Glavno svojstvo kosinusa smjera. Formula za izračunavanje kosinusa smjera vektora za prostorne probleme Koordinate modula i kosinusa smjera vektora

Neka je vektor zadan. Jedinični vektor u istom smjeru kao (jedinični vektor ) se nalazi po formuli:

.

Neka osovina formira uglove sa koordinatnim osa
.Kosinus smjera ose Kosinusi ovih uglova se nazivaju:. Ako smjer dat jediničnim vektorom , tada kosinusi smjera služe kao njegove koordinate, tj.:

.

Kosinusi smjera su međusobno povezani relacijom:

Ako smjer dat proizvoljnim vektorom , zatim pronađite jedinični vektor ovog vektora i upoređujući ga sa izrazom za jedinični vektor , uzmi:

Skalarni proizvod

Dot product
dva vektora I je broj jednak proizvodu njihovih dužina i kosinusa ugla između njih:
.

Skalarni proizvod ima sljedeća svojstva:

dakle,
.

Geometrijsko značenje proizvoda tačke: skalarni proizvod vektora i jediničnog vektora jednaka projekciji vektora u utvrđenom pravcu , tj.
.

Sljedeća tablica množenja jediničnih vektora slijedi iz definicije skalarnog proizvoda:
:

.

Ako su vektori dati svojim koordinatama
I
, tj.
,
, zatim, množeći ove vektore skalarno i koristeći tablicu množenja jediničnih vektora, dobijamo izraz za skalarni proizvod
kroz vektorske koordinate:

.

Vector artwork

Unakrsni proizvod vektorana vektor zove se vektor , čija dužina i pravac su određeni uslovima:

Vektorski proizvod ima sljedeća svojstva:

Iz prva tri svojstva slijedi da vektorsko množenje zbira vektora zbirom vektora poštuje uobičajena pravila za množenje polinoma. Samo trebate paziti da se redoslijed faktora ne promijeni.

Osnovni vektori se množe na sljedeći način:

Ako
I
, tada uzimajući u obzir svojstva vektorskog proizvoda vektora, možemo izvesti pravilo za izračunavanje koordinata vektorskog proizvoda iz koordinata faktorskih vektora:

Ako uzmemo u obzir gornja pravila za množenje jediničnih vektora, onda:

Kompaktniji oblik pisanja izraza za izračunavanje koordinata vektorskog proizvoda dva vektora može se konstruisati uvođenjem koncepta determinante matrice.

Razmotrimo poseban slučaj kada su vektori I pripadaju avionu
, tj. mogu se predstaviti kao
I
.

Ako su koordinate vektora zapisane u obliku tablice na sljedeći način:
, onda možemo reći da se od njih formira kvadratna matrica drugog reda, tj. veličina
, koji se sastoji od dva reda i dvije kolone. Svakoj kvadratnoj matrici pridružen je broj, koji se izračunava iz elemenata matrice prema određenim pravilima i naziva se determinanta. Determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne dijagonale i sekundarne dijagonale:

.

U ovom slučaju:

Apsolutna vrijednost determinante je dakle jednaka površini paralelograma konstruiranog na vektorima I , oba sa strane.

Ako uporedimo ovaj izraz sa formulom vektorskog proizvoda (4.7), onda:

Ovaj izraz je formula za izračunavanje determinante matrice trećeg reda iz prvog reda.

ovako:

Determinanta matrice trećeg reda izračunava se na sljedeći način:

i algebarski je zbir šest članova.

Formula za izračunavanje determinante matrice trećeg reda je lako zapamtiti ako koristite praviloSarrus, koji je formuliran na sljedeći način:

Svaki pojam je proizvod tri elementa smještena u različitim stupcima i različitim redovima matrice;

Proizvodi elemenata koji formiraju trouglove sa stranom paralelnom s glavnom dijagonalom imaju znak plus;

Umnožak elemenata koji pripadaju sekundarnoj dijagonali i dva proizvoda elemenata koji tvore trokute sa stranom koja je paralelna sa sekundarnom dijagonalom imaju predznak minus.

Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan.

Ako su poznati kosinusi smjera vektora, tada se njegove koordinate mogu pronaći pomoću formula: Slične formule vrijede u trodimenzionalnom slučaju - ako su poznati kosinusi smjera vektora, tada se njegove koordinate mogu pronaći pomoću formula:

9 Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora. Osnova na avionu iu svemiru

Skup vektora se zove sistem vektora.

linearno zavisna, ako postoje brojevi koji nisu svi jednaki nuli u isto vrijeme, to

Sistem vektora se naziva linearno nezavisna, ako je jednakost moguća samo za , tj. kada je linearna kombinacija na lijevoj strani jednakosti trivijalna.

1. Jedan vektor takođe čini sistem: at - linearno zavisan i at - linearno nezavisan.

2. Poziva se bilo koji dio sistema vektora podsistema.

1. Ako sistem vektora uključuje nulti vektor, onda je on linearno zavisan

2. Ako sistem vektora ima dva jednaka vektora, onda je on linearno zavisan.

3. Ako sistem vektora ima dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

4. Sistem vektora je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.

5. Svi vektori uključeni u linearno nezavisan sistem formiraju linearno nezavisan podsistem.

6. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.

7. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, a nakon što mu se doda vektor ispostavi se da je linearno zavisan, tada se vektor može proširiti u vektore i, štaviše, na jedinstven način, tj. koeficijenti ekspanzije se mogu naći jedinstveno.

Osnova na ravni iu prostoru naziva se maksimalni sistem vektora koji je linearno nezavisan od ravni ili u prostoru (dodavanje drugog vektora sistemu ga čini linearno zavisnim).

Dakle, baza na ravni su bilo koja dva nekolinearna vektora uzeta određenim redoslijedom, a baza u prostoru su bilo koja tri nekoplanarna vektora uzeta određenim redoslijedom.

Neka je baza u prostoru, onda, prema T. 3, svaki vektor prostora može se na jedinstven način razložiti u bazne vektore: . Koeficijenti proširenja nazivaju se koordinate vektora u bazi

Pisanje linearnih operacija na vektorima kroz koordinate:

a) sabiranje i oduzimanje: - osnova

b) množenje brojem R:

Formule proizlaze iz svojstava linearnih operacija.

10 Koordinate vektora u odnosu na bazu. Orty

Osnova u slobodnom vektorskom prostoru V 3 je bilo koja uređena trojka nekoplanarnih vektora.

Neka IN :a 1,a 2,a 3– fiksna osnova u V 3.

Koordinate vektor b u odnosu na osnovu IN zove se uređena trojka brojeva ( x, y, z), uklj. b=x· a 1 +ya 2 +z· a 3.

Oznaka:b={x, y, z} B Napomena: Koordinate fiksnog vektora znače koordinate odgovarajućeg slobodnog vektora.

Teorema 1: Korespondencija između V 3 i R 3 za fiksnu osnovu je jedan prema jedan, tj. b V 3 ! {x, y, z) R 3 i ( x, y, z) R 3 ! b V 3, uklj. b={x, y, z} B

Korespondencija između vektora i njegovih koordinata u datoj bazi ima sljedeća svojstva:

1. Neka b 1 ={x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B b 1 + b 2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Neka b={x, y, z} B , λR λ b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Neka b 1 || b 2 , b 1 = {x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B
(Ovdje: bilo koji broj).

Jedinični vektor, usmjeren duž ose X, označava se i, jedinični vektor, usmjeren duž ose Y, označen je j, A jedinični vektor, usmjeren duž ose Z, označen je k. Vektori i, j, k su pozvani orts– imaju pojedinačne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1

11 skalarni proizvod vektora. Ugao između vektora. Uslov za ortogonalnost vektora

Ovo je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Tačkasti proizvod vektora u smislu njihovih koordinata

Tačkasti proizvod vektora X, Y, Z i :

gdje je ugao između vektora i ; ako bilo, onda

Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi da je gdje je, na primjer, veličina projekcije vektora na smjer vektora.

Vektor skalarnog kvadrata:

Svojstva tačkastog proizvoda:

Ugao između vektora

Uslovi za ortogonalnost vektora.

Dva vektor a i b ortogonalno (okomito), ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli a· b= 0

Dakle, u slučaju ravan vektorskog problema

a= (a x ;a y) i b= (b x ;b y)

ortogonalno ifa b= a x b x + a y b y = 0

12 vektorski proizvod vektora, njegova svojstva. Uslov kolinearnosti vektora

Unakrsni proizvod vektora i vektora je vektor označen simbolom i definiran sa sljedeća tri uslova:

1). Modul vektora je jednak , gdje je ugao između vektora i ;

2). Vektor je okomit na svaki od vektora i ;

3). Smjer vektora odgovara "pravilu desne ruke". To znači da ako su vektori , i dovedeni do zajedničkog ishodišta, tada bi vektor trebao biti usmjeren na isti način kao srednji prst desne ruke, čiji je palac usmjeren duž prvog faktora (tj. vektor), a kažiprst - duž drugog (odnosno duž vektora). Vektorski proizvod zavisi od redosleda faktora, i to: .

Modul vektorskog proizvoda jednak je površini S paralelograma konstruisanog na vektorima i : .

Sam vektorski proizvod može se izraziti formulom,

gdje je jedinični vektor vektorskog proizvoda.

Unakrsni proizvod nestaje ako i samo ako su vektori i kolinearni. Posebno, .

Ako je sistem koordinatnih osa ispravan i vektori i su specificirani u ovom sistemu svojim koordinatama:

tada je vektorski proizvod vektora i vektora određen formulom

Vektor je kolinearan vektoru različitom od nule ako i samo ako su koordinate

vektori su proporcionalni odgovarajućim koordinatama vektora, tj.

Linearne operacije nad vektorima određenim njihovim koordinatama u prostoru izvode se na sličan način.

13 mješoviti proizvod vektora. Njegova svojstva. Uslov za komplanarnost vektora

Mješoviti proizvod tri vektora, , je broj jednak skalarnom proizvodu vektora i vektora:

Osobine mješovitog proizvoda:

3° Tri vektora su komplanarna ako i samo ako

4° Trostruka vektora je u pravu ako i samo ako . Ako je , tada vektori , i formiraju lijevi triplet vektora.

10° Jacobi identitet:

Ako su vektori , i dati njihovim koordinatama, tada se njihov mješoviti proizvod izračunava pomoću formule

Vektori koji su paralelni jednoj ravni ili leže na istoj ravni nazivaju se komplanarni vektori.

Uslovi za komplanarnost vektora

Tri vektori su komplanarni ako je njihov mješoviti proizvod nula.

Tri vektori su komplanarni ako su linearno zavisne.

15 različite vrste jednadžbi pravih i ravnih

Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa Ox osom

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ≠0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ≠0 – prava linija se poklapa sa Ox osom

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

to su kosinusi uglova koje vektor formira sa pozitivnim poluosama koordinata. Kosinusi smjera jednoznačno određuju smjer vektora. Ako vektor ima dužinu 1, tada su njegovi kosinusi smjera jednaki njegovim koordinatama. Općenito, za vektor sa koordinatama ( a; b; c) kosinusi smjera su jednaki:

gdje su a, b, g uglovi koje stvara vektor sa osama x, y, z respektivno.

21) Dekompozicija vektora u jedinične vektore. Jedinični vektor koordinatne ose je označen sa , ose sa , a ose sa (slika 1).

Za bilo koji vektor koji leži u ravni, odvija se sljedeće proširenje:

Ako je vektor nalazi u prostoru, tada proširenje u jediničnim vektorima koordinatnih osa ima oblik:

22)Dot product dva vektora različita od nule i broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih naziva se:

23)Ugao između dva vektora

Ako je ugao između dva vektora oštar, onda je njihov skalarni proizvod pozitivan; ako je ugao između vektora tup, tada je skalarni proizvod ovih vektora negativan. Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ovi vektori ortogonalni.

24) Uslov paralelnosti i okomitosti dva vektora.

Uslov da vektori budu okomiti
Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov skalarni proizvod nula.Dana su dva vektora a(xa;ya) i b(xb;yb). Ovi vektori će biti okomiti ako je izraz xaxb + yayb = 0.

25) Vektorski proizvod dva vektora.

Vektorski proizvod dva nekolinearna vektora je vektor c=a×b koji zadovoljava sljedeće uslove: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektori a, b, c formiraju desnu trojku vektora.

26) Kolinearni i komplanarni vektori..

Vektori su kolinearni ako je apscisa prvog vektora povezana sa apscisom drugog na isti način kao što je ordinata prvog vektora sa ordinatom drugog. a (xa;ya) I b (xb;yb). Ovi vektori su kolinearni ako xa = x b I y a = y b, Gdje R.

Vektori −→ a,−→b i −→ c su pozvani komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne.

27) Mješoviti proizvod tri vektora. Mješoviti proizvod vektora- skalarni proizvod vektora a i vektorski proizvod vektora b i c. Naći mješoviti proizvod vektora a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Rješenje:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Udaljenost između dvije tačke na ravni. Udaljenost između dvije date tačke jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata razlika istih koordinata ovih tačaka.

29) Podjela segmenta u ovom odnosu. Ako tačka M(x; y) leži na pravoj koja prolazi kroz dvije zadate tačke ( , ) i ( , ), a data je relacija u kojoj tačka M dijeli segment , tada su koordinate tačke M određene formulama

Ako je tačka M središte segmenta, tada su njene koordinate određene formulama

30-31. Nagib prave linije naziva se tangenta ugla nagiba ove prave. Nagib ravne linije obično se označava slovom k. Onda po definiciji

Jednačina prave linije sa nagibom ima oblik gdje k- pravolinijski nagib, b– neki pravi broj. Koristeći jednadžbu ravne linije s koeficijentom kuta, možete odrediti bilo koju ravnu liniju koja nije paralelna s osom Oy(za pravu liniju paralelnu sa ordinatnom osom, ugaoni koeficijent nije definisan).

33. Opšta jednačina prave na ravni. Jednačina oblika Tu je opšta jednačina prave Oxy. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa Ox osom

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ≠0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ≠0 – prava linija se poklapa sa Ox osom

34.Jednačina prave u segmentima na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy ima oblik gdje a I b- neki realni brojevi različiti od nule. Ovo ime nije slučajno, jer su apsolutne vrijednosti brojeva A I b jednaka dužinama segmenata koje prava odsiječe na koordinatnim osa Ox I Oy(segmenti se računaju od početka). Dakle, jednadžba linije u segmentima olakšava konstruiranje ove linije na crtežu. Da biste to učinili, označite tačke sa koordinatama iu pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni i pomoću ravnala ih povežete ravnom linijom.

35. Normalna jednačina prave ima oblik

gdje je rastojanje od prave do ishodišta;  – ugao između normale na pravu i ose.

Normalna jednačina se može dobiti iz opšte jednačine (1) množenjem sa faktorom normalizacije, znak  je suprotan predznaku tako da je .

Kosinusi uglova između prave i koordinatnih osa nazivaju se kosinusi pravca,  – ugao između prave i ose,  – između prave i ose:

Dakle, normalna jednačina se može napisati u obliku

Udaljenost od tačke na pravu liniju određena formulom

36. Udaljenost između tačke i prave se izračunava pomoću sljedeće formule:

gdje su x 0 i y 0 koordinate tačke, a A, B i C su koeficijenti iz opšte jednadžbe prave

37. Svođenje opšte jednačine prave na normalu. Jednačina i ravan u ovom kontekstu se ne razlikuju jedna od druge ni po čemu osim po broju članova u jednadžbi i dimenziji prostora. Zato ću prvo reći sve o avionu, a na kraju ću napraviti rezervu o pravoj liniji.
Neka je data opšta jednačina ravni: Ax + By + Cz + D = 0.
;. dobijamo sistem: g;Mc=cosb, MB=cosa Hajde da ga dovedemo u normalan oblik. Da bismo to učinili, množimo obje strane jednačine sa faktorom normalizacije M. Dobijamo: Max+Mvu+MCz+MD=0. U ovom slučaju MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa dobijamo sistem:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Zbrajanjem svih jednadžbi sistema, dobijamo M*(A2 +B2+C2)=1 Sada ostaje samo da se izrazi M odavde da bi se znalo kojim se normalizujući faktor mora pomnožiti originalna opšta jednačina da bi se dobila u normalnom obliku:
M=-+1/KORIJEN KV A2 +B2 +C2
MD uvijek mora biti manji od nule, stoga se predznak broja M uzima suprotno od predznaka broja D.
Kod jednačine prave sve je isto, samo iz formule za M jednostavno treba izbaciti pojam C2.

Sjekira + By + Cz + D = 0,

38.Opšta jednačina ravni u prostoru se naziva jednačina oblika

Gdje A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

U trodimenzionalnom prostoru u Dekartovom koordinatnom sistemu, svaka ravan je opisana jednačinom 1. stepena (linearna jednačina). I obrnuto, bilo koja linearna jednadžba definira ravan.

40.Jednačina ravnine u segmentima. U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru jednačina oblika , Gdje a, b I c– zovu se realni brojevi različiti od nule jednačina ravnine u segmentima. Apsolutne vrijednosti brojeva a, b I c jednaka dužinama segmenata koje ravan seče na koordinatnim osa Ox, Oy I Oz odnosno, računajući od početka. Znak brojeva a, b I c pokazuje u kom smjeru (pozitivnom ili negativnom) su segmenti iscrtani na koordinatnoj osi

41) Jednačina normalne ravni.

Normalna jednadžba ravni je njena jednadžba zapisana u obliku

gdje su , , kosinusi smjera normale ravni, e

p je rastojanje od početka do ravni. Prilikom izračunavanja kosinusa smjera normale, treba pretpostaviti da je usmjerena od početka do ravni (ako ravan prolazi kroz nultu vrijednost, tada je izbor pozitivnog smjera normale indiferentan).

42) Udaljenost od tačke do ravni.Neka je ravan data jednačinom i daje se bod. Tada se udaljenost od tačke do ravni određuje formulom

Dokaz. Udaljenost od tačke do ravni je, po definiciji, dužina okomice povučene od tačke do ravni

Ugao između ravnina

Neka su ravnine i specificirane jednadžbama i , respektivno. Morate pronaći ugao između ovih ravnina.

Ravnine, seku, formiraju četiri diedralna ugla: dva tupa i dva oštra ili četiri prava ugla, a oba tupa ugla su jednaka jedan drugom, a oba oštra ugla su takođe jednaka jedan drugom. Uvek ćemo tražiti oštar ugao. Da bismo odredili njegovu vrijednost, uzimamo tačku na liniji presjeka ravnina iu ovoj tački u svakoj od

ravni, povlačimo okomite na liniju ukrštanja.

Def. 1.5.6. Smjer kosinus vektor A nazovimo kosinuse uglova koje ovaj vektor formira sa baznim vektorima, respektivno, i , j , k .

Kosinus smjera vektora A = (X, at, z) nalaze se po formulama:

Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan:

Kosinus smjera vektora a su koordinate njegovog jediničnog vektora: .

Neka su osnovni vektori i , j , k odloženo sa zajedničke tačke O. Pretpostavit ćemo da ortovi određuju pozitivne smjerove osi Oh, OU, Oz. Point set O (porijeklo) i ortonormalne osnove i , j , k pozvao Dekartov pravougaoni koordinatni sistem u prostoru. Neka A– proizvoljna tačka u prostoru. Vector A = OA= x i + y j + z k pozvao radijus vektor bodova A, koordinate ovog vektora ( x, y, z) se također nazivaju koordinate tačke A(oznaka: A(x, y, z)). Koordinatne ose Oh, OU, Oz takođe se naziva, respektivno, osovina apscisa, osa ordinate, osa primijeniti.

Ako je vektor zadan koordinatama njegove početne tačke IN 1 (x 1 , y 1 , z 1) i krajnja tačka IN 2 (x 2 , y 2 , z 2), tada su koordinate vektora jednake razlici između koordinata kraja i početka: (pošto ).

Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistemi na ravni i na pravoj određuju se na potpuno isti način sa odgovarajućim kvantitativnim (u skladu sa dimenzijom) promjenama.

Rješavanje tipičnih problema.

Primjer 1. Pronađite kosinus dužine i smjera vektora A = 6i – 2j -3k .

Rješenje. Dužina vektora: . Kosinus smjera: .

Primjer 2. Pronađite vektorske koordinate A , formirajući jednake oštre kutove s koordinatnim osa, ako je dužina ovog vektora jednaka .

Rješenje. Budući da , zatim zamjenom u formulu (1.6), dobivamo . Vector A formira oštre uglove sa koordinatnim osovinama, tako da ort . Dakle, nalazimo koordinate vektora .

Primjer 3. Dana su tri nekoplanarna vektora e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Proširi vektor d = i + 5j - 2k po osnovu e 1 , e 2 , e 3 .