaki put dajete jednaku opkladu od 1$, bez obzira na to šta se pojavi. Rep znači da pobjeđujete, glava znači da gubite. Šanse su jedan prema jedan da će se pojaviti, tako da se kladite $1 prema $1. Dakle, vaša matematička očekivanja su nula, jer Sa matematičke tačke gledišta, ne možete znati da li ćete voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.
Vaš dobitak po satu je nula. Dobici po satu su iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta za sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer... Vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovaj sistem klađenja nije loš. Ali ovo je jednostavno gubljenje vremena.
Ali recimo da neko želi da se kladi 2$ protiv vašeg 1$ u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubit ćete 1$, kladite se na drugi i dobit ćete 2$. Kladite se dva puta po $1 i imate prednost od $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.
Ako se novčić pojavi 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će već biti 250 dolara, jer... U prosjeku ste izgubili jedan dolar 250 puta i osvojili dva dolara 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, koja je prosječan iznos koji dobijete po opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi po opkladi.
Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti na prvih deset bacanja zaredom, ali vi, ako imate prednost u klađenju od 2 prema 1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zaradit ćete 50 centi na svaki $1 opkladu u bilo kojoj okolnosti. Nije bitno hoćete li dobiti ili izgubiti jednu ili nekoliko opklada, sve dok imate dovoljno novca da udobno pokrijete troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, tada će se tokom dužeg vremenskog perioda vaš dobitak približiti zbroju očekivanja u pojedinačnim bacanjima.
Svaki put kada napravite najbolju opkladu (opkladu koja se može pokazati isplativom na duge staze), kada su kvote u vašu korist, obavezno ćete nešto osvojiti na tome, bez obzira da li to izgubite ili ne u data hand. Suprotno tome, ako napravite underdog opkladu (opkladu koja je neisplativa na duge staze) kada su šanse protiv vas, gubite nešto bez obzira na to da li dobijete ili izgubite ruku.
Stavljate opkladu sa najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su kvote na vašoj strani. Kada položite opkladu sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo na najbolji ishod, ako se dogodi najgori, odustaju. Šta šanse znače u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Prave šanse za sletanje su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera izgleda. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.
Evo još složen primjer matematičko očekivanje. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete pogoditi broj. Treba li pristati na takvu opkladu? Šta se tu očekuje?
U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, šanse protiv toga da pogodite broj su 4 prema 1. Šanse protiv toga da izgubite dolar u jednom pokušaju. Međutim, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4 prema 1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako uložite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete četiri puta izgubiti 1$ i jednom dobiti 5$. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.
Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, riskira. Naprotiv, on uništava svoje šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja, što zavisi od toga da li dobija ili uništava kvote.
Ako se kladite na $50 da osvojite $10 sa šansom za pobjedu 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od $2 jer... U prosjeku ćete četiri puta osvojiti 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo osvajate $10 četiri puta i gubite $30 jednom, za profit od $10. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.
Matematičko očekivanje je središte bilo kojeg situacija u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, on ima pozitivno očekivanje od 50 centi na svakih 10 dolara. Ako kazino isplati čak i novac sa linije za prolaz u kockovima, tada će pozitivna očekivanja kazina biti otprilike 1,40 dolara za svakih 100 dolara, jer Ova igra je strukturirana tako da svako ko se kladi na ovu liniju gubi u prosjeku 50,7% i dobije 49,3% ukupnog vremena. Nesumnjivo, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi enormne profite vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je primetio vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak, „hiljaditi deo jednog procenta negativne verovatnoće na dovoljno velikoj udaljenosti će uništiti najbogatiji čovek u svijetu".
Očekivanje kada igrate poker
Igra pokera je najotkrivenija i jasan primjer sa stanovišta korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.
Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspješna poker igra je uvijek prihvatiti poteze sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Matematičko značenje matematičkog očekivanja prilikom igranja pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluka (ne znamo koje karte ima protivnik u rukama, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.
Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:
Kada igrate poker, očekivana vrijednost se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju treba uzeti u obzir fold equity, a u drugom sopstvene šanse banke. Kada procjenjujete matematičko očekivanje određenog poteza, trebate imati na umu da fold uvijek ima nulto očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.
Očekivanje vam govori šta možete očekivati (profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara u njima ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, možete očekivati da će klijent izgubiti novac, budući da su “šanse” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke vremenske periode, slažući na taj način kvote u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovina u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vašim prosječnim profitom, minus vaša vjerovatnoća gubitka pomnožena vašim prosječnim gubitkom.
Poker se takođe može posmatrati sa stanovišta matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da ako podignete opkladu, on će odgovoriti. Stoga se čini da je podizanje najbolje taktika. Ali ako podignete opkladu, preostala dva igrača će definitivno odustati. Ali ako zovete, imate puno povjerenje da će druga dva igrača iza vas učiniti isto. Kada podignete svoju opkladu dobijate jednu jedinicu, a kada samo platite dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i biće najbolja taktika.
Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje poker taktike su manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da će vaš gubitak u prosjeku iznositi 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.
Još jedan važan razlog za razumijevanje koncepta očekivane vrijednosti je taj što vam daje osjećaj mira bez obzira na to da li ste dobili opkladu ili ne: ako ste napravili dobru opkladu ili odustali u pravo vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedio određeni iznos novca koji slabiji igrač nije mogao uštedjeti. Mnogo je teže odustati ako ste uznemireni jer je vaš protivnik izvukao jaču ruku. Uz sve ovo, novac koji uštedite tako što ne igrate umjesto klađenja dodaje se vašem dobitku za noć ili mjesec.
Samo zapamtite da da ste promijenili ruke, protivnik bi vas pozvao, a kao što ćete vidjeti u članku o Fundamentalnoj teoremi pokera, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebao bi biti sretan kada se ovo desi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke jer znate da bi drugi igrači na vašoj poziciji izgubili mnogo više.
Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, satnica profita je povezana s matematičkim očekivanjem, i ovaj koncept posebno važno za profesionalne igrače. Kada idete da igrate poker, trebali biste mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i matematiku. Na primjer, igrate draw lowball i vidite da tri igrača klade $10, a zatim mijenjaju dvije karte, što je vrlo loša taktika, možete shvatiti da svaki put kada ulože $10 gube oko $2. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube otprilike 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti 48 dolara, svaki od njih ostvaruje profit od 12 dolara po satu. Vaše kvote po satu u ovom slučaju su jednostavno jednake vašem udjelu u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača za sat vremena.
Tokom dugog vremenskog perioda, ukupni dobici igrača su zbir njegovih matematičkih očekivanja u pojedinačnim rukama. Što više ruku igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste odabrati igru koja može maksimizirati vaše pozitivno iščekivanje ili negirati vaše negativno iščekivanje tako da možete maksimizirati svoje dobitke po satu.
Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igranja
Ako znate brojati karte, možete imati prednost u odnosu na kasino ako vas ne primjete i izbace. Kazina vole pijane igrače i ne tolerišu igrače koji broje karte. Prednost će vam omogućiti da s vremenom pobijedite. veći broj puta nego izgubiti. Dobro upravljanje kapital kada koristite kalkulacije očekivane vrijednosti može vam pomoći da izvučete više profita iz vaše prednosti i smanjite svoje gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara veći profit od gubitaka, razlika u ceni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem ne može spasiti loš sistem igara.
Pozitivno očekivanje se definira kao vrijednost veća od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je čekanje rentabilno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja i razuman sistem igre. Igranje po intuiciji vodi do katastrofe.
Matematička očekivanja i trgovanje dionicama
Matematičko očekivanje je prilično rasprostranjen i popularan statistički pokazatelj pri obavljanju berzanskog trgovanja na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ova vrijednost veća, to je više razloga da se trgovina koja se proučava uspješnom smatra. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo pomoću ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.
Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Izuzeci uključuju strategije koje koriste neprofitabilne trgovine koje se ne koriste. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga možda neće biti nikakvih gubitaka u njegovom radu. U ovom slučaju neće se moći kretati samo prema matematičkom očekivanju, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.
U tržišnom trgovanju, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost bilo kojeg strategija trgovanja ili prilikom predviđanja prihoda trgovca na osnovu statističkih podataka iz njegovih prethodnih trgovina.
Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate na berzi pod ovim uslovima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubićete ceo svoj račun, bez obzira na to koliko je bio veliki u početku.
Ovaj aksiom važi ne samo za igre ili trgovine sa negativnim očekivanjima, već je istinit i za igre sa jednakim šansama. Stoga, jedini put kada imate šansu da zaradite na duge staze je ako izvršite trgovine sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; Bitno je samo da li je pozitivno ili negativno. Stoga, prije razmatranja upravljanja novcem, trebali biste pronaći igru s pozitivnim očekivanjima.
Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti svo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, možete ga, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su pozitivna očekivanja mala! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru po trgovini (nakon provizija i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem kako biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji u prosjeku iznosi 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanja).
Ono što je bitno nije koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem pokazati barem minimalnu dobit u budućnosti. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da će sistem pokazati pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.
Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimizuju, već i smanjenjem što većeg broja sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, morate izgraditi prilično primitivan i jednostavan sistem, koji će dosljedno generirati male profite na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju biće napravljen kroz efikasno upravljanje novcem.
Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivnu očekivanu vrijednost tako da možete koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće dugo raditi u realnom vremenu. Problem kod većine tehnički orijentiranih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju drugačija pravila i vrijednosti parametara trgovinskog sistema. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i kompjutersko vrijeme na povećanje profita trgovačkog sistema, svoju energiju usmjerite na povećanje nivoa pouzdanosti ostvarivanja minimalnog profita.
Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logična i daje li pozitivna očekivanja. Pravilne metode upravljanja novcem, primijenjene na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, sami će obaviti ostatak posla.
Da bi svaki trgovac uspio u svom poslu, potrebno je riješiti tri najvažnija zadatka: . Da bi se osiguralo da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da imate priliku da zarađujete novac što je češće moguće; Ostvarite stabilne pozitivne rezultate iz svog poslovanja.
I ovdje, nama zaposlenim trgovcima, matematičko očekivanje može biti od velike pomoći. Ovaj termin je jedan od ključnih u teoriji vjerovatnoće. Uz njegovu pomoć možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable slično je centru gravitacije, ako zamislite sve moguće vjerovatnoće kao tačke sa različitim masama.
U odnosu na strategiju trgovanja, matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka) najčešće se koristi za procenu njene efikasnosti. Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih transakcija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći ovaj sistem:
Šta znači ovaj broj? Kaže da ćemo, slijedeći pravila ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zatvorene transakcije. Pošto je rezultujuća ocena efikasnosti veća od nule, takav sistem se može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.
Iznos dobiti po transakciji može se izraziti i kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:
– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;
– procenat uspješnog trgovanja - 62%;
– procenat gubitka po 1 transakciji - 3%;
– procenat neuspješnih transakcija - 38%;
Odnosno, prosječna trgovina će donijeti 1,96%.
Moguće je razviti sistem koji će, uprkos dominaciji neprofitabilnih trgovina, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.
Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija proizvodi u prosjeku samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem uključuje 1000 operacija godišnje? To će biti veoma značajan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično proizilazi da se još jednom posebnom karakteristikom dobrog trgovačkog sistema može smatrati kratak period držanja pozicija.
Izvori i linkovi
dic.academic.ru – akademski online rječnik
mathematics.ru – obrazovna web stranica iz matematike
nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirska državni univerzitet
webmath.ru – edukativni portal za studente, kandidate i školarce.
exponenta.ru obrazovna matematička web stranica
ru.tradimo.com – besplatno online škola trgovanje
crypto.hut2.ru – multidisciplinarni informacioni resurs
poker-wiki.ru – besplatna enciklopedija pokera
sernam.ru – Naučna biblioteka odabrane prirodnonaučne publikacije
reshim.su – web stranica MI ĆEMO RIJEŠITI probleme sa testom
unfx.ru – Forex na UNFX: obuka, trgovački signali, upravljanje povjerenjem
slovopedia.com – Velika enciklopedijski rječnik Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Vaš vodič u svijetu pokera
statanaliz.info – informativni blog “ Statistička analiza podaci"
forex-trader.rf – Forex-Trader portal
megafx.ru – trenutna Forex analitika
fx-by.com – sve za trgovca
2. Osnove teorije vjerovatnoće
Očekivana vrijednost
Razmotrite slučajnu varijablu s brojčanim vrijednostima. Često je korisno povezati broj sa ovom funkcijom - njegovom "srednjom vrijednošću" ili, kako kažu, "prosječnom vrijednošću", "indeksom centralne tendencije". Iz više razloga, od kojih će neki kasnije postati jasni, matematičko očekivanje se obično koristi kao „prosječna vrijednost“.
Definicija 3. Matematičko očekivanje slučajne varijable X pozvani broj
one. matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderisani zbir vrijednosti slučajne varijable s težinama jednakim vjerojatnosti odgovarajućih elementarnih događaja.
Primjer 6. Izračunajmo matematičko očekivanje broja koji se pojavljuje na gornjoj strani kockice. Iz definicije 3 direktno slijedi da
Izjava 2. Neka je slučajna varijabla X preuzima vrijednosti x 1, x 2,…, xm. Tada je jednakost tačna
(5)
one. Matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderisani zbir vrijednosti slučajne varijable s težinama jednakim vjerojatnosti da slučajna varijabla zauzme određene vrijednosti.
Za razliku od (4), gdje se zbrajanje vrši direktno preko elementarnih događaja, slučajni događaj se može sastojati od nekoliko elementarnih događaja.
Ponekad se relacija (5) uzima kao definicija matematičkog očekivanja. Međutim, korištenjem Definicije 3, kao što je prikazano u nastavku, lakše je uspostaviti svojstva matematičkog očekivanja neophodna za konstruiranje vjerojatnosnih modela realnih pojava nego korištenjem relacije (5).
Da bismo dokazali relaciju (5), grupiramo se u (4) pojmove sa identičnim vrijednostima slučajne varijable:
Pošto se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, onda
Određivanjem vjerovatnoće nekog događaja
Koristeći posljednje dvije relacije dobijamo traženo:
Koncept matematičkog očekivanja u vjerovatno-statističkoj teoriji odgovara konceptu težišta u mehanici. Stavimo to u bodove x 1, x 2,…, xm na osi masenog broja P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) respektivno. Tada jednakost (5) pokazuje da se centar gravitacije ovog sistema materijalnih tačaka poklapa sa matematičkim očekivanjem, što pokazuje prirodnost definicije 3.
Izjava 3. Neka X- slučajna vrijednost, M(X)– njegovo matematičko očekivanje, A– određeni broj. Onda
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Da bismo to dokazali, prvo razmotrimo slučajnu varijablu koja je konstantna, tj. funkcija mapira prostor elementarnih događaja u jednu tačku A. Pošto se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, onda
Ako se svaki član zbira podijeli na dva člana, onda se cijeli zbir dijeli na dva zbroja, od kojih se prvi sastoji od prvih članova, a drugi od drugog. Dakle, matematičko očekivanje sume dvije slučajne varijable X+Y, definisan na istom prostoru elementarnih događaja, jednak je zbiru matematičkih očekivanja M(X) I M(U) ove slučajne varijable:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
I zbog toga M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kao što je gore prikazano, M(M(X)) = M(X). dakle, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Zbog (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , To M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Pojednostavimo posljednju jednakost. Kao što je pokazano na početku dokaza tvrdnje 3, matematičko očekivanje konstante je sama konstanta, i stoga M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Pošto se konstantni množitelj može uzeti izvan predznaka zbira, onda M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Desna strana posljednje jednakosti je 0 jer, kao što je prikazano gore, M(X-M(X))=0. dakle, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , što je trebalo dokazati.
Iz navedenog proizilazi da M[(X- a) 2 ] dostiže minimum A, jednako M[(X- M(X)) 2 ], at a = M(X), budući da je drugi član u jednakosti 3) uvijek nenegativan i jednak je 0 samo za navedenu vrijednost A.
Izjava 4. Neka je slučajna varijabla X preuzima vrijednosti x 1, x 2,…, xm, a f je neka funkcija numeričkog argumenta. Onda
Da bismo to dokazali, grupiramo na desnoj strani jednakosti (4), koja definira matematičko očekivanje, pojmove s istim vrijednostima:
Koristeći činjenicu da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, i definiciju vjerovatnoće slučajnog događaja (2), dobijamo
Q.E.D.
Izjava 5. Neka X I U– slučajne varijable definisane na istom prostoru elementarnih događaja, A I b- neki brojevi. Onda M(sjekira+ bY)= aM(X)+ bM(Y).
Koristeći definiciju matematičkog očekivanja i svojstva simbola sumiranja, dobijamo lanac jednakosti:
Potrebno je dokazano.
Gore navedeno pokazuje kako matematičko očekivanje ovisi o prijelazu na drugu referentnu tačku i na drugu mjernu jedinicu (prijelaz Y=sjekira+b), kao i na funkcije slučajnih varijabli. Dobijeni rezultati se konstantno koriste u tehničko-ekonomskoj analizi, u proceni finansijskih i ekonomskih aktivnosti preduzeća, pri prelasku sa jedne valute na drugu u spoljnoekonomskim proračunima, u regulatornoj i tehničkoj dokumentaciji itd. Rezultati koji se razmatraju omogućavaju korištenje istih proračunskih formula za različite skale i pomake parametara.
| Prethodno |
