Grafički prikaz pojmova pomoću Ojlerovih krugova. Logički problemi i Ojlerovi krugovi. Kompatibilni i nekompatibilni koncepti

Leonhard Euler - najveći matematičar napisao više od 850 naučnih radova.U jednom od njih su se pojavili ovi krugovi.

Naučnik je to napisao„Veoma su pogodni za olakšavanje naših razmišljanja.”

Ojlerovi krugovi je geometrijski dijagram koji pomaže da se pronađe i/ili učini jasnijim logičke veze između pojava i pojmova. Takođe pomaže da se opiše odnos između skupa i njegovog dela.

Problem 1

Od 90 turista koji idu na putovanje, 30 ljudi govori njemački, 28 ljudi govori engleski, 42 osobe govore francuski.8 ljudi istovremeno govori engleski i njemački, 10 ljudi govori engleski i francuski, 5 ljudi govori njemački i francuski, 3 osobe govore sva tri jezika. Koliko turista ne govori nijedan jezik?

Rješenje:

Prikažimo stanje problema grafički - koristeći tri kruga

odgovor: 10 ljudi.

Problem 2

Mnoga djeca u našem razredu vole fudbal, košarku i odbojku. A neki čak imaju dva ili tri ova sporta. Poznato je da 6 ljudi iz razreda igra samo odbojku, 2 - samo fudbal, 5 - samo košarku. Samo 3 osobe mogu igrati odbojku i fudbal, 4 mogu igrati fudbal i košarku, 2 mogu igrati odbojku i košarku.Jedna osoba iz razreda može igrati sve igre, 7 ne može igrati nijednu igru. Potrebno je pronaći:

Koliko je ljudi u razredu?

Koliko ljudi može igrati fudbal?

Koliko ljudi može igrati odbojku?

Problem 3

U dječijem kampu bilo je 70 djece. Od toga je 20 uključeno u dramski klub, 32 pevaju u horu, 22 se bave sportom. U dramskom klubu ima 10 horskih klinaca, u horu 6 sportista, u dramskom 8 sportista i 3 sportista pohađaju i dramski klub i hor. Koliko djece ne pjeva u horu, ne zanima ih sport i ne radi u dramskom klubu? Koliko se momaka bavi samo sportom?

Problem 4

Od zaposlenih u kompaniji, 16 je posjetilo Francusku, 10 – Italiju, 6 – Englesku. U Engleskoj i Italiji - pet, u Engleskoj i Francuskoj - 6, u sve tri zemlje - 5 zaposlenih. Koliko je ljudi posjetilo i Italiju i Francusku, ako kompanija zapošljava ukupno 19 ljudi, a svako od njih je posjetio barem jednu od ovih zemalja?

Problem 5

Učenici šestog razreda popunili su upitnik pitajući o svojim omiljenim crtanim filmovima. Ispostavilo se da većina njih voli “Snježanu i sedam patuljaka”, “Sunđer Bob kvadratne hlače” i “Vuk i tele”. U razredu je 38 učenika. 21 učenik poput Snjeguljice i sedam patuljaka. Štaviše, troje od njih voli i “Vuka i tele”, šestoro “Sunđer Bob Kockalone”, a jedno dete podjednako voli sva tri crtaća. “Vuk i tele” ima 13 obožavatelja, od kojih je petoro navelo dva crtaća u upitniku. Moramo odrediti koliko učenika šestog razreda voli Sunđer Bob Kockalone.

Problemi za rješavanje učenika

1. U razredu je 35 učenika. Svi su čitaoci školskih i okružnih biblioteka. Od toga 25 pozajmljuje knjige iz školske biblioteke, 20 iz okružne biblioteke. koliko njih:

a) nisu čitaoci školske biblioteke;

b) nisu čitaoci okružne biblioteke;

c) su samo čitaoci školske biblioteke;

d) su samo čitaoci okružne biblioteke;

e) da li su čitaoci obe biblioteke?

2.Svaki učenik u razredu uči engleski ili njemački, ili oboje. Engleski jezik uči 25 ljudi, njemački 27 ljudi, a oba po 18 osoba. Koliko učenika ima u razredu?

3. Na listu papira nacrtajte krug površine 78 cm2 i kvadrat površine 55 cm2. Površina presjeka kruga i kvadrata je 30 cm2. Dio lista koji ne zauzimaju krug i kvadrat ima površinu od 150 cm2. Pronađite površinu lista.

4. U grupi turista je 25 osoba. Među njima je 20 osoba mlađih od 30 godina, a 15 osoba starijih od 20 godina. Može li ovo biti istina? Ako jeste, u kom slučaju?

5. U vrtiću ima 52 djece. Svako od njih voli tortu ili sladoled, ili oboje. Polovina djece voli torte, a 20 ljudi voli torte i sladoled. Koliko djece voli sladoled?

6. U razredu ima 36 ljudi. Učenici ovog odeljenja pohađaju matematičke, fizičko-hemijske sekcije, od kojih 18 ljudi pohađa matematički, 14 - fizički, 10 - hemijski.Osim toga, poznato je da sva tri kluba pohađa 2 osobe, 8 ljudi pohađa i matematički i fizički, 5 - i matematički i hemijski, 3 - i fizički i hemijski krugovi. Koliko učenika u razredu ne pohađa nijedan klub?

7. Nakon raspusta, razrednica je pitala ko je od djece išlo u pozorište, bioskop ili cirkus. Ispostavilo se da od 36 učenika dvoje nikada nisu bili u bioskopu, pozorištu ili cirkusu. 25 ljudi je bilo u bioskopu; u pozorištu - 11; u cirkusu - 17; kako u bioskopu tako iu pozorištu - 6; i u bioskopu i u cirkusu - 10; i u pozorištu i u cirkusu - 4. Koliko ljudi je istovremeno posetilo pozorište, bioskop i cirkus?

Rješavanje zadataka za ispit Ujedinjenog državnog ispita korištenjem Ojlerovih krugova

Problem 1

U jeziku upita pretraživača, simbol "|" se koristi za označavanje logičke operacije "ILI", a simbol "&" se koristi za logičku operaciju "AND".

Cruiser & Battleship? Pretpostavlja se da se sva pitanja izvršavaju gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi ne mijenja tokom izvršavanja upita.

Zahtjev	Pronađene stranice (u hiljadama)
Cruiser \| Battleship	7000
Cruiser	4800
Battleship	4500

Rješenje:

Koristeći Ojlerove krugove prikazujemo uslove problema. U ovom slučaju koristimo brojeve 1, 2 i 3 za označavanje rezultirajućih područja.

Na osnovu uslova zadatka kreiramo jednadžbe:

Cruiser | Bojni brod: 1 + 2 + 3 = 7000
Krstarica: 1 + 2 = 4800
Bojni brod: 2 + 3 = 4500

Naći Cruiser & Battleship(označeno na crtežu kao područje 2), zamijenite jednačinu (2) u jednačinu (1) i saznajte da:

4800 + 3 = 7000, od čega dobijamo 3 = 2200.

Sada možemo zamijeniti ovaj rezultat u jednačinu (3) i saznati da:

2 + 2200 = 4500, od čega je 2 = 2300.

odgovor: 2300 - broj stranica pronađenih na zahtjevCruiser & Battleship.

Problem 2

U tražilici jezik upita za označavanje

U tabeli su prikazani upiti i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Zahtjev	Pronađene stranice (u hiljadama)
Torte \| Pite	12000
Torte i pite	6500
Pite	7700

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit? Torte?

Rješenje

Da bismo riješili problem, prikažemo skupove kolača i pita u obliku Ojlerovih krugova.

A B C ).

Iz iskaza problema slijedi:

Kolači │Pite = A + B + C = 12000

Torte i pite = B = 6500

Pite = B + C = 7700

Da biste pronašli broj kolača (torte = A + B ), moramo pronaći sektor A Cakes│Pies ) oduzmi skup pita.

Torte│Pite – Pite = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sektor A dakle iznosi 4300

Kolači = A + B = 4300+6500 = 10800

Problem 3

|", a za logičku operaciju "AND" - simbol "&".

U tabeli su prikazani upiti i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Zahtjev	Pronađene stranice (u hiljadama)
Torte i pečenje	5100
Kolač	9700
Torta \| Pekara	14200

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit? Pekara?

Smatra se da su se svi upiti izvršavali gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije mijenjao tokom izvršavanja upita.

Rješenje

Da bismo riješili problem, prikazujemo skupove Torte i Pečenje u obliku Ojlerovih krugova.

Označimo svaki sektor posebnim slovom ( A B C ).

Iz iskaza problema slijedi:

Torte i kolači = B = 5100

Torta = A + B = 9700

Torta │ Peciva = A + B + C = 14200

Da biste pronašli količinu pečenja (Baking = B + C ), moramo pronaći sektor IN , za ovo iz općeg skupa ( Kolač │ Pečenje) oduzmite skup Kolač.

Kolač │ Pečenje – Kolač = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sektor B je jednako 4500, dakle Baking = B + C = 4500+5100 = 9600

Problem 4
silazno
Da ukažeLogička operacija "ILI" koristi simbol "|", a za logičku operaciju "AND" - simbol "&".
Rješenje

Zamislimo skupove pastirskih pasa, terijera i španijela u obliku Ojlerovih krugova koji označavaju sektore slovima ( A B C D ).

With panijeli │(terijeri i pastiri) = G + B

With paniel│pastirski psi= G + B + C

španijeli│terijeri│pastiri= A + B + C + D

terijeri i pastiri = B

Uredimo brojeve zahtjeva u opadajućem redoslijedu u odnosu na broj stranica:3 2 1 4

Problem 5

Tabela prikazuje upite serveru za pretraživanje. Postavite brojeve zahtjeva redom povećanje broj stranica koje će pretraživač pronaći za svaki zahtjev.
Da ukažeLogička operacija "ILI" koristi simbol "|", a za logičku operaciju "AND" - simbol "&".

1	barokni \| klasicizam \| empire stil
2	barokni \| (klasicizam i stil carstva)
3	klasicizam i stil carstva
4	barokni \| klasicizam

Rješenje

Zamislimo skupove klasicizam, empir stil i klasicizam u obliku Ojlerovih krugova, označavajući sektore slovima ( A B C D ).

Transformirajmo stanje problema u obliku zbira sektora:

barok│ klasicizam│carstvo = A + B + C + D
Barok │(klasicizam i carstvo) = G + B
klasicizam i stil carstva = B
barok│klasicizam = G + B + A

Iz zbroja sektora vidimo koji je zahtjev proizveo više stranica.

Uredimo brojeve zahtjeva uzlaznim redoslijedom prema broju stranica:3 2 4 1

Problem 6
Tabela prikazuje upite serveru za pretraživanje. Postavite brojeve zahtjeva redom povećanje broj stranica koje će pretraživač pronaći za svaki zahtjev.
Da ukažeLogička operacija "ILI" koristi simbol "|", a za logičku operaciju "AND" - simbol "&".

1	kanarinci \| češljugari \| sadržaj
2	kanarinci i sadržaj
3	kanarinci i češljugari i sadržaj
4	uzgoj i držanje & kanarinca i češljuga

Rješenje

Da bismo riješili problem, zamislimo upite u obliku Ojlerovih krugova.

K - kanarinci,

Š – češljuge,

R – uzgoj.

kanarinci \| terijeri \| sadržaj	kanarinci i sadržaj	kanarinci i češljugari i sadržaj	uzgoj i držanje & kanarinci i češljugari

Prvi zahtjev ima najveću površinu zasjenjenih sektora, zatim drugi, pa treći, a četvrti zahtjev ima najmanju.

Uzlaznim redoslijedom prema broju stranica, zahtjevi će biti predstavljeni sljedećim redoslijedom: 4 3 2 1

Napominjemo da u prvom zahtjevu popunjeni sektori Ojlerovih krugova sadrže popunjene sektore drugog zahtjeva, a popunjeni sektori drugog zahtjeva sadrže popunjene sektore trećeg zahtjeva, a popunjeni sektori trećeg zahtjeva sadrže popunjeni sektor četvrtog zahtjeva.

Samo pod takvim uslovima možemo biti sigurni da smo ispravno riješili problem.

Zadatak 7 (Jedinstveni državni ispit 2013.)

U jeziku upita pretraživača, simbol "|" se koristi za označavanje logičke operacije "ILI", a simbol "&" se koristi za logičku operaciju "AND".

U tabeli su prikazani upiti i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Zahtjev	Pronađene stranice (u hiljadama)
Fregata \| Razarač	3400
Fregata i razarač	900
Frigata	2100

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit? Razarač?
Smatra se da su se svi upiti izvršavali gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije mijenjao tokom izvršavanja upita.

Ojlerovi krugovi- jedna od najjednostavnijih tema koje su vam potrebne upis u 5. razred fizičko-matematičkog liceja. Zapravo, Ojlerovi krugovi nije ništa drugo do grafički prikaz skupova. Unutra se nalaze objekti sa određenim svojstvom Ojler-Venov krug oni koji ne poseduju su napolju. Naravno, dijagram obično ne sadrži jedan krug, već nekoliko, od kojih svaki kombinira objekte s nekom vrstom svojstva. Svaki zadatak iz ovog bloka svodi se na činjenicu da je potrebno prebrojati broj elemenata u bilo kojoj oblasti. Pogledajmo primjere onoga što treba učiniti:

Zadaci za mnoge ljude

U razredu ima učenika. uči engleski, njemački i francuski. Ljudi ne znaju nijedan jezik. Takođe je poznato da od sve djece samo jedan dječak uči jezike: engleski i francuski. Koliko ljudi uči jezik?

Da bismo riješili problem, označimo broj potrebnih studenata kao (onih koji uče jezik). Broj studenata koji uče različit broj jezika može se izraziti kroz i uslove u zadatku. Euler-Vennov dijagram u ovom slučaju to će izgledati ovako: Na primjer, momci koji znaju samo engleski su označeni crvenom bojom i njihov broj.

Imajte na umu da ni na koji način nismo koristili ukupan broj učenika - ovaj uslov će generisati samu jednačinu kojom će se problem riješiti:

Ispostavilo se da sve jezike proučavaju ljudi (Sada, znajući, možete samostalno rekonstruirati koliko je učenika bilo u razredu i provjeriti odgovor)

Problemi djeljivosti (složena djeljivost)

To su zadaci povećane složenosti. Preporučujemo da prvo proučite temu. Obavezno štivo samo za one koji planiraju da osvoje nagrade.

Za koliko brojeva između i da li je tačna sljedeća izjava: broj je djeljiv ili nije djeljiv sa?

Tako strašno i neshvatljivo stanje postaje jednostavno ako ga koristite Ojlerovi krugovi. Jasno je da u ovom problemu razmatramo brojeve koji - nas zanimaju oni unutar odgovarajućeg kruga. Postoje i brojevi koji imaju tačku 12 - zanimaju nas brojevi koji su izvana. Ali šta je sa brojevima koji pripadaju oba skupa? Prvo, kakvu zajedničku imovinu imaju, a drugo, da li nas zanimaju?

Odgovorimo prvo na prvo pitanje. Ispada da ako je broj istovremeno djeljiv sa dva druga broja, onda je djeljiv sa Najmanja zajednička višestruka ova dva broja, odnosno minimalnim brojem koji je bez ostatka djeljiv sa oba. Za brojeve i LCM ne postoji ništa više od broja , budući da i , i ne postoji manji broj sa takvim svojstvima. Ukupno, na presjeku naših skupova postoje brojevi koji .

Zatim, treba napomenuti da se riječ koristi u uvjetu "ILI". To znači da za tražene brojeve, NAJMANJE JEDAN od predloženih iskaza mora biti tačan (moguće oba). Odnosno, pogodni smo za brojeve koji se nalaze unutar kruga brojeva, koji jesu, kao i za sve brojeve koji se nalaze izvan kruga.

dakle, Euler-Vennov dijagram izgleda ovako: Sjenčanje označava brojeve koje treba pronaći. Sada je, nadam se, očigledno da moramo pronaći koliko brojeva ima u problemu koji se razmatra, od ove količine oduzmemo broj brojeva koji i dodamo broj brojeva koji .

Pa da počnemo:

Ispostavilo se da su potrebni brojevi

Dakle, da sumiramo. Ako idete upisuje 5. razred Fizičko-matematičkog liceja, zatim opšte znanje o Euler-Venn krugovi Treba ti. Glavno područje primjene su problemi gdje postoje skupovi objekata koji imaju određena svojstva, a potrebno je pronaći broj objekata koji imaju (ili nemaju) skup specificiranih svojstava.

Odjeljci: Računarska nauka

1. Uvod

U okviru predmeta Računarstvo i IKT u osnovnoj i višoj školi obrađuju se važne teme kao što su „Osnove logike“ i „Traženje informacija na Internetu“. Prilikom rješavanja određene vrste problema zgodno je koristiti Ojlerove krugove (Euler-Venn dijagrami).

Matematička referenca. Euler-Venn dijagrami se prvenstveno koriste u teoriji skupova kao šematski prikaz svih mogućih sjecišta nekoliko skupova. Generalno, oni predstavljaju sve 2 n kombinacije n svojstava. Na primjer, sa n=3, Euler-Venn dijagram se obično prikazuje kao tri kruga sa centrima u vrhovima jednakostraničnog trougla i istim polumjerom, približno jednakim dužini stranice trokuta.

2. Predstavljanje logičkih konekcija u upitima za pretraživanje

Prilikom proučavanja teme „Traženje informacija na Internetu“ razmatraju se primjeri upita za pretraživanje koji koriste logičke vezive, slične po značenju veznicima „i“, „ili“ ruskog jezika. Značenje logičkih veziva postaje jasnije ako ih ilustrirate pomoću grafičkog dijagrama – Ojlerovih krugova (Euler-Venn dijagrami).

Logički spoj	Primjer zahtjeva	Objašnjenje	Ojlerovi krugovi
& - "I"	Pariz & univerzitet	Biće odabrane sve stranice na kojima se spominju obje riječi: Pariz i univerzitet	Fig.1
\| - "ILI"	Pariz \| univerzitet	Biće odabrane sve stranice na kojima se spominju riječi Pariz i/ili univerzitet	Fig.2

3. Povezanost logičkih operacija sa teorijom skupova

Euler-Venn dijagrami se mogu koristiti za vizualizaciju veze između logičkih operacija i teorije skupova. Za demonstraciju možete koristiti slajdove Aneks 1.

Logičke operacije su specificirane njihovim tablicama istinitosti. IN Dodatak 2 Detaljno se razmatraju grafičke ilustracije logičkih operacija zajedno sa njihovim tabelama istinitosti. Objasnimo princip konstruisanja dijagrama u opštem slučaju. Na dijagramu, područje kruga s imenom A prikazuje istinitost izjave A (u teoriji skupova, krug A je oznaka svih elemenata uključenih u dati skup). U skladu s tim, područje izvan kruga prikazuje “lažnu” vrijednost odgovarajuće izjave. Da biste razumjeli koje područje dijagrama će prikazati logičku operaciju, morate zasjeniti samo ona područja u kojima su vrijednosti logičke operacije na skupovima A i B jednake "true".

Na primjer, vrijednost implikacije je istinita u tri slučaja (00, 01 i 11). Zasenčimo redom: 1) područje izvan dva kruga koji se seku, što odgovara vrednostima A=0, B=0; 2) oblast koja se odnosi samo na krug B (srp), koji odgovara vrednostima A=0, B=1; 3) površina koja se odnosi i na krug A i na krug B (presjek) - odgovara vrijednostima A=1, B=1. Kombinacija ove tri oblasti će biti grafički prikaz logičke operacije implikacije.

4. Upotreba Ojlerovih krugova u dokazivanju logičkih jednakosti (zakona)

Da biste dokazali logičke jednakosti, možete koristiti metodu Euler-Venn dijagrama. Dokažimo sljedeću jednakost ¬(AvV) = ¬A&¬V (de Morganov zakon).

Da vizualno predstavimo lijevu stranu jednakosti, učinimo to uzastopno: zasjenimo oba kruga (primjenite disjunkciju) sivom bojom, a zatim da prikažete inverziju, zasenčite područje izvan krugova crnom bojom:

Fig.3 Fig.4

Da bismo vizuelno predstavili desnu stranu jednakosti, uradimo to uzastopno: zasenčimo oblast za prikaz inverzije (¬A) sivom i, slično, oblast ¬B takođe sivom; zatim da biste prikazali konjunkciju morate uzeti sjecište ovih sivih područja (rezultat preklapanja je predstavljen crnom bojom):

Sl.5 Fig.6 Fig.7

Vidimo da su površine za prikaz lijevog i desnog dijela jednake. Q.E.D.

5. Problemi u formatu Državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita na temu: “Traženje informacija na Internetu”

Problem br. 18 iz demo verzije GIA 2013.

Tabela prikazuje upite serveru za pretraživanje. Za svaki zahtjev je naznačena njegova šifra - odgovarajuće slovo od A do G. Rasporedite kodove zahtjeva s lijeva na desno po redu silazno broj stranica koje će pretraživač pronaći za svaki zahtjev.

Kod	Zahtjev
A	(Fly & Money) \| Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	Fly \| Novac \| Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Za svaki upit ćemo napraviti Euler-Venn dijagram:

Zahtjev A

Zahtjev B

Zahtjev G

Odgovor: VAGB.

Problem B12 iz demo verzije Jedinstvenog državnog ispita 2013.

U tabeli su prikazani upiti i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Zahtjev	Pronađene stranice (u hiljadama)
Fregata \| Razarač	3400
Fregata i razarač	900
Frigata	2100

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit? Razarač?

Smatra se da su se svi upiti izvršavali gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije mijenjao tokom izvršavanja upita.

F – broj stranica (u hiljadama) na zahtjev Frigata;

E – broj stranica (u hiljadama) na zahtjev Razarač;

X – broj stranica (u hiljadama) za upit koji se spominje Frigata I Ne spomenuto Razarač;

Y – broj stranica (u hiljadama) za upit koji se spominje Razarač I Ne spomenuto Frigata.

Napravimo Euler-Venn dijagrame za svaki upit:

Zahtjev	Euler-Vennov dijagram	Broj stranica
Fregata \| Razarač	Fig.12	3400
Fregata i razarač	Fig.13	900
Frigata	Fig.14	2100
Razarač	Fig.15	?

Prema dijagramima imamo:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Odavde nalazimo Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900+U = 900+1300= 2200.

Odgovor: 2200.

6. Rješavanje logički smislenih problema korištenjem metode Euler-Venn dijagrama

U razredu ima 36 ljudi. Učenici ovog odeljenja pohađaju matematički, fizički i hemijski krug, pri čemu matematičko 18, fizičko 14, hemijsko 10. Osim toga, poznato je da sva tri kruga pohađaju 2 osobe, 8 osoba pohađaju i matematički i fizički, 5 i matematički i hemijski, 3 - i fizički i hemijski.

Koliko učenika u razredu ne pohađa nijedan klub?

Za rješavanje ovog problema vrlo je zgodno i intuitivno koristiti Ojlerove krugove.

Najveći krug je skup svih učenika u razredu. Unutar kruga se nalaze tri skupa koji se ukrštaju: članovi matematičkog ( M), fizički ( F), hemijski ( X) krugovi.

Neka MFC- puno momaka, od kojih svaki pohađa sva tri kluba. MF¬X- puno djece, od kojih svako pohađa sekcije matematike i fizike i Ne posete hemijskim. ¬M¬FH- puno momaka, od kojih svaki ide u hemijski klub, a ne ide u klub fizike i matematike.

Slično, uvodimo skupove: ¬MFH, M¬FH, M¬F¬H, ¬MF¬H, ¬M¬F¬H.

Poznato je da sva tri kruga pohađaju 2 osobe, dakle u regionu MFC Hajde da unesemo broj 2. Jer 8 ljudi pohađa i matematički i fizički krug, a među njima su već 2 osobe koje pohađaju sva tri kruga, tada u regionu MF¬X unesite 6 osoba (8-2). Na sličan način odredimo broj učenika u preostalim skupovima:

Sumiramo broj ljudi u svim regijama: 7+6+3+2+4+1+5=28. Shodno tome, 28 ljudi iz razreda pohađa klubove.

To znači da 36-28 = 8 učenika ne pohađa klubove.

Nakon zimskog raspusta, razrednica je pitala ko je od djece otišao u pozorište, bioskop ili cirkus. Ispostavilo se da od 36 učenika u razredu dvoje nikada nisu bili u bioskopu. ni u pozorištu ni u cirkusu. 25 ljudi je išlo u bioskop, 11 u pozorište, 17 u cirkus; kako u bioskopu tako iu pozorištu - 6; i u bioskopu i u cirkusu - 10; a u pozorištu i cirkusu - 4.

Koliko je ljudi bilo u bioskopu, pozorištu i cirkusu?

Neka je x broj djece koja su bila u bioskopu, pozorištu i cirkusu.

Zatim možete napraviti sljedeći dijagram i prebrojati broj momaka u svakoj oblasti:

Bioskop i pozorište je posjetilo 6 osoba, što znači da je samo 6 osoba otišlo u kino i pozorište.

Slično, samo u bioskopu i cirkusu (10.) ljudi.

Samo u pozorištu i cirkusu (4) ljudi.

U bioskop je otišlo 25 ljudi, što znači da je njih 25 otišlo samo u bioskop - (10) - (6) - x = (9+x).

Slično, samo u pozorištu je bilo (1+x) ljudi.

Samo je bilo (3+x) ljudi u cirkusu.

Nisam bio u pozorištu, bioskopu ili cirkusu - 2 osobe.

To znači 36-2=34 osobe. prisustvovali događajima.

S druge strane, možemo sumirati broj ljudi koji su bili u pozorištu, kinu i cirkusu:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34

Iz toga proizilazi da je samo jedna osoba prisustvovala sva tri događaja.

Tako Ojlerovi krugovi (Euler-Venn dijagrami) nalaze praktičnu primjenu u rješavanju problema u formatu Jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita i u rješavanju smislenih logičkih problema.

Književnost

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logika u informatici. M.: Informatika i obrazovanje, 2006. 155 str.
LL. Bosova. Aritmetičke i logičke osnove računara. M.: Informatika i obrazovanje, 2000. 207 str.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Udžbenik. Računarstvo i IKT za 8. razred: BINOM. Laboratorij znanja, 2012. 220 str.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Udžbenik. Računarstvo i IKT za 9. razred: BINOM. Laboratorij znanja, 2012. 244 str.
FIPI web stranica: http://www.fipi.ru/

Svaki predmet ili pojava ima određena svojstva (znakove).

Ispada da formiranje pojma o objektu znači, prije svega, sposobnost razlikovanja od drugih njemu sličnih objekata.

Možemo reći da je koncept mentalni sadržaj riječi.

koncept - to je oblik mišljenja koji prikazuje predmete u njihovim najopštijim i najbitnijim karakteristikama.

Pojam je oblik misli, a ne oblik riječi, jer je riječ samo oznaka kojom obilježavamo ovu ili onu misao.

Riječi mogu biti različite, ali i dalje značiti isti koncept. Na ruskom - "olovka", na engleskom - "olovka", na njemačkom - bleistift. Ista misao ima različite verbalne izraze na različitim jezicima.

ODNOSI IZMEĐU POJMOVA. EULER KRUGOVI.

Zovu se pojmovi koji u svom sadržaju imaju zajedničke karakteristike COMPARABLE(“advokat” i “zamjenik”; “student” i “sportista”).

Inače, koncepti se razmatraju NEUporedivo(“krokodil” i “bilježnica”; “čovek” i “parobnjak”).

Ako, pored zajedničkih karakteristika, pojmovi imaju i zajedničke elemente volumena, onda se nazivaju KOMPATIBILNO.

Postoji šest vrsta odnosa između uporedivih pojmova. Pogodno je označavati odnose između opsega koncepata pomoću Ojlerovih krugova (kružni dijagrami gdje svaki krug označava opseg koncepta).

VRSTA ODNOSA IZMEĐU POJMOVA	SLIKA KORIŠTENJEM EULEROV KRUGOVA
EKVIVALNOST (IDENTITET) Obim pojmova se potpuno poklapa. One. To su pojmovi koji se razlikuju po sadržaju, ali se u njima razmišljaju o istim elementima volumena.	1) A - Aristotel B - osnivač logike 2) A - kvadrat B - jednakostranični pravougaonik
SUBORDINACIJA (SUBORDINACIJA) Obim jednog pojma je u potpunosti uključen u obim drugog, ali ga ne iscrpljuje.	1) A - osoba B - učenik 2) A - životinja B - slon
RASKRŠĆENJE (UKRŠĆENJE) Obim dva pojma se djelimično poklapa. Odnosno, koncepti sadrže zajedničke elemente, ali uključuju i elemente koji pripadaju samo jednom od njih.	1) A - advokat B - zamenik 2) A - student B - sportista
KOORDINACIJA (KOORDINACIJA) Pojmovi koji nemaju zajedničke elemente u potpunosti su uključeni u opseg trećeg, šireg pojma.	1) A - životinja B - mačka; C - pas; D - miš 2) A - plemeniti metal B - zlato; C - srebro; D - platina
SUPROTNOST (SUPROTNOST) Koncepti A i B nisu jednostavno uključeni u opseg trećeg koncepta, već se čini da su na njegovim suprotnim polovima. Odnosno, koncept A u svom sadržaju ima takvu osobinu, koja je u konceptu B zamijenjena suprotnom.	1) A - bela mačka; B - crvena mačka (mačke su i crne i sive) 2) A - topli čaj; ledeni čaj (čaj može biti i topao) tj. koncepti A i B ne iscrpljuju čitav opseg koncepta u koji su uključeni.
KONTRADICIONALNOST (PROTIVRIJEČNOST) Odnos između pojmova, od kojih jedan izražava prisustvo nekih karakteristika, a drugi - njihovo odsustvo, odnosno jednostavno negira ove karakteristike, ne zamjenjujući ih bilo kojim drugim.	1) A - visoka kuća B - niska kuća 2) A - dobitna karta B - nedobitna karta Tj. koncepti A i ne-A iscrpljuju čitav opseg koncepta u koji su uključeni, budući da se između njih ne može postaviti dodatni koncept.