Algoritam za rješavanje linearnih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda. Cramerova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina Rješavanje sistema linearnih jednačina"
Matrice. Akcije na matrice. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica.
Matrice (i, shodno tome, matematički dio - matrična algebra) važni su u primijenjenoj matematici, jer omogućavaju da se značajan dio matematičkih modela objekata i procesa zapiše u prilično jednostavnom obliku. Termin "matrica" pojavio se 1850. godine. Matrice se prvi put spominju u staroj Kini, a kasnije od strane arapskih matematičara.
Matrix A=A mn poziva se red m*n pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redova i n - kolona.
Matrični elementi aij, za koje se i=j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.
Za kvadratnu matricu (m=n), glavnu dijagonalu čine elementi a 11, a 22,..., a nn.
Matrična jednakost.
A=B, ako matrica naređuje A I B su isti i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Akcije na matrice.
1. Sabiranje matrice - operacija po elementima
Oduzimanje matrice - operacija po elementima
3. Proizvod matrice i broja je operacija po elementima
4. Množenje A*B matrice prema pravilu red u kolonu(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redova matrice B)
A mk *B kn =C mn i svaki element sa ij matrice Cmn jednak je zbiru proizvoda i-tog reda matrice A i odgovarajućih elemenata j-te kolone matrice B.
Pokažimo operaciju množenja matrice na primjeru:
6. Transponovanje matrice A. Transponovana matrica je označena sa A T ili A"
Redovi i kolone su zamijenjeni
Primjer
Svojstva operacija nad matricama
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Vrste matrica
1. Pravokutni: m I n- proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva
2. Kvadrat: m=n
3. Red matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva se matrica naziva vektor
4. Matrični stupac: n=1. Na primjer
5. Dijagonalna matrica: m=n I a ij =0, Ako i≠j. Na primjer
6. Matrica identiteta: m=n I
7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Trouglasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.
9. Kvadratna matrica: m=n I a ij =a ji(tj., jednaki elementi se nalaze na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu), i stoga A"=A
Na primjer,
Inverzna matrica- takva matrica A−1, kada se pomnoži s kojim je originalna matrica A rezultira matricom identiteta E:
Kvadratna matrica je inverzibilna ako i samo ako je nesingularna, odnosno, njena determinanta nije jednaka nuli. Za nekvadratne matrice i singularne matrice ne postoje inverzne matrice. Međutim, moguće je generalizirati ovaj koncept i uvesti pseudoinverzne matrice, slične inverznim u mnogim svojstvima.
Primjeri rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.
Pogledajmo matričnu metodu koristeći primjere. U nekim primjerima nećemo detaljno opisivati proces izračunavanja determinanti matrica.
Primjer.
Koristeći inverznu matricu, pronađite rješenje sistema linearnih jednačina
.
Rješenje.
U matričnom obliku, originalni sistem će biti napisan kao gdje 
. Izračunajmo determinantu glavne matrice i uvjerimo se da je različita od nule. U suprotnom, nećemo moći riješiti sistem matričnim metodom. Imamo 
, dakle, za matricu A može se naći inverzna matrica. Dakle, ako pronađemo inverznu matricu, onda definiramo željeno rješenje SLAE kao . Dakle, zadatak je sveden na konstruisanje inverzne matrice. Hajde da je nađemo.
Inverzna matrica se može naći pomoću sljedeće formule:
, gdje je determinanta matrice A, je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .
Koncept inverzne matrice postoji samo za kvadratne matrice, matrice “dva po dva”, “tri po tri” itd.
Polarne koordinate. U polarnom koordinatnom sistemu, položaj tačke M
M
PRAVOUGAONE KOORDINATE U PROSTORU
STRAIGHT
1. Opća jednačina prave linije. Bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na x i y, tj. jednačina oblika:
(1) Ax+Bu+C=0 pozvan. zajednice jednadžbom prave ( + ≠0), A, B, C - KONSTANTNI KOEFICIJENTI.
KRIVE DRUGOG REDOVA
1. Krug. Krug je skup tačaka u ravni, jednako udaljenih -
jednako udaljena od date tačke (centra). Ako je r polumjer kružnice, a tačka C (a; b) njegovo središte, onda jednadžba kružnice ima oblik:
Hiperbola. Hiperbola je skup tačaka na ravni, apsolut
veličina razlike u udaljenostima do dvije date tačke, koja se naziva fo-
komada, postoji konstantna vrijednost (označena je sa 2a), a ta konstanta je manja od udaljenosti između žarišta. Ako fokus hiperbole postavimo u tačke F1 (c; 0) i F2(- c; 0), dobićemo kanonsku jednačinu hiperbole 
ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU
RAVAN I RAVAN
ravni, koja se naziva normalni vektor.
Površina drugog reda
Površina drugog reda- geometrijski lokus tačaka u trodimenzionalnom prostoru čije pravougaone koordinate zadovoljavaju jednačinu oblika
u kojoj je barem jedan od koeficijenata , , , , , različit od nule.
Vrste površina drugog reda
Cilindrične površine
Površina se zove cilindrična površina sa generatricom, ako za bilo koju tačku ove površine prava linija koja prolazi kroz ovu tačku paralelno sa generatricom u potpunosti pripada površini.
Teorema (o jednadžbi cilindrične površine).
Ako u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina ima jednadžbu , onda je to cilindrična površina sa generatricom paralelnom sa osi.
Zove se kriva definisana jednadžbom u ravni vodič cilindrična površina.
Ako je vodilica cilindrične površine data krivuljom drugog reda, tada se takva površina naziva cilindrična površina drugog reda .
| eliptični cilindar: | Parabolički cilindar: | Hiperbolički cilindar: |
 |  |
|
 |  |  |
| Par odgovarajućih linija: | Par podudarnih ravni: | Par ravnina koje se seku: |
 |  |
Konične površine
Konusna površina.
Glavni članak:Konusna površina
Površina se zove konusna površina sa vrhom u tački, ako za bilo koju tačku ove površine prava linija koja prolazi kroz i u potpunosti pripada ovoj površini.
Funkcija se poziva homogeni poredak, ako je sljedeće tačno:
Teorema (o jednadžbi konusne površine).
Ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina data jednačinom 
, gdje je homogena funkcija, tada je konusna površina sa vrhom u početku.
Ako je površina definirana funkcijom koja je homogeni algebarski polinom drugog reda, onda se naziva konusna površina drugog reda .
· Kanonska jednadžba stošca drugog reda ima oblik:
Površine revolucije]
Površina se zove površina rotacije oko ose, ako za bilo koju tačku 
ove površine kružnica koja prolazi kroz ovu tačku u ravni sa središtem u i radijusom 
, u potpunosti pripada ovoj površini.
Teorema (o jednadžbi površine okretanja).
Ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina data jednačinom, tada je površina rotacije oko ose.
| elipsoid: | Hiperboloid od jednog lista: | Hiperboloid sa dva lista: | Eliptični paraboloid: |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
U slučaju , gore navedene površine su okretne površine.
Eliptični paraboloid
Jednačina eliptičkog paraboloida je
Ako je , tada je eliptični paraboloid površina okretanja formirana rotacijom parabole čiji parametar 
, oko vertikalne ose koja prolazi kroz vrh i fokus date parabole.
Presjek eliptičkog paraboloida s ravninom je elipsa.
Presjek eliptičkog paraboloida s ravninom ili je parabola.
Hiperbolički paraboloid]
Hiperbolički paraboloid.
Jednačina hiperboličkog paraboloida ima oblik
Presjek hiperboličkog paraboloida s ravninom je hiperbola.
Presjek hiperboličnog paraboloida s ravninom ili je parabola.
Zbog svoje geometrijske sličnosti, hiperbolički paraboloid se često naziva "sedlo".
Centralne površine
Ako centar površine drugog reda postoji i jedinstven je, tada se njegove koordinate mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:
Dakle, znak koji je dodijeljen minoru odgovarajućeg elementa determinante određen je sljedećom tablicom:
U gornjoj jednakosti koja izražava determinantu trećeg reda,
na desnoj strani je zbir proizvoda elemenata 1. reda determinante i njihovih algebarskih komplementa.
Teorema 1. Determinanta trećeg reda jednaka je zbiru proizvoda
elemente bilo kojeg njegovog reda ili stupca u njihove algebarske komplemente.
Ova teorema vam omogućava da izračunate vrijednost determinante, otkrivajući je prema
elemente bilo kojeg njegovog reda ili stupca.
Teorema 2. Zbir proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone)
determinanta algebarskih komplemenata elemenata drugog reda (kolone) jednaka je nuli.
Svojstva determinanti.
1°. Odrednica se neće promijeniti ako se redovi determinante zamijene kolonom
tsami, a kolone su odgovarajući redovi.
2°. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg reda (ili kolone) može
uzeti izvan znaka determinante.
3°. Ako su elementi jednog reda (kolone) determinante, respektivno
su jednaki elementima drugog reda (kolone), tada je determinanta jednaka nuli.
4°. Prilikom preuređivanja dva reda (kolone), determinanta mijenja predznak u
suprotno.
5°. Odrednica se neće promijeniti ako elementi istog reda (kolone)
dodati odgovarajuće elemente drugog reda (kolone), pomnožene istim brojem (teorema o linearnoj kombinaciji paralelnih nizova determinante).
Rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznanice.
pronađeno korištenjem Cramerovih formula
Pretpostavlja se da je D ≠0 (ako je D = 0, onda je originalni sistem ili nesiguran ili nekonzistentan).
Ako je sistem homogen, tj. ima oblik 
a njegova determinanta nije nula, tada ima jedinstveno rješenje x = 0,
Ako je determinanta homogenog sistema jednaka nuli, onda se sistem redukuje
ili na dvije nezavisne jednačine (treća je njihova posljedica), ili na
jedna jednačina (druge dvije su njene posljedice). Prvi slučaj
javlja se kada među minorima determinante homogenog sistema postoji
barem jedan je različit od nule, a drugi je kada su svi minori ove determinante jednaki nuli. U oba slučaja, homogeni sistem ima beskonačan broj rješenja.
Izračunajte determinantu trećeg reda
KOSTROMSKI FILIJAL VOJNOG UNIVERZITETA RCB ZAŠTITE
Odjel za automatizaciju upravljanja trupama
Samo za nastavnike
"odobravam"
Šef odjeljenja br.9
Pukovnik YAKOVLEV A.B.
"____"______________ 2004
Vanredni profesor A.I. SMIRNOVA
„KVALIFIKACIJE.
RJEŠENJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA"
PREDAVANJE br. 2 / 1
Razgovarano na sastanku odjeljenja br. 9
"____"___________ 2004
Protokol br.___________
Kostroma, 2004.
Uvod
1. Odrednice drugog i trećeg reda.
2. Svojstva determinanti. Teorema dekompozicije.
3. Cramerova teorema.
Zaključak
Književnost
1. V.E. Schneider et al., Kratki kurs visoke matematike, tom I, Ch. 2, stav 1.
2. V.S. Ščipačev, Viša matematika, poglavlje 10, stav 2.
UVOD
Na predavanju se govori o determinantama drugog i trećeg reda i njihovim svojstvima. A također i Cramerov teorem, koji vam omogućava da rješavate sisteme linearnih jednadžbi koristeći determinante. Determinante se takođe koriste kasnije u temi “Vektorska algebra” kada se računa vektorski proizvod vektora.
1. studijsko pitanje DETERMINANTE DRUGE I TREĆE
ORDER
Razmotrite tabelu sa četiri broja u obliku
Brojevi u tabeli su označeni slovom sa dva indeksa. Prvi indeks označava broj reda, drugi broj kolone.
DEFINICIJA 1.Odrednica drugog reda pozvaoizrazvrsta:
(1)Brojevi A 11, …, A 22 se nazivaju elementi determinante.
Dijagonala formirana elementima A 11 ; A 22 naziva se glavna, a dijagonala koju čine elementi A 12 ; A 21 - jedan pored drugog.
Dakle, determinanta drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.
Imajte na umu da je odgovor broj.
PRIMJERI. Izračunati:
Sada razmotrite tabelu od devet brojeva, napisanu u tri reda i tri kolone:
DEFINICIJA 2. Odrednica trećeg reda nazvan izrazom forme:
Elementi A 11; A 22 ; A 33 – čine glavnu dijagonalu.
Brojevi A 13; A 22 ; A 31 – formira bočnu dijagonalu.
Hajde da shematski opišemo kako se formiraju plus i minus članovi:
" + " " – "Plus uključuje: proizvod elemenata na glavnoj dijagonali, preostala dva člana su proizvod elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta sa bazama paralelnim sa glavnom dijagonalom.
Minus članovi se formiraju prema istoj shemi u odnosu na sekundarnu dijagonalu.
Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda se zove
Pravilo T reugoljnikov.
PRIMJERI. Izračunajte koristeći pravilo trokuta:
KOMENTAR. Determinante se takođe nazivaju determinante.
2. studijsko pitanje SVOJSTVA DETERMINANTA.
TEOREMA EKSPANZIJE
Nekretnina 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima.
.Otkrivanjem obje determinante uvjeravamo se u valjanost jednakosti.
Svojstvo 1 uspostavlja jednakost redova i stupaca determinante. Stoga ćemo formulirati sva daljnja svojstva determinante i za redove i za stupce.
Nekretnina 2. Prilikom preuređivanja dva reda (ili stupca), determinanta mijenja svoj predznak u suprotan, zadržavajući svoju apsolutnu vrijednost.
.Nekretnina 3. Zajednički faktor elemenata reda(ili kolona)može se uzeti kao determinantni znak.
.Nekretnina 4. Ako determinanta ima dva identična reda (ili stupca), onda je jednaka nuli.
Ovo svojstvo se može dokazati direktnom provjerom, ili možete koristiti svojstvo 2.
Označimo determinantu sa D. Kada se dva identična prva i druga reda preurede, ona se neće promijeniti, ali prema drugom svojstvu mora promijeniti predznak, tj.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Svojstvo 5. Ako su svi elementi niza(ili kolona)su jednake nuli, tada je determinanta jednaka nuli.
Ovo svojstvo se može smatrati posebnim slučajem imovine 3 kada
Nekretnina 6. Ako elementi dvije linije(ili kolone)determinante su proporcionalne, tada je determinanta jednaka nuli.
.Može se dokazati direktnom provjerom ili korištenjem svojstava 3 i 4.
Nekretnina 7. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili stupca) dodaju elementima reda (ili stupca), pomnoženim istim brojem.
.Dokazano direktnom provjerom.
Upotreba ovih svojstava u nekim slučajevima može olakšati proces izračunavanja determinanti, posebno trećeg reda.
Za ono što slijedi trebat će nam koncepti mola i algebarskog komplementa. Razmotrimo ove koncepte da bismo definirali treći red.
DEFINICIJA 3. Minor datog elementa determinante trećeg reda naziva se determinanta drugog reda dobijena od datog elementa precrtavanjem reda i stupca na čijem presjeku se nalazi dati element.
Element minor Aij označeno sa Mij. Dakle za element A 11 maloljetnik
Dobiva se precrtavanjem prvog reda i prve kolone u odrednici trećeg reda.
DEFINICIJA 4. Algebarski komplement elementa determinante oni to zovu minor pomnožen sa(-1)k, Gdjek- zbir brojeva reda i kolone na čijem presjeku se nalazi ovaj element.
Algebarski komplement elementa Aij označeno sa Aij.
dakle, Aij =
.Zapišimo algebarske sabirke za elemente A 11 i A 12.
. .Korisno je zapamtiti pravilo: algebarski komplement elementa determinante jednak je njegovom predznakom plus, ako je zbir brojeva reda i stupaca u kojima se element pojavljuje čak, i sa znakom oduzeti, ako je ovaj iznos odd.
PRIMJER. Naći minore i algebarske komplemente za elemente prvog reda determinante:
Jasno je da se minori i algebarski komplementi mogu razlikovati samo po predznaku.
Razmotrimo bez dokaza jednu važnu teoremu - teorema ekspanzije determinante.
TEOREMA EKSPANZIJE
Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda ili stupca i njihovih algebarskih komplementa.
Koristeći ovu teoremu, zapisujemo proširenje determinante trećeg reda duž prvog reda.
.U proširenom obliku:
.Posljednja formula se može koristiti kao glavna pri izračunavanju determinante trećeg reda.
Teorema ekspanzije nam omogućava da svedemo izračunavanje determinante trećeg reda na izračunavanje tri determinante drugog reda.
Teorema dekompozicije pruža drugi način izračunavanja determinanti trećeg reda.
PRIMJERI. Izračunajte determinantu koristeći teorem o proširenju.
Praktičan rad
“Rješavanje sistema linearnih jednačina trećeg reda korištenjem Cramerove metode”
Ciljevi rada:
proširiti razumijevanje metoda za rješavanje SLE-a i izraditi algoritam za rješavanje SLE-a primjenom Kramorove metode;
razvijati logičko mišljenje učenika, sposobnost pronalaženja racionalnog rješenja problema;
da kod učenika neguju tačnost i kulturu pismenog matematičkog govora kada formulišu svoja rešenja.
Osnovni teorijski materijal.
Cramerova metoda. Primjena za sisteme linearnih jednačina.
Dat je sistem od N linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) sa nepoznanicama, čiji su koeficijenti elementi matrice, a slobodni članovi brojevi
Prvi indeks pored koeficijenata označava u kojoj se jednačini koeficijent nalazi, a drugi - u kojoj se od nepoznanica nalazi. 
Ako determinanta matrice nije nula
tada sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina je takav uređeni skup brojeva koji transformiše svaku od jednačina sistema u tačnu jednakost. Ako su desne strane svih jednačina sistema jednake nuli, onda se sistem jednačina naziva homogenim. U slučaju kada su neki od njih različiti od nule – heterogeni 
Ako sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima barem jedno rješenje, onda se naziva kompatibilnim, u suprotnom se naziva nekompatibilnim. Ako je rješenje sistema jedinstveno, onda se sistem linearnih jednačina naziva definitivnim. U slučaju kada rješenje zajedničkog sistema nije jedinstveno, sistem jednačina se naziva neodređenim. Dva sistema linearnih jednačina nazivaju se ekvivalentnim (ili ekvivalentnim) ako su sva rješenja jednog sistema rješenja drugog, i obrnuto. Ekvivalentne (ili ekvivalentne) sisteme dobijamo koristeći ekvivalentne transformacije. 
Ekvivalentne transformacije SLAE
1) preuređenje jednačina;
2) množenje (ili deljenje) jednačina brojem različitom od nule;
3) dodavanje još jedne jednačine nekoj jednačini, pomnožene proizvoljnim brojem koji nije nula.
Rješenje za SLAE može se pronaći na različite načine, na primjer, korištenjem Cramerovih formula (Cramerova metoda)
Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznanicama različita od nule, onda ovaj sistem ima jedinstveno rješenje, koje se nalazi pomoću Cramerovih formula: 
- determinante nastale zamjenom kolone th kolonom slobodnih pojmova.
Ako , i barem jedan od njih je različit od nule, tada SLAE nema rješenja. Ako 
, onda SLAE ima mnogo rješenja.
Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu
Rješenje. 
Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznate
Pošto je , tada je dati sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante:
Koristeći Cramerove formule nalazimo nepoznanice
Dakle 
jedino rešenje za sistem.
Dat je sistem od četiri linearne algebarske jednačine. Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu.
Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznate. Da bismo to učinili, proširimo ga duž prvog reda.
Nađimo komponente determinante:
Zamijenimo pronađene vrijednosti u determinantu
Determinanta, dakle sistem jednačina je konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante koristeći Cramerove formule:
Kriterijumi ocjenjivanja:
Rad se ocjenjuje ocjenom 3 ako je: jedan od sistema samostalno potpuno i pravilno riješen.
Rad se ocenjuje ocenom 4 ako su: bilo koja dva sistema potpuno i tačno rešena nezavisno.
Rad se ocenjuje ocenom 5 ako su: tri sistema potpuno i pravilno rešena samostalno.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema u kursu linearne algebre. Ogroman broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete
- odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
- proučavati teoriju odabrane metode,
- riješite svoj sistem linearnih jednačina razmatrajući detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.
Kratak opis materijala članka.
Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.
Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.
Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.
Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.
U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.
Navigacija po stranici.
Definicije, koncepti, oznake.
Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika
Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).
Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.
IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje 
- glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.
Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj. 
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također postaje identitet.
Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.
Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.
Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.
Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli 
, tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.
Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.
Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.
Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.
Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina 
u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.
Neka je determinanta glavne matrice sistema, i 
- determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova: 
Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao 
. Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.
Primjer.
Cramerova metoda 
.
Rješenje.
Glavna matrica sistema ima oblik 
. Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.
Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante 
(determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) : 
Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula 
:
odgovor:
Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.
Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.
Rješenje.
Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku: 
Jer
tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao 
.
Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice 
na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak): 
odgovor:
ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli 
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog isključivanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje i 
.
Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.
Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici 
Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje i 
. Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici 
Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .
Primjer.
Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.
Rješenje.
Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa: 
Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa: 
Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.
Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3: 
Iz druge jednačine dobijamo .
Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.
odgovor:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Općenito, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:
Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.
Kronecker–Capelli teorem.
Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).
Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.
Primjer.
Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima 
rješenja.
Rješenje.
. Koristimo metodu graničenja maloljetnika. Minor drugog reda 
različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče: 
Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.
Zauzvrat, rang proširene matrice 
je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda 
različito od nule.
dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.
odgovor:
Sistem nema rješenja.
Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?
Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.
Zove se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule osnovni.
Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.
Na primjer, razmotrite matricu 
.
Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.
Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule 
Maloljetnici 
nisu osnovne, jer su jednake nuli.
Teorema o rangu matrice.
Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.
Šta nam govori teorema o rangu matrice?
Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).
Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Primjer.
.
Rješenje.
Rang glavne matrice sistema 
je jednako dva, pošto je minor drugog reda 
različito od nule. Prošireni matrični rang 
je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula 
a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.
Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine: 
Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice: 
Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom: 
odgovor:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desne strane jednačine sistema sa suprotnim predznakom.
Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.
Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.
Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene kroz slobodne nepoznate varijable na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.
Pogledajmo to na primjeru.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina 
.
Rješenje.
Nađimo rang glavne matrice sistema 
metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom: 
Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda: 
Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.
Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.
Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor: 
Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu: 
Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo 
, gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik 
Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu: 
Dakle, .
U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.
odgovor:
Gdje su proizvoljni brojevi.
Sažmite.
Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.
Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.
Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.
Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.
Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.
Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.
Detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gausova metoda za rješavanje sistema općih linearnih algebarskih jednačina.
Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.
U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.
Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.
Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.
Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupaste matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno .
Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?
Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), koristeći formulu koju ćemo dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.
Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .
Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.
Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu sistemskih jednačina suprotnih predznaka. Damo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,...,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .
Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti 0,0,...,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.
Pogledajmo primjere.
Primjer.
Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Rješenje.
Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda: 
Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom: 
Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine: 
Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti: 
Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:
Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina 
.
Rešimo ga Cramerovom metodom: 
Dakle, .
Sada konstruirajmo X (2) . Da bismo to učinili, dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 0, x 4 = 1, a zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema linearnih jednadžbi 
.
Koristimo ponovo Cramerovu metodu: 
Dobijamo.
Tako smo dobili dva vektora fundamentalnog sistema rješenja i , sada možemo zapisati opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi: 
, gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi., jednaki su nuli. Uzećemo i minor kao osnovnu, eliminisati treću jednačinu iz sistema i pomeriti članove sa slobodnim nepoznanicama na desnu stranu sistemskih jednačina: 
Da bismo pronašli, dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 0 i x 4 = 0, tada će sistem jednadžbi poprimiti oblik 
, odakle pronalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerov metod: 
Imamo 
, dakle, 
gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi.
Treba napomenuti da rješenja neodređenog homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi generiraju linearni prostor Rješenje.
Kanonska jednadžba elipsoida u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik 
. Naš zadatak je da odredimo parametre a, b i c. Pošto elipsoid prolazi kroz tačke A, B i C, onda kada se njihove koordinate zamijene u kanonsku jednadžbu elipsoida, on bi se trebao pretvoriti u identitet. Tako dobijamo sistem od tri jednačine: 
Označimo 
, tada će sistem postati sistem linearnih algebarskih jednačina 
.
Izračunajmo determinantu glavne matrice sistema: 
Pošto je različit od nule, rješenje možemo pronaći korištenjem Cramerove metode:
). Očigledno, x = 0 i x = 1 su korijeni ovog polinoma. Kvocijent iz dijeljenja 
on 
je . Dakle, imamo proširenje i originalni izraz poprima oblik 
.
Koristimo metodu neodređenih koeficijenata. 
Izjednačavajući odgovarajuće koeficijente brojilaca, dolazimo do sistema linearnih algebarskih jednadžbi 
. Njegovo rješenje će nam dati željene neodređene koeficijente A, B, C i D.
Rešimo sistem Gausovom metodom: 
Koristeći obrnuti Gaussov metod, nalazimo D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
Dobijamo, 
odgovor:
.
Razmotrimo homogeni sistem diferencijalnih jednačina trećeg reda
Ovdje su x(t), y(t), z(t) tražene funkcije na intervalu (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) su realni brojevi.
Zapišimo originalni sistem u matričnom obliku
,
Gdje 
Tražićemo rešenje za originalni sistem u formi
,
Gdje 
, C 1 , C 2 , C 3 su proizvoljne konstante.
Da biste pronašli osnovni sistem rješenja, potrebno je riješiti takozvanu karakterističnu jednačinu 
Ova jednadžba je algebarska jednadžba trećeg reda, stoga ima 3 korijena. Mogući su sljedeći slučajevi:
1. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su stvarni i različiti.
2. Među korijenima (svojstvenim vrijednostima) postoje kompleksno konjugirani, neka
- pravi korijen
=
3. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su realni. Jedan od korijena je višestruki.
Da bismo shvatili kako postupiti u svakom od ovih slučajeva, trebat će nam:
Teorema 1.
Neka su parno različite svojstvene vrijednosti matrice A, i neka su njihovi odgovarajući svojstveni vektori. Onda
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema.
Komentar
.
Neka je stvarna svojstvena vrijednost matrice A (pravi korijen karakteristične jednadžbe), i neka je odgovarajući svojstveni vektor.
= - kompleksne svojstvene vrijednosti matrice A, - odgovarajući - svojstveni vektor. Onda
(Re - stvarni dio, Im - imaginarni dio)
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema. (tj. i = razmatrano zajedno)
Teorema 3.
Neka je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti 2. Tada originalni sistem ima 2 linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , vektorske konstante. Ako je višestrukost 3, tada postoje 3 linearno nezavisna rješenja oblika
.
Vektori se nalaze zamjenom rješenja (*) i (**) u originalni sistem.
Da biste bolje razumjeli metodu za pronalaženje rješenja oblika (*) i (**), pogledajte tipične primjere u nastavku.
Sada pogledajmo svaki od gore navedenih slučajeva detaljnije.
1. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju različitih realnih korijena karakteristične jednačine.
S obzirom na sistem
1) Sastavljamo karakterističnu jednačinu
- stvarne i različite svojstvene vrijednosti 9 korijena ove jednadžbe).
2) Mi gradimo gde 
3) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
4) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
5)
čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema u obliku
,
ovdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante,
,
ili u koordinatnom obliku 
Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 1.
2) Nađi 
3) Nalazimo 
4) Vektorske funkcije 
ili u koordinatnoj notaciji 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
2) Nađi 
3) Nalazimo 
4) Nađi 
5) Vektorske funkcije 
formiraju fundamentalni sistem. Opšte rješenje ima oblik 
ili u koordinatnoj notaciji 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju kompleksnih konjugiranih korijena karakteristične jednačine.
- pravi korijen,
2) Mi gradimo gde
 |
3) Mi gradimo
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem |  |
Ovdje je Re pravi dio
Im - imaginarni dio
4) čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
, Gdje
C 1, C 2, C 3 su proizvoljne konstante.
Primjer 1.
1) Sastavite i riješite karakterističnu jednačinu 
2) Gradimo
3) Mi gradimo
, Gdje
Smanjimo prvu jednačinu za 2. Zatim drugoj jednačini dodajte prvu pomnoženu sa 2i, a od treće jednačine oduzmite prvu pomnoženu sa 2. 
Dalje 
dakle, 
4) - osnovni sistem rješenja. Zapišimo generalno rješenje originalnog sistema: 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu 
2) Gradimo
(tj. i razmatrani zajedno), gdje
Pomnožite drugu jednačinu sa (1-i) i smanjite za 2. 
dakle, 
3)
Opšte rješenje originalnog sistema
ili 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju višestrukih korijena karakteristične jednačine.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu
Postoje dva moguća slučaja: 
Razmotrimo slučaj a) 1), gdje
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem | |
2) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje dva linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , su konstantni vektori. Uzmimo ih za .
3) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
Razmotrimo slučaj b):
1) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje tri linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , , konstantni vektori. Uzmimo ih za .
2) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema.
Da biste bolje razumjeli kako pronaći rješenja oblika (*), razmotrite nekoliko tipičnih primjera.
Primjer 1.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
Imamo slučaj a)
1) Mi gradimo 
, Gdje
Od druge jednačine oduzimamo prvu:
? Treći red je sličan drugom, precrtavamo ga. Oduzmi drugu od prve jednačine: 
2) = 1 (višestruko od 2)
Prema T.3, ovaj korijen mora odgovarati dvama linearno nezavisnim rješenjima oblika .
Pokušajmo pronaći sva linearno nezavisna rješenja za koja, tj. rješenja oblika
.
Takav vektor će biti rješenje ako i samo ako svojstveni vektor odgovara =1, tj.
, ili 
, drugi i treći red su slični prvom, izbacite ih. 
Sistem je sveden na jednu jednačinu. Prema tome, postoje dvije slobodne nepoznanice, na primjer, i . Hajde da im prvo damo vrednosti 1, 0; zatim vrijednosti 0, 1. Dobijamo sljedeća rješenja: 
.
dakle, 
.
3) - osnovni sistem rješenja. Ostaje da zapišemo opšte rešenje originalnog sistema: 
. .. Dakle, postoji samo jedno rešenje oblika Zamenimo X 3 u ovaj sistem: Precrtaj treći red (sličan je drugom). Sistem je konzistentan (ima rješenje) za bilo koje c. Neka je c=1. 
ili 
